Реферат: Нечеткие множества в системах управления

--PAGE_BREAK--ВВЕДЕНИЕ
    Математическая теория нечетких множеств, предложенная Л.Заде более четверти века назад, позволяет описывать нечеткие понятия и знания, оперировать этими знаниями и делать нечеткие выводы. Основанные на этой теории методы построения компьютерных нечетких систем существенно расширяют области применения компьютеров. В последнее время нечеткое управление является одной из самых активных и результативных областей исследований применения теории нечетких множеств. Нечеткое управление оказывается особенно полезным, когда технологические процессы являются слишком сложными для анализа с помощью общепринятых количественных методов, или когда доступные источники информации интерпретируются качественно, неточно или неопределенно. Экспериментально показано, что нечеткое управление дает лучшие результаты, по сравнению с получаемыми при общепринятых алгоритмах управления. Нечеткие методы помогают управлять домной и прокатным станом, автомобилем и поездом, распознавать речь и изображения, проектировать роботов, обладающих осязанием и зрением. Нечеткая логика, на которой основано нечеткое управление, ближе по духу к человеческому мышлению и естественным языкам, чем традиционные логические системы. Нечеткая логика, в основном, обеспечивает эффективные средства отображения неопределенностей и неточностей реального мира. Наличие математических средств отражения нечеткости исходной информации позволяет построить модель, адекватную реальности.



1. НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
Пусть E — универсальное множество, x — элемент E, а R — некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество A универсального множества E, элементы которого удовлетворяют свойству R, определяется как множество упорядоченных пар A = {
mA (х)/х}, где

mA(х) — характеристическая функция, принимающая значение 1, если x удовлетворяет свойству R, и — в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов x из E нет однозначного ответа «да-нет» относительно свойства R. В связи с этим, нечеткое подмножество A универсального множества E определяется как множество упорядоченных пар A = {
mA(х)/х}, где

mA(х) — характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве M (например, M = [0,1]). Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x подмножеству A. Множество M называют множеством принадлежностей. Если M = {0,1}, то нечеткое подмножество A может рассматриваться как обычное или четкое множество.
Примеры записи нечеткого множества
Пусть E = {x1, x2, x3, x4, x5 }, M= [0,1]; A — нечеткое множество, для которого

mA(x1)=0,3;

mA(x2)=0;

mA(x3)=1;

mA(x4)=0,5;

mA(x5)=0,9.

Тогда A можно представить в виде:

A = {0,3/x1; 0/x2; 1/x3; 0,5/x4;0,9/x5 } или

A= 0,3/x1 + 0/x2 + 1/x3 + 0,5/x4 + 0,9/x5, или

A =

x1

x2

x3

x4

x5

0,3

0

1

0,5

0,9



.

Замечание. Здесь знак "+" не является обозначением операции сложения, а имеет смысл объединения.
Основные характеристики нечетких множеств
Пусть M = [0,1] и A — нечеткое множество с элементами из универсального множества E и множеством принадлежностей M.

Величина <img width=«30» height=«38» src=«ref-1_277160587-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1025">m A(x) называется высотой нечеткого множества A. Нечеткое множество A нормально, если его высота равна 1, т.е. верхняя граница его функции принадлежности равна 1 (<img width=«30» height=«38» src=«ref-1_277160587-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1026">m A(x)=1). При <img width=«30» height=«38» src=«ref-1_277160587-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1027">mA(x)<1 нечеткое множество называется субнормальным.

Нечеткое множество пусто, если " x
ÎE m A(x)=0. Непустое субнормальное множество можно нормализовать по формуле mA(x) := <img width=«78» height=«58» src=«ref-1_277161226-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1028">.

Нечеткое множество унимодально, m A(x)=1 только на одном x из E.

Носителем нечеткого множества A является обычное подмножество со свойством mA(x)>0, т.е. носитель A = {x/
mA(x)>0} " x
ÎE.

Элементы x
ÎE, для которых mA(x)=0,5 называются точками перехода множества A.
    продолжение
--PAGE_BREAK--Примеры нечетких множеств
Пусть E = {0,1,2,..,10}, M =[0,1]. Нечеткое множество «несколько» можно определить следующим образом: "несколько" = 0,5/3+0,8/4+1/5+1/6+0,8/7+0,5/8; его характеристики:высота= 1, носитель={3,4,5,6,7,8}, точки перехода — {3,8}.

Пусть E = {0,1,2,3,...,n,...}. Нечеткое множество "малый" можно определить:

«малый» = <img width=«255» height=«113» src=«ref-1_277161586-585.coolpic» v:shapes="_x0000_i1029">.

Пусть E = {1,2,3,...,100} и соответствует понятию "возраст", тогда нечеткое множество "молодой", может быть определено с помощью

m
«молодой»
(x) = <img width=«227» height=«113» src=«ref-1_277162171-619.coolpic» v:shapes="_x0000_i1030">.

Нечеткое множество "молодой" на универсальном множестве E' ={Иванов, Петров, Сидоров,...} задается с помощью функции принадлежности m"молодой"(x) на E = {1,2,3,..100} (возраст), называемой по отношению к E' функцией совместимости, при этом:

m«молодой»(Сидоров):= m"молодой"(x), где x — возраст Сидорова.

Пусть E = {Запорожец, Жигули, Мерседес,....} — множество марок автомобилей, а E' = [0,¥) — универсальное множество "стоимость", тогда на E' мы можем определить нечеткие множества типа: "для бедных", "для среднего класса", "престижные", с функциями принадлежности типа:
<img width=«400» height=«100» src=«ref-1_277162790-1660.coolpic» v:shapes="_x0000_i1031">
Имея эти функции и зная стоимости автомобилей из E в данный момент времени, мы тем самым определим на E' нечеткие множества с этими же названиями.

Так, например, нечеткое множество "для бедных", заданное на универсальном множестве E = {Запорожец, Жигули, Мерседес,....} выглядит следующим образом:
<img width=«400» height=«100» src=«ref-1_277164450-809.coolpic» v:shapes="_x0000_i1032">
Аналогично можно определить Нечеткое множество "скоростные", "средние", "тихоходные" и т.д.
О методах построения функций принадлежности нечетких множеств
В приведенных выше примерах использованы прямыеметоды, когда эксперт либо просто задает для каждого x
ÎE значение m A(x), либо определяет функцию совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т.д., или когда выделяются полярные значения.

Во многих задачах при характеристике объекта можно выделить набор признаков и для каждого из них определить полярные значения, соответствующие значениям функции принадлежности, 0 или 1.

Например в задаче распознавания лиц можно выделить следующие шкалы:



Для конкретного лица А эксперт, исходя из приведенной шкалы, задает mA(x)
Î [0,1], формируя векторную функцию принадлежности {
mA(x1),
mA(x2),…
mA(x9)}.

При прямых методах используются также групповые прямые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкретное лицо и каждый должен дать один из двух ответов: "этот человек лысый" или «этот человек не лысый», тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение m «лысый» (данного лица). (В этом примере можно действовать через функцию совместимости, но тогда придется считать число волосинок на голове у каждого из предъявленных эксперту лиц).

Косвенные методы определения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравнений. Если бы значения функций принадлежности были нам известны, например, mA(xi) = wi, i=1,2,...,n, то попарные сравнения можно представить матрицей отношений A = {aij}, где aij=wi/wj (операция деления).

На практике эксперт сам формирует матрицу A, при этом предполагается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов симметричных относительно диагонали aij = 1/aij, т.е. если один элемент оценивается в a раз сильнее чем другой, то этот последний должен быть в 1/a раз сильнее, чем первый. В общем случае задача сводится к поиску вектора w, удовлетворяющего уравнению вида Аw = lmaxw, где lmax — наибольшее собственное значение матрицы A. Поскольку матрица А положительна по построению, решение данной задачи существует и является положительным.


    продолжение
--PAGE_BREAK--Операции над нечеткими множествами
Включение.

Пусть A и B — нечеткие множества на универсальном множестве E.

Говорят, что A содержится в B, если "x
ÎE
mA(x)
mB(x).

Обозначение: A
Ì B.

Иногда используют термин "доминирование", т.е. в случае когда A Ì B, говорят, что B доминирует A.

Равенство.

A и B равны, если "x
ÎE
mA(x) =
mB (x).

Обозначение: A = B.

Дополнение.

Пусть M = [0,1], A и B — нечеткие множества, заданные на E. A и B дополняют друг друга, если

"x
ÎE
mA(x) = 1 —
m B(x).

Обозначение: B = <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_277165259-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1033">или A = <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_277165414-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1034">.

Очевидно, что <img width=«26» height=«28» src=«ref-1_277165570-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1035">= A. (Дополнение определено для M = [0,1], но очевидно, что его можно определить для любого упорядоченного M).

Пересечение.

AÇB — наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B.

mA
ÇB(x) = min(
mA(x),
m B(x)).

Объединение.

А
È В — наименьшее нечеткое подмножество, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности:

mA
È B(x) = max(
mA(x),
m B(x)).

Разность.

А — B = А
Ç<img width=«17» height=«19» src=«ref-1_277165414-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1036"> с функцией принадлежности:

mA-B(x) =
mA
Ç<img width=«17» height=«19» src=«ref-1_277165414-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1037"> (x) = min(
mA(x), 1 —
m B(x)).

Дизъюнктивная сумма.

А
ÅB = (А — B)
È(B — А) = (А
Ç<img width=«17» height=«19» src=«ref-1_277165414-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1038">)
È(<img width=«17» height=«19» src=«ref-1_277165259-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1039">
Ç B) с функцией принадлежности:

mA-B(x) = max{[min{
m A(x), 1 —
mB(x)}];[min{1 —
mA(x),
mB(x)}] }

Примеры.

Пусть:

A = 0,4/ x1 + 0,2/ x2+0/ x3+1/ x4;

B= 0,7/ x1+0,9/ x2+0,1/ x3+1/ x4;

C= 0,1/ x1+1/ x2+0,2/ x3+0,9/ x4.

Здесь:

A
ÌB, т.е. A содержится в B или B доминирует A, С несравнимо ни с A, ни с B, т.е. пары {A, С} и {A, С} — пары недоминируемых нечетких множеств.

A ¹B ¹C.

<img width=«17» height=«19» src=«ref-1_277165259-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1040">= 0,6/ x1 + 0,8/x2 + 1/x3 + 0/x4;

<img width=«17» height=«19» src=«ref-1_277165414-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041">= 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0,9/x3 + 0/x4.

A
Ç
B= 0,4/x1 + 0,2/x2 + 0/x3 + 1/x4.

А
ÈВ = 0,7/x1 + 0,9/x2 + 0,1/x3 + 1/x4.

А — В = А
Ç <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_277165414-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1042">= 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0/x3 + 0/x4;

В — А =<img width=«17» height=«19» src=«ref-1_277165259-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1043">Ç В = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.

А
Å В = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.
Наглядное представление операций над нечеткими множествами
   Для нечетких множеств можно строить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значения mA(x), на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы E (мы уже использовали такое представление в примерах нечетких множеств). Если E по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными простые операции над нечеткими множествами.

<img width=«200» height=«100» src=«ref-1_277166995-1883.coolpic» v:shapes="_x0000_i1044"> 

<img width=«200» height=«100» src=«ref-1_277168878-1707.coolpic» v:shapes="_x0000_i1045">  <img width=«200» height=«100» src=«ref-1_277170585-2860.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046">  <img width=«200» height=«100» src=«ref-1_277173445-844.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047">
На верхней части рисунка заштрихованная часть соответствует нечеткому множеству A и, если говорить точно, изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в A. На нижней — даны <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_277165259-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048">, AÇ <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_277165259-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049">, AÈ <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_277165259-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050">.
    продолжение
--PAGE_BREAK--Свойства операций È и Ç.
Пусть А, В, С — нечеткие множества, тогда выполняются следующие свойства:

<img width=«130» height=«55» src=«ref-1_277174754-352.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051">- коммутативность;

<img width=«203» height=«49» src=«ref-1_277175106-3238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052">- ассоциативность;

<img width=«99» height=«55» src=«ref-1_277178344-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053">- идемпотентность;

<img width=«246» height=«49» src=«ref-1_277178661-512.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054">- дистрибутивность;

A
ÈÆ = A, где Æ — пустое множество, т.е. mÆ(x) = 0
">x
ÎE;

AÇÆ = Æ;

A
ÇE = A, где E — универсальное множество;

AÈE = E;

<img width=«142» height=«59» src=«ref-1_277179173-381.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055">- теоремы де Моргана.

В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае:

AÇ<img width=«17» height=«19» src=«ref-1_277165259-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056">¹ Æ,

AÈ<img width=«17» height=«19» src=«ref-1_277165259-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057">¹ E.

(Что, в частности, проиллюстрировано выше в примере наглядного представления нечетких множеств).

Замечание. Введенные выше операции над нечеткими множествами основаны на использовании операций max и min. В теории нечетких множеств разрабатываются вопросы построения обобщенных, параметризованных операторов пересечения, объединения и дополнения, позволяющих учесть разнообразные смысловые оттенки соответствующих им связок "и", "или", "не".

Один из подходов к операторам пересечения и объединения заключается в их определении в классе треугольных норм и конорм.

Треугольной нормой (t-нормой) называется двуместная действительная функция T:[0,1]´[0,1]®[0,1], удовлетворяющая следующим условиям:

T(0,0)=0; T(mA, 1) = mA; T(1,m A) = mA — ограниченность;

T(mA, mB) £T(mC, mD), если mA£mC, mB£mD — монотонность;

T(mA, m B) = T(mB, mA) — коммутативность;

T(mA, T(m B, mC))= T( T(mA, mB), mC) — ассоциативность;

Простым случаем треугольных норм являются:

min(mA,m
B)

произведение mA
×mB

max(0,mA +m B -1).

Треугольной конормой (t-конормой) называется двуместная действительная функция ^:[0,1]´[0,1]® [0,1], со свойствами:

T(1,1) = 1; T(
mA ,0) = m A; T(0, m A) = mA — ограниченность;

T(mA, mB )³ T(mC, mD ), если mA³mC, mB³mD — монотонность;

T(mA, mB ) = T(mB, mA ) — коммутативность;

T(mA, T(mB, mC )) = T(T(mA, mB ), mC ) — ассоциативность.

Примеры t-конорм:

max(mA, mB)

mA+ mB— mA×mB

min(1, mA+ mB).
Алгебраические операции над нечеткими множествами
Алгебраическое произведение A и B обозначается A
×B и определяется так:

"x
ÎE
mA
×B (x) =
mA(x)
mB(x).

Алгебраическая сумма этих множеств обозначается <img width=«43» height=«18» src=«ref-1_277179864-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058">и определяется так:

"
x
Î
E<img width=«38» height=«22» src=«ref-1_277180055-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059">=
m
A(x) +
m
B
(x)
-m
A
(x)
m
B
(x).

Для операций {×, <img width=«14» height=«18» src=«ref-1_277180237-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060">} выполняются свойства:

<img width=«108» height=«49» src=«ref-1_277180379-328.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061">- коммутативность;

<img width=«184» height=«49» src=«ref-1_277180707-488.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062">- ассоциативность;

A×Æ = Æ, A<img width=«14» height=«18» src=«ref-1_277180237-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063">Æ = A, A×E = A, A<img width=«14» height=«18» src=«ref-1_277180237-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064">E = E

<img width=«102» height=«53» src=«ref-1_277181479-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065">- теоремы де Моргана.

Не выполняются:

<img width=«85» height=«49» src=«ref-1_277181839-295.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066">- идемпотентность;

<img width=«213» height=«50» src=«ref-1_277182134-600.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067">- дистрибутивность;

а также A×<img width=«17» height=«20» src=«ref-1_277165259-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068"> = Æ, A<img width=«14» height=«18» src=«ref-1_277180237-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069"><img width=«17» height=«20» src=«ref-1_277183031-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">= E.

Замечание. Доказательства приводимых свойств операций над нечеткими множествами мы оставляем читателю.

Для примера докажем свойство: <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_277183031-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071">. Обозначим mA(x) через a, mB(x) через b. Тогда в левой части для каждого элемента х имеем: 1-ab, а в правой: (1-a)+(1-b)-(1-a)(1-b) = 1-a+1-b-1+a+b-ab = 1-ab. 

Докажем, что свойство дистрибутивности не выполняется, т.е. A
×(B<img width=«14» height=«18» src=«ref-1_277180237-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072">C)
¹ (A
×B)<img width=«14» height=«18» src=«ref-1_277180237-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073">(A
×C). Для левой части имеем: a(b+c-bc) = ab+ac-abc; для правой: ab+ac-(ab)(ac) = ab+ac+a2bc. Это означает, что дистрибутивность не выполняется при a
¹a2. 

Замечание. При совместном использовании операций {È, Ç,+,×} выполняются свойства:

А×(BÈC) = (A×B)È(A ×C);

А×(BÇC) = (A×B)Ç(A×C);

А<img width=«14» height=«18» src=«ref-1_277180237-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074">(BÈC) = (A<img width=«14» height=«18» src=«ref-1_277180237-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">B)È(A<img width=«14» height=«18» src=«ref-1_277180237-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076">C);

А<img width=«14» height=«18» src=«ref-1_277180237-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">(BÇC)=(A<img width=«14» height=«18» src=«ref-1_277180237-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">B)Ç(A<img width=«14» height=«18» src=«ref-1_277180237-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079">C).

Продолжим обзор основных операций над нечеткими множествами.

На основе операции алгебраического произведения (по крайней мере для целых a эта основа очевидна) определяется операция возведения в степень a нечеткого множества A, где a — положительное число. Нечеткое множество A
a определяется функцией принадлежности mA
a =
maA(x). Частным случаем возведения в степень являются:

CON(A) = A2 — операция концентрирования,

DIL(A) = A0,5 — операция растяжения,

которые используются при работе с лингвистическими неопределенностями.
<img width=«425» height=«143» src=«ref-1_277184477-2177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080">


Умножение на число. Если a — положительное число, такое, что a<img width=«41» height=«36» src=«ref-1_277186654-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081">
m A(x)
£1, то нечеткое множество aA имеет функцию принадлежности:

maA(x) = amA(x).

Выпуклая комбинация нечетких множеств. Пусть A1, A2,.., An — нечеткие множества универсального множества E, а w1,
w2, ...,
wn — неотрицательные числа, сумма которых равна 1.

Выпуклой комбинацией A1, A2,.., An называется нечеткое множество A с функцией принадлежности:

"x
ÎE
mA(x1, x1,..., xn) =
w1
mA1(x) +
w2
mA2(x) +…
+
w
n
m
Ai
(x).

Декартово произведение нечетких множеств. Пусть A1, A2, ..., An — нечеткие подмножества универсальных множеств E1, E2, ..., En соответственно. Декартово произведение A = A1´A2´ ...´An является нечетким подмножеством множества E = E1´E2´ ...´En с функцией принадлежности:

mA(x1,x1, ...,xn) = min{ mA1(x1), mA2(x2),…, mAi(xn) }.

Оператор увеличения нечеткости используется для преобразования четких множеств в нечеткие и для увеличения нечеткости нечеткого множества.

Пусть A — нечеткое множество, E — универсальное множество и для всех x
ÎE определены нечеткие множества K(х). Совокупность всех K(х) называется ядром оператора увеличения нечеткости Ф. Результатом действия оператора Ф на нечеткое множество A является нечеткое множество вида:

Ф(A, K) = <img width=«37» height=«42» src=«ref-1_277186861-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082">mA(x)K(х),

где mA(x)K(х) — произведение числа на нечеткое множество.

Пример:

E = {1,2,3,4};

A = 0,8/1+0,6/2+0/3+0/4;

K(1) = 1/1+0,4/2;

K(2) = 1/2+0,4/1+0,4/3;

K(3) = 1/3+0,5/4;

K(4) = 1/4.
Тогда

Ф
(A,K)= mA(1) K(1) Èm
A(2)K(2) Èm
A(3)K(3)Èm
A(4)K(4) =

= 0,8(1/1+0,4/2) È 0,6(1/2+0,4/1+0,4/3) =

= 0,8/1+0,6/2+0,24/3.

Четкое множество
a-уровня (или уровня
a). Множеством a-уровня нечеткого множества A универсального множества E называется четкое подмножество Aa универсального множества E, определяемое в виде:

A
a ={x/m A(x)³a}, где a£1.

Пример: A = 0,2/x1 + 0/x2 + 0,5/x3 + 1/x4 ,

тогдаA0.3= {x3,x4},

A0.7 = {x4}.

Достаточно очевидное свойство: если a1³a2, то Aa1£ Aa2.

Теорема о декомпозиции. Всякое нечеткое множество A разложимо по его множествам уровня в виде:

A = <img width=«40» height=«42» src=«ref-1_277187063-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083">aA
a, где aA
a — произведение числа a на множество A, и a «пробегает» область значений M функции принадлежности нечеткого множества A.

Пример: A = 0,1/x1 + 0/x2 + 0,7/x3 + 1/x4 представимо в виде:

A= 0,1(1,0,1,1) È0,7(0,0,1,1,) È1(0,0,0,1)=

= (0,1/x1 + 0/x2 + 0,1/x3 + 0,1/x4)È(0/x1 + 0/x2 + 0,7/x3 + 0,7/x4)È

È(0/x1 + 0/x2 + 0/x3 + 1/x4) = 0,1/x1 +0/x2 +0,7/x3 +1/x4 .

Если область значений функции принадлежности состоит из n градаций a1£ a2£ a3£ ...£ an, то A (при фиксированных значениях градаций) представимо в виде:

A= <img width=«23» height=«43» src=«ref-1_277187266-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084">aiAai,

т.е. определяется совокупностью обычных множеств { Aa1, Aa2, ..., Aai}, где Aa1³Aa2³, ..., ³Aai.
    продолжение
--PAGE_BREAK--Расстояние между нечеткими множествами, индексы нечеткости
Пусть A и B — нечеткие подмножества универсального множества E. Введем понятие расстояния r(A, B) между нечеткими множествами. При введении расстояния обычно предъявляются следующие требования:

r(A, B) ³ 0 — неотрицательность;

r(A, B) = r(B, A) — симметричность;

r(A, B) < r(A, C) + r(C, B).

К этим трем требованиям можно добавить четвертое: r(A, A) = 0.

Определим следующие расстояния по формулам:

Расстояние Хемминга (или линейное расстояние):

r(A, B) = <img width=«28» height=«55» src=«ref-1_277187453-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085">½mA(xi) — m
B(xi)½.

Очевидно, что r(A, B)Î[0, n].

Евклидово или квадратичное расстояние:

e(A, B) = <img width=«197» height=«61» src=«ref-1_277187684-519.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">, e(A, B)Î[0, <img width=«25» height=«22» src=«ref-1_277188203-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087">].

Относительное расстояние Хемминга:

r(A, B) = <img width=«17» height=«48» src=«ref-1_277188380-173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088"><img width=«165» height=«55» src=«ref-1_277188553-431.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">, r(A, B)Î[0,1].

Относительное евклидово расстояние:

e(A, B)=<img width=«30» height=«50» src=«ref-1_277188984-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090"><img width=«197» height=«61» src=«ref-1_277187684-519.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">, e(A, B)Î[0,1].

Расстояние Хемминга и квадратичное расстояние, в случае когда E бесконечно, определяются аналогично с условием сходимости соответствующих сумм:

если E счетное, то

r(A, B) = <img width=«28» height=«55» src=«ref-1_277189700-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">½mA(xi) — m
B(xi)½,

e(A,
B) = <img width=«155» height=«50» src=«ref-1_277189926-430.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093">;

если E = R (числовая ось), то

r(A, B) = <img width=«177» height=«60» src=«ref-1_277190356-442.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094">,

e(A, B) = <img width=«212» height=«65» src=«ref-1_277190798-506.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">.

Замечание. Здесь приведены два наиболее часто встречающихся определения понятия расстояния. Разумеется, для нечетких множеств можно ввести и другие определения понятия расстояния.

   Перейдем к индексам нечеткости или показателям размытости нечетких множеств.

Если объект х обладает свойством R (порождающим нечеткое множество A) лишь в частной мере, т.е.

0<
mA(x)<1, то внутренняя неопределенность, двусмысленность объекта х в отношении R проявляется в том, что он, хотя и в разной степени, принадлежит сразу двум противоположным классам: классу объектов, «обладающих свойством R», и классу объектов, «не обладающих свойством R». Эта двусмысленность максимальна, когда степени принадлежности объекта обеим классам равны, т.е. mA(x) = <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_277191304-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096">(x) = 0,5, и минимальна, когда объект принадлежит только одному классу, т.е. либо mA(x) = 1 и <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_277191304-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097">(x) = 0, либо mA(x) = 0 и <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_277191304-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">(x) = 1.

В общем случае показатель размытости нечеткого множества можно определить в виде функционала d(A) со значениями в R (положительная полуось), удовлетворяющего условиям:

d(A) = 0 тогда и только тогда, когда А — обычное множество;

d(A) максимально тогда и только тогда, когда mA(x) = 0.5 для всех x
ÎE.

d(A)d(B), если A является заострением B, т.е.

mA(x)£mB(x) при mB(x) < 0,5;

mA(x)³mB(x) при mB(x) > 0,5;

mA(x)- любое при mB(x) = 0,5.

d(A) = d(<img width=«17» height=«20» src=«ref-1_277183031-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">) — симметричность по отношению к 0,5.

d(AÈB)+d(AÇB) = d(A)+d(B).
Замечание. Приведенная система аксиом при введении конкретных показателей размытости часто используется частично, т.е., например, ограничиваются свойствами P1, P2 и P3, либо некоторые свойства усиливаются или ослабляются в зависимости от решаемой задачи.

Рассмотрим индексы нечеткости (показатели размытости), которые можно определить, используя понятие расстояния.
Обычное множество, ближайшее к нечеткому
Пусть A — нечеткое множество. Вопрос: какое обычное множество A
ÌE является ближайшим к A, т.е. находится на наименьшем евклидовом расстоянии от нечеткого множества A. Таким подмножеством, обозначаемым A, является подмножеством с характеристической функцией:

<img width=«281» height=«74» src=«ref-1_277191981-832.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">.

Обычно принимают mA(xi) = 0, если mA(xi) = 0,5.

Используя понятие обычного множества, ближайшего к нечеткому, введем следующие индексы нечеткости нечеткого множества А.

Линейный индекс нечеткости:

<img width=«120» height=«42» src=«ref-1_277192813-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">

Здесь r(A, A) — линейное (хеммингово) расстояние, множитель — <img width=«11» height=«23» src=«ref-1_277193144-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">обеспечивает выполнение условия 0<d(A)<1.
Квадратичный индекс нечеткости

<img width=«127» height=«43» src=«ref-1_277193320-351.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103">, 0<d(A)<1.

Здесь e(A, A) — квадратичное (евклидово) расстояние.

Замечания.

1. Мы ввели линейный и квадратичный индексы нечеткости, используя понятие расстояния и понятие обычного множества, ближайшего к нечеткому. Эти же индексы можно определить, используя операцию дополнения, следующим образом:

<img width=«211» height=«46» src=«ref-1_277193671-512.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">- линейный индекс,

<img width=«253» height=«50» src=«ref-1_277194183-4718.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">- квадратичный индекс.

2. Отметим следующие свойства, связанные с ближайшим обычным множеством:

А
ÇВ=А
ÇВ,

А
ÈВ=А
ÈВ;

а также "x
ÎE:|
mA(xi)-
mA(xi)|=<img width=«63» height=«26» src=«ref-1_277198901-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">, откуда для линейного индекса нечеткости имеем:

<img width=«146» height=«46» src=«ref-1_277199140-429.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">,

т.е. в этом представлении становится очевидным, что d(A)=d(<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_277199569-367.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">).

3. Нечеткое множество с функцией принадлежности <img width=«73» height=«25» src=«ref-1_277199936-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">иногда называют векторным индикатором нечеткости.

Оценка нечеткости через энтропию
Ограничимся случаем конечного универсального множества. Энтропия системы с n состояниями e1,e2, ..., en, с которыми связаны вероятности p1,p2, ..., pn определяется выражением:

H(p1, p2, ..., pn) = — <img width=«51» height=«43» src=«ref-1_277200200-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">piln pi, Hmin = 0, Hmax = 1.

В случае нечетких множеств положим:

pA(xi) = <img width=«71» height=«67» src=«ref-1_277200477-383.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">

Тогда общую формулу, позволяющую подсчитать энтропию по нечеткости, можно записать в следующем виде:

H(pA(x1), pA(x2), ..., pA(xn)) = — <img width=«51» height=«43» src=«ref-1_277200200-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">pA(xi) ln pA(xi).

Замечание. Попытки использования энтропии в теории нечетких множеств (в приведенном выше виде) показали, что это не лучший способ оценки. Однако работы по обобщению понятия энтропии для нечетких множеств продолжаются.
    продолжение
--PAGE_BREAK--Принцип обобщения
Принцип обобщения — одна из основных идей теории нечетких множеств — носит эвристический характер и используется для расширения области применения нечетких множеств на отображения. Пусть X и Y — два заданных универсальных множества. Говорят, что имеется функция, определенная на X со значением в Y, если, в силу некоторого закона f, каждому элементу XÎX соответствует элемент yÎY.

Когда функцию f: X®Y называют отображением, значение f(x)ÎY, которое она принимает на элементе xÎX, обычно называют образом элемента x.

Образом множества АÌХ при отображении с®Y называют множество f(A)ÌY тех элементов Y, которые являются образами элементов множества А.

Замечание. Мы напомнили классическое определение отображения, которое в теории нечетких множеств принято называть четким отображением, т.к. наряду с ним мы введем понятие нечеткого отображения (или нечеткой функции).
Будем говорить, что имеется нечеткая функция f, определенная на X со значением в Y, если она каждому элементу xÎX ставит в соответствие элемент yÎY со степенью принадлежности mf(x,y). Нечеткая функция f определяет нечеткое отображение f:X<img width=«23» height=«17» src=«ref-1_277201137-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">Y.

Принцип обобщения заключается в том, что при заданном четком f:X®Y или нечетком f:X<img width=«23» height=«17» src=«ref-1_277201137-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114">Y отображении для любого нечеткого множества А, заданного на Х, определяется нечеткое множество f(A) на Y, являющееся образом A.

Пусть f:X
®Y заданное четкое отображение,

а A = {mA(x)/х}- нечеткое множество в Х. Тогда образом А при отображении f является нечеткое множество f(A) на Y с функцией принадлежности:

mf(A)(y) = <img width=«45» height=«28» src=«ref-1_277201473-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">mA(x); yÎY,
гдеf-1(y)={x/f(x)=y}.

В случае нечеткого отображения f:X<img width=«23» height=«17» src=«ref-1_277201137-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">Y, когда для любых xÎX и yÎY определена двуместная функция принадлежности mf(x,y), образом нечеткого множества А, заданного на Х, является нечеткое множество f(A) на Y с функцией принадлежности:

mf(A)(y) = <img width=«28» height=«28» src=«ref-1_277201867-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">min(
mA(x), mf(x,y)).
Замечание. Мы не приводим примеров использования принципа обобщения. Предлагаем подумать, каким образом можно определить нечеткое число и как с помощью принципа обобщения (не забывая декартова произведения) и классических операций возведения числа в степень(одноместная), сложения и умножения (двуместные) получать соответствующие нечеткие результаты. К нечетким отображениям мы вернемся, когда будем рассматривать понятие нечеткого отношения.

2. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ
Пусть Е = Е1
´Е2
´ ...
´Еn — прямое произведение универсальных множеств и М — некоторое множество принадлежностей (например М = [0,1]). Нечеткое n-арное отношение определяется как нечеткое подмножество R на E, принимающее свои значения в М. В случае n=2 и М = [0,1], нечетким отношением R между множествами X = Е1 и Y = Е2 будет называться функция R:(X,Y)
® [0,1], которая ставит в соответствие каждой паре элементов (х,y)ÎX
´Y величину mR(x,y) Î[0,1]. Обозначение: нечеткое отношение на X
´Y запишется в виде: xÎX, yÎY: xRy. В случае, когда X = Y, т.е. X и Y совпадают, нечеткое отношение R: X´X®[0,1] называется нечетким отношением на множестве X.
Примеры:

Пусть X = {x1,x2,x3}, Y = {y1,y2,y3,y4}, М = [0,1]. Нечеткое отношение R=XRY может быть задано, к примеру, таблицей:



Пусть X = Y = (-<img width=«7» height=«7» src=«ref-1_277202063-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">, <img width=«15» height=«10» src=«ref-1_277202197-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119">), т.е. множество всех действительных чисел. Отношение x>>y (x много больше y) можно задаеть функцией принадлежности: <img width=«265» height=«93» src=«ref-1_277202339-620.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">

Отношение R, для которого mR(x,y) = e-k(x-y)2, при достаточно больших k можно интерпретировать так: «x и y близкие друг к другу числа».

В случае конечных или счетных универсальных множеств очевидна интерпретация нечеткого отношения в виде нечеткого графа, в котором пара вершин (xi,xj) в случае XRX соединяется ребром с весом mR(xi,xj), в случае XRY пара вершин (xi,yj) соединяется ребром c весом mR(xi,yj).

Примеры:

Пусть Х={x1,x2,x3}, и задано нечеткое отношение R: X´X® [0,1], представимое графом:

<img width=«365» height=«160» src=«ref-1_277202959-1258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121">
Пусть X={x1,x2} и Y={y1,y2,y3}, тогда нечеткий граф вида:

<img width=«343» height=«160» src=«ref-1_277204217-1319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122">
задает нечеткое отношение XRY.

Замечание. В общем случае нечеткий граф может быть определен на некотором GÌX´Y, где G — множество упорядоченных пар (x,y) (необязательно всех возможных) такое, что GÇ <img width=«10» height=«12» src=«ref-1_277205536-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">= Æ и GÈ<img width=«10» height=«13» src=«ref-1_277205689-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124"> = X´Y.

Будем использовать обозначения <img width=«14» height=«18» src=«ref-1_277205843-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125">вместо <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_277206005-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126">и <img width=«15» height=«18» src=«ref-1_277206198-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">вместо <img width=«37» height=«26» src=«ref-1_277206363-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128">.

Пусть R: X´Y®[0,1].

Носитель нечеткого отношения.

Носителем нечеткого отношения R называется обычное множество упорядоченных пар (x,y), для которых функция принадлежности положительна:

S(R)={(x,y): m
R(x,y)>0}.
Нечеткое отношение содержащее данное нечеткое отношение, или содержащееся в нем.

Пусть R1 и R2 — два нечетких отношения такие, что:

"(x,y)ÎX´ Y: mR1(x,y)£mR2(x,y),

тогда говорят, что R2 содержит R1 или R1 содержится в R2 .
Обозначение: R1
ÍR2 .
Пример:

<img width=«203» height=«53» src=«ref-1_277206535-486.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">

<img width=«205» height=«53» src=«ref-1_277207021-488.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">

Отношения R1, R2 — отношения типа y>>x (y много больше x). При k2 > k1 отношение R2 содержит R1.
    продолжение
--PAGE_BREAK--Операции над нечеткими отношениями
Объединение двух отношений R1 и R2.

Объединение двух отношений обозначается R1
ÈR2 и определяется выражением:

mR1
ÈR2(x,y) = mR1(x,y)Ú mR2(x,y)
Примеры:

1. Ниже изображены отношения действительных чисел, содержательно означающие: xR1y — «числа x и y очень близкие», xR2y — «числа x и y очень различны» и их объединение xR1
ÈR2y — «числа x и y очень близкие или очень различные».

Функции принадлежности отношений заданы на |y-x|. <img width=«639» height=«221» src=«ref-1_277207509-2057.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">

mR1ÈR2(x,y) =







mR1(x,y), | y — x | £a

mR2(x,y), | y — x | >a

гдеa— такое|y-x|, чтоm
R1(x,y) = m
R2(x,y)

2.

R1

 

y1

y2

y3

x1

0,1



0,8

x2

1

0,7





R2

 

y1

y2

y3

x1

0,7

0,9

1

x2

0,3

0,4

0,5



R1ÈR2

 

y1

y2

y3

x1

0,7

0,9

1

x2

1

0,7

0,5



Пересечение двух отношений.

Пересечение двух отношений R1 и R2 обозначается R1
ÇR2 и определяется выражением:

mR1
ÇR2(x,y) = mR1(x,y)Ù mR2(x,y)

.

Примеры:

1. Ниже изображены отношения: xR1y, означающее «модуль разности |y-x| близок к a», xR2y, означающее «модуль разности |y-x| близок к b», и их пересечение.

<img width=«591» height=«237» src=«ref-1_277209566-1575.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">

Алгебраическое произведение двух отношений.

Алгебраическое произведение двух отношений R1 и R2 обозначается R1
×R2 и определяется выражением:

mR1
×R2(x,y) = mR1(x,y)× mR2(x,y)

Алгебраическая сумма двух отношений.

Алгебраическая сумма двух отношений R1 и R2 обозначается R1<img width=«14» height=«18» src=«ref-1_277180237-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">R2 и определяется выражением: <img width=«370» height=«25» src=«ref-1_277211283-592.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">.

Для введенных операций справедливы следующие свойства дистрибутивности:

R1Ç(R2ÈR3) = (R1ÇR2 )È(R1ÇR3),

R1È(R2ÇR3) = (R1ÈR2)Ç(R1ÈR3),

R1×(R2ÈR3) = (R1×R2)È(R1×R3),

R1×(R2ÇR3) = (R1×R2)Ç(R1×R3),

R1<img width=«14» height=«18» src=«ref-1_277180237-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135">(R2ÈR3) = (R1<img width=«14» height=«18» src=«ref-1_277180237-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136">R2)È(R1<img width=«14» height=«18» src=«ref-1_277180237-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137">R3),

R1<img width=«14» height=«18» src=«ref-1_277180237-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138">(R2ÇR3) = (R1<img width=«14» height=«18» src=«ref-1_277180237-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">R2)Ç(R1<img width=«14» height=«18» src=«ref-1_277180237-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140">R3).

Дополнение отношения.

Дополнение отношения R обозначается <img width=«11» height=«12» src=«ref-1_277212727-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141">и определяется функцией принадлежности:

<img width=«18» height=«13» src=«ref-1_277212880-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">(x,y) = 1 — m
R(x,y)

.

Дизъюнктивная сумма двух отношений.

Дизъюнктивная сумма двух отношений R1 и R2 обозначается RÅR и определяется выражением:

R1ÅR2 = (R1Ç<img width=«11» height=«13» src=«ref-1_277213044-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143">2)È(<img width=«11» height=«13» src=«ref-1_277213044-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">1ÇR2).

Обычное отношение, ближайшее к нечеткому.

Пусть R — нечеткое отношение с функцией принадлежности mR(x,y). Обычное отношение, ближайшее к нечеткому, обозначается R и определяется выражением:

<img width=«334» height=«74» src=«ref-1_277213354-852.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145">

По договоренности принимают mR(x,y)=0 при mR(x,y) = 0,5.

Проекции нечеткого отношения.

Пусть R — нечеткое отношение R: (x,y)®[0,1]. Первой проекцией <img width=«14» height=«16» src=«ref-1_277214206-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146">отношения R (проекция на X) называется нечеткое множество <img width=«14» height=«16» src=«ref-1_277214206-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147">, заданное на множестве X, с функцией принадлежности:

<img width=«130» height=«26» src=«ref-1_277214532-346.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148">.

Аналогично, второй проекцией <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_277214878-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">(проекцией на Y) называется нечеткое множество <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_277214878-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150">, заданное на множестве Y, с функцией принадлежности:

<img width=«130» height=«23» src=«ref-1_277215212-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151">.

Величина h(R) = <img width=«135» height=«29» src=«ref-1_277215556-361.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">называется глобальной проекцией отношения R. Если h(R)=1, то отношение R нормально, в противном случае — субнормально.

Пример:

R =

 

y1

y2

y3

y4

y5

x1

0,1

0,2

1

0,3

0,9

x2

0,9

0,1

0,5

0,8

0,5

x3

0,4

0

0,6

1

0,3





1-я проекция



= R1'

 

 

 

 

 

R2' =

 

0,9

0,2

1

1

0,9



 



= h(R)

2-я проекция

 

Цилиндрические продолжения проекций нечеткого отношения

Проекции R1
¢ и R2
¢ нечеткого отношения XRY в свою очередь определяют в X
´Y нечеткие отношения <img width=«20» height=«20» src=«ref-1_277215917-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">и <img width=«23» height=«23» src=«ref-1_277216100-585.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">с функциями принадлежности:

<img width=«26» height=«20» src=«ref-1_277216685-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">(x,y)=<img width=«24» height=«19» src=«ref-1_277216872-173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">(x) при любом y, <img width=«26» height=«23» src=«ref-1_277217045-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">(x,y)=<img width=«25» height=«19» src=«ref-1_277217237-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158">(y) при любом x,

называемые, соответственно, цилиндрическим продолжением R1' и цилиндрическим продолжением R2'.

Замечание. Очевидно, что для любых нечетких подмножеств А и В, определенных, соответственно, на X и Y, можно построить их цилиндрические продолжения А и В.

Пример (продолжение):

Имеем:

R1'=

 

 

x1

1

x2

0,9

x3

1



 

<img width=«20» height=«20» src=«ref-1_277215917-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">=

 

y1

y2

y3

y4

y5

x1

1

1

1

1

1

x2

0,9

0,9

0,9

0,9

0,9

x3

1

1

1

1

1



и

R2' =

   

y1

y2

y3

y4

y5

 

0,9

0,2

1

1

0,9



   <img width=«20» height=«23» src=«ref-1_277217601-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">=

x1

0,9

0,2

1

1

0,9

x2

0,9

0,2

1

1

0,9

x3

0,9

0,2

1

1

0,9



Сепарабельность отношений

Нечеткое отношение XRY называется сепарабeльным, если оно равно пересечению цилиндрических продолжений своих проекций, т.е. если R = <img width=«20» height=«20» src=«ref-1_277215917-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">Ç <img width=«20» height=«23» src=«ref-1_277217601-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">, т.е. mR (x,y) = <img width=«24» height=«19» src=«ref-1_277216872-173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">(x)Ç <img width=«25» height=«19» src=«ref-1_277217237-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">(y).

Замечание. Если определено декартово произведение нечетких множеств (выше оно введено), то, очевидно, нечеткое отношение XRY сепарабельно, если оно является декартовым произведением своих проекций, т.е. R = R1'
´R2'.

Пример (продолжение):

<img width=«20» height=«20» src=«ref-1_277215917-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">Ç <img width=«20» height=«23» src=«ref-1_277217601-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">=

 

y1

y2

y3

y4

y5

x1

0,9

0,2

1

1

0,9

x2

0,9

0,2

0,9

0,9

0,9

x3

0,9

0,2

1

1

0,9



¹ R,

т.е. исходное отношение R несепарабельно.
    продолжение
--PAGE_BREAK--Композиция двух нечетких отношений
Композиция двух нечетких отношений

Пусть R1 — нечеткое отношение R1: (X
´ Y)®[0,1] между X и Y, и R2 — нечеткое отношение R2: (Y
´Z)® [0,1] между Y и Z. Нечеткое отношение между X и Z, обозначаемое R2
·R1, определенное через R1 и R2 выражением

mR1
·R2 (x,z) = <img width=«21» height=«37» src=«ref-1_277218894-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">[mR1 (x,y)LmR1(y,z)],

называется (max-min)-композицией отношений R1 и R2.
Примеры:

m
R1
·
R2(x1, z1) = [mR1(x1, y1) Lm
R2(y1, z1)] V [m
R1(x1, y2) Lm
R2(y2, z1)] V [m
R1(x1, y3) Lm
R2(y3, z1)] =

= (0,1L0,9)V(0,7L0,3)V(0,4L0,1) = 0,1V0,3V0,1 = 0,3

m
R1
·
R2(x1,z2) = (0,1L0)V(0,7L0,6)V(0,4L1) = 0V0,6V0,4 = 0,6

m
R1
·
R2(x1,z3) = 0,1

…

…

m
R1
·
R2(x2,z5) = 0,5

Замечание. В данном примере вначале использован «аналитический» способ композиции отношений R1 и R2, т.е. i-я строка R1 «умножается» на j-й столбец R2 с использованием операции L, полученный результат «свертывается» с использованием операции V в m (xi,zj).

Ниже приведены графы, соответствующие R1 и R2, «склеенные» по Y. В полученном графе рассматриваем пути от xi к zj и каждому ставим в соответствие минимальный из «весов» его составляющих. Затем определяем максимум по всем путям из xi в zj, который и дает искомое m(xi,zj).

<img width=«496» height=«138» src=«ref-1_277219104-2027.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">

<img width=«294» height=«140» src=«ref-1_277221131-2575.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">

Свойства max-min композиции

Операция (max-min)-композиции ассоциативна, т.е.

R3·(R2·R1) = (R3·R2 )·R1,
дистрибутивна относительно объединения, но недистрибутивна относительно пересечения:

R3·(R2È R1) = (R3·R2)È (R3·R1),

R3·(R2Ç R1)¹(R3· R2)Ç(R3· R1).

Кроме того, для (max-min)-композиции выполняется следующее важное свойство: если R1ÌR2 то, R·R1ÌR·R2.

(max-
*) — композиция

В выражении mR1
·R2(x, z) = <img width=«21» height=«37» src=«ref-1_277218894-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">[mR1(x, y)LmR2(y, z)] для (max-min)-композиции отношений R1 и R2 операцию L можно заменить любой другой, для которой выполняются те же ограничения, что и для L: ассоциативность и монотонность (в смысле неубывания) по каждому аргументу. Тогда:

mR1
·R2(x, z) = <img width=«21» height=«37» src=«ref-1_277218894-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">[mR1(x, y)*mR1(y, z)]
В частности, операция L может быть заменена алгебраическим умножением, тогда говорят о (max — prod)-композиции.

Обычное подмножество
a — уровня нечеткого отношения

Обычным подмножеством a — уровня нечеткого отношения R называется четкое (обычное) отношение Ra такое, что

m
R1(x,y) = <img width=«163» height=«49» src=«ref-1_277224126-500.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">
Очевидно, что из a1£ a2 следует Ra1³ Ra2.

Теорема декомпозиции

Любое нечеткое отношение R представимо в форме:

R = <img width=«26» height=«40» src=«ref-1_277224626-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">a×Ra, 0<a£1,
где a×Ra означает, что все элементы Ra умножаются на a.
    продолжение
--PAGE_BREAK--Условные нечеткие подмножества.
Пусть X и Y — универсальные множества, взаимосвязь которых задана нечетким отношением R: (X
´Y)®[0,1], т.е. для каждой пары (x,y)ÎX
´Y задано значение функции принадлежности mR(x,y)Î[0,1].

Пусть А — некоторое нечеткое множество, заданное на Х, т.е. определена функция принадлежности mA(x) для всех х из Х. Тогда нечеткое множество А и нечеткое отношение R индуцируют в Y нечеткое подмножество B с функцией принадлежности

m
B(y) = <img width=«32» height=«21» src=«ref-1_277224813-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">min[m
A(x), m
R(x,y)] = <img width=«21» height=«34» src=«ref-1_277225021-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">[m
A(x)Lm
R(x,y)].

Обозначение: B = A·R.

Пример:

Пусть X = {x1, x2, x3}, Y = {y1, y2, y3, y4} и заданы нечеткое отношение

и нечеткое множество A = {0,3/x1,0,7/x2,1/x3}.

Проведем операцию L для А и столбца y1:

x1

x2

x3

0,3

0,7

1



L

y1

0,8

0,8

0,2



=

y1

0,3L0,8

0,7L0,8

1L0,2



=

y1

0,3

0,7

0,2



После выполнения операции V на элементах полученного столбца имеем:

m
B(y1) = 0,3V0,7V0,2 = 0,7.

Проделав аналогичные вычисления для y2, y3,y4 имеем:

m
B(y2) = 0,3

m
B(y3) = 0,7

m
B(y4) = 0,4.

И окончательно:

A



R



B

0,3

0,7

1



·

0,8

1

0

0,3

0,8

0,3

0,8

0,2

0,2

0,3

0

0,4



=

0,7

0,3

0,7

0,4



Замечание. При заданном R, если А индуцирует В, то ближайшее четкое подмножество А индуцирует В.

Нечеткие подмножества последовательно обуславливающие друг друга

Если

А1 индуцирует А2 посредством R1,

А2 индуцирует А3 посредством R2,

.............................................

Аn-1 индуцирует Аn посредством Rn-1,

то

А1 индуцирует Аn посредством Rn-1·Rn-2· ...·R1,

где Rn-1
·Rn-2
· ...
·R1 — определенная выше композиция нечетких отношений R1, R2, ..., Rn.

Пример:

Вернемся к примеру (max-min)-композиции.

Пусть А={0,3/x1, 0,7/x2 }, тогда





Немного о бинарных отношениях вида XRX

Нечеткие отношения вида XRX задаются функцией принадлежности m R(x,y), но с условием, что x и y — элементы одного и того же универсального множества. В зависимости от своих свойств (основные — симметричность, рефлексивность, транзитивность) конкретные нечеткие отношения задают отношения сходства и различия, порядка или слабого порядка между элементами Х. Они имеют обширную сферу приложений в задачах автоматической классификации и принятия решений (сравнение альтернатив).

    продолжение
--PAGE_BREAK--3. НЕЧЕТКАЯ И ЛИНГВИСТИЧЕСКАЯ ПЕРЕМЕННЫЕ
Понятие нечеткой и лингвистической переменных используется при описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств.

Нечеткая переменная характеризуется тройкой <a, X, A>, где

a — наименование переменной,

X — универсальное множество (область определения a),

A — нечеткое множество на X, описывающее ограничения (т.е. m A(x)) на значения нечеткой переменной a.

Лингвистической переменной называется набор <b ,T,X,G,M>, где

b — наименование лингвистической переменной;

Т — множество ее значений (терм-множество), представляющих собой наименования нечетких переменных, областью определения каждой из которых является множество X. Множество T называется базовым терм-множеством лингвистической переменной;

G — синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-множества T, в частности, генерировать новые термы (значения). Множество TÈ G(T), где G(T) — множество сгенерированных термов, называется расширенным терм-множеством лингвистической переменной;

М — семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение лингвистической переменной, образуемое процедурой G, в нечеткую переменную, т.е. сформировать соответствующее нечеткое множество.

Замечание. Чтобы избежать большого количества символов

символ b используют как для названия самой переменной, так и для всех ее значений;

пользуются одним и тем же символом для обозначения нечеткого множества и его названия, например терм "молодой", являющийся значением лингвистической переменной b = "возраст", одновременно есть и нечеткое множество М ("молодой").

Присвоение нескольких значений символам предполагает, что контекст позволяет разрешить возможные неопределенности.

Пример: Пусть эксперт определяет толщину выпускаемого изделия с помощью понятий "малая толщина", "средняя толщина" и "большая толщина", при этом минимальная толщина равна 10 мм, а максимальная — 80 мм.

Формализация такого описания может быть проведена с помощью следующей лингвистической переменной <b, T, X, G, M>, где

b — толщина изделия;

T — {"малая толщина", "средняя толщина", "большая толщина"};

X — [10, 80];

G — процедура образования новых термов с помощью связок "и", "или" и модификаторов типа "очень", "не", "слегка" и др. Например: "малая или средняя толщина", «очень малая толщина» и др.;

М — процедура задания на X = [10, 80] нечетких подмножеств А1="малая толщина", А2= «средняя толщина», А3="большая толщина", а также нечетких множеств для термов из G(T) в соответствии с правилами трансляции нечетких связок и модификаторов "и", "или", "не", "очень", "слегка" и др. операции над нечеткими множествами вида: А Ç В, АÈ В, <img width=«19» height=«22» src=«ref-1_277225229-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">, CON А = А2, DIL А = А0,5 и др.

Замечание. Наряду с рассмотренными выше базовыми значениями лингвистической переменной "толщина" (Т={"малая толщина", "средняя толщина", "большая толщина"}) возможны значения, зависящие от области определения Х. В данном случае значения лингвистической переменной «толщина изделия» могут быть определены как "около 20 мм", "около 50 мм", "около 70 мм", т.е. в виде нечетких чисел.

Продолжение примера:

<img width=«492» height=«122» src=«ref-1_277225391-2737.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">

Функции принадлежности нечетких множеств:

«малая толщина» = А1, "средняя толщина"= А2, "большая толщина"= А3.

<img width=«485» height=«125» src=«ref-1_277228128-1223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">

Функция принадлежности:

нечеткое множество "малая или средняя толщина" = А1ÈА1.
Нечеткие числа
Нечеткие числа — нечеткие переменные, определенные на числовой оси, т.е. нечеткое число определяется как нечеткое множество А на множестве действительных чисел R с функцией принадлежности mA(x)Î[0,1], где x — действительное число, т.е. x
ÎR.

Нечеткое число А нормально, если <img width=«34» height=«20» src=«ref-1_277229351-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">mA(x)=1, выпуклое, если для любых x£y£z выполняется

mA(x)³mA(y)LmA(z).
Множество
a — уровня нечеткого числа А определяется как

Аa= {x/mA(x)³a}.
Подмножество SAÌR называется носителем нечеткого числа А, если

S = {x/mA(x)>0}.
Нечеткое число А унимодально, если условие mA(x) = 1 справедливо только для одной точки действительной оси.

Выпуклое нечеткое число А называется нечетким нулем, если

mA(0) = <img width=«28» height=«20» src=«ref-1_277229540-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">(mA(x)).
Нечеткое число А положительно, если "x
ÎSA, x>0

и отрицательно, если "x
ÎSA, x<0.
    продолжение
--PAGE_BREAK--Операции над нечеткими числами
Расширенные бинарные арифметические операции (сложение, умножение и пр.) для нечетких чисел определяются через соответствующие операции для четких чисел с использованием принципа обобщения следующим образом.

Пусть А и В — нечеткие числа, и <img width=«14» height=«20» src=«ref-1_277229734-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">- нечеткая операция, соответствующая операции <img width=«13» height=«14» src=«ref-1_277229896-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">над обычными числами. Тогда

С = А<img width=«14» height=«20» src=«ref-1_277229734-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">B ÛmC(z)=<img width=«53» height=«35» src=«ref-1_277230205-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">(mA(x)LmB(y))).
Отсюда:

С =<img width=«37» height=«16» src=«ref-1_277230467-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">ÛmC(z)=<img width=«55» height=«35» src=«ref-1_277230655-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">(mA(x)LmB(y))),
С = <img width=«39» height=«12» src=«ref-1_277230918-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">Û mC(z)=<img width=«50» height=«34» src=«ref-1_277231098-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">(mA(x)LmB(y))),
С = <img width=«35» height=«13» src=«ref-1_277231352-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189">Û mC(z)=<img width=«46» height=«34» src=«ref-1_277231534-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">(mA(x)L mB(y))),
С = <img width=«37» height=«15» src=«ref-1_277231780-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">Û mC(z)=<img width=«61» height=«34» src=«ref-1_277231970-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">(mA(x)LmB(y))),
С = <img width=«90» height=«25» src=«ref-1_277232238-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">Û mC(z)=<img width=«100» height=«39» src=«ref-1_277232532-362.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">(mA(x)LmB(y))),
С = <img width=«90» height=«29» src=«ref-1_277232894-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">Û mC(z)=<img width=«99» height=«47» src=«ref-1_277233170-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">(mA(x)LmB(y))).
Нечеткие числа (L-R)-типа
Нечеткие числа (L-R)-типа — это разновидность нечетких чисел специального вида, т.е. задаваемых по определенным правилам с целью снижения объема вычислений при операциях над ними.

Функции принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа задаются с помощью невозрастающих на множестве неотрицательных действительных чисел функций действительного переменного L(x) и R(x), удовлетворяющих свойствам:

а) L(-x)=L(x), R(-x)=R(x);

б) L(0)=R(0).

Очевидно, что к классу (L-R) функций относятся функции, графики которых имеют следующий вид:

<img width=«467» height=«212» src=«ref-1_277233524-1213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">

Примерами аналитического задания (L-R) функций могут быть

L(x) = <img width=«43» height=«27» src=«ref-1_277234737-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">, p³0;

R(x)= <img width=«67» height=«55» src=«ref-1_277234929-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199">, p³ 0 и т.д.
Пусть L(y) и R(y) — функции (L-R)-типа (конкретные). Унимодальное нечеткое число А с модой а (т.е. mA(a)=1) c помощью L(y) и R(y) задается следующим образом:

mA(x) = <img width=«153» height=«93» src=«ref-1_277235159-534.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">
где а — мода; a>0, b>0 — левый и правый коэффициенты нечеткости.

Таким образом, при заданных L(y) и R(y) нечеткое число (унимодальное) задается тройкой А = (а, a, b).

Толерантное нечеткое число задается, соответственно, четверкой параметров А=(а1, a2, a, b), гдеа1 и a2 — границы толерантности, т.е. в промежутке [а1,a2] значение функции принадлежности равно 1.

Примеры графиков функций принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа приведены ниже.

<img width=«534» height=«208» src=«ref-1_277235693-2094.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">

Мы не будем здесь рассматривать операции над (L-R) числами; отметим, что в конкретных ситуациях функции L(y), R(y), а также параметры a, b нечетких чисел (а, a, b) и (а1, a2, a, b ) должны подбираться таким образом, чтобы результат операции (сложения, вычитания, деления и т.д.) был точно или приблизительно равен нечеткому числу с теми же L(y) и R(y), а параметры a¢ и b¢ результата не выходили за рамки ограничений на эти параметры для исходных нечетких чисел, особенно если результат в дальнейшем будет участвовать в операциях.

Замечание. Решение задач математического моделирования сложных систем с применением аппарата нечетких множеств требует выполнения большого объема операций над разного рода лингвистическими и другими нечеткими переменными. Для удобства исполнения операций, а также для ввода-вывода и хранения данных, желательно работать с функциями принадлежности стандартного вида.

Нечеткие множества, которыми приходится оперировать в большинстве задач, являются, как правило, унимодальными и нормальными. Одним из возможных методов аппроксимации унимодальных нечетких множеств является аппроксимация с помощью функций (L-R)-типа.

Примеры (L-R)-представлений некоторых лингвистических переменных:





    продолжение
--PAGE_BREAK--4. НЕЧЕТКИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ И НЕЧЕТКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ
Нечеткими высказываниями будем называть высказывания следующего вида:

Высказывание <b есть b'>, где b — наименование лингвистической переменной, b' — ее значение, которому соответствует нечеткое множество на универсальном множестве Х.

Например высказывание <давление большое> предполагает, что лингвистической переменной «давление» придается значение «большое», для которого на универсальном множестве Х переменной «давление» определено соответствующее данному значению "большое" нечеткое множество.

Высказывание <b есть mb'>, где m — модификатор, которому соответствуют слова "ОЧЕНЬ", "БОЛЕЕ ИЛИ МЕНЕЕ", "МНОГО БОЛЬШЕ" и др.

Например: <давление очень большое>, <скорость много больше средней> и др.

Составные высказывания, образованные из высказываний видов 1. и 2. и союзов "И", "ИЛИ", "ЕСЛИ.., ТО...", «ЕСЛИ.., ТО.., ИНАЧЕ».

Высказывания на множестве значений фиксированной лингвистической переменной

То, что значения фиксированной лингвистической переменной соответствуют нечетким множествам одного и того же универсального множества Х, позволяет отождествлять модификаторы "очень" или "не" с операциями «CON» и "дополнение", а союзы "И", "ИЛИ" с операциями "пересечение" и "объединение" над нечеткими множествами.

Для иллюстрации понятия лингвистической переменной мы в качестве примера рассматривали лингвистическую переменную "толщина изделия" с базовым терм-множеством Т = {"малая", "средняя", "большая"}. При этом на Х = [10, 80] мы определили нечеткие множества А1, А2, А3, соответствующие базовым значениям: "малая", "средняя", "большая".

В этом случае высказыванию <толщина изделия очень малая> соответствует нечеткое множество CONA = A2; высказыванию <толщина изделия не большая или средняя> — нечеткое множество А2È<img width=«21» height=«20» src=«ref-1_277237787-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202"> высказыванию <толщина изделия не малая и не большая> А1Ç<img width=«21» height=«20» src=«ref-1_277237787-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203">.

Высказывания <толщина изделия много больше средней> или <толщина изделия близка к средней> требуют использования нечетких отношений R ("много больше, чем") и R («близко к»), заданных на Х´Х. Тогда этим высказываниям будут соответствовать нечеткие множества A·R1 и A·R2, индуцированные нечеткими отношениями R1 и R2.

Случай двух и более лингвистических переменных

Пусть <a, Ta, X, Ga, Ma> и <b, Tb, Y, Gb, Mb> — лингвистические переменные, и высказываниям <a есть a'>, <b есть b '> соответствуют нечеткие множества А и В заданные на X и Y.

Составные нечеткие высказывания вида 3, связывающие значения лингвистических переменных a и b, можно привести к высказываниям вида 1, введя лингвистическую переменную (a, b), значениям которой будут соответствовать нечеткие множества на X´Y.

Напомним, что нечеткие множества А и В, заданные на X и Y, порождают на X´Y нечеткие множества <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_277238127-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">и <img width=«11» height=«19» src=«ref-1_277238290-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205">, называемые цилиндрическими продолжениями, с функциями принадлежности:

<img width=«22» height=«15» src=«ref-1_277238439-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206">(x,y) = mA(x) при любом y,

<img width=«25» height=«27» src=«ref-1_277238608-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207">(x,y) = mB(y) при любом x,
где (x,y) X´Y.

Нечеткие множества, соответствующие составным высказываниям

<a есть a' и b есть b'> и

<a есть a' или b есть b'>,
определяются по следующим правилам (преобразования к виду 1), справедливым при условии невзаимодействия переменных, т.е. множества X и Y таковы, что их элементы не связаны какой-либо функциональной зависимостью.
Правила преобразований нечетких высказываний
Правило преобразования конъюнктивной формы

Справедливо выражение:

<a есть a' и b есть b'>Þ<(a, b) есть (a'Çb')>.

Здесь Þ — знак подстановки, a'Çb' — значение лингвистической переменной (a, b), соответствующее исходному высказыванию <a есть a' и b есть b'>, которому на X´Y ставится в соответствие нечеткое множество <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_277238127-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">Ç <img width=«11» height=«19» src=«ref-1_277238290-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">c функцией принадлежности

<img width=«46» height=«27» src=«ref-1_277239099-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">(x,y) = <img width=«22» height=«15» src=«ref-1_277238439-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">(x,y)L<img width=«25» height=«27» src=«ref-1_277238608-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">(x,y) = mA(x)LmB(y).

Правило преобразования дизъюнктивной формы

Справедливо выражение:

<a есть a' или b есть b'>Þ<(a,b) есть (a'Èb')>, где значению (a'Èb') лингвистической переменной (a, b) соответствует нечеткое множество <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_277238127-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213">È<img width=«11» height=«19» src=«ref-1_277238290-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">, с функцией принадлежности

<img width=«48» height=«27» src=«ref-1_277239963-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">(x,y) = <img width=«22» height=«15» src=«ref-1_277238439-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">(x,y)V<img width=«25» height=«27» src=«ref-1_277238608-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">(x,y) = mA(x)VmB(y).

Замечание 1. Правила справедливы также для переменных вида <a, T1, X, G1,M1> и <a, T2, Y, G2, M2>, когда в форме значений лингвистических переменных формализованы невзаимодействующие характеристики одного и того же объекта. Например, для построения нечеткого множества высказывания <ночь теплая и очень темная> нужно использовать правило конъюнктивной формы, а для высказывания <ночь теплая или очень темная> — правило дизъюнктивной формы.

Замечание 2. Если задана совокупность лингвистических переменных {<ai, Ti, Xi, Gi, Mi>}, i = 1, 2, .., n, то любое составное высказывание, полученное из высказываний <a есть a'> с использованием модификаторов "очень", "не", "более или менее" и др. и связок "и", "или", можно привести к виду <a есть a'>, где a — составная лингвистическая переменная (a1,a2,..,an ), a' — ее значение, определяемое (как и функция принадлежности) в соответствии с вышеуказанными правилами.

Правило преобразования высказываний импликативной формы

Справедливо выражение:

<если a есть a', то b есть b'>Þ <(a, b) есть (a'®b')>, где значению (a'®b') лингвистической переменной (a, b) соответствует нечеткое отношение XRY на X´Y.

Функция принадлежности mR(x,y) зависит от выбранного способа задания нечеткой импликации.
    продолжение
--PAGE_BREAK--Способы определения нечеткой импликации
Будем считать, что заданы универсальные множества X и Y, содержащие конечное число элементов. Под способом определения нечеткой импликации "если А, то В" (где А и В нечеткие множества на X и Y соответственно) будем понимать способ задания нечеткого отношения R на X´Y, соответствующего данному высказыванию.

С целью обоснованного выбора определения нечеткой импликации, японскими математиками Мидзумото, Танака и Фуками было проведено исследование всех известных по литературе определений (плюс предложенные авторами). Рассмотренные определения задавали следующие нечеткие отношения для высказывания «если А, то В»:

Rm = (A´B)È(<img width=«19» height=«22» src=«ref-1_277225229-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218">´Y)

mRm(x,y) = (mA(x)LmB(y)) V (1 — mA(x));

Ra = (<img width=«19» height=«22» src=«ref-1_277225229-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">´Y)Å(X´B)

mRa(x,y) = 1 L(1-mA(x) + mB(y));

Rc = A´B

mRc(x,y) = mA(x)LmB(y);

Rs = A´Y<img width=«21» height=«12» src=«ref-1_277240841-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220">X´B

mRs(x,y) = <img width=«182» height=«50» src=«ref-1_277240993-544.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221">;

Rg = A´Y<img width=«21» height=«15» src=«ref-1_277241537-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222">X´B

mRg(x,y) = <img width=«201» height=«50» src=«ref-1_277241698-604.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223">;

Rsg = ( A´Y<img width=«21» height=«12» src=«ref-1_277240841-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224">X´B ) Ç( <img width=«121» height=«29» src=«ref-1_277242454-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">)

<img width=«415» height=«26» src=«ref-1_277242751-629.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">;

Rgg = ( A´Y<img width=«22» height=«14» src=«ref-1_277243380-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227">X´B) Ç(<img width=«121» height=«29» src=«ref-1_277242454-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228">)

<img width=«418» height=«26» src=«ref-1_277243839-627.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">;

Rgs = ( A´Y<img width=«22» height=«14» src=«ref-1_277243380-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230">X´B) Ç(<img width=«118» height=«26» src=«ref-1_277244628-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231">)

<img width=«414» height=«26» src=«ref-1_277244916-622.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232">;

Rss = ( A´Y<img width=«37» height=«18» src=«ref-1_277245538-513.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233">X´B) Ç(<img width=«118» height=«26» src=«ref-1_277244628-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">)

<img width=«410» height=«25» src=«ref-1_277246339-605.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235">;

Rb = (<img width=«19» height=«22» src=«ref-1_277225229-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236">´Y)È(X´B)

mRb(x,y) = (1-mA(x)) ÚmB(y);

Rà= A´Y<img width=«18» height=«11» src=«ref-1_277247106-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237">X´B

<img width=«301» height=«72» src=«ref-1_277247261-793.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238">;

R·= A´Y<img width=«16» height=«9» src=«ref-1_277248054-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239">X´B

<img width=«373» height=«72» src=«ref-1_277248197-917.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240">

R* = A´Y<img width=«17» height=«12» src=«ref-1_277249114-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241">X´B

mR*(x,y) = 1 — mA(x)+ mA(x)×mB(y);

R# = A´Y<img width=«19» height=«13» src=«ref-1_277249268-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242">X´B

mR#(x,y)=( mA(x)ÙmB(y))Ú((1 — mA(x)) Ù(1 — mB(y)) Ú(mB(y) Ù(1 — mA(x));

RÑ= A´Y<img width=«22» height=«13» src=«ref-1_277249423-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243">X´B

<img width=«344» height=«49» src=«ref-1_277249577-763.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244">

Правилом вывода являлось композиционное правило вывода с использованием (max-min)-композиции.

В качестве значений на входе системы рассматривались:

A' = A;

A' = «очень А»= А2, mA0,5(x) = mA(x)2;

A' = «более или менее А» = А0,5mA0,5(x)= mA(x)0,5;

A' = mA(x)0,5, <img width=«18» height=«13» src=«ref-1_277250340-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245">(x) = 1 — mA(x).

Приведем таблицу итогов исследования. В ней символ «0» означает выполнение соответствующей схемы вход-выход, символ «x» — невыполнение. Следствие «неизвестно» (Н) соответствует утверждению: «если x=A, то нельзя получить никакой информации об y».

В данной таблице первая графа -«Посылка», вторая -«Следствие».

Кроме ответа о выполнении соответствующей схемы (0 или х), авторами исследованы явные выражения для функций принадлежности следствий по каждому из вариантов определения нечеткой импликации, на основе чего ими был сформулирован вывод:

— Rm и Ra не могут быть использованы;

— Rc может использоваться частично; — Rs, Rg, Rsg, Rgg, Rgs, Rss рекомендованы к использованию;

— Rb, Rà, R·, R*, R#, RÑ не рекомендованы к использованию.
    продолжение
--PAGE_BREAK--