Реферат: Виды доказательств

содержание

Прямое и косвенное доказательство… 3

Прямое доказательство… 4

Косвенное доказательство… 5

Следствия, противоречащие фактам… 7

Внутренне противоречивые следствия… 7

Разделительное доказательство… 9

Заключение… 11

ЛИТЕРАТУРА… 12

Прямое и косвенное доказательство

Немецкий философ XIX в. А. Шопенгауэр считал математикудоволь­но интересной наукой, но не имеющей никаких приложений, в том числе и вфизике. Он даже отвергал саму технику строгих матема­тических доказательств.Шопенгауэр называл их мышеловками и приводил в качестве примера доказательствоизвестной теоремы Пифагора. Оно является, конечно, точным; никто не можетсчесть его ложным. Но оно представляет собой совершенно искусственный способрассуждения. Каждый шаг его убедителен, однако к концу до­казательствавозникает чувство, что вы попали в мышеловку. Мате­матик вынуждает васдопустить справедливость теоремы, но вы не получаете никакого реальногопонимания. Это все равно, как если бы вас провели через лабиринт. Вы наконецвыходите из лабирин­та и говорите себе: «Да, я вышел, но не знаю, как здесьочутился».

Позиция Шопенгауэра, конечно, курьез, но в ней есть момент,заслуживающий внимания. Нужно уметь проследить каждый шаг доказательства. Иначеего части лишатся связи, и оно в любой мо­мент может рассыпаться, как карточныйдомик. Но не менее важно понять доказательство в целом, как единую конструкцию,каждая часть которой необходима на своем месте. Как раз такого целост­ногопонимания не хватало, по всей вероятности, Шопенгауэру. В итоге в общем-топростое доказательство представилось ему блужданием в лабиринте: каждый шагпути ясен, но общая линия движения покрыта мраком.

Доказательство, не понятое как целое, ни в чем не убеждает.Даже если выучить его наизусть, предложение за предложением, к имеющемусязнанию предмета это ничего не прибавит. Следить за доказательством и лишьубеждаться в правильности каждого его последующего шага — это, по словамфранцузского математика А. Пуанкаре, равносильно такому наблюдению за игрой вшахматы, когда замечаешь только то, что каждый ход подчинен правилам игры.

Минимальное требование — это понимание логического выве­дениякак целенаправленной процедуры. Только в этом случае до­стигается интуитивнаяясность того, что мы делаем.

«Я принужден сознаться, — заметил как-то Пуанкаре, — чтоположи­тельно не способен сделать без ошибки сложение. Моя память не плохая; ночтобы стать хорошим игроком в шахматы, она оказалась бы недоста­точной. Почемуже она не изменяет мне в сложных математических рас­суждениях, в которых запуталисьбы большинство шахматных игроков? Это происходит, очевидно, потому, что вданном случае память моя на­правляется общим ходом рассуждения. Математическоедоказательство не есть простое сцепление умозаключений: это умозаключения,расположен­ные в определенном порядке; и порядок, в котором расположены эти эле­менты.Если у меня есть чувство… этого порядка, вследствие чего я сразу могу обнятьвсю совокупность рассуждений, мне уже нечего бояться забыть какой-либо элемент;каждый из них сам собою займет свое место...»

То, что создает, по выражению Пуанкаре, «единство доказатель­ства»,можно представить в форме общей схемы, охватывающей основные его шаги,воплощающей в себе общий принцип или его итоговую структуру. Именно такая схемаостается в памяти, когда забываются подробности доказательства. С точки зренияобщего движения мысли, все доказательства подразделяются на прямые и косвенные.

Прямое доказательство

При прямом доказательстве задача состоит в том, чтобыподыскать такие убедительные аргументы, из которых по логическим правилам по­лучаетсятезис.

Например, нужно доказать, что сумма углов четырехугольникаравна 360°. Из каких утверждений можно было бы вывести этот тезис? Отмечаем,что диагональ делит четырехугольник на два тре­угольника. Значит, сумма егоуглов равна сумме углов двух треуголь­ников. Известно, что сумма угловтреугольника составляет 180°. Из таких положений выводим, что сумма угловчетырехугольника равна 360°.

В построении прямого доказательства можно выделить двасвязанных между собою этапа: отыскание тех, признанных обос­нованнымиутверждений, которые способны быть убедительны­ми аргументами для доказываемогоположения; установление логи­ческой связи между найденными аргументами итезисом. Нередко первый этап считается подготовительным и под доказательствомпонимается дедукция, связывающая подобранные аргументы и доказываемыйтезис.

Еще пример. Нужно доказать, что космические корабли под­чиняютсядействию законов небесной механики. Известно, что эти законы универсальны: имподчиняются все тела в любых точ­ках космического пространства. Очевидно также,что космичес­кий корабль есть космическое тело. Отметив это, строим соот­ветствующеедедуктивное умозаключение. Оно является прямым доказательством рассматриваемогоутверждения.

Косвенное доказательство

Косвенное доказательство устанавливает справедливость тезисатем, что вскрывает ошибочность противоположного ему допущения, антитезиса.

Как с иронией замечает американский математик Д. Пойа,«косвенное доказательство имеет некоторое сходство с надувательским приемомполитикана, поддерживающего своего кандидата тем, что опорочивает репутациюкандидата другой партии».

В косвенном доказательстве рассуждение идет как бы окольнымпутем. Вместо того чтобы Прямо отыскивать аргументы для выве­дения из нихдоказываемого положения, формулируется антитезис, отрицание этого положения.Далее тем или иным способом пока­зывается несостоятельность антитезиса. Позакону исключенного третьего, если одно из противоречащих друг другуутверждений ошибочно, второе должно быть верным. Антитезис ошибочен, зна­чит,тезис является верным.

Поскольку косвенное доказательство использует отрицание до­казываемогоположения, оно является, как говорят, доказательством от противного.

Допустим, нужно построить косвенное доказательство такоговесьма тривиального тезиса: «Квадрат не является окружностью». Выдвигаетсяантитезис: «Квадрат есть окружность». Необходимо показать ложность этогоутверждения. С этой целью выводим из него следствия. Если хотя бы одно из нихокажется ложным, это будет означать, что и само утверждение, из котороговыведено след­ствие, также ложно. Неверным является, в частности, такое след­ствие:у квадрата нет углов. Поскольку антитезис ложен, исходный тезис должен бытьистинным.

Другой пример. Врач, убеждая пациента, что тот не болен грип­пом,рассуждает так. Если бы действительно был грипп, имелись бы характерные длянего симптомы: головная боль, повышенная температура и т.п. Но ничего подобногонет. Значит, нет и гриппа.

Это опять-таки косвенное доказательство. Вместо прямого обо­снованиятезиса выдвигается антитезис, что у пациента в самом деле грипп. Из антитезисавыводятся следствия, но они опровер­гаются объективными данными. Это говорит,что допущение о гриппе неверно. Отсюда следует, что тезис «Гриппа нет» истинен.

Доказательства от противного обычны в наших рассуждениях,особенно в споре. При умелом применении они могут обладать осо­беннойубедительностью.

Итак, ход мысли в косвенном доказательстве определяется тем,что вместо обоснования справедливости тезиса стремятся показать не­состоятельностьего отрицания. В зависимости от того, как реша­ется последняя задача, можновыделить несколько разновидностей косвенного доказательства.

Следствия, противоречащиефактам

Чаще всего ложность антитезиса удается установить простымсопоставлением вытекаю­щих из него следствий с фактами. Так обстояло, вчастности, дело в примере с гриппом.

Друг изобретателя паровой машины Д. Уатта шотландский уче­ныйД. Блэк ввел понятие о скрытой теплоте плавления и испаре­ния, важное дляпонимания работы такой машины. Блэк, наблюдая обычное явление — таяние снега вконце зимы, рассуждал так: если бы снег, скопившийся за зиму, таял сразу, кактолько температура воздуха стала выше нуля, то неизбежны были быопустошительные наводнения, а раз этого не происходит, значит, на таяние снегадолжно быть затрачено определенное количество теплоты. Ее Блэк и назвалскрытой.

Это — косвенное доказательство. Следствие антитезиса, а зна­чит,и он сам, опровергается ссылкой на очевидное обстоятельство: в конце зимынаводнений обычно нет, снег тает постепенно.

Внутренне противоречивыеследствия

По логическому зако­ну непротиворечия одно из двухпротиворечащих друг другу ут­верждений является ложным. Поэтому, если в числеследствий ка­кого-либо положения встретились и утверждение и отрицание одного итого же, можно сразу же заключить, что это положение ложно.

Например, положение «Квадрат — это окружность» ложно, по­сколькуиз него выводится как то, что квадрат имеет углы, так и то, что у него нет углов.

Ложным будет также положение, из которого выводится внут­реннепротиворечивое высказывание или высказывание о тожде­стве утверждения иотрицания.

Один из приемов косвенного доказательства — выведение изантитезиса логического противоречия. Если антитезис содержит противоречие, онявно ошибочен. Тогда его отрицание — тезис до­казательства — верно.

Хорошим примером такого рассуждения служит известное до­казательствоЕвклида, что ряд простых чисел бесконечен.

Простые — это натуральные числа больше единицы, делящиесятолько на себя и на единицу. Простые числа — это как бы «первич­ные элементы»,на которые все целые числа (больше 1) могут быть разложены. Естественнопредположить, что ряд простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11,13,… — бесконечен. Для доказательства данноготезиса допустим, что это не так, и посмотрим, к чему ведет такое допуще­ние.Если ряд простых чисел конечен, существует последнее простое число ряда — А.Образуем далее другое число: В = (2 • 3 • 5 •… • А) + 1. Число В больше А,поэтому В не может быть простым числом. Зна­чит, В должно делиться на простоечисло. Но если В разделить на любое из чисел 2, 3, 5,… А, то в остаткеполучится 1. Следователь­но, В не делится ни на одно из указанных простых чисели является, таким образом, простым. В итоге, исходя из предположения, что существуетпоследнее простое число, мы пришли к противоречию: существует числоодновременно и простое, и не являющееся про­стым. Это означает, что сделанноепредположение ложно и пра­вильно противоположное утверждение: ряд простых чиселбеско­нечен.

В этом косвенном доказательстве из антитезиса выводится ло­гическоепротиворечие, что прямо говорит о ложности антитезиса и соответственно обистинности тезиса. Такого рода доказательства широко используются в математике.

Если имеется в виду только та часть подобных доказательств,в которой показывается ошибочность какого-либо предположения, они именуются потрадиции приведением к абсурду. Ошибочность предположения вскрывается тем, чтоиз него выводится откровен­ная нелепость.

Имеется еще одна разновидность косвенного доказательства,когда прямо не приходится искать ложные следствия. Дело в том, что длядоказательства утверждения достаточно показать, что оно логически вытекает изсвоего собственного отрицания.

Этот прием опирается на закон Клавия, говорящий, что если изложности утверждения вытекает его истинность, то утверждение истинно.

К примеру, если из допущения, что дважды два равно пяти, вы­ведено,что это не так, тем самым доказано, что дважды два не равняется пяти.

По такой схеме рассуждал еще Евклид в своей «Геометрии». Этуже схему использовал однажды древнегреческий философ Демо­крит в споре с другимдревнегреческим философом, софистом Протагором. Протагор утверждал, что истинновсе то, что кому-либо приходит в голову. На это Демокрит ответил, что изположения «Каждое высказывание истинно» вытекает истинность и его отри­цания«Не все высказывания истинны». И значит, это отрицание, а не положениеПротагора на самом деле истинно.

Разделительное доказательство

Во всех рассмотренных кос­венных доказательствах выдвигаютсядве альтернативы: тезис и антитезис. Затем показывается ложность последнего, витоге оста­ется только тезис.

Можно не ограничивать число принимаемых во внимание воз­можностейтолько двумя. Это приведет к так называемому раздели­тельному косвенномудоказательству, или доказательству через исклю­чение. Оно применяется в техслучаях, когда известно, что дока­зываемый тезис входит в число альтернатив,полностью исчерпы­вающих все возможные альтернативы данной области.

Например, нужно доказать, что одна величина равна другой.Ясно, что возможны только три варианта: или две величины равны, или перваябольше второй, или, наконец, вторая больше первой. Если удалось показать, чтони одна из величин не превосходит дру­гую, два варианта будут отброшены иостанется только третий: ве­личины равны.

Доказательство идет по простой схеме: одна за другой исклю­чаютсявсе возможности, кроме одной, которая и является доказы­ваемым тезисом. Встандартных косвенных доказательствах альтер­нативы — тезис и антитезис —исключают друг друга в силу законов логики. В разделительном доказательствевзаимная несовмести­мость возможностей и то, что ими исчерпываются все мыслимыеальтернативы, определяются не логическими, а фактическими об­стоятельствами.Отсюда обычная ошибка разделительных доказа­тельств: рассматриваются не всевозможности.

С помощью разделительного доказательства можно попытать­ся,например, показать, что в Солнечной системе жизнь есть только на Земле. Вкачестве возможных альтернатив выдвинем утвержде­ния, что жизнь есть наМеркурии, Венере, Земле и т.д., перечисляя все планеты Солнечной системы.Опровергая затем все альтерна­тивы, кроме одной — говорящей о наличии жизни наЗемле, получим доказательство исходного утверждения.

Нужно заметить, что в ходе доказательства рассматриваются иопровергаются допущения о существовании жизни на других пла­нетах. Вопрос отом, если ли жизнь на Земле, вообще не поднима­ется. Ответ получается косвеннымобразом: путем показа того, что ни на одной другой планете нет жизни. Этодоказательство оказа­лось бы, конечно, несостоятельным, если бы, допустим,выясни­лось, что, хотя ни на одной планете, кроме Земли, жизни нет, живыесущества имеются на одной из комет или на одной из так называемых малых планет,тоже входящих в состав Солнечной сис­темы.

Заключение

Заканчивая разговор о косвенных доказательствах, обратимвнимание на их своеобразие, ограничивающее в известной мере их применимость.

Нет сомнения, что косвенное доказательство представляетсобой эффективное средство обоснования. Но, имея с ним дело, мы вынуждены всевремя сосредоточиваться не на верном положе­нии, справедливость которогонеобходимо обосновать, а на оши­бочных утверждениях. Сам ход доказательствасостоит в том, что из антитезиса, являющегося ложным, мы выводим следствия дотех пор, пока не придем к утверждению, ошибочность которого несо­мненна.

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Арно А., Николь П. Логика, илиИскусство мыслить, М,: Наука, 1981.

2. Гарднер М. А ну-ка, догадайся! М.:Мир, 1984.

3. Горский Д.П., Ивин А.А., НикифоровА.Л. Краткий словарь по логике. М,: Просвещение, 1991.

4. Ивин А, А. Искусство правильномыслить. М,: Просвещение, 1991.

5. Ивин А. А, По законам логики. М.,1983.

6. Кириллов В. И. Упражнения пологике, М,, 1994.

7. Ковальски Р. Логика в решении проблем,М.: Наука, 1991.

8. Поварнин С. И. Искусство спора. М.,1995.