Реферат: Тригонометрические уравнения и неравенства

--PAGE_BREAK--Элементарные тригонометрические уравнения


Элементарные тригонометрические уравнения — это уравнения вида <img width=«89» height=«21» src=«ref-1_1287021985-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1025">, где <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1287022184-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1026">  — одна из тригонометрических функций: <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1287022310-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1027">, <img width=«36» height=«15» src=«ref-1_1287022425-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1028">, <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287022532-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1029">, <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287022532-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1030">.

Элементарные тригонометрические уравнения имеют бесконечно много корней. Например, уравнению <img width=«61» height=«41» src=«ref-1_1287022700-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1031"> удовлетворяют следующие значения: <img width=«47» height=«41» src=«ref-1_1287022889-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1032">, <img width=«56» height=«41» src=«ref-1_1287023052-184.coolpic» v:shapes="_x0000_i1033">, <img width=«81» height=«41» src=«ref-1_1287023236-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1034">, <img width=«81» height=«41» src=«ref-1_1287023458-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1035"> и т. д. Общая формула по которой находятся все корни уравнения <img width=«59» height=«19» src=«ref-1_1287023671-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1036">, где <img width=«41» height=«21» src=«ref-1_1287023811-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1037">, такова:
<img width=«148» height=«24» src=«ref-1_1287023953-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1038">
Здесь <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287024225-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1039"> может принимать любые целые значения, каждому из них соответствует определенный корень уравнения; в этой формуле (равно как и в других формулах, по которым решаются элементарные тригонометрические уравнения) <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287024225-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1040"> называют параметром. Записывают обычно <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_1287024393-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041">, подчеркивая тем самым, что параметр <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287024225-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1042"> принимать любые целые значения.

Решения уравнения <img width=«61» height=«15» src=«ref-1_1287024596-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1043">, где <img width=«41» height=«21» src=«ref-1_1287023811-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1044">, находятся по формуле
<img width=«185» height=«21» src=«ref-1_1287024870-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1045">
Уравнение <img width=«39» height=«15» src=«ref-1_1287025161-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046"> решается применяя формулу
<img width=«124» height=«21» src=«ref-1_1287025267-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047">

а уравнение <img width=«39» height=«15» src=«ref-1_1287025161-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048">  — по формуле
<img width=«123» height=«21» src=«ref-1_1287025586-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049">
Особо отметим некоторые частные случаи элементраных тригонометрических уравнений, когда решение может быть записано без применения общих формул:
<img width=«175» height=«21» src=«ref-1_1287025799-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050">

<img width=«208» height=«41» src=«ref-1_1287026060-371.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051">

<img width=«229» height=«41» src=«ref-1_1287026431-390.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052">

<img width=«204» height=«41» src=«ref-1_1287026821-370.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053">

<img width=«184» height=«21» src=«ref-1_1287027191-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054">

<img width=«219» height=«21» src=«ref-1_1287027463-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055">

<img width=«153» height=«21» src=«ref-1_1287027766-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056">

<img width=«179» height=«41» src=«ref-1_1287028002-325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057">

<img width=«200» height=«41» src=«ref-1_1287028327-332.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058">

<img width=«180» height=«41» src=«ref-1_1287028659-335.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059">

<img width=«179» height=«41» src=«ref-1_1287028002-325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060">

<img width=«200» height=«41» src=«ref-1_1287029319-335.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061">
При решении тригонометрических уравнений важную роль играет период тригонометрических функций. Поэтому приведем две полезные теоремы:

Теорема  Если <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1287029654-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062">  — основной период функции <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1287022184-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063">, то число <img width=«17» height=«41» src=«ref-1_1287029871-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064"> является основным периодом функции <img width=«64» height=«21» src=«ref-1_1287029990-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065">.

Периоды функций <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1287030158-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066"> и <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_1287030257-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067"> называются соизмеримыми, если существуют натуральные числа <img width=«17» height=«15» src=«ref-1_1287030357-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068"> и <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287024225-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069">, что <img width=«95» height=«23» src=«ref-1_1287030529-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">.

Теорема  Если периодические функции <img width=«37» height=«23» src=«ref-1_1287030732-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071"> и <img width=«40» height=«23» src=«ref-1_1287030864-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072">, имеют соизмеримые <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1287030158-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073"> и <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_1287030257-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074">, то они имеют общий период <img width=«95» height=«23» src=«ref-1_1287030529-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">, который является периодом функций <img width=«87» height=«23» src=«ref-1_1287031401-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076">, <img width=«87» height=«23» src=«ref-1_1287031606-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">, <img width=«72» height=«23» src=«ref-1_1287031807-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">.

В теореме говорится о том, что <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1287029654-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079"> является периодом функции <img width=«87» height=«23» src=«ref-1_1287031401-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080">, <img width=«87» height=«23» src=«ref-1_1287031606-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081">, <img width=«72» height=«23» src=«ref-1_1287031807-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082">, и не обязательно является основным периодом. Например, основной период функций <img width=«36» height=«15» src=«ref-1_1287022425-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083"> и <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1287022310-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084">  — <img width=«24» height=«19» src=«ref-1_1287032904-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085">, а основной период их произведения — <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1287033010-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">.


    продолжение
--PAGE_BREAK--Введение вспомогательного аргумента


Стандартным путем преобразования выражений вида <img width=«100» height=«19» src=«ref-1_1287033099-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087"> является следующий прием: пусть <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1287033294-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088">  — угол, задаваемый равенствами <img width=«113» height=«45» src=«ref-1_1287033388-295.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">, <img width=«112» height=«45» src=«ref-1_1287033683-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">. Для любых <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287033985-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091"> и <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1287034069-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092"> такой угол существует. Таким образом <img width=«240» height=«28» src=«ref-1_1287034157-421.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093">. Если <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1287034578-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094">, <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1287034695-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095"> или <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1287034578-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096">, <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1287034929-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097">, <img width=«43» height=«41» src=«ref-1_1287035049-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">, в других случаях <img width=«67» height=«41» src=«ref-1_1287035213-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">.


Схема решения тригонометрических уравнений


Основная схема, которой мы будем руководствоваться при решении тригонометрических уравнений следующая:

решение заданного уравнения сводится к решению элементарных уравнений. Средства решения — преобразования, разложения на множители, замена неизвестных. Ведущий принцип — не терять корней. Это означает, что при переходе к следующему уравнению (уравнениям) мы не опасаемся появления лишних (посторонних) корней, а заботимся лишь о том, чтобы каждое последующее уравнение нашей «цепочки» (или совокупность уравнений в случае ветвления) являлось следствием предыдущего. Одним из возможных методов отбора корней является проверка. Сразу заметим, что в случае тригонометрических уравнений трудности, связанные с отбором корней, с проверкой, как правило, резко возрастают по сравнению с алгебраическими уравнениями. Ведь проверять приходится серии, состоящие из бесконечного числа членов.

Особо следует сказать о замене неизвестных при решении тригонометрических уравнений. В большинстве случаев после нужной замены получается алгебраическое уравнение. Более того, не так уж и редки уравнения, которые, хотя и являются тригонометрическими по внешнему виду, по существу таковыми не являются, поскольку уже после первого шага — замены переменных — превращаются в алгебраические, а возращение к тригонометрии происходит лишь на этапе решения элементарных тригонометрических уравнений.

Еще раз напомним: замену неизвестного следует делать при первой возможности, получившееся после замены уравнение необходимо решить до конца, включая этап отбора корней, а уж затем возвратится к первоначальному неизвестному.

Одна из особенностей тригонометрических уравнений заключается в том, что ответ во многих случаях может быть записан различными способами. Даже для решения уравнения <img width=«112» height=«21» src=«ref-1_1287035419-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100"> ответ может быть записан следующим образом:

1) в виде двух серий: <img width=«121» height=«23» src=«ref-1_1287035652-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">, <img width=«148» height=«23» src=«ref-1_1287035892-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">, <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_1287036156-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103">;

2) в стандартной форме представляющей собой объединение указанных выше серий: <img width=«147» height=«24» src=«ref-1_1287036277-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">, <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_1287036156-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">;

3) поскольку <img width=«123» height=«45» src=«ref-1_1287036675-336.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">, то ответ можно записать в виде <img width=«147» height=«41» src=«ref-1_1287037011-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">, <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_1287036156-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">. (В дальнейшем наличие параметра <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1287037453-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">, <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287024225-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">, <img width=«17» height=«15» src=«ref-1_1287030357-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111"> или <img width=«9» height=«19» src=«ref-1_1287037714-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112"> в записи ответа автоматически означает, что этот параметр принимает всевозможные целочисленные значения. Исключения будут оговариваться.)

Очевидно, что тремя перечисленными случаями не исчерпываются все возможности для записи ответа рассматриваемого уравнения (их бесконечно много).

Например, при <img width=«41» height=«21» src=«ref-1_1287037796-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113"> справедливо равенство <img width=«120» height=«45» src=«ref-1_1287037936-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114">. Следовательно, в двух первых случаях, если <img width=«43» height=«21» src=«ref-1_1287038230-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">, мы можем заменить <img width=«53» height=«19» src=«ref-1_1287038370-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116"> на <img width=«120» height=«45» src=«ref-1_1287037936-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">.

Обычно ответ записывается на основании пункта 2. Полезно запомнить следующую рекомендацию: если на решении уравнения <img width=«59» height=«19» src=«ref-1_1287023671-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118"> работа не заканчивается, необходимо еще провести исследование, отбор корней, то наиболее удобна форма записи, указанная в пункте 1. (Аналогичную рекомендацию следует дать и для уравнения <img width=«61» height=«15» src=«ref-1_1287024596-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119">.)

Рассмотрим пример иллюстрирующий сказанное.
Пример  Решить уравнение <img width=«92» height=«24» src=«ref-1_1287039080-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">.
Решение. Наиболее очевидным является следующий путь. Данное уравнение распадается на два: <img width=«51» height=«24» src=«ref-1_1287039282-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121"> и <img width=«60» height=«24» src=«ref-1_1287039425-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122">. Решая каждое из них и объединяя полученные ответы, найдем <img width=«91» height=«24» src=«ref-1_1287039579-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">.

Другой путь. Поскольку <img width=«76» height=«45» src=«ref-1_1287039785-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">, то, заменяя <img width=«39» height=«23» src=«ref-1_1287040034-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125"> и <img width=«41» height=«23» src=«ref-1_1287040167-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126"> по формулам понижения степени. После небольших преобразований получим <img width=«92» height=«41» src=«ref-1_1287040302-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">, откуда <img width=«157» height=«41» src=«ref-1_1287040556-365.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128">.

На первый взгляд никаких особых преимуществ у второй формулы по сравнению с первой нет. Однако, если возьмем, например, <img width=«80» height=«24» src=«ref-1_1287040921-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">, то окажется, что <img width=«73» height=«45» src=«ref-1_1287041107-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">, т.е. уравнение <img width=«85» height=«24» src=«ref-1_1287041352-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131"> имеет решение <img width=«88» height=«41» src=«ref-1_1287041540-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">, в то время как первый способ нас приводит к ответу <img width=«131» height=«29» src=«ref-1_1287041770-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">. «Увидеть» и доказать равенство <img width=«100» height=«41» src=«ref-1_1287042046-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134"> не так просто.

Ответ. <img width=«91» height=«24» src=«ref-1_1287039579-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135">.


    продолжение
--PAGE_BREAK--Преобразование и объединение групп общих решений тригонометрических уравнений


Будем рассматривать арифметическую прогрессию, бесконечно простирающуюся в обе стороны. Члены этой прогресссии можно разбить на две группы членов, располагающиеся вправо и влево от некоторого члена, называемого центральным или нулевым членом прогрессии.

Фиксируя один из членов бесконечной прогрессиии нулевым номером, мы должны будем вести двойную нумерацию для всех оставшихся членов: положительную для членов, расположенных вправо, и отрицательную для членов, расположенных влево от нулевого.

В общем случае, если разность прогрессии <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1287042515-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136">, нулевой член <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1287042606-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137">, формула для любого (<img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287024225-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138">-го) члена бесконечной арифметической прогрессии представляет вид:
<img width=«84» height=«24» src=«ref-1_1287042787-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">
Преобразования формулы для любого члена бесконечной арифметической прогрессии
1. Если к нулевому члену <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1287042606-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140"> прибавить или отнять разность прогрессии <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1287042515-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141">, то от этого прогрессия не изменится, а только переместится нулевой член, т.е. изменится нумерация членов.

2. Если коэффициент при переменной величине <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287024225-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142"> умножить на <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_1287043245-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143">, то от этого произойдет лишь перестановка правой и левой групп членов.

3. Если <img width=«17» height=«15» src=«ref-1_1287030357-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144"> последовательных членов бесконечной прогрессии
<img width=«85» height=«24» src=«ref-1_1287043426-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145">
например <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1287042606-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146">, <img width=«43» height=«19» src=«ref-1_1287043712-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147">, <img width=«52» height=«19» src=«ref-1_1287043841-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148">, ..., <img width=«87» height=«21» src=«ref-1_1287043983-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">, сделать центральными членами <img width=«17» height=«15» src=«ref-1_1287030357-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150"> прогрессий с одинаковой разностью, равной <img width=«27» height=«19» src=«ref-1_1287044269-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151">:
<img width=«187» height=«120» src=«ref-1_1287044379-1000.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">
то прогрессия и ряд прогрессий выражают собой одни и те же числа.
Пример  Ряд <img width=«75» height=«24» src=«ref-1_1287045379-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153"> может быть заменен следующими тремя рядами: <img width=«88» height=«25» src=«ref-1_1287045548-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">, <img width=«87» height=«25» src=«ref-1_1287045755-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">, <img width=«93» height=«25» src=«ref-1_1287045961-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">.

4. Если <img width=«17» height=«15» src=«ref-1_1287030357-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157"> бесконечных прогрессий с одинаковой разностью <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_1287046265-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158"> имеют центральными членами числа, образующие арифметическую прогрессию с разностью <img width=«24» height=«41» src=«ref-1_1287046366-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">, то эти <img width=«17» height=«15» src=«ref-1_1287030357-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160"> рядов могут быть заменены одной прогрессией с разностью <img width=«24» height=«41» src=«ref-1_1287046366-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">, и с центральным членом, равным любому из центральных членов данных прогрессий, т.е. если

<img width=«188» height=«152» src=«ref-1_1287046740-1151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">
то эти <img width=«17» height=«15» src=«ref-1_1287030357-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163"> прогрессий объединяются в одну: <img width=«95» height=«41» src=«ref-1_1287047979-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">
Пример  <img width=«77» height=«25» src=«ref-1_1287048234-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">, <img width=«80» height=«25» src=«ref-1_1287048427-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">, <img width=«80» height=«25» src=«ref-1_1287048624-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">, <img width=«80» height=«25» src=«ref-1_1287048821-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168"> обе объединяются в одну группу <img width=«72» height=«24» src=«ref-1_1287049019-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">, так как <img width=«208» height=«41» src=«ref-1_1287049185-387.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">.

Для преобразования групп, имеющих общие решения, в группы, общих решений не имеющие данные группы разлагают на группы с общим периодом, а затем стремяться объединить получившиеся группы, исключив повторяющиеся.


Разложение на множители


Метод разложения на множетели заключается в следующем: если
<img width=«176» height=«24» src=«ref-1_1287049572-325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">
то всякое решение уравнения
<img width=«60» height=«21» src=«ref-1_1287049897-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">
является решение совокупности уравнений
<img width=«233» height=«24» src=«ref-1_1287050055-370.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">    

Обратное утверждение, вообще говоря неверно: не всякое решение совокупности является решением уравнения. Это объясняется тем, что решения отдельных уравнений могут не входить в область определения функции <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1287022184-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">.
Пример  Решить уравнение <img width=«215» height=«24» src=«ref-1_1287050551-357.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">.

Решение. Используя основное тригонометрическое тождество, уравнение представим в виде <img width=«598» height=«31» src=«ref-1_1287050908-2422.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">

Ответ. <img width=«79» height=«19» src=«ref-1_1287053330-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">; <img width=«111» height=«41» src=«ref-1_1287053497-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">.
Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
Пример  Решить уравнение <img width=«139» height=«41» src=«ref-1_1287053763-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">.

Решение. Применим формулу , получим равносильное уравнение

<img width=«151» height=«45» src=«ref-1_1287054078-413.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">

Ответ. <img width=«84» height=«41» src=«ref-1_1287054491-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">.
Пример  Решить уравнение <img width=«151» height=«21» src=«ref-1_1287054706-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">.

Решение. В данном случае, прежде чем применять формулы суммы тригонометрических функций, следует использовать формулу приведения <img width=«133» height=«41» src=«ref-1_1287054979-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">. В итоге получим равносильное уравнение
<img width=«239» height=«45» src=«ref-1_1287055278-570.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">

Ответ. <img width=«119» height=«41» src=«ref-1_1287055848-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">, <img width=«121» height=«41» src=«ref-1_1287056133-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">.


    продолжение
--PAGE_BREAK--Решение уравнений приобразованием произведения тригонометрических функций в сумму


При решении ряда уравнений применяются формулы.

Пример  Решить уравнение <img width=«155» height=«19» src=«ref-1_1287056420-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187"> 

Решение. Применив формулу , получим равносильное уравнение:
<img width=«461» height=«41» src=«ref-1_1287056674-751.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">
Ответ. <img width=«76» height=«41» src=«ref-1_1287057425-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189">, <img width=«48» height=«41» src=«ref-1_1287057648-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">.

Пример  Решить уравнение <img width=«183» height=«19» src=«ref-1_1287057818-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">.
Решение. Применив формулу , получим равносильное уравнение:

<img width=«535» height=«41» src=«ref-1_1287058102-868.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">.

Ответ. <img width=«48» height=«41» src=«ref-1_1287058970-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">.


Решение уравнений с применением формул понижения степени


При решении широкого круга тригонометрических уравнений ключевую роль играют формулы.
Пример  Решить уравнение <img width=«232» height=«23» src=«ref-1_1287059142-377.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">.

Решение. Применяя формулу, получим равносильное уравнение.


<img width=«335» height=«41» src=«ref-1_1287059519-597.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">

<img width=«265» height=«21» src=«ref-1_1287060116-396.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">

<img width=«253» height=«19» src=«ref-1_1287060512-351.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">

<img width=«371» height=«21» src=«ref-1_1287060863-507.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">.

Ответ. <img width=«48» height=«41» src=«ref-1_1287061370-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199">; <img width=«52» height=«41» src=«ref-1_1287061533-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">.


Решение уравнений с примененнием формул тройного аргумента


Пример  Решить уравнение <img width=«124» height=«19» src=«ref-1_1287061714-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">.

Решение. Применим формулу , получим уравнение
<img width=«300» height=«45» src=«ref-1_1287061925-592.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">

Ответ. <img width=«77» height=«41» src=«ref-1_1287062517-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203">; <img width=«93» height=«41» src=«ref-1_1287062729-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">.
Пример  Решить уравнение <img width=«105» height=«23» src=«ref-1_1287062965-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205">.

Решение. Применим формулы понижения степени получим: <img width=«157» height=«41» src=«ref-1_1287063182-345.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206">. Применяя получаем:

<img width=«555» height=«18» src=«ref-1_1287063527-788.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207">.

Ответ. <img width=«49» height=«23» src=«ref-1_1287064315-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">; <img width=«97» height=«41» src=«ref-1_1287064450-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">.


Равенство одноименных тригонометрических функций


<img width=«219» height=«48» src=«ref-1_1287064712-556.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">

<img width=«192» height=«21» src=«ref-1_1287065268-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">

<img width=«151» height=«117» src=«ref-1_1287065578-711.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">
Пример  Решить уравнение <img width=«95» height=«19» src=«ref-1_1287066289-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213">.

Решение. <img width=«341» height=«61» src=«ref-1_1287066474-876.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">

Ответ. <img width=«49» height=«23» src=«ref-1_1287064315-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">, <img width=«81» height=«41» src=«ref-1_1287067485-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">.
Пример  Решить уравнение <img width=«124» height=«23» src=«ref-1_1287067715-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">.

Решение. Преобразуем уравнение. <img width=«608» height=«42» src=«ref-1_1287067955-1165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218">

Ответ. <img width=«209» height=«25» src=«ref-1_1287069120-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">.
Пример  Известно, что <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287022532-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220"> и <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1287069544-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221"> удовлетворяют уравнению

<img width=«113» height=«21» src=«ref-1_1287069633-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222">

Найти сумму <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1287069856-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223">.

Решение. Из уравнения следует, что

<img width=«177» height=«41» src=«ref-1_1287069973-359.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224">

<img width=«305» height=«80» src=«ref-1_1287070332-662.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">

Ответ. <img width=«96» height=«41» src=«ref-1_1287070994-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">.


Домножение на некоторую тригонометрическую функцию

Рассмотрим суммы вида

<img width=«261» height=«23» src=«ref-1_1287071233-401.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227">

<img width=«271» height=«23» src=«ref-1_1287071634-399.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228">
Данные суммы можно преобразовать в произведение, домножив и разделив их на <img width=«40» height=«41» src=«ref-1_1287072033-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">, тогда получим
<img width=«340» height=«80» src=«ref-1_1287072194-922.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230">
Указанный прием может быть использован при решении некоторых тригонометрических уравнений, однако следует иметь в виду, что в результате возможно появление посторонних корней. Приведем обобщение данных формул:
<img width=«389» height=«84» src=«ref-1_1287073116-973.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231">

<img width=«399» height=«84» src=«ref-1_1287074089-981.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232">

<img width=«325» height=«80» src=«ref-1_1287075070-746.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233">
Пример  Решить уравнение <img width=«213» height=«19» src=«ref-1_1287075816-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">.

Решение. Видно, что множество <img width=«53» height=«19» src=«ref-1_1287076136-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235"> является решением исходного уравнения. Поэтому умножение левой и правой части уравнения на <img width=«37» height=«41» src=«ref-1_1287076274-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236"> не приведет к появлению лишних корней.

Имеем <img width=«108» height=«41» src=«ref-1_1287076423-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237">.

Ответ. <img width=«53» height=«41» src=«ref-1_1287076690-173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238">; <img width=«61» height=«41» src=«ref-1_1287076863-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239">.
Пример  Решить уравнение <img width=«292» height=«19» src=«ref-1_1287077053-398.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240">.

Решение. Домножим левую и правую части уравнения на <img width=«37» height=«41» src=«ref-1_1287076274-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241"> и применив формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму, пролучим
<img width=«185» height=«41» src=«ref-1_1287077600-398.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242">
Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений <img width=«68» height=«41» src=«ref-1_1287077998-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243"> и <img width=«43» height=«19» src=«ref-1_1287078201-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244">, откуда <img width=«61» height=«41» src=«ref-1_1287078323-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245"> и <img width=«80» height=«41» src=«ref-1_1287078520-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246">.

Так как корни уравнения <img width=«61» height=«41» src=«ref-1_1287078744-184.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247"> не являются корнями уравнения, то из полученных множеств решений следует исключить <img width=«51» height=«19» src=«ref-1_1287078928-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248">. Значит во множестве <img width=«61» height=«41» src=«ref-1_1287078323-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249"> нужно исключить <img width=«43» height=«19» src=«ref-1_1287079260-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250">.

Ответ. <img width=«61» height=«41» src=«ref-1_1287078323-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251"> и <img width=«80» height=«41» src=«ref-1_1287078520-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252">, <img width=«51» height=«19» src=«ref-1_1287079805-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253">.
Пример  Решить уравнение <img width=«151» height=«41» src=«ref-1_1287079943-349.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254">.

Решение. Преобразуем выражение <img width=«89» height=«23» src=«ref-1_1287080292-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255">:
<img width=«574» height=«41» src=«ref-1_1287080496-1023.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256">

Уравнение запишется в виде:
<img width=«248» height=«41» src=«ref-1_1287081519-515.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257">
Принимая <img width=«69» height=«23» src=«ref-1_1287082034-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258">, получаем <img width=«88» height=«21» src=«ref-1_1287082201-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259">. <img width=«47» height=«23» src=«ref-1_1287082379-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260">, <img width=«43» height=«41» src=«ref-1_1287082507-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261">. Следовательно

Ответ. <img width=«75» height=«41» src=«ref-1_1287082667-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262">.


    продолжение
--PAGE_BREAK--Сведение тригонометрических уравнений к алгебраическим


Сводящиеся к квадратным

Если уравнение имеет вид

<img width=«279» height=«24» src=«ref-1_1287082886-424.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263">

то замена <img width=«60» height=«21» src=«ref-1_1287083310-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264"> приводит его к квадратному, поскольку <img width=«124» height=«23» src=«ref-1_1287083460-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265"> () и .

Если вместо слагаемого <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1287083695-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266"> будет <img width=«48» height=«19» src=«ref-1_1287083829-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267">, то нужная замена будет <img width=«63» height=«17» src=«ref-1_1287083964-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268">.

Уравнение

<img width=«227» height=«24» src=«ref-1_1287084107-359.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269">

сводится к квадратному уравнению
<img width=«295» height=«24» src=«ref-1_1287084466-451.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270">
представлением <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_1287084917-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271"> как <img width=«111» height=«24» src=«ref-1_1287085007-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272">. Легко проверить, что <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287022532-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273"> при которых <img width=«61» height=«19» src=«ref-1_1287085329-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274">, не являются корнями уравнения, и, сделав замену <img width=«39» height=«17» src=«ref-1_1287085471-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275">, уравнение сводится к квадратному.

Пример  Решить уравнение <img width=«176» height=«23» src=«ref-1_1287085584-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276">.

Решение. Перенесем <img width=«9» height=«17» src=«ref-1_1287085886-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277"> в левую часть, заменим ее на <img width=«91» height=«23» src=«ref-1_1287085968-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278">, <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1287086168-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279"> и <img width=«43» height=«19» src=«ref-1_1287086297-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280"> выразим через <img width=«36» height=«15» src=«ref-1_1287022425-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281"> и <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1287022310-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282">.

После упрощений получим: <img width=«220» height=«23» src=«ref-1_1287086647-348.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283">. Разделим почленно на <img width=«41» height=«23» src=«ref-1_1287040167-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284">, сделаем замену <img width=«39» height=«17» src=«ref-1_1287085471-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285">:

<img width=«197» height=«45» src=«ref-1_1287087243-388.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286">

Возвращаясь к <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287022532-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287">, найдем <img width=«103» height=«45» src=«ref-1_1287087715-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288">.

Уравнения, однородные относительно <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1287087979-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289">, <img width=«36» height=«15» src=«ref-1_1287088161-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290">

Рассмотрим уравнение вида
<img width=«316» height=«72» src=«ref-1_1287088337-785.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291">                                                 
где <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1287089122-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292">, <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1287089219-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293">, <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_1287089315-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294">, ..., <img width=«27» height=«24» src=«ref-1_1287089412-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295">, <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_1287089522-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296">  — действительные числа. В каждом слагаемом левой части уравнения степени одночленов равны <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287024225-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297">, т. е. сумма степеней синуса и косинуса одна и та же и равна <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287024225-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298">. Такое уравнение называется однородным относительно <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1287022310-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299"> и <img width=«36» height=«15» src=«ref-1_1287022425-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300">, а число <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287024225-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301"> называется показателем однородности.

Ясно, что если <img width=«44» height=«24» src=«ref-1_1287090093-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302">, то уравнение примет вид:
<img width=«245» height=«48» src=«ref-1_1287090227-841.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303">
решениями которого являются значения <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287022532-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304">, при которых <img width=«61» height=«19» src=«ref-1_1287085329-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305">, т. е. числа <img width=«72» height=«41» src=«ref-1_1287091294-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306">, <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_1287024393-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307">. Второе уравнение, записанное в скобках также является однородным, но степени на 1 ниже.

Если же <img width=«44» height=«24» src=«ref-1_1287091615-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308">, то эти числа не являются корнями уравнения .

При <img width=«72» height=«41» src=«ref-1_1287091294-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309"> получим: <img width=«61» height=«19» src=«ref-1_1287085329-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310">, <img width=«67» height=«19» src=«ref-1_1287092097-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311"> и левая часть уравнения (1) принимает значение <img width=«55» height=«24» src=«ref-1_1287092245-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312">.

Итак, при <img width=«44» height=«24» src=«ref-1_1287091615-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1313">, <img width=«72» height=«41» src=«ref-1_1287092535-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1314"> и <img width=«60» height=«19» src=«ref-1_1287092744-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1315">, поэтому можно разделить обе части уравнения на <img width=«41» height=«23» src=«ref-1_1287092891-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1316">. В результате получаем уравнение:
<img width=«285» height=«27» src=«ref-1_1287093022-461.coolpic» v:shapes="_x0000_i1317">
которое, подстановкой <img width=«39» height=«17» src=«ref-1_1287093483-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1318"> легко сводится к алгебраическому:
<img width=«272» height=«25» src=«ref-1_1287093597-432.coolpic» v:shapes="_x0000_i1319">
Однородные уравнения с показателем однородности 1. При <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1287094029-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1320"> имеем уравнение <img width=«124» height=«19» src=«ref-1_1287094142-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1321">.

Если <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1287094363-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1322">, то это уравнение равносильно уравнению <img width=«67» height=«19» src=«ref-1_1287094484-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1323">, <img width=«52» height=«41» src=«ref-1_1287094638-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1324">, откуда <img width=«81» height=«41» src=«ref-1_1287094799-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1325">, <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_1287024393-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1326">.
Пример  Решите уравнение <img width=«123» height=«19» src=«ref-1_1287095132-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1327">.

Решение. Это уравнение однородное первой степени <img width=«60» height=«19» src=«ref-1_1287092744-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1328">. Разделим обе его части на <img width=«36» height=«15» src=«ref-1_1287022425-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1329"> получим: <img width=«67» height=«19» src=«ref-1_1287095603-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1330">, <img width=«52» height=«41» src=«ref-1_1287095753-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1331">, <img width=«81» height=«41» src=«ref-1_1287095912-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1332">, <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_1287024393-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1333">.

Ответ. <img width=«97» height=«41» src=«ref-1_1287096240-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1334">.
Пример  При <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1287096484-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1335"> получим однородное уравнение вида

<img width=«224» height=«23» src=«ref-1_1287096599-361.coolpic» v:shapes="_x0000_i1336">

Решение.

Если <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1287094363-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1337">, тогда разделим обе части уравнения на <img width=«41» height=«23» src=«ref-1_1287040167-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1338">, получим уравнение <img width=«103» height=«21» src=«ref-1_1287097216-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1339">, которое подстановкой <img width=«39» height=«17» src=«ref-1_1287093483-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1340"> легко приводится к квадратному: <img width=«103» height=«24» src=«ref-1_1287097537-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1341">. Если <img width=«111» height=«21» src=«ref-1_1287097755-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1342">, то уравнение имеет действительные корни <img width=«96» height=«45» src=«ref-1_1287097965-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1343">, <img width=«97» height=«45» src=«ref-1_1287098224-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1344">. Исходное уравнение будет иметь две группы решений: <img width=«73» height=«23» src=«ref-1_1287098492-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1345">, <img width=«43» height=«21» src=«ref-1_1287098657-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1346"> <img width=«76» height=«23» src=«ref-1_1287098785-173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1347">, <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_1287036156-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1348">.

Если <img width=«111» height=«21» src=«ref-1_1287099079-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1349">, то уравнение не имеет решений.
Пример  Решите уравнение <img width=«211» height=«23» src=«ref-1_1287099288-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1350">.

Решение. Это уравнение однородное второй степени. Разделим обе чести уравнения на <img width=«41» height=«23» src=«ref-1_1287040167-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1351">, получим: <img width=«96» height=«21» src=«ref-1_1287099763-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1352">. Пусть <img width=«39» height=«17» src=«ref-1_1287093483-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1353">, тогда <img width=«99» height=«24» src=«ref-1_1287100067-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1354">, <img width=«51» height=«23» src=«ref-1_1287100278-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1355">, <img width=«53» height=«23» src=«ref-1_1287100410-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1356">. <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1287100548-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1357">, <img width=«95» height=«41» src=«ref-1_1287100662-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1358">, <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_1287024393-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1359">; <img width=«47» height=«19» src=«ref-1_1287101003-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1360">, <img width=«77» height=«19» src=«ref-1_1287101121-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1361">, <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_1287036156-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1362">.

Ответ. <img width=«195» height=«41» src=«ref-1_1287101398-380.coolpic» v:shapes="_x0000_i1363">.

К уравнению вида сводится уравнение

<img width=«332» height=«72» src=«ref-1_1287101778-834.coolpic» v:shapes="_x0000_i1364">

Для этого достаточно воспользоваться тождеством <img width=«143» height=«27» src=«ref-1_1287102612-403.coolpic» v:shapes="_x0000_i1365">

В частности, уравнение <img width=«223» height=«23» src=«ref-1_1287103015-359.coolpic» v:shapes="_x0000_i1366"> сводится к однородному, если заменить <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_1287084917-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1367"> на <img width=«135» height=«24» src=«ref-1_1287103464-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1368">, тогда получим равносильное уравнение: <img width=«320» height=«24» src=«ref-1_1287103857-634.coolpic» v:shapes="_x0000_i1369"> 

<img width=«293» height=«24» src=«ref-1_1287104491-452.coolpic» v:shapes="_x0000_i1370">
Пример  Решите уравнение <img width=«228» height=«23» src=«ref-1_1287104943-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1371">.

Решение. Преобразуем уравнение к однородному:

<img width=«328» height=«24» src=«ref-1_1287105297-484.coolpic» v:shapes="_x0000_i1372">
<img width=«223» height=«23» src=«ref-1_1287105781-353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1373">

Разделим обе части уравнения на <img width=«103» height=«24» src=«ref-1_1287106134-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1374">, получим уравнение:

<img width=«108» height=«21» src=«ref-1_1287106346-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1375"> Пусть <img width=«39» height=«17» src=«ref-1_1287093483-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1376">, тогда приходим к квадратному уравнению: <img width=«107» height=«24» src=«ref-1_1287106661-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1377">, <img width=«117» height=«19» src=«ref-1_1287106876-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1378">, <img width=«109» height=«23» src=«ref-1_1287107087-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1379">, <img width=«111» height=«41» src=«ref-1_1287107318-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1380">, <img width=«45» height=«23» src=«ref-1_1287107571-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1381">.
<img width=«179» height=«41» src=«ref-1_1287107702-338.coolpic» v:shapes="_x0000_i1382">

<img width=«149» height=«21» src=«ref-1_1287108040-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1383">

Ответ. <img width=«184» height=«41» src=«ref-1_1287108287-384.coolpic» v:shapes="_x0000_i1384">.
Пример  Решите уравнение <img width=«123» height=«19» src=«ref-1_1287108671-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1385">.
Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что они имеют положительные значения: <img width=«147» height=«24» src=«ref-1_1287108878-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1386">, <img width=«243» height=«23» src=«ref-1_1287109147-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1387">,
<img width=«373» height=«24» src=«ref-1_1287109540-533.coolpic» v:shapes="_x0000_i1388">
<img width=«359» height=«24» src=«ref-1_1287110073-532.coolpic» v:shapes="_x0000_i1389">

Пусть <img width=«39» height=«17» src=«ref-1_1287093483-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1390">, тогда получим <img width=«121» height=«24» src=«ref-1_1287110719-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1391">, <img width=«87» height=«24» src=«ref-1_1287110969-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1392">, <img width=«52» height=«41» src=«ref-1_1287111171-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1393">.

<img width=«177» height=«41» src=«ref-1_1287111335-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1394">

Ответ. <img width=«97» height=«41» src=«ref-1_1287111682-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1395">.
Уравнения, решаемые с помощью тождеств <img width=«101» height=«23» src=«ref-1_1287111927-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1396">
Полезно знать следующие формулы:

<img width=«377» height=«41» src=«ref-1_1287112143-654.coolpic» v:shapes="_x0000_i1397">
Пример  Решить уравнение <img width=«144» height=«23» src=«ref-1_1287112797-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1398">.

Решение. Используя , получаем

<img width=«211» height=«41» src=«ref-1_1287113059-397.coolpic» v:shapes="_x0000_i1399">

<img width=«553» height=«80» src=«ref-1_1287113456-1370.coolpic» v:shapes="_x0000_i1400">

Ответ. <img width=«191» height=«44» src=«ref-1_1287114826-432.coolpic» v:shapes="_x0000_i1401">

Предлагаем не сами формулы, а способ их вывода:

<img width=«157» height=«24» src=«ref-1_1287115258-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1402">

следовательно,

<img width=«536» height=«41» src=«ref-1_1287115549-880.coolpic» v:shapes="_x0000_i1403">.

Аналогично, <img width=«192» height=«24» src=«ref-1_1287116429-342.coolpic» v:shapes="_x0000_i1404">.
Пример  Решить уравнение <img width=«151» height=«41» src=«ref-1_1287079943-349.coolpic» v:shapes="_x0000_i1405">.
Решение. Преобразуем выражение <img width=«89» height=«23» src=«ref-1_1287080292-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1406">:

<img width=«549» height=«41» src=«ref-1_1287117324-1006.coolpic» v:shapes="_x0000_i1407">.

Уравнение запишется в виде:

<img width=«248» height=«41» src=«ref-1_1287081519-515.coolpic» v:shapes="_x0000_i1408">

Принимая <img width=«69» height=«23» src=«ref-1_1287082034-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1409">, получаем <img width=«88» height=«21» src=«ref-1_1287082201-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1410">. <img width=«47» height=«23» src=«ref-1_1287082379-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1411">, <img width=«43» height=«41» src=«ref-1_1287082507-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1412">. Следовательно

Ответ. <img width=«75» height=«41» src=«ref-1_1287082667-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1413">.
Универсальная тригонометрическая подстановка
Тригонометрическое уравнение вида

<img width=«177» height=«21» src=«ref-1_1287119697-316.coolpic» v:shapes="_x0000_i1414">

где <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1287120013-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1415">  — рациональная функция с помощью фомул — , а так же с помощью формул — можно свести к рациональному уравнению относительно аргументов <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1287022310-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1416">, <img width=«36» height=«15» src=«ref-1_1287022425-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1417">, <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287022532-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1418">, <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287022532-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1419">, после чего уравнение может быть сведено к алгебраическому рациональному уравнению относительно <img width=«37» height=«41» src=«ref-1_1287120494-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1420"> с помощью формул универсальной тригонометрической подстановки

<img width=«204» height=«80» src=«ref-1_1287120638-545.coolpic» v:shapes="_x0000_i1421">          

<img width=«159» height=«80» src=«ref-1_1287121183-430.coolpic» v:shapes="_x0000_i1422">                   
Следует отметить, что применение формул может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку <img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1287121613-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1423"> не определен в точках <img width=«79» height=«19» src=«ref-1_1287053330-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1424">, поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы <img width=«79» height=«19» src=«ref-1_1287053330-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1425">, корнями исходного уравнения.
Пример  Решить уравнение <img width=«84» height=«41» src=«ref-1_1287122056-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1426">.
Решение. По условию задачи <img width=«79» height=«19» src=«ref-1_1287122269-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1427">. Применив формулы и сделав замену <img width=«37» height=«41» src=«ref-1_1287120494-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1428">, получим

<img width=«87» height=«41» src=«ref-1_1287122581-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1429">

откуда <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1287122821-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1430"> и, следовательно, <img width=«53» height=«19» src=«ref-1_1287122932-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1431">.
Уравнения вида <img width=«195» height=«21» src=«ref-1_1287123073-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1432">
Уравнения вида <img width=«195» height=«21» src=«ref-1_1287123073-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1433">, где <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_1287123719-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1434">  — многочлен, решаются с помощью замен неизвестных

<img width=«244» height=«83» src=«ref-1_1287123863-739.coolpic» v:shapes="_x0000_i1435">  
Пример  Решить уравнение <img width=«209» height=«21» src=«ref-1_1287124602-334.coolpic» v:shapes="_x0000_i1436">.
Решение. Сделав замену и учитывая, что <img width=«132» height=«19» src=«ref-1_1287124936-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1437">, получим

<img width=«131» height=«24» src=«ref-1_1287125168-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1438">

откуда <img width=«39» height=«23» src=«ref-1_1287125403-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1439">, <img width=«59» height=«23» src=«ref-1_1287125525-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1440">. <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_1287125671-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1441">  — посторонний корень, т.к. <img width=«151» height=«25» src=«ref-1_1287125765-304.coolpic» v:shapes="_x0000_i1442">. Корнями уравнения <img width=«101» height=«19» src=«ref-1_1287126069-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1443"> являются <img width=«81» height=«41» src=«ref-1_1287126252-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1444">.




 НЕСТАНДАРТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ


    продолжение
--PAGE_BREAK--Использование ограниченности функций


В практике централизованного тестирования не так уж редко встречаются уравнения, решение которых основывается на ограниченности функций <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1287022310-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1445"> и <img width=«36» height=«15» src=«ref-1_1287022425-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1446">. Например:
Пример  Решить уравнение <img width=«129» height=«19» src=«ref-1_1287126696-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1447">.
Решение. Поскольку <img width=«63» height=«19» src=«ref-1_1287126917-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1448">, <img width=«77» height=«19» src=«ref-1_1287127067-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1449">, то левая часть не превосходит <img width=«12» height=«19» src=«ref-1_1287127228-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1450"> и равна <img width=«12» height=«19» src=«ref-1_1287127228-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1451">, если <img width=«89» height=«48» src=«ref-1_1287127400-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1452">

Для нахождения значений <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287022532-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1453">, удовлетворяющих обоим уравнениям, поступим следующим образом. Решим одно из них, затем среди найденных значений отберем те, которые удовлетворяют и другому.

Начнем со второго: <img width=«77» height=«19» src=«ref-1_1287127798-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1454">, <img width=«73» height=«41» src=«ref-1_1287127956-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1455">. Тогда <img width=«96» height=«41» src=«ref-1_1287128162-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1456">, <img width=«239» height=«41» src=«ref-1_1287128411-503.coolpic» v:shapes="_x0000_i1457">.

Понятно, что лишь для четных <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1287037453-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1458"> будет <img width=«63» height=«19» src=«ref-1_1287129003-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1459">.

Ответ. <img width=«81» height=«41» src=«ref-1_1287129152-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1460">.

Другая идея реализуется при решении следующего уравнения:
Пример  Решить уравнение <img width=«111» height=«23» src=«ref-1_1287129370-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1461">.
Решение. Воспользуемся свойством показательной функции: <img width=«89» height=«23» src=«ref-1_1287129583-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1462">, <img width=«105» height=«23» src=«ref-1_1287129782-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1463">.

Сложив почленно эти неравенства будем иметь:

                                 <img width=«216» height=«23» src=«ref-1_1287129995-336.coolpic» v:shapes="_x0000_i1464">

Следовательно левая часть данного уравнения равна <img width=«9» height=«17» src=«ref-1_1287085886-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1465"> тогда и только тогда, когда выполняются два равенства:

<img width=«213» height=«24» src=«ref-1_1287130413-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1466">

т. е. <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1287022310-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1467"> может принимать значения <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_1287043245-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1468">, <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1287130935-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1469">, <img width=«9» height=«17» src=«ref-1_1287085886-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1470">, а <img width=«36» height=«15» src=«ref-1_1287022425-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1471"> может принимать значения <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_1287043245-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1472">, <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1287130935-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1473">.

Ответ. <img width=«73» height=«41» src=«ref-1_1287127956-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1474">, <img width=«53» height=«19» src=«ref-1_1287131595-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1475">.
Пример  Решить уравнение <img width=«113» height=«41» src=«ref-1_1287131742-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1476">.
Решение. <img width=«73» height=«41» src=«ref-1_1287132000-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1477">, <img width=«91» height=«21» src=«ref-1_1287132208-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1478">. Следовательно, <img width=«141» height=«64» src=«ref-1_1287132378-438.coolpic» v:shapes="_x0000_i1479">.

Ответ. <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1287132816-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1480">.
Пример  Решить уравнение

<img width=«212» height=«41» src=«ref-1_1287132930-448.coolpic» v:shapes="_x0000_i1481">        
Решение. Обозначим <img width=«159» height=«24» src=«ref-1_1287133378-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1482">, тогда из определения обратной тригонометрической функции <img width=«51» height=«21» src=«ref-1_1287133680-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1483"> имеем <img width=«120» height=«41» src=«ref-1_1287133826-298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1484"> и <img width=«100» height=«24» src=«ref-1_1287134124-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1485">.

Так как <img width=«80» height=«41» src=«ref-1_1287134332-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1486">, то из уравнения следует неравенство <img width=«97» height=«23» src=«ref-1_1287134565-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1487">, т.е. <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_1287134788-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1488">. Поскольку <img width=«68» height=«24» src=«ref-1_1287134915-173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1489"> и <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_1287134788-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1490">, то <img width=«44» height=«20» src=«ref-1_1287135215-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1491"> и <img width=«44» height=«21» src=«ref-1_1287135353-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1492">. Однако <img width=«44» height=«21» src=«ref-1_1287135496-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1493"> и поэтому <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1287132816-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1494">.

Если <img width=«68» height=«24» src=«ref-1_1287134915-173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1495"> и <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1287132816-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1496">, то <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_1287136040-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1497">. Так как ранее было установлено, что <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_1287134788-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1498">, то <img width=«39» height=«21» src=«ref-1_1287136295-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1499">.

Ответ. <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1287132816-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1500">, <img width=«39» height=«21» src=«ref-1_1287136295-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1501">.

Пример  Решить уравнение

<img width=«312» height=«64» src=«ref-1_1287136659-851.coolpic» v:shapes="_x0000_i1502">
Решение. Областью допустимых значений уравнения являются <img width=«67» height=«19» src=«ref-1_1287137510-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1503">.

Первоначально покажем, что функция

<img width=«296» height=«25» src=«ref-1_1287137654-485.coolpic» v:shapes="_x0000_i1504"> при любых <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287022532-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1505"> может принимать только положительные значения.

Представим функцию <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1287138223-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1506"> следующим образом: <img width=«732» height=«25» src=«ref-1_1287138379-997.coolpic» v:shapes="_x0000_i1507">.

Поскольку <img width=«257» height=«27» src=«ref-1_1287139376-461.coolpic» v:shapes="_x0000_i1508">, то имеет место <img width=«213» height=«24» src=«ref-1_1287139837-380.coolpic» v:shapes="_x0000_i1509">, т.е. <img width=«149» height=«25» src=«ref-1_1287140217-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1510">.

Следовательно, для доказательства неравенства <img width=«60» height=«21» src=«ref-1_1287140516-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1511">, необходимо показать, что <img width=«105» height=«24» src=«ref-1_1287140672-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1512">. С этой целью возведем в куб обе части данного неравенства, тогда

<img width=«239» height=«25» src=«ref-1_1287140918-423.coolpic» v:shapes="_x0000_i1513">
<img width=«303» height=«25» src=«ref-1_1287141341-520.coolpic» v:shapes="_x0000_i1514">
<img width=«215» height=«25» src=«ref-1_1287141861-404.coolpic» v:shapes="_x0000_i1515">

Полученное численное неравенство свидетельствует о том, что <img width=«60» height=«21» src=«ref-1_1287140516-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1516">. Если при этом еще учесть, что <img width=«75» height=«27» src=«ref-1_1287142421-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1517">, то левая часть уравнения неотрицательна.

Рассмотрим теперь правую часть уравнения .

Так как <img width=«148» height=«41» src=«ref-1_1287142613-316.coolpic» v:shapes="_x0000_i1518">, то

<img width=«549» height=«34» src=«ref-1_1287142929-871.coolpic» v:shapes="_x0000_i1519">.

Однако известно, что <img width=«105» height=«19» src=«ref-1_1287143800-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1520">. Отсюда следует, что <img width=«211» height=«21» src=«ref-1_1287144005-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1521">, т.е. правая часть уравнения не превосходит <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1287130935-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1522">. Ранее было доказано, что левая часть уравнения неотрицательна, поэтому равенство в может быть только в том случае, когда обе его части равны <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1287130935-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1523">, а это возможно лишь при <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1287100548-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1524">.

Ответ. <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1287100548-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1525">.
Пример  Решить уравнение

<img width=«264» height=«23» src=«ref-1_1287144752-412.coolpic» v:shapes="_x0000_i1526">
Решение. Обозначим <img width=«233» height=«21» src=«ref-1_1287145164-376.coolpic» v:shapes="_x0000_i1527"> и <img width=«109» height=«24» src=«ref-1_1287145540-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1528">. Применяя неравенство Коши-Буняковского, получаем <img width=«321» height=«24» src=«ref-1_1287145767-536.coolpic» v:shapes="_x0000_i1529">. Отсюда следует, что <img width=«131» height=«25» src=«ref-1_1287146303-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1530">. C другой стороны имеет место <img width=«100» height=«25» src=«ref-1_1287146576-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1531">. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ. <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1287146807-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1532">.
Пример  Решить уравнение:

<img width=«97» height=«44» src=«ref-1_1287146904-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1533">
Решение. Перепишем уравнение в виде:

<img width=«389» height=«64» src=«ref-1_1287147146-990.coolpic» v:shapes="_x0000_i1534">

Ответ. <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1287132816-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1535">.


    продолжение
--PAGE_BREAK--Функциональные методы решения тригонометрических и комбинированных уравнений


Не всякое уравнение <img width=«81» height=«21» src=«ref-1_1287148250-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1536"> в результате преобразований может быть сведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого существует определенный метод решения. В таких случаях оказывается полезным использовать такие свойства функций <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1287022184-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1537"> и <img width=«35» height=«21» src=«ref-1_1287148564-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1538">, как монотонность, ограниченность, четность, периодичность и др. Так, если одна из функций убывает, а вторая возрастает на промежутке <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1287148691-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1539">, то при наличии у уравнения <img width=«81» height=«21» src=«ref-1_1287148250-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1540"> корня на этом промежутке, этот корень единственный, и тогда его, например, можно найти подбором. Если же функция <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1287022184-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1541"> ограничена сверху, причем <img width=«93» height=«29» src=«ref-1_1287149090-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1542">, а функция <img width=«35» height=«21» src=«ref-1_1287148564-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1543"> ограничена снизу, причем <img width=«89» height=«29» src=«ref-1_1287149457-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1544">, то уравнение <img width=«81» height=«21» src=«ref-1_1287148250-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1545"> равносильно системе уравнений <img width=«75» height=«48» src=«ref-1_1287149881-305.coolpic» v:shapes="_x0000_i1546">
Пример  Решить уравнение

<img width=«168» height=«41» src=«ref-1_1287150186-379.coolpic» v:shapes="_x0000_i1547">
Решение. Преобразуем исходное уравнение к виду

<img width=«243» height=«45» src=«ref-1_1287150565-546.coolpic» v:shapes="_x0000_i1548">

и решим его как квадратное относительно <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287022532-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1549">. Тогда получим,

<img width=«112» height=«64» src=«ref-1_1287151195-372.coolpic» v:shapes="_x0000_i1550">

Решим первое уравнение совокупности. Учтя ограниченность функции <img width=«44» height=«41» src=«ref-1_1287151567-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1551">, приходим к выводу, что уравнение может иметь корень только на отрезке <img width=«43» height=«41» src=«ref-1_1287151736-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1552">. На этом промежутке функция <img width=«39» height=«17» src=«ref-1_1287085471-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1553"> возрастает, а функция <img width=«100» height=«41» src=«ref-1_1287152025-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1554"> убывает. Следовательно, если это уравнение имеет корень, то он единственный. Подбором находим <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1287152279-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1555">.

Ответ. <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1287152388-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1556">.

 Пример  Решить уравнение

<img width=«189» height=«41» src=«ref-1_1287152510-392.coolpic» v:shapes="_x0000_i1557">
Решение. Пусть <img width=«81» height=«21» src=«ref-1_1287152902-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1558">, <img width=«88» height=«41» src=«ref-1_1287153087-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1559"> и <img width=«112» height=«41» src=«ref-1_1287153322-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1560">, тогда исходное уравнение можно записать в виде функционального уравнения <img width=«145» height=«21» src=«ref-1_1287153602-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1561">. Поскольку <img width=«81» height=«21» src=«ref-1_1287152902-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1562"> функция нечетная, то <img width=«143» height=«21» src=«ref-1_1287154072-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1563">. В таком случае получаем уравнение <img width=«132» height=«21» src=«ref-1_1287154344-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1564">.

Так как <img width=«68» height=«41» src=«ref-1_1287154605-229.coolpic» v:shapes="_x0000_i1565">, <img width=«84» height=«41» src=«ref-1_1287154834-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1566"> и <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1287022184-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1567"> монотонна на <img width=«60» height=«41» src=«ref-1_1287155202-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1568">, то уравнение <img width=«132» height=«21» src=«ref-1_1287154344-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1569"> равносильно уравнению <img width=«88» height=«21» src=«ref-1_1287155664-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1570">, т.е. <img width=«132» height=«41» src=«ref-1_1287155862-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1571">, которое имеет единственный корень <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1287100548-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1572">.

Ответ. <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1287100548-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1573">.
Пример  Решить уравнение <img width=«201» height=«44» src=«ref-1_1287156378-414.coolpic» v:shapes="_x0000_i1574">.
Решение. На основании теоремы о производной сложной функции ясно, что функция <img width=«125» height=«25» src=«ref-1_1287156792-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1575"> убывающая (функция <img width=«57» height=«21» src=«ref-1_1287157040-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1576"> убывающая, <img width=«51» height=«25» src=«ref-1_1287157178-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1577"> возрастающая, <img width=«63» height=«17» src=«ref-1_1287083964-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1578"> убывающая). Отсюда понятно, что функция <img width=«185» height=«44» src=«ref-1_1287157467-412.coolpic» v:shapes="_x0000_i1579"> определенная на <img width=«35» height=«21» src=«ref-1_1287157879-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1580">, убывающая. Поэтому данное уравнение имеет не более одного корня. Так как <img width=«100» height=«21» src=«ref-1_1287158005-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1581">, то

Ответ. <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1287152279-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1582">.
Пример  Решить уравнение <img width=«208» height=«25» src=«ref-1_1287158318-372.coolpic» v:shapes="_x0000_i1583">.
Решение. Рассмотрим уравнение на трех промежутках.

а) Пусть <img width=«49» height=«16» src=«ref-1_1287158690-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1584">. Тогда на этом множестве исходное уравнение равносильно уравнению <img width=«151» height=«24» src=«ref-1_1287158810-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1585">. Которое на промежутке <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1287159085-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1586"> решений не имеет, т. к. <img width=«137» height=«24» src=«ref-1_1287159252-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1587">, <img width=«91» height=«19» src=«ref-1_1287159533-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1588">, а <img width=«76» height=«24» src=«ref-1_1287159711-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1589">. На промежутке <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1287159909-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1590"> исходное уравнение так же не имеет корней, т. к. <img width=«108» height=«24» src=«ref-1_1287160072-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1591">, а <img width=«92» height=«19» src=«ref-1_1287160306-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1592">.

б) Пусть <img width=«85» height=«19» src=«ref-1_1287160482-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1593">. Тогда на этом множестве исходное уравнение равносильно уравнению

<img width=«208» height=«45» src=«ref-1_1287160652-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1594">

корнями которого на промежутке <img width=«56» height=«21» src=«ref-1_1287161058-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1595"> являются числа <img width=«37» height=«41» src=«ref-1_1287161213-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1596">, <img width=«29» height=«41» src=«ref-1_1287161362-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1597">, <img width=«27» height=«41» src=«ref-1_1287161494-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1598">, <img width=«25» height=«41» src=«ref-1_1287161633-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1599">.

в) Пусть <img width=«48» height=«19» src=«ref-1_1287161768-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1600">. Тогда на этом множестве исходное уравнение равносильно уравнению

                                        <img width=«144» height=«24» src=«ref-1_1287161898-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1601">

Которое на промежутке <img width=«55» height=«21» src=«ref-1_1287162164-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1602"> решений не имеет, т. к. <img width=«99» height=«24» src=«ref-1_1287162326-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1603">, а <img width=«80» height=«19» src=«ref-1_1287162546-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1604">. На промежутке <img width=«57» height=«21» src=«ref-1_1287162712-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1605"> уравнение так же решений не имеет, т. к. <img width=«137» height=«24» src=«ref-1_1287159252-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1606">, <img width=«80» height=«19» src=«ref-1_1287163156-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1607">, а <img width=«76» height=«24» src=«ref-1_1287159711-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1608">.

Ответ. <img width=«61» height=«41» src=«ref-1_1287163518-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1609">, <img width=«29» height=«41» src=«ref-1_1287161362-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1610">, <img width=«27» height=«41» src=«ref-1_1287161494-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1611">, <img width=«25» height=«41» src=«ref-1_1287161633-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1612">.


    продолжение
--PAGE_BREAK--Метод симметрии


Метод симметрии удобно применять, когда в формулировке задания присуствует требование единственности решения уравнения, неравенства, системы и т.п. или точное указание числа решений. При этом следует обнаружить какую-либо симметрию заданных выражений.

Нужно также учитывать многообразие различных возможных видов симметрии.

Не менее важным является четкое соблюдение логических этапов в рассуждениях с симметрией.

Обычно симметрия позволяет установить лишь необходимые условия, а затем требуется проверка их достаточности.
Пример  Найти все значения параметра <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287033985-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1613">, при которых уравнение <img width=«157» height=«21» src=«ref-1_1287164190-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1614"> имеет единственное решение.
Решение. Заметим, что <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_1287164459-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1615"> и <img width=«55» height=«19» src=«ref-1_1287164558-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1616">  — четные функции, поэтому левая часть уравнения есть четная функция.

Значит если <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1287164702-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1617">  — решение уравнения, то <img width=«40» height=«24» src=«ref-1_1287164795-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1618"> есть также решение уравнения. Если <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1287164702-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1619">  — единственное решение уравнения, то, необходимо, <img width=«44» height=«24» src=«ref-1_1287165016-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1620">.

Отберем возможные значения <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287033985-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1621">, потребовав, чтобы <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1287132816-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1622"> было корнем уравнения.

<img width=«296» height=«24» src=«ref-1_1287165345-429.coolpic» v:shapes="_x0000_i1623">

Сразу же отметим, что другие значения <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287033985-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1624"> не могут удовлетворять условию задачи.

Но пока не известно, все ли отобранные <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287033985-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1625"> в действительности удовлетворяют условию задачи.

Достаточность.

1) <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1287165942-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1626">, уравнение примет вид <img width=«100» height=«21» src=«ref-1_1287166060-184.coolpic» v:shapes="_x0000_i1627"> .

2) <img width=«65» height=«19» src=«ref-1_1287166244-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1628">, уравнение примет вид:

<img width=«403» height=«23» src=«ref-1_1287166398-577.coolpic» v:shapes="_x0000_i1629">

Очевидно, что <img width=«149» height=«23» src=«ref-1_1287166975-286.coolpic» v:shapes="_x0000_i1630">, для всех <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287022532-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1631"> и <img width=«132» height=«23» src=«ref-1_1287167345-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1632">. Следовательно, последнее уравнение равносильно системе:

<img width=«340» height=«51» src=«ref-1_1287167611-843.coolpic» v:shapes="_x0000_i1633">

Тем самым, мы доказали, что при <img width=«65» height=«19» src=«ref-1_1287166244-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1634">, уравнение имеет единственное решение.

Ответ. <img width=«79» height=«21» src=«ref-1_1287168608-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1635">.
Решение с исследованием функции

Пример  Докажите, что все решения уравнения

                            <img width=«265» height=«25» src=«ref-1_1287168786-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1636">

— целые числа.
Решение. Основной период исходного уравнения равен <img width=«32» height=«21» src=«ref-1_1287169236-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1637">. Поэтому сначала исследуем это уравнение на отрезке <img width=«71» height=«24» src=«ref-1_1287169349-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1638">.

Преобразуем уравнение к виду:

<img width=«147» height=«48» src=«ref-1_1287169529-456.coolpic» v:shapes="_x0000_i1639">

При помощи микрокалькулятора получаем:

<img width=«128» height=«48» src=«ref-1_1287169985-421.coolpic» v:shapes="_x0000_i1640">

Находим:
<img width=«257» height=«47» src=«ref-1_1287170406-615.coolpic» v:shapes="_x0000_i1641">

Если <img width=«43» height=«21» src=«ref-1_1287171021-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1642">, то из предыдущих равенств получаем:

<img width=«105» height=«47» src=«ref-1_1287171146-335.coolpic» v:shapes="_x0000_i1643">

Решив полученное уравнение, получим: <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_1287171481-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1644">.

Выполненные вычисления представляют возможность предположить, что корнями уравнения, принадлежащими отрезку <img width=«71» height=«24» src=«ref-1_1287169349-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1645">, являются <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1287171807-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1646">, <img width=«17» height=«21» src=«ref-1_1287171922-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1647"> и <img width=«25» height=«21» src=«ref-1_1287172015-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1648">.

Непосредственная проверка подтверждает эту гипотезу. Таким образом, доказано, что корнями уравнения являются только целые числа <img width=«41» height=«21» src=«ref-1_1287172118-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1649">, <img width=«89» height=«21» src=«ref-1_1287172250-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1650">.
Пример  Решите уравнение <img width=«103» height=«41» src=«ref-1_1287172436-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1651">.
Решение. Найдём основной период уравнения. У функции <img width=«41» height=«23» src=«ref-1_1287040167-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1652"> основной период равен <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1287033010-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1653">. Основной период функции <img width=«49» height=«41» src=«ref-1_1287172916-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1654"> равен <img width=«28» height=«41» src=«ref-1_1287173092-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1655">. Наименьшее общее кратное чисел <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1287033010-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1656"> и <img width=«28» height=«41» src=«ref-1_1287173092-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1657"> равно <img width=«23» height=«19» src=«ref-1_1287173459-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1658">. Поэтому основной период уравнения равен <img width=«23» height=«19» src=«ref-1_1287173459-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1659">. Пусть <img width=«68» height=«21» src=«ref-1_1287173665-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1660">.

Очевидно, <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1287132816-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1661"> является решением уравнения. На интервале <img width=«67» height=«41» src=«ref-1_1287173953-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1662">. Функция <img width=«49» height=«41» src=«ref-1_1287172916-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1663"> отрицательна. Поэтому другие корни уравнения следует искать только на интервалаx <img width=«52» height=«41» src=«ref-1_1287174362-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1664"> и <img width=«67» height=«41» src=«ref-1_1287174558-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1665">.

При помоши микрокалькулятора сначала найдем приближенные значения корней уравнения. Для этого составляем таблицу значений функции <img width=«100» height=«41» src=«ref-1_1287174789-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1666"> на интервалах <img width=«52» height=«41» src=«ref-1_1287174362-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1667"> и <img width=«67» height=«41» src=«ref-1_1287174558-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1668">; т. е. на интервалах <img width=«67» height=«24» src=«ref-1_1287175467-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1669"> и <img width=«91» height=«24» src=«ref-1_1287175639-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1670">.



 <img width=«17» height=«21» src=«ref-1_1287175850-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1671">

<img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1287022184-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1672">

<img width=«17» height=«21» src=«ref-1_1287175850-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1673">

<img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1287022184-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1674">

 0



202,5

0,85355342

3

-0,00080306

207

0,6893642

6

 -0,00119426

210

0,57635189

9

 -0,00261932

213

0,4614465

12

-0,00448897

216

0,34549155

15

-0,00667995

219

0,22934931

18

-0,00903692

222

0,1138931

21

-0,01137519

225

0,00000002

24

-0,01312438

228

-0,11145712

27

-0,01512438

231

-0,21961736

30

-0,01604446

234

-0,32363903

33

-0,01597149

237

-0,42270819

36

-0,01462203

240

-0,5160445

39

-0,01170562

243

-0,60290965

42

-0,00692866

246

-0,65261345

45

0,00000002

249

-0,75452006

48

0,00936458

252

-0,81805397

51

0,02143757

255

-0,87270535

54

0,03647455

258

-0,91803444

57

0,0547098

261

-0,95367586

60

0,07635185

264

-0,97934187

63

0,10157893

267

-0,99482505

66

0,1305352

270

-1

67,5

0,14644661





Из таблицы легко усматриваются следующие гипотезы: корнями уравнения, принадлежащими отрезку <img width=«44» height=«21» src=«ref-1_1287176284-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1675">, являются числа: <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1287130935-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1676">; <img width=«43» height=«21» src=«ref-1_1287176515-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1677">; <img width=«41» height=«21» src=«ref-1_1287176653-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1678">. Непосредственная проверка подтверждает эту гипотезу.

Ответ. <img width=«105» height=«21» src=«ref-1_1287176788-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1679">; <img width=«107» height=«21» src=«ref-1_1287176999-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1680">; <img width=«55» height=«19» src=«ref-1_1287177214-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1681">.


 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА


    продолжение
--PAGE_BREAK--