Реферат: Задача обработки решеток

--PAGE_BREAK--f.

Поскольку<img width=«116» height=«40» src=«ref-1_437109378-402.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065"> является линейно-независимымìíîæåñòâîì функцийнаK, тоотсюдаследует, чтокаждый векторpâ <img width=«61» height=«27» src=«ref-1_437108843-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066"> может бытьединственнымобразомсвязанñ вещественно-значным<img width=«17» height=«19» src=«ref-1_437103911-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067">-полиномомP(k)íà Ê посредствомсоотношения
<img width=«187» height=«53» src=«ref-1_437110231-562.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068">                        (3.2)
Вектор  будет называться положительным, если <img width=«75» height=«25» src=«ref-1_437110793-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069"> на К. Р будет обозначать множество этих векторов, связанных с положительными <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_437103911-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">-полиномами. Из компактности К, как можно показать, следует, что Р является выпуклым конусом с вершиной в начале координат. /Множество С является конусом с вершиной в начале координат, если <img width=«47» height=«25» src=«ref-1_437111295-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071"> подразумевает <img width=«64» height=«25» src=«ref-1_437111537-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072"> для всех <img width=«47» height=«25» src=«ref-1_437111798-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073"> [10]. Конусы являются важными видами множеств в задаче спектральной оценки, поскольку только умножение на положительные вещественные числа переводит корреляционную функцию в другую корреляционную функцию, а <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_437103911-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074">-полином в другой <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_437103911-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">-полином./

Внутреннее произведение вектора r корреляционных выборок и вектора р полиномиальных коэффциентов будет определяться как
<img width=«372» height=«123» src=«ref-1_437112416-1409.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076">           (3.3)
Это внутреннее произведение дает возможность по новому записать <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_437103911-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">-полином: <img width=«124» height=«31» src=«ref-1_437114016-422.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">, где <img width=«28» height=«27» src=«ref-1_437114438-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079"> обозначает вектор с компонентами <img width=«115» height=«33» src=«ref-1_437114672-384.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080">. Отметим также, что если <img width=«101» height=«39» src=«ref-1_437115056-368.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081">, то <img width=«156» height=«39» src=«ref-1_437115424-480.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082">, что cooтветствует выражению соотношению Парсеваля.
1.2.3 Характеристики продолжаемости
Пусть Е обозначает множество продолжаемых векторов корреляции. То есть  <img width=«47» height=«25» src=«ref-1_437115904-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083">, если
<img width=«109» height=«39» src=«ref-1_437116150-377.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084">       (3.4)
для некоторой положительной меры <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_437116527-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085"> на К. Из свойств интеграла следует, что, Е является замкнутым выпуклым конусом с вершиной в начале координат. Кроме того, сечение по Е при <img width=«64» height=«29» src=«ref-1_437116725-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">:

<img width=«172» height=«32» src=«ref-1_437117010-439.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087">       (3.5)

является выпуклой оболочкой компактного множества

<img width=«135» height=«31» src=«ref-1_437117449-414.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088">       (3.6)

является выпуклой оболочкой компактного множества

Итак, Е — замкнутый выпуклый конус с вершиной в начале координат, генерируемой посредством А. Эта характеристика продолжаемой корреляция аналогична той, которую дал первоначально Каратеодори в 1907 году для задачи тригонометрических моментов [I]. Важность этого состоит в том, что множество продолжаемых векторов корреляции описывается в терминах простого множества А. Это дает также ясную геометрическую картину продолжаемости и будет полезно в доказательствах.

Вторая характеристика продолжаемости, которая является более полезной при разработке методов спектральной опенки, происходит из того факта, что Е выражается в виде пересечения всех замкнутых полупространств, содержащих его [10]. Эта характеристика включает дуальность, так как полупространства определяются линейными функционалами, т.е. элементами дуального пространства. Замкнутое полупространство определяется посредством вектора q, и вещественного числа с в виде множества
<img width=«109» height=«33» src=«ref-1_437117863-376.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">                      (3.7)
Чтобы определить отдельные полупространства, содержащие Е, достаточно рассмотреть те корреляционные векторы, которые генерируют Е: положительные кратные векторов во множестве А. Замкнутое полупространство содержит Е тогда и только тогда, когда <img width=«188» height=«31» src=«ref-1_437118239-516.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090"> для каждого <img width=«49» height=«25» src=«ref-1_437118755-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091"> и каждого <img width=«47» height=«25» src=«ref-1_437119012-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">. Поскольку <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_437119249-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093"> можно сделать произвольно большой, должно быть истинным то, что <img width=«73» height=«29» src=«ref-1_437119449-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094">, т.е.  q— член конуса Р. Наименьшее полупространство, содержащее Е для такого qсоответствует выбору с = 0. Итак,
<img width=«173» height=«52» src=«ref-1_437119772-502.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">                  (3.8)
или, словами, следующее.

Теорема о продолжимости:.вектор <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_437120274-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096"> является продолжимым тогда и только тогда, когда <img width=«76» height=«31» src=«ref-1_437120465-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097"> для всех положительных p.

Таким образом, положительные полиномы естественно имеют место в задаче продолжаемости, поскольку они определяют гиперплоскости основы множества Е продолжаемых векторов корреляции. На языке функционального анализа теорема о продолжимости, которая является видом леммы Фаркаша [11], просто констатирует, что Е и Р — положительные сопряженные конусы.[10]. Эта теорема имеет важное следствие относительно перемещения простой характеристики Р, в терминах положительности, на характеристику Е. Хотя введение спектральной основы в рассматриваемую задачу является новым, по существу та же характеристика продолжимости была первоначально использована Кальдероном и Пепинским [l2], и Рудиным [l3].

Рисунок 4 демонстрирует зависимость Е от спектральной основы. Существуют две точки зрения на эту зависимость. Прямая точка зрения отмечает тот факт, что Е является выпуклым конусом, генерированным А; поскольку К уменьшилось, А сжалось и Е теперь меньше, чем на рис.3.  Косвенная точка зрения включает ограничения; множество К ограничивает множество Р посредством условия о положительности, а множество Р ограничивает множество P
посредством теоремы продолжимости. Итак, когда К сжимается, Р растет, и Е сжимается.

Для случая временной последовательности теорема о продолжимости сводится к тесту положительной определенности теплицевой матрицы, образованной из корреляционных выборок. Следовательно, о продолжимости можно говорить как об общем аналоге положительной определенности.

Пример 3.1: Случай временной последовательности; D=1,<img width=«275» height=«31» src=«ref-1_437120788-540.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">.B этом случае, проблема продолжимости сводится к проблеме тригонометрических моментов [9]. Хотя это и не справедливо в общем случае, для случая временной последовательности, как следует из фундаментальной теоремы алгебры, положительный полином может быть факторизован в виде квадрата модуля М-той степени тригонометрического полинома
<img width=«117» height=«37» src=«ref-1_437121328-409.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">.
Внутреннее произведение <img width=«49» height=«31» src=«ref-1_437121737-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100"> становится теплицевой формой в коэффициентах <img width=«47» height=«29» src=«ref-1_437122020-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">
<img width=«235» height=«65» src=«ref-1_437122301-642.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">
Таким образом, требование того, чтобы внутреннее произведение <img width=«49» height=«31» src=«ref-1_437121737-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103"> было положительным для всех полиномов сводится к требованию положительной определенности теплицевой формы, соответствующей корреляционным измерениям.
1.3 Граница и внутренняя часть
Необходимо будет делать различие между границей и внутренней частью множеств Е и Р. Рассмотрение метода Писаренко в разделе 17, к примеру, включает векторы на границах Е и Р. Векторы во внутренней части Е и P являются важными тогда, когда затрагиваются пункции спектральной плотности, как например, в методе спектральной опенки по способу максимальной энтропии [l4].

Границазамкнутого множества состоит из тех членов, которые находятся произвольно близко к некоторому вектору снаружи множества. Внутренняя часть замкнутого множества состоит из тех членов, которые не находятся на границе…

Граница и внутренняя часть конечного измеримого множества не зависит от частного выбора нормы вектора [15]. Кроме того, поскольку Р и Е являются выпуклыми множествами, особенно просто охарактеризовать их внутренний части и границы.

Граница Р, обозначаемая <img width=«28» height=«23» src=«ref-1_437123226-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">, состоит из тех положительных полиномов, которые равны нулю для некоторых <img width=«49» height=«25» src=«ref-1_437118755-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">. Внутренняя часть Р, обозначаемая <img width=«27» height=«27» src=«ref-1_437123707-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">, состоит из тех полиномов, которые строго положительны на К.

Положительные полиномы могут быть использованы для определения границы и внутренней части Е. Граница Е, обозначаемая <img width=«29» height=«23» src=«ref-1_437123914-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">, состоит из тех продолжимых корреляционных векторов, которые превращают в нуль внутреннее произведение с некоторым ненулевым положительным полиномом. Внутренняя часть Е, обозначаемая <img width=«27» height=«27» src=«ref-1_437124145-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">, состоит из тех корреляционных векторов, которые делают строго положительными внутренние произведения с каждым ненулевым положительным полиномом.
1.3.1 Функции спектральной плотности мощности
Многие методы спектральной оценки представляют спектр мощности не как меру, а в виде функции спектральной плотности. Это ведет к модификации задачи продолжимости: если задана фиксированная положительная конечная мера <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_437099509-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">, которая определяет интеграл
<img width=«151» height=«39» src=«ref-1_437124552-470.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">             (3.9)
то какие корреляционные векторы <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_437120274-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111"> могут быть произведены от некоторой строго положительной функции <img width=«44» height=«29» src=«ref-1_437125213-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">? При одном дополнительном ограничении на <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_437099509-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">, которое легко удовлетворяется на практике, модно показать, что векторы, которые могут быть представлены таким образом, являются векторами, находящимися во внутренней части Е. Кроме того, можно показать, что любой век

тор во внутренней части Е может быть представлен в форме /3.9/ для некоторой непрерывной, строго положительной <img width=«44» height=«29» src=«ref-1_437125213-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114">.

Теорема продолжимости для функций спектральной плотности:

Если каждое соседство каждой точки в К имеет строго положительную <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_437099509-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">-меру, то

1/если <img width=«44» height=«29» src=«ref-1_437125213-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116"> равномерно ограничена относительно нуля по К,

то

<img width=«189» height=«39» src=«ref-1_437126440-520.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">;

2/если <img width=«53» height=«32» src=«ref-1_437126960-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">, то

<img width=«151» height=«39» src=«ref-1_437124552-470.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119">
для некоторой непрерывной, строго положительной функции <img width=«44» height=«29» src=«ref-1_437125213-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">.
Доказательство этой теоремы содержится в Приложении А.
1.3.2 Дискретизация спектральной основы
Многие представляющие интерес спектральные основы содержат бесконечное число точек. Эти спектральные основы следует часто аппроксимировать в вычислительных алгоритмах посредством конечного числа точек. Поэтому важно понимать эффекты такой аппроксимации.

Рассмотрим дискретную спектральную основу
<img width=«239» height=«40» src=«ref-1_437127960-534.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121">             (3.10)
Мера <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_437116527-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122"> на дискретной основе полностью характеризуется ее значением <img width=«49» height=«31» src=«ref-1_437128692-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123"> в каждой точке. Итак, обратный интеграл -Фурье сводится к конечной сумме

<img width=«208» height=«67» src=«ref-1_437128984-622.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">                (3.11)

Аналогично, для санкций спектральной плотности
<img width=«296» height=«67» src=«ref-1_437129606-751.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125">     (3.12)
Мера <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_437099509-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126"> может считаться определяющей квадратурное правило для интегралов по спектральной основе.

Из определений продолжимых векторов корреляции и положительных полиномов можно заметить, что, если спектральная основа образуется посредством выбора конечного числа- точек из некоторой исходной спектральной основы, то новое множество Е является выпуклым многогранником, вписанным внутрь исходного множества Е, а новое множество Р является выпуклым многогранником, описанный вокруг первоначального множества Р. Следовательно, новое Е меньше исходного Е, а новое Р больше исходного Р. Достаточно плотная выборка исходной спектральной основы приведет к многогранникам, которые аппроксимируют исходные множества с произвольной точностью. Например, на рис.5 показан эффект аппроксимации спектральной основы <img width=«67» height=«31» src=«ref-1_437130552-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127"> четырьмя выборками <img width=«129» height=«32» src=«ref-1_437130808-405.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128"> для <img width=«96» height=«31» src=«ref-1_437131213-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">. Исходные конусы Е и Р имеют круговое поперечное сечение при <img width=«64» height=«29» src=«ref-1_437116725-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">, как показано на рис.3. Конусы, соответствующие выборочной основе имеют /оба/ квадратное поперечное сечение. Границы новых и старых конусов пересекаются у векторов, соответствующих точкам выборки.
1.4Метод Писаренко
Писаренко описал метод спектральной оценки временной последовательности, в котором спектр моделируется в виде суммы импульсов штос компонента белого шума [5]. Если компонента белого шума выбирается настолько большой, насколько это возможно, то, как он показал, положение и амплитуды импульсов, необходимые для согласования измеренных корреляций, определяются единственным образом. Метод Писаренко будет выведен для более обшей ориентации ИП и для более общей шумовой компоненты. Связь метода Писаренко с вопросом продолжимости будет продемонстрирована.

Продолженная оценка Писаренко будет получена как решение задачи оптимизации, включающей минимизацию линейного функционала над выпуклой областью, определенной линейными ограничениями.

Решение этой задачи оптимизации существует всегда, но оно может быть не единственным. Получается задача двойственной' оптимизации, которая для случая временных последовательностей приводит к знакомой интерпретации метода Писаренко в виде разработки сглаживающего фильтра с ограничениями по методу наименьших квадратов. И опять, решение этой двойственной задачи существует всегда, но может быть не единственным.

Рассматриваются алгоритмы для вычисления по методу Писаренко. Основная задача оптимизации записывается, для спектральной основы, состоящее из конечного числа точек, в воде линейной программы стандартного вида. Рассматривается применение симплекс-метода для решения этой основной линейной программы. Представлена двойственная линейная программа. Рассматриваются также возможность создания вычислительных алгоритмов, более быстрых, чем симплекс-метод.
1.4.1 Метод Писаренко для решеток датчиков
Основой метода Писаренко является однозначное разложение /рис.6/ корреляционного вектора <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_437120274-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131"> на сумму масштабированного вектора корреляции шума <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_437132011-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">, во внутренней части Е, и остаток <img width=«20» height=«21» src=«ref-1_437132207-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133"> на границе Е
<img width=«93» height=«27» src=«ref-1_437132410-286.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">                   (4.1)
Допущение о том, что <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_437132011-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135"> находится в <img width=«27» height=«27» src=«ref-1_437124145-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136"> подразумевает, что такое разложение произвольного вектора <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_437120274-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137"> существует и единственно. Рассмотрим однопараметрическое семейство корреляционных векторов
<img width=«92» height=«27» src=«ref-1_437133295-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138">                               (4.2)
Для <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_437133587-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139"> достаточно положительного <img width=«21» height=«27» src=«ref-1_437133780-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140"> не должен быть продолжаемым, а для <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_437133587-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141"> достаточно отрицательного <img width=«21» height=«27» src=«ref-1_437133780-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142"> должен быть продолжимым, так как допущение, что <img width=«55» height=«32» src=«ref-1_437134399-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143"> подразумевает, что Е содержит окрестность <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_437132011-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">. Выпуклость Е означает, что имеется некоторое наибольшее число <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_437119249-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145">, такое, что <img width=«93» height=«27» src=«ref-1_437135055-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146"> является продолжимым. Поскольку имеются произвольно близко к <img width=«20» height=«21» src=«ref-1_437132207-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147"> непродолжимые векторы, <img width=«20» height=«21» src=«ref-1_437132207-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148"> должен быть на границе Е. Кроме того, поскольку <img width=«47» height=«25» src=«ref-1_437119012-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">тогда и только тогда, когда <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_437120274-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150"> продолжим, это разложение <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_437120274-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151"> может 'быть использовало в качестве теста продолжимости.

Это однозначное разложение <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_437120274-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152"> может быть сформулировано в виде основной задачи линейной оптимизации на всех положительных спектрах мощности. Отметим, что <img width=«20» height=«21» src=«ref-1_437132207-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153"> имеет по крайней мере, одно положительное спектральное представление  <img width=«25» height=«27» src=«ref-1_437136757-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154"> и, что из /4.1/ для  <img width=«44» height=«27» src=«ref-1_437136965-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">  следует
<img width=«196» height=«65» src=«ref-1_437137202-606.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">                 (4.3)
Утверждение того, что <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_437119249-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157"> является наибольшим числом, так что остаток <img width=«93» height=«27» src=«ref-1_437135055-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158"> продолжаем, приводит к линейной задаче оптимизации
<img width=«217» height=«68» src=«ref-1_437138291-716.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">          (4.4з)
так что
<img width=«309» height=«68» src=«ref-1_437139007-830.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">          (4.45)
Максимум равен <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_437119249-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161"> и он достигается <img width=«56» height=«27» src=«ref-1_437140037-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">.

Поскольку <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_437132011-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163"> продолжаемо, оно соответствует некоторой положительной мере <img width=«25» height=«27» src=«ref-1_437140454-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">.  Следовательно /4.1/ принимает вид
<img width=«204» height=«37» src=«ref-1_437140668-498.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">               (4.5)
Если  <img width=«47» height=«25» src=«ref-1_437119012-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">, то <img width=«80» height=«27» src=«ref-1_437141403-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167"> является положительной мерой, которая согласует корреляционные измерения и которая имеет наиболее возможную шумовую компоненту.

Некоторая дополнительная информация относительно остатка <img width=«20» height=«21» src=«ref-1_437132207-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168"> и его спектрального представления может быть получена. <img width=«20» height=«21» src=«ref-1_437132207-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169"> находится на границе     продолжение
--PAGE_BREAK--Е; следовательно, он дает нулевое внутреннее произведение с некоторым ненулевым положительным полиномом
<img width=«209» height=«37» src=«ref-1_437142089-540.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">              (4.6)
Из этого следует, что основа <img width=«25» height=«27» src=«ref-1_437136757-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171"> должна быть на нулевом множестве <img width=«52» height=«29» src=«ref-1_437142837-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">. Или более точно, основа любого спектрального представления <img width=«20» height=«21» src=«ref-1_437132207-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173"> должна быть на пересечении нулевых множеств всех положительных полиномов, которые образуют нулевое внутреннее произведение с <img width=«20» height=«21» src=«ref-1_437132207-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">. Это предполагает окончательный шаг в выводе метода Писаренко; а именно, объединение остатка <img width=«20» height=«21» src=«ref-1_437132207-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175"> с импульсным спектром.       ^ .

Тот факт, что целевой функционал основной задачи оптимизации не является строго выпуклым, допускает, что решение     не может в общем случае быть единственным. Решение <img width=«25» height=«27» src=«ref-1_437136757-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176"> основной задачи оптимизации всегда единственно тогда и только тогда, когда корреляционный вектор на границе Е имеет единственное спектральное представление. В случае временной последовательности каждый такой <img width=«20» height=«21» src=«ref-1_437132207-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177"> имеет единственное спектральное представление, как сумма М или меньшего числа импульсов[5].

Пример 4.1: Случай временной последовательности, <img width=«343» height=«31» src=«ref-1_437144138-579.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">. Как и в примере 3.1, каждый положительный полином может быть факторизован в виде <img width=«125» height=«37» src=«ref-1_437144717-420.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179"> для некоторого тригонометрического полинома М-той, степени <img width=«47» height=«29» src=«ref-1_437122020-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180"> и следовательно <img width=«52» height=«29» src=«ref-1_437142837-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181"> могут быть равными нуля не более, чем в М точках. Спектр <img width=«25» height=«27» src=«ref-1_437136757-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">, следовательно, должен быть суммой импульсов в этих точках. Кроме того, поскольку возможно построить положительный полином, который равен нулю в <img width=«63» height=«25» src=«ref-1_437145907-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183"> произвольно выбранных точках и нигде больше, то отсюда следует, что <img width=«20» height=«21» src=«ref-1_437132207-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184"> имеет единственное спектральное представление в виде суммы импульсов в общих нулях всех положительных полиномов <img width=«24» height=«27» src=«ref-1_437146390-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185"> так что <img width=«83» height=«31» src=«ref-1_437146606-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">.

В более широком смысле, теорема продолжимости совместно с теоремой Каратеодори [16]показывает, что имеется по крайней мере одно спектральное представление <img width=«20» height=«21» src=«ref-1_437132207-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187"> в виде суммы не более чем 2М импульсов.

Теорема представления: Если <img width=«68» height=«27» src=«ref-1_437147129-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">, то существует <img width=«64» height=«29» src=«ref-1_437147409-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189"> и <img width=«55» height=«27» src=«ref-1_437147697-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">, так что
<img width=«129» height=«65» src=«ref-1_437147978-487.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">                          (4.7)
Доказательство теоремы представления можно найти в Приложении В. Это представление и, таким образом, решение основной задачи оптимизации могут быть не единственными. Дальнейшее обсуждение этой проблемы единственности можно найти в Приложений С.

Если <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_437119249-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192"> и местоположения импульсов в единственном решении <img width=«25» height=«27» src=«ref-1_437136757-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193"> могут быть определены для данного <img width=«20» height=«21» src=«ref-1_437132207-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">, то амплитуды импульсов могут быть вычислены просто путем решения набора линейных уравнений. А сейчас мы получим двойственную задачу оптимизации, которая дает <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_437119249-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195"> и  <img width=«24» height=«27» src=«ref-1_437146390-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">, так что <img width=«89» height=«31» src=«ref-1_437149492-333.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">. Тогда, если <img width=«20» height=«21» src=«ref-1_437132207-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198"> имеет единственное спектральное представление, местоположения импульсов могут быть определены по нулям <img width=«47» height=«29» src=«ref-1_437150028-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199">. Из теоремы продолжимости следует
<img width=«403» height=«33» src=«ref-1_437150307-753.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">      (4.8)
Так как <img width=«55» height=«32» src=«ref-1_437134399-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201"> и <img width=«61» height=«27» src=«ref-1_437151320-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">, то отсюда следует, что <img width=«77» height=«31» src=«ref-1_437151592-328.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203"> и <img width=«83» height=«31» src=«ref-1_437151920-329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204"> для всех <img width=«53» height=«25» src=«ref-1_437152249-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205">. Кроме того, так как <img width=«83» height=«31» src=«ref-1_437152494-326.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206"> для некоторого <img width=«60» height=«27» src=«ref-1_437152820-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207">, то отсюда следует, что
<img width=«112» height=«31» src=«ref-1_437153086-362.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">                             (4.9а)
на множестве
<img width=«175» height=«31» src=«ref-1_437153448-422.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">(4.9b)
и минимум достигается при <img width=«24» height=«27» src=«ref-1_437146390-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">. Решение этой двойственной задачи может не быть единственным даже в случае временной последовательности, когда она сводится к задаче собственного вектора, полученной Писаренко, и приводит к интерпретации метода Писаренко в виде определения сглаживающего фильтра с ограничениями по методу наименьших квадратов.

Пример 4.2: Случай временной последовательности, <img width=«343» height=«31» src=«ref-1_437144138-579.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">. Как в примере /3.1/
<img width=«239» height=«65» src=«ref-1_437154665-655.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">.
Кроме того, если <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_437132011-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213"> соответствует белому шуму единичной мощности,
<img width=«196» height=«65» src=«ref-1_437155516-590.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">.
Таким образом, двойственная задача оптимизации сводится к нахождению собственного вектора теплицевой матрицы, связанного с <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_437120274-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">, соответствующего наименьшему собственному значению. Если имеется несколько таких собственных векторов, импульсы располагаются в общих нулях соответствующих полиномов. Любой нормированный собственный вектор, соответствующий минимальному собственному значению, дает коэффициенты сглаживающего фильтра, сумма квадратов величин которых ограничена единицей, что дает наименьшую выходную мощность при наличии входного процесса, корреляции которого описываются <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_437120274-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">[17].
1.4.2 Вычисление оценки Писаренко
При разработке алгоритмов вычисления оценки Писаренко можно столкнуться с дискретной спектральной основой
<img width=«261» height=«40» src=«ref-1_437156488-540.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">
Для такой основы основная задача /4.4/ может быть переписана в виде линейное программы стандартного вида
<img width=«128» height=«67» src=«ref-1_437157028-490.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218">                (4.11з)
так что для <img width=«108» height=«27» src=«ref-1_437157518-332.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">

<img width=«329» height=«68» src=«ref-1_437157850-1088.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220">          (4.11b)

с Nпеременными и 2М ограничениями. Минимум равен <img width=«141» height=«32» src=«ref-1_437158938-419.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221"> и достигается для <img width=«131» height=«32» src=«ref-1_437159357-390.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222">. Основная теорема линейного программирования 18 эквивалентна теореме представления в этом случае. При условии, что для этой линейной программы существует решение, как показано в предыдущем разделе, основная теорема гарантирует решение, в котором не более, чем 2М из <img width=«48» height=«31» src=«ref-1_437159747-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223"> не равны нулю, так называемое, базовое решение.

Двойственная линейная программа [l5]
<img width=«252» height=«69» src=«ref-1_437160039-874.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224">         (4.12з)
так что для <img width=«116» height=«25» src=«ref-1_437160913-300.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">
<img width=«256» height=«69» src=«ref-1_437161213-759.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">        (4.12b)
эквивалентная двойственной задаче /4.9/ для дискретной спектральной основы, где ограничение
<img width=«75» height=«31» src=«ref-1_437161972-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227">                                    (4.13)
было использовано для исключения <img width=«43» height=«29» src=«ref-1_437162275-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228"> и где <img width=«85» height=«29» src=«ref-1_437162541-335.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">. Её минимум равен <img width=«144» height=«33» src=«ref-1_437162876-427.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230">  и достигается при <img width=«97» height=«31» src=«ref-1_437163303-352.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231">.

Основная задача может быть решена при использовании симплекс-метода [18]. Применение симплекс-метода к основной задаче приводит в результате к существенно тому же результату /вычислительному алгоритму/, что и применение, /одинарного/ метода замены к двойственной задаче [19]. Применив соответствующий метод для избежания зацикливания [20], может быть получен алгоритм, который гарантирует сходимость к оптимальному решению за конечное число шагов, хотя его воплощения обычно были медленными .

Задача чебышевской аппроксимации связана с вычислением оценки Писаренко; она может быть сформулирована, как минимизация линейного функционала на выпуклом пространстве, определенном ограничениями типа линейных неравенств [l6]. Она также решалась с использованием симплекс-метода /одинарная замена/. Однако для частной задачи чебышевской аппроксимации непрерывных функций полиномами с одной переменной существует вычислительный метод, который значительно быстрее симплекс-метода, это метод многократной замены Ремеза. Хотя были сделаны попытки распространить этот метод на более общие задачи [21], появившиеся в результате алгоритмы не достаточно хорошо понятны; в частности, не доказана их сходимость.

И наконец, задачи недискретной оптимизации, включенные в вычисление оценки Писаренко, /4.4/ к /4.9/, являются видом, известным, как полубесконечные программы. Как теоретические, так и вычислительные аспекты таких программ рассматриваются в сборнике статей, изданных Геттичем [22].
Резюме
Эта статья связана с тем, что вероятно является наиболее простой и интересной задачей в обработке антенных решеток; оценкой спектра мощности с известной основой при условии, что даны некоторые выборки его корреляционной функции. Хотя и простая, эта задача сохраняет несколько черт, которые являются общими для многих задач обработки решеток: многомерные спектры, корреляционные выборки с неравномерными отчетами и произвольные спектральные основы.

Исследование спектральных оценок, согласованных с корреляцией привели к задаче продолжимости. Были даны две характеристики продолжаемости ста задача, для случая временных последовательностей, известна как задача тригонометрических моментов и ее решение включает рассмотрение положительной определенности корреляционных выборок. Положительная определенность может поэтому рассматриваться как специальный случай продолжимости.

Базируясь на теоретической основе, разработанной при решении задачи продолжаемости, метод Писаренко был распространен со случая временных последовательностей на задачу обработки решетки. Было показано, что метод Писаренко тесно.связан с задачек продолжимости. Было показано, что вычисление оценки Писаренко включает решение линейной задачи оптимизации. Было показало, что решение этой задачи не является единственным в общем случае, хотя оно единственно для случая временной последовательности, где задача линейном оптимизации сводится к задача собственных значений.

Хотя рассмотренная в этой статье задача спектральной оценки была разработала для обработки решетки, теоретическая структура и результирующие алгоритмы должна быть полезными в других многомерных задачах, например, обработке изображений.
2.1 ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ОТКРЫТОГО РЕЗОНАТОРА С ОСЕСИММЕТРИЧНЫМ ДИСКОМ

В § 9.3 было получено интегральное уравнение (9.39) для резонатора с диэлектрическим телом в виде шара. Та­кая форма диэлектрика хороша для анализа, но неудобна для практики.

Обычно приходится иметь дело с диэлектрическими образца­ми более сложной формы, в частности с диэлектрическим диском. В такой ситуации получить аналитическое выражение для ядра не удается, однако это не является препятствием для нахождения решения задачи.

Действительно, ядро уравнения для резонатора с шаром (9.39) — это сумма ядра для пустого резонатора и дополнитель­ного члена, представляющего собой поле, рассеянное шаром.

Запишем уравнение для резонатора с диском в аналогичном виде, поскольку физическая картина явлении одна и та же:

<img width=«400» height=«63» src=«ref-1_437163655-770.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">      (9.45)
Здесь<img width=«24» height=«19» src=«ref-1_437164425-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235">  — ядро пустого резонатора; Т — ядро, связанное с рас­сеянием на диэлектрическом образце. Обсудим, что в сущности делается при решении уравнения (9.39) методом Галеркина. Для определенности будем считать, что в качестве базисных и весо­вых (см. приложение 2) взяты собственные функции резонатора без шара, которые обозначим <img width=«48» height=«29» src=«ref-1_437164636-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236"> и будем считать ортонормированными.

С первым слагаемым ядра все ясно, базисные функции являются его собственными, и действие интегрального оператора с та­ким ядром эквивалентно умножению на постоянную, являющую­ся собственным значением пустого резонатора:
<img width=«283» height=«63» src=«ref-1_437164906-643.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237">     (9.46)
Интегральный оператор со вторым слагаемым ядра представ­ляет собой магнитное поле тока на зеркалах, рассеянное шаром. Плотность тока задается в виде<img width=«48» height=«29» src=«ref-1_437164636-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232">, а рассеянное поле рассчи­тывается на поверхности зеркала. При решении (9.39) расчет рас­сеянного шаром поля проводится аналитически. Однако ту же процедуру можно произвести численно, и тогда ограничения на формулу диэлектрического образца в значительной степени сни­маются.

Для расчета рассеянного поля будем применять интегральное уравнение (3.85). Диэлектрический образец может быть произ­вольным телом вращения, в частности диском.

После этих общих соображений рассмотрим процедуру реше­ния (9.45) последовательно. ФункцияU(x)ищется в виде

<img width=«175» height=«60» src=«ref-1_437165819-508.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233">     (9.47)
В соответствии с методом Галеркина (см. приложение 2) подставляем (9.47) в (9.45), затем умножаем на <img width=«45» height=«29» src=«ref-1_437166327-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238"> и повторно ин­тегрируем по образующей зеркала. С учетом ортонормированности базисных функций имеет однородную СЛАУ

<img width=«283» height=«63» src=«ref-1_437166596-794.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239">       (9.48)

где <img width=«27» height=«27» src=«ref-1_437167390-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240">  — собственные числа уравнения невозмущенного резонато­ра [см. (9.46)].

Элементы матрицы СЛАУ выражаются интегралами
<img width=«367» height=«55» src=«ref-1_437167609-764.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241">     (9.49)

Последнюю формулу надо понимать как символическую. Она эквивалентна процедуре расчета рассеянного поля, описанной вы­ше. Остановимся на ней подробнее.

Вначале необходимо найти поле на поверхности диэлектричес­кого тела, созданное током вида <img width=«48» height=«29» src=«ref-1_437164636-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242"> на зеркалах. Это можно было бы сделать с помощью (3.8), (3.9), однако есть более простой путь, если ограничиться рассмотрением тел небольших, на по­рядок меньших диаметра зеркал. Тогда можно воспользоваться приближенным выражением для поля в резонаторе, соответствую­щим приближенным функциям токов на зеркалах. На рис. 9.6 представлены графики распределения токов на зеркалах, соответ­ствующие низшему типу колебаний <img width=«49» height=«29» src=«ref-1_437168643-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243"> и колебанию, имеюще­му вариацию по радиусу <img width=«49» height=«29» src=«ref-1_437168925-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244">.Резонатор конфокальный с па­раметром <img width=«112» height=«31» src=«ref-1_437169203-300.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245">. Вблизи оси плотность тока, описываемая гиперсфероидальными функциями (кривые 1), практически не отли­чаются от экспоненциальной функции, умноженной на полиномы Лагерра (кривые 2), т. е. от гауссова пучка [68]. Радиальное распределение отличается только масштабом по радиусу.

Таким образом, будем описывать поле в резонаторе вблизи его центра приближенным.выражением в виде гауссова пучка
<img width=«432» height=«57» src=«ref-1_437169503-827.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246">     (9.50)

где
<img width=«305» height=«37» src=«ref-1_437170330-660.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247">;
R — радиус кривизны волновогофронта;W—радиус «освещен­ного пятна» в пучке. Последняявеличина определяется как радиус, на
<img width=«398» height=«311» src=«ref-1_437170990-12421.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248">

Рис. 9.6. Сравнение точных и приближенных кривых для гиперсфероидальных функций:

1 — точные, 2 — приближенные кривые
котором интенсивность пучка спадает в е раз по отно­шению к центру пучка. Характерной величиной для каждого пуч­ка является наименьший радиус «пятна» <img width=«28» height=«28» src=«ref-1_437183411-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249">. Применительно к резонатору — это  радиус  «пятна»  в центре, который связан с длиной резонатора 1:

1 Как и ранее, все длины предполагаются умноженными на волновое число, которое здесь соответствует действительной части собственной частоты невозмущенного резонатора.

ВеличиныWиRмедленно меняются вдоль резонатора:
<img width=«260» height=«59» src=«ref-1_437183917-673.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251">       (9.52)

<img width=«225» height=«59» src=«ref-1_437184590-592.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252">       (9.53)
В центре резонатора <img width=«215» height=«28» src=«ref-1_437185182-431.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253"> Естественно в резо­наторе существуют не один, а два встречных гауссовых пучка, и вблизи центра поле основной моды в приближении гауссова пуч­ка имеет вид
<img width=«289» height=«51» src=«ref-1_437185613-660.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254">          (9.54)
На зеркале <img width=«83» height=«29» src=«ref-1_437186273-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255"> для конфокальной геометрии резонатора в соответствии с (9.51)—(9.53) <img width=«149» height=«32» src=«ref-1_437186569-392.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256">, и распределение тока имеет вид1

<img width=«465» height=«37» src=«ref-1_437186961-799.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257">        (9.55);

Для следующего колебания «1, 0,q»поле в центре резонатора представляется формулой
<img width=«388» height=«51» src=«ref-1_437187760-782.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258">                (9.56)
и на зеркалах

<img width=«555» height=«37» src=«ref-1_437188542-912.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259">(9.57)

Таким образом, поле в резонаторе без образца, соответствующее различным модам, в приближении гауссова пучка нетрудно запи­сать. Оно играет роль первичного поля для задачи возбуждения диэлектрического образца.

1 Напомним, что в открытых резонаторах с круглыми зеркалами принята следующая индексация мод: первый индекс — число вариаций по R, второй — число вариаций по <img width=«17» height=«21» src=«ref-1_437189667-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261">, а третий — число вариаций по <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_437189875-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262">

<img width=«411» height=«159» src=«ref-1_437190076-1705.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263">       (9.58)
Теперь необходимо возвратиться к азимутальным гармоникам вида <img width=«95» height=«29» src=«ref-1_437191781-333.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264">,поскольку ЭВМ — программы для диэлектричес­ких тел вращения сделаны применительно к ним. Первичные то­ки представляют собой сумму первой и минус первой гармоник. Каждую из них можно выделить, используя формулу Эйлера. В результате решения задачи возбуждения диэлектрического тела, а конкретно диска, получаем значения эквивалентных токов в дискретных и достаточно часто расположенных точках образую­щей. Зависимость от <img width=«17» height=«21» src=«ref-1_437189667-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265"> этих токов известная. Если объединить то­ки первой и минус первой гармоник, она будет такой же, как и у первичных токов (9.58).

Следующий этап — вычисление рассеянных диском полей на зеркалах. Для этого используются формулы (3.8), (3.9). Выра жения для элементов тензорной функции Грина следует упрос тить, как и при выводе уравнений (9.5)—(9.8), т. е. положить <img width=«165» height=«24» src=«ref-1_437192322-364.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266">,а для функции <img width=«31» height=«27» src=«ref-1_437192686-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267"> использовать асимптотичес­кую формулу (9.22). Последняя содержит множитель, учитываю­щий набег фазы на половине размера резонатора (расстояние от образца до одного из зеркал). Такой же набег фаз имеется в первичном для диэлектрического образца поле. Этот сдвиг при­сутствует также в (9.56) и (9.57). Все это позволяет вынести за знак интеграла множитель <img width=«156» height=«29» src=«ref-1_437192914-400.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268">, такой же, как и из основного ядра. Этот множитель, как и ранее, дает основную час­тотную зависимость. Ядра без него от частоты зависят слабо, и в них частота полагается равной действительной части собственной частоты пустого генератора.

Теперь уже можно вычислить элементы матрицы (9.48). Для определения элемента <img width=«32» height=«28» src=«ref-1_437193314-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269"> берется рассеянное поле, возбужденное нулевой модой пустого резонатора, т. е. <img width=«35» height=«29» src=«ref-1_437193529-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270">, затем оно в соот­ветствии с (9.49) домножается на (9.55) и интегрируется. При этом необходимо помнить, что базисные функции предполагались нормированными. Поэтому функцию (9.55) необходимо предвари­тельно пронормировать. В силу осевой симметрии системы по­верхностный интеграл (9.49) можно представить в координатах вращения. Интеграл по <img width=«17» height=«21» src=«ref-1_437189667-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271"> берется аналитическим, а по радиаль­ной координате <img width=«16» height=«20» src=«ref-1_437193964-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272">  — численно. Остальные элементы <img width=«32» height=«27» src=«ref-1_437194160-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273"> отыски­ваются точно так же.

Далее решается задача на собственные значения, а затем с по­мощью формул (9.40) и (9.41) находятся изменения добротности и сдвиг частоты.
2.2 ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ОТКРЫТОГО РЕЗОНАТОРА С ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ДИСКОМ, НЕСООСНЫМ С ЗЕРКАЛАМИ [72]
При проведении измерений параметров диэлект­рика образец в виде диска часто удобнее расположить несоосно с зеркалами и, в частности, так, чтобы оси резонатора и диска были перпендикулярны (рис. 9.7). Такое расположение диска нарушает осевую симметрию задачи. В общем случае отход от осевой симметрии очень -сильно усложняет решение, поскольку теря­ется основное преимущество систем враще­ния — независимость отдельных азимуталь­ных гармоник полей.

<img width=«282» height=«258» src=«ref-1_437194381-331.coolpic» v:shapes="_x0000_s1026 _x0000_s1027 _x0000_s1028 _x0000_s1029 _x0000_s1030 _x0000_s1031 _x0000_s1032"><img width=«290» height=«275» src=«ref-1_437194712-8043.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274">
Рис. 9.7. Геометрия открытого резонатора с несоосными зеркалом и диском
Однако в рассматриваемой задаче анализа полей в высокодобротном открытом резонаторе несоосность вносит технические, но не принципиальные затруднения. Действительно, для измерений параметров диэлектрический образец берется небольшим по срав­нению с размерами резонатора. Поэтому его внесение в резона­тор не приводит к переходу к другой моде, а лишь несколько ме­няет добротность и резонансную частоту той моды, которая су­ществовала без диэлектрика. Таким образом, за счет фильтрую­щих свойств резонатора новых азимутальных гармоник не появ­ляется и основная трудность в несоосных системах вращения сни­мается. Надо лишь следить за тем, чтобы на других азимуталь­ных гармониках у пустого резонатора не было поблизости от час­тоты рабочей моды других высокодобротных мод.

Метод решения задачи остается в общих чертах тем же, что и в предыдущем параграфе, но с некоторыми  усложнениями. Главное из них — это необходимость введения двух систем ко­ординат вращения: одной, связанной с зеркалами резонатора (ось вращения у}, и второй, связанной с диэлектрическим телом (ось вращения z
)(рис. 9.7). Поле, рассеянное диском, не обладает те­перь осевой симметрией по отношению к зеркалам, что сущест­венно затрудняет интегрирование по поверхности зеркал, необхо­димое при применении метода Галеркина.

Рассмотрим теперь этапы решения задачи. Как и ранее, в ме­тоде Галеркина в качестве базиса используются собственные функции пустого резонатора, а точнее, их приближенное пред­ставление в виде гауссова пучка.

Пусть центр диска по-прежнему совпадает с центром резона­тора, а ось его симметрии повернута на 90° по отношению к оси резонатора (см. рис. 9.6). Решение начинается с нахождения азимутальных гармоник падающего по отношению к диску поля и соответствующих ему первичных токов.

Падающее поле вблизи диска выражается функциями (9.54) и (9.56), которые с учетом изменившейся системы координат запишем так:
<img width=«292» height=«51» src=«ref-1_437202755-683.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275">      (9.59)

<img width=«391» height=«51» src=«ref-1_437203438-814.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276">      (9.60)
Положим, что основная поляризация поля в резонаторе <img width=«29» height=«27» src=«ref-1_437189454-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277">.Экви­валентные токи в координатах вращения, связанных с диском, тогда имеют вид:

<img width=«559» height=«152» src=«ref-1_437204465-2027.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278">(9.61)

Здесь, как и в (9.58), использованы обозначения § 3.3. Переход от декартовых к координатам вращения дает

<img width=«436» height=«91» src=«ref-1_437206492-1273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279">     (9.62)

Коэффициенты     продолжение
--PAGE_BREAK--А, В иDзависят от формы поверхности, на которой находится точка наблюдения. На плоском торце <img width=«265» height=«31» src=«ref-1_437207765-461.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280"> (<img width=«27» height=«28» src=«ref-1_437208226-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281">  — радиус диска, <img width=«12» height=«19» src=«ref-1_437208445-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282"> — его толщина); на цилиндрической поверхности<img width=«247» height=«32» src=«ref-1_437208638-430.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283">.

Воспользуемся малостью диэлектрического тела по сравнению с размерами резонатора, т. е. учтем, что<img width=«151» height=«32» src=«ref-1_437209068-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284"> или <img width=«64» height=«19» src=«ref-1_437209426-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285"> и <img width=«65» height=«19» src=«ref-1_437209671-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286">. Это позволяет представить экспоненты двумя членами ря­да Тейлора

<img width=«265» height=«37» src=«ref-1_437209913-553.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287">.            (9.63)

После этого токи записываются в виде
<img width=«545» height=«119» src=«ref-1_437210466-1927.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288">(9.64)
Для следующего типа колебаний «10 q» выражения для пер­вичных токов имеют тот же вид, ноA1
=3A,D1=3D,B
1
=B.Да­лее поля разлагаются в ряд Фурье. Поскольку тело невелико, можно ограничиться небольшим числом   гармоник. Используя формулы для коэффициентов ряда Фурье и интегральное пред­ставление функции Бесселя (9.21), получаем выражения для гар­моник падающих токов. При этом в силу симметрии в случае синфазных токов на зеркалах присутствуют только нечетные гар­моники, что соответствует максимуму поля резонатора в области диска:
<img width=«571» height=«55» src=«ref-1_437212393-1033.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289">
<img width=«599» height=«253» src=«ref-1_437213426-3176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290">(9.65)
Здесь

<img width=«435» height=«33» src=«ref-1_437216602-754.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291"> .

Переход к отрицательным индексам происходит так же, как и ранее.

После вычисления первичных токов используется алгоритм ре­шения задачи возбуждения тела вращения, основанный на уравнении (3.85). Результат получается в виде распределения азиму­тальных гармоник плотностей эквивалентных токов на поверх­ности диэлектрика.

Далее по этому распределению нетрудно рассчитать рассеян­ное поле всюду и в том числе на поверхности зеркала. Как и в § 9.4, это поле и определяет элементы матрицы однородной СЛАУ (9.48). Расчет ведется в тех же приближениях с учетом изменив­шейся системы координат. В частности, асимптотическая форму­ла для функции <img width=«25» height=«27» src=«ref-1_437217356-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292"> в этих координатах имеет вид
<img width=«472» height=«40» src=«ref-1_437217576-884.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293">.    (9.66)
Существенные затруднения вызывает вычисление интегралов (9.49), определяющих элементы матрицы СЛАУ (9.48).

Интеграл здесь поверхностный, т. е. двойной, и численное ин­тегрирование требует больших затрат времени ЭВМ. Выходом из положения является аналитическое вычисление одного из интег­ралов. Для этого можно воспользоваться тем, что в направлении, перпендикулярном оси <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_437218460-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294">(см. рис. 9.7), каждая из азимутальных гармоник рассеянного поля имеет синусоидальную зависимость. Формально удобно вести это интегрирование по декартовой координате <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_437218656-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295"> в пределах от <img width=«92» height=«35» src=«ref-1_437218852-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296"> до <img width=«92» height=«35» src=«ref-1_437219148-304.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297">. Зависимость поля будет синусоидальной только на окружности с центром, сов­падающим с диском1. Отличие этой окружности от меридиональной линии зеркала учтем только в фазе. Поправочный множитель, как показывает геометрический расчет, имеет вид <img width=«133» height=«37» src=«ref-1_437219452-399.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298">.

Зависимость поля каждой гармоники от <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_437218460-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299"> на зеркале может быть представлена только в числах, поэтому интеграл по <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_437218460-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300"> в пределах   — <img width=«40» height=«20» src=«ref-1_437220243-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301"> берется численно. Таким путем приходим к интегралу
<img width=«485» height=«80» src=«ref-1_437220471-1075.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304">    (9.67)
где <img width=«20» height=«27» src=«ref-1_437221546-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305"> — гиперсфероидальные функции, которые берутся в приближении гауссова пучка, т. е. в виде (9.55) и (9.57).

Формула (9.67) учитывает векторный характер поля. Все рас­четы ведутся в предположении, что основная поляризация в ре­зонаторе<img width=«27» height=«27» src=«ref-1_437221756-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306"> и, следовательно, <img width=«27» height=«27» src=«ref-1_437221978-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307">. В рассеянном поле при исполь­зовании метода Галеркина надо брать ту же поляризацию. Она в координатах вращения, связанных с диском, представляет собой  <img width=«28» height=«27» src=«ref-1_437222197-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308">. Интеграл по <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_437218656-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309">, как уже говорилось, можно взять аналитичес­ки. Не останавливаясь на подробностях, их можно найти в [72], заметим, что этот интеграл можно свести к неполной гамма-функ­ции. Для вычисления последней имеются быстро сходящиеся ря­ды. Нахождение одномерного интеграла по <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_437218460-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310"> численным методом труда не представляет.

1Окружность показана на рис. 9.7 тонкой линией

<img width=«598» height=«343» src=«ref-1_437224237-3880.coolpic» v:shapes="_x0000_i1317">

a)

б)



Рис. 9.8. Сдвиг резонансной частоты и изменение добротности открытого ре­зонатора с диском как функция <img width=«21» height=«21» src=«ref-1_437222804-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1318"> диска
<img width=«603» height=«487» src=«ref-1_437228320-43011.coolpic» v:shapes="_x0000_i1319">
Рис. 9.9 Изменение добротности открытого резонатора с диском как функция <img width=«25» height=«21» src=«ref-1_437223207-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302"> диска

<img width=«568» height=«340» src=«ref-1_437271538-5612.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303">

Рис. 9.10. Сравнение параметров резонатора с диэлектрическим шаром и диском
К тому же выводу приходим, рассматривая параметр <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_437101019-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1320"> как функцию <img width=«25» height=«21» src=«ref-1_437223207-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1321"> для различных значений <img width=«21» height=«21» src=«ref-1_437222804-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1322">. Видно, что с увеличением <img width=«21» height=«21» src=«ref-1_437222804-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1323"> кривая становится все более пологой и извлечение информация об <img width=«25» height=«21» src=«ref-1_437223207-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1324"> диэлектрического образца становится все более проблема­тичным (рис. 9.9).

Если считать, что 10%-ная доля омических потерь еще раз­личима на фоне потерь на рассеяние, то в области <img width=«60» height=«25» src=«ref-1_437278177-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1325"> можно измерить <img width=«25» height=«21» src=«ref-1_437223207-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1326"> порядка <img width=«39» height=«25» src=«ref-1_437278646-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1327">, а при <img width=«65» height=«25» src=«ref-1_437278871-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1328"> только величины <img width=«75» height=«31» src=«ref-1_437279147-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1329">.

Таким образом, методом открытого резонатора можно измерять потери только очень плохих диэлектриков. Расчет связи параметров диэлектрика и характеристик резонатора для шара все же проще, чем для диска. Поэтому встает вопрос, нельзя ли установить соответствие между образцами в форме шара и диска. В качестве параметра соответствия естественно взять объем диэлектрического образца. С этой целью были рассчитаны смещения собственной частоты и изменение обратной величины добротнос­ти для шара и диска с одинаковым объемом. Оказалось (рис. 9.10), что эти зависимости, качественно одинаковые, количествен­но различаются заметно. Поэтому для получения приемлемой точности измерений необходимо тарировочные кривые строить на ос­нове адекватной математической модели.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ, ПЕРСПЕКТИВЫ

Метод интегральных уравнений в электродинами­ке появился сравнительно недавно и быстро завоевал популяр­ность. Этому способствовал целый ряд его преимуществ: простота метода и, следовательно, его доступность; единство подходов к ре­шению весьма широкого круга задач; удобство реализации в ви­де вычислительных программ алгоритмов, на нем основанных, и, наконец, высокая степень универсальности.

Остановимся на указанных чертах метода несколько подробнее. Единство подходов к большому кругу задач означает, как видно из гл. 2 и 3, что интегральные уравнения, эквивалентные различным граничным задачам электродинамики, составляются по одному и тому же стереотипу. При этом для задач на телах вращения нет необходимости проходить стадию уравнений для произвольных тел. Истокообразные представления (3.8) и (3.9) вместе с формулами для элементов тензорной функции Грина поз­воляют" легко и быстро, примерно так же как из крупных блоков строят дома, составлять необходимые уравнения.

Те же «крупные блоки» в виде подпрограмм для <img width=«25» height=«27» src=«ref-1_437217356-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1330">-функции для элементов тензора Грина и решения систем линейных алге­браических уравнений позволяют достаточно быстро и просто компоновать программы для всех сформулированных в книге за­дач и для многих других. Те же подпрограммы дают возможность после численного решения уравнений найти поле в любой точке пространства.
3 МЕТОД  СВЧ  КОНТРОЛЯ ПАРАМЕТРОВ ПОЛИМЕРОВ
Для контроля технологических параметров полимеров (качества смещения, определение включений, вязкости) находят применение радиоволновые метода СВЧ. Рассмотрим метод,  который характеризуется определением объёмной эффективной площади рассеяния ( ЭПР ).

ЭПР это площадь поперечного сечения некоторого фиктивного тела, которое рассеивает электромагнитную в одну, ЭПР существенно зависит от формы м ориентации тела, от его материала ЭПР, разрешаемого объема <img width=«31» height=«19» src=«ref-1_437279630-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1332"> заполненного частицами ( элементарными отражателями), выражается произведением <img width=«79» height=«24» src=«ref-1_437279844-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1333">. Так для реальных полимерных материалов требуется знать распределение частиц во размерам <img width=«40» height=«25» src=«ref-1_437280121-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1334"> размеры частиц в единице объёма распределены по <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_437280340-184.coolpic» v:shapes="_x0000_i1335"> групп и в   1-й группе содержится частиц с аффективной площадью рассеяния <img width=«35» height=«28» src=«ref-1_437280524-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1336">, то удельная объёмная ЭПР
<img width=«112» height=«55» src=«ref-1_437280750-348.coolpic» v:shapes="_x0000_i1337">  (1)
ЭПР одной сферической частицы, диаметр  <img width=«23» height=«25» src=«ref-1_437281098-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1338">  которой много меньше длины волны, определяется формулой <img width=«33» height=«25» src=«ref-1_437281295-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1339">
<img width=«169» height=«31» src=«ref-1_437281509-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1340">  (2)
Коэффициент <img width=«133» height=«65» src=«ref-1_437281915-395.coolpic» v:shapes="_x0000_i1341">, выраженный через комплексный показатель преломления <img width=«21» height=«15» src=«ref-1_437282310-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1342"> изменяется от <img width=«84» height=«24» src=«ref-1_437282498-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1343"> для частиц наполнителя.

Практически для большинства объектов полимерных структур

с наполнителем удельную ЭПР можно выразить формулой
<img width=«279» height=«57» src=«ref-1_437282790-638.coolpic» v:shapes="_x0000_i1344">  (3)
Множитель

<img width=«107» height=«55» src=«ref-1_437283428-356.coolpic» v:shapes="_x0000_i1345">  (4)

можно назвать отражаемостью, которая зависит от концентрации и размера частиц в разрезаемом элементе.

Изменение базы волны ври отражении можно определить из отпадения напряженностей поля падающей (<img width=«23» height=«25» src=«ref-1_437283784-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1346">) и отраженной (<img width=«24» height=«25» src=«ref-1_437283983-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1347">) волн:
<img width=«189» height=«31» src=«ref-1_437284194-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1348">,  (5)
Модель этой комплексной величины <img width=«12» height=«19» src=«ref-1_437284587-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1349">, имеющей размерность длины, определяет интенсивность отражения. Аргумент указывает на изменение фазы волны при отражении.

Если рассматривать прием и передачу на одну и туже антенну, т.е. одинаковой ( согласованной) поляризацией, умножим выражение на комплексно сопряженную величину
<img width=«160» height=«35» src=«ref-1_437284762-415.coolpic» v:shapes="_x0000_i1350"> ,
В результате получаем
<img width=«395» height=«32» src=«ref-1_437285177-640.coolpic» v:shapes="_x0000_i1351">
Это означает, что если эффективная площадь <img width=«28» height=«28» src=«ref-1_437285817-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1352">  — площадь квадрата, то модель эффективной длины  <img width=«12» height=«19» src=«ref-1_437284587-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1353">  — это сторона того квадрата; <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_437286212-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1354"> — — точное расстояние до источника, определяющего фазу колебаний <img width=«77» height=«24» src=«ref-1_437286412-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1355">.

Для поляризованного колебания напряженность регулярного электромагнитного поля выражается вектором  <img width=«36» height=«23» src=«ref-1_437286685-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1356">, который вращается с угловой скоростью <img width=«17» height=«16» src=«ref-1_437286916-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1357"> и конец которого описывает эллипс в плоскости перпендикулярной направлению распространения. Если распространение происходит в направлении оси <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_437287110-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1358">прямоугольной системы координат <img width=«60» height=«20» src=«ref-1_437287307-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1359">, определяемой ортами   <img width=«76» height=«28» src=«ref-1_437287559-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1360">, то эллиптически поляризованная волна выражается составляющими к полностью описывается четырьмя параметрами: амплитуда <img width=«61» height=«28» src=«ref-1_437287801-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1361">, и фазами <img width=«67» height=«23» src=«ref-1_437288038-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1362">y. Однако не все эти параметры характеризуют поляризацию. Одинаково поляризованными называются волны, у которых эллипсы поляризации подобны и одинаково ориентированы. Абсолютное значение амплитуд, влияющие лишь на размеры эллипсов поляризации, начальная фаза  <img width=«17» height=«21» src=«ref-1_437189667-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1363"> , одинаковая для обеих составляющих, ив является поляризационными характеристиками.

Следовательно состояние поляризации плоской волны можно полностью определить двумя параметрами (рис.1 ).

<img width=«607» height=«498» src=«ref-1_437288511-21347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1331">
Рис.1 Эллиптически поляризованная плоская волна
В качестве таких параметров могут служить отношение амплитуд <img width=«67» height=«29» src=«ref-1_437309858-286.coolpic» v:shapes="_x0000_i1364"> и сдвиг фаз  yортогональных составляющих; отношение амплитуд часто заменяют углом  <img width=«152» height=«29» src=«ref-1_437310144-411.coolpic» v:shapes="_x0000_i1365">. Поляризацию можно также задать величинами, непосредственно характеризующими форму и ориентацию эллипса: отношение главных осей эллипса  <img width=«37» height=«25» src=«ref-1_437310555-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1366">     углом  <img width=«128» height=«25» src=«ref-1_437310786-359.coolpic» v:shapes="_x0000_i1367"> и углом наклона главной оси  <img width=«17» height=«27» src=«ref-1_437311145-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1368"> (рис.1).

Система координат  <img width=«41» height=«20» src=«ref-1_437311361-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1369">, в которой представлено поляризованное колебание, может быть задана парой единичных взаимно перпендикулярных векторов  <img width=«17» height=«27» src=«ref-1_437311603-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1370">, <img width=«17» height=«29» src=«ref-1_437311805-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1371">. Такие ортогональные векторы   — орты — называются поляризованным базисом.

В поляризованном базисе ( <img width=«17» height=«27» src=«ref-1_437311603-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1372">, <img width=«17» height=«29» src=«ref-1_437311805-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1373"> ) вектор можно представить выражением
<img width=«385» height=«43» src=«ref-1_437312427-729.coolpic» v:shapes="_x0000_i1374">
где <img width=«33» height=«29» src=«ref-1_437313156-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1375">, <img width=«33» height=«27» src=«ref-1_437313392-229.coolpic» v:shapes="_x0000_i1376"> и <img width=«24» height=«29» src=«ref-1_437313621-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1377">, <img width=«24» height=«27» src=«ref-1_437313845-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1378">  — модули и фазы комплексных амплитуд, составляющих напряженности электрического поля <img width=«81» height=«40» src=«ref-1_437314060-312.coolpic» v:shapes="_x0000_i1379">соответственно. Если <img width=«63» height=«29» src=«ref-1_437314372-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1380">, то поляризация линейна, при <img width=«63» height=«29» src=«ref-1_437314641-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1381"> она эллиптическая. При круговой поляризации амплитуды составляющих одинаковы, а фазы сдвинуты на 90°.

Поляризационные преобразования при отражении можно представить уравнениями
<img width=«317» height=«115» src=«ref-1_437314928-965.coolpic» v:shapes="_x0000_i1382">
связывающими ортогональные составляющие напряженности ноля падающей (<img width=«79» height=«40» src=«ref-1_437315893-306.coolpic» v:shapes="_x0000_i1383">) и отраженной (<img width=«83» height=«40» src=«ref-1_437316199-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1384">) волн, взятых в одном и том же поляризационном базисе (<img width=«47» height=«29» src=«ref-1_437316513-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1385">). Пару этих выражений можно записать в матричной форме.
<img width=«491» height=«85» src=«ref-1_437316765-1193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1386">
Таблицу комплексных величин
<img width=«285» height=«79» src=«ref-1_437317958-840.coolpic» v:shapes="_x0000_i1387">
называют матрицей рассеяния. В данной записи матрица рассеяния образована поляризационными составляющими эффективной длины цели.

В дальнейшем будем рассматривать в качестве основной характеристики цели матрицу эффективной длины
<img width=«121» height=«79» src=«ref-1_437318798-456.coolpic» v:shapes="_x0000_i1388">
Матрицу эффективной длины целесообразно представить в виде
<img width=«224» height=«77» src=«ref-1_437319254-643.coolpic» v:shapes="_x0000_i1389">

где <img width=«277» height=«29» src=«ref-1_437319897-442.coolpic» v:shapes="_x0000_i1390">

Таким образом, чтобы получить матрицу эффективной длины цели для однокомпозиционной схемы измерения ( т.е. антенна является приемной к передающей достаточно найти значения модулей матрицы <img width=«131» height=«29» src=«ref-1_437320339-336.coolpic» v:shapes="_x0000_i1391"> и размерностей их аргументов <img width=«44» height=«29» src=«ref-1_437320675-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1392">.Для этог0  осуществляют излечение и прием сигналов для двух составляющих выбранного поляризационного базиса раздельно.

При излучении электромагнитных воли вертикальной поляризации и при приеме вертикально и горизонтально поляризованных составляющих отраженного сигнала, можно измерить модули <img width=«64» height=«27» src=«ref-1_437320927-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1393"> и разность фаз <img width=«80» height=«27» src=«ref-1_437321199-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1394">. При излучении величин с горизонтальной линейной поляризацией находят соответственно <img width=«57» height=«27» src=«ref-1_437321486-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1395"> и <img width=«85» height=«27» src=«ref-1_437321755-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1396">. Основная трудность появляется при прямом измерении разности фаз <img width=«69» height=«29» src=«ref-1_437322052-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1397">. Для этого требуется излучать раздельно по времени либо по частоте два зондирующих колебания: с горизонтальной и вертикальной поляризацией.
    продолжение
--PAGE_BREAK--