Реферат: Математические основы теории систем
Саратовский Государственный Технический Университет
Балаковский Институт Техники Технологии и Управления
Кафедра:
Специальность:
Курсовая работа
МОТС
Выполнил:
Принял:
Балаково 2009г.
I-часть
Задание1: По виду электрической схемы построить математическую модель объекта управления в пространстве состояния.
Задание2: По построенной модели составить структурную схему и сигнальный граф.
Задание3: Используя формулу Мейсона найти передаточную функцию объекта управления.
Задание4: По передаточной функции объекта управления определить временные и частотные характеристики. Построить их зависимость: АЧХ, ФЧХ.
Задание5: По полученным зависимостям определить прямые и косвенные оценки качества объекта управления.
II-часть.
Задание1: По заданной корреляционной функции Kx(t) определить спектральную плотность Sx(w) для белого шума, который подается на вход формирующего фильтра.
Задание2: По заданным статистическим характеристикам Se,Sv определить передаточную функцию формирующего фильтра y(р)
Задание3: Представить объект управления в виде
V(t) X(t) Y(t)
и оценить качество полученной системы по переходной характеристике.
Задание4: Сделать вывод по работе.
I-часть
Данные
R1
R2
R3
R4
L1
L2
C2
I2
Ом
Гн.
10-6Ф
?
328
395
118
215
24
24
19605
L1 e(t) L2
Построить математическую модель объекта управления в пространстве состояния.
В схеме три элемента, запасающих энергию: />, следовательно, математическая модель должна быть третьего порядка.
2. Построение математической модели.
Задаемся направлением контурных токов />. Составляем три уравнения по второму закону Кирхгофа для контуров:
/>(1)
/>(2)
/>(3)
В уравнении (3) есть интеграл, поэтому дифференцируем его:
/>(3*)
В уравнениях (3*), (2), (3) есть производные, в качестве />выбираем элементы с производными и производные берем на порядок ниже:
/>(4)
/>(5)
/>(6)
Запишем введенный вектор состояния в виде дифференциальных уравнений первого порядка.
/>
/>
/>
Уравнение в пространстве состояний записывается в левой части:
/>
/>
/>
В полученных уравнениях имеется шесть переменных />. Необходимо уйти от />, выразив их через />
Из выражения (1) выразим />:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Получили три дифференциальных уравнения и одно уравнение для выходного параметра.
Запишем полученную систему уравнений в матричном виде:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Получим матричное уравнение для выходной переменной:
/>
/>
/>
Построение сигнального графа.
Перепишем уравнения в общем, виде для построения графа системы:
/>
Построение графа произведем в два шага:
Шаг 1. Ставим точки входа, выхода системы />и векторы параметров
Шаг 2. Соединяем все параметры связями согласно системе уравнений.
/>Построим структурную схему.
/>/>/>/>
/>/>
/>/>/>/>/>/>/>/>
/>
/>/>/>/>
/>/>/>/>
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>
/>/>e X 3X 3X 2X 2i2
/>
/>/>
/>
/>/>
/>/>/>/>
X 1X 1
Нахождение передаточной функции по формуле Мейсона.
k-количество возможных путей от входа к выходу
/>-определитель графа
Pk-коэффициент передачи k пути от входа к выходу
/>-определитель всех касающихся контуров при удалении k-ого пути
/>=1-(сумма коэффициентов передачи всех отдельных контуров)+(сумма всевозможных произведений из двух некасающихся контуров) — (сумма всевозможных комбинаций из трех некасающихся контуров)+…+…
Последовательность нахождения w(p) по формуле Мейсона:
В данном случае есть 1 путь от входа к выходу:
/>
В системе имеется 4 замкнутых контуров:
/>
/>
/>
/>
Определитель системы включает 4 контура и 2 пары некасающихся контуров L1,L2; L1,L4
/>
Количество сомножителей равно количеству прямых путей. Выражение для /> записывается как выражение для />, но разрываются контуры, через которые проходит прямой путь Pi.
Сомножитель /> для первого пути. При размыкании первого пути 2 контура размыкаются, кроме L2,L4
/>
Запишем и преобразуем выражение передаточной функции:
/>
/>
/>
/>/>/>
/>
Найдем переходную функцию и построим ее график:
/>
/>
/>Найдем амплитудно-частотную характеристику (АЧХ):
/>Найдем фаза частотную характеристику (ФЧХ):
/>
Определим оценки качества системы: прямые и косвенные.
Прямые оценки определяются графически по графику переходного процесса.
/>
Время переходного процесса: tn=11
Перерегулирование:
/>
Колебательность: п=0,5
Время нарастания регулируемой величины: t=0,385
Время первого согласования: tm=0,66
Косвенные оценки качества системы определяются по графику АЧХ.
/>
Колебательность:
/>
Резонансная частота: wp=0,83
Частота среза: wсp=10
/>
Полоса пропускания частот: />
II-часть
Задание1: По заданной корреляционной функции Kx(t) определить спектральную плотность Sx(w) для белого шума, который подается на вход формирующего фильтра.
/>По данной корреляционной функции определим спектральную плотность:
/>
/>/>/>Найдем корни характеристических уравнений передаточной функции фильтра:
Изобразим эти корни на комплекснрй плоскости:
/>/>
Система будет устойчивой, если корни характеристического уравнения лежат во 2-ом квадранте, следовательно, условию устойчивости системы соответствуют корни:
P7= -0,583+7,05i
P9= — 0,550+9,98i
P10= -0,570
/>Из этого следует, что передаточная функция фильтра будет иметь
следующий вид:
С учетом фильтра наша схема будет иметь следующий вид:
/>/>/>/>/>
/>/>Найдем переходную функцию данной системы, построим ее график и определим прямые оценки качества системы.
/>
Вывод: По графику видно, что фильтр вносит в систему изменения, приводящие к неустойчивости системы. Вследствие чего оценки качества системы определить нельзя.