Реферат: Оптимальність у системах керування

оптимальність у системах керування

1. Умови оптимальності у неавтономних системах керування

У загальному випадку неавтономної системи права частина закону руху й підінтегральна функція цільового функціонала залежать явно від часу />, тобто закон руху має вигляд:

/>, (1)

а цільовий функціонал дорівнює

/>. (2)

Тут функції />і />– неперервні по сукупності змінних і неперервно диференційовані по змінних />, />, />.

Також вважатимемо, що момент часу />, який відповідає початковому стану />, відомий, а момент часу />проходження через кінцеву точку />не заданий і повинен бути знайдений, тобто сформульована задача – це задача з вільним часом.

Поставлена задача може бути зведена до автономної задачі введенням додаткової змінної />. До закону руху при цьому додається рівняння

/>,

а до початкових умов – співвідношення />.

Тепер систему (2) можна переписати у вигляді:

/>(3)

а функціонал />дорівнюватиме

/>, (4)

де />(відповідно до доданого у початкову систему рівняння).

Отже, неавтономну />-вимірну задачу було зведено до автономної задачі з розширеним фазовим простором. У новій задачі потрібно знайти оптимальну траєкторію, що поєднує точку />розширеного фазового простору з деякою точкою />на прямій, яка проходить через точку />паралельно осі />. Оскільки кінцеве значення />змінної />невідоме, то нова задача – це задача з фіксованим лівим і рухомим правим кінцями.

Якщо в задачі оптимального керування (3) – (4) відомі і початковий момент часу />й кінцевий момент часу />, то задача називається задачею з фіксованим часом. Перетворення цієї задачі введенням додаткового змінного приводить до задачі з фіксованими кінцями в такому формулюванні. Потрібно знайти керування />, що переводить фазову точку системи (2) зі стану />в момент часу />у стан />в момент часу />, причому функціонал (4) набуває найменшого значення. Зауважимо, що момент часу />попадання в точку />можна не вважати фіксованим, оскільки в силу тотожності />попадання в точку />може відбутися тільки в цей момент часу. Таким чином, до даної задачі можна застосувати теорему, відповідно до якої для одержання необхідних умов екстремуму функціонала необхідно максимізувати функцію Понтрягіна

/>, (5)

де />– загальний вигляд функції Понтрягіна з теореми 1, у якій не врахована додаткова, (/>)-ша змінна. Спряжена система для цієї задачі за умов />набуває вигляду:

/>(6)

Має місце така теорема.

Припустимо, />, />– оптимальний процес для задачі з фіксованим часом. Тоді існує ненульова вектор-функція />, що відповідає цьому процесу, така що:

1. Для будь-якого />функція />змінної />набуває максимального значення в точці />, тобто:

/>: />.

2. />, />.

Оскільки, як і раніше, />, то умову 2 цієї теореми достатньо перевірити в якій-небудь одній точці відрізка />.

Розглянемо випадок, коли при фіксованому />правий кінець вільний. Ця задача полягає в тому, щоб із заданого стану />за заданий час />пройти по траєкторії з довільним кінцевим станом за умови мінімізації цільового функціонала. Умови трансверсальності для цієї задачі набувають вигляду:

/>, />. (7)

Для цього випадку необхідна умова оптимальності полягає в тому, щоб функція />досягала максимального значення для кожного />на оптимальному керуванні />і мала місце умова (7).

2 Поняття особливого керування

На практиці часто зустрічаються задачі оптимального керування, у яких функція Понтрягіна лінійно залежить від всіх керувань або від частини з них (наприклад, в лінійних задачах оптимальної швидкодії). Однак у нелінійних задачах оптимального керування (якщо функція Понтрягіна є нелінійною по одній або декількох фазових змінних) можлива ситуація, коли на оптимальній траєкторії коефіцієнт при одній з компонент вектора керування />обертається на нуль всюди на деякому інтервалі часу, і тоді умова максимуму функції />за />не дозволяє однозначно визначити оптимальне керування. Ця ситуація називається особливим режимом керування. Дослідимо її детальніше.

Розглянемо автономну задачу оптимального керування

/>,

Де />; />, />, />, />,

/>– довільна множина з />;

/>– лінійний простір кусково-неперервних на />функцій.

Крайові умови задачі мають вигляд:

/>, />.

Потрібно знайти таке припустиме керування />, що переводить систему зі стану />у стан />, причому відповідний припустимий процес />доставляє мінімальне значення функціоналу

/>,

де функції />, />неперервні по сукупності всіх змінних і неперервно-диференційовані по змінних />.

Вважатимемо, що функція Понтрягіна />для цієї задачі є лінійною за частиною компонент вектора />. Виділимо із цих компонент групу з />керувань (з тих, за якими функція />лінійна) і позначимо їх через />, а інші />керувань зберемо у вектор />(він також може включати компоненти, за якими функція />лінійна). За таких умов закон руху набуває вигляду:

--PAGE_BREAK--

/>,

де />.

Складемо функцію Понтрягіна для даної задачі:

/>.

Очевидно, що

/>, />. (8)

Припустимо, що процес />разом з розв’язком />спряженої системи

/>, />, (9)

задовольняє принципу максимуму і, крім того, припустимо, що у всіх точках деякого інтервалу />має місце рівність

/>, (10)

або, враховуючи (10),

/>, />, />. (11)

Ця ситуація означає, що коефіцієнти при />на деякому часовому відрізку дорівнюють 0, і оптимальне керування визначити неможливо. У цьому випадку вектор керувань />називається особливим керуванням на відрізку />, процес />– особливим режимом, траєкторія />– траєкторією особливого режиму, а відрізок часу />– ділянкою особливого керування.

З формули (11) випливає, що на ділянці особливого режиму функція Понтрягіна не залежить від />. Дійсно, />:

/>.

Тому в даній ситуації умова максимуму по />не дає жодної інформації про конкретні значення керувань />.

Оскільки на ділянці особливого режиму має місце співвідношення (11), то очевидно, що

/>, />

і т.д. Останні співвідношення разом з умовою (10) дозволяють визначити всі особливі режими.

3. Лінійна задача оптимальної швидкодії

Розглянемо лінійну задачу оптимальної швидкодії:

/>, />, (12)

де />, />,

/>, />– числові матриці розмірності />та />відповідно.

Область керування задачі />– замкнутий обмежений багатогранник в />:

/>, />, (13)

Якщо для будь-якого вектора />, паралельного будь-якому ребру багатогранника />, система векторів />, />, …, />(14) є лінійно незалежною, то багатогранник />задовольняє умові спільності положення відносно системи (14).

Для перевірки лінійної незалежності векторів (13) достатньо перевірити, чи матриця, стовпцями якої є стовпці (12), є невиродженою, тобто

/>.

Перепишемо формулу (10):

/>, />,

де />, />– />-і рядки матриць />і />.

Функція Понтрягіна лінійної задачі оптимальної швидкодії має вигляд:

/>(15)

Оскільки перший доданок у формулі (15) не залежить від />, то функція />досягає максимуму за змінною />одночасно з функцією

/>.

Спряжена система у цьому випадку може бути записана у вигляді:

/>, />,

або у векторній формі

/>. (16)

Позначимо через />. З теореми 2 випливає, що якщо />– оптимальне керування, то існує такий ненульовий розв’язок />системи (16), для якого в кожний момент часу функція />набуватиме максимального значення за змінною />:

/>. (17)

Оскільки система (17) з постійними коефіцієнтами не містить невідомих функцій />і />, то всі її розв’язки можна легко знайти, після чого, використовуючи їх для розв’язання задачі максимізації функції />на множині />, знаходимо оптимальні керування />.

Для будь-якого нетривіального розв’язання />системи (11) співвідношення (14) однозначно визначає керування />, причому це керування кусково стале, а значеннями керування в точках неперервності є вершини багатогранника />.

Точки розриву оптимальної функції керування />відповідають зміні значення керування і називаються точками перемикання. Якщо />– точка перемикання, то ліворуч від неї керування має одне значення, наприклад, />, а праворуч інше – />.

Позначимо через />підмножину у />виду

/>. (18)

Якщо всі корені характеристичного рівняння матриці />з (14) є дійсними, то для будь-якого розв’язання />рівняння (18) кожна з функцій />є кусково сталою і має не більше ніж />перемикань (/>– порядок системи (16)).

Керування />називається екстремальним керуванням, якщо воно задовольняє принципу максимуму.

Для лінійної задачі оптимальної швидкодії з областю керування – багатогранником />керування />є екстремальним, якщо існує таке нетривіальне розв’язання />системи (17), для якого матиме місце співвідношення (18).

Зрозуміло, що будь-яке оптимальне керування є екстремальним. Тому, щоб знайти оптимальне керування, що переводить фазову точку зі стану />у стан />, треба відшукати всі екстремальні керування з цими крайовими умовами, а потім серед них вибрати те, що здійснює перехід за найменший час.

    продолжение
--PAGE_BREAK--

У загальному випадку можуть існувати кілька оптимальних керувань, що переводять фазову точку зі стану />у стан />, але якщо початок координат у просторі керувань є внутрішньою точкою багатогранника />, то екстремальне керування єдине. Отже, у лінійних задачах оптимальної швидкодії принцип максимуму дозволяє не тільки визначити вид оптимальних керувань, але й одержати умови єдиності оптимального керування.

Припустимо, що початок координат є внутрішньою точкою багатогранника />припустимих керувань. Якщо />і />– два екстремальних керування, що переводять фазову точку зі стану />у стан />за час />і />відповідно, то />і />, />.

У теоремі має місце умова />.

Теорема. Якщо існує хоча б одне керування, що переводить систему (17) зі стану />у стан />, то існує й оптимальне по швидкодії керування, що також переводить систему з />у />.

4. Умови оптимальності у задачі з рухомими кінцями

У задачі з рухомими кінцями або початковий стан />, або кінцевий стан />, або обидва ці стани невідомі. Задані тільки множини />і />, що містять точки />та />.

Гіперповерхня – це множина всіх точок />, які задовольняють співвідношенню

/>,

де />– скалярна диференційована функція. Якщо />– лінійна функція, то гіперповерхня називається гіперплощиною і описується рівнянням

/>. (19)

Якщо />, то гіперплощина (19) є (/>)-вимірним лінійним підпростором в />.

Будь-який (/>)-вимірний підпростір />може бути заданий як множина розв’язань лінійної однорідної системи з />рівнянь із />невідомими, матриця якої має ранг />:

/>/>.

Такий лінійний підпростір називається />-вимірною площиною. Множина розв’язань системи нелінійних рівнянь

/>

де функції />, …, />диференційовані і ранг матриці Якобі цієї системи функцій дорівнює />, є />-вимірним гладким різноманіттям.

Задача оптимального керування з рухомими кінцями полягає в тому, щоб знайти таке припустиме керування />для системи із законом руху

/>, />, />,

яке переводить фазову точку з деякого, заздалегідь невідомого, стану />на />-вимірному різноманітті />(/>) у деякий стан />на />-вимірному різноманітті />(/>) і надає найменшого значення функціоналу

/>.

Задача оптимального керування з фіксованими кінцями є окремим випадком цієї задачі при />, тобто коли різноманіття />і />вироджуються в точку.

Відсутність рівнянь, що задають початковий і кінцевий стани, приводить до того, що система необхідних умов перестає бути повною. У цьому разі для одержання відсутніх рівнянь використовують умови, що називаються умовами трансверсальності.

Умови трансверсальності. Вектор спряжених змінних />із принципу максимуму задовольняє умові трансверсальності на лівому кінці траєкторії />, якщо вектор />ортогональний дотичній площини до різноманіття />в точці />, тобто

/>, (20)

де />– довільний вектор, що лежить у дотичній площини. Аналогічно формулюється умова на правому кінці.

Якщо />, />– оптимальний процес у задачі з рухомими кінцями />, />, то ненульова вектор-функція />, що існує відповідно до теореми 3, задовольняє на кожному з кінців траєкторії умовам трансверсальності.

Розглянемо окремий випадок задачі з рухомими кінцями, коли, наприклад, правий кінець траєкторії вільний (тобто />). Тоді умови трансверсальності зводяться до співвідношення />. Повний вектор спряжених змінних

/>

визначається з точністю до довільної сталої, зокрема, вважають, що />(відповідно до принципу максимуму />, />) і тоді

/>.