Реферат: Интерполяция функций 2
Министерство образования Российской Федерации.
Хабаровский государственный Технический Университет.
Кафедра «Прикладная математика и информатика»
Лабораторная работа №4
по дисциплине «Вычислительные методы линейной алгебры».
Интерполяция функций.
Вариант 4
Выполнил: ст. гр. ПМ 11 Крамарев Д. В.
Проверил: д.ф.-м.н., проф. Чехонин К.А.
Хабаровск 2004
Задание.
1) Построить интерполяционный многочлен Ньютона. Начертить график и отметить на нем узлы интерполяции. Вычислить значения в точке х=1.25.
| xi | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | 3.5 |
| yi | 0.5 | 2.2 | 2 | 1.8 | 0.5 | 2.25 |
2) Построить интерполяционный многочлен Лагранжа. Начертить график и отметить на нем узлы интерполяции. Вычислить значение в точке х=1.2.
| xi | 0.25 | 1.25 | 2.125 | 3.25 | |
| yi | 5.0 | 4.6 | 5.7 | 5.017 | 4.333 |
3)Выполнить интерполяцию сплайнами третьей степени. Построить график и отметить на нем узлы интерполяции.
| xi | 7 | 9 | 13 |
| yi | 2 | -2 | 3 |
Постановка задачи интерполяция.
Пусть известные значения функции образуют следующую таблицу:
| x0 | x1 | x2 | ... | Xn-1 | xn |
| y0 | y1 | y2 | ... | yn-1 | yn |
При этом требуется получить значение функции f в точке x, принадлежащей
отрезку [x0..xn ] но не совпадающей ни с одним значением xi.Часто при этом не известно аналитическое выражение функции f(x), или оно не пригодно для вычислений.
В этих случаях используется прием построения приближающей функции F(x), которая очень близка к f(x) и совпадает с ней в точках x0, x1, x2 ,… xn. При этом нахождение приближенной функции называется интерполяцией, а точки x0,x1 ,x2 ,...xn — узлами интерполяции. Обычно интерполирующую ищут в виде полинома n степени:
Pn (x)=a0xn +a1 xn-1 +a2 xn-2 +...+an-1 x+an
Для каждого набора точек имеется только один интерполяционный многочлен, степени не больше n. Однозначно определенный многочлен может быть представлен в различных видах. Рассмотрим интерполяционный многочлен Ньютона и Лагранжа.
Интерполяционная формула Лагранжа.
Формула Лагранжа является наиболее общей, может применяться к таким узлам интерполяции, что расстояние между соседними узлами не постоянная величина.
Построим интерполяционный полином Ln (x) степени не больше n, и для которого выполняются условия Ln (xi )=yi. Запишем его в виде суммы:
Ln (x)=l0(x)+ l1 (x)+ l2 (x)+...+ ln (x),(1)
где lk ( xi )= yi, если i=k, и lk ( xi )= 0, если i≠k;
Тогда многочлен lk ( x) имеет следующий вид:
lk (x)= (2)
Подставим (2) в (1) и перепишем Ln ( x) в виде:
Если функция f(x), подлежащая интерполяции, дифференцируема больше чем n+1 раз, то погрешность интерполяции оценивается следующим образом:
где0<θ <1 (3)
Интерполяционная формула Ньютона.
Построение интерполяционного многочлена в форме Ньютона применяется главным образом когда разность xi+1 -xi =h постоянна для всех значений x=0..n-1.
Конечная разность k-го порядка:
Δyi =yi+1 -yi
Δ2 yi = Δyi+1 — Δyi =yi+2 -2yi+1 +yi
………………………………
Δk yi =yi+k -kyi+1-k +k(k-1)/2!*yi+k-2 +...+(-1)k yi
Будем искать интерполяционный многочлен в виде:
Pn(x)=a0+a1 (x-x0)+a2 (x-x0)(x-x1 )+...+an (x-x0)(x-x1 )...(x-xn-1 )
Найдем значения коэффициентов a0, a1, a2, ...,an :
Полагая x=x0, находим a0=P(x0)=y0;
Далее подставляя значения x1, x2, ...,xn получаем:
a1 =Δy0/h
a2 =Δ2 y0/2!h2
a3 =Δ3 y0/3!h3
....................
an =Δn y0/n!hn
Такимобразом:
Pn(x)=y0+ Δy0/h*(x-x0)+ Δ2 y0/2!h2 *(x-x0)(x-x1 )+...+ Δn y0/n!hn *(x-x0)(x-x1 )...(x-xn-1 ) (1)
Практически формула (1) применяется в несколько ином виде:
Возьмем: t=(x-x0)/h, тогда x=x0+th и формула (1) переписывается как:
Pn (x)=y0+t Δ y0+ t(t-1) / 2! Δ 2 y0+...+ t(t-1)...(t-n+1) / n! Δ n y0 (2)
Формула (2) называется интерполяционнойформулой Ньютона.
Погрешность метода Ньютона оценивается следующим образом:
(3)
Интерполяция сплайнами.
При большом количестве узлов интерполяции сильно возрастает степень интерполяционных многочленов, что делает их неудобными для проведения вычислений.
Высокой степени многочленов можно избежать, разбив отрезок интерполирования на несколько частей, с построением в каждой части своего интерполяционного полинома. Такой метод называется интерполяцией сплайнами. Наиболее распространенным является построение на каждом отрезке [xi, xi+1 ], i=0..n-1 кубической функции. При этом сплайн – кусочная функция, на каждом отрезке заданная кубической функцией, является кусочно-непрерывной, вместе со своими первой и второй производной.
Будем искать кубический сплайн на каждом из частичных отрезков [xi, xi+1 ] в виде:
, где ai ,bi ,ci ,di – неизвестные.
Из того что Si (xi )=yi получим:
В силу непрерывности потребуем совпадения значений в узлах, т.е.:
,i=0..n-1; (1)
Также потребуем совпадения значений первой и второй производной:
,i=0..n-2; (2)
,i=0..n-2; (3)
Из (1) получим n линейных уравнений с 3n неизвестными
,i=0..n-1; (1*)
Из (2) и (3) получим 2(n-1) линейных уравнений с теми же неизвестными:
,i=0..n-1; (2*)
,i=1..n-1; (3*)
Недостающие два уравнения определим следующим образом. Предположим, что в точках х0и хn производная равна нулю и получим еще два уравнения. Получим систему из 3*n линейных уравнений с 3*n неизвестными. Решим ее любым из методов и построим интерполяционную функцию, такую что на отрезке [xi, xi+1 ] она равна Si .
Метод Лагранжа
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
type tip=array of real;
var x,y:tip;
i,j,n:byte;
p,s,xx:real;
begin
n:=edt.Count;
setlength(x,n);
setlength(y,n);
for i:=0 to n-1 do x[i]:=edt.massiv[i];edt.Lines.Delete(0);
for i:=0 to n-1 do y[i]:=edt.massiv[i];edt.Lines.Delete(0);
xx:=strtofloat(edt.Text);
edt.Lines.Delete(0);
s:=0;
for i:=0 to n-1 do
begin
p:=1;
for j:=0 to n-1 do if i<>j then p:=p*(xx-x[j])/(x[i]-x[j]);
p:=p*y[i];
s:=s+p;
end;
edt.writer('',1);
edt.writer('',s,1);
end;
Сплайн – интерполяция ( программа составляет систему линейных уравнений, решая которую находим коэффициенты кубических сплайнов).
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var b,c,d,x,y:array of real;
urm:array of array of real;
i,j,k,n :byte;
begin
n:=edt.Count;
setlength(x,n);setlength(y,n);
for i:=0 to n-1 do x[i]:=edt.massiv[i];edt.Lines.Delete(0);
for i:=0 to n-1 do y[i]:=edt.massiv[i];edt.Lines.Delete(0);
setlength(b,n-1);setlength(c,n-1);setlength(d,n-1);
setlength(urm,3*(n-1),3*(n-1)+1);
for i:=0 to 3*(n-1)-1 do
for j:=0 to 3*(n-1) do urm[i,j]:=0;
for i:=0 to n-1 do edt.writer(' ',y[i],0);
for i:=0 to n-2 do
begin
urm[i,3*i+0]:=x[i+1]-x[i];
urm[i,3*i+1]:=(x[i+1]-x[i])*(x[i+1]-x[i]);
urm[i,3*i+2]:=(x[i+1]-x[i])*(x[i+1]-x[i])*(x[i+1]-x[i]);
urm[i,3*(n-1)]:=y[i+1]-y[i];
end;
for i:=0 to n-3 do
begin
urm[i+n-1,3*i+0]:=1;
urm[i+n-1,3*i+1]:=2*(x[i+1]-x[i]);
urm[i+n-1,3*i+2]:=3*(x[i+1]-x[i])*(x[i+1]-x[i]);
urm[i+n-1,3*i+3]:=-1;
end;
for i:=0 to n-3 do
begin
urm[i+2*n-3,3*i+1]:=1;
urm[i+2*n-3,3*i+2]:=3*(x[i+1]-x[i]);
urm[i+2*n-3,3*i+4]:=-1;
end;
urm[3*n-5,0]:=1; urm[3*n-5,3*(n-1)]:=0;
urm[3*n-4,3*(n-1)-3]:=1;urm[i+2*n-3,3*(n-1)-2]:=2*(y[n-1]-y[n-2])]
urm[3*n-4,3*(n-1)-1]:=3*(y[n-1]-y[n-2]) *(y[n-1]-y[n-2]);
urm[i+2*n-3,3*(n-1)]:=0
for i:=0 to 3*(n-1)-1 do
begin
edt.writer('',1);
for j:=0 to 3*(n-1) do edt.writer(' ',urm[i,j],0);
end;
end;
Выполнить интерполяцию сплайнами третьей степени. Построить график и отметить на нем узлы интерполяции.
| xi | 7 | 9 | 13 |
| yi | 2 | -2 | 3 |
Решение.
Будем искать кубический сплайн на каждом из частичных отрезков [xi, xi+1 ], i=0..2 в виде:
, где ai ,bi ,ci ,di – неизвестные.
Из того что Si (xi )=yi получим:
В соответствии с теоретическим положениями изложенными выше, составим систему линейных уравнений, матрица которой будет иметь вид:
При этом мы потребовали равенства производной нулю.
Решая систему уравнений получим вектор решений [b1 ,c1 ,d1 ,b2 ,c2 ,d2 ]:
Подставляя в уравнение значения b1 ,c1 ,d1, получим на отрезке [7..9]:
Если выражение упростить то:
Аналогично подставляя в уравнение значения b2 ,c2 ,d2, получим на отрезке [9..13]:
или
График имеет вид:
Метод Ньютона
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
type tip=array of real;
var x,y:tip;
i,j,n:byte;
p,s,xx,t,h:real;
kp:array of array of real;
begin
n:=edt.Count;
setlength(x,n);
setlength(y,n);
for i:=0 to n-1 do x[i]:=edt.massiv[i];edt.Lines.Delete(0);
for i:=0 to n-1 do y[i]:=edt.massiv[i];edt.Lines.Delete(0);
xx:=strtofloat(edt.Text);
edt.Lines.Delete(0);
setlength(kp,n,n);
for i:=0 to n-1 do for j:=0 to n-1 do kp[i,j]:=0;
for i:=0 to n-1 do kp[0,i]:=y[i];
for i:= 1 to n-1 do
for j:=0 to n-i-1 do
kp[i,j]:=kp[i-1,j+1]-kp[i-1,j];
for i:= 0 to n-1 do
begin
for j:=0 to n-1 do edt.writer(' ',kp[i,j],0);
edt.writer('',1);
end;
edt.writer('',1);
h:=0.5;
t:=(xx-x[0])/h;
s:=y[0];
for i:=1 to n-1 do
begin
p:=1;
for j:=0 to i-1 do p:=p*(t-j)/(j+1);
s:=s+p*kp[i,0];
end;
edt.writer('',s,1);;
end;
Построить интерполяционный многочлен Ньютона. Начертить график и отметить на нем узлы интерполяции. Вычислить значение функции в точке х=1.25.
| xi | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | 3.5 |
| yi | 0.5 | 2.2 | 2 | 1.8 | 0.5 | 2.25 |
Решение.
Построим таблицу конечных разностей в виде матрицы:
Воспользуемся интерполяционной формулой Ньютона:
Pn ( x )= y + t Δ y + t( t-1) /2! Δ 2 y0+...+ t(t-1)...(t-n+1) / n! Δ n y0
Подставив значения получим многочлен пятой степени, упростив который получим:
P5 (x)=2.2x5 -24x4 +101.783x3 -20.2x2 +211.417x-80.7
Вычислим значение функции в точке x=1.25; P(1.25)=2.0488;
График функции имеет вид:
Построить интерполяционный многочлен Лагранжа. Начертить график и отметить на нем узлы интерполяции. Вычислить значение в точке х=1.2.
| xi | 0.25 | 1.25 | 2.125 | 3.25 | |
| yi | 5.0 | 4.6 | 5.7 | 5.017 | 4.333 |
Решение.
Построим интерполяционный многочлен Лагранжа L4 ( x), подставив значения из таблицы в формулу:
Напишем программу и вычислим значение многочлена в точке х=1.2:
L4 (1.2)=5.657;
Полученный многочлен имеет четвертую степень. Упростим его и получим:
Построим график полученного полинома: