Реферат: Алгебра. Геометрия. Тригонометрия (шпаргалка)
Формулы сокращенного умножения(а ±в)2 = а2 ± 2ав + в2
(а ±в)3 = а3 ± 3а2в + 3ав2± в3
а2 — в2 = (а + в) (а — в)
а3 + в3= (а + в) (а2 — ав + в2)
а3 — в3 = (а — в) (а2 + ав + в2)
(а+ в + с)2 = а2 + в2 + с2 +2ав +2ас+2вс
Степени.
ам ан =ам + н
ам:ан = ам -н
(ав)м = амвм
(ам)н =амн
(а:в)м = ам: вм
а-м = 1:ам
ам: н = нÖ ам
Корни.
нÖав =нÖа нÖв
нÖа мÖв = н мÖам вн
нÖа: в = нÖа:нÖв
(нÖам)х = нÖам х
нÖам = ам/н
мÖнÖа = мнÖа
(нÖа)м = нÖам
Арифметическаяпрогрессия.
а1, а2,а3, …, а<sub/>n-1, аn
а<sub/>n-1 — аn<sub/>= d
d – разностьпрогрессии
а2 = а1+d
а3 = а2 +d = а1 + 2d
аn<sub/>= а1 + d(n-1)
Sn = (а1 + аn) n =(2а1 + ( n-1) d) n
2 2
Sn – сумма членоварифметической
прогрессии.
d – разностьпрогрессии.
d > 0 – прогрессиявозрастающая
d < 0 –прогрессия убывающая.
Геометрическая прогрессия.
а1, а2,а3, …, а<sub/>n-1, аn
а<sub/>n+1 / аn = q
а2 = а1 q
q — знаменатель прогрессии.
а3 = а2 q = а1q2
аn<sub/>= а1 q n-1
Сумма членов для возрастающей
прогрессии (q >1)
Sn = аn<sub/>q — а1 =а1 (qn<sub/> -1: q – 1)
q – 1<sub/>
Сумма членов для убывающейпрогрессии (q < 1)
Sn = а1 (1 — qn)
1 — q
Сумма членов бесконечноубывающей
Прогрессии
Sn = а1
1 — q
Вектора.
а = М1М2 ={х2– х1, у2 – у1, z2 –z1}
Длина вектораçа ç=Ö(х2 — х1)2 +(у2 — у1)2 + (z2 — z1)2
Умножение вектора на числоa а = d
Скалярное произведение векторова в = çа ççв çcos j
/>cos j= х1х2 + у1у2 + z1z2
Öх12 + у12 +z12 Öх22 +у22 + z22
а2 = çа ç2
а в = х1х2 +у1у2 + z1z2
Параллельность векторова ççв, то х1 = у1 = z1
х2 у2 z2
Перпендикулярность векторов
а^ в, то х1х2 + у1у2+ z1z2
Производная.
(c u)¢ = с u¢
u ¢ = u¢ v – u v¢
v v2
(c)¢ = 0
(xn )¢ = n xn-1
(ax)¢ =ax ln a
(ех<sup/>)¢ =<sup/> ех
(sin x)¢ = cos x
(cos x)¢ = — sin x
(tg x)¢ = 1
cos2x
(ctg x)¢ = - 1
sin2x
(ln x)¢ = 1
х
(1 / х)¢ = — 1
х2
(Öх)¢ = 1
2 Öх
(х)¢ = 1
Логарифмы.
logав = с
logа 1 = 0
logа а = 1
logа (m n) = logа m + logа n
logа m = logа m — logа n
n
logа m<sup/>n = n logа m
logа n<sup/>Öm<sup/> = 1 logаm
n
logав = logсв
logс а
Основные тригонометрические тождества
sin2x + cos2x = 1
tg x = sin x
cos x
ctg x = cos x
sin x
1 + ctg2x = 1
sin2 x
1 + tg2x = 1
cos2 x
tg x ctg x = 1
Формулы сложения и вычитанияsin (a ± b) = sina cosb ± cosa sinb
cos (a ± b) = cosa cosb ± sina sinb
tg (a ± b) = (tga ± tgb)
(1 + tga tgb)
ctg (a ± b) = ctga ctgb + 1
ctgb ± ctga
sina + sinb = 2 sin (a + b) cos (a — b)
2 2
sina — sinb = 2 cos (a + b) sin (a — b)
2 2
cosa + cosb = 2 cos (a + b) cos (a — b)
2 2
cosa — cosb = — 2 sin (a + b) sin (a — b)
2 2
tga ± tgb = sin (a ± b)
cosa cosb
ctga ± ctgb = sin (b ± a)
sina sinb
sin2a — sin2b = cos2b — cos2a =
sin (a + b) sin (a — b)
cos2a — sin2b = cos2b — sin2a =
cos (a + b) cos (a — b)
Связь между тригонометрическими функциями
sina = ± Ö1 — cos2a
sina = tga
± Ö1 +tg2a
sina = 1
± Ö1 +ctg2a
cosa = ± Ö1 — sin2a
cosa = 1
± Ö1 +tg2a
cosa = ctga
± Ö1 +ctg2a
tga = sina
± Ö1 — sin2a
tga = ± Ö1 — cos2a
cosa
tga = 1
ctga
ctga = ± Ö1 — sin2a
sina
ctga = cosa
± Ö1 — cos2a
ctga = 1
tga
Формулы преобразования произведения
sina sinb = cos (a — b) — cos (a + b)
2
cosa cosb = cos (a — b) + cos (a + b)
2
sina cosb = sin (a + b) + sin (a — b)
2
tga tgb = tga + tgb
ctga + ctgb
ctga tgb = ctga + tgb
tga + ctgb
ctga ctgb = ctga + ctgb
tga+ tgb
Формулы двойных угловsin2a = 2 sina cosa
sina = 2 sin (a)cos (a)
cos2a = cos2a — sin2a =
= 1 — 2sin2a =
=2cos2a — 1
tg2a = 2 tga
1 — tg2a
= 2
ctga — tga
tga = 2 tg (a/2)
1 — tg2 (a/2)
ctg2a = ctg2a — 1
2ctga
= ctga — tga
2
ctga = ctg2 (a/2) — 1
2 ctg (a/2)
sin x = a
x = (-1)narksin a + pn
cos x = a
x = ± arkcos a + 2pn
tg x = a
x = arktg a + pn
ctg x = a
x = arkctg a + pn
Формулы приведенияsin (p /2 — a) = + cosa
sin (p /2 + a) = + cosa
sin (p- a) = + sina
sin (p + a) = — sina
sin (3p/2 — a) = — cosa
sin (3p /2 + a) = — cosa
sin (2p- a) = — sina
sin (2p + a) = + sina
----------------
cos (p/2 — a) = + sina
cos (p/2 + a) = — sina
cos (p — a) = — cosa
cos (p + a) = — cosa
cos (3p/2 — a) = — sina
cos (3p/2 + a) = + sina
cos (2p — a) = + cosa
cos (2p + a) = + cosa
-----------------
tg (p/2 — a) = + ctga
tg (p/2 + a) = — ctga
tg (p — a) = — tga
tg (p + a) = + tga
tg (3p/2 — a) = + ctga
tg (3p/2 + a) = — ctga
tg (2p — a) = - tga
tg (2p + a) = + tga
-------------
ctg (p/2 — a) = + tga
ctg (p/2 + a) = — tga
ctg (p — a) = — ctga
ctg (p + a) = + ctga
ctg (3p/2 — a) = + tga
ctg (p/2 + a) = — tga
ctg (2p — a) = — ctga
ctg (2p + a) = + ctga
sin (- a) = — sina
cos (- a) = cosa
tg (- a) = — tga
В прямоугольном треугольникеa2 + b2= c2
a = c sina
a = b tga
b = c cosa
теорема синусов:
a = b = c
sina sinb sing
теорема косинусов:
a2 = b2+ c2 — 2 bc cosa
S = ½ ab
Площади фигурПрямоугольникS = a b = ½d1 d2 sina,
d1 и d2 — диагонали
a — угол пересечения диагоналей
ПараллелограммS = a h = a b sina
S = ½ d1d2 sina
ТрапецияS = a + b h =½ d1 d2 sina
2
Круг
S = l r = p r2
2
ТРЕУГОЛЬНИК
S = ½ ah =½ ab sina
Формула Герона:
S = Ö p (p — a) (p — b) (p — c)
p = a +b + c
2
Площадь треугольникаописанного окружностью:
S = a b c
4r
Площадь треугольника свписанной окружностью:
S = ½ r P
где Р – периметр
радиус описаннойокружности:
R = a b c
4S
радиус вписаннойокружности:
r = 2S
a + b + c
длина окружности:
l = 2pr
Квадрат
S = a2 =d2/2
Ромб
S = a2sina = ah = ½ dD
где d — малаядиагональ
D — большая диагональ
Объемы тел:
ПараллелепипедV = Sосн h
КубV = abc = a3
Призма
V = Sосн h = S^сеч l
l — грань призмы
ПирамидаV = 1/3 Sосн h
ЦилиндрV = Sосн h = p r2 h = 1/4p d2 h
r — радиус основания
d — диаметр основания
КонусV = 1/3 Sосн h = 1/3p r2 h
Шар
V = 4/3 p r3
Площади поверхностейПризма
Sп = Sбок + 2Sосн
Sбок = ph = S^сечl
p = a + b +c
Куб
Sп = 6a2
Пирамидачетырехугольная
Sп = Sбок + Sосн
Sбок = ½ Pосн h
h – высота боковой грани
Пирамидатреугольная
Sп = Sбок + Sосн
Sбок = Sосн cosj
j — угол наклона грани
ЦилиндрSп = Sбок + Sосн
Sбок = 2p rh
Sосн = 2pr (h + r)
Конус
Sп = Sбок + Sосн
Sбок = prl
Sосн = pr (l + r)
ПараллелепипедSп = Sбок + 2Sосн
Sбок = Pосн l
ШарS = 4 pr2
Значения угловa 0 p/6 p/4 p/3 p/2 p
sin 0 ½ Ö2/2 Ö3/2 1 0
cos 1 Ö3/2 Ö2/2 ½ 0 -1
tg 0 1/Ö3 1 Ö3 - 0
ctg - Ö3 1 1/Ö3 0 -
/>