Реферат: Факторизації чотирьохмірних симплектичних груп

--PAGE_BREAK--3. Основні поняття


Групою називається непуста множина <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124"> з бінарною алгебраїчною операцією (множенням), що задовольняє наступною вимогою:

1) операція визначена на <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125">, тобто <img border=«0» width=«48» height=«19» src=«ref-1_1338865017-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126"> для всіх <img border=«0» width=«53» height=«21» src=«ref-1_1338865155-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">;

2) операція асоціативна, тобто <img border=«0» width=«91» height=«21» src=«ref-1_1338865304-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128"> для будь-яких <img border=«0» width=«67» height=«21» src=«ref-1_1338865515-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">;

3) в <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130"> існує одиничний елемент, тобто такий елемент <img border=«0» width=«39» height=«19» src=«ref-1_1338865773-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">, що <img border=«0» width=«77» height=«15» src=«ref-1_1338865895-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132"> для всіх <img border=«0» width=«40» height=«19» src=«ref-1_1338866039-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">, що <img border=«0» width=«77» height=«15» src=«ref-1_1338865895-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134"> для всіх <img border=«0» width=«40» height=«19» src=«ref-1_1338866039-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135">;

4) кожний елемент володіє зворотним, тобто для кожного <img border=«0» width=«40» height=«19» src=«ref-1_1338866039-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136"> існує такий елемент <img border=«0» width=«52» height=«21» src=«ref-1_1338866561-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137">, що <img border=«0» width=«100» height=«21» src=«ref-1_1338866703-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138">.

Більш коротко: напівгрупа з одиницею, у якій кожний елемент володіє зворотним, називається групою.

Групу з комутативною операцією називають комутативною або абелевої. Якщо <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">  — кінцева множина, що є групою, то <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140"> називають кінцевою групою, а число <img border=«0» width=«27» height=«21» src=«ref-1_1338856352-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141"> елементів в <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">  — порядком групи <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143">.

Підмножина <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1338860621-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144"> групи <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145"> називається підгрупою, якщо <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1338860621-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146">  — група щодо тієї ж операції, що визначена на <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147">. Запис <img border=«0» width=«47» height=«19» src=«ref-1_1338860488-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148"> означає, що <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1338860621-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">  — підгрупа групи <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150">, а <img border=«0» width=«48» height=«19» src=«ref-1_1338860810-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151">  — що <img border=«0» width=«47» height=«19» src=«ref-1_1338860488-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">  — власна підгрупа групи <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">, тобто <img border=«0» width=«47» height=«19» src=«ref-1_1338860488-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154"> й <img border=«0» width=«47» height=«19» src=«ref-1_1338868582-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">.

Теорема 1Непуста підмножина <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1338860621-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156"> групи <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157"> буде підгрупою тоді й тільки тоді, коли <img border=«0» width=«60» height=«23» src=«ref-1_1338868901-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158"> й <img border=«0» width=«55» height=«24» src=«ref-1_1338869065-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159"> для всіх <img border=«0» width=«67» height=«23» src=«ref-1_1338869222-173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">.

Нехай <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338869395-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">  — непуста підмножина групи <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">. Сукупність всіх елементів групи <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">, з кожним елементом множини <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338869395-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">, називається централізатором множини <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338869395-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165"> в групі <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166"> й позначається через <img border=«0» width=«45» height=«24» src=«ref-1_1338869953-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">.

Лема 21. Якщо <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338869395-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">  — підмножина групи <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">, то централізатор <img border=«0» width=«45» height=«24» src=«ref-1_1338869953-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170"> є підгрупою.

2. Якщо <img border=«0» width=«15» height=«19» src=«ref-1_1338864736-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171"> й <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338869395-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">  — підмножина групи <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173"> й <img border=«0» width=«43» height=«20» src=«ref-1_1338870702-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">, то <img border=«0» width=«104» height=«24» src=«ref-1_1338870834-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">.

3. Якщо <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338869395-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">  — підмножина групи <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177"> й <img border=«0» width=«40» height=«19» src=«ref-1_1338864216-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">, то <img border=«0» width=«115» height=«25» src=«ref-1_1338871374-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">.

Центром групи <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180"> називається сукупність всіх елементів з <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">, з кожним елементом групи. Центр позначається через <img border=«0» width=«39» height=«21» src=«ref-1_1338863424-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">. Ясно, що <img border=«0» width=«97» height=«24» src=«ref-1_1338871947-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">, тобто центр групи <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184"> збігається із централізатором підмножини <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185"> в групі <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">. Крім того, <img border=«0» width=«113» height=«39» src=«ref-1_1338872451-389.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">.

Зафіксуємо в групі <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188"> елемент <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1338872935-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189">. Перетинання всіх підгруп групи <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">, що містять елемент <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1338872935-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">, назвемо циклічною підгрупою, породженої елементом <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1338872935-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">, і позначимо через <img border=«0» width=«87» height=«36» src=«ref-1_1338873282-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">.

Теорема 3Циклічна підгрупа <img border=«0» width=«25» height=«21» src=«ref-1_1338873605-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">, породжена елементом <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1338872935-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">, складається із усіляких цілих ступенів елемента <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1338872935-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">, тобто <img border=«0» width=«116» height=«24» src=«ref-1_1338873884-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">.

Наслідок 4Циклічна підгрупа абелева.

Нехай <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1338872935-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">  — елемент групи <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199">. Якщо всі ступені елемента <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1338872935-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200"> різні, тобто <img border=«0» width=«53» height=«21» src=«ref-1_1338874395-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201"> для всіх цілих <img border=«0» width=«41» height=«16» src=«ref-1_1338874536-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">, то говорять, що елемента <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1338872935-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203"> має нескінченний порядок.

Якщо <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338869395-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">  — непуста підмножина групи <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205"> й <img border=«0» width=«45» height=«21» src=«ref-1_1338874925-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206"> те <img border=«0» width=«105» height=«21» src=«ref-1_1338875057-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207"> й <img border=«0» width=«103» height=«21» src=«ref-1_1338875282-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">. Елемент <img border=«0» width=«41» height=«21» src=«ref-1_1338875508-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209"> називається перестановочним з підмножиною <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338869395-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">, якщо <img border=«0» width=«59» height=«21» src=«ref-1_1338875731-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">. Рівність <img border=«0» width=«59» height=«21» src=«ref-1_1338875731-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212"> означає, що для будь-якого елемента <img border=«0» width=«40» height=«23» src=«ref-1_1338876039-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213"> існує такий елемент <img border=«0» width=«41» height=«23» src=«ref-1_1338876167-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">, що <img border=«0» width=«60» height=«23» src=«ref-1_1338876297-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">. Якщо елемент <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338876452-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216"> перестановочний з підмножиною <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338869395-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">, то <img border=«0» width=«59» height=«21» src=«ref-1_1338875731-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218"> й <img border=«0» width=«103» height=«24» src=«ref-1_1338876784-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">. Сукупність всіх елементів групи <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220">, перестановочних з підмножиною <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338869395-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221">, називається нормалізатором підмножини <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338869395-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222"> в групі <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223"> й позначається через <img border=«0» width=«48» height=«24» src=«ref-1_1338877371-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224">. Отже,
<img border=«0» width=«297» height=«25» src=«ref-1_1338877521-473.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">
5. Нехай <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338869395-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">  — непуста підмножина групи <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227">, <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338876452-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228">  — довільний елемент групи <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">. Тоді:

1) <img border=«0» width=«75» height=«24» src=«ref-1_1338878362-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230">;

2) <img border=«0» width=«104» height=«24» src=«ref-1_1338878554-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231">;

3) <img border=«0» width=«121» height=«25» src=«ref-1_1338878788-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232">;

4) <img border=«0» width=«136» height=«24» src=«ref-1_1338879053-286.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233">;

5) якщо <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1338860621-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">  — підгрупа групи <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235">, те <img border=«0» width=«81» height=«24» src=«ref-1_1338879528-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236">.

Підгрупа <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1338860621-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237"> називається нормальною підгрупою групи <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238">, якщо <img border=«0» width=«63» height=«19» src=«ref-1_1338879917-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239"> для всіх <img border=«0» width=«40» height=«19» src=«ref-1_1338864216-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240">. Запис <img border=«0» width=«47» height=«19» src=«ref-1_1338861468-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241"> читається: "<img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1338860621-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242"> — нормальна підгрупа групи <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243">". Рівність <img border=«0» width=«63» height=«19» src=«ref-1_1338879917-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244"> означає, що для будь-якого елемента <img border=«0» width=«47» height=«23» src=«ref-1_1338880658-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245"> існує елемент <img border=«0» width=«48» height=«23» src=«ref-1_1338880802-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246"> такий, що <img border=«0» width=«63» height=«23» src=«ref-1_1338880944-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247">.

Теорема. 6Для підгрупи <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1338860621-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248"> групи <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249"> наступні твердження еквівалентні:

1) <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1338860621-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250">  — нормальна підгрупа;

2) підгрупа <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1338860621-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251"> разом з кожним своїм елементом містить всі йому сполучені елементи, тобто <img border=«0» width=«49» height=«21» src=«ref-1_1338881484-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252"> для всіх <img border=«0» width=«40» height=«19» src=«ref-1_1338864216-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253">;

3) підгрупа <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1338860621-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254"> збігається з кожною своєю сполученою підгрупою, тобто <img border=«0» width=«56» height=«20» src=«ref-1_1338881840-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255"> для всіх <img border=«0» width=«40» height=«19» src=«ref-1_1338864216-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256">.

Нехай <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1338860621-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257">  — підгрупа групи <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258">. Тоді:

1) <img border=«0» width=«83» height=«24» src=«ref-1_1338882291-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259">;

2) якщо <img border=«0» width=«76» height=«19» src=«ref-1_1338882493-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260"> й <img border=«0» width=«48» height=«17» src=«ref-1_1338882658-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261">, те <img border=«0» width=«80» height=«24» src=«ref-1_1338882792-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262">;

3) <img border=«0» width=«52» height=«24» src=«ref-1_1338863077-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263">  — найбільша підгрупа групи <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264">, у якій <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1338860621-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265"> нормальна;

4) якщо <img border=«0» width=«47» height=«19» src=«ref-1_1338861468-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266">, те <img border=«0» width=«80» height=«24» src=«ref-1_1338883468-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267">. Обернено, якщо <img border=«0» width=«80» height=«24» src=«ref-1_1338883468-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268">, те <img border=«0» width=«47» height=«19» src=«ref-1_1338861468-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269">;

5) <img border=«0» width=«104» height=«24» src=«ref-1_1338883990-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270"> для будь-якої непустої підмножини <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338869395-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271"> групи <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272">.

У кожній групі <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273"> тривіальні підгрупи (одинична підгрупа <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338884507-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274"> й сама група <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275">) є нормальними підгрупами. Якщо в неодиничній групі <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276"> немає інших нормальних підгруп, то група <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277"> називається простій. Одиничну групу <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338884507-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278"> вважають непростий.


    продолжение
--PAGE_BREAK--4.Ізометрії


Знакозмінні простори

Векторний простір <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279"> над полем <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1338885069-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280"> називається знакозмінним, якщо на ньому задана знакозмінна білінійна форма <img border=«0» width=«13» height=«17» src=«ref-1_1338885160-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281">, тобто відображення <img border=«0» width=«91» height=«21» src=«ref-1_1338885247-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282"> з наступними властивостями:
<img border=«0» width=«189» height=«21» src=«ref-1_1338885433-329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283">

<img border=«0» width=«188» height=«21» src=«ref-1_1338885762-329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284">

<img border=«0» width=«196» height=«21» src=«ref-1_1338886091-353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285">

<img border=«0» width=«71» height=«21» src=«ref-1_1338886444-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286">
для всіх <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1338856670-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287">, <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338886702-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288">, <img border=«0» width=«13» height=«13» src=«ref-1_1338886791-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289"> з <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290"> і всіх <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338886967-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291"> з <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1338885069-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292">. Відзначимо наслідок цих співвідношень: <img border=«0» width=«120» height=«21» src=«ref-1_1338887146-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293">. Якщо <img border=«0» width=«91» height=«21» src=«ref-1_1338885247-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294">  — знакозмінна форма й <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338886967-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295">  — довільний елемент із <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1338885069-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296">, то відображення <img border=«0» width=«100» height=«24» src=«ref-1_1338887747-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297">, певне формулою <img border=«0» width=«125» height=«24» src=«ref-1_1338887947-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298">, і складний об'єкт, що є вихідним векторним простором <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299"> із цією новою формою <img border=«0» width=«20» height=«24» src=«ref-1_1338888293-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300">, буде знакозмінним простором, що ми позначимо через <img border=«0» width=«23» height=«21» src=«ref-1_1338888396-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301">.

Уявлення знакозмінного простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302"> в знакозмінний простір <img border=«0» width=«19» height=«19» src=«ref-1_1338888590-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303"> (обоє над полем <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1338885069-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304"> і з формами, позначуваними через <img border=«0» width=«13» height=«17» src=«ref-1_1338885160-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305">) є по визначенню лінійне перетворення <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338888868-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306"> простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307"> в <img border=«0» width=«19» height=«19» src=«ref-1_1338888590-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308">, таке, що <img border=«0» width=«121» height=«21» src=«ref-1_1338889150-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309"> для всіх <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1338856670-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310">, <img border=«0» width=«40» height=«21» src=«ref-1_1338889485-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311">. Інвективне уявлення називається ізометрією <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312"> в. <img border=«0» width=«19» height=«19» src=«ref-1_1338888590-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1313"> Простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1314"> й <img border=«0» width=«19» height=«19» src=«ref-1_1338888590-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1315"> називаються ізометричними, якщо існує ізометрія <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1316"> на <img border=«0» width=«19» height=«19» src=«ref-1_1338888590-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1317">. Нехай <img border=«0» width=«52» height=«19» src=«ref-1_1338890191-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1318"> позначає уявлення, <img border=«0» width=«36» height=«19» src=«ref-1_1338890330-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1319">  — ізометрію ``в'', а <img border=«0» width=«25» height=«21» src=«ref-1_1338890458-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1320"> або <img border=«0» width=«35» height=«20» src=«ref-1_1338890589-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1321">  — ізометрію ``на''. Очевидно, що композиція дві ізометрії — ізометрія й перетворення, зворотне до ізометрії, — також ізометрія. Зокрема, множину ізометрій простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1322"> на себе є підгрупою загальної лінійної групи <img border=«0» width=«53» height=«24» src=«ref-1_1338890810-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1323"> абстрактного векторного простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1324">; вона називається симплектичною групою знакозмінного простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1325"> й позначається через <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338891153-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1326">. Для будь-якого ненульового елемента <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338886967-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1327"> з <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1338885069-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1328"> маємо <img border=«0» width=«120» height=«25» src=«ref-1_1338891491-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1329">.

Пропозиція.7Нехай <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338888868-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1330">  — лінійне перетворення знакозмінного простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1331"> в знакозмінний простір <img border=«0» width=«19» height=«19» src=«ref-1_1338888590-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1332">. Припустимо, що існує база <img border=«0» width=«57» height=«24» src=«ref-1_1338892036-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1333"> простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1334">, така, що <img border=«0» width=«141» height=«25» src=«ref-1_1338892263-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1335"> для всіх <img border=«0» width=«9» height=«17» src=«ref-1_1338892548-80.coolpic» v:shapes="_x0000_i1336">, <img border=«0» width=«13» height=«20» src=«ref-1_1338892628-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1337">. Тоді <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338888868-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1338">  — уявлення.

Доказ. Це тривіально треба з визначень.

Кожному знакозмінному простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1339"> зі знакозмінною формою <img border=«0» width=«13» height=«17» src=«ref-1_1338885160-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1340"> зіставимо відображення <img border=«0» width=«9» height=«19» src=«ref-1_1338892985-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1341"> й <img border=«0» width=«12» height=«13» src=«ref-1_1338893067-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1342"> простори <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1343"> в сполучений простір <img border=«0» width=«19» height=«19» src=«ref-1_1338893242-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1344"> (<img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1345"> розглядається як абстрактний векторний простір над <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1338885069-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1346">). По визначенню відображення <img border=«0» width=«9» height=«19» src=«ref-1_1338892985-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1347"> зіставляє довільному елементу <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1338856670-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1348"> з <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1349"> лінійний функціонал <img border=«0» width=«29» height=«21» src=«ref-1_1338893784-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1350">, певний формулою <img border=«0» width=«113» height=«21» src=«ref-1_1338893903-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1351">, а <img border=«0» width=«12» height=«13» src=«ref-1_1338893067-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1352"> переводить <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1338856670-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1353"> в. <img border=«0» width=«116» height=«21» src=«ref-1_1338894296-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1354"> Легко перевіряється, що <img border=«0» width=«67» height=«19» src=«ref-1_1338894527-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1355"> і <img border=«0» width=«69» height=«19» src=«ref-1_1338894681-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1356"> є лінійними перетвореннями.

<img border=«0» width=«33» height=«15» src=«ref-1_1338894835-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1357">  — матриця <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338854078-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1358"> над <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1338885069-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1359"> називається косо симетричною, якщо <img border=«0» width=«57» height=«20» src=«ref-1_1338895127-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1360">, і знакозмінної, якщо <img border=«0» width=«57» height=«20» src=«ref-1_1338895127-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1361"> й на головній діагоналі коштують нулі. Таким чином, знакозмінні матриці є косо симетричними. Обернено, косо симетричні матриці є знакозмінними, якщо характеристика поля <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1338885069-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1362"> не дорівнює <img border=«0» width=«13» height=«17» src=«ref-1_1338895500-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1363">. Розглянемо знакозмінний простір <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1364">. Ми можемо асоціювати з базою <img border=«0» width=«57» height=«24» src=«ref-1_1338892036-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1365"> простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1366"> матрицю, у якої на місці <img border=«0» width=«35» height=«21» src=«ref-1_1338895906-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1367"> коштує <img border=«0» width=«57» height=«25» src=«ref-1_1338896027-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1368">. Назвемо <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338854170-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1369"> матрицею знакозмінного простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1370"> в базі <img border=«0» width=«57» height=«24» src=«ref-1_1338892036-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1371"> й будемо писати<img border=«0» width=«125» height=«24» src=«ref-1_1338896508-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1372">

Якщо існує хоча б одна база, у якій <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1373"> має матрицю <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338854170-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1374">, то будемо писати <img border=«0» width=«31» height=«20» src=«ref-1_1338896901-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1375">. Матриця <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338854170-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1376">, асоційована зі знакозмінним простором <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1377"> зазначеним способом, є, мабуть, знакозмінної. Що відбувається при зміні бази? Припустимо, що <img border=«0» width=«35» height=«20» src=«ref-1_1338897201-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1378"> в базі <img border=«0» width=«57» height=«24» src=«ref-1_1338897326-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1379"> й <img border=«0» width=«41» height=«25» src=«ref-1_1338897475-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1380">  — матриця переходу від першої бази до другого, тобто<img border=«0» width=«84» height=«36» src=«ref-1_1338897609-295.coolpic» v:shapes="_x0000_i1381">. Тоді<img border=«0» width=«309» height=«48» src=«ref-1_1338897904-811.coolpic» v:shapes="_x0000_i1382"> звідки видно, що зміна матриці простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1383"> при зміні бази описується співвідношенням <img border=«0» width=«69» height=«20» src=«ref-1_1338898808-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1384">.

Якщо <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1385">  — абстрактний векторний простір з базою <img border=«0» width=«57» height=«24» src=«ref-1_1338892036-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1386"> й <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338854170-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1387">  — довільна знакозмінна <img border=«0» width=«33» height=«15» src=«ref-1_1338894835-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1388">  — матриця над <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1338885069-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1389">, то існує єдиний спосіб перетворити <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1390"> в знакозмінний простір, таке, що <img border=«0» width=«31» height=«20» src=«ref-1_1338896901-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1391"> в <img border=«0» width=«57» height=«24» src=«ref-1_1338892036-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1392">, а саме, покласти<img border=«0» width=«219» height=«48» src=«ref-1_1338899834-679.coolpic» v:shapes="_x0000_i1393">, де <img border=«0» width=«21» height=«24» src=«ref-1_1338900513-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1394">  — елемент, що стоїть в матриці <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338854170-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1395"> на місці <img border=«0» width=«40» height=«21» src=«ref-1_1338900710-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1396">.Пропозицію 8Припустимо, що <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1397">  — знакозмінний простір, <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338900936-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1398">  — його база й <img border=«0» width=«31» height=«20» src=«ref-1_1338901027-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1399"> в. <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338900936-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1400"> Тоді матричний ізоморфізм, певний базою <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338900936-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1401">, відображає <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338891153-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1402"> на групу всіх оборотних <img border=«0» width=«33» height=«15» src=«ref-1_1338894835-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1403">  — матриць <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1338855323-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1404"> над <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1338885069-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1405">, що задовольняють співвідношенню<img border=«0» width=«73» height=«21» src=«ref-1_1338901783-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1406">

Дискримінантом <img border=«0» width=«81» height=«24» src=«ref-1_1338901952-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1407"> векторів <img border=«0» width=«59» height=«24» src=«ref-1_1338902133-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1408"> у знакозмінному просторі <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1409"> називається визначник<img border=«0» width=«91» height=«25» src=«ref-1_1338902360-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1410">

Зокрема, якщо <img border=«0» width=«57» height=«24» src=«ref-1_1338892036-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1411">  — база простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1412"> й <img border=«0» width=«31» height=«20» src=«ref-1_1338896901-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1413"> у цій базі, те<img border=«0» width=«132» height=«24» src=«ref-1_1338902926-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1414"> Якщо <img border=«0» width=«57» height=«24» src=«ref-1_1338897326-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1415">  — інша база, то співвідношення <img border=«0» width=«69» height=«20» src=«ref-1_1338903326-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1416"> показує, що<img border=«0» width=«188» height=«25» src=«ref-1_1338903492-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1417"> для якогось <img border=«0» width=«40» height=«19» src=«ref-1_1338903823-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1418"> із <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1338885069-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1419">. Отже, канонічний образ елемента <img border=«0» width=«80» height=«24» src=«ref-1_1338904037-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1420"> в <img border=«0» width=«75» height=«24» src=«ref-1_1338904219-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1421"> не залежить від бази; він називається дискримінантом знакозмінного простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1422"> й позначається через <img border=«0» width=«25» height=«19» src=«ref-1_1338904503-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i1423">. Тут множина <img border=«0» width=«75» height=«24» src=«ref-1_1338904219-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1424"> визначається очевидним образом: беремо <img border=«0» width=«37» height=«21» src=«ref-1_1338904802-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1425">, приєднуємо до неї нуль 0 і думаємо, що добуток нуля й будь-якого іншого елемента дорівнює нулю. Запис <img border=«0» width=«53» height=«21» src=«ref-1_1338904931-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1426">, де <img border=«0» width=«44» height=«21» src=«ref-1_1338905081-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1427">, буде позначати, що <img border=«0» width=«25» height=«19» src=«ref-1_1338904503-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i1428"> дорівнює канонічному образу елемента <img border=«0» width=«16» height=«21» src=«ref-1_1338905322-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1429"> в <img border=«0» width=«75» height=«24» src=«ref-1_1338904219-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1430"> або, інакше кажучи, що <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1431"> має базу <img border=«0» width=«57» height=«24» src=«ref-1_1338892036-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1432">, для якої <img border=«0» width=«108» height=«24» src=«ref-1_1338905836-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1433">. Якщо <img border=«0» width=«40» height=«19» src=«ref-1_1338906052-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1434">, то думаємо <img border=«0» width=«47» height=«19» src=«ref-1_1338906169-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1435">.

Приклад 9Розглянемо знакозмінний простір <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1436"> зі знакозмінною формою <img border=«0» width=«13» height=«17» src=«ref-1_1338885160-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1437">. Нехай <img border=«0» width=«99» height=«24» src=«ref-1_1338906482-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1438">  — його база, а <img border=«0» width=«101» height=«24» src=«ref-1_1338906681-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1439">  — сполучена база сполученого простору <img border=«0» width=«19» height=«19» src=«ref-1_1338893242-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1440">. Нехай <img border=«0» width=«31» height=«20» src=«ref-1_1338901027-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1441"> в. <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338900936-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1442"> Тоді <img border=«0» width=«139» height=«25» src=«ref-1_1338907196-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1443">. Легко бачити, що матриця лінійного перетворення <img border=«0» width=«67» height=«19» src=«ref-1_1338894527-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1444">, певного раніше, щодо баз <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338900936-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1445"> і <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1338907722-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1446"> дорівнює <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338854078-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1447">; дійсно, якщо <img border=«0» width=«84» height=«36» src=«ref-1_1338907910-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1448">, те
<img border=«0» width=«283» height=«36» src=«ref-1_1338908192-631.coolpic» v:shapes="_x0000_i1449">
Аналогічно матриця перетворення <img border=«0» width=«69» height=«19» src=«ref-1_1338894681-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1450"> щодо баз <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338900936-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1451"> і <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1338907722-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1452"> дорівнює <img border=«0» width=«21» height=«20» src=«ref-1_1338909164-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1453">.

Пропозиція 10Будь-які <img border=«0» width=«17» height=«15» src=«ref-1_1338909267-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1454"> векторів <img border=«0» width=«60» height=«24» src=«ref-1_1338909355-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1455"> знакозмінного простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1456">, такі, що <img border=«0» width=«107» height=«24» src=«ref-1_1338909584-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1457">, лінійно незалежно.

Доказ. Залежність <img border=«0» width=«71» height=«36» src=«ref-1_1338909801-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1458"> спричиняє <img border=«0» width=«111» height=«36» src=«ref-1_1338910078-356.coolpic» v:shapes="_x0000_i1459"> для <img border=«0» width=«61» height=«21» src=«ref-1_1338910434-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1460">. Це означає залежність між рядками матриці <img border=«0» width=«68» height=«25» src=«ref-1_1338910590-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1461">, що неможливо, тому що дискримінант не дорівнює 0.

Пропозиція11Наступні твердження для знакозмінного простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1462"> рівносильні:
<img border=«0» width=«129» height=«21» src=«ref-1_1338910868-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1463">,

<img border=«0» width=«131» height=«21» src=«ref-1_1338911104-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1464">,

<img border=«0» width=«49» height=«19» src=«ref-1_1338911348-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1465">,
<img border=«0» width=«12» height=«13» src=«ref-1_1338893067-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1466"> біективно, <img border=«0» width=«9» height=«19» src=«ref-1_1338892985-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1467"> біективно.

Доказ. Можна вважати, що <img border=«0» width=«40» height=«19» src=«ref-1_1338911649-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1468">. Зафіксуємо базу <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338900936-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1469"> простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1470">, і нехай <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1338907722-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1471">  — сполучена база. Нехай <img border=«0» width=«31» height=«20» src=«ref-1_1338901027-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1472"> в. <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338900936-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1473"> Через





тому (3) рівносильне (5). Аналогічно (3) рівносильне (4). Далі





так що (5) рівносильне (2). Нарешті, мабуть, що (2) рівносильне (1).

Визначення 12Знакозмінний простір <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1485"> називається регулярним, якщо воно задовольняє одному з п'яти рівносильних умов . Знакозмінний простір <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1486"> називається виродженим, якщо воно не є регулярним. Нарешті, воно називається цілком виродженим, якщо <img border=«0» width=«76» height=«21» src=«ref-1_1338914584-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1487">.

Якщо <img border=«0» width=«40» height=«19» src=«ref-1_1338906052-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1488">, то <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1489"> регулярно. Якщо <img border=«0» width=«40» height=«19» src=«ref-1_1338911649-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1490">, то через і
<img border=«0» width=«216» height=«21» src=«ref-1_1338915101-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1491">
Пропозиція.13Нехай <img border=«0» width=«73» height=«19» src=«ref-1_1338915422-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1492">  — уявлення знакозмінних просторів. Якщо <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1493"> регулярно, то <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338888868-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1494">  — ізометрія.

Доказ. Візьмемо <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1338856670-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1495"> з ядра уявлення <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338888868-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1496">. Тоді <img border=«0» width=«148» height=«21» src=«ref-1_1338915937-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1497">. Звідси через регулярність простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1498"> одержуємо, що <img border=«0» width=«37» height=«19» src=«ref-1_1338916318-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1499">.

Пропозиція 14Кожній базі <img border=«0» width=«97» height=«24» src=«ref-1_1338916432-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1500"> регулярного знакозмінного простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1501"> відповідає єдина база <img border=«0» width=«99» height=«24» src=«ref-1_1338916723-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1502"> цього простору, називана сполученої до <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338900936-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1503"> відносно <img border=«0» width=«13» height=«17» src=«ref-1_1338885160-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1504"> й така, що <img border=«0» width=«89» height=«25» src=«ref-1_1338917105-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1505"> для всіх <img border=«0» width=«9» height=«17» src=«ref-1_1338892548-80.coolpic» v:shapes="_x0000_i1506">, <img border=«0» width=«13» height=«20» src=«ref-1_1338892628-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1507">. Якщо <img border=«0» width=«31» height=«20» src=«ref-1_1338901027-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1508"> в <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338900936-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1509"> и <img border=«0» width=«31» height=«20» src=«ref-1_1338896901-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1510"> в <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338917812-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1511">, то <img border=«0» width=«59» height=«20» src=«ref-1_1338917903-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1512">.

Доказ.1) Покладемо <img border=«0» width=«65» height=«27» src=«ref-1_1338918051-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1513"> для <img border=«0» width=«57» height=«21» src=«ref-1_1338918222-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1514">, де <img border=«0» width=«56» height=«24» src=«ref-1_1338918373-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1515">  — сполучена до <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338900936-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1516"> база сполученого простору <img border=«0» width=«19» height=«19» src=«ref-1_1338893242-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1517">. Тоді <img border=«0» width=«99» height=«24» src=«ref-1_1338918695-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1518">  — база, тому що <img border=«0» width=«9» height=«19» src=«ref-1_1338892985-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1519"> біективно. Крім того,<img border=«0» width=«219» height=«25» src=«ref-1_1338918987-395.coolpic» v:shapes="_x0000_i1520">. Цим доведене існування бази <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338917812-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1521">. Одиничність безпосередньо треба з регулярності.2) Нехай <img border=«0» width=«80» height=«36» src=«ref-1_1338919473-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1522">. Тоді <img border=«0» width=«67» height=«20» src=«ref-1_1338919761-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1523"> й<img border=«0» width=«193» height=«36» src=«ref-1_1338919924-487.coolpic» v:shapes="_x0000_i1524"> Звідси <img border=«0» width=«51» height=«17» src=«ref-1_1338920411-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1525">, так що <img border=«0» width=«91» height=«20» src=«ref-1_1338920544-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1526"> й <img border=«0» width=«59» height=«20» src=«ref-1_1338917903-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1527">.

Розглянемо знакозмінний простір <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1528"> зі знакозмінною формою <img border=«0» width=«13» height=«17» src=«ref-1_1338885160-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1529">. Будемо говорити, що <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1530"> має ортогональне розкладання<img border=«0» width=«107» height=«23» src=«ref-1_1338921146-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1531"> на підпростори <img border=«0» width=«57» height=«23» src=«ref-1_1338921350-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1532"> якщо воно є прямою сумою <img border=«0» width=«105» height=«23» src=«ref-1_1338921503-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1533"> з попарно ортогональними <img border=«0» width=«16» height=«24» src=«ref-1_1338921726-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1534">, тобто <img border=«0» width=«81» height=«25» src=«ref-1_1338921825-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1535"> при <img border=«0» width=«33» height=«20» src=«ref-1_1338922033-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1536">. Назвемо <img border=«0» width=«16» height=«24» src=«ref-1_1338921726-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1537"> компонентами цього ортогонального розкладання. Будемо говорити, що підпростір <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338864643-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1538"> розщеплює <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1539"> або що <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338864643-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1540"> є компонентом простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1541">, якщо існує підпростір <img border=«0» width=«19» height=«19» src=«ref-1_1338888590-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1542"> простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1543">, таке, що <img border=«0» width=«76» height=«19» src=«ref-1_1338922811-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1544">. Маємо<img border=«0» width=«185» height=«23» src=«ref-1_1338922977-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1545"> де добуток береться в.<img border=«0» width=«75» height=«24» src=«ref-1_1338923299-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1546">

Розглянемо два знакозмінних простори <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1547"> й <img border=«0» width=«19» height=«19» src=«ref-1_1338888590-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1548"> над тим самим полемо <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1338885069-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1549"> й припустимо, що є ортогональне розкладання <img border=«0» width=«107» height=«23» src=«ref-1_1338921146-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1550">, а <img border=«0» width=«19» height=«19» src=«ref-1_1338888590-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1551">  — сума просторів <img border=«0» width=«64» height=«23» src=«ref-1_1338924081-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1552">, <img border=«0» width=«109» height=«23» src=«ref-1_1338924251-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1553">, причому <img border=«0» width=«92» height=«25» src=«ref-1_1338924479-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1554"> при <img border=«0» width=«33» height=«20» src=«ref-1_1338922033-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1555">. Нехай для кожного <img border=«0» width=«9» height=«17» src=«ref-1_1338892548-80.coolpic» v:shapes="_x0000_i1556">, <img border=«0» width=«53» height=«19» src=«ref-1_1338924904-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1557">, задане уявлення <img border=«0» width=«79» height=«24» src=«ref-1_1338925038-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1558">. Тоді, як відомо з лінійної алгебри, існує єдине лінійне перетворення <img border=«0» width=«73» height=«19» src=«ref-1_1338915422-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1559">, що погодиться з кожним <img border=«0» width=«19» height=«24» src=«ref-1_1338925383-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1560"> на <img border=«0» width=«20» height=«24» src=«ref-1_1338925480-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1561">. Насправді легко перевірити, що <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338888868-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1562">  — уявлення. Ми будемо записувати його у вигляді<img border=«0» width=«116» height=«23» src=«ref-1_1338925676-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1563">

Важливим є випадок, коли <img border=«0» width=«47» height=«19» src=«ref-1_1338925875-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1564">, <img border=«0» width=«48» height=«24» src=«ref-1_1338926008-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1565"> для всіх <img border=«0» width=«9» height=«17» src=«ref-1_1338892548-80.coolpic» v:shapes="_x0000_i1566"> і <img border=«0» width=«80» height=«24» src=«ref-1_1338926237-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1567"> для всіх <img border=«0» width=«9» height=«17» src=«ref-1_1338892548-80.coolpic» v:shapes="_x0000_i1568">; тоді<img border=«0» width=«149» height=«24» src=«ref-1_1338926514-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1569">

Якщо дано ще одне таке уявлення <img border=«0» width=«77» height=«23» src=«ref-1_1338926786-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1570">, то
<img border=«0» width=«305» height=«23» src=«ref-1_1338926945-420.coolpic» v:shapes="_x0000_i1571">

<img border=«0» width=«223» height=«24» src=«ref-1_1338927365-336.coolpic» v:shapes="_x0000_i1572">

<img border=«0» width=«252» height=«23» src=«ref-1_1338927701-411.coolpic» v:shapes="_x0000_i1573">
Розглянемо знакозмінний простір <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1574"> над полем <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1338885069-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1575">. Під ортогональним доповненням підпростору <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338864643-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1576"> простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1577"> в <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1578"> розуміється підпростір
<img border=«0» width=«165» height=«24» src=«ref-1_1338928575-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1579">
співпадаюче також з
<img border=«0» width=«171» height=«24» src=«ref-1_1338928877-305.coolpic» v:shapes="_x0000_i1580">
Визначимо радикал простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1581"> як підпростір <img border=«0» width=«69» height=«21» src=«ref-1_1338929275-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1582">. Очевидно,
<img border=«0» width=«161» height=«21» src=«ref-1_1338929441-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1583">
Пропозиція15Нехай <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1584">  — знакозмінний простір, що є сумою попарно ортогональних підпросторів, тобто <img border=«0» width=«100» height=«23» src=«ref-1_1338929844-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1585">, де <img border=«0» width=«81» height=«25» src=«ref-1_1338921825-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1586"> при <img border=«0» width=«33» height=«20» src=«ref-1_1338922033-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1587">. Тоді
<img border=«0» width=«165» height=«23» src=«ref-1_1338930366-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1588">,
<img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1589"> регулярно <img border=«0» width=«20» height=«16» src=«ref-1_1338912698-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1590"> кожне <img border=«0» width=«16» height=«24» src=«ref-1_1338921726-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1591"> регулярно,

<img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1592"> регулярно <img border=«0» width=«125» height=«23» src=«ref-1_1338931035-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1593">.

Доказ. (1) Візьмемо в <img border=«0» width=«37» height=«19» src=«ref-1_1338931256-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1594"> довільний елемент <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1338856670-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1595"> і запишемо його у вигляді <img border=«0» width=«60» height=«27» src=«ref-1_1338931467-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1596">, <img border=«0» width=«49» height=«24» src=«ref-1_1338931684-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1597">. Тоді
<img border=«0» width=«232» height=«27» src=«ref-1_1338931825-481.coolpic» v:shapes="_x0000_i1598">
так що <img border=«0» width=«65» height=«24» src=«ref-1_1338932306-173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1599">, звідки <img border=«0» width=«77» height=«27» src=«ref-1_1338932479-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1600">. Обернено, якщо <img border=«0» width=«60» height=«27» src=«ref-1_1338931467-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1601">, де <img border=«0» width=«72» height=«24» src=«ref-1_1338932948-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1602">, те<img border=«0» width=«169» height=«27» src=«ref-1_1338933126-388.coolpic» v:shapes="_x0000_i1603"> звідки <img border=«0» width=«61» height=«19» src=«ref-1_1338933514-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1604">.(2) Це треба з (1) і того, що знакозмінний простір регулярний тоді й тільки тоді, коли його радикал дорівнює <img border=«0» width=«13» height=«19» src=«ref-1_1338933667-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1605">.(3) Якщо <img border=«0» width=«59» height=«27» src=«ref-1_1338933753-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1606">, <img border=«0» width=«49» height=«24» src=«ref-1_1338931684-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1607">, те<img border=«0» width=«169» height=«27» src=«ref-1_1338934117-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1608"> звідки <img border=«0» width=«41» height=«24» src=«ref-1_1338934523-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1609">. Отже, <img border=«0» width=«105» height=«23» src=«ref-1_1338921503-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1610"> і, виходить, <img border=«0» width=«107» height=«23» src=«ref-1_1338921146-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1611">.

Пропозиція 16Якщо <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338864643-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1612">  — підпростір знакозмінного простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1613">, те <img border=«0» width=«23» height=«21» src=«ref-1_1338935263-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1614">  — анулятор простору <img border=«0» width=«33» height=«21» src=«ref-1_1338935366-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1615"> в <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1616">, тобто <img border=«0» width=«85» height=«24» src=«ref-1_1338935585-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1617">. Зокрема, <img border=«0» width=«128» height=«21» src=«ref-1_1338935790-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1618">.

Доказ безпосередньо треба з визначень.

Пропозиція 17Нехай <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338864643-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1619">  — регулярний підпростір знакозмінного простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1620">. Тоді <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338864643-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1621"> розщеплює <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1622">, точніше, <img border=«0» width=«79» height=«21» src=«ref-1_1338936403-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1623">. Якщо <img border=«0» width=«76» height=«19» src=«ref-1_1338922811-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1624">  — інше розщеплення, <img border=«0» width=«53» height=«21» src=«ref-1_1338936737-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1625">.

Доказ. Тому що <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338864643-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1626"> регулярно, те <img border=«0» width=«77» height=«21» src=«ref-1_1338936974-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1627">. Отже, через
<img border=«0» width=«252» height=«24» src=«ref-1_1338937138-412.coolpic» v:shapes="_x0000_i1628">
Тому <img border=«0» width=«79» height=«21» src=«ref-1_1338937550-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1629"> й, виходить, <img border=«0» width=«79» height=«21» src=«ref-1_1338936403-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1630">. Далі, якщо <img border=«0» width=«76» height=«19» src=«ref-1_1338922811-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1631">, те<img border=«0» width=«81» height=«21» src=«ref-1_1338938058-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1632">, звідки <img border=«0» width=«55» height=«23» src=«ref-1_1338938254-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1633">. Порівнюючи розмірності, одержуємо <img border=«0» width=«53» height=«21» src=«ref-1_1338936737-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1634">.

Пропозиція 18Якщо <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338864643-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1635"> й <img border=«0» width=«19» height=«19» src=«ref-1_1338888590-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1636">  — довільні підпростори регулярного знакозмінного простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1637"> розмірності <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1338857384-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1638">, те
<img border=«0» width=«129» height=«21» src=«ref-1_1338938923-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1639">,

<img border=«0» width=«56» height=«21» src=«ref-1_1338939161-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1640">,

<img border=«0» width=«135» height=«24» src=«ref-1_1338939297-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1641">,

<img border=«0» width=«135» height=«24» src=«ref-1_1338939560-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1642">,

<img border=«0» width=«101» height=«21» src=«ref-1_1338939826-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1643">.
Доказ. Тому що <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1644"> регулярно, те через відображення <img border=«0» width=«9» height=«19» src=«ref-1_1338892985-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1645"> біективно. Отже, <img border=«0» width=«112» height=«21» src=«ref-1_1338940203-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1646">, звідки через <img border=«0» width=«129» height=«21» src=«ref-1_1338940441-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1647">. Цим доведено (1). Далі, <img border=«0» width=«57» height=«23» src=«ref-1_1338940679-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1648">, тому порівняння дає <img border=«0» width=«55» height=«21» src=«ref-1_1338940825-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1649">. Цим доведено (2). Доведемо тепер (3):
<img border=«0» width=«464» height=«24» src=«ref-1_1338940964-749.coolpic» v:shapes="_x0000_i1650">
Аналогічно доводиться (4). Нарешті, твердження (5) тривіально.

Розглянемо радикал <img border=«0» width=«37» height=«19» src=«ref-1_1338931256-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1651"> знакозмінного простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1652">, і нехай <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338864643-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1653">  — підпростір простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1654">, таке, що <img border=«0» width=«95» height=«19» src=«ref-1_1338942119-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1655">. Назвемо всяке таке розкладання радикальним розкладанням простору <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338864643-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1656">. Очевидно, <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1657"> визначається не єдиним образом, за винятком випадків, коли <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1658"> регулярно або цілком вироджене.

Зі співвідношень
<img border=«0» width=«271» height=«21» src=«ref-1_1338942594-439.coolpic» v:shapes="_x0000_i1659">
треба рівність <img border=«0» width=«63» height=«19» src=«ref-1_1338943033-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1660">, тому <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338864643-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1661"> регулярно.

Теорема 19Якщо <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1662">  — регулярний знакозмінний простір розмірності <img border=«0» width=«37» height=«19» src=«ref-1_1338943375-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1663">, те
<img border=«0» width=«160» height=«120» src=«ref-1_1338943493-610.coolpic» v:shapes="_x0000_i1664">
Зокрема, регулярний знакозмінний простір має парну розмірність і дискримінант <img border=«0» width=«9» height=«17» src=«ref-1_1338856849-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1665">. Крім того, регулярні знакозмінні простори однакової розмірності над тим самим полем <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1338885069-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1666"> ізометричні.

Доказ. Через регулярність простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1667"> існують вектори <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1338856670-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1668"> й <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338886702-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1669">, що задовольняють умові <img border=«0» width=«69» height=«21» src=«ref-1_1338944542-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1670">. Тому що <img border=«0» width=«71» height=«21» src=«ref-1_1338886444-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1671">, те ці вектори повинні бути незалежними; тому <img border=«0» width=«84» height=«21» src=«ref-1_1338944886-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1672">  — площина. Очевидно,
<img border=«0» width=«79» height=«48» src=«ref-1_1338945073-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1673">
Зокрема, <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338864643-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1674"> регулярно, тому що дискримінант відмінний від нуля. Отже, через <img border=«0» width=«76» height=«19» src=«ref-1_1338922811-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1675">. Але <img border=«0» width=«19» height=«19» src=«ref-1_1338888590-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1676">  — також регулярний знакозмінний простір. Перше твердження треба тепер з міркувань індукції. Друге тривіально треба з першого. Для доказу третього твердження застосовуємо . Теорема доведена.

База <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338900936-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1677"> регулярного знакозмінного простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1678"> називається гіперболічної, якщо
<img border=«0» width=«179» height=«120» src=«ref-1_1338945897-676.coolpic» v:shapes="_x0000_i1679">
і сімплектичною, якщо
<img border=«0» width=«124» height=«51» src=«ref-1_1338946573-362.coolpic» v:shapes="_x0000_i1680">
Якщо
<img border=«0» width=«153» height=«24» src=«ref-1_1338946935-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1681">
гіперболічна база простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1682">, то перестановка
<img border=«0» width=«179» height=«24» src=«ref-1_1338947301-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1683">
симплектична база, і навпаки. По теоремі ненульовий регулярний знакозмінний простір має гіперболічну базу, а тому й симплектичну базу.

Пропозиція 20Нехай <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1684">  — регулярний знакозмінний простір, <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1338947697-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1685">  — цілком вироджений підпростір і <img border=«0» width=«57» height=«23» src=«ref-1_1338947790-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1686">  — база підпростору <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1338947697-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1687">. Тоді існує регулярний підпростір <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338864643-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1688"> простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1689"> виду <img border=«0» width=«92» height=«23» src=«ref-1_1338948200-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1690">, де <img border=«0» width=«16» height=«24» src=«ref-1_1338948387-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1691">  — регулярні площини й <img border=«0» width=«44» height=«24» src=«ref-1_1338948484-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1692">, <img border=«0» width=«53» height=«19» src=«ref-1_1338924904-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1693">.

Доказ. Випадок <img border=«0» width=«33» height=«17» src=«ref-1_1338948753-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1694"> очевидний. При <img border=«0» width=«33» height=«17» src=«ref-1_1338948860-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1695"> застосовуємо індукцію по <img border=«0» width=«12» height=«13» src=«ref-1_1338893067-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1696">. Покладемо <img border=«0» width=«135» height=«23» src=«ref-1_1338949051-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1697"> й <img border=«0» width=«52» height=«23» src=«ref-1_1338949292-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1698">. Тоді <img border=«0» width=«67» height=«23» src=«ref-1_1338949433-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1699">, звідки <img border=«0» width=«68» height=«24» src=«ref-1_1338949595-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1700"> через . Виберемо <img border=«0» width=«95» height=«27» src=«ref-1_1338949763-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1701"> й покладемо <img border=«0» width=«96» height=«23» src=«ref-1_1338949978-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1702">. Тоді <img border=«0» width=«83» height=«24» src=«ref-1_1338950184-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1703">, <img border=«0» width=«72» height=«19» src=«ref-1_1338950377-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1704">, і, отже, <img border=«0» width=«84» height=«23» src=«ref-1_1338950528-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1705">. Виходить, <img border=«0» width=«17» height=«23» src=«ref-1_1338950723-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1706">  — регулярна площина, що містить <img border=«0» width=«17» height=«23» src=«ref-1_1338950820-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1707">. У силу можна записати <img border=«0» width=«80» height=«24» src=«ref-1_1338950913-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1708">. Тоді <img border=«0» width=«63» height=«24» src=«ref-1_1338951093-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1709">, тому що <img border=«0» width=«60» height=«24» src=«ref-1_1338951256-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1710"> й <img border=«0» width=«60» height=«24» src=«ref-1_1338951412-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1711"> отже, <img border=«0» width=«65» height=«24» src=«ref-1_1338951572-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1712">. Залишається застосувати припущення індукції до <img border=«0» width=«31» height=«23» src=«ref-1_1338951742-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1713"> розглянутого як підпростір знакозмінного простору <img border=«0» width=«20» height=«24» src=«ref-1_1338951859-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1714">.

Пропозиція 21Якщо <img border=«0» width=«21» height=«17» src=«ref-1_1338861272-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1715">  — максимальне цілком вироджений підпростір регулярного знакозмінного простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1716">, те <img border=«0» width=«115» height=«41» src=«ref-1_1338952159-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1717">.Доказ. Тому що <img border=«0» width=«21» height=«17» src=«ref-1_1338861272-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1718"> цілком вироджене, те<img border=«0» width=«61» height=«23» src=«ref-1_1338952554-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1719">, тому через <img border=«0» width=«196» height=«21» src=«ref-1_1338952721-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1720">, звідки <img border=«0» width=«115» height=«41» src=«ref-1_1338953043-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1721">.

Якщо допустити, що <img border=«0» width=«115» height=«41» src=«ref-1_1338953346-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1722">, то нескладне застосування тверджень і дасть цілком вироджений підпростір, що строго містить <img border=«0» width=«21» height=«17» src=«ref-1_1338861272-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1723"> у протиріччя з максимальністю <img border=«0» width=«21» height=«17» src=«ref-1_1338861272-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1724">. Тому <img border=«0» width=«115» height=«41» src=«ref-1_1338952159-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1725">.

Пропозиція.22Якщо <img border=«0» width=«24» height=«23» src=«ref-1_1338954139-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1726"> й <img border=«0» width=«25» height=«23» src=«ref-1_1338954252-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1727">  — максимальні цілком вироджені підпростору регулярного знакозмінного простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1728">, що задовольняють умові <img border=«0» width=«88» height=«23» src=«ref-1_1338954461-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1729">, то для кожної бази <img border=«0» width=«57» height=«23» src=«ref-1_1338947790-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1730"> простору М існує така база <img border=«0» width=«59» height=«23» src=«ref-1_1338954797-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1731"> простору <img border=«0» width=«25» height=«23» src=«ref-1_1338954252-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1732">, що <img border=«0» width=«135» height=«23» src=«ref-1_1338955054-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1733">  — симплектична база простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1734">.

Доказ. Зрозуміло, <img border=«0» width=«91» height=«23» src=«ref-1_1338955383-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1735"> (через ). Нехай <img border=«0» width=«56» height=«23» src=«ref-1_1338955600-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1736">, — база підпростору <img border=«0» width=«25» height=«23» src=«ref-1_1338954252-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1737">. Тоді <img border=«0» width=«115» height=«23» src=«ref-1_1338955845-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1738">  — база простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1739">.

Нехай <img border=«0» width=«136» height=«23» src=«ref-1_1338956125-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1740">  — сполучена до неї база відносно <img border=«0» width=«13» height=«17» src=«ref-1_1338885160-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1741"> (див. ). Оскільки <img border=«0» width=«64» height=«24» src=«ref-1_1338956431-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1742">, те елементи <img border=«0» width=«59» height=«23» src=«ref-1_1338954797-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1743"> лежать в. <img border=«0» width=«73» height=«24» src=«ref-1_1338956749-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1744"> Виходить, <img border=«0» width=«59» height=«23» src=«ref-1_1338954797-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1745">  — база простору <img border=«0» width=«25» height=«23» src=«ref-1_1338954252-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1746">, а<img border=«0» width=«135» height=«23» src=«ref-1_1338955054-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1747"> симплектична база в.<img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1748">

Пропозиція 23Нехай <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1749">  — регулярний знакозмінний простір і<img border=«0» width=«177» height=«24» src=«ref-1_1338957626-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1750"> його симплектична база.

Нехай <img border=«0» width=«21» height=«17» src=«ref-1_1338861272-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1751">  — максимальне цілком вироджений простір <img border=«0» width=«99» height=«24» src=«ref-1_1338958023-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1752">. Тоді матричний ізоморфізм, асоційований з <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338900936-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1753">, відображає групу лінійних перетворень<img border=«0» width=«153» height=«24» src=«ref-1_1338958323-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1754"> на групу матриць виду
<img border=«0» width=«79» height=«51» src=«ref-1_1338958630-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1755">
де <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338958922-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1756">  — оборотна <img border=«0» width=«71» height=«41» src=«ref-1_1338959013-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1757">  — матриця, а <img border=«0» width=«71» height=«41» src=«ref-1_1338959013-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1758">  — матриця <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338854170-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1759"> задовольняє співвідношенню <img border=«0» width=«81» height=«24» src=«ref-1_1338959564-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1760">.

Доказ. Це легко перевіряється належним застосуванням твердження .

Теорема Витта 24Нехай <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1761"> і <img border=«0» width=«19» height=«19» src=«ref-1_1338893242-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1762">  — ізометричні регулярні знакозмінні простори над тим самим полем <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1338885069-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1763">. Якщо <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338864643-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1764">  — довільний підпростір простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1765"> й <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338888868-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1766">  — ізометрія <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338864643-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1767"> в <img border=«0» width=«19» height=«19» src=«ref-1_1338893242-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1768">, то її можна продовжити до ізометрії простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1769"> на <img border=«0» width=«19» height=«19» src=«ref-1_1338893242-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1770">.

Доказ. Візьмемо радикальне розкладання <img border=«0» width=«100» height=«19» src=«ref-1_1338960701-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1771">, і нехай <img border=«0» width=«57» height=«24» src=«ref-1_1338892036-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1772">  — база підпростору <img border=«0» width=«39» height=«19» src=«ref-1_1338961037-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1773"> (мається на увазі, що <img border=«0» width=«36» height=«19» src=«ref-1_1338961165-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1774">, якщо <img border=«0» width=«63» height=«19» src=«ref-1_1338943033-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1775">). Застосовуючи до регулярного знакозмінного простору <img border=«0» width=«24» height=«21» src=«ref-1_1338961434-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1776">, ми бачимо, що в ньому існує підпростір <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338961544-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1777"> виду<img border=«0» width=«112» height=«23» src=«ref-1_1338961635-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1778"> е <img border=«0» width=«16» height=«24» src=«ref-1_1338948387-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1779">  — регулярні площини й <img border=«0» width=«44» height=«24» src=«ref-1_1338948484-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1780">, <img border=«0» width=«53» height=«19» src=«ref-1_1338924904-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1781">. Тому що <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338961544-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1782"> регулярно, те воно розщеплює <img border=«0» width=«24» height=«21» src=«ref-1_1338961434-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1783">; отже, існує регулярний підпростір <img border=«0» width=«15» height=«19» src=«ref-1_1338864736-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1784"> простору <img border=«0» width=«24» height=«21» src=«ref-1_1338961434-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1785">, таке, що<img border=«0» width=«107» height=«21» src=«ref-1_1338962605-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1786">

Покладемо <img border=«0» width=«59» height=«19» src=«ref-1_1338962814-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1787">, <img border=«0» width=«63» height=«19» src=«ref-1_1338962960-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1788"> і <img border=«0» width=«52» height=«24» src=«ref-1_1338963120-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1789"> для <img border=«0» width=«53» height=«19» src=«ref-1_1338924904-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1790">. Тоді<img border=«0» width=«223» height=«23» src=«ref-1_1338963401-376.coolpic» v:shapes="_x0000_i1791"> Крім того,<img border=«0» width=«111» height=«19» src=«ref-1_1338963777-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1792">радикальне розкладання. Ми можемо повторити попередні міркування й одержати розкладання<img border=«0» width=«120» height=«21» src=«ref-1_1338963996-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1793">у якому<img border=«0» width=«115» height=«23» src=«ref-1_1338964221-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1794">де <img border=«0» width=«19» height=«24» src=«ref-1_1338964438-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1795">  — регулярна площина й <img border=«0» width=«47» height=«24» src=«ref-1_1338964542-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1796"> для <img border=«0» width=«53» height=«19» src=«ref-1_1338924904-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1797">. За допомогою знайдемо ізометрію простору <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338961544-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1798"> на <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1338964909-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1799">, погоджену з <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338888868-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1800"> на кожному <img border=«0» width=«16» height=«24» src=«ref-1_1338965094-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1801">, а отже, на <img border=«0» width=«39» height=«19» src=«ref-1_1338961037-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1802">. Крім того, дане <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338888868-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1803"> відображає <img border=«0» width=«19» height=«19» src=«ref-1_1338888590-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1804"> на <img border=«0» width=«23» height=«19» src=«ref-1_1338965502-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i1805">. Виходить, існує продовження ізометрії <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338888868-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1806"> до ізометрії простору <img border=«0» width=«48» height=«19» src=«ref-1_1338965699-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1807"> на <img border=«0» width=«55» height=«19» src=«ref-1_1338965835-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1808">.

Далі <img border=«0» width=«100» height=«19» src=«ref-1_1338965982-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1809">, тому що <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1810"> ізометричне <img border=«0» width=«19» height=«19» src=«ref-1_1338893242-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1811">, тому <img border=«0» width=«99» height=«19» src=«ref-1_1338966379-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1812"> й, отже, по теоремі існує ізометрія простору <img border=«0» width=«15» height=«19» src=«ref-1_1338864736-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1813"> на <img border=«0» width=«19» height=«19» src=«ref-1_1338966676-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1814">. Таким чином, існує продовження ізометрії <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338888868-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1815"> до ізометрії простору <img border=«0» width=«113» height=«21» src=«ref-1_1338966863-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1816"> на <img border=«0» width=«128» height=«21» src=«ref-1_1338967091-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1817">.


    продолжение
--PAGE_BREAK--5.Проективні перетворення


Геометричне перетворення <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338876452-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1818"> абстрактного векторного простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1819"> на абстрактний векторний простір <img border=«0» width=«16» height=«23» src=«ref-1_1338967516-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1820">  — це біекція <img border=«0» width=«56» height=«23» src=«ref-1_1338967615-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1821"> з наступною властивістю: підмножина <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1338855323-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1822"> простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1823"> тоді й тільки тоді є підпростором в <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1824">, коли <img border=«0» width=«27» height=«21» src=«ref-1_1338968067-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1825">  — підпростір в.<img border=«0» width=«16» height=«23» src=«ref-1_1338967516-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1826">

Очевидно, що композиція геометричних перетворень — геометричне перетворення й перетворення, зворотне до геометричного, — також геометричне. Геометричне перетворення зберігає включення, об'єднання й перетинання підпросторів, а також ряди Жордана — і Гельдера, що тому справедливо випливає пропозиція.

Пропозиція 25Якщо <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338876452-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1827">  — геометричне перетворення простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1828"> на <img border=«0» width=«16» height=«23» src=«ref-1_1338967516-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1829">, те для будь-яких підпросторів <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338864643-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1830">, <img border=«0» width=«19» height=«19» src=«ref-1_1338888590-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1831"> простори <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1832"> виконуються співвідношення
<img border=«0» width=«309» height=«21» src=«ref-1_1338968845-485.coolpic» v:shapes="_x0000_i1833">

<img border=«0» width=«131» height=«25» src=«ref-1_1338969330-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1834">

<img border=«0» width=«119» height=«23» src=«ref-1_1338969607-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1835">
Під проективним простором <img border=«0» width=«37» height=«21» src=«ref-1_1338969833-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1836"> простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1837"> ми будемо розуміти множину всіх підпросторів простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1838">. Таким чином, <img border=«0» width=«37» height=«21» src=«ref-1_1338969833-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1839"> складається з елементів множини <img border=«0» width=«48» height=«21» src=«ref-1_1338970279-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1840">, що є підпросторами в <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1841">; <img border=«0» width=«37» height=«21» src=«ref-1_1338969833-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1842">. Будь-які два елементи <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338864643-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1843"> й <img border=«0» width=«19» height=«19» src=«ref-1_1338888590-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1844"> з <img border=«0» width=«37» height=«21» src=«ref-1_1338969833-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1845"> мають об'єднання й перетинання, а саме <img border=«0» width=«45» height=«19» src=«ref-1_1338970972-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1846"> й <img border=«0» width=«48» height=«19» src=«ref-1_1338971106-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1847">, так що <img border=«0» width=«37» height=«21» src=«ref-1_1338969833-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1848">  — ґрати; вона має найбільший елемент <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1849"> і найменший елемент <img border=«0» width=«13» height=«19» src=«ref-1_1338933667-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1850">. Кожному елементу <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338864643-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1851"> простору <img border=«0» width=«37» height=«21» src=«ref-1_1338969833-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1852"> зіставляється число <img border=«0» width=«52» height=«21» src=«ref-1_1338971775-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1853">. Кожне <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338864643-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1854"> з <img border=«0» width=«37» height=«21» src=«ref-1_1338969833-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1855"> володіє поруч Жордана — Гельдера <img border=«0» width=«76» height=«19» src=«ref-1_1338972149-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i1856">, і всі такі ряди мають довжину <img border=«0» width=«71» height=«21» src=«ref-1_1338972301-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1857">. Покладемо
<img border=«0» width=«208» height=«24» src=«ref-1_1338972478-379.coolpic» v:shapes="_x0000_i1858">
і назвемо <img border=«0» width=«43» height=«24» src=«ref-1_1338972857-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1859">, <img border=«0» width=«45» height=«24» src=«ref-1_1338973001-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1860">, <img border=«0» width=«53» height=«24» src=«ref-1_1338973150-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1861"> множинами прямих, площин і гіперплощин простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1862"> відповідно.

Проективність <img border=«0» width=«15» height=«15» src=«ref-1_1338855608-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1863"> простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1864"> на <img border=«0» width=«16» height=«23» src=«ref-1_1338967516-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1865">  — це біекция <img border=«0» width=«83» height=«23» src=«ref-1_1338973685-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1866"> з наступною властивістю: для будь-яких <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338864643-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1867">, <img border=«0» width=«19» height=«19» src=«ref-1_1338888590-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1868"> із <img border=«0» width=«37» height=«21» src=«ref-1_1338969833-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1869"> включення <img border=«0» width=«49» height=«20» src=«ref-1_1338974233-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1870"> має місце тоді й тільки тоді, коли <img border=«0» width=«68» height=«20» src=«ref-1_1338974375-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1871">.

Очевидно, що композиція проективностей — проективність і відображення, зворотне до проективності, — також проективність. Проективність простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1872"> на <img border=«0» width=«16» height=«23» src=«ref-1_1338967516-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1873"> зберігає порядок, об'єднання, перетинання й ряди Жордана — Гельдера для елементів просторів <img border=«0» width=«37» height=«21» src=«ref-1_1338969833-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1874"> і <img border=«0» width=«40» height=«23» src=«ref-1_1338974869-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1875">, що тому справедливо випливає пропозиція.

Пропозиція 26Якщо <img border=«0» width=«101» height=«23» src=«ref-1_1338975006-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1876">  — проективність простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1877"> на <img border=«0» width=«16» height=«23» src=«ref-1_1338967516-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1878">, те для будь-яких елементів <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338864643-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1879">, <img border=«0» width=«19» height=«19» src=«ref-1_1338888590-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1880"> з <img border=«0» width=«37» height=«21» src=«ref-1_1338969833-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1881"> виконуються співвідношення
<img border=«0» width=«308» height=«21» src=«ref-1_1338975769-482.coolpic» v:shapes="_x0000_i1882">

<img border=«0» width=«129» height=«25» src=«ref-1_1338976251-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1883">

<img border=«0» width=«117» height=«23» src=«ref-1_1338976520-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1884">
Зокрема, <img border=«0» width=«15» height=«15» src=«ref-1_1338855608-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1885"> відображає <img border=«0» width=«43» height=«24» src=«ref-1_1338972857-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1886"> на <img border=«0» width=«44» height=«24» src=«ref-1_1338976975-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1887"> й визначається своїми значеннями на <img border=«0» width=«43» height=«24» src=«ref-1_1338972857-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1888">, тобто на прямих.

Якщо <img border=«0» width=«56» height=«23» src=«ref-1_1338967615-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1889">  — геометричне перетворення, то відображення <img border=«0» width=«103» height=«23» src=«ref-1_1338977439-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1890">, отримане зі <img border=«0» width=«120» height=«23» src=«ref-1_1338977705-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1891"> звуженням, є проективністю простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1892"> на <img border=«0» width=«16» height=«23» src=«ref-1_1338967516-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1893">. Усяка проективність <img border=«0» width=«101» height=«23» src=«ref-1_1338975006-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1894">, що має вид <img border=«0» width=«43» height=«20» src=«ref-1_1338978408-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1895"> для деякого такого <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338876452-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1896">, буде називатися проективним геометричним перетворенням простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1897"> на <img border=«0» width=«16» height=«23» src=«ref-1_1338967516-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1898">. Чортові ми будемо завжди використовувати для позначення проективного геометричного перетворення <img border=«0» width=«16» height=«20» src=«ref-1_1338978814-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1899">, отриманого описаним способом з геометричного перетворення <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338876452-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1900">. Таким чином, <img border=«0» width=«16» height=«20» src=«ref-1_1338978814-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1901"> переводить підпростір <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338864643-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1902"> простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1903">, тобто крапку <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338864643-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1904"> з <img border=«0» width=«37» height=«21» src=«ref-1_1338969833-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1905">, у підпростір <img border=«0» width=«28» height=«21» src=«ref-1_1338979498-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1906"> простору <img border=«0» width=«16» height=«23» src=«ref-1_1338967516-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1907">. Маємо
<img border=«0» width=«181» height=«28» src=«ref-1_1338979709-372.coolpic» v:shapes="_x0000_i1908">
Зокрема, композиція проективних геометричних перетворень і перетворення, зворотне до проективного геометричного, самі є проективними геометричними.

Геометричне перетворення простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1909"> є по визначенню геометричне перетворення простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1910"> на себе. Множина геометричних перетворень простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1911"> є підгрупою групи підстановок множини <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1912">. Вона буде позначатися через <img border=«0» width=«52» height=«24» src=«ref-1_1338980453-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1913"> і називатися загальною геометричною групою простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1914">. Під групою геометричних перетворень простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1915"> ми будемо розуміти довільну підгрупу групи <img border=«0» width=«52» height=«24» src=«ref-1_1338980453-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1916">. Загальна лінійна група <img border=«0» width=«53» height=«24» src=«ref-1_1338890810-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1917"> й спеціальна лінійна група <img border=«0» width=«219» height=«24» src=«ref-1_1338981106-379.coolpic» v:shapes="_x0000_i1918"> є, отже, групами геометричних перетворень. Під групою лінійних перетворень будемо розуміти будь-яку підгрупу групи <img border=«0» width=«53» height=«24» src=«ref-1_1338890810-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1919">.

Проективність простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1920"> є по визначенню проективність цього простору на себе. Множина проективностей простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1921">  — підгрупа групи підстановок множини <img border=«0» width=«37» height=«21» src=«ref-1_1338969833-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1922">, що ми будемо називати загальною групою проективностей простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1923">. Застосування риси індуцирує гомоморфізм
<img border=«0» width=«600» height=«26» src=«ref-1_1338982051-874.coolpic» v:shapes="_x0000_i1924">
Іноді ми будемо використовувати <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338961544-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1925"> замість <img border=«0» width=«11» height=«20» src=«ref-1_1338983016-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1926">, думаючи<img border=«0» width=«61» height=«25» src=«ref-1_1338983089-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1927"> для образа <img border=«0» width=«19» height=«21» src=«ref-1_1338983245-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1928"> підмножини <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1338855323-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1929"> із <img border=«0» width=«37» height=«21» src=«ref-1_1338983442-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1930"> при <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338961544-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1931">. Зокрема, <img border=«0» width=«64» height=«24» src=«ref-1_1338983664-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1932"> і <img border=«0» width=«60» height=«24» src=«ref-1_1338983840-173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1933">  — підгрупи групи проективностей простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1934">, вони називаються проективною загальною лінійною групою й проективною спеціальною лінійною групою простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1935">.

Було доведено, що <img border=«0» width=«63» height=«24» src=«ref-1_1338984199-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1936"> збігається із групою всіх проективностей простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1937">, тому ми використовуємо це позначення для обох груп. Під групою проективностей простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1938"> будемо розуміти будь-яку підгрупу групи <img border=«0» width=«63» height=«24» src=«ref-1_1338984199-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1939">, а під проективною групою лінійних перетворень простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1940">  — будь-яку підгрупу групи <img border=«0» width=«64» height=«24» src=«ref-1_1338983664-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1941">.

Для кожного ненульового елемента <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338886967-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1942"> з <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1338885069-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1943"> визначимо лінійне перетворення <img border=«0» width=«16» height=«24» src=«ref-1_1338985177-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1944">, думаючи<img border=«0» width=«117» height=«24» src=«ref-1_1338985269-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1945">Ясно, що <img border=«0» width=«81» height=«24» src=«ref-1_1338985477-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1946">. Перетворення <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338888868-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1947"> з <img border=«0» width=«53» height=«24» src=«ref-1_1338890810-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1948"> виду <img border=«0» width=«44» height=«24» src=«ref-1_1338985920-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1949"> для якогось <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338886967-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1950"> будемо називати розтяганням простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1951">.

Множина розтягань простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1952"> є нормальною підгрупою групи <img border=«0» width=«53» height=«24» src=«ref-1_1338890810-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1953">, що буде позначатися через <img border=«0» width=«52» height=«24» src=«ref-1_1338986472-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1954">. Очевидно, має місце ізоморфізм <img border=«0» width=«52» height=«25» src=«ref-1_1338986630-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1955">. Мають місце наступні дві пропозиції.

Пропозиція 27Елемент <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338888868-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1956"> групи <img border=«0» width=«53» height=«24» src=«ref-1_1338890810-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1957"> тоді й тільки тоді належить групі <img border=«0» width=«52» height=«24» src=«ref-1_1338986472-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1958">, коли <img border=«0» width=«49» height=«19» src=«ref-1_1338987216-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1959"> для всіх прямих <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338987343-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1960"> з <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1961">. Зокрема,
<img border=«0» width=«280» height=«28» src=«ref-1_1338987524-486.coolpic» v:shapes="_x0000_i1962">

<img border=«0» width=«265» height=«24» src=«ref-1_1338988010-451.coolpic» v:shapes="_x0000_i1963">
Пропозиція. 28Централізатор у <img border=«0» width=«53» height=«23» src=«ref-1_1338988461-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1964"> будь-якого елемента з <img border=«0» width=«53» height=«23» src=«ref-1_1338988461-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1965">, що не є розтяганням, абелев.

Нехай тепер <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1966">  — регулярний знакозмінний простір. Тоді <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338891153-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1967"> буде, звичайно, групою геометричних перетворень простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1968">. Під групою симплектичних перетворень знакозмінного простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1969"> ми будемо розуміти довільну підгрупу з <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338891153-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1970">. Група <img border=«0» width=«60» height=«24» src=«ref-1_1338989376-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1971">, одержувана із <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338891153-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1972"> застосуванням гомоморфізму <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338961544-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1973">, називається проективної симплектичною групою знакозмінного простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1974">. Під проективною групою симплектичних перетворень простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1975"> будемо розуміти будь-яку підгрупу групи <img border=«0» width=«60» height=«24» src=«ref-1_1338989376-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1976">.

Пропозиція 29Якщо <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1977">  — ненульовий регулярний знакозмінний простір, те
<img border=«0» width=«169» height=«24» src=«ref-1_1338990253-324.coolpic» v:shapes="_x0000_i1978">

<img border=«0» width=«123» height=«28» src=«ref-1_1338990577-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1979">

<img border=«0» width=«108» height=«24» src=«ref-1_1338990853-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1980">
Доказ є легкою вправою й тому опускається.

Пропозиція 30Якщо <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1981">  — регулярний знакозмінний простір і <img border=«0» width=«67» height=«19» src=«ref-1_1338991195-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1982">, те <img border=«0» width=«112» height=«23» src=«ref-1_1338991351-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1983">.

Доказ. Взявши симплектичну базу простору <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338900936-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1984">, за допомогою без праці переконуємося, що елемент <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338888868-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1985"> із <img border=«0» width=«53» height=«23» src=«ref-1_1338988461-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1986"> тоді й тільки тоді лежить в <img border=«0» width=«49» height=«23» src=«ref-1_1338991939-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1987">, коли <img border=«0» width=«60» height=«19» src=«ref-1_1338992097-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1988">.

Полярністю абстрактного векторного простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1989"> над полем <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1338885069-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1990"> називається біекция <img border=«0» width=«80» height=«21» src=«ref-1_1338992426-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1991">, <img border=«0» width=«59» height=«21» src=«ref-1_1338992653-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1992">, така, що1) <img border=«0» width=«131» height=«23» src=«ref-1_1338992808-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1993">,2) <img border=«0» width=«59» height=«21» src=«ref-1_1338993071-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1994"> для всіх <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338864643-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1995">, <img border=«0» width=«19» height=«19» src=«ref-1_1338888590-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1996"> з <img border=«0» width=«37» height=«21» src=«ref-1_1338969833-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1997">. Якщо <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1998">  — регулярний знакозмінний простір над <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1338885069-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1999">, те, мабуть, <img border=«0» width=«59» height=«21» src=«ref-1_1338993731-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i2000">  — полярність; вона називається полярністю, певною знакозмінною формою <img border=«0» width=«13» height=«17» src=«ref-1_1338885160-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i2001">, наявної на <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2002">.

Пропозиція 31Нехай <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2003">  — абстрактний векторний простір над полем <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1338885069-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2004"> і <img border=«0» width=«37» height=«19» src=«ref-1_1338994239-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i2005">. Припустимо, що <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2006">  — регулярний знакозмінний простір щодо кожної із двох знакозмінних форм <img border=«0» width=«16» height=«23» src=«ref-1_1338994453-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2007"> і <img border=«0» width=«19» height=«23» src=«ref-1_1338994549-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i2008">. Форми <img border=«0» width=«16» height=«23» src=«ref-1_1338994453-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2009"> й <img border=«0» width=«19» height=«23» src=«ref-1_1338994549-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i2010"> тоді й тільки тоді визначають ту саму полярність, коли найдеться такий ненульовий елемент <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338886967-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2011"> із <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1338885069-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2012">, що <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338995020-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i2013">.

Доказ. Якщо <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338995020-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i2014">, то твердження очевидно. Залишається довести зворотне твердження. Тому що <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2015"> регулярно відносно <img border=«0» width=«16» height=«23» src=«ref-1_1338994453-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2016"> й <img border=«0» width=«19» height=«23» src=«ref-1_1338994549-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i2017">, те через і асоційовані лінійні відображення <img border=«0» width=«12» height=«23» src=«ref-1_1338995601-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i2018"> й <img border=«0» width=«15» height=«23» src=«ref-1_1338995693-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i2019"> біективні, тобто <img border=«0» width=«59» height=«23» src=«ref-1_1338995787-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i2020"> й <img border=«0» width=«59» height=«23» src=«ref-1_1338995787-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i2021">. З і припущення про те, що <img border=«0» width=«16» height=«23» src=«ref-1_1338994453-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2022"> й <img border=«0» width=«19» height=«23» src=«ref-1_1338994549-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i2023"> визначають ту саму полярність, треба, що <img border=«0» width=«88» height=«23» src=«ref-1_1338996321-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i2024"> для всіх підпросторів <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338864643-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2025"> з <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2026">. Отже, <img border=«0» width=«28» height=«24» src=«ref-1_1338996716-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i2027">  — елемент групи <img border=«0» width=«53» height=«24» src=«ref-1_1338890810-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i2028">, щодо якого інваріантні всі підпростори з <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2029">, Зокрема, щодо нього інваріантні всі прямі з <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2030">. Виходить, через <img border=«0» width=«92» height=«25» src=«ref-1_1338997183-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i2031">. Інакше кажучи, найдеться такий ненульовий елемент <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338886967-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2032"> із <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1338885069-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2033">, що <img border=«0» width=«88» height=«23» src=«ref-1_1338997595-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i2034"> для всіх <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1338856670-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i2035"> з <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2036">. Але тоді <img border=«0» width=«127» height=«23» src=«ref-1_1338997982-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i2037"> для всіх <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1338856670-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i2038"> з <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2039">. Тому <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338995020-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i2040">.


    продолжение
--PAGE_BREAK--6. Структурні теореми. Порядки симплектичних груп


Пропозиція 32Якщо поле <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1338885069-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2041"> нескінченно, те групи <img border=«0» width=«27» height=«24» src=«ref-1_1338998655-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i2042">, <img border=«0» width=«36» height=«24» src=«ref-1_1338998773-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i2043"> над <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1338885069-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2044"> також нескінченні.

Доказ. Число трансвекцій <img border=«0» width=«28» height=«25» src=«ref-1_1338999000-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i2045"> з <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338891153-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i2046"> нескінченно.

Теорема 33Порядок групи <img border=«0» width=«53» height=«25» src=«ref-1_1338999267-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i2047"> дорівнює
<img border=«0» width=«113» height=«45» src=«ref-1_1338999437-361.coolpic» v:shapes="_x0000_i2048">
Порядок групи <img border=«0» width=«64» height=«25» src=«ref-1_1338999798-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i2049"> дорівнює
<img border=«0» width=«117» height=«67» src=«ref-1_1338999986-473.coolpic» v:shapes="_x0000_i2050">
Доказ. Друге твердження треба з першого, тому що група <img border=«0» width=«61» height=«24» src=«ref-1_1339000459-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i2051"> ізоморфна групі <img border=«0» width=«84» height=«24» src=«ref-1_1339000636-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i2052">. Доведемо перше твердження індукцією по <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1338857384-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i2053">. Якщо <img border=«0» width=«37» height=«19» src=«ref-1_1339000932-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i2054">, то <img border=«0» width=«67» height=«23» src=«ref-1_1339001047-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i2055"> й можна вважати <img border=«0» width=«37» height=«19» src=«ref-1_1339001217-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i2056">.

Під парою будемо розуміти впорядковану пару векторів <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1338856670-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i2057">, <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338886702-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2058">, таку, що <img border=«0» width=«69» height=«21» src=«ref-1_1338944542-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i2059">. Якщо <img border=«0» width=«39» height=«21» src=«ref-1_1339001680-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i2060"> фіксовано, то існує єдина пара <img border=«0» width=«39» height=«21» src=«ref-1_1339001809-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i2061">, де <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338886702-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2062"> належить даній прямій, не ортогональної к.<img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1338856670-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i2063"> Тому число пар з <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1338856670-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i2064"> на першому місці дорівнює числу прямих, що не лежать в <img border=«0» width=«39» height=«24» src=«ref-1_1339002195-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i2065">, тобто
<img border=«0» width=«104» height=«34» src=«ref-1_1339002330-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i2066">
Таким чином, є <img border=«0» width=«28» height=«24» src=«ref-1_1339002623-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i2067"> пара з <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1338856670-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i2068"> на першому місці, а всього <img border=«0» width=«77» height=«24» src=«ref-1_1339002826-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i2069"> пара.

Зафіксуємо яку-небудь пару <img border=«0» width=«35» height=«21» src=«ref-1_1338895906-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i2070">. По теоремі Витта для кожної пари <img border=«0» width=«39» height=«21» src=«ref-1_1339001809-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i2071"> найдеться принаймні один елемент групи <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338891153-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i2072">, що переводить <img border=«0» width=«35» height=«21» src=«ref-1_1338895906-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i2073"> в. <img border=«0» width=«39» height=«21» src=«ref-1_1339001809-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i2074"> Отже, є точно
<img border=«0» width=«144» height=«25» src=«ref-1_1339003675-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i2075">
елементів з <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338891153-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i2076">, що переводять пари <img border=«0» width=«35» height=«21» src=«ref-1_1338895906-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i2077"> в парі <img border=«0» width=«39» height=«21» src=«ref-1_1339001809-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i2078">. По припущенню індукції це число дорівнює
<img border=«0» width=«95» height=«35» src=«ref-1_1339004386-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i2079">
Далі, кожний елемент групи <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338891153-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i2080"> переводить <img border=«0» width=«35» height=«21» src=«ref-1_1338895906-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i2081"> точно в одну пару. Отже, група <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338891153-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i2082"> містить
<img border=«0» width=«315» height=«45» src=«ref-1_1339005122-728.coolpic» v:shapes="_x0000_i2083">
елементів, що й було потрібно довести.

Пропозиція 34Якщо <img border=«0» width=«47» height=«25» src=«ref-1_1339005850-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i2084">, те число максимальних цілком вырожденных підпросторів простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2085"> дорівнює
<img border=«0» width=«72» height=«45» src=«ref-1_1339006084-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i2086">
Доказ.1) Покажемо спочатку, що підгрупа <img border=«0» width=«25» height=«23» src=«ref-1_1339006367-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i2087"> групи <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338891153-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i2088">, що залишає на місці довільне максимальне цілком вироджений підпростір <img border=«0» width=«21» height=«17» src=«ref-1_1338861272-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i2089"> простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2090">, має порядок
<img border=«0» width=«108» height=«45» src=«ref-1_1339006834-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i2091">
Щоб переконатися в цьому, зафіксуємо симплектичну базу
<img border=«0» width=«177» height=«24» src=«ref-1_1338957626-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i2092">
простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2093">, у якій вектори <img border=«0» width=«16» height=«24» src=«ref-1_1338965094-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2094"> породжують <img border=«0» width=«21» height=«17» src=«ref-1_1338861272-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i2095">. Із треба, що матриця довільного перетворення <img border=«0» width=«52» height=«23» src=«ref-1_1339007762-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i2096"> має вигляд
<img border=«0» width=«128» height=«48» src=«ref-1_1339007911-429.coolpic» v:shapes="_x0000_i2097">
де <img border=«0» width=«88» height=«24» src=«ref-1_1339008340-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i2098">, а <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338854170-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2099">  — симетрична матриця порядку <img border=«0» width=«25» height=«19» src=«ref-1_1339008638-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i2100"> над <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1338885069-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2101">; ці <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338958922-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2102"> й <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338854170-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2103"> визначаються перетворенням <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338888868-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2104"> однозначно. Крім того, будь-які такі <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338958922-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2105"> й <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338854170-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2106"> відповідають якомусь <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338888868-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2107"> із <img border=«0» width=«25» height=«23» src=«ref-1_1339006367-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i2108">. Наше твердження виходить тепер, якщо помножити порядок групи <img border=«0» width=«64» height=«25» src=«ref-1_1339009493-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i2109"> на число симетричних матриць порядку <img border=«0» width=«25» height=«19» src=«ref-1_1339008638-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i2110"> над полем <img border=«0» width=«17» height=«25» src=«ref-1_1339009787-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i2111">, тобто <img border=«0» width=«68» height=«24» src=«ref-1_1339009889-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i2112">.

2) Зафіксуємо максимальне цілком вироджений підпростір <img border=«0» width=«21» height=«17» src=«ref-1_1338861272-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i2113"> простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2114">. По теоремі Витта всі максимальні цілком выроджені підпростору простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2115"> даються формулою <img border=«0» width=«29» height=«19» src=«ref-1_1339010366-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i2116">, де <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338888868-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2117"> пробігає групу <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338891153-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i2118">. Із зауваження 1) легко треба, що в цьому процесі кожне максимальне цілком вироджений підпростір повторюється точно
<img border=«0» width=«105» height=«45» src=«ref-1_1339010729-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i2119">
раз, тому загальне число таких підпросторів дорівнює порядку групи <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338891153-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i2120">, діленому на зазначену величину. Очевидно, це і є необхідне число.

Пропозиція 35Якщо <img border=«0» width=«47» height=«25» src=«ref-1_1339005850-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i2121">, те число регулярних площин у просторі <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2122"> дорівнює
<img border=«0» width=«87» height=«51» src=«ref-1_1339011462-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i2123">
Доказ. Надходячи, як при доказі твердження , переконаємося, що <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2124"> повинне містити
<img border=«0» width=«125» height=«45» src=«ref-1_1339011874-390.coolpic» v:shapes="_x0000_i2125">
регулярних площин. Це число збігається із зазначеним вище (застосувати теорему ).

Пропозиція 36Група <img border=«0» width=«53» height=«23» src=«ref-1_1339012264-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i2126"> ізоморфна симетричній групі <img border=«0» width=«20» height=«24» src=«ref-1_1339012428-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i2127">.

Доказ. Будемо називати конфігурацією довільна підмножина <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338958922-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2128"> з <img border=«0» width=«12» height=«19» src=«ref-1_1339012624-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2129"> елементів в <img border=«0» width=«13» height=«17» src=«ref-1_1339012710-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2130">  — мірному регулярному знакозмінному просторі <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2131"> над полем <img border=«0» width=«17» height=«23» src=«ref-1_1339012891-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i2132">, що володіє тим властивістю, що будь-які два його різних елементи не ортогональні. Кожний ненульовий вектор <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1338856670-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i2133"> з <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2134"> належить рівно двом конфігураціям <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338958922-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2135"> і <img border=«0» width=«20» height=«19» src=«ref-1_1339013259-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i2136">, так що вони перетинаються по <img border=«0» width=«25» height=«21» src=«ref-1_1339013358-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i2137">. Щоб переконатися в цьому, візьмемо симплектическую базу <img border=«0» width=«93» height=«23» src=«ref-1_1339013466-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i2138"> простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2139">, у якій <img border=«0» width=«41» height=«23» src=«ref-1_1339013767-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i2140">. Ясно, що
<img border=«0» width=«304» height=«23» src=«ref-1_1339013885-453.coolpic» v:shapes="_x0000_i2141">

і

<img border=«0» width=«251» height=«23» src=«ref-1_1339014338-394.coolpic» v:shapes="_x0000_i2142">
дві різні конфігурації, що перетинаються по множині <img border=«0» width=«25» height=«21» src=«ref-1_1339013358-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i2143">. Легка перевірка перебором показує, що інших конфігурацій, що містять елемент <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1338856670-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i2144">, немає. Якщо тепер виписати всі різні конфігурації <img border=«0» width=«63» height=«25» src=«ref-1_1339014924-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i2145"> в просторі <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2146">, то кожний вектор <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1338856670-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i2147"> із <img border=«0» width=«16» height=«21» src=«ref-1_1339015258-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2148"> з'явиться точно у двох з них, звідки <img border=«0» width=«67» height=«21» src=«ref-1_1339015354-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i2149"> й <img border=«0» width=«37» height=«21» src=«ref-1_1339015510-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i2150">. Нехай <img border=«0» width=«101» height=«24» src=«ref-1_1339015630-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i2151">  — Множина всіх конфігурацій в.<img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2152">

Якщо <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338888868-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2153">  — довільний елемент із <img border=«0» width=«49» height=«23» src=«ref-1_1339016014-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i2154">, то <img border=«0» width=«25» height=«19» src=«ref-1_1339016171-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i2155"> тоді й тільки тоді є конфігурацією, коли <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338958922-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2156">  — конфігурація, тому <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338888868-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2157"> індуцирує відображення <img border=«0» width=«68» height=«19» src=«ref-1_1339016457-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i2158">. Ясно, що це відображення на й, виходить, перестановка на <img border=«0» width=«15» height=«16» src=«ref-1_1339016604-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2159">. Очевидно, що <img border=«0» width=«51» height=«19» src=«ref-1_1339016695-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i2160"> є гомоморфне відображення <img border=«0» width=«88» height=«24» src=«ref-1_1339016827-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i2161">. Щоб знайти його ядро, візьмемо в <img border=«0» width=«49» height=«23» src=«ref-1_1339016014-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i2162"> елемент <img border=«0» width=«37» height=«19» src=«ref-1_1339017194-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i2163">. Нехай <img border=«0» width=«39» height=«21» src=«ref-1_1339001680-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i2164"> такий, що <img border=«0» width=«45» height=«16» src=«ref-1_1339017438-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i2165">. Нехай <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338958922-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2166"> і <img border=«0» width=«20» height=«19» src=«ref-1_1339013259-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i2167">  — дві конфігурації, що містять <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1338856670-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i2168">. Тоді <img border=«0» width=«21» height=«15» src=«ref-1_1339017834-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2169"> не належить однієї з них, скажемо, <img border=«0» width=«47» height=«19» src=«ref-1_1339017930-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i2170">. Звідси <img border=«0» width=«52» height=«19» src=«ref-1_1339018069-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i2171"> й <img border=«0» width=«37» height=«19» src=«ref-1_1339018206-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i2172">. Інакше кажучи, ядро тривіально, і ми маємо інективный гомоморфізм <img border=«0» width=«72» height=«24» src=«ref-1_1339018324-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2173">. По теоремі група <img border=«0» width=«49» height=«23» src=«ref-1_1339016014-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i2174"> складається з <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1339018679-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i2175"> елементів, тому <img border=«0» width=«71» height=«24» src=«ref-1_1339018773-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i2176">.


    продолжение
--PAGE_BREAK--7. Центри


Помітимо, що група <img border=«0» width=«60» height=«24» src=«ref-1_1338989376-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i2177"> неабелева. Щоб переконатися в цьому, досить взяти нетривіальні проективні трансвекції із <img border=«0» width=«60» height=«24» src=«ref-1_1338989376-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i2178"> із прямими. Отже, група <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338891153-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i2179"> також неабелева.

Пропозиція 37Група <img border=«0» width=«60» height=«24» src=«ref-1_1338989376-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i2180"> має тривіальний центр, а <img border=«0» width=«124» height=«24» src=«ref-1_1339019648-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i2181">.

Доказ. Розглянемо довільний елемент <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338888868-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2182"> із центра групи <img border=«0» width=«60» height=«24» src=«ref-1_1338989376-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i2183">. Нехай <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338987343-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2184">  — довільна пряма з <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2185">. Нехай <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1339020353-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i2186">  — проективна трансвекція із <img border=«0» width=«60» height=«24» src=«ref-1_1338989376-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i2187"> із прямій <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338987343-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2188">. Тоді прямій перетворення <img border=«0» width=«43» height=«21» src=«ref-1_1339020700-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i2189"> є <img border=«0» width=«23» height=«19» src=«ref-1_1339020832-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i2190">. Але <img border=«0» width=«68» height=«21» src=«ref-1_1339020934-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i2191">, тому що <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338888868-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2192"> лежить у центрі. Отже, <img border=«0» width=«49» height=«19» src=«ref-1_1338987216-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i2193"> для всіх <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338987343-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2194">. Тому <img border=«0» width=«37» height=«19» src=«ref-1_1339021394-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i2195"> й, виходить, група <img border=«0» width=«60» height=«24» src=«ref-1_1338989376-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i2196"> дійсно не має центра. Друге твердження треба з першого, якщо застосувати гомоморфізм <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338961544-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2197">.


8. Комутанти


Пропозиція 38Якщо <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338987343-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2198">, <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1339021861-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2199">  — довільні прямі з <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2200">, та множина трансвекцій із <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338891153-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i2201"> із прямої <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338987343-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2202"> й множину трансвекцій з прямій <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1339021861-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2203"> сполучені відносно <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338891153-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i2204">.

Доказ. По теоремі Витта в групі <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338891153-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i2205"> існує такий елемент <img border=«0» width=«15» height=«16» src=«ref-1_1339022705-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2206">, що <img border=«0» width=«49» height=«17» src=«ref-1_1339022794-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i2207">. Тоді сполучення елементом <img border=«0» width=«15» height=«16» src=«ref-1_1339022705-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2208"> відображає множина трансвекцій із <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338891153-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i2209"> із прямій <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338987343-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2210"> на множину трансвекцій із <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338891153-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i2211"> із прямій <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1339021861-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2212">.

Приклад 39Дві трансвекції з <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338891153-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i2213"> не обов'язково сполучені в. <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338891153-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i2214"> Наприклад, трансвекції з прямій <img border=«0» width=«24» height=«19» src=«ref-1_1339023828-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i2215">, сполучені з <img border=«0» width=«27» height=«25» src=«ref-1_1339023931-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i2216">, мають вигляд <img border=«0» width=«41» height=«29» src=«ref-1_1339024038-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i2217">, де <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338886967-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2218"> пробігає <img border=«0» width=«17» height=«20» src=«ref-1_1339024266-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2219">.

Зауваження 40Нехай <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338900936-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2220">  — симплектическая база простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2221">. Якщо <img border=«0» width=«15» height=«19» src=«ref-1_1338864736-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2222">  — довільна симетрична матриця порядку <img border=«0» width=«19» height=«19» src=«ref-1_1339024636-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2223">2 над <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1338885069-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2224"> і <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338888868-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2225">  — лінійне перетворення, певне матрицею<img border=«0» width=«73» height=«48» src=«ref-1_1339024912-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i2226"> те ми знаємо, що <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338888868-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2227"> належить групі <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338891153-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i2228">. Якщо перетворити <img border=«0» width=«15» height=«19» src=«ref-1_1338864736-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2229"> в <img border=«0» width=«19» height=«19» src=«ref-1_1338966676-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i2230">, роблячи 1) додаток кратного одного стовпця до іншого з наступним аналогічним перетворенням відповідних рядків або 2) перестановку двох стовпців з наступною перестановкою відповідних рядків, то лінійне перетворення <img border=«0» width=«20» height=«19» src=«ref-1_1339025623-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2231"> з матрицею<img border=«0» width=«77» height=«48» src=«ref-1_1339025719-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i2232">знову буде належати групі <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338891153-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i2233">, тому що <img border=«0» width=«19» height=«19» src=«ref-1_1338966676-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i2234"> теж буде симетричною. У дійсності <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338888868-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2235"> й <img border=«0» width=«20» height=«19» src=«ref-1_1339025623-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2236"> сполучені в. <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338891153-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i2237"> Щоб переконатися в цьому, помітимо, що <img border=«0» width=«67» height=«21» src=«ref-1_1339026598-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i2238"> при підходящій матриці <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338869395-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2239"> з <img border=«0» width=«61» height=«24» src=«ref-1_1339026856-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i2240">. Перетворення <img border=«0» width=«15» height=«16» src=«ref-1_1339022705-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2241">, певне матрицею <img border=«0» width=«88» height=«48» src=«ref-1_1339027115-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i2242"> належить групі <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338891153-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i2243">, і <img border=«0» width=«75» height=«21» src=«ref-1_1339027570-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i2244">, тому що <img border=«0» width=«265» height=«55» src=«ref-1_1339027738-801.coolpic» v:shapes="_x0000_i2245">.

Пропозицію 41Припустимо, що <img border=«0» width=«37» height=«19» src=«ref-1_1339001217-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i2246">, <img border=«0» width=«45» height=«23» src=«ref-1_1339028659-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i2247">, <img border=«0» width=«17» height=«24» src=«ref-1_1339028795-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i2248"> і нехай <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2249">  — нормальна підгрупа групи <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338891153-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i2250">, що містить регулярний елемент <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338888868-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2251"> із відрахуванням <img border=«0» width=«13» height=«17» src=«ref-1_1338895500-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2252">, у вигляді добутку двох трансвекцій з <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338891153-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i2253">. Тоді <img border=«0» width=«79» height=«24» src=«ref-1_1339029480-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i2254">.

Доказ. Маємо розкладання <img border=«0» width=«72» height=«19» src=«ref-1_1339029675-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i2255">, де <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1339029828-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2256">  — регулярна площина. Розглянемо групу

<img border=«0» width=«197» height=«25» src=«ref-1_1339029919-367.coolpic» v:shapes="_x0000_i2257">

Тоді <img border=«0» width=«120» height=«23» src=«ref-1_1339030286-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i2258">. Крім того, <img border=«0» width=«65» height=«23» src=«ref-1_1339030544-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i2259">. Це очевидно, якщо <img border=«0» width=«69» height=«21» src=«ref-1_1339030711-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i2260">; якщо ж <img border=«0» width=«69» height=«21» src=«ref-1_1339030870-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i2261">, те застосовуємо 2.1.12 і теорему 2.1.11 . Тому <img border=«0» width=«21» height=«23» src=«ref-1_1339031030-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i2262">  — нормальна підгрупа в <img border=«0» width=«51» height=«23» src=«ref-1_1339031136-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i2263">, що не втримується в. <img border=«0» width=«52» height=«23» src=«ref-1_1339031292-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i2264"> Звідси треба, що <img border=«0» width=«84» height=«23» src=«ref-1_1339031450-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i2265">. Зокрема, якщо <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338987343-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2266">  — фіксована пряма в <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1339029828-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2267">, те <img border=«0» width=«21» height=«23» src=«ref-1_1339031030-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i2268"> містить всі трансвекції площини <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1339029828-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2269"> з прямій <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338987343-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2270">. Отже, <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2271"> містить всі трансвекції із <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338891153-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i2272"> із прямій <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338987343-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2273">, а тому в силу взагалі всі трансвекції з <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338891153-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i2274"> і <img border=«0» width=«79» height=«24» src=«ref-1_1339029480-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i2275">.

Пропозицію 42Припустимо, що <img border=«0» width=«37» height=«19» src=«ref-1_1339001217-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i2276">, <img border=«0» width=«45» height=«24» src=«ref-1_1339032930-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i2277"> або <img border=«0» width=«37» height=«19» src=«ref-1_1339033061-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i2278">, <img border=«0» width=«45» height=«23» src=«ref-1_1339033181-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i2279">, і нехай <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2280">  — нормальна підгрупа групи <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338891153-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i2281">, що містить елемент <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338888868-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2282"> із відрахуванням 2, у вигляді добутку двох трансвекцій з <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338891153-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i2283">. Тоді <img border=«0» width=«79» height=«24» src=«ref-1_1339029480-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i2284">.

Доказ.1) Модифікація міркувань, використаних при доказі твердження , дозволяє вважати, що <img border=«0» width=«37» height=«19» src=«ref-1_1339034012-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i2285">, якщо <img border=«0» width=«45» height=«24» src=«ref-1_1339032930-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i2286">, і <img border=«0» width=«37» height=«19» src=«ref-1_1339034257-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i2287">, якщо <img border=«0» width=«45» height=«23» src=«ref-1_1339033181-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i2288">.

2) Розглянемо спочатку випадок <img border=«0» width=«37» height=«19» src=«ref-1_1339034012-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i2289">, <img border=«0» width=«45» height=«24» src=«ref-1_1339032930-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i2290">. Тоді <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338888868-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2291"> має вигляд <img border=«0» width=«72» height=«25» src=«ref-1_1339034841-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i2292">, причому <img border=«0» width=«87» height=«19» src=«ref-1_1339035002-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i2293">, а зірочки рівні <img border=«0» width=«21» height=«17» src=«ref-1_1339035185-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i2294">. Далі ці трансвекції перестановочні, тому що <img border=«0» width=«75» height=«21» src=«ref-1_1339035284-184.coolpic» v:shapes="_x0000_i2295">, тому ми можемо, якщо потрібно, замінити <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338888868-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2296"> на <img border=«0» width=«21» height=«21» src=«ref-1_1339035557-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i2297"> й уважати, що насправді <img border=«0» width=«72» height=«25» src=«ref-1_1339035660-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i2298">. Можна вважати, що ця нова <img border=«0» width=«12» height=«13» src=«ref-1_1339035823-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i2299"> є <img border=«0» width=«21» height=«17» src=«ref-1_1339035906-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2300">. Справді, якщо <img border=«0» width=«71» height=«25» src=«ref-1_1339035999-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i2301">, те за допомогою теореми Витта виберемо таке <img border=«0» width=«75» height=«23» src=«ref-1_1339036162-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i2302">, що <img border=«0» width=«47» height=«19» src=«ref-1_1339036355-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i2303">, <img border=«0» width=«69» height=«19» src=«ref-1_1339036489-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i2304">. Тоді<img border=«0» width=«133» height=«27» src=«ref-1_1339036645-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i2305">. Замінимо тепер <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338888868-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2306"> на<img border=«0» width=«137» height=«27» src=«ref-1_1339036987-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i2307">. Отже, можна вважати, що <img border=«0» width=«76» height=«25» src=«ref-1_1339037247-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i2308">. Доповнимо <img border=«0» width=«39» height=«21» src=«ref-1_1339037415-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i2309"> до симплектичної бази
<img border=«0» width=«97» height=«21» src=«ref-1_1339037548-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i2310">
простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2311"> й помітимо, що
<img border=«0» width=«123» height=«67» src=«ref-1_1339037857-417.coolpic» v:shapes="_x0000_i2312">
Підходящим сполученням ми можемо знайти в <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2313"> лінійні перетворення з матрицями
<img border=«0» width=«175» height=«67» src=«ref-1_1339038369-659.coolpic» v:shapes="_x0000_i2314">
у базі <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338900936-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2315">. Добуток цих перетворень дорівнює елементу із <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2316"> із матрицею
<img border=«0» width=«76» height=«67» src=«ref-1_1339039214-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i2317">
Отже, група <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2318"> містить <img border=«0» width=«29» height=«25» src=«ref-1_1339039649-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i2319">. Таким чином, вона містить всі (= обидві) трансвекції із <img border=«0» width=«49» height=«23» src=«ref-1_1339016014-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i2320"> із прямій <img border=«0» width=«24» height=«19» src=«ref-1_1339023828-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i2321">. Через звідси треба, що <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2322"> містить всі трансвекції з <img border=«0» width=«49» height=«23» src=«ref-1_1339016014-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i2323"> і, виходить, <img border=«0» width=«79» height=«23» src=«ref-1_1339040273-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i2324">.

3) Нехай тепер <img border=«0» width=«37» height=«19» src=«ref-1_1339034257-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i2325">, <img border=«0» width=«45» height=«23» src=«ref-1_1339033181-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i2326">. Тоді <img border=«0» width=«43» height=«25» src=«ref-1_1339040717-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i2327"> й <img border=«0» width=«87» height=«19» src=«ref-1_1339035002-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i2328">. Доповнимо <img border=«0» width=«39» height=«21» src=«ref-1_1339037415-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i2329"> до симплектичної бази<img border=«0» width=«132» height=«21» src=«ref-1_1339041168-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i2330"> Тоді
<img border=«0» width=«137» height=«91» src=«ref-1_1339041426-576.coolpic» v:shapes="_x0000_i2331">
Сполучення дає нам у <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2332"> лінійні перетворення з матрицями
<img border=«0» width=«196» height=«91» src=«ref-1_1339042097-919.coolpic» v:shapes="_x0000_i2333">
а тому й з матрицями
<img border=«0» width=«199» height=«91» src=«ref-1_1339043016-935.coolpic» v:shapes="_x0000_i2334">
а виходить, і з матрицею
<img border=«0» width=«99» height=«91» src=«ref-1_1339043951-502.coolpic» v:shapes="_x0000_i2335">
Інакше кажучи, <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2336"> містить <img border=«0» width=«24» height=«25» src=«ref-1_1339044548-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i2337"> і, отже, всі трансвекції з <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338891153-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i2338">, звідки <img border=«0» width=«79» height=«24» src=«ref-1_1339029480-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i2339">.Пропозиція 43Якщо <img border=«0» width=«37» height=«19» src=«ref-1_1339001217-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i2340">, те <img border=«0» width=«77» height=«24» src=«ref-1_1339045128-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i2341"> за одним виключенням: <img border=«0» width=«153» height=«23» src=«ref-1_1339045322-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i2342">.Доказ. Нехай <img border=«0» width=«48» height=«25» src=«ref-1_1339045643-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i2343">, для якогось <img border=«0» width=«40» height=«21» src=«ref-1_1339045773-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i2344">. По теоремі Витта існує таке <img border=«0» width=«75» height=«24» src=«ref-1_1339045903-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i2345">, що <img border=«0» width=«67» height=«19» src=«ref-1_1339046095-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i2346">  — площина й<img border=«0» width=«187» height=«51» src=«ref-1_1339046253-555.coolpic» v:shapes="_x0000_i2347">

Покладемо
<img border=«0» width=«160» height=«25» src=«ref-1_1339046808-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i2348">
Залишилося застосувати й . У винятковому випадку застосовуємо й добре відомі властивості групи <img border=«0» width=«20» height=«24» src=«ref-1_1339012428-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i2349">.

Пропозиція 44Якщо <img border=«0» width=«37» height=«19» src=«ref-1_1339001217-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i2350">, те <img border=«0» width=«97» height=«24» src=«ref-1_1339047341-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i2351"> за одним виключенням: <img border=«0» width=«173» height=«23» src=«ref-1_1339047568-351.coolpic» v:shapes="_x0000_i2352">.


    продолжение
--PAGE_BREAK--9. Теореми про простоту


Теорема 45Для будь-якого парного числа <img border=«0» width=«37» height=«19» src=«ref-1_1339001217-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i2353"> й кожного поля <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1338885069-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2354"> група <img border=«0» width=«61» height=«24» src=«ref-1_1339000459-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i2355"> проста за винятком групи <img border=«0» width=«63» height=«23» src=«ref-1_1339048307-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i2356">, що простій не є.

Доказ.1) Виняткове поводження групи <img border=«0» width=«63» height=«23» src=«ref-1_1339048307-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i2357"> треба з . Будемо припускати тому, що <img border=«0» width=«37» height=«19» src=«ref-1_1339001217-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i2358"> в загальному випадку й <img border=«0» width=«37» height=«19» src=«ref-1_1339033061-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i2359"> при <img border=«0» width=«45» height=«23» src=«ref-1_1339033181-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i2360">. Замість проективної групи ми будемо мати справу із групою <img border=«0» width=«27» height=«24» src=«ref-1_1338998655-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i2361">. Досить розглянути нормальну підгрупу <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2362"> групи <img border=«0» width=«27» height=«24» src=«ref-1_1338998655-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i2363">, що не втримується в підгрупі <img border=«0» width=«40» height=«24» src=«ref-1_1339049374-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i2364">, і довести, що <img border=«0» width=«55» height=«24» src=«ref-1_1339049509-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i2365">.

2) Спочатку покажемо, що є <img border=«0» width=«40» height=«21» src=«ref-1_1339045773-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i2366">, <img border=«0» width=«41» height=«19» src=«ref-1_1339049793-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i2367">, такі, що <img border=«0» width=«67» height=«19» src=«ref-1_1339046095-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i2368">  — регулярна площина. Для цього візьмемо в групі <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2369"> елемент. <img border=«0» width=«56» height=«24» src=«ref-1_1339050170-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i2370"> <img border=«0» width=«17» height=«16» src=«ref-1_1339050322-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2371"> зрушує принаймні одну пряму з <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2372">, тобто існує така пряма <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338987343-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2373"> з <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2374">, що <img border=«0» width=«52» height=«17» src=«ref-1_1339050691-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i2375">. Нехай <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338869395-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2376">  — нетривіальна трансвекция із <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338891153-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i2377"> із прямій <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338987343-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2378">. Тоді елемент <img border=«0» width=«204» height=«24» src=«ref-1_1339051165-359.coolpic» v:shapes="_x0000_i2379"> належить групі <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2380"> і є добутком двох трансвекцій із <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338891153-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i2381"> із різними прямими <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338987343-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2382"> й <img border=«0» width=«27» height=«17» src=«ref-1_1339051866-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i2383">. Тому простір перетворення <img border=«0» width=«15» height=«16» src=«ref-1_1339022705-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2384"> є площина <img border=«0» width=«51» height=«17» src=«ref-1_1339052061-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i2385">, зокрема, <img border=«0» width=«59» height=«21» src=«ref-1_1339052195-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i2386">. Якщо <img border=«0» width=«15» height=«16» src=«ref-1_1339022705-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2387">  — гіперболічне перетворення, то <img border=«0» width=«15» height=«16» src=«ref-1_1339022705-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2388">  — інволюція. Застосуємо тепер твердження 1.18, якщо характеристика дорівнює <img border=«0» width=«13» height=«17» src=«ref-1_1338895500-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2389">, і твердження 1.13, якщо характеристика не дорівнює <img border=«0» width=«13» height=«17» src=«ref-1_1338895500-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2390">. Тоді, зокрема, ми одержимо, що <img border=«0» width=«15» height=«16» src=«ref-1_1339022705-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2391"> не є добутком <img border=«0» width=«59» height=«21» src=«ref-1_1339052195-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i2392"> трансвекції з <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338891153-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i2393">, що суперечить допущенню. Отже, <img border=«0» width=«15» height=«16» src=«ref-1_1339022705-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2394"> не може бути гіперболічним. Виходить, існує такий вектор <img border=«0» width=«40» height=«21» src=«ref-1_1339045773-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i2395">, що <img border=«0» width=«81» height=«21» src=«ref-1_1339053296-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i2396">, тобто <img border=«0» width=«67» height=«19» src=«ref-1_1339046095-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i2397">  — регулярна площина.

3) Можна також показати, що є вектор <img border=«0» width=«40» height=«21» src=«ref-1_1339045773-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i2398"> і перетворення <img border=«0» width=«41» height=«19» src=«ref-1_1339049793-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i2399">, такі, що <img border=«0» width=«67» height=«19» src=«ref-1_1339046095-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i2400">  — вироджена площина. Справді, візьмемо в <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2401"> елемент <img border=«0» width=«56» height=«24» src=«ref-1_1339050170-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i2402">. Існує такий вектор <img border=«0» width=«40» height=«19» src=«ref-1_1339054308-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i2403">, що <img border=«0» width=«61» height=«19» src=«ref-1_1339054430-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i2404">.

Якщо <img border=«0» width=«84» height=«21» src=«ref-1_1339054580-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i2405">, то ціль досягнута, тому будемо вважати, що <img border=«0» width=«84» height=«21» src=«ref-1_1339054779-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i2406">.

Виберемо <img border=«0» width=«128» height=«21» src=«ref-1_1339054979-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i2407"> так, щоб було
<img border=«0» width=«561» height=«21» src=«ref-1_1339055231-565.coolpic» v:shapes="_x0000_i2408">
По теоремі Витта в <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338891153-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i2409"> найдеться перетворення <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338869395-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2410">, таке, що <img border=«0» width=«59» height=«19» src=«ref-1_1339056046-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i2411">, <img border=«0» width=«59» height=«19» src=«ref-1_1339056194-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i2412">. Тоді перетворення <img border=«0» width=«85» height=«20» src=«ref-1_1339056343-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i2413"> належить <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2414"> і переводить <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1338872935-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i2415"> в <img border=«0» width=«13» height=«19» src=«ref-1_1339056710-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2416">, тому <img border=«0» width=«67» height=«19» src=«ref-1_1339046095-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i2417">  — вироджена площина.

4) Візьмемо <img border=«0» width=«40» height=«21» src=«ref-1_1339045773-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i2418">, <img border=«0» width=«41» height=«19» src=«ref-1_1339049793-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i2419"> так, щоб площина <img border=«0» width=«67» height=«19» src=«ref-1_1339046095-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i2420"> була регулярної при <img border=«0» width=«64» height=«24» src=«ref-1_1339057368-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i2421"> й виродженій при <img border=«0» width=«65» height=«24» src=«ref-1_1339057529-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i2422">. Тоді перетворення
<img border=«0» width=«283» height=«27» src=«ref-1_1339057688-482.coolpic» v:shapes="_x0000_i2423">
належить групі <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2424">, є добутком двох трансвекцій з <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1338891153-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i2425"> і його простір є площина <img border=«0» width=«67» height=«19» src=«ref-1_1339046095-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i2426">. Тому <img border=«0» width=«79» height=«24» src=«ref-1_1339029480-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i2427">.

Пропозиція 46Якщо <img border=«0» width=«37» height=«19» src=«ref-1_1339001217-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i2428"> й <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1338855323-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i2429">  — нормальна підгрупа групи <img border=«0» width=«27» height=«24» src=«ref-1_1338998655-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i2430">, те <img border=«0» width=«65» height=«21» src=«ref-1_1339059112-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i2431"> або <img border=«0» width=«57» height=«24» src=«ref-1_1339059275-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i2432">, за винятком групи <img border=«0» width=«53» height=«23» src=«ref-1_1339012264-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i2433">, що, мабуть, не має цю властивість.

Доказ. Із приводу виключення див. . Далі, застосовуючи до <img border=«0» width=«28» height=«17» src=«ref-1_1339059596-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i2434"> теорему , одержимо, що <img border=«0» width=«65» height=«21» src=«ref-1_1339059705-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i2435"> або <img border=«0» width=«92» height=«24» src=«ref-1_1339059868-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i2436">. Допустимо останнє. Тоді
<img border=«0» width=«245» height=«24» src=«ref-1_1339060077-402.coolpic» v:shapes="_x0000_i2437">
Пропозиція доведена.

Теорему про простоту можна також довести, використовуючи групи підстановок. Нагадаємо, що групою підстановок непустої множини <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338854078-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i2438"> називається підгрупа <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2439"> групи всіх підстановок множини <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338854078-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i2440">. Далі, <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2441"> називається транзитивної, якщо для будь-яких <img border=«0» width=«40» height=«19» src=«ref-1_1339060853-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i2442">, <img border=«0» width=«39» height=«19» src=«ref-1_1339060974-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i2443"> існує така підстановка <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1338888868-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2444"> з <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2445">, що <img border=«0» width=«45» height=«19» src=«ref-1_1339061281-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i2446">. Нагадаємо, що розбивкою множини <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338854078-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i2447"> називається множина <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338855517-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2448"> попарно непересічних підмножин, об'єднання яких дорівнює <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338854078-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i2449">. Тривіальними називаються дві розбивки, що складаються відповідно із самого <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338854078-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i2450"> й із всіх одноелементних підмножин. Транзитивна група <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2451"> підстановок множини <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338854078-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i2452">, якщо існує така нетривіальна розбивка <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338855517-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2453"> множини <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338854078-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i2454">, що <img border=«0» width=«51» height=«19» src=«ref-1_1339062147-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i2455"> для всіх <img border=«0» width=«43» height=«19» src=«ref-1_1339062288-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i2456">, <img border=«0» width=«44» height=«17» src=«ref-1_1339062413-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i2457">. У противному випадку група називається примітивної. Наступний результат є тут ключовим.

Пропозиція 47Примітивна група підстановок <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2458"> множини <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1338854078-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i2459"> проста, якщо виконані наступні умови:

1) <img border=«0» width=«57» height=«19» src=«ref-1_1339062728-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i2460">,

2) для якогось <img border=«0» width=«40» height=«19» src=«ref-1_1339060853-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i2461"> стабілізатор <img border=«0» width=«19» height=«24» src=«ref-1_1339062993-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i2462"> містить таку нормальну абелеву підгрупу <img border=«0» width=«24» height=«24» src=«ref-1_1339063097-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i2463">, що <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1338853841-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2464"> породжується підгрупами <img border=«0» width=«52» height=«25» src=«ref-1_1339063301-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i2465">, <img border=«0» width=«41» height=«21» src=«ref-1_1338875508-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i2466">.

Для доказу теореми з використанням цього результату розглянемо <img border=«0» width=«60» height=«24» src=«ref-1_1338989376-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i2467"> як групу підстановок множини прямі <img border=«0» width=«13» height=«17» src=«ref-1_1339063764-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i2468"> простори <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2469">. Це можливо через те, що <img border=«0» width=«60» height=«24» src=«ref-1_1338989376-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i2470">, будучи підгрупою групи проективностей простору <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2471">, точно діє на <img border=«0» width=«13» height=«17» src=«ref-1_1339063764-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i2472"> й, виходить, <img border=«0» width=«60» height=«24» src=«ref-1_1338989376-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i2473"> природно ізоморфна групі підстановок множини <img border=«0» width=«13» height=«17» src=«ref-1_1339063764-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i2474">. Ми знаємо, що група <img border=«0» width=«60» height=«24» src=«ref-1_1338989376-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i2475"> транзитивна (теорема Витта), <img border=«0» width=«143» height=«24» src=«ref-1_1339064733-298.coolpic» v:shapes="_x0000_i2476"> (див. ) і, нарешті, множина проективних трансвекцій із <img border=«0» width=«60» height=«24» src=«ref-1_1338989376-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i2477"> із прямій <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338987343-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2478"> разом з тотожним перетворенням утворить нормальну абелеву підгрупу стабілізатора прямій <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338987343-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2479"> в <img border=«0» width=«60» height=«24» src=«ref-1_1338989376-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i2480">, що разом зі своїми сполученими в <img border=«0» width=«60» height=«24» src=«ref-1_1338989376-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i2481"> породжує групу <img border=«0» width=«60» height=«24» src=«ref-1_1338989376-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i2482">. Тому все, що залишилося зробити, перш ніж послатися на , — це перевірити, що група <img border=«0» width=«60» height=«24» src=«ref-1_1338989376-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i2483"> примітивна.

Пропозиція 48При <img border=«0» width=«37» height=«19» src=«ref-1_1339001217-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i2484"> група <img border=«0» width=«60» height=«24» src=«ref-1_1338989376-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i2485"> підстановок множини <img border=«0» width=«13» height=«17» src=«ref-1_1339063764-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i2486"> прямі простори <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2487"> примітивна.

Доказ.1) Розглянемо розбивку <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338855517-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2488"> множини <img border=«0» width=«13» height=«17» src=«ref-1_1339063764-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i2489">, що містить принаймні дві підмножини, одне із яких, скажемо <img border=«0» width=«20» height=«24» src=«ref-1_1339066729-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i2490">, містить не менш двох прямих. Нам потрібно знайти елемент групи <img border=«0» width=«60» height=«24» src=«ref-1_1338989376-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i2491">, що не зберігає цю розбивку. Допустимо, що такого елемента не існує.

2) Нехай спочатку <img border=«0» width=«20» height=«24» src=«ref-1_1339066729-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i2492"> містить дві різні не ортогональні прямі <img border=«0» width=«17» height=«23» src=«ref-1_1339067109-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i2493">, <img border=«0» width=«19» height=«23» src=«ref-1_1339067206-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i2494">. Тоді кожні дві різні прямі <img border=«0» width=«20» height=«23» src=«ref-1_1339067306-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i2495">, <img border=«0» width=«23» height=«23» src=«ref-1_1339067411-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i2496"> з <img border=«0» width=«20» height=«24» src=«ref-1_1339066729-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i2497"> повинні бути не ортогональні. Справді, якщо це не так, то найдуться різні <img border=«0» width=«20» height=«23» src=«ref-1_1339067306-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i2498">, <img border=«0» width=«23» height=«23» src=«ref-1_1339067411-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i2499"> з <img border=«0» width=«20» height=«24» src=«ref-1_1339066729-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i2500">, такі, що <img border=«0» width=«91» height=«23» src=«ref-1_1339067934-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i2501">. Візьмемо пряму <img border=«0» width=«15» height=«19» src=«ref-1_1339068147-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2502"> з <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2503">, не приналежній підмножині <img border=«0» width=«20» height=«24» src=«ref-1_1339066729-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i2504">. Якщо <img border=«0» width=«79» height=«23» src=«ref-1_1339068431-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i2505">, то по теоремі Витта існує таке перетворення <img border=«0» width=«15» height=«16» src=«ref-1_1339022705-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2506"> з <img border=«0» width=«36» height=«24» src=«ref-1_1338998773-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i2507">, що <img border=«0» width=«60» height=«23» src=«ref-1_1339068844-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i2508">, <img border=«0» width=«63» height=«23» src=«ref-1_1339069000-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i2509">, і, отже, воно порушує розбивку. Якщо <img border=«0» width=«79» height=«23» src=«ref-1_1339069161-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i2510">, то знову по теоремі Витта є таке <img border=«0» width=«85» height=«24» src=«ref-1_1339069351-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i2511">, що <img border=«0» width=«56» height=«23» src=«ref-1_1339069558-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i2512">, <img border=«0» width=«56» height=«23» src=«ref-1_1339069708-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i2513"> і, виходить, <img border=«0» width=«15» height=«16» src=«ref-1_1339022705-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2514"> знову порушує розбивка. Отже, ніякі дві різні прямі з <img border=«0» width=«20» height=«24» src=«ref-1_1339066729-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i2515"> не є ортогональними. Тільки що проведені міркування показують, що якщо <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338987343-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2516">  — довільна пряма з <img border=«0» width=«20» height=«24» src=«ref-1_1339066729-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i2517">, те <img border=«0» width=«20» height=«24» src=«ref-1_1339066729-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i2518"> містить всі прямі з <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2519">, не ортогональні к.<img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338987343-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2520"> Тепер очевидно, що можна знайти в <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1338884976-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2521"> пряму <img border=«0» width=«21» height=«17» src=«ref-1_1338861272-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i2522">, не ортогональну до <img border=«0» width=«17» height=«23» src=«ref-1_1339067109-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i2523">, але ортогональну до <img border=«0» width=«19» height=«23» src=«ref-1_1339067206-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i2524"> тоді перша умова спричиняє, що <img border=«0» width=«52» height=«24» src=«ref-1_1339070912-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i2525">, а друге — що <img border=«0» width=«52» height=«24» src=«ref-1_1339071064-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i2526">, — протиріччя.

3) Ми можемо, таким чином, уважати, що всі прямі з <img border=«0» width=«20» height=«24» src=«ref-1_1339066729-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i2527"> попарно ортогональні. Міркування, використані в п.2), показують тоді, що якщо <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338987343-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2528">  — довільна пряма з <img border=«0» width=«20» height=«24» src=«ref-1_1339066729-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i2529">, те <img border=«0» width=«20» height=«24» src=«ref-1_1339066729-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i2530"> містить всі прямі, ортогональні до <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1338987343-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2531">, а це неможливо. Пропозиція доведена.


    продолжение
--PAGE_BREAK--
еще рефераты
Еще работы по математике