Реферат: Анализ систем автоматического управления

--PAGE_BREAK--5. Если исходная система не удовлетворяет заданным показателям качества,ее следует скорректировать. В случае применения частотных методовсинтезакоррекции строится желаемая ЛАЧХ L
ж
(
w
). В низкочастотной части желаемой ЛАЧХ при сохранении порядка астатизма (наличие интегратора 1/sв системе)требуемый коэффициент усиления выбирается из соотношенияKz=v1/eск=1,4 / 0.04 = 35. На частоте среза желательно иметь наклонЛАЧХ -20 дБ/дек с протяженностью этого участка не менее одной декады. Далеесреднечастотная часть ЛАЧХ сопрягается с низкочастотной отрезком прямой снаклоном -40(если необходимо -60) дБ/дек, а высокочастотная часть желаемойи исходной ЛАЧХ по возможности должны совпадать.

Учет требований качества переходного процесса: tппи σ, запасов устойчивости учитываются при формировании среднечастотной области L
ж
(
w
). Здесь можно воспользоваться графиком (рис. 1.5).






<img width=«331» height=«211» src=«ref-1_1501953159-9674.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_34»>

Рис 1.5
По графику рис. 1.5 для заданных значений у и tnn
находим w
п, и затем из соотношения wc
= (0.6 — 0.9) w
п, частоту среза wc.

В наше случае: (как показано на рис.1.5) для у =10%, t
р
=3π/ωп ,откуда для t
р
значениеω
п
= 3π/1,5=6,8 1/с
и ωc
=5 1/с.

Сопряжение среднечастотного участка с низкочастотным и высокочастотным (рис. 1.6) должно быть таким, чтобы была проще коррекция и чтобы изломы, по возможности, были не более чем на 20 дБ/дек (протяженность участка околодекады). Тогда, выберем L2≈10дБ на частоте ω2=(0.1-0.5)ωс=2.5<ωс=5 и L3≈ -10 дБ на частоте ω3=25 ≥ ωс=5. Введем обозначения:
<img width=«191» height=«46» src=«ref-1_1501962833-993.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066">

<img width=«181» height=«46» src=«ref-1_1501963826-946.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067">

<img width=«149» height=«46» src=«ref-1_1501964772-815.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068">
Величину ω1найдем из условия равенства значений Lж(ω1)=Lисх(ω1). Это

соотношение приводит к следующему выражению:




<img width=«553» height=«93» src=«ref-1_1501965587-11030.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_37»>
В последнем выражении обозначено:

ω
’=0.1
w
2


L
’(
ω
’)=50 дБ

L
’(
ω
2
)=10 дБ

L
(
ω
3
p
)=
L
(0.476)=21,18 дБ

L
(
ω
2
)=
L
(1.2)=-35,743 дБ

Последние две величины находятся из выражения для Lисх(w).

Найденное по формуле значение ω1=0.098

ЛАЧХ корректирующего устройства с характеристикой Lk(w
) соответствует функция:
<img width=«231» height=«54» src=«ref-1_1501976617-1649.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">

где:
<img width=«293» height=«49» src=«ref-1_1501978266-1255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071">
Общая передаточная функция разомкнутой системы с корректирующим звеном последовательного типа имеет вид:
<img width=«415» height=«117» src=«ref-1_1501979521-6734.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_40»>




Далее воспользуемся функцией zpk(z, р, К), где zи р — векторы из нулей и полюсов, aKd— обобщенный коэффициент передачи, sys— любое имя присваиваемое модели. Тогда запись в системе Matlabпримет вид:

sys1=zpk([-1/t2k -1/t3k],[0 -1/t1 -1/t2 -1/t3 -1/t1k -1/t4k],kd)
Zero/pole/gain:

58.2 (s+2.5) (s+0.4762)

-------------------------------------------------

s (s+7.143) (s+4.167) (s+25) (s+0.4762) (s+0.097)
<img width=«242» height=«183» src=«ref-1_1501986255-6044.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_43»>

Рис. 1.6
6.Для нахождения переходных характеристик замкнутой системы с корректирующим звеном предварительно сформируем модель в пространстве состояний. Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:
<img width=«572» height=«47» src=«ref-1_1501992299-3416.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074">


<img width=«624» height=«102» src=«ref-1_1501995715-4210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">





Для нахождения Ф(s) воспользуемся следующей последовательностью команд:
>>sys1=zpk([-1/t2k-1/t3k],[0 -1/t1 -1/t2 -1/t3 -1/t1k-1/t4k],kd)
Zam_ck=inv(l+sysl)*sysl— находится передаточная функция замкнутой системы. (Не оптимальная форма т.к. при такой последовательности команд не производится упрощение за счет сокращения одинаковых элементов числителя и знаменателя. В тоже время на результат дальнейшего расчета это не влияет).
>>Zam_ck=inv(1+sys1)*sys1
Переходная характеристика (рис. 1.7 ) находится с помощью функций: 0,05

Из рассмотрения рис. 1.7 видно, что параметры по заданию выполняются.
<img width=«269» height=«196» src=«ref-1_1501999925-4276.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_46»>

Рис 1.7
Для устранения неоптимальности записи в Zam_ck=inv(l+sysl)*syslможно в диалоговом режиме произвести новую запись zpk(.) — сокращая одинаковые элементы числителя и знаменателя в Zam_ck.






2.Исследование линейной импульсной системы автоматического управления
Задание:

1)                Найти передаточные функции импульсной САУ: W
*
(
z
) разомкнутой системы, Ф*(z
)– замкнутой системы, Фе*(z
)– системы по ошибке. Параметры Т, Т1, τ1, К0, γ входят в выражения передаточных функций в общем виде, т. е. в буквенном виде. Знак «*» будет относиться к передаточным функциям импульсной системы.

2)                Найти интервал изменения коэффициента передачи К0, при котором система будет устойчива: K

”
≤
K

≤
K
’. Для дальнейших исследований выбрать значение K
=0.5K

’

3)                Построить графики логарифмических частотных характеристик разомкнутой импульсной системы L
*
(λ) и φ*(λ) при заданных значениях Т, Т1, τ1, γ и выбранном K
. По графикам определить запасы устойчивости системы по модулю ∆L
*и фазе ∆φ*.


4)                Определить ошибку системы по скорости еск при входном воздействии v
(
t
)=
t(скачок по скорости), а также первые два коэффициента ошибок с0 и с1.


5)                Вычислить переходной процесс в системе при воздействии v
(
t
)=1[t] (скачок по положению.

Исходные данные:
Таблица 2. Анализ одноконтурного замкнутого импульса

Номер

варианта

γ

T

T1

τ1

10

0.3

0.1

0.1

0,05



Анализируется одноконтурная замкнутая импульсная САУ, состоящая из непрерывной части (НЧ) и импульсного элемента (ИЭ), формирующего прямоугольные импульсы длительностью τ=γТ, где Т -период дискретизации, 0≤γ≤1. Исходные данные для расчетов приведены в таблице 2. Передаточная функция непрерывной части имеет вид:
<img width=«164» height=«47» src=«ref-1_1502004201-1169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">
Импульсный элемент представляется в виде идеального ключа и формирующего устройства с передаточной функцией:
<img width=«159» height=«45» src=«ref-1_1502005370-864.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">
Структурная схема системы представлена на рис. 2.1. В табл. 2 Т, Т1, τ -постоянные времени имеют размерность секунды, К0 — коэффициент передачи НЧ имеет размерность сек-1и выбирается далее.
<img width=«504» height=«115» src=«ref-1_1502006234-7996.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079">

Рис 2.1 Структурная схема линейной импульсной системы
1.Для нахождения передаточной функции разомкнутой импульсной САУ W
*
(
z
)находим передаточную функцию приведенной непрерывной части:
<img width=«173» height=«22» src=«ref-1_1502014230-973.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080">
К W
(
s
) применяется Z-преобразование и получается передаточная функция импульсной системы W
*
(
z
) = Z
{
W

(
s
)}. Преобразуем W

(
s
)к виду:




<img width=«168» height=«47» src=«ref-1_1502015203-1167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081">
Представим W

(
s
)в виде суммы двух слагаемых <img width=«144» height=«34» src=«ref-1_1502016370-825.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082">


Применим к W

(
s
) Z-преобразование
<img width=«412» height=«47» src=«ref-1_1502017195-1953.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083">
Полученную передаточную функцию в конечном виде можно представить следующим образом:
<img width=«331» height=«45» src=«ref-1_1502019148-1555.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084">
где обозначено
<img width=«217» height=«22» src=«ref-1_1502020703-940.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085">


<img width=«242» height=«22» src=«ref-1_1502021643-991.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">



Передаточные функции замкнутой системы находятся по выражениям:
<img width=«328» height=«47» src=«ref-1_1502022634-1575.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087">

<img width=«295» height=«47» src=«ref-1_1502024209-1560.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088">

<img width=«606» height=«22» src=«ref-1_1502025769-1873.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">

2.Устойчивость системы определяется корнями характеристического уравнения замкнутой системы D*(z) = l+ W*(z) = 0, которое для нашего случая будет иметь вид:

<img width=«346» height=«22» src=«ref-1_1502027642-1037.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">
В соответствии салгебраическим критерием замкнутая система будет устойчива при выполнении неравенств
<img width=«346» height=«22» src=«ref-1_1502028679-987.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">
В неравенстве при известных значениях γ, Т, τ1, Т1входит величина К0. Таким образом, можно выделить отрезок значений К0"<К0<К0, при которых система будет устойчива и далее принять К0= 0.5К'0. Условия устойчивости будут:
<img width=«234» height=«42» src=«ref-1_1502029666-1056.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">

<img width=«128» height=«22» src=«ref-1_1502030722-593.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093">

<img width=«373» height=«42» src=«ref-1_1502031315-1486.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094">
После преобразований и возврата к старым переменным получим:
<img width=«329» height=«47» src=«ref-1_1502032801-1577.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">

<img width=«56» height=«22» src=«ref-1_1502034378-378.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096">

<img width=«424» height=«58» src=«ref-1_1502034756-1987.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097">
Получим 0<К0<7,112. Таким образом, принимаем К0=0.5 К0’=3,56.
1.                Для построения частотных и логарифмических частотных характеристик в выражении W
*
(z) делаем замену переменной




<img width=«211» height=«68» src=«ref-1_1502036743-1219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">
В результате этого получим частотную характеристику W
*
(
jλ
)и далее логарифмическую амплитудно-частотную характеристику L
*
(
λ
) = 20
Lg
|
W
*
(
jλ
)| и фазочастотную характеристику φ*(λ)= argW
*
(
jλ
), графики которых строятся в логарифмическом масштабе.

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид
<img width=«212» height=«49» src=«ref-1_1502037962-1301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">
Тогда можно воспользоваться следующей последовательностью команд в MATLAB:
>> sys=tf([0.231 0.085],[1 -(1/2.71+1) 1/2.71],1)

Transfer function:

0.231 z + 0.085

---------------------

z^2 — 1.369 z + 0.369
>> sys_tr=d2c(sys,'tustin')
Transfer function:

-0.05332 s^2 — 0.1242 s + 0.4616

--------------------------------

s^2 + 0.9218 s + 2.047e-016
(опция 'tustin’ предназначена для преобразования <img width=«74» height=«51» src=«ref-1_1502039263-539.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">)

Получаем выражение:
<img width=«256» height=«49» src=«ref-1_1502039802-1772.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">

где параметры gи fвидны из вышеприведенного выражения.
<img width=«269» height=«203» src=«ref-1_1502041574-7241.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_52»>

Рис 2.2
4.Рассматриваемая система для всех вариантов является астатической с астатизмом первого порядка и имеет следующую передаточную функцию:
<img width=«315» height=«46» src=«ref-1_1502048815-1449.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103">

<img width=«185» height=«43» src=«ref-1_1502050264-1080.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">

В силу астатизма первого порядка в такой системе статическая ошибка всегда равна нулю, а скоростная есквычисляется по формуле:
<img width=«287» height=«47» src=«ref-1_1502051344-1368.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">
и следовательно,еск=1,999.

Вычислим коэффициенты ошибок. Величина С0=0, а коэффициент ошибки
<img width=«141» height=«53» src=«ref-1_1502052712-960.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">

Где <img width=«70» height=«22» src=«ref-1_1502053672-411.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107"> передаточная функция системы по ошибке.

Тогда получим производную:
<img width=«569» height=«53» src=«ref-1_1502054083-2837.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">

Подставив в последнее выражение найденные ранее значения и z=1, окончательно получим С1=1,999.

5. При входном воздействии вида v
(
k
) =l[k] переходный процесс взамкнутой системе можно вычислить с помощью моделирования импульсной системы в Matlab. Для этого необходимо задать передаточную функцию непрерывной части системы в tf
— или zpk
-форме, преобразовать ее в дискретную с помощью оператора c
2
d
при заданном времени дискретизации T, а затем построить переходной процесс системы оператором step
. Так же можно построить и логарифмические частотные характеристики импульсной системы -bode
. Если задана передаточная функция замкнутой системы в виде:
<img width=«236» height=«49» src=«ref-1_1502056920-1109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">

и периодом дискретизации γT, то получим
>> w0=tf([0.3 1 0],[0.3 1 1.411]) Transfer function:




0.1 s^2 + s

-------------------

0.1            s^2 + s + 3.738

0.2           

>> w1=c2d(w0,0.24)

Transfer function:

z^2 — 0.8801 z — 0.1199

------------------------

z^2 — 0.4001 z + 0.09072
Sampling time: 0.24

>> step(W1)
<img width=«236» height=«159» src=«ref-1_1502058029-3241.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_55»>

Рис 2.3
На рис.2.4 представлена диаграмма Боде исследуемой дискретной системы с отмеченными на ней запасами устойчивости по амплитуде и фазе.
<img width=«224» height=«144» src=«ref-1_1502061270-3536.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_58»>

Рис. 2.4




    продолжение
--PAGE_BREAK--