Реферат: Статистика 6
--PAGE_BREAK--1.3 Показатели вариации и способы их расчета
Вариацией признака называется его изменение у единиц совокупности(колеблемость или рассеивание признака).
Предметом изучения статистики является вариация.
При характеристики рассеивания признака применяют систему абсолютных и относительных показателей.
К абсолютным показателям вариации относятся:
1)размах вариации:
<img width=«128» height=«25» src=«ref-2_295620605-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">;
где <img width=«43» height=«25» src=«ref-2_295599956-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087"> — максимальное значение признака;
<img width=«40» height=«25» src=«ref-2_295600088-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088"> — минимальное значение признака.
Размах вариации характеризует величину максимального колебания признака.
2) среднее линейное отклонение:
<img width=«139» height=«77» src=«ref-2_295621094-593.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">.
Этот показатель дает более полное представление о мере вариации признака, чем размах вариации, в расчете которого учитываются только крайние по размеру варианты. В практике данный показатель применяется сравнительно редко.
3) дисперсия:
<img width=«155» height=«85» src=«ref-2_295621687-718.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">.
Дисперсия имеет большое значение в статистическом анализе. Однако ее применение как меры вариации в ряде случаев бывает не совсем удобным, потому что размерность дисперсии равна квадрату размерности изучаемого признака. В таких случаях для измерения вариации признака вычисляют среднее квадратическое отклонение.
4)среднеквадратическое отклонение:
<img width=«75» height=«31» src=«ref-2_295622405-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">.
Среднеквадратическое отклонение широко используется в исследовании технических и экономических явлений. Это величина именованная, имеет ту единицу измерения, которую имеют исходные показатели. Познавательное значение среднеквадратического отклонения можно выразить формулой: <img width=«47» height=«25» src=«ref-2_295622699-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">. Это значит, что значение вариантов в ряду распределения отклоняются от средней арифметической в среднем на <img width=«19» height=«16» src=«ref-2_295622931-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093">. Среднеквадратическое отклонение (<img width=«19» height=«16» src=«ref-2_295622931-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094">) всегда оказывается несколько выше среднего линейного отклонения (<img width=«19» height=«24» src=«ref-2_295623273-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">).Величина <img width=«19» height=«16» src=«ref-2_295622931-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096"> обладает некоторыми примечательными математическими свойствами, которые и обусловили предпочтение ее в анализе в сравнении с <img width=«19» height=«24» src=«ref-2_295623273-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097">.
К относительным показателям вариации относятся:
1) коэффициент осцилляции:
<img width=«117» height=«49» src=«ref-2_295623650-517.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">;
2) линейный коэффициент вариации:
<img width=«117» height=«52» src=«ref-2_295624167-515.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">;
3) простой коэффициент вариации:
<img width=«111» height=«49» src=«ref-2_295624682-516.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">.
Если среднюю арифметическую величину принять за 100%, то с помощью простого коэффициента вариации вариацию можно охарактеризовать как 100%<img width=«15» height=«16» src=«ref-2_295625198-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101"><img width=«19» height=«21» src=«ref-2_295625286-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">%. Выражая простой коэффициент вариации в процентах, различные абсолютные среднеквадратические отклонения приводят к одному основанию и дают возможность сравнивать, оценивать колеблемость величин различных признаков. При помощи простого коэффициента вариации возможно, например, сравнение размера колеблемости производительности труда групп рабочих, занятых производством различных видов продукции, размера колеблемости урожаев различных сельскохозяйственных культур и т.д. Чем меньше коэффициент вариации, тем меньше колеблемость признака, и наоборот.
Пример 1.3
Рассмотрим расчет показателей вариации по данным табл. 1.1. Воспользуемся найденным выше средним значением объема выполненных строительных работ одним предприятием <img width=«32» height=«20» src=«ref-2_295625384-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103">670 млн. руб.
Таблица 1.5
1)Размах вариации:
<img width=«120» height=«25» src=«ref-2_295626212-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">=1300-300=1000 (млн. руб.);
2) среднее линейное отклонение:
<img width=«135» height=«81» src=«ref-2_295626431-589.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">=<img width=«97» height=«49» src=«ref-2_295627020-587.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">(млн. руб.);
3) дисперсия:
<img width=«155» height=«85» src=«ref-2_295621687-718.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">=<img width=«145» height=«49» src=«ref-2_295628325-805.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">;
4)среднеквадратическое отклонение:
<img width=«212» height=«29» src=«ref-2_295629130-794.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">(млн. руб.);
5) коэффициент осцилляции:
<img width=«112» height=«47» src=«ref-2_295629924-440.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114">=<img width=«180» height=«49» src=«ref-2_295630364-972.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">;
6) линейный коэффициент вариации:
<img width=«109» height=«48» src=«ref-2_295631336-446.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">=<img width=«165» height=«49» src=«ref-2_295631782-927.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">;
7) простой коэффициент вариации:
<img width=«105» height=«47» src=«ref-2_295632709-440.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">=<img width=«163» height=«49» src=«ref-2_295633149-900.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119">.
1.4 Статистические графики
Для получения приблизительного представления о форме распределения строят графики распределения.
Полигон распределения— графическое изображение дискретного вариационного ряда распределения. По оси абсцисс откладывают варианты, а по оси ординат — частоты ряда. Полученные точки соединяются прямыми линиями.
Полученная таким образом линия называется эмпирической (фактической) кривой распределения. На нее оказывают влияние как общие (отражающие основную закономерность), так и случайные условия.
Если влияние случайных величин будет погашено, то будет установлена теоретическая кривая распределения. Она выражает определенный тип распределения, отвечает на вопрос о наличии определенного закона распределения. Познание законов распределения — наиболее важная цель статистического исследования. В каждом конкретном случае закономерность распределения может быть, а может и не быть.
Гистограмма распределения — графическое изображение интервального вариационного ряда распределения. Образуемые над интервалами столбики пропорциональны по высоте частотам значений признака по каждому интервалу. При неравных интервалах высота столбиков должна быть пропорциональна плотности распределения признака в соответствующем интервале.
Чтобы получить эмпирическую кривую, гистограмму нужно преобразовать в полигон. Для этого каждый интервал делим на две равные части (находим середину интервала), ставим точки и затем их соединяем последовательно отрезками прямых линий.
Эмпирическая кривая позволяет предварительно предположить форму теоретической кривой распределения, характеризующую функциональную связь между изменением варьирующего признака и изменением частот.
1.5 Асимметрия распределения и эксцесс
Асимметрия распределенияозначает, что частоты каких-либо двух вариантов, равноудаленных от центра распределения, не равны между собой. Графически асимметрия выражается различной длиной правой или левой ветви относительно максимальной ординаты. При асимметрии распределения значения средней арифметической, моды и медианы не совпадают.
Степень асимметрии определяется с помощью, например,
1) коэффициента асимметрии;
2) показателя асимметрии Пирсона.
Коэффициент асимметриинаходится по формуле:
<img width=«72» height=«49» src=«ref-2_295634049-366.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">,
где <img width=«23» height=«27» src=«ref-2_295634415-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121"> — центральный момент третьего порядка, т.е.
<img width=«160» height=«80» src=«ref-2_295634608-739.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122">.
Этот коэффициент характеризует асимметричность распределения крайних значений признака.
Показатель асимметрии Пирсона находится по формуле:
<img width=«99» height=«49» src=«ref-2_295635347-367.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">.
Показатель асимметрии Пирсона характеризует асимметричность распределения в средней части ряда.
Эксцесс характеризует степень островершинности эмпирической кривой относительно кривой нормального распределения.
Коэффициент эксцесса находится по формуле:
<img width=«99» height=«49» src=«ref-2_295635714-416.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">,
где <img width=«23» height=«27» src=«ref-2_295636130-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125"> — центральный момент четвертого порядка, т.е.
<img width=«161» height=«80» src=«ref-2_295636324-753.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126">.
Если получим <img width=«56» height=«27» src=«ref-2_295637077-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">, то вершины эмпирического и теоретического распределения совпадают. Если <img width=«56» height=«27» src=«ref-2_295637314-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128">, то эмпирическая величина выше вершины соответствующего теоретического распределения, а если <img width=«55» height=«27» src=«ref-2_295637577-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">, то эмпирическая вершина ниже вершины соответствующего теоретического распределения.
Пример 1.4
Рассмотрим расчет показателей асимметрии и эксцесса по данным табл. 1.1. Воспользуемся найденным выше средним значением объема выполненных строительных работ одним предприятием <img width=«32» height=«20» src=«ref-2_295625384-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">670 млн. руб., среднеквадратическим отклонением <img width=«69» height=«21» src=«ref-2_295637949-334.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">млн. руб., модальным значение объема выполненных строительных работ <img width=«84» height=«27» src=«ref-2_295638283-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132"> млн. руб.
Таблица 1.6
Центральный момент третьего порядка:
<img width=«372» height=«80» src=«ref-2_295639491-1630.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137">.
Коэффициент асимметрии:
<img width=«228» height=«49» src=«ref-2_295641121-1086.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138">.
Показатель асимметрии Пирсона:
<img width=«255» height=«49» src=«ref-2_295642207-1056.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">.
Таким образом, данное распределение имеет правостороннюю асимметрию, причем в крайних значениях признака асимметрия более значительная, чем в средней части распределения.
Центральный момент четвертого порядка:
<img width=«415» height=«80» src=«ref-2_295643263-1824.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140">.
Коэффициент эксцесса:
<img width=«305» height=«49» src=«ref-2_295645087-1242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141">.
Таким образом, вершина данного распределения ниже вершины соответствующего теоретического нормального распределения.
продолжение
--PAGE_BREAK--
2 ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ
2.1 Определение выборочного наблюдения
Выборочным наблюдениемназывают такое несплошное наблюдение, при котором характеристику всей совокупности единиц (генеральной совокупности) дают по некоторой части единиц (выборочной совокупности), отобранных в определенном порядке.
Выборочное наблюдение используется в связи с тем, что оно позволяет:
— экономить силы и средства, необходимые для статистического исследования;
— быстрее (оперативнее) получать результаты;
— проводить исследования в случаях, когда сплошное наблюдение невозможно (например, для определения качества предметов, связанного с физическим уничтожением образцов);
— уточнять результаты сплошного наблюдения (например, для проверки сплошной переписи населения организуют контрольные выборочные обследования).
Генеральная и выборочная совокупности характеризуются соответственно генеральными и выборочными показателями (средние величины, показатели доли, показатели вариации).
Возможные случайные отклонения между выборочными и генеральными показателями называют ошибкой выборки.
Выборочная совокупность формируется различными способами отбора. Применительно к способу отбора используют и свои методы расчета средней ошибки выборки.
2.2 Способы отбора
1. Собственно случайный отбор – отбор на удачу (по жребию, лотерее). Случайный отбор может быть повторный и бесповторный. В экономических исследованиях повторный отбор практически не применяется. Важнейшее правило случайного отбора – каждой единице генеральной совокупности должна обеспечиваться равная вероятность быть отобранной.
2. Механический отбор (порядковый).
Например, генеральная совокупность составляет 600 единиц (т.е. N=600), из которых нужно отобрать выборочную совокупность, состоящую из 50 единиц (т.е. n=50). Единицам генеральной совокупности присваиваются порядковые номера от 1 до 600. Находится интервал отбора: 600/50=12. Из первых 12-ти единиц отбирают единицу случайным отбором. Допустим, что первой оказалась единица под номером 7. Далее с интервалом 12 в выборку будут отобраны единицы под номерами 19, 31, 43 и т.д.
3. Серийный (гнездовой) отбор.
Допустим, генеральная совокупность из 500 единиц разделяется на 100 серий по 5 единиц в серии. В выборку нужно отобрать 50 единиц, т.е. 10 серий. Тогда каждая серия отбирается в выборку собственно случайным бесповторным отбором.
4. Типический (расслоенный) отбор.
При этом отборе генеральная совокупность делится на группы по какому-либо признаку. Затем пропорционально доли каждой группы в генеральной совокупности отбирают единицы из групп в выборочную совокупность в случайном порядке.
5. Комбинированный отбор предполагает использование нескольких способов отбора в их комбинации.
2.3 Статистическая оценка
Статистическая оценка – приближенное значение искомой величины по результатам выборочного наблюдения.
Например, выборочная средняя является оценкой генеральной средней. Различают понятия точечной и интервальной оценки.
Точечнойназывают статистическую оценку, которая определяется одним числом.
Несмещеннойназывают точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.
Смещеннойназывают точечную оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.
Несмещенной оценкой генеральной среднейслужит выборочная средняя.
Смещенной оценкой генеральной дисперсиислужит выборочная дисперсия.
Несмещенной оценкой генеральной дисперсиислужит исправленная выборочная дисперсия:
<img width=«112» height=«48» src=«ref-2_295646329-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">,
где <img width=«28» height=«32» src=«ref-2_295646722-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143">– выборочная дисперсия,
<img width=«15» height=«16» src=«ref-2_295646935-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">– число единиц выборочной совокупности.
Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.
Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью (вероятностью) <img width=«16» height=«32» src=«ref-2_295647022-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145"> покрывает оцениваемый параметр.
Обозначим:
<img width=«15» height=«25» src=«ref-2_295647218-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146">– генеральная средняя,
<img width=«27» height=«25» src=«ref-2_295647315-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147">– выборочная средняя,
<img width=«27» height=«28» src=«ref-2_295647432-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148">– предельная ошибка выборочной средней для заданной доверительно вероятности <img width=«18» height=«32» src=«ref-2_295647635-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">.
Тогда интервальная оценка генеральной средней примет вид:
<img width=«177» height=«31» src=«ref-2_295647832-509.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150">
Предельная ошибка выборочной средней
а) для повторного собственно случайного отбора:
<img width=«104» height=«59» src=«ref-2_295648341-464.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151">,
б) для бесповторного собственно случайного отбора:
<img width=«165» height=«61» src=«ref-2_295648805-751.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">,
где <img width=«25» height=«24» src=«ref-2_295649556-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">– дисперсия генеральной совокупности,
<img width=«15» height=«16» src=«ref-2_295649749-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">– число единиц выборочной совокупности,
<img width=«21» height=«21» src=«ref-2_295599447-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">– число единиц генеральной совокупности,
<img width=«11» height=«19» src=«ref-2_295649943-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">– коэффициент доверия, величина которого зависит от заданной доверительной вероятности <img width=«18» height=«32» src=«ref-2_295647635-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">.
Приведем значения некоторых коэффициентов доверия (см. табл. 2.1)
Таблица 2.1
Замечание. Если генеральная дисперсия неизвестна, то вместо нее можно взять исправленную выборочную дисперсию. При больших выборках
(<img width=«15» height=«16» src=«ref-2_295649749-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">>30) отношение <img width=«124» height=«48» src=«ref-2_295650597-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">, и вместо генеральной дисперсии можно использовать выборочную дисперсию.
Пример 2.1
Из общей численности рабочих предприятия 5000 человек в порядке собственно случайного бесповторного отбора было отобрано 500 человек для изучения времени простоев в течение рабочего дня. Результаты наблюдения отражены в табл. 2.2
Таблица 2.2
Распределение выборочной численности рабочих
предприятия по времени простоев
Группы рабочих по времени простоев в минутах
Число рабочих (<img width=«19» height=«25» src=«ref-2_295650957-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">)
Среднее значение интервала в минутах (<img width=«19» height=«25» src=«ref-2_295601307-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">)
до 10
от 10 до 20
от 20 до 30
от 30 до 40
от 40 до 50
от 50 до 60
свыше 60
35
62
84
145
77
65
32
5
15
25
35
45
55
65
Итого:
500
С вероятностью 0,997 определить пределы, в которых находится среднее время простоя одного рабочего на предприятии.
Решение
1) Выборочная средняя времени простоя одного рабочего:
<img width=«608» height=«55» src=«ref-2_295651151-1986.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164"> <img width=«125» height=«49» src=«ref-2_295653137-688.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165"> (мин).
2) Выборочная дисперсия времени простоя одного рабочего:
<img width=«608» height=«80» src=«ref-2_295653825-2359.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166"><img width=«600» height=«52» src=«ref-2_295656184-2140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167"><img width=«156» height=«49» src=«ref-2_295658324-833.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">.
3) Предельная ошибка выборочной средней с вероятностью <img width=«18» height=«32» src=«ref-2_295647635-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">=0,997 для бесповторного отбора:
<img width=«425» height=«60» src=«ref-2_295659354-2032.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">;
где коэффициент доверия <img width=«11» height=«19» src=«ref-2_295649943-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">=3 найден по табл. 2.1 в соответствии с доверительной вероятностью <img width=«18» height=«32» src=«ref-2_295647635-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">=0,997.
4) Среднее время простоя одного рабочего на предприятии с вероятностью 0,997 находится в интервале от 32,77 минут до 36,84 минут, что вытекает из интервальной оценки генеральной средней:
<img width=«177» height=«31» src=«ref-2_295647832-509.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">,
т.е. 34,8–2,03<img width=«47» height=«25» src=«ref-2_295662178-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">34,8+2,03.
Аналогично находится интервальная оценка генеральной доли:
<img width=«177» height=«27» src=«ref-2_295662389-499.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">,
где <img width=«37» height=«21» src=«ref-2_295662888-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176"> выборочная доля, которая находится по формуле:
<img width=«61» height=«49» src=«ref-2_295663012-198.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1092">
<img width=«15» height=«16» src=«ref-2_295649749-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">– число единиц выборочной совокупности,
<img width=«20» height=«16» src=«ref-2_295663298-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">– число единиц, обладающих указанным признаком,
<img width=«33» height=«20» src=«ref-2_295663394-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">генеральная доля,
<img width=«25» height=«27» src=«ref-2_295663500-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">– предельная ошибка выборочной доли для заданной доверительно вероятности <img width=«18» height=«32» src=«ref-2_295647635-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">.
Предельная ошибка выборочной доли
а) для повторного собственно случайного отбора:
<img width=«169» height=«55» src=«ref-2_295663899-640.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">,
б) для бесповторного собственно случайного отбора:
<img width=«235» height=«60» src=«ref-2_295664539-950.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">,
где <img width=«11» height=«19» src=«ref-2_295649943-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">– коэффициент доверия, величина которого зависит от заданной доверительной вероятности <img width=«18» height=«32» src=«ref-2_295647635-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">(см. табл. 2.1).
Пример 2.2
По данным примера 2.1 с вероятностью 0,954 определить пределы, в которых находится доля рабочих на предприятии, у которых время простоя от 30 минут и выше.
Решение
1) Выборочная доля рабочих, у которых время простоя от 30 минут и выше:
<img width=«345» height=«49» src=«ref-2_295665772-1384.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">.
2) Предельная ошибка выборочной доли с вероятностью <img width=«18» height=«32» src=«ref-2_295647635-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">=0,954 для бесповторного отбора:
<img width=«584» height=«60» src=«ref-2_295667353-2525.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">;
где коэффициент доверия <img width=«11» height=«19» src=«ref-2_295649943-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189">=2 найден по табл. 2.1 в соответствии с доверительной вероятностью <img width=«18» height=«32» src=«ref-2_295647635-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">=0,954.
3) Доля рабочих на предприятии, у которых время простоя от 30 минут и выше с вероятностью 0,954 находится в интервале от 0,597 до 0,679, что вытекает из интервальной оценки генеральной доли:
<img width=«177» height=«27» src=«ref-2_295662389-499.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">,
т.е. 0,638–0,041<img width=«49» height=«20» src=«ref-2_295670660-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">0,638+0,041.
2.4 Определение необходимой численности выборки
При организации выборочного наблюдения очень важно предварительно решить вопрос о том, сколько единиц должно быть отобрано в выборку.
Необходимая численность выборки (<img width=«15» height=«16» src=«ref-2_295649749-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">) определяется на основе формул предельной ошибки выборки.
Численность выборкипо формуле предельной ошибки выборочной средней
а) для повторного собственно случайного отбора:
<img width=«84» height=«60» src=«ref-2_295670955-415.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">,
б) для бесповторного собственно случайного отбора:
<img width=«161» height=«60» src=«ref-2_295671370-645.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">.
Численность выборкипо формуле предельной ошибки выборочной доли
а) для повторного собственно случайного отбора:
<img width=«147» height=«60» src=«ref-2_295672015-521.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">,
б) для бесповторного собственно случайного отбора:
<img width=«227» height=«57» src=«ref-2_295672536-925.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">.
Пример 2.3
На заводе предполагается провести выборочное обследование средней часовой выработки рабочих методом случайного повторного отбора. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,991 ошибка выборки не превышала 5 шт., если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 225?
Решение
Численность выборки по формуле предельной ошибки выборочной средней для повторного собственно случайного отбора:
<img width=«211» height=«60» src=«ref-2_295673461-875.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">.
Итак, для получения желаемого результата необходимо отобрать 61 рабочего.
3 РЯДЫ ДИНАМИКИ
3.1 Построение рядов динамики
Ряд динамики (временной ряд) — ряд показателей, характеризующих развитие явления во времени, состоит из двух элементов — времени ряда (моменты или периоды) и уровней ряда (показателей величины явления).
Уровнем ряда называется абсолютная величина каждого члена динамического ряда. Различают начальный, конечный и средний уровень ряда. Начальный уровень — это величина первого члена ряда, конечный – последнего, средний уровень — средняя из всех значений динамического ряда.
По времени, отражаемому в рядах, ряды динамики делят на моментные (моментом обычно является дата, на которую относится уровень) и интервальные (уровни ряда выражают размер явления за промежуток времени).
По полноте времени, отражаемого в рядах, ряды динамики делят на полные (даты или периоды следуют друг за другом с равным интервалом) и неполные (равный интервал не соблюдается).
По способу выражения уровней, ряды динамики делят на ряды абсолютных величин, ряды средних величин и ряды относительных величин.
3.2 Показатели анализа рядов динамики
Для анализа ряда динамики применяют следующие базисные и цепные показатели анализа рядов динамики: абсолютный прирост, темп роста, темп прироста.
Уровень, который сравнивается, называется текущим.
Если каждый уровень ряда сравнивается с предыдущим, то получают цепные показатели, а если с одним и тем же начальным уровнем, то получают базисные показатели.
Абсолютный приростхарактеризует размер увеличения или уменьшения изучаемого явления за определенный период времени. Он определяется как разность между текущим и предыдущим уровнями (цепной) или между текущим и начальным уровнями (базисный).
Темпом ростаназывается отношение текущего уровня к предыдущему (цепной) или текущего уровня к начальному (базисный).
Темпом приростаназывается отношение цепного абсолютного прироста к предыдущему уровню (цепной) или базисного абсолютного прироста к начальному уровню (базисный).
Обозначим:
У0— базисный (начальный) уровень;
У
i— текущий уровень;
Уi-1— уровень, предшествующий Уi.
<img width=«21» height=«28» src=«ref-2_295674336-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199"> — цепной абсолютный прирост;
<img width=«23» height=«28» src=«ref-2_295674539-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200"> — базисный абсолютный прирост;
<img width=«32» height=«28» src=«ref-2_295674746-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201"> — темп роста цепной;
<img width=«32» height=«28» src=«ref-2_295674883-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202"> — темп роста базисный;
<img width=«43» height=«28» src=«ref-2_295675024-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203"> — темп прироста цепной;
<img width=«43» height=«28» src=«ref-2_295675182-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204"> — темп прироста базисный.
Расчет этих показателей будет выражаться формулами, приведенными в табл. 3.1 (в коэффициентах).
Таблица 3.1
Показатель
Цепной
Базисный
Абсолютный прирост
<img width=«109» height=«28» src=«ref-2_295675344-318.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205">
<img width=«101» height=«28» src=«ref-2_295675662-312.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206">
Темп роста
<img width=«87» height=«55» src=«ref-2_295675974-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207">
<img width=«79» height=«55» src=«ref-2_295676250-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">
Темп прироста
<img width=«172» height=«57» src=«ref-2_295676521-539.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">
<img width=«164» height=«57» src=«ref-2_295677060-533.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">
Абсолютное значение 1% прироста (a
i) – есть отношение цепного абсолютного прироста к цепному темпу прироста, т.е.
<img width=«401» height=«84» src=«ref-2_295677593-1652.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">( в 1% прироста).
продолжение
--PAGE_BREAK--
Пример 3.1
В Ивановской области за период с 1980 г. по 1984г. производство сборных железобетонных конструкций и деталей составляло (см. табл. 3.2).
Таблица 3.2
Производство сборных железобетонных конструкций и деталей
В Ивановской области за 1980–1984 годы
Годы
1980
1981
1982
1983
1984
Произведено, тыс. куб. м.
393
402
381
428
469
Вычислить показатели анализа данного ряда динамики.
Решение
Показатели анализа данного ряда динамики найдены непосредственно в таблице (см. табл. 3.3) по вышеприведенным формулам.
Таблица 3.3
Расчет показателей анализа данного ряда динамики
Годы
1980
1981
1982
1983
1984
Произведено, тыс. куб. м.
393
402
381
428
469
Абсолютный прирост, тыс. куб. м.:
а) цепной
б) базисный
–
9
9
-21
-12
47
35
41
76
Темпы роста в %
а) цепные
б) базисные
–
100,0
102,3
102,3
94,8
96,9
112,3
108,9
109,6
119,3
Темпы прироста в %
а) цепные
б) базисные
–
2,3
2,3
-5,2
-3,1
12,3
8,9
9,6
19,3
Абсолютное значение 1% прироста, тыс. куб. м. в 1% прироста
–
3,93
4,02
3,81
4,28
3.3 Расчет средних величин в рядах динамики
Средний уровень в интервальном ряду динамики находится по формуле средней арифметической простой:
<img width=«81» height=«49» src=«ref-2_295679245-336.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">,
где <img width=«19» height=«25» src=«ref-2_295679581-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213">— средний уровень ряда,
<img width=«15» height=«16» src=«ref-2_295649749-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">— число уровней ряда.
Например, по данным табл. 3.1 среднегодовой уровень производства сборных железобетонных конструкций и деталей за период 1980–1984 гг. составит:
<img width=«456» height=«49» src=«ref-2_295679772-1621.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">(тыс. куб. м.).
Средний уровень в полном моментном ряду динамики находится по формуле:
<img width=«255» height=«73» src=«ref-2_295681393-769.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">.
Например, стоимость имущества предприятия за полугодие в млн. руб. составляла на 1-ое число каждого месяца:
Средняя стоимость имущества за полугодие составит:
<img width=«448» height=«73» src=«ref-2_295682162-1638.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">(млн. руб.).
Средний уровень в неполном моментном ряду динамики находится по формуле:
<img width=«103» height=«59» src=«ref-2_295683800-454.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218">,
где <img width=«39» height=«29» src=«ref-2_295684254-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">средняя за каждый период, находится как средняя арифметическая простая между двумя рядом стоящими уровнями,
<img width=«31» height=«27» src=«ref-2_295684384-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220">продолжительность периода, разделяющего два рядом стоящих уровня.
Пример 3.2
Остаток строительных материалов на предприятии составлял на моменты времени (см. табл. 3.4):
Таблица 3.4
Определить средний остаток строительных материалов за первый квартал.
Решение
Первый период с 1.01 по 10.02 имеет продолжительность 40 дней, т.е. <img width=«15» height=«27» src=«ref-2_295684496-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221">=40.
Второй период с 10.02 по 25.03 имеет продолжительность 43 дня, т.е. <img width=«16» height=«27» src=«ref-2_295684593-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222">=43.
Третий период с 25.03 по 1.04 имеет продолжительность 7 дней, т.е. <img width=«16» height=«27» src=«ref-2_295684693-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223">=7.
Итак, средний остаток строительных материалов на предприятии за первый квартал составит:
<img width=«581» height=«79» src=«ref-2_295684793-2391.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224">
<img width=«16» height=«13» src=«ref-2_295687184-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">8792,778 (тыс. руб.)
Средний абсолютный прирост:
<img width=«163» height=«52» src=«ref-2_295687327-615.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">,
где <img width=«31» height=«16» src=«ref-2_295687942-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227"> число уровней ряда,
<img width=«41» height=«27» src=«ref-2_295688045-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228">конечный уровень ряда,
<img width=«39» height=«27» src=«ref-2_295688173-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">начальный уровень ряда.
Например, найдем средний абсолютный прирост производства сборных железобетонных конструкций и деталей за период с 1980 г. по 1984г. по данным примера 3.1 (см. табл. 3.2):
<img width=«283» height=«49» src=«ref-2_295688298-1026.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230">(тыс. куб. м.)
Средний темп ростаисчисляется по формуле геометрической средней:
<img width=«185» height=«60» src=«ref-2_295689324-579.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231">,
где <img width=«31» height=«16» src=«ref-2_295687942-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232"> число уровней ряда,
<img width=«41» height=«27» src=«ref-2_295688045-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233">конечный уровень ряда,
<img width=«39» height=«27» src=«ref-2_295688173-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">начальный уровень ряда.
Например, найдем средний темп роста производства сборных железобетонных конструкций и деталей за период с 1980 г. по 1984г. по данным примера 3.1 (см. табл. 3.2):
<img width=«295» height=«60» src=«ref-2_295690259-1396.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235">; или 104,5%.
Средний темп приростабудет равен:
<img width=«101» height=«29» src=«ref-2_295691655-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236">.
Например, найдем средний темп прироста производства сборных железобетонных конструкций и деталей за период с 1980 г. по 1984г. по данным примера 3.1:
<img width=«253» height=«29» src=«ref-2_295691920-729.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237">; или 4,5%.
3.4 Графическое изображение рядов динамики
Динамика явлений графически может быть представлена в виде линейной диаграммы. Для построения которой используется система прямоугольных координат — по оси абсцисс откладывается время, а по оси ординат — либо уровни, либо базисные темпы роста. На рисунке 3.1 показано, как в принципе должен строится график для интервального ряда (вариант а) и для моментного ряда (вариант б).
Можно указать на следующие важные моменты в построении линейных графиков:
1) на графике должен строго соблюдаться масштаб уровня и масштаб времени;
2) каждая точка оси абсцисс выражает момент времени, а отрезки шкалы — периоды времени;
3) периоды (годы, месяцы и т.п.) в принципе должны подписываться под отрезком шкалы, уровни интервального ряда могут быть выражены, строго говоря, только столбиками, а потому точка на графике обозначает высоту столбика;
4) моменты времени подписывают под точками шкалы, вершины ординат (обозначение точками) соответствуют уровням этих моментов;
5) точки соединяют отрезками прямых, которые образуют ломаную кривую, характеризующую процесс динамики. Соединять точки отрезками кривых линий (“закругленных”) недопустимо.
<img width=«50» height=«59» src=«ref-2_295692649-180.coolpic» v:shapes="_x0000_s1028"><img width=«42» height=«43» src=«ref-2_295692829-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1029">
<img width=«50» height=«67» src=«ref-2_295692982-191.coolpic» v:shapes="_x0000_s1031">
<img width=«50» height=«35» src=«ref-2_295693173-150.coolpic» v:shapes="_x0000_s1037"> <img width=«50» height=«43» src=«ref-2_295693323-162.coolpic» v:shapes="_x0000_s1039">
<img width=«50» height=«47» src=«ref-2_295693485-167.coolpic» v:shapes="_x0000_s1061"><img width=«50» height=«59» src=«ref-2_295693652-183.coolpic» v:shapes="_x0000_s1062">
<img width=«50» height=«67» src=«ref-2_295692982-191.coolpic» v:shapes="_x0000_s1065">
<img width=«50» height=«34» src=«ref-2_295694026-149.coolpic» v:shapes="_x0000_s1070"> <img width=«50» height=«42» src=«ref-2_295694175-161.coolpic» v:shapes="_x0000_s1072">
Рис. 3.1. Линейная диаграмма ряда динамики
продолжение
--PAGE_BREAK--
3.5 Приемы анализа рядов динамики
Важнейшая задача анализа динамики — вскрыть, а затем и охарактеризовать свойственные развитию данного явления закономерности и тенденции (например, тенденция роста, снижения, стабилизации и др.)
Во многих случаях основная тенденция развития выступает по данным ряда динамики недостаточно отчетливо, затушевывается постоянными колебаниями уровня.
Основная тенденция, или, иначе, тренд, на графике характеризуется линией тренда, которая свободна от кратковременных отклонений, вызванных разными случайными причинами.
В конкретных условиях могут использоваться следующие приемы обработки рядов динамики для выявления основной тенденции (закономерности) развития:
а) простое укрупнение интервалов (от месячных интервалов перейти к квартальным, от квартальных — к годовым и т.д.). Соответственно и уровни ряда будут исчислены за более длительные периоды времени путем суммирования уровней за периоды, вошедшие в новый интервал;
б) расчет среднего уровня в укрупненном интервале. Такой прием, например, часто используют при изучении урожайности сельскохозяйственных культур. По пятилеткам определяют среднегодовую урожайность зерна или другой культуры. Случайные колебания при этом сглаживаются;
в) сглаживание ряда с помощью скользящей средней;
г) аналитическое выравнивание ряда динамики.
Скользящая средняяможет быть трех-, пяти- и более членной. Вопрос о числе членов решает исследователь, проводящий сглаживание ряда. Так, при подсчете трехзвенной скользящей средней первая и последние средние не исчисляются, вторая средняя исчисляется как средняя арифметическая первых трех уровней, третья – как средняя арифметическая второго, третьего и четвертого уровней и т.д.
Сглаживание ряда с помощью скользящей средней является простым приемом, но не всегда ясно позволяет выявить тенденцию развития. Поэтому часто используют прием аналитического выравнивания.
Аналитическое выравниваниевключает:
— выбор формы линии (прямой или какой-либо кривой, имеющей математическую формулу);
— расчет параметров избранной формулы линии, позволяющей нанести теоретическую линию на график.
Допустим, линейная диаграмма позволяет предположить, что динамика исследуемого явления имеет форму прямой линии.
Уравнение прямой выразим:
<img width=«96» height=«28» src=«ref-2_295694336-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238">,
где <img width=«17» height=«24» src=«ref-2_295694567-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239"> — теоретическое значение уровней ряда;
<img width=«39» height=«28» src=«ref-2_295694676-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240">— параметры прямой;
<img width=«14» height=«21» src=«ref-2_295694869-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241">— показатели времени.
Коэффициент <img width=«21» height=«27» src=«ref-2_295695021-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242"> имеет смысл показателя степени связи между изменчивостью влияющей переменной <img width=«13» height=«18» src=«ref-2_295695123-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243"> и изменчивостью зависимой переменной <img width=«17» height=«24» src=«ref-2_295694567-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244">. Коэффициент <img width=«21» height=«27» src=«ref-2_295695021-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245"> показывает на сколько изменится переменная <img width=«17» height=«24» src=«ref-2_295694567-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246"> при изменении переменной <img width=«13» height=«18» src=«ref-2_295695123-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247"> на единицу, а знак коэффициента <img width=«20» height=«27» src=«ref-2_295695613-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248"> показывает направление этого изменения.
Для нахождения параметров уравнения используют систему уравнений:
<img width=«250» height=«93» src=«ref-2_295695715-1175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249">
где <img width=«23» height=«28» src=«ref-2_295696890-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250"> — фактические уровни ряда;
<img width=«18» height=«19» src=«ref-2_295696997-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251"> — число членов ряда;
<img width=«16» height=«29» src=«ref-2_295697168-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252">— показатели времени.
Решая эту систему относительно параметров <img width=«23» height=«29» src=«ref-2_295697265-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253"> и <img width=«21» height=«27» src=«ref-2_295695021-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254">, получим:
<img width=«233» height=«86» src=«ref-2_295697473-1223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255">,
<img width=«202» height=«85» src=«ref-2_295698696-1091.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256">.
Полученная прямая линия выражает тренд динамики.
Пример 3.3
Имеются данные о сварке труб газопровода по месяцам отчетного года в строительной корпорации (см. табл. 3.5).
Таблица 3.5
Проведем сглаживание ряда динамики с помощью трехзвенной скользящей средней.
Таблица 3.6
Значения скользящей средней найдены непосредственно в табл. 3.6.
Если нанести данные табл. 3.6 на график, то получим две линии, изображающие динамику абсолютных уровней и скользящих средних. Покажем это на рис. 3.2.
<img width=«478» height=«372» src=«ref-2_295699787-5320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257">
Рис. 3.2. Сглаживание ряда динамики при помощи скользящей средней
По графику можно убедится в том, что кривая абсолютных уровней имеет резкие изломы и не позволяет однозначно выявить тенденцию динамики.
Кривая скользящих средних, напротив, свидетельствует о безусловном нарастании показателей сварки труб.
Пример 3.4
Рассмотрим прием простого укрупнения интервалов и расчета среднего уровня в укрупненном интервале. По данным табл. 3.5 перейдем от месячных объемов сварки труб газопровода к квартальным. Рассчитаем объем среднемесячной сварки труб газопровода в каждом квартале. Полученные таким образом ряды динамики и расчет их уровней приведены в табл. 3.7. Эти ряды также свидетельствуют о безусловном нарастании показателей сварки труб.
Таблица 3.7
Пример 3.5
Рассмотрим прием сглаживания ряда с помощью аналитического выравнивания по данным табл. 3.5.
Рисунок 3.2 позволяет предположить, что динамика сварки труб имеет форму прямой линии, т.к., несмотря на изломы, точки кривой имеют направленность из нижнего левого в верхний правый угол графика. (Правильность такого суждения проверяется специальными показателями – коэффициентами корреляции).
Произведем расчет параметров <img width=«22» height=«28» src=«ref-2_295705107-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258"> и <img width=«22» height=«27» src=«ref-2_295705212-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259">прямой и теоретических уровней <img width=«17» height=«24» src=«ref-2_295694567-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260">. Для этого найдем необходимые суммы в табл. 3.8.
Таблица 3.8
В нашем случае <img width=«53» height=«21» src=«ref-2_295705993-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266">.
Итак,
<img width=«553» height=«79» src=«ref-2_295706223-2697.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267">(м),
<img width=«495» height=«76» src=«ref-2_295708920-2437.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268">(м).
Тогда уравнение линейного тренда будет иметь вид:
<img width=«17» height=«24» src=«ref-2_295694567-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269"> = 19686,36 + 671,33<img width=«11» height=«19» src=«ref-2_295649943-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270">.
Находим теоретические значения:
<img width=«17» height=«24» src=«ref-2_295694567-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271">1 = 19686,36 + 671,33·1 ≈ 20358,
<img width=«17» height=«24» src=«ref-2_295694567-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272">2 = 19686,36 + 671,33·2 ≈ 21029,
<img width=«17» height=«24» src=«ref-2_295694567-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273">3 = 19686,36 + 671,33·3 ≈ 21700 и т.д.
Заносим значения теоретических уровней в табл. 3.8.
Итог теоретических уровней должен быть равен итогу фактических уровней. Нанесем теоретические точки на график (рис. 3.3) и получим прямую линию, которая выражает тренд динамики.
<img width=«478» height=«372» src=«ref-2_295711879-5326.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274">
Рис. 3.3. Сглаживание ряда динамики при помощи аналитического
выравнивания
4 ИНДЕКСЫ
4.1 Понятие об индексах
В статистике индексом называется относительная величина, которая характеризует изменение во времени или пространстве уровня изучаемого общественного явления или степень выполнения плана.
При помощи индексов:
1) определяются средние изменения сложных, непосредственно несоизмеримых совокупностей во времени;
2) оценивается средняя степень выполнения плана по совокупности в целом или ее части;
3) устанавливаются средние соотношения сложных явлений в пространстве;
4) определяется роль отдельных факторов в общем изменении сложных явлений во времени или в пространстве и, в частности, изучается влияние структурных сдвигов.
Индексы всегда выражаются в процентах или коэффициентах.
По степени охвата элементов сложной совокупности различают индексы:
— индивидуальные;
— общие;
— агрегатные.
4.2 Индивидуальные индексы
Индивидуальные индексывыражают соотношение отдельных элементов совокупности.
Индивидуальные индексы обозначаются буквой “i” и определяются путем соотношения двух величин, характеризующих уровень изучаемого явления во времени или пространстве, т.е. за два сравниваемых периода.
Период, уровень которого сравнивается, называется отчетным, или текущим периодом и обозначается подстрочным знаком “1”.
Период, с уровнем которого производится сравнение, называется базисным и обозначается подстрочным знаком “0” или “пл”, если сравнение производится с планом.
В статистической практике принято количество обозначать буквой q, цену – p, себестоимость – z, затраты времени на производство единицы продукции – t
.
Индивидуальные индексы выражаются следующим образом:
1) Индекс физического объема продукции
<img width=«59» height=«52» src=«ref-2_295717205-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275">,
где <img width=«19» height=«27» src=«ref-2_295717417-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276"> и <img width=«21» height=«27» src=«ref-2_295717520-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277"> – количество произведенной продукции в отчетном и базисных периодах, соответственно.
Этот индекс может характеризовать изменение физического объема продукции:
— во времени;
— в пространстве, если сравнивать производство одного и того же вида продукции за один и тот же период времени, но по разным объектам (заводам, территориям и т.д.);
— по сравнению с планом, если фактический выпуск сравнивать с плановым заданием.
2) Индекс цен
<img width=«63» height=«52» src=«ref-2_295717626-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278">,
где <img width=«21» height=«27» src=«ref-2_295717847-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279"> и <img width=«23» height=«27» src=«ref-2_295717953-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280"> – цена единицы продукции в отчетном и базисном периодах, соответственно.
3) Индекс себестоимости
<img width=«57» height=«52» src=«ref-2_295718064-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281">,
где <img width=«17» height=«27» src=«ref-2_295718258-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282"> и <img width=«20» height=«27» src=«ref-2_295718355-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283"> – себестоимость единицы продукции в отчетном и базисном периодах, соответственно.
4) Индекс трудоемкости
<img width=«51» height=«52» src=«ref-2_295718458-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284">,
где <img width=«15» height=«27» src=«ref-2_295684496-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285"> и <img width=«16» height=«27» src=«ref-2_295718750-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286"> – затраты времени на производство единицы продукции в отчетном и базисном периодах, соответственно.
4.3 Общие и агрегатные индексы
Общие индексы показывают соотношение совокупностей явлений, состоящих из разнородных, непосредственно несоизмеримых элементов.
Так, например, общий индекс товарооборота будет:
<img width=«108» height=«59» src=«ref-2_295718853-537.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287">.
Индекс товарооборотапоказывает, что его величина зависит от двух переменных величин:
— физического объема товарооборота, т.е. количества проданных товаров;
— цены за каждую величину реализованных товаров.
Чтобы выявить влияние каждой переменной в отдельности, следует влияние одной из них исключить, т.е. принять ее условно в качестве постоянной, неизменной величины на уровне отчетного или базисного периода. В этом случае используют агрегатные индексы.
продолжение
--PAGE_BREAK--
Агрегатный индекс цен, в котором вес принят на уровне отчетного периода (q1) вычисляют по формуле:
<img width=«104» height=«62» src=«ref-2_295719390-519.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288">.
Агрегатный индекс физического объема товарооборота,в котором вес принят на уровне базисного периода (р0)вычисляют по формуле:
<img width=«105» height=«62» src=«ref-2_295719909-529.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289">.
Существует взаимосвязь между общим индексом товарооборота и агрегатными индексами цен и физического объема товарооборота, вычисленными по вышеприведенным формулам:
<img width=«110» height=«35» src=«ref-2_295720438-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290">
или <img width=«211» height=«56» src=«ref-2_295720782-1021.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291">.
Абсолютный прирост стоимости товарооборота зависит от двух факторов:
— от изменения цен на товары;
— от изменения объема продаж.
Итак, абсолютный прирост стоимости товарооборота равен <img width=«147» height=«27» src=«ref-2_295721803-541.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292">, в том числе за счет изменения цен на <img width=«141» height=«28» src=«ref-2_295722344-519.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293"> и за счет изменения физического объема на <img width=«145» height=«28» src=«ref-2_295722863-526.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294">.
Т.е. <img width=«469» height=«28» src=«ref-2_295723389-1225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295">
Пример 4.1
Имеются следующие данные об объеме выпуска и себестоимости продукции по предприятию (см. табл. 4.1):
Таблица 4.1
Вычислить:
1 Индивидуальные индексы себестоимости и физического объема выпуска продукции вида А.
2 Общий индекс затрат по выпуску всей продукции по данному предприятию.
3 Агрегатный индекс себестоимости продукции.
4 Агрегатный индекс физического объема выпуска продукции.
5 Абсолютную величину изменения затрат на данном предприятии за указанный период, в том числе за счет изменения себестоимости продукции и за счет изменения физического объема выпуска продукции.
6 Сделать краткие выводы по всем полученным показателям.
Решение
1 Индивидуальный индекс себестоимости продукции вида А:
<img width=«176» height=«55» src=«ref-2_295725023-819.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300"> или 95%.
Вывод: себестоимости продукции вида А снизилась на 5%.
Индивидуальный индекс физического объема выпуска продукции вида А:
<img width=«172» height=«55» src=«ref-2_295725842-764.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301"> или 144,7%.
Вывод: физический объем выпуска продукции вида А вырос на 44,7%.
2 Общий индекс затрат по выпуску всей продукции по данному предприятию:
<img width=«513» height=«55» src=«ref-2_295726606-2605.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302"> или 117,5%.
Вывод: затраты по выпуску всей продукции по данному предприятию за указанный период выросли на 17,5%.
3 Агрегатный индекс себестоимости продукции:
<img width=«512» height=«55» src=«ref-2_295729211-2632.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303"> или 93,9%.
Вывод: Себестоимость всей продукции по данному предприятию за указанный период снизилась на 6,1%.
4 Агрегатный индекс физического объема выпуска продукции:
<img width=«497» height=«55» src=«ref-2_295731843-2540.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304"> или 125,1%.
Вывод: физический объем выпуска всей продукции по данному предприятию за указанный период увеличился на 25,1%.
5 Абсолютная величина изменения затрат по выпуску продукции на данном предприятии за указанный период составила:
<img width=«352» height=«27» src=«ref-2_295734383-1106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305">(руб.),
в том числе за счет изменения себестоимости продукции затраты выросли на:
<img width=«352» height=«27» src=«ref-2_295735489-1111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306">(руб.)
и за счет изменения физического объема выпуска продукции затраты выросли на:
<img width=«353» height=«27» src=«ref-2_295736600-1104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307">(руб.).
Вывод: затраты по выпуску продукции на данном предприятии за указанный период выросли на 20922 руб., в том числе за счет изменения себестоимости продукции затраты снизились на 9083 руб. и за счет изменения физического объема выпуска продукции затраты выросли на 30005 руб.
4.4 Средние индексы
Агрегатный индекс может быть преобразован в средний арифметический или средний гармонический. Эти формулы используют тогда, когда информация не позволяет сделать расчет по формуле агрегатного индекса, но достаточна для расчета индексов по преобразованным формулам.
Так, например, агрегатный индекс физического объема товарооборота
<img width=«105» height=«62» src=«ref-2_295719909-529.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308">
может быть преобразован в средний арифметический, если выразить <img width=«19» height=«27» src=«ref-2_295717417-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309"> из индивидуального индекса физического объема: <img width=«59» height=«55» src=«ref-2_295738336-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310">, т.е. <img width=«81» height=«29» src=«ref-2_295738554-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311"> и подставить в выше приведенную формулу. Итак,
<img width=«195» height=«57» src=«ref-2_295738755-826.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312">.
Пример 4.2
Имеются данные о производстве продукции заводом за два года (см. табл. 4.2):
Таблица 4.2
Наименование продукции
Стоимость произведенной продукции в базисном году, тыс. руб. (<img width=«36» height=«27» src=«ref-2_295739581-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1313">)
Изменение количества произведенной продукции в отчетном году, %.
Станки модели «А»
Станки модели «Б»
Посуда
25000
10000
5000
-35,0
+20,0
+52,0
Требуется вычислить агрегатный индекс физического объема производства продукции.
Решение
Для расчета агрегатного индекса физического объема производства продукции воспользуемся формулой среднего арифметического индекса.
Индивидуальные индексы физического объема составляют:
станки модели «А» — 100% – 35% = 65% или <img width=«33» height=«29» src=«ref-2_295739715-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1314">0,65;
станки модели «Б» — 100% + 20% = 120% или <img width=«33» height=«29» src=«ref-2_295739715-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1315">1,20;
посуда — 100% + 52% = 152% или <img width=«33» height=«29» src=«ref-2_295739715-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1316">1,52.
Итак, агрегатный индекс физического объема производства продукции:
<img width=«653» height=«57» src=«ref-2_295740066-2932.coolpic» v:shapes="_x0000_i1317">или 89,6%. Следовательно, физический объем производства продукции за указанный период сократился на 10,4%.
Аналогично, агрегатный индекс цен
<img width=«101» height=«55» src=«ref-2_295742998-487.coolpic» v:shapes="_x0000_i1318">
может быть преобразован в средний гармонический, если выразить <img width=«23» height=«27» src=«ref-2_295717953-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1319"> из индивидуального индекса цен: <img width=«63» height=«55» src=«ref-2_295743596-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1320">, т.е. <img width=«67» height=«57» src=«ref-2_295743817-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1321"> и подставить в выше приведенную формулу.
Итак,
<img width=«181» height=«83» src=«ref-2_295744048-854.coolpic» v:shapes="_x0000_i1322">.
Пример 4.3
По приведенным данным (см. табл. 4.3) вычислить агрегатный индекс цен.
Таблица 4.3
Решение
Для расчета агрегатного индекса цен воспользуемся формулой среднего гармонического индекса.
Индивидуальные индексы цен составляют:
Мясо — 100% + 30% = 130% или <img width=«35» height=«29» src=«ref-2_295745037-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1324">1,30;
Молоко — 100% + 24% = 124% или <img width=«35» height=«29» src=«ref-2_295745037-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1325">1,24;
Сахар — 100% + 42% = 142% или <img width=«35» height=«29» src=«ref-2_295745037-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1326">1,42;
Картофель — 100% – 5% = 95% или <img width=«35» height=«29» src=«ref-2_295745037-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1327">0,95.
Итак, агрегатный индекс цен:
<img width=«545» height=«83» src=«ref-2_295745517-3234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1328">
или 124,1%. Следовательно, цены на товары в 1995 году увеличились по сравнению с 1994 годом на 24,1%
4.5 Индексы средних величин
В ряде случаев приходится изучать динамику общественных явлений, уровни которых выражены средними величинами (средней себестоимостью, средней заработной платой, средней урожайностью, средней производительностью труда и т.д.).
Динамика средних показателей зависит от одновременного изменения вариантов, из которых формируются средние, и изменения удельных весов этих вариантов, т.е. от структуры изучаемого явления. Так, например, средняя производительность труда на предприятии может возрасти за счет ее повышения у рабочих отдельных специальностей и повышения удельного веса рабочих с более высокой производительностью труда в общей численности рабочих.
Таким образом, на изменение динамики среднего значения изучаемого явления могут оказывать влияние одновременно два фактора: изменение осредняемого показателя и изменение структуры. Изучение совместного действия указанных факторов на общее изменение динамики среднего уровня явления, а также роли и влияния каждого фактора в отдельности в общей динамике средней проводится в статистике при помощи системы взаимосвязанных индексов, которую можно представить в следующем виде:
<img width=«637» height=«105» src=«ref-2_295748751-3727.coolpic» v:shapes="_x0000_i1329">где <img width=«20» height=«25» src=«ref-2_295752478-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1330"> и <img width=«23» height=«25» src=«ref-2_295752578-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1331"> – уровни осредняемого показателя соответственно в отчетном и базисном периодах, а <img width=«20» height=«25» src=«ref-2_295752684-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1332"> и <img width=«23» height=«25» src=«ref-2_295752790-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1333"> – веса (частоты) осредняемых показателей соответственно в отчетном и базисном периодах.
В указанной системе взаимосвязанных индексов при построении индекса постоянного состава в качестве весов принята структура отчетного периода, что позволяет проследить изменение средней динамики изучаемого явления только за счет изменения осредняемых значений качественного показателя. При построении индекса структурных сдвигов в качестве соизмерителя принята величина осредняемого показателя на уровне базисного периода, что дает возможность изучить изменение средней динамики явления только за счет структурных сдвигов.
Используя индексы средних величин, можно найти не только относительное влияние факторов, но и определить абсолютное изменение уровня среднего показателя в целом (<img width=«27» height=«24» src=«ref-2_295752902-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1334">) и за счет каждого из факторов: за счет непосредственного изменения уровней осредняемого признака (<img width=«36» height=«27» src=«ref-2_295753105-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1335">) и за счет изменения структуры (<img width=«55» height=«29» src=«ref-2_295753326-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1336">). Для этого необходимо из числителя соответствующего индекса приведенной системы индексов вычесть его знаменатель. Итак
<img width=«99» height=«28» src=«ref-2_295753497-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1337">,
в том числе:
<img width=«111» height=«35» src=«ref-2_295753811-351.coolpic» v:shapes="_x0000_i1338">;
<img width=«132» height=«36» src=«ref-2_295754162-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1339">;
Таким образом <img width=«147» height=«29» src=«ref-2_295754555-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1340">.
Пример 4.4
Имеются данные о динамике себестоимости и объеме производства продукции «А» на двух заводах (см. табл. 4.4).
Таблица 4.4
Вычислить:
1. Индекс средней себестоимости продукции «А» (переменного состава);
2. Индекс себестоимости продукции «А» постоянного состава;
3. Индекс влияния изменения структуры производства продукции «А» на динамику ее средней себестоимости;
4. Определить общее абсолютное изменение средней себестоимости единицы продукции «А» в отчетном периоде по сравнению с базисным и разложить по факторам: за счет непосредственного изменения уровней себестоимости единицы продукции и за счет изменения структуры производства продукции;
Сделать краткие выводы по всем полученным показателям.
Решение
1. Индекс средней себестоимости продукции «А» (переменного состава):
<img width=«604» height=«113» src=«ref-2_295755256-3293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1345"> Вывод: средняя себестоимость единицы продукции «А» за указанный период увеличилась на 9,5%.
Изменение средней себестоимости единицы продукции «А» может быть обусловлено изменением себестоимости единицы продукции «А» на каждом заводе и изменением удельного веса производства продукции «А» на каждом из анализируемых заводов.
Выявление влияния каждого из этих факторов на динамику средней себестоимости продукции «А» можно осуществить при помощи расчета индекса себестоимости постоянного состава и индекса структурных сдвигов.
2. Индекс себестоимости продукции «А» постоянного состава:
<img width=«584» height=«116» src=«ref-2_295758549-3016.coolpic» v:shapes="_x0000_i1346">
Вывод: средняя себестоимость единицы продукции «А» за указанный период за счет изменения уровней себестоимости продукции «А» на каждом из заводов увеличилась на 10%.
3. Индекс влияния изменения структуры производства продукции «А» на динамику ее средней себестоимости:
<img width=«619» height=«116» src=«ref-2_295761565-3276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1347"> Вывод: средняя себестоимость единицы продукции «А» за указанный период за счет изменения удельного веса количества произведенной продукции «А» на каждом из заводов снизилась на 0,5%.
4. Общее абсолютное изменение средней себестоимости единицы продукции «А» в отчетном периоде по сравнению с базисным:
<img width=«263» height=«28» src=«ref-2_295764841-849.coolpic» v:shapes="_x0000_i1348">(млн. руб.),
в том числе:
-за счет непосредственного изменения уровней себестоимости единицы продукции:
<img width=«247» height=«35» src=«ref-2_295765690-779.coolpic» v:shapes="_x0000_i1349">(млн. руб.)
-за счет изменения структуры производства продукции:
<img width=«296» height=«36» src=«ref-2_295766469-875.coolpic» v:shapes="_x0000_i1350">(млн. руб.)
Вывод: средняя себестоимость единицы продукции «А» за указанный период увеличилась на 0,589 млн. руб., в том числе за счет изменения уровней себестоимости продукции «А» на каждом из заводов увеличилась на 0,62 млн. руб. и за счет изменения удельного веса количества произведенной продукции «А» на каждом из заводов снизилась на 0,031 млн. руб.
продолжение
--PAGE_BREAK--
еще рефераты
Еще работы по маркетингу