Реферат: Задача равновесия

В.Б.Кирьянов

ЗАДАЧАРАВНОВЕСИЯ

Лекции по математическим методам микроэкономики

Кафедра высшей математики. С.ПбУЭФ, 1996

ЭКОНОМИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Глава первая. ЗАДАЧИ РАВНОВЕСНОГО УПРАВЛЕНИЯ

... по самой своейприроде математические методы

не могут прилагатьсянепосредственно к действительности,

а только кматематическим моделям того или иного круга явлений.

Л.В.Канторович иА.Б.Горстко [ , c.6].

СОДЕРЖАНИЕ ПЕРВОЙГЛАВЫ

1.1. Задача затрат

1. Классификациязадач.

2. Векторныеобозначения.

3.Табличное представление.

4.Количественная часть задачи затрат.

1.2. Ценоваячасть задачи затрат

1.Оценивание изделий.

2. Ценовыеусловия равновесия.

3.Равновесные цены изделий.

4. Правиладвойственного соответствия.

5.Транспонирование.

1.3. Задачавыпуска

1.Табличное представление.

2.Количественная часть задачи выпуска.

3. Ценоваячасть задачи выпуска.

4.Каноническая пара задач.

1.4. Задачаравновесия

Физическоесодержание задачи равновесия.

1.5. История илитература

1.1. Задача затрат

1.Классификация задач. Начнем изучениезадачи равновесия с простых экономических примеров.

Рассматриваямассовое производство каких-нибудь обычных изделий, например — строительствожилых домов (производство автомобилей, компьютеров и т.п.),- мы увидим: всякоетакое дело оказывается состоящим из двух взаимосвязанных производств:производства строительных материалов (автомобильных агрегатов, микросхем ипроч.) и собственно строительства (сборочного производства). При этом, производствостроительных материалов представляет собою процесс разложения сложного природногосырья в ряд простых изделий, например: круглого леса в доски стандартныхразмеров,- и наоборот: строительное производство есть процесс сборки из простыхстроительных материалов различных сложных построек. Для нас здесь важно то, чтов развитом народном хозяйстве оба эти производства — и произвольный лесопильныйзавод, и какая-нибудь строительная артель — действуют на различных рынках: внашем случае — на рынке пиломатериалов и на рынке строительных услуг,- иявляются, вообще говоря, независимымидруг от друга. В терминах народохозяйственной модели «затраты-выпуск»Леонтьева (см.1.5.1) задача разложения сырья является задачей затрат, азадача сборки изделий — задачей выпуска.

Кроме того: всякийуправляющий промышленным производством, независимо от того, действует ли он вперерабатывающей или сборочной областях промышленности, участвует во внешней рыночной деятельностидвояким образом: и как потребитель,покупающий сырье для своего производства, и как производитель, продающийпроизведенные им изделия. Покупка сырьясоставляет его расход, а продажа изделий — доход. По этой причине, задачаразумного управления промышленным предприятием оказывается для него состоящейиз двух задач: задачи минимизации расходов и, одновременно, — задачимаксимизации доходов того же самого промышленного производства. Такая паразадач называется взаимно двойственной.

В итоге, множествозадач научного производственного управления образуется из задач четырех видов:из задачи разложения сырья и задачи сборки изделий, каждая из которых, в своюочередь, распадается в пару прямой и ей двойственной подзадач:

прямая подзадача;

Задача затрат:

двойственная подзадача.

прямая и

Задача выпуска:

двойственная подзадачи.

Их точноймодельной постановке и посвящена первая глава наших лекций.

2.Векторные обозначения. И промышленное сырье, и изделия из негоявляются товарами, и как всякие товары описываются парой взаимосвязанныхвеличин: количеством q (от quantity) и ценой p (отprice). Поэтому описание производствакак преобразования сырья в изделия имеет дело с двумя их связанными парами:количествами и ценами сырья, и количествами и ценами изделий. Для удобства различения этих величин те изних, которые относятся к сырьевым или первичным товарам, мы будем снабжатьпервым значком “1”, а относящиеся кпроизводимым или вторичным товарам — значком “2”, например: q 1 и p1, q 2 и p2 .

При использовании m видов сырья для производства n видов изделий: m, n = 1, 2, ¼

,как их количества, так и цены становятся многокомпонентными или векторными величинами.В матричном исчислении их представляют одностолбцовыми или однострочнымиматрицами, различение которых связано с несимметричностью закона матричногоумножения по правилу “строка на столбец”. Нам будет удобно первые значкиколичественным векторам приписывать сверху и их составляющие q11, ¼, q 1m и q21, ¼,q 2n в матричном представлении записывать в виде одностолбцовых m ´ 1 и n ´1 матриц соответственно:

q1 =

q11

¼

q1m

; q2 =

q21

¼

q2n

;

а те же первые значки ценовым векторам мы будем приписыватьснизу: p1 и p2 ,и их составляющие p1 1, ¼

,p1 m и p2 1, ¼,p2 n записывать в виде однострочных 1 ´ т и 1 ´n матриц:

р1 = ( p11 ¼

p1m ) ; р2 = ( p21 ¼ p2n).

Имеющие одни и теже пространственные размерности количественный и ценовый векторы одного и тогоже наборов товаров мы будем называть взаимно-двойственными векторами.Они обладают тем свойством, что их матричное произведение по правилу “строка настолбец”, например:

p1 q1 = ( p11 ¼

p1m)

q11

¼

q1m

= p11 q11 + ¼

+ p1m q1m º á p1, q1 ñ,

дает одноклеточную 1 ´

1 матрицу или “скаляр” (число) á p1, q1 ñ — сумму покомпонентных произведений перемножаемыхвекторов, называемую их скалярным произведением или, коротко, сверткойэтих векторов.

Напротяжении всех наших лекций сторочные латинские буквы с двумя значкамибудут обозначать одномерные величины или числа, те же буквы с однимзначком — соответствующие векторы, а буквы без значков — матрицы или операторы. Причем всегда нижний значок матричныхсоставляющих будет нумеровать строки, а верхний — столбцы.

3.Табличное представление. Задачазатрат представляет собою задачу переработки m взаимозаменяемых видов “сложного” сырья в n видов “простых” изделий. В линейном случае ее технология задаетсяn´

m таблицей неотрицательных чисел a1 1, ¼,an m :

al k [количествоl-изделий / на единицу k-сырья] ³

0 ;

l = 1, ¼

, n; k = 1,¼, m; m, n = 1, 2, ¼ ,

составляющих матрицу выпуска a. В целом, вместе с двумяпарами векторов q 1 и p1, и q 2и p2 всех своих товаров, задача затрат описывается m´

n+2(m+n)величинами и естественно представляется в следующем табличном виде:

q11 ¼

q1m

p21

¼

p2n

a11 ¼

a1m

¼

¼ ¼

an1 ¼

anm

q21

¼

q2n

p11 ¼

p1m

Всякоепроизводство, будь то разложение сырья или сборка изделий, являетсяпреобразованием сырья в изделия как в отношении их количеств, так и цен:

q1; p1

®

q2; p2 ,

— и поэтому из 2m+2n егоколичественных и ценовых величин одна их половина предопределяет другую. Так, взадаче затрат нам задается рыночный спрос на выпускаемые изделия (план ихпроизводства) в виде неотрицательного вектора спроса изделий q2 с n составляющими:

q2l[количество. l-изделий] ³

0; l = 1, ¼, n,

а дополнительный ему вектор q 1 спроса напотребляемое сырье подлежит определению в условиях заданных цен — неотрицательного вектора закупочных цен сырья p1 с m составляющими

p1k [рубли / за единицу k-сырья] ³

0; k = 1,¼, m.

Заданныепостоянные задачи называются, также, ее параметрами, а искомые неизвестные- переменными. Для отличения параметров задачи от ее переменных мы будемснабжать параметры дополнительным значком — ноликом “ °

“ сверху.

4.Количественная часть задачи затрат.Предложение изделий. В прямой части задачи затрат относительнозаданных цен p1 на потребляемое сырье ищется наименее расходноезначение его вектора спроса q 1. По этой причине прямая часть задачи производственного управленияназывается, также, ее количественной частью.

Выпуская al kединиц l-изделий из каждойзатрачиваемой единицы k-сырья,из q 11, ¼

, q 1m единиц сырья всех m видов изготовляют q21, ¼, q 2n :

q21 = a1 1 q 11 + ¼

+ a1 m q 1m ;

¼

q2n = an 1 q 11 + ¼

+ an m q 1m ,

единиц изделий каждого вида. Количества предлагаемых изделийкаждого вида представляются линейными функциями q2l = q2l (q 1):

q2l = q2l (q 1) = á

a l, q1 ñ ; l= 1, ¼, n ,

количеств затрачиваемого сырья в виде скалярных произведений á

a l, q1ñ m-мерного столбцового вектора q 1 затрат сырья с m-мерными строчными векторами a1, ¼, an матрицы затрат a:

a1 = ( a1 1 ¼

a1 m ) ,

¼

an = ( an 1 ¼

an m )

— векторами выпуска изделий каждого вида из всегоассортимента потребляемого сырья.

В обычныхматричных обозначениях набор линейных функций q2l = q2l (q 1) образует n-мерный столбцовый векторпредложения изделий q 2.Матричное представление полученных балансовых соотношений:

q2 =

a11 ¼

a1m

¼

an1 ¼

anm

q11

¼

q1m

= a q1

описывает осуществляемый m´

n матрицей выпуска a линейное преобразование m количеств потребляемого сырья всех видовв n количества производимых из него изделий.

5.Множество допустимых планов. Допустимыми являются такие закупкисырья q 1, при которых предложение производимых из негоизделий q 2 удовлетворяет заданному на них спросу q 2:

q2 = a q1 ³

q2 ,

или: предложение удовлетворяет спрос.

Полученные ограничения:

a1 1 q 11 + ¼

+ a1 m q 1m ³ q21 ;

¼

an 1 q 11 + ¼

+ an m q 1m ³ q2n,

являются прямыми или количественными необходимымиусловиями равновесия. Их решения называются множеством допустимых плановзадачи.

Как мыувидим позднее (см. ), множестворешений полученной системы неравенств, вообще говоря, неоднозначно, допускаялюбое неотрицательное перепроизводство изделий D

q2 :

D

q2 ºq2 - q2 ³0 .

6.Равновесное потребление сырья. Издержкиданного производства, то есть стоимость приобретаемых по заданным закупочнымценам p1 1, ¼

, p1m потребных количеств q 11, ¼, q 1m всехвидов сырья, образует их линейную функцию L(q 1):

L(q1) = p11 q11 + ¼

+ p1m q1m = á p1 , q1ñ ,

называемую функцией стоимости, а также целевой функциейрассматриваемой задачи. Количественная часть задачи равновесного управлениясостоит в отыскании на области допустимых планов закупок сырья план закупок q 1 наименьшей стоимости L(q 1):

q1 : á

p1 , q1ñ = min á p1 , q1ñ

q1 |

a q1 ³ q2 .

Минимизирующеефункцию стоимости задачи допустимое значение искомого вектора q 1называется его равновесным значением или, еще, оптимальным планомзадачи, а полученная задача — задачей равновесного (или, что то же самое- оптимального) производственного управления. В общем случаетребование минимизации стоимости обеспечивает единственность ее решения.

1.2. Ценовая часть задачи затрат

1.Оценивание изделий. В условиях тогоже самого производства:

q11 ¼

q1m

p21

¼

p2n

a11 ¼

a1m

¼

an1 ¼

anm

q21

¼

q2n

p11 ¼

p1m

— одновременно с веществом сырья на выпускаемые из негоизделия переносится и его стоимость и возникает двойственная задача оценкисырья ценами производимых из него изделий, называемая, также, ценовой частьюзадачи затрат.

Действительно,изготовление из единицы сырья вида k:k=1, ¼

, m, al k штук изделий каждого вида l: l=1, ¼, n, по ценам p2 lза штуку сообщает сырью стоимости p1k:

p11 = p21 a11 + ¼

+ p2n an1 = á p2, b1ñ ;

...

p1m = p21 a1m + ¼

+ p2n anm = á p2, bmñ.

в виде линейных функций

p1k = p1k (p2) = á

p2, bkñ

цен производимых из них изделий, в совокупности образующих m-мерный строчный вектор ценностисырья p1.Коэффициентными векторами этих линейных функций служат столбцы b1 , ¼

, bm той же самой матрицы затрат a:

b1 =

a11

¼

an1

;... , bm =

a1m

¼

anm

— векторы выпуска ассортимента изделий из сырья каждого вида.

Полученные ценовыебалансовые соотношения:

p1 = ( p11 ¼

p11)

a11 ¼

a1m

¼

an1 ¼

anm

= p2 a,

являются линейным преобразованием p2 a= p 1 цен выпускаемых изделий в производственныеценности потребляемого сырья, двойственным осуществляемому той же матрицейвыпуска изделий a количественномулинейному преобразованию q 2= a q 1, сырья в изделия.

2.Ценовые условия равновесия. Вусловиях свободного доступа как производителей, так и потребителей товаров ксырью и технологиям, продажа всякого готового изделия его производителемстановится возможной лишь при условии того, что приобретение готового изделияпотребителем оказывается для него не дороже его самостоятельного изготовления.По этой причине допустимыми являются такие продажные цены p2 выпускаемых изделий, при которых производственныеценности p1= p1(p2)сырья не превышают его закупочных цен p1 :

p1 = p2 a £

p1 .

Полученные условия продаж являются двойственными или ценовыминеобходимыми условиями равновесия. Они выражают тот наш потребительскийопыт, в соответствии с которым товары массового производства при прочих равныхусловиях имеют свойство приобретаться тем охотнее, чем ниже их цена.

Множество решенийценовых ограничений называетсямножеством допустимых цен.

3.Равновесные цены изделий. Доход производства,даваемый стоимостью продаваемых по ценам p2 1,¼

, p2 n требуемых количеств q 21 ,¼, q 2n выпускаемых изделий образует линейнуюфункцию Ldual(p2) этихцен:

Ldual(p2) = p21 q21+ ¼

+ p2n q2n= á p2, q2ñ,

называемую функцией стоимости ценовой части задачи. Как ивсякий доход он стремится быть максимизированным своим получателем, и по этойпричине двойственная часть задачи управления состоит в отыскании на множестведопустимых цен изделий их наиболее доходных значений p2 :

p2 : á

p2, q2ñ = max áp2 , q2ñ

p2 ½

p2 a £ p1

Максимизирующиефункцию стоимости задачи допустимые цены изделий называются их равновеснымиценами, а сама задача — двойственной или ценовой частью задачиравновесного управления.

4.Правила двойственного соответствия.Итак, для одной и той же задачи затрат:

мы получили ее прямую и двойственную части:

q1 : min á

p1 , q1ñ при a q1 ³ q2

p2 : max á

p2 , q2ñ при p2 a £ p1 .

Обе они, несмотря на различные «сопряженные»наборы искомых неизвестных: в одной q1, а в другой p2 ,-объединены одними и теми же наборами параметров a, q2 и p1и обладают определенной двойственной симметрией, позволяющей поодной части задачи востановить ей двойственную часть и наоборот.

Действительно,сравнивая между собой обе подзадачи, мы можем установить правиласоответствия между ними. Эти правила состоят в замене

1) знака ограничений с ³

на £,

2) действия оптимизации функции стоимости c min на max ,

3) параметров ограничений на параметры функции стоимостиc q2 на p1 ,

4) количественных переменных на им сопряженные ценовые:c q1 на p2, и наоборот,

и позволяют по известной одной части задачи тут же написатьей двойственную.