Реферат: Синтез частотно-избирательного фильтра

--PAGE_BREAK--Задание
1.      Представить данные на синтез частотно-избирательного фильтра в графической форме с использованием нормированной частоты <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_455838063-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1028">.

2.      Определить технические требования к нормированному ФНЧ прототипу: тип и порядок фильтра.

3.      Найти координаты нулей и полюсов нормированной передаточной функции ФНЧ прототипа.

4.      Найти лестничную структуру ФНЧ прототипа с нормированными элементами.

5.      Определить координаты нулей и полюсов передаточной функции синтезируемого частотно-избирательного фильтра. Построить график АЧХ с использованием денормированной частоты <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_455838263-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1029">.

6.      Определить лестничную структуру синтезируемого фильтра с нормированными элементами и провести денормирование элементов.

7.      Выбрать возможные варианты RLC-звеньев первого и второго порядков, предназначенных для каскадной реализации фильтра, рассчитать величины элементов и составить полную схему фильтра.

8.      Уменьшив частотные параметры на два порядка:

8.a.   Составить схему и провести расчет элементов для гираторной реализации фильтра.

8.b.   Выбрать возможные варианты ARC-звеньев первого и второго порядков, предназначенные для безиндукционной каскадной реализации фильтра, рассчитать величины элементов и составить полную схему фильтра.

9.      Сделать вывод, дав сравнительную характеристику различным вариантам реализации синтезируемого фильтра.
Исходные данные
Задача синтеза фильтра состоит в разработке электрической схемы устройства, обладающего требуемыми частотными и временными характеристиками. Курсовая  работа предполагает проектирование фильтра на основе требования к форме его характеристики затухания. При синтезе полосно-пропускающего фильтра вводится требование к верхним и нижним граничным частотам полосы пропускания (<img width=«27» height=«23» src=«ref-1_455838461-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1030">, <img width=«29» height=«23» src=«ref-1_455838676-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1031">, <img width=«24» height=«24» src=«ref-1_455838895-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1032">, <img width=«27» height=«24» src=«ref-1_455839110-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1033">).

<img width=«336» height=«263» src=«ref-1_455839326-17069.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: Рисунок 1» v:shapes="_x0000_s1063">Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) фильтра <img width=«39» height=«23» src=«ref-1_455856395-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1034"> и характеристика затухания <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_455856640-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1035"> связаны друг с другом выражением

<img width=«127» height=«23» src=«ref-1_455856876-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1036">,

поэтому при рассмотрении требований к АЧХ необходимо вместо допусков <img width=«21» height=«23» src=«ref-1_455857236-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1037"> и <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_455857439-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1038"> ввести параметры: <img width=«23» height=«23» src=«ref-1_455857641-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1039">  — допустимую неравномерность в полосе пропускания и <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_455857853-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1040">  — максимально допустимую передачу в полосе задержания, причем

<img width=«112» height=«24» src=«ref-1_455858062-295.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041">,       <img width=«88» height=«25» src=«ref-1_455858357-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1042">.

Типичная АЧХ полосно-пропускного фильтра Чебышева приведена на рисунке.
Процедура проектирования частотно-избирательного фильтра включает в себя два основных этапа:

1.      Этап проектирования, в ходе которого подбирается передаточная функция, удовлетворяющая заданным требованиям (АЧХ, выделенная из аппроксимирующей передаточной функции, не должна выходить за пределы заданного коридора допусков);

2.      Этап реализации, суть которого – в выборе принципа реализации передаточной функции, разработке и расчете конкретной схемы фильтра, обладающего найденной передаточной функцией.

Порядок выполнения первого этапа достаточно хорошо разработан, поставленная задача решается с использованием какого-либо из многочисленных справочников по расчету фильтров. Решение второй задачи в рамках второго этапа многовариантно. Это связано с тем, что известно довольно много принципов и схем, позволяющих реализовать найденную передаточную функцию.
    продолжение
--PAGE_BREAK--Аппроксимация частотной характеристики фильтра Последовательность шагов
На этапе аппроксимации необходимо проделать следующее:

1.      Выбрать тип фильтра.

2.      Пересчитать исходные данные в требования к фильтру – прототипу нижних частот (ФНЧ-прототипу).

3.      Определить минимальный порядок ФНЧ-прототипа, нули и полюсы его передаточной функции (с помощью справочника).

4.      Пересчитать нули и полюса ФНЧ-прототипа в нули и полюсы синтезируемого фильтра.

5.      Записать передаточную функцию фильтра, найти и построить АЧХ или характеристику затухания.
Тип фильтра
Существует ряд типов фильтров, различающихся по характеру их передаточных функций. Например, фильтр Баттерворта, фильтр Чебышева, эллиптический (Золоторева — Каура) фильтр. Каждый из указанных типов в определенном смысле оптимален. Главная же особенность состоит в том, что заданную избирательность фильтр Чебышева обеспечивает при меньшем порядке, чем фильтр Баттерворта, а эллиптический фильтр в этом смысле лучше чебышевского.
Требования к ФНЧ-прототипу
Для того чтобы не было привязки начального этапа расчета к конкретным значениям частоты и, следовательно, приводимые в справочниках таблицы и графики имели большую общность, осуществляется нормировка частотной оси и ее трансформация таким образом, чтобы свести характеристики ФНЧ, ФВЧ, ППФ, ПЗФ к характеристикам эквивалентного ФНЧ-прототипа.

Амплитудно-частотная характеристика ФНЧ-прототипа определена на нормированной оси частот, причем граничная частота полосы пропускания <img width=«51» height=«23» src=«ref-1_455858638-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1043">, а граничная частота полосы задержания <img width=«48» height=«24» src=«ref-1_455858863-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1044">. В качестве нормирующей частоты для ФНЧ и ФВЧ выбирается граничная частота полосы пропускания <img width=«21» height=«23» src=«ref-1_455859095-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1045">, а для ППФ и ПЗФ – центральная частота полоса пропускания (задержания) <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_455859305-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046">. Формулы для вычисления нормированных частот синтезируемого фильтра и его ФНЧ-прототипа приведены в таблице 2.1.[1] Обозначение частоты с тильдой (<img width=«17» height=«21» src=«ref-1_455859508-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047">) относится к проектируемому фильтру, а без тильды (<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_455838063-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048">) – к ФНЧ-прототипу. При синтезе ППФ и ПЗФ определяется коэффициент геометрической асимметрии <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_455859912-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049">, в зависимости от значения, которого по-разному вычисляют нормированные частоты. Важно проконтролировать, чтобы всегда выполнялись условия: <img width=«95» height=«25» src=«ref-1_455860104-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050"> и <img width=«89» height=«27» src=«ref-1_455860401-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051">. В противном случае невозможно правильное преобразование ППФ и ПЗФ из ФНЧ-прототипа.

Итак, требования к АЧХ ФНЧ-прототипа найдены. Они выражаются тремя параметрами: <img width=«21» height=«23» src=«ref-1_455857236-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052">, <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_455857439-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053"> и <img width=«23» height=«24» src=«ref-1_455861094-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054">.
Порядок, нули и полюсы ФНЧ-прототипа
Минимальный порядок ФНЧ-прототипа, необходим для того, чтобы его АЧХ укладывались в коридор допусков, определяется с помощью специальных графиков, которые можно найти в справочнике. Из нужной таблицы и подходящей строки необходимо выписать нормированные координаты нулей и полюсов. Нули лежат на мнимой оси плоскости комплексной частоты <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_455861303-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055">.
Нули и полюсы синтезируемого фильтра
Пересчет координат нулей и полюсов ФНЧ-прототипа в соответствующие параметры синтезируемого фильтра осуществляется по формулам, приведенным в таблице 2.4.[2] При этом следует обратить внимание на следующие моменты:

1.      Данные формулы получены на основе правил замены комплексных переменных <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_455861303-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057"> при переходе от ФНЧ-прототипа к другим видам фильтров;

2.      Каждый полюс или нуль при переходе от ФНЧ-прототипа к ППФ или ПЗФ порождает два полюса или два нуля, так что порядок синтезируемого фильтра по сравнению с прототипом увеличивается в два раза;

3.      Помимо нулей, вычисленных по приведенным формулам, появляются дополнительные нули <img width=«47» height=«24» src=«ref-1_455861701-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058">, количество которых (кратность) равна разности между числом полюсов <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_455861922-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059"> и нулей <img width=«17» height=«15» src=«ref-1_455862114-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060"> в ФНЧ-прототипе; сказанное справедливо для ФВЧ и ППФ и обусловлено пересчетом в начало координат <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_455861303-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061"> — плоскости <img width=«49» height=«23» src=«ref-1_455862510-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062"> — кратного нуля ФНЧ-прототипа, расположенного в бесконечности;

4.      При переходе к ПЗФ каждый из <img width=«49» height=«23» src=«ref-1_455862510-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063"> нулей ФНЧ-прототипа, находящихся в бесконечности, пересчитывается в пару нулей <img width=«57» height=«24» src=«ref-1_455862996-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064">;

5.      В результате пересчетов оказывается, что для ФНЧ и ПЗФ количество нулей равно количеству полюсов, а для ППФ число нулей на <img width=«49» height=«23» src=«ref-1_455862510-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065"> меньше число полюсов;

6.      При вычислении полюсов ППФ и ПЗФ группируются значения <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_455863478-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066"> и <img width=«25» height=«29» src=«ref-1_455863694-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067"> с разными индексами "+" и "–", в результате чего полюс, расположенный на <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_455861303-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068"> — плоскости ближе к мнимой оси, имеет меньшую частоту.
    продолжение
--PAGE_BREAK--Передаточная функция и АЧХ.
Располагая координатами нулей и полюсов синтезируемого фильтра, можно записать передаточную функцию:

<img width=«165» height=«91» src=«ref-1_455864113-619.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069">,                                                      (2.1)

где <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_455864732-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070"> — количество нулей, <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_455864939-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071"> — количество полюсов синтезируемого фильтра, <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_455865142-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072"> — нормировочный коэффициент. Диаграмма нулей и полюсов определяет передаточную функцию с точностью до постоянного множителя, но на форму АЧХ это не оказывает влияния. АЧХ удобно представлять в нормированном виде. С этой целью коэффициент <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_455865142-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073"> выбирается таким, чтобы <img width=«132» height=«27» src=«ref-1_455865568-353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074">. Значения коэффициента <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_455865142-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075"> для различных видов приведены в таблице 2.5.[3] В ней <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_455866134-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076"> — это коэффициент, взятый из последней колонки таблицы справочника, <img width=«87» height=«28» src=«ref-1_455866327-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">  — параметр преобразования для ППФ и ПЗФ, <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_455861922-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078"> — порядок ФНЧ-прототипа. Итак, для фильтра Чебышева ППФ значение коэффициента <img width=«64» height=«28» src=«ref-1_455866813-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079">.
Расчет.
Заданные технические требования представлены как Таблица 1.

Таблица 1



Отталкиваясь от таблицы 2.1[4], рассчитаем нормированные частоты синтезируемого фильтра:

<img width=«330» height=«167» src=«ref-1_455868334-798.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: Схема 1. Схема ФНЧ-прототипа. » v:shapes="_x0000_s1033"><img width=«64» height=«32» src=«ref-1_455869132-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">,       <img width=«144» height=«33» src=«ref-1_455869413-392.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087">;

<img width=«68» height=«32» src=«ref-1_455869805-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088">,      <img width=«145» height=«33» src=«ref-1_455870093-387.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">;

<img width=«71» height=«29» src=«ref-1_455870480-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">,       <img width=«141» height=«31» src=«ref-1_455870768-361.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">;

<img width=«69» height=«29» src=«ref-1_455871129-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">,        <img width=«117» height=«29» src=«ref-1_455871417-324.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093">;

<img width=«67» height=«29» src=«ref-1_455871741-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094">,         <img width=«137» height=«31» src=«ref-1_455872032-361.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">;

<img width=«65» height=«29» src=«ref-1_455872393-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096">,         <img width=«115» height=«29» src=«ref-1_455872682-332.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097">;

<img width=«83» height=«29» src=«ref-1_455873014-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">,  <img width=«149» height=«29» src=«ref-1_455873337-397.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">;

Коэффициент геометрической асимметрии <img width=«65» height=«31» src=«ref-1_455873734-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100"> равен 1. А центральна циклическая частота полосы пропускания <img width=«89» height=«24» src=«ref-1_455874023-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">.

После проведенного анализа данных с помощью справочника, были определены параметры: тип, порядок фильтра, полюсы и нули ФНЧ-прототипа, а также нормированные значения элементов цепи.

Таблица 2



Отталкиваясь от таблицы 2.4[5], рассчитаем полюсы и нули необходимого нам ППФ.



Полученные значения запишем как Таблица 3и отобразим на диаграмме нулей и полюсов.

Таблица 3



<img width=«288» height=«334» src=«ref-1_455881850-1590.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">

<img width=«288» height=«334» src=«ref-1_455883440-1523.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">



Теперь с помощью формулы 2.1, где <img width=«65» height=«29» src=«ref-1_455884963-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">, <img width=«99» height=«25» src=«ref-1_455885230-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">, а <img width=«63» height=«21» src=«ref-1_455885538-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">, по полученным полюсам и нулям построим АЧХ ППФ, причем АЧХ равно <img width=«43» height=«27» src=«ref-1_455885788-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">.

<img width=«614» height=«462» src=«ref-1_455886044-3434.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135">
    продолжение
--PAGE_BREAK--Реализация аналогового фильтра. Лестничная <img width=«27» height=«19» src=«ref-1_455837409-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136"> — структура. Теория.
<img width=«27» height=«19» src=«ref-1_455837409-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137"> — фильтр с лестничной структурой представляет собой пассивную линейную цепь, построенную путем соединения индуктивностей и емкостей. Такая схема имеет многочисленные внутренние связи. Метод  расчета лестничных структур предполагает переход к операторной схеме замещения цепи. Запись ее передаточной функции и сравнение выраженных через элементы схемы коэффициентов полиномов в числителе и знаменателе передаточной функции с коэффициентами полиномов передаточной функции, полученной на этапе аппроксимации. Решение сформированной системы уравнений позволяет определить значения элементов схемы. Такие расчеты выполнены на ЭВМ, а их результаты занесены в справочник.

При реализации <img width=«27» height=«19» src=«ref-1_455837409-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138"> - структуры следует совершить следующие шаги:

1.      Выписать из таблицы справочника нормированные значения элементов схемы ФНЧ-прототипа;

2.      Вычислить, используя выписанные значения, величины элементов ППФ;

3.      Денормировать значения элементов;

4.      Составить принципиальную схему фильтра.

В схемах могут использоваться идеальные  и реальные источники тока или напряжения, применяемые для ввода входного сигнала. Все элементы нормированы относительно сопротивления нагрузки и граничной частоты полосы пропускания. Порядок фильтра определяется числом последовательных ветвей (звеньев), которые для удобства пронумерованы.

При проектировании ФВЧ, ППФ, ПЗФ необходимо пересчитать значения элементов схемы ФНЧ-прототипа в значения элементов синтезируемого фильтра и нарисовать его схему. С этой целью нужно обратится к таблице 3.1.[6]

Чтобы получить реальные величины индуктивностей и емкостей, следует провести операцию денормирования значений элементов. Отношение сопротивления нагрузки к реальному сопротивлению индуктивности или емкости сохраняется в нормированном и денормированном виде, а именно:

<img width=«152» height=«47» src=«ref-1_455890102-465.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">,         <img width=«147» height=«47» src=«ref-1_455890567-444.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140">.

Отсюда находим формулы для денормирования емкостей и индуктивностей:

<img width=«65» height=«27» src=«ref-1_455891011-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141">,       <img width=«53» height=«29» src=«ref-1_455891272-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">,

где <img width=«24» height=«23» src=«ref-1_455868121-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143"> - сопротивление нагрузки (приводится в задании), <img width=«128» height=«24» src=«ref-1_455891738-336.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">.

В результате расчета элементов может оказаться, что номиналы индуктивностей и емкостей одиночных параллельных контуров на несколько порядков отличаются от значений соответствующих элементов, стоящих в других звеньях. Это неудобно, поскольку повышает чувствительность характеристик фильтра к изменениям величин элементов. Чтобы избежать ухудшения характеристик, следует использовать автотрансформаторное включение контура, где <img width=«47» height=«27» src=«ref-1_455892074-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145">, <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_455892317-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146">, <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_455861922-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147">  — коэффициент трансформации.
Расчет.
Итак, используя вышесказанное, получим лестничную <img width=«27» height=«19» src=«ref-1_455837409-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148"> - структуру:

<img width=«247» height=«108» src=«ref-1_455892964-402.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">

<img width=«331» height=«60» src=«ref-1_455893366-383.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150">

<img width=«41» height=«25» src=«ref-1_455893749-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151">, <img width=«53» height=«21» src=«ref-1_455893982-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">

<img width=«49» height=«21» src=«ref-1_455894215-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">, <img width=«43» height=«27» src=«ref-1_455894452-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">



Схема 2. Принципиальная схема синтезируемого ППФ.

<img width=«474» height=«126» src=«ref-1_455894687-976.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">
Пересчитаем значения элементов (<img width=«75» height=«21» src=«ref-1_455895663-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">):



<img width=«20» height=«23» src=«ref-1_455896326-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159"> и <img width=«21» height=«23» src=«ref-1_455896527-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">, <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_455896735-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161"> и <img width=«21» height=«23» src=«ref-1_455896942-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">, <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_455897147-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163"> и <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_455897346-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">, <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_455897550-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165"> и <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_455897753-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166"> отличаются на порядок. Чтобы устранить такие резкие различия, Положим коэффициент трансформации <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_455897956-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">. В этом случае (смотри таблицу 3.2[7]) получим новые значения:

Номер, i

<img width=«19» height=«24» src=«ref-1_455898171-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">

<img width=«16» height=«24» src=«ref-1_455898372-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">

1

0.489090

2.044611

2

0.236559

4.227272

3

0.487878

2.049687

4

0.438596

2.280000



Проведем денормирование элементов, полученной электрической цепи:

Номер, i

<img width=«19» height=«24» src=«ref-1_455898575-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">, [нФ]

<img width=«17» height=«24» src=«ref-1_455898778-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">, [мГн]

1

15.57

0.163

2

7.53

0.336

3

15.53

0.163

4

13.96

0.181


    продолжение
--PAGE_BREAK--Каскадное соединение <img width=«36» height=«19» src=«ref-1_455837617-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172"> - звеньев. Теория.
Существует возможность реализовать фильтр путем каскадного соединения <img width=«36» height=«19» src=«ref-1_455837617-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173"> - звеньев первого и второго порядка. Каждое из звеньев рассчитывается независимо от других. Для сведения к минимуму (в первом приближении – исключения вообще) взаимовлияния звеньев между ними ставят буферный каскад (БК). Такой каскад должен обладать высоким входным сопротивлением, значительно превышающим выходное сопротивление <img width=«36» height=«19» src=«ref-1_455837617-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174"> - звеньев, и малым выходным сопротивлением, позволяющим считать БК почти идеальным источником напряжения для последующего <img width=«36» height=«19» src=«ref-1_455837617-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175"> - звена. В других типах БК выходная цепь работает как источник тока. В качестве БК используется эмиттерный или истоковый повторитель, повторитель на операционном усилителе (ОУ), усилитель на транзисторе или ОУ.

Синтез каскадной структуры <img width=«36» height=«19» src=«ref-1_455837617-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176"> - фильтра нужно начать с представления передаточной функции, полученной на этапе аппроксимации, в виде произведения дробей-сомножителей.

Важно правильно сгруппировать нули и полюсы, чтобы минимизировать чувствительность схемы к изменениям параметров элементов. Наиболее простое правило состоит в том, что нужно объединять нули с ближайшими к ним полюсами.

Каждый фрагмент передаточной функции реализуется своей схемой. Метод расчета состоит в сопоставлении коэффициентов передаточной функции, полученной на этапе аппроксимации, с коэффициентами, выраженными через элементы схемы. В таблице 3.3[8] приведены семь вариантов схем <img width=«36» height=«19» src=«ref-1_455837617-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177"> - звеньев первого и второго порядка, входной сигнал, в которые вводится источником напряжения, показаны диаграммы нулей и полюсов и их связь с передаточной функцией. Рядом со схемами помещены денормированные передаточные функции <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_455900312-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">, где <img width=«65» height=«24» src=«ref-1_455900557-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179"> для ППФ.

В таблице 3.3 дается также порядок расчета каждого звена. При расчете любой из схем есть одна степень свободы. Предлагается задавать значение сопротивления, хотя вполне можно было бы задаваться величиной емкости или индуктивности, а остальные элементы рассчитать на основе имеющихся связей. Активные сопротивления, стоящие ближе к входу в последовательной ветви, должны учитывать сопротивление источника напряжения, подключенного к входу схемы. В качестве этого сопротивления может выступать выходное сопротивление предыдущего буферного каскада. Однако, если <img width=«72» height=«24» src=«ref-1_455900807-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">, то сопротивлением источника <img width=«35» height=«24» src=«ref-1_455901069-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181"> можно пренебречь. В таблице 3.4[9] представлены аналогичные сведения о схеме, входной сигнал, в которые вводится источником тока. В этом случае передаточная функция определяется как отношение изображения по Лапласу выходного напряжения к изображению входного тока и имеет смысл сопротивления прямой передачи.

Выбор типов звеньев, включаемых в синтезируемую схему, определяется на основе анализа диаграммы нулей и полюсов, а также вида передаточных функций первого и второго порядка, произведение которых дает реализуемую функцию. Следует обращать внимание на то, что источником напряжения или тока является БК для последующего <img width=«36» height=«19» src=«ref-1_455837617-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182"> - звена.
Расчет.
Итак, обратимся к таблице 3.4 и выберем  нужный нам вариант схем:

Схема и диаграмма нулей и полюсов.

Передаточная функция

Расчет

<img width=«213» height=«306» src=«ref-1_455901517-1077.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">

<img width=«152» height=«48» src=«ref-1_455902594-445.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">

<img width=«197» height=«47» src=«ref-1_455903039-517.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">

<img width=«153» height=«47» src=«ref-1_455903556-452.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">, <img width=«47» height=«23» src=«ref-1_455904008-229.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">

<img width=«143» height=«47» src=«ref-1_455904237-425.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">

1.       Выбор <img width=«43» height=«19» src=«ref-1_455904662-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189"> кОм или <img width=«52» height=«23» src=«ref-1_455904886-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">,

2.       <img width=«93» height=«45» src=«ref-1_455905131-306.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">,

3.       <img width=«75» height=«45» src=«ref-1_455905437-325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">.



Сгруппируем нули и полюсы, отталкиваясь от диаграммы нулей и полюсов ППФ:



Запишем передаточную функцию, исходя из диаграмм нулей и полюсов.

<img width=«511» height=«47» src=«ref-1_455916474-914.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">
И нарисуем принципиальную схему синтезируемого ППФ, см. Схема 3.

Схема 3. Каскадные соединения RLC-звеньев.

<img width=«584» height=«102» src=«ref-1_455917388-956.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">


    продолжение
--PAGE_BREAK--Гираторная реализация безиндуктивного фильтра. Теория.
При использовании катушек индуктивности на низких частотах возникает множество неудобств, поэтому разработаны схемы, лишенные этих элементов. Рассмотрим схему фильтра, получаемую из лестничной <img width=«27» height=«19» src=«ref-1_455837409-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227">-структуры заменой катушек индуктивности на гираторы, в качестве нагрузки которых используется емкостное сопротивление. Гиратором называется устройство, преобразующее импеданс. В частности, гиратор, нагруженный на емкость, ведет себя на входных зажимах как индуктивность. Схема гиратора представлена как Схема 4.

Схема 4. Гиратор.

<img width=«424» height=«191» src=«ref-1_455918552-984.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228">

Гирпторные схемы являются разновидностью активных <img width=«27» height=«19» src=«ref-1_455919536-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">-фильтров (<img width=«37» height=«19» src=«ref-1_455837839-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230">-фильтров) и часто носят название активных лестничных фильтров (АЛФ).  Основное соотношение гиратора:

<img width=«60» height=«27» src=«ref-1_455919973-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231">,                                                        (3.2)

где <img width=«51» height=«21» src=«ref-1_455920238-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232">  — коэффициент гирации; <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_455920477-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233">  — сопротивление, используемое в схеме гиратора.

В частности, если <img width=«76» height=«27» src=«ref-1_455920675-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">, то получим из (3.2) <img width=«96» height=«24» src=«ref-1_455920959-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235">, где <img width=«80» height=«24» src=«ref-1_455921258-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236">.

На рисунке 3.6[10] представлены основные преобразования индуктивностей, включенных в последовательные и параллельные ветви, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_455921535-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237"> — и <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_455921725-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238">-образных звеньев индуктивностей <img width=«27» height=«19» src=«ref-1_455837409-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239">-структур. Такие преобразования позволяют составить схему АЛФ с наименьшим числом гираторов.

Порядок расчета АЛФ следующий:

1.      составить схему АЛФ на основе схемы <img width=«27» height=«19» src=«ref-1_455837409-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240">-фильтра, рассчитанной ранее;

2.      найти емкости, полученные преобразованием соответствующих индуктивностей, по формуле <img width=«49» height=«27» src=«ref-1_455922335-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241">. Коэффициент гирации подбирается таким, чтобы получающиеся значения емкостей были одного порядка со значениями емкостных элементов, уже использованными в лестничной <img width=«27» height=«19» src=«ref-1_455837409-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242">-структуре.
Расчет.
Используя одну из схем замещения на рисунке 3.6.

Схема 5. Схема замещения.

<img width=«472» height=«120» src=«ref-1_455922798-687.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243">

Составим схему АЛФ на основе <img width=«27» height=«19» src=«ref-1_455837409-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244">-фильтра.

Схема 6. Гираторная реализация безиндуктивного фильтра.

<img width=«585» height=«89» src=«ref-1_455923693-915.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245">

Уменьшим заданные частоты на порядок, то есть <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_455859305-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246"> = 1000 [Гц], <img width=«27» height=«23» src=«ref-1_455838461-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247"> = 1200 [Гц], <img width=«29» height=«23» src=«ref-1_455925026-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248"> = 833 [Гц], <img width=«24» height=«24» src=«ref-1_455838895-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249"> = 1500 [Гц], <img width=«27» height=«24» src=«ref-1_455925460-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250"> = 667 [Гц]. И пересчитаем значения элементов для новых частот:

Номер, i

<img width=«19» height=«24» src=«ref-1_455898575-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251">, [мкФ]

<img width=«17» height=«24» src=«ref-1_455898778-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252">, [мГн]

1

14.01

1.808

2

0.753

33.64

3

13.98

1.812

4

1.396

18.14



Теперь найдем емкости, полученные преобразованием соответствующих индуктивностей, по формуле <img width=«49» height=«27» src=«ref-1_455922335-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253">. Пусть <img width=«71» height=«23» src=«ref-1_455926338-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254"> и <img width=«72» height=«23» src=«ref-1_455926599-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255">, тогда элементная база схемы будет выглядеть следующим образом: <img width=«71» height=«23» src=«ref-1_455926861-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256"> [мкФ], <img width=«76» height=«24» src=«ref-1_455927111-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257"> [мкФ], <img width=«75» height=«23» src=«ref-1_455927380-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258"> [мкФ], <img width=«75» height=«24» src=«ref-1_455927645-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259"> [мкФ], <img width=«73» height=«24» src=«ref-1_455927918-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260"> [мкФ], <img width=«76» height=«25» src=«ref-1_455928180-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261"> [мкФ], <img width=«75» height=«23» src=«ref-1_455928449-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262"> [мкФ], <img width=«76» height=«24» src=«ref-1_455928715-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263"> [мкФ].
    продолжение
--PAGE_BREAK--<img width=«37» height=«19» src=«ref-1_455837839-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264">-фильтр с каскадной структурой. Теория.
Подход к реализации <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_455837839-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265">-фильтра, собираемого из звеньев первого и второго порядка, аналогичен тому способу построения фильтра, который был описан при реализации <img width=«36» height=«19» src=«ref-1_455837617-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266">-звеньев. <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_455837839-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267">-звенья строятся без использования индуктивностей. Звено представляет собой соединение одного, двух или трех операционных усилителей (ОУ) с резистивно-емкостной цепью. Применение обратных связей позволяет реализовывать все возможные конфигурации действительных и комплексных нулей и полюсов. Перед тем как приступить к расчету звеньев, необходимо разбить передаточную функцию, полученную на этапе аппроксимации, на сомножители. Тем самым нули и полюсы будут поделены на группы, поддающиеся реализации с помощью звеньев первого и второго порядка. Примеры группирования нулей и полюсов даны на рисунке 3.4.[11] Конкретные схемы, диаграммы полюсов и нулей, соответствующие им, а также расчетные соотношения можно отыскать в таблице 3.5.[12]

При расчете следует иметь в виду:

1.      Выбор той или иной схемы, включаемой в каскадное соединение, определяется диаграммой нулей и полюсов синтезируемого фильтра. Возможно, также ориентироваться на вид передаточной функции звена.

2.      Звенья на одном операционном усилителе предназначены для реализации полюсов с невысокими добротностями. Добротность полюса вычисляется по формуле <img width=«53» height=«32» src=«ref-1_455929883-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268">. Если <img width=«48» height=«21» src=«ref-1_455930161-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269">, то можно использовать простые схемы типа 3…7. При <img width=«48» height=«21» src=«ref-1_455930398-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270"> следует применять более сложные схемы типа 8…12.

3.      <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_455837839-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271">-схемы сочетать фильтрацию с усилением. Заданный коэффициент усиления следует распределить по каскадам так, чтобы <img width=«127» height=«23» src=«ref-1_455930861-326.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272">, где <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_455931187-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273">  — общий коэффициент усиления, <img width=«84» height=«23» src=«ref-1_455931393-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274">  — коэффициент усиления каскадов.

4.      После расчета элементов звеньев нужно выбрать номинальные значения, наиболее близкие к вычисленным, и, кроме того, подобрать конкретный тип микросхемы ОУ.

Предлагаемый расчет <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_455837839-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275">-звеньев упрощенный. С более сложной методикой, включающей в себя оценку нестабильности характеристик фильтра, расчет нелинейных искажений и допустимого динамического диапазона, можно ознакомится в дополнительной литературе.

Порядок включения каскадов тоже важен. Нужно, чтобы перед звеном, имеющим всплеск АЧХ на некоторой частоте, стояло звено, обладающее на этой частоте небольшим значение АЧХ. Это достигается включением каскадов друг за другом в порядке увеличения добротности реализуемых полюсов.
Расчет.
Итак, обратимся к таблице 3.5 и выберем  нужный нам вариант схем:

Схема и диаграмма нулей и полюсов.

Передаточная функция

Расчет

<img width=«167» height=«198» src=«ref-1_455931905-939.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276">

<img width=«87» height=«28» src=«ref-1_455932844-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277">

<img width=«208» height=«27» src=«ref-1_455933134-464.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278">

<img width=«149» height=«29» src=«ref-1_455933598-412.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279">

<img width=«67» height=«29» src=«ref-1_455934010-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280">

<img width=«59» height=«24» src=«ref-1_455934285-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281">

1.       <img width=«84» height=«32» src=«ref-1_455934542-306.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282">

2.       <img width=«85» height=«32» src=«ref-1_455934848-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283">, где <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_455931187-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284">  — коэффициент усиления звена, <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_455935371-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285"> и <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_455935580-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286">  — координаты полюса ФНЧ-прототипа, <img width=«72» height=«29» src=«ref-1_455935790-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287">

3.       Выбор <img width=«51» height=«27» src=«ref-1_455936077-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288"> [мкФ]

4.       <img width=«73» height=«27» src=«ref-1_455936326-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289">

5.       <img width=«159» height=«37» src=«ref-1_455936605-426.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290">

6.       <img width=«132» height=«28» src=«ref-1_455937031-395.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291">

7.       <img width=«105» height=«24» src=«ref-1_455937426-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292">

<img width=«167» height=«211» src=«ref-1_455937737-997.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293">

<img width=«67» height=«29» src=«ref-1_455938734-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294">

<img width=«127» height=«29» src=«ref-1_455939013-362.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295">

<img width=«88» height=«27» src=«ref-1_455939375-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296">

<img width=«77» height=«29» src=«ref-1_455939671-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297">

<img width=«79» height=«29» src=«ref-1_455939985-312.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298">

1.       <img width=«92» height=«32» src=«ref-1_455940297-312.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299">

2.       <img width=«85» height=«32» src=«ref-1_455934848-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300">, где <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_455931187-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301">  — коэффициент усиления звена, <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_455935371-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302"> и <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_455935580-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303">  — координаты полюса ФНЧ-прототипа, <img width=«72» height=«29» src=«ref-1_455935790-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304">

3.       Выбор <img width=«51» height=«27» src=«ref-1_455936077-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305"> [мкФ]

4.       <img width=«147» height=«29» src=«ref-1_455942087-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306">

5.       <img width=«104» height=«29» src=«ref-1_455942461-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307">

6.       <img width=«60» height=«36» src=«ref-1_455942783-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308">

7.       <img width=«73» height=«24» src=«ref-1_455943072-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309">

 

Уменьшим заданные частоты на порядок, то есть <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_455859305-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310"> = 1000 [Гц], <img width=«27» height=«23» src=«ref-1_455838461-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311"> = 1200 [Гц], <img width=«29» height=«23» src=«ref-1_455925026-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312"> = 833 [Гц], <img width=«24» height=«24» src=«ref-1_455838895-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1313"> = 1500 [Гц], <img width=«27» height=«24» src=«ref-1_455925460-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1314"> = 667 [Гц].

Сгруппируем нули и полюсы, отталкиваясь от диаграммы нулей и полюсов ППФ:



Запишем передаточную функцию, исходя из диаграмм нулей и полюсов.

<img width=«511» height=«47» src=«ref-1_455965616-953.coolpic» v:shapes="_x0000_i1385">
А теперь найдем принципиальную схему для реализации <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_455837839-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1386">-фильтра.

Схема 7. Схема ARC-реализации.

<img width=«534» height=«111» src=«ref-1_455966793-1612.coolpic» v:shapes="_x0000_i1387">


    продолжение
--PAGE_BREAK--