Реферат: Обучение решению младших школьников нестандартным олимпиадным задачам

Введение

Особенности текстовых задач и их решения вомногом опре­деляют их роль и место в процессе обучения.

Так, в частности, если бы целью обученияматематике мож­но было считать лишь ознакомление детей с числами, арифмети­ческимидействиями, их свойствами, существующими между ни­ми связями и отношениями, т.е. только с математической сторо­ной дела в чистом виде, то, вообще говоря,можно было бы и вовсе отказаться от рассмотрения сюжетных задач и ограничить­сяизучением этих зависимостей и отношений в общем плане, с использованиемабстрактной математической формы их выраже­ния. Текстовые задачи сами по себеничего нового в раскрытие этих общих математических фактов не вносят и внестине могут.

Однако, учитывая, что речь идет о начальныхступенях в обу­чении математике, формирование отвлеченных теоретических знанийестественно вести па основе обобщения накопленного детьми опыта жизненныхнаблюдений и практических действий, систематизируемого и обогащаемого подруководством учителя. Текстовые сюжетные задачи, отражающие конкретные, хорошопонятные детям жизненные ситуации, могут в этих условиях оказаться полезнымсредством ознакомления учащихся с теми понятиями, отношениями,закономерностями, которые составля­ют предмет начального курса математики.

В этом смыслетекстовые задачи играют как бы подсобную роль в курсе математики наряду стакими средствами, как ис­пользование различных наглядных пособий, проведениепрактиче­ских работ и пр.

1. Структура решения задачи.

<span Times New Roman",«serif»">Роль задач в обучении математике невозможно переоценить. Через задачу естественно  ввести  проблемную  ситуацию.   Разрешив   систему   специально подобранных  задач,  ученик  знакомится  с  существенными  элементами  новых алгоритмов,   овладевает   новыми   техническими    элементами. Применять математические   знания   в   жизненных   ситуациях   учат   соответствующие практические задачи. Очевидно, что, получив задачу, первое, что нужно сделать,— это разобраться в том, что это за задача, каковы ее условия, в чем состоят ее требования, т. е. провести тот анализ задачи, о котором говорилось в первой главе. Этот анализ и составляет первый этап процесса решения задачи.

В ряде случаев этотанализ надо как-то оформить, записать. Для этого, как вы знаете, используютсяразного рода схемати­ческие записи задач, построение которых составляет второйэтап процесса решения.

Анализ задачи ипостроение ее схематической записи необхо­димо главным образом для того, чтобынайти способ решения данной задачи. Поиск этого способа составляет третийэтап процесса решения.

Когда способ решениязадачи найден, его нужно осущест­вить,— это будет уже четвертый этап процессарешения — этап осуществления (изложения) решения.

После того как решениеосуществлено и изложено (письменно или устно), необходимо убедиться, что эторешение правильное, что оно удовлетворяет всем требованиям задачи. Для этогопро­изводят проверку решения, что составляет пятый этап процессарешения.

При решении многих задач,кроме проверки, необходимо еще произвести исследование задачи, а именноустановить, при каких условиях задача имеет решение и притом сколько различныхрешений в каждом отдельном случае; при каких условиях задача вообще не имеетрешения и т. д. Все это составляет шестой этаппроцесса решения.

Убедившись в правильностирешения и, если нужно, произ­ведя исследование задачи, необходимо четкосформулировать ответ задачи,— это будет седьмой этап процесса решения.

Наконец, в учебных ипознавательных целях полезно также произвести анализ выполненного решения, вчастности установить, нет ли другого, более рационального способа решения,нельзя ли задачу обобщить, какие выводы можно сделать из этого решения и т. д.Все это составляет последний, конечно не обязательный, восьмой этап решения.

Итак, весь процессрешения задачи можно разделить на во­семь этапов:

1-й этап — анализ задачи;

2-й этап — схематическаязапись задачи;

3-й этап — поиск способарешения задачи;

4-й этап — осуществлениерешения задачи;

5-й этап — проверкарешения задачи;

6-й этап — исследованиезадачи;

7-й этап — формулированиеответа задачи;

8-й этап — анализ решениязадачи.

<img src="/cache/referats/23545/image002.jpg" v:shapes="_x0000_i1025">

Приведенная схема даетлишь общее представление о про­цессе решения задач как о сложном имногоплановом процессе.

<span Times New Roman",«serif»">Исторически  сложилось,  что  на  ранних  этапах  развития  математики решение задач было целью обучения.  Ученик  должен  был  заучить  образцы  и затем подводить под эти образцы решения задач. В основном решались  типовые, стандартные задачи, принадлежащие классам алгоритмически  разрешимых  задач, т.е. таких, для которых существует общий метод (алгоритм) решения.<span Times New Roman",«serif»">      Многообразные ситуации, возникающие  на математическом    и нематематическом материале, приводят как к стандартным, так и  нестандартным задачам.

2. Нестандартные задачи.

<span Times New Roman",«serif»">Наибольшие затруднения у школь­ников, как правило, вызывают реше­ния нестандартных задач, т.е. задач, алгоритм решения которых им неизве­стен. Задачи этого типа требуют от  ученика  мобилизации  практически  всего набора знаний, умения анализировать условие, строить  математическую  модель решения, находить данные к задаче «между строк» условия. Практически,  одной специально подобранной задачей этого типа можно проверить знания ученика  по целой теме.

Однако одна ита же задача мо­жет быть стандартной или нестан­дартной в зависимости от того,обучал ли учитель решению аналогичных за­дач учащихся, или нет. Так, задачи нанахождение суммы конечного числа членов арифметической прогрессии дляшкольников начальных классов — нестандартные, а для старшеклассни­ков — стандартные.Любая задача, взя­тая изолированно, сама по себе явля­ется нестандартной, ноесли с ней рядом поместить несколько подобных задач, то она становитсястандартной. В основе решений многих из них лежат: принцип Дирихле, понятие ин­варианта,запись чисел в различных системах счисления, теория графов, свойствагеометрических и магичес­ких фигур, правила построения уникурсальных кривых,признаки дели­мости чисел, законы математической логики и арифметическихопераций, правила комбинаторики и т.п.

ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ. Эточрезвы­чайно простое положение применяет­ся при доказательстве многих важныхтеорем теории чисел. В самой простой и шутливой форме принцип Дирихле выглядиттак: «Если в п клетках сидит не менее т + 1 кроликов, то вкакой-то из клеток сидит не менее двух кроли­ков». Более строго онформулируется в виде следующей теоремы.

Теорема 1 (принцип Дирихле). Пустьдано п классов и т предметов. Если т > n, то при отнесении каждого из mпредметов к одному из пклассов хотя бы в один класс попадет не менее двух предметов.

Доказательство проведем методом от противного.Если бы в каждый класс попадало не более одного предмета, то всего врассматриваемых классах бы­ло бы не более п предметов, что проти­воречилобы условию (т > п). Теорема доказана.

Пример 1. В мешке лежат шарики двухразных цветов: черного и белого. Какое наименьшее число шариков нужно вынуть измешка вслепую так, чтобы среди них оказались два шари­ка одного цвета?

Решение. Достанем из мешка три ша­рика.Если бы среди этих шариков было не более одного шарика каждого из двух цветов,то всего было бы не более двух шаров — это очевидно и противоречит тому,  что мы  достали три шарика.

С другой стороны, ясно,что двух шариков может и не хватить.

В этой задаче «кроликами»являют­ся шарики, а «клетками» — цвета: белый и черный.

Ответ: 3 шарика.

Пример 2. Докажите, что в любойкомпании из 7 человек есть двое, име­ющих одинаковое число знакомых в этойкомпании.

Доказательство. Вариантов числа знакомыхвсего 7: от 0 до 6. При этом если у кого-то 6 знакомых, то ни у кого не можетбыть 0 знакомых. Так что есть двое, имеющие одинаковое число знакомых в этойкомпании.

Пример 3. Докажите, что равносто­роннийтреугольник нельзя накрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками.

Доказательство. Каждый из мень­шихтреугольников не может накры­вать более одной вершины большого треугольника,поэтому в силу принци­па Дирихле равносторонний треуголь­ник нельзя накрытьдвумя меньшими равносторонними треугольниками.

Теорема 2 (обобщенный принципДирихле). Еслив n классах находится не менее к * n + 1 предметов, то в ка­ком-то изданных классов есть по крайней мере к + 1 предмет.

Доказательство проведемметодом от противного. Если бы в каждом клас­се было не более к + 1предмета, то во всех классах было бы не более кп предметов, чтопротиворечило бы ус­ловию. Теорема доказана.

Пример 4. В магазин привезли 25ящиков с тремя разными сортами яб­лок (в каждом ящике яблоки только одногосорта). Докажите, что среди них есть по крайней мере 9 ящиков с ябло­камиодного и того же сорта.

Решение. 25 ящиков-«кроликов» рас­садимпо трем «клеткам»-сортам. Так как 25 = 3-8 + 1, то в силу теоремы 2 для п — 3,к = 8 и получим, что в какой-то «клетке»-сорте не менее 9 ящиков.

Пример 5. В квадрат со стороной 1метр бросили 51 точку. Докажите, что какие-то три из них можно на­крытьквадратом со стороной 20 см.

Доказательство. Разобьем данный квадратна 25 квадратов со стороной25 см. По обобщенному принципу Дирихле в какой-то изних попадет по крайней мере три точки из 51 бро­шенной.

Теорема 3.Если сумма n чисел равна S, то среди них есть как число, не боль­шее S/n, так и число, не меньшее S/n.

Доказательство следует из обоб­щенногопринципа Дирихле.

Пример 6.Пятеро друзей получили заработу 1 550 рублей. Каждый из них хочет купить себе фотоаппарат ценой 320рублей. Докажите, что кому-то из них не удастся это сделать.

Решение. Если бы каждый из друзеймог купить фотоаппарат, то у них в сумме было бы не менее 5320 = 1600 рублей.Друзья получили 1 550 рублей, следовательно, по крайней мере один из них несможет купить фотоаппарат.

ИНВАРИАНТ. Главная идея приме­нения инварианта заключается в сле­дующем.Берутся некие объекты, над которыми разрешено выполнять опре­деленные операции,и задается вопрос: «Можно ли из одного объекта получить другой при помощи этихопераций?». Чтобы ответить на него, строят некото­рую величину, которая неменяется при указанных операциях. Если значе­ния этой величины для двух указан­ныхобъектов не равны, то ответ на за­данный вопрос отрицателен.

Пример 7.На доске написано 11 чи­сел- 6 нулей и 5 единиц. Предлагает­ся 10 раз подряд выполнить такую операцию:зачеркнуть любые два чис­ла и, если они были одинаковы, допи­сать к оставшимсячислам один ноль, а если разные — единицу. Какое число останется на доске?

Решение. Нетрудно заметить, чтопосле каждой операции сумма всех чисел на доске остается не четной, ка­кой онаи была вначале. Действитель­но, сумма каждый раз меняется на 0 или 2. Значит, ипосле 10 операций ос­тавшееся число должно быть нечет­ным, т.е. равным 1.

Ответ: 1.

В этом примере инвариант— это четность суммы написанных чисел.

Главное в решении задачна инва­риант — придумать сам инвариант. Это настоящее искусство,которым можно овладеть лишь при наличии известного опыта в решении подоб­ныхзадач. Здесь важно не ограничи­вать фантазию. При этом следует помнить, что: а)придумываемые величины должны быть инвариантны; б) эти инварианты должны даватьразные значения для двух данных в условии задачи объектов; в) необхо­димо сразуопределить класс объек­тов, для которых будет определяться наша величина.

Пример 8. На плоскости располо­жено 11 шестеренок (рис. 1),соединен­ных по цепочке. Могут ли все шесте­ренки вращаться одновременно?

<img src="/cache/referats/23545/image004.jpg" v:shapes="_x0000_i1026">

Решение. Предположим, что перваяшестеренка вращается по часовой стрелке. Тогда вторая шестеренка должнавращаться против часовой стрелки. Третья — снова по часовой, четвертая — противи т.д. Ясно, что «нечетные» шестеренки должны вращаться по часовой стрелке, а«чет­ные» — против. Но тогда 1-я и 11-я шестеренки одновременно вращаются почасовой стрелке. Противоречие. Значит, шестеренки одновременно вращаться немогут. и др.

МАГИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ. Этот вид головоломок мы можем встретить настраницах многих учебников матема­тики для начальных классов.

Магические фигуры делятсяна пло­ские и пространственные, так как су­ществуют магические квадраты, тре­угольники,прямоугольники, много­угольники и круги, а также и магиче­ские кубы.

Магические(волшебные) квадраты -квадратные таблицы натуральных чи­сел (с одинаковымколичеством строк и столбцов), имеющие одну и ту же сум­му чисел по всемстрокам, столбцам и диагоналям. Существуют различные классификации магическихквадратов. Квадраты делятся — в зависимости от прогрессии, которую образуютчисла, -на арифметические и геометрические; в зависимости от числа клеток вдольпротивоположных его сторон — на не­четные (3, 5, 7, 9 и т.д.), нечетно-четные(6, 10, 14, 18 и т.д.) и четно-четные (4, 8, 12, 16 и т.д.); в зависимости отрасста­новки чисел в квадрате — на магические обычные, магические с особыми свойст­вами и сверхмагические(супермагиче­ские). Легко показать, что магических квадратов 2x2 нет.Существует только один магический квадрат 3x3 (осталь­ные такие квадратыполучаются из не­го поворотами и симметриями), магиче­ских квадратов 4x4- 800,5x5-почти 250 тысяч. Однако до сих пор не найдена формула, по которой можнобыло бы найти количество магических квадратов данного размера.

Отметим основные свойствамагиче­ских квадратов.

Свойство 1.Магический квадратостанется магическим, если все числа, входящие в его состав, увеличить илиуменьшить на одно и то же число.

Свойство 2. Магический квадратостанется магическим, если умножить или разделить все его числа на одно и то жечисло.

Пример 9. Вквадратена рис. 2, а магическая сумма равна 15; квадрат на рис. 2, б получается из негоприбавле­нием 17 к каждому числу, его волшеб­ная сумма равна 15 + 3*17 = 66;умно­жив все числа в новом квадрате на 2, получим еще один квадрат (рис.2, в), магическая сумма которого     равна2*66 = 132.

<img src="/cache/referats/23545/image006.jpg" v:shapes="_x0000_i1027">

рис.2

Свойство 3.Если квадрат являетсямагическим для какой-нибудь арифметической прогрес­сии, то он будет магическимдля так же расположенной арифметической прогрессии с другим первым членом и сдругой разностью.

Правило. Составляя какой-либомагический квадрат, достаточно сна­чала составить его из простейших чи­сел,т.е. из чисел натурального ряда: 1, 2, 3, 4, 5,..., а затем путем умножения,деления, увеличения или же умень­шения этих чисел можно получить бесконечноечисло магических квадра­тов с самыми разнообразными магиче­скими суммами.

Свойство 4. Из двух магическихквадратов можно получить третий, складывая числа, расположенные всоответствующих полях. Магическая сумма такого квадрата равна сумме магическихсумм обоих слагаемых: 81 = 15+66 (см. рис. 3).

<img src="/cache/referats/23545/image007.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1026">
рис.3

Свойство 5.Квадрат не утратит своихмагических свойств, если пере­ставить его столбцы и ряды, располо­женныесимметрично относительно центра квадрата.

Построениенечетных магических квадратов. Существует очень много различных методовпостроения маги­ческих квадратов:

индийский метод (рис.4),

<img src="/cache/referats/23545/image009.jpg" v:shapes="_x0000_i1028">

рис.4

сиамский метод,

метод Баше (рис.5)

<img src="/cache/referats/23545/image011.jpg" v:shapes="_x0000_i1029">

рис.5

Нужно также сказать о треугольниках с магическим периметром(рис.6).

<img src="/cache/referats/23545/image013.jpg" v:shapes="_x0000_i1030"><img src="/cache/referats/23545/image015.jpg" v:shapes="_x0000_i1031">

рис.6

и о магических кругах (рис.7). Но на них мы не будем подробноостанавливаться, т.к. суть решения этих задач однотипна.

<img src="/cache/referats/23545/image017.jpg" v:shapes="_x0000_i1032">

рис.7

Задачи в «математическуюкопил­ку учителя».

13. Постройте магическийквадрат 3 х 3, в котором расположите числа от3 до 11 так, чтобы по всемстрокам, столбцам и диагоналям была одна и та же сумма.

14.  В квадрате 4x4 расставьте четыре одинаковыхбуквы так, чтобы в каждом горизонтальном ряду, в каж­дом вертикальном ряду и вкаждой диагонали встречалась только одна буква.

15.  В квадрате 4x4 расставьте 16 букв (четыребуквы а, четыре Ь, четы­ре с, четыре d) так, чтобы в каждомгоризонтальном   ряду  и  в   каждом вертикальном ряду буквавстречалась только один раз, т.е. постройте так называемый латинский квадратраз­мером 4x4.

16. Переставьте числа втреугольни­ке, показанном на рис. 6, так, чтобы сумма чисел в каждомтреугольнике (по 4 ячейки) стала равна 23, а в каж­дой трапеции (по 5 ячеек) — 22.

17. Задача Эйнштейна.Девять кру­гов расположены так, как показано на рис. 8, а. Расположите в нихчисла от 1 до 9 так, чтобы сумма чисел, лежа­щих в вершинах каждого из семи изо­браженныхна рисунке треугольников, была одна и та же.

<img src="/cache/referats/23545/image019.jpg" v:shapes="_x0000_i1033">

рис.8

Ответ показан на рис. 8, б.

18. Заполните числамикружки так, чтобы сумма чисел в каждом ряду была равна 38 (рис.9, а).

Ответ показан на рис, 9,6.

<img src="/cache/referats/23545/image021.jpg" v:shapes="_x0000_i1034">

рис.9

3. Олимпиадные задачи.

Эффективной формойвнеклассной работы по математике являет­ся олимпиада. В нашем представлении этоне единовременное меро­приятие в отдельно взятой школе, а целая системасоревнований. Укажем ее важнейшие особенности.

1.  Олимпиада должна занимать значительныйпромежуток вре­мени, по возможности — целый учебный год.

2.   Олимпиада должна быть массовой, с тем, чтобыкаждый школь­ник мог принять в ней участие. Причем надо стремиться к обеспече­ниюравных возможностей для всех детей, независимо от того, где они учатся: вгороде, районном центре или в малой деревне.

3.  Олимпиада должна носить многоступенчатыйхарактер -  от масштаба отдельного классадо объединения нескольких территорий (в начальных классах таким объединениемможет быть несколько районов).

Такое построениеолимпиады позволяет участвовать в ней всем школьникам. При этом выигрывают нетолько победители, но и участники.

Необходимо провестиподготовительные мероприятия и всей олимпиады в целом, и отдельных ее этапов.

Важно условиеэффективности подготовки — это желание учите­лей работать совместно сорганизаторами олимпиады. Нужно ра­зумное сочетание соревнования и мерпоощрения как детей, так и учителей. Организационные мероприятия олимпиадыдолжны допол­няться инициативой учителя.

Олимпиада вначальный период обучения занимает важное место в развитии детей. Именно в этовремя происходят первые самостоя­тельные открытия ребенка. Пусть они даженебольшие и как будто незначительные, но в них — ростки будущего интереса кнауке. Реа­лизованные возможности действуют на ребенка развивающе, стиму­лируютинтерес не только к математике, но и к другим наукам.

Олимпиада, фактически,проходит в течении года. Она проходит в несколько этапов:

1)   заочный (подготовительный) тур;

2)   школьный тур;

3)   районный тур;

4)   межрайонный тур.

5)   краевой.

5)   меж краевой.

6)   федеральный.

7)   соревнования всероссийского уровня.

Основнымматериалом для олимпиад являются задачи.

— Разумеется, задачи недолжны дублироватьматериал учебника, а во многих случаях они носят нестандартныйхарактер и иногда могут соответствовать принципу опережающего обучения.Главное, чтобы ребенок смог проявить смекалку.

— Эффектны простыезадачи, требующие неожиданного поворота мысли.

— Нужны достаточно инте­ресныезадачи.

— Иногда можно предложитьпрактические задания или задачи отвлеченного характера, но очень важно, чтобыони увлекли детей, поставили перед ними вопросы, полезные для дальнейшегоумственного развития.

— Целесообразно в задачахприбегать к образам из окружающего мира, а иногда к сказочным сюжетам. Не надопре­небрегать и игровыми ситуациями.

Задачи, которыеиспользуются на олимпиадах являются, в большинстве своем, нестандартными, этосвязано именно с тем, чтобы увидеть, как ребенок мыслит, ход мысли, может лирешать логически, а не по заученной схеме. Приведенные выше примерынестандартных задач, также используются на олимпиадах и не только.

Ниже приведены примерыолимпиадных задач.

Задача 1: В некотором месяце вторников большечем понедельников и больше чем сред. Какой это мог быть месяц?

Задача 2: За успехи в математике быланаграждена группа ребят. При этом 14 школьников были отмечены за хорошеевыступление на Уральском турнире, 11 – за победу на областной олимпиаде и13 – за отличную учебу в ЛМШ. Известно, что всего награждено было меньше20 человек (причем могли награждать и за другие успехи). Оказалось, что тринаграды не получил никто. А сколько ребят получили по две награды?

Задача 3: В соревнованиях велогонщиков накруговом треке приняли участие Вася, Петя и Коля. Вася каждый круг проезжал на2 секунды быстрее Пети, а Петя – на три секунды быстрее Коли. Когда Васязакончил дистанцию, Пете осталось проехать один круг, а Коле – два круга.Сколько кругов составляла дистанция?

Задача 4: Число состоит из 36 цифр. Разрешаетсяразбить его на группы из шести цифр и переставить эти группы как-нибудь.Известно, что одна из перестановок в семь раз больше другой. Докажите, что этабольшая перестановка делится на 49. Задача 5: По кругу сидят2001 рыцарей и лжецов. Каждый заявил, что его соседи – лжец и рыцарь, нодва рыцаря при этом ошиблись. Сколько среди них лжецов?

Задача 6: Каждая сторона правильноготреугольника поделена на 15 равных частей и через точки деления проведеныпрямые, параллельные сторонам треугольника. В результате этого получилиразбиение треугольника на маленькие треугольнички. После этого в каждый измаленьких треугольничков записали  + 1 или  – 1. Известно,что число в каждом треугольничке равно произведению чисел в тех треугольничках,которые имеют с ним общую сторону. Докажите, что в каждом из маленькихтреугольничков, прилегающих к серединам сторон большого треугольника, стоитчисло  + 1.

Заключение

Данные, которые были обработаны входе поиска литературы, позволяют нам говорить о недостаточной освещенности влитературе проблемы обучения младших школьников нестандартным олимпиаднымзадачам. В работе были изложены только некоторые примеры задач, которые могутиспользоваться, и используются в ходе проведения олимпиад. Также были прописанынекоторые особенности проведения олимпиад и принципы, которых необходимопридерживаться для лучшего усвоения учениками материала. Исходя из описанныхпринципов, учитель сам строит методику обучения этим задачам. Олимпиадныезадачи с каждым годом меняются, усложняются. В этой связи необходимо с каждымгодом, если учитель решил обучать младших школьников олимпиадным нестандартнымзадачам, повышать свой уровень, умение решать эти самые задачи, находитьмножество способов решения этих задач. Исходя уже из своих знаний, умений,логики, он и строит обучение, подготавливает учеников к таким видам задач.

Литература

1.<span Times New Roman"">  

Моро, М.И. Методика обученияматематике в 1-3 классах. Пособие для учителя. Изд. 2-е, перераб. и доп. /М.И.Моро, А.М.Пышкало; — М.; «Просвещение», — 1978.- 336 с.

2.<span Times New Roman"">  

Столяр А.А. Педагогикаматематики. — Минск: Высшая школа, 1986.
Столяр А.А. Как математика ум в порядок приходит. — Минск: Высшая школа, 1991. ПойаД. Как решать задачу. — Львов, 1991.

3.<span Times New Roman"">  

Тонких А.П. Теоретические основырешения нестандартных и занимательных задач в курсе математики начальныхклассов./Александр Павлович Тонких // Начальная школа: плюс-минус. – 2002. — №5. – С.47-58.

4.<span Times New Roman"">  

Фридман Л.М.Психолого-педагогические основы обучения математике в школе: — М.: Просвещение,1983.
Фридман Л.М. Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: — М.: Просвещение,1989.