Реферат: Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел
--PAGE_BREAK--1) во множестве А имеется наименьший элемент a;2) для любого а<shape id="_x0000_i1113" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image009.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb71621.zip» v:shapes="_x0000_i1113">А существует точная нижняя грань а’ во множестве {x| a< x, x<shape id="_x0000_i1114" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image009.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb71621.zip» v:shapes="_x0000_i1114"> A};
3) для любого подмножества Х множества А из того, что а0<shape id="_x0000_i1115" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image009.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb71621.zip» v:shapes="_x0000_i1115">Х и Х
содержит вместе с каждым своим элементом непосредственно следующий за ним элемент, следует, что Х = А.
Доказательство.
<shape id="_x0000_i1116" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image053.wmz» o:><img width=«20» height=«16» src=«dopb71643.zip» v:shapes="_x0000_i1116"> Пусть линейно упорядоченное множество А удовлетворяет условиям 1)- 3). Докажем, что А имеет порядковый тип <shape id="_x0000_i1117" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image051.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1117">, то есть А изоморфно множеству N.
Из условия (1) следует существование во множестве А наименьшего элемента а0.
Рассмотрим отображение f: N <shape id="_x0000_i1118" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image055.wmz» o:><img width=«20» height=«15» src=«dopb71644.zip» v:shapes="_x0000_i1118"> A, заданное таким образом: f (0) = a,
f (n + 1) = (f (n))’, где n = 0, 1, 2,… Существование (f (n))’ для каждого n обеспечивается условием (2). Тогда вследствие условия (3) f(N)=A. Таким образом, f инъективно и сюръективно, следовательно, взаимно однозначно. Докажем, что f сохраняет порядок: возьмём n, m <shape id="_x0000_i1119" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image009.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb71621.zip» v:shapes="_x0000_i1119"> N, пусть для определённости n< m. Из условия (2) следует, что f (n) < (f (n))’ <shape id="_x0000_i1120" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image005.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb71619.zip» v:shapes="_x0000_i1120"> f (m),
то есть f(n) < f (m). Следовательно, f сохраняет порядок.
Таким образом, f – взаимно однозначное отображение N <shape id="_x0000_i1121" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image055.wmz» o:><img width=«20» height=«15» src=«dopb71644.zip» v:shapes="_x0000_i1121"> A, сохраняющее порядок. Следовательно, множество А имеет порядковый тип <shape id="_x0000_i1122" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image051.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1122">.
<shape id="_x0000_i1123" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image007.wmz» o:><img width=«20» height=«16» src=«dopb71620.zip» v:shapes="_x0000_i1123"> Пусть есть бесконечное линейно упорядоченное множество А, имеющее порядковый тип <shape id="_x0000_i1124" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image051.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1124">. Множество N удовлетворяет условиям 1) – 3), а множество А изоморфно ему, поэтому и множество А удовлетворяет условиям 1) – 3). ■
Определение 2.5. Порядковым типом <shape id="_x0000_i1125" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image051.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1125">* называется класс линейно упорядоченных множеств, эквивалентных множеству N с двойственным порядком: 1 > 2 > 3 >…
Предложение 3.2. упорядоченное множество является вполне упорядоченным тогда и только тогда, когда оно не содержит подмножество типа <shape id="_x0000_i1126" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image051.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1126">*.
Доказательство.
<shape id="_x0000_i1127" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image007.wmz» o:><img width=«20» height=«16» src=«dopb71620.zip» v:shapes="_x0000_i1127"> Предположим, что вполне упорядоченное множество А содержит подмножество Х типа <shape id="_x0000_i1128" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image051.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1128">*. Тогда в Х нет наименьшего элемента, что противоречит вполне упорядоченности множества А. Следовательно, в А нет подмножеств типа <shape id="_x0000_i1129" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image051.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1129">*.
<shape id="_x0000_i1130" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image053.wmz» o:><img width=«20» height=«16» src=«dopb71643.zip» v:shapes="_x0000_i1130"> Пусть множество А не содержит подмножество типа <shape id="_x0000_i1131" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image051.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1131">*. Докажем, что А является вполне упорядоченным множеством. Предположим, что это не так, т. е. А содержит подмножество В, в котором нет наименьшего элемента. Возьмём какой-нибудь элемент множества В, обозначим его b1. Так как в В нет наименьшего элемента, то существует элементb2<shape id="_x0000_i1132" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image057.wmz» o:><img width=«28» height=«17» src=«dopb71645.zip» v:shapes="_x0000_i1132">, для которогоb2 < b1. Повторяя это рассуждение, строим для каждого n <shape id="_x0000_i1133" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image009.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb71621.zip» v:shapes="_x0000_i1133">N элемент bn+1 <shape id="_x0000_i1134" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image009.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb71621.zip» v:shapes="_x0000_i1134"> B, причём:
bn+1 < bn.
Получили множество {b1, b2, …, bn,… .} которое является подмножеством множества А и имеет тип <shape id="_x0000_i1135" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image051.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1135">* - противоречие. ■
§4. СВОЙСТВА ОРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.
Про изоморфные между собой линейно упорядоченные множества мы будем говорить, что они имеют один и тот же порядковый тип.
Со времён Кантора порядковые типы вполне упорядоченных множеств называются порядковыми или ординальными числами (ординалами). Порядковые типы бесконечных вполне упорядоченных множеств называются трансфинитными числами (трансфинитами).
Определение 2.6. Порядковое число <shape id="_x0000_i1136" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1136"> меньше порядкового числа <shape id="_x0000_i1137" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image061.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb71647.zip» v:shapes="_x0000_i1137"> (<shape id="_x0000_i1138" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image063.wmz» o:><img width=«43» height=«21» src=«dopb71648.zip» v:shapes="_x0000_i1138">), если какое-либо вполне упорядоченное множество типа <shape id="_x0000_i1139" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1139"> изоморфно некоторому отрезку какого-нибудь вполне упорядоченного множества типа <shape id="_x0000_i1140" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image061.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb71647.zip» v:shapes="_x0000_i1140">.
Пусть <shape id="_x0000_i1141" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image065.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb71649.zip» v:shapes="_x0000_i1141"> - некоторое ординальное число. Обозначим W(<shape id="_x0000_i1142" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image065.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb71649.zip» v:shapes="_x0000_i1142">) – множество всех ординальных чисел, меньших <shape id="_x0000_i1143" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image065.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb71649.zip» v:shapes="_x0000_i1143">.
Теорема 4.1. Отношение <shape id="_x0000_i1144" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1144"> < <shape id="_x0000_i1145" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image061.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb71647.zip» v:shapes="_x0000_i1145">, установленное для ординальных чисел, превращает множество W(<shape id="_x0000_i1146" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image065.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb71649.zip» v:shapes="_x0000_i1146">) всех ординальных чисел, меньших данного ординального числа <shape id="_x0000_i1147" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image065.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb71649.zip» v:shapes="_x0000_i1147">, во вполне упорядоченное множество типа <shape id="_x0000_i1148" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image065.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb71649.zip» v:shapes="_x0000_i1148">.
Доказательство.
Из определения 2.6 следует, что множество W (<shape id="_x0000_i1149" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image065.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb71649.zip» v:shapes="_x0000_i1149">) находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех отрезков Ахпроизвольно выбранного множества А типа <shape id="_x0000_i1150" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image065.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb71649.zip» v:shapes="_x0000_i1150">; так как отрезки Ахвзаимно однозначно соответствуют элементам х <shape id="_x0000_i1151" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image009.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb71621.zip» v:shapes="_x0000_i1151"> А, то имеем взаимно однозначное соответствие <shape id="_x0000_i1152" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1152"> = f (х), х <shape id="_x0000_i1153" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image009.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb71621.zip» v:shapes="_x0000_i1153"> А, <shape id="_x0000_i1154" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1154"> <shape id="_x0000_i1155" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image009.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb71621.zip» v:shapes="_x0000_i1155"> W(<shape id="_x0000_i1156" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image065.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb71649.zip» v:shapes="_x0000_i1156">) между множеством W(<shape id="_x0000_i1157" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image065.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb71649.zip» v:shapes="_x0000_i1157">) и множеством А типа <shape id="_x0000_i1158" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image065.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb71649.zip» v:shapes="_x0000_i1158">. При этом соответствии из х < x’ в А следует, что Ах есть отрезок множества Ах’, значит, <shape id="_x0000_i1159" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1159"> = f (x) < <shape id="_x0000_i1160" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image061.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb71647.zip» v:shapes="_x0000_i1160"> = f (x’) в W (<shape id="_x0000_i1161" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image065.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb71649.zip» v:shapes="_x0000_i1161">), и обратно. ■
Определение 2.7. Пара (А, В) непустых подмножеств линейно упорядоченного множества Х называется сечением множества Х, если:
1) А <shape id="_x0000_i1162" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image067.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb71650.zip» v:shapes="_x0000_i1162"> В = Х;
2) А <shape id="_x0000_i1163" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image037.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb71635.zip» v:shapes="_x0000_i1163"> В = Æ;
3) для любых х <shape id="_x0000_i1164" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image009.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb71621.zip» v:shapes="_x0000_i1164"> А и у <shape id="_x0000_i1165" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image009.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb71621.zip» v:shapes="_x0000_i1165"> В выполняется неравенство х < у.
Теорема 4.2. Для любых двух ординальных чисел <shape id="_x0000_i1166" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1166"> и <shape id="_x0000_i1167" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image061.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb71647.zip» v:shapes="_x0000_i1167"> всегда осуществляется одно и только одно из трёх случаев: либо <shape id="_x0000_i1168" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1168"> < <shape id="_x0000_i1169" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image061.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb71647.zip» v:shapes="_x0000_i1169">, либо <shape id="_x0000_i1170" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1170"> = <shape id="_x0000_i1171" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image061.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb71647.zip» v:shapes="_x0000_i1171">, либо <shape id="_x0000_i1172" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1172"> > <shape id="_x0000_i1173" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image061.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb71647.zip» v:shapes="_x0000_i1173">.
Доказательство.
Пусть даны два ординальных числа <shape id="_x0000_i1174" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1174"> и <shape id="_x0000_i1175" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image061.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb71647.zip» v:shapes="_x0000_i1175">. Из определения 2.6 и предложения 1.4 следует, что <shape id="_x0000_i1176" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1176"> и <shape id="_x0000_i1177" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image061.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb71647.zip» v:shapes="_x0000_i1177"> могут удовлетворять не более, чем одному из трёх отношений: <shape id="_x0000_i1178" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1178"> = <shape id="_x0000_i1179" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image061.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb71647.zip» v:shapes="_x0000_i1179">, <shape id="_x0000_i1180" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1180"> < <shape id="_x0000_i1181" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image061.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb71647.zip» v:shapes="_x0000_i1181">, <shape id="_x0000_i1182" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1182"> > <shape id="_x0000_i1183" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image061.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb71647.zip» v:shapes="_x0000_i1183">.
Обозначим через D множество W (<shape id="_x0000_i1184" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1184">) <shape id="_x0000_i1185" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image037.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb71635.zip» v:shapes="_x0000_i1185"> W (<shape id="_x0000_i1186" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image061.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb71647.zip» v:shapes="_x0000_i1186">). Это множество является вполне упорядоченным. Обозначим его порядковый тип через <shape id="_x0000_i1187" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image069.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb71651.zip» v:shapes="_x0000_i1187">. Докажем неравенства <shape id="_x0000_i1188" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image071.wmz» o:><img width=«40» height=«19» src=«dopb71652.zip» v:shapes="_x0000_i1188">, <shape id="_x0000_i1189" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image073.wmz» o:><img width=«41» height=«21» src=«dopb71653.zip» v:shapes="_x0000_i1189">. Достаточно доказать одно из них. Докажем, например, первое. Имеем D <shape id="_x0000_i1190" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image013.wmz» o:><img width=«16» height=«16» src=«dopb71623.zip» v:shapes="_x0000_i1190"> W (<shape id="_x0000_i1191" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1191">). Если D = W (<shape id="_x0000_i1192" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1192">), то <shape id="_x0000_i1193" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image069.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb71651.zip» v:shapes="_x0000_i1193"> есть порядковый тип множества W (<shape id="_x0000_i1194" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1194">), то есть <shape id="_x0000_i1195" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image069.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb71651.zip» v:shapes="_x0000_i1195"> = <shape id="_x0000_i1196" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1196">. Пусть D <shape id="_x0000_i1197" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image045.wmz» o:><img width=«16» height=«13» src=«dopb71639.zip» v:shapes="_x0000_i1197"> W (<shape id="_x0000_i1198" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1198">). Разбиение W (<shape id="_x0000_i1199" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1199">) = D<shape id="_x0000_i1200" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image067.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb71650.zip» v:shapes="_x0000_i1200">(W(<shape id="_x0000_i1201" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1201">)\D) есть сечение во вполне упорядоченном множестве W (<shape id="_x0000_i1202" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1202">). В самом деле, пусть х <shape id="_x0000_i1203" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image009.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb71621.zip» v:shapes="_x0000_i1203"> D, у <shape id="_x0000_i1204" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image009.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb71621.zip» v:shapes="_x0000_i1204"> W (<shape id="_x0000_i1205" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1205">)\D. Так как W (<shape id="_x0000_i1206" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1206">) линейно упорядочено, то либо х < y, либо у < х. Покажем, что второй случай невозможен. Действительно, так как х<shape id="_x0000_i1207" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image009.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb71621.zip» v:shapes="_x0000_i1207">W (<shape id="_x0000_i1208" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1208">), х<shape id="_x0000_i1209" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image009.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb71621.zip» v:shapes="_x0000_i1209">W (<shape id="_x0000_i1210" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image061.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb71647.zip» v:shapes="_x0000_i1210">), то одновременно х < <shape id="_x0000_i1211" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1211"> и х < <shape id="_x0000_i1212" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image061.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb71647.zip» v:shapes="_x0000_i1212">. Если бы было у < х, то было бы у < <shape id="_x0000_i1213" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1213">, у < <shape id="_x0000_i1214" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image061.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb71647.zip» v:shapes="_x0000_i1214">, то есть у <shape id="_x0000_i1215" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image009.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb71621.zip» v:shapes="_x0000_i1215"> D. Итак, доказано, что х < у для любых х <shape id="_x0000_i1216" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image009.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb71621.zip» v:shapes="_x0000_i1216"> D, у <shape id="_x0000_i1217" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image009.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb71621.zip» v:shapes="_x0000_i1217"> W (<shape id="_x0000_i1218" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1218">)\D, а это и означает, что (D, W (<shape id="_x0000_i1219" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1219">)\D) есть сечение в W (<shape id="_x0000_i1220" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1220">). Пусть <shape id="_x0000_i1221" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image065.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb71649.zip» v:shapes="_x0000_i1221"> < <shape id="_x0000_i1222" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1222"> есть первый элемент в W (<shape id="_x0000_i1223" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1223">)\D. Тогда отрезок, отсекаемый в W (<shape id="_x0000_i1224" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1224">) элементом <shape id="_x0000_i1225" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image065.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb71649.zip» v:shapes="_x0000_i1225">, совпадает с D, то есть <shape id="_x0000_i1226" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image065.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb71649.zip» v:shapes="_x0000_i1226"> есть порядковый тип множества D, <shape id="_x0000_i1227" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image065.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb71649.zip» v:shapes="_x0000_i1227"> = <shape id="_x0000_i1228" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image069.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb71651.zip» v:shapes="_x0000_i1228"> и <shape id="_x0000_i1229" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image069.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb71651.zip» v:shapes="_x0000_i1229"> < <shape id="_x0000_i1230" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1230">.
Аналогично доказывается, что <shape id="_x0000_i1231" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image073.wmz» o:><img width=«41» height=«21» src=«dopb71653.zip» v:shapes="_x0000_i1231">.
Однако, неравенства <shape id="_x0000_i1232" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image069.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb71651.zip» v:shapes="_x0000_i1232"> < <shape id="_x0000_i1233" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1233"> и <shape id="_x0000_i1234" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image069.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb71651.zip» v:shapes="_x0000_i1234"> < <shape id="_x0000_i1235" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image061.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb71647.zip» v:shapes="_x0000_i1235"> не могут быть выполнены одновременно, так как в этом случае мы имели бы <shape id="_x0000_i1236" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image075.wmz» o:><img width=«27» height=«19» src=«dopb71654.zip» v:shapes="_x0000_i1236">D, так что <shape id="_x0000_i1237" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image069.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb71651.zip» v:shapes="_x0000_i1237"> было бы типом отрезка множества D и не могло бы быть типом всего D.
Таким образом, имеются лишь следующие возможности:
1) <shape id="_x0000_i1238" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image069.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb71651.zip» v:shapes="_x0000_i1238"> = <shape id="_x0000_i1239" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1239">, <shape id="_x0000_i1240" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image069.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb71651.zip» v:shapes="_x0000_i1240"> = <shape id="_x0000_i1241" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image061.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb71647.zip» v:shapes="_x0000_i1241"> и, значит, <shape id="_x0000_i1242" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1242"> = <shape id="_x0000_i1243" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image061.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb71647.zip» v:shapes="_x0000_i1243">;
2) <shape id="_x0000_i1244" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image069.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb71651.zip» v:shapes="_x0000_i1244"> = <shape id="_x0000_i1245" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1245">, <shape id="_x0000_i1246" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image069.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb71651.zip» v:shapes="_x0000_i1246"> = <shape id="_x0000_i1247" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image061.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb71647.zip» v:shapes="_x0000_i1247"> и, значит, <shape id="_x0000_i1248" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1248"> < <shape id="_x0000_i1249" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image061.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb71647.zip» v:shapes="_x0000_i1249">;
3) <shape id="_x0000_i1250" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image069.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb71651.zip» v:shapes="_x0000_i1250"> < <shape id="_x0000_i1251" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1251">, <shape id="_x0000_i1252" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image069.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb71651.zip» v:shapes="_x0000_i1252"> = <shape id="_x0000_i1253" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image061.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb71647.zip» v:shapes="_x0000_i1253"> и, значит, <shape id="_x0000_i1254" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image061.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb71647.zip» v:shapes="_x0000_i1254"> < <shape id="_x0000_i1255" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1255">. ■
Теорема 4.3. Любое множество А, состоящее из ординальных чисел, вполне упорядочено.
Доказательство.
Линейная упорядоченность множества А следует из теоремы 4.2. Остаётся доказать, что любое непустое множество A’ <shape id="_x0000_i1256" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image013.wmz» o:><img width=«16» height=«16» src=«dopb71623.zip» v:shapes="_x0000_i1256"> А имеет наименьший элемент.
Возьмём какой-нибудь элемент а’ <shape id="_x0000_i1257" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image009.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb71621.zip» v:shapes="_x0000_i1257"> A’. Если а’ – наименьший из чисел
х <shape id="_x0000_i1258" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image009.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb71621.zip» v:shapes="_x0000_i1258"> А’, то всё доказано. Если же нет, то пересечение W (a’) <shape id="_x0000_i1259" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image037.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb71635.zip» v:shapes="_x0000_i1259"> A’ непусто и, будучи подмножеством вполне упорядоченного множества W (a’), содержит первый элемент а. Ординальное число а и является наименьшим элементом в A’. ■
Определение 2.8. Пусть имеются два упорядоченных множества А и В, не имеющие общих элементов. Рассмотрим множество А<shape id="_x0000_i1260" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image067.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb71650.zip» v:shapes="_x0000_i1260">В, состоящее из всех элементов а<shape id="_x0000_i1261" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image009.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb71621.zip» v:shapes="_x0000_i1261">А и b<shape id="_x0000_i1262" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image009.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb71621.zip» v:shapes="_x0000_i1262">B. Превратим множество А<shape id="_x0000_i1263" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image067.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb71650.zip» v:shapes="_x0000_i1263">В в упорядоченное множество А+В, введя в него порядок таким образом: если а<a’ в A или b<b’ в В, то те же отношения сохраняются в А+В; если же а<shape id="_x0000_i1264" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image009.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb71621.zip» v:shapes="_x0000_i1264">А, b<shape id="_x0000_i1265" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image009.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb71621.zip» v:shapes="_x0000_i1265">В, то положим a<b в А+В. Упорядоченное таким образом множество А+В называется порядковой суммой упорядоченных множеств А и В. Если <shape id="_x0000_i1266" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1266"> и <shape id="_x0000_i1267" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image061.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb71647.zip» v:shapes="_x0000_i1267"> есть порядковые типы множеств А и В, то порядковый тип множества А+В называется суммой <shape id="_x0000_i1268" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1268">+<shape id="_x0000_i1269" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image061.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb71647.zip» v:shapes="_x0000_i1269"> порядковых типов <shape id="_x0000_i1270" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1270"> и <shape id="_x0000_i1271" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image061.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb71647.zip» v:shapes="_x0000_i1271">.
Теорема 4.4. Пусть <shape id="_x0000_i1272" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image065.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb71649.zip» v:shapes="_x0000_i1272"> - какое-нибудь ординальное число. Тогда <shape id="_x0000_i1273" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image065.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb71649.zip» v:shapes="_x0000_i1273">+1 есть ординальное число, непосредственно следующее за <shape id="_x0000_i1274" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image065.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb71649.zip» v:shapes="_x0000_i1274">.
Доказательство.
Пусть А – какое-нибудь вполне упорядоченное множество типа <shape id="_x0000_i1275" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image065.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb71649.zip» v:shapes="_x0000_i1275">. По определению сложения порядковых типов множество А’ типа <shape id="_x0000_i1276" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image065.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb71649.zip» v:shapes="_x0000_i1276">+1 получим, если присоединим к А новый элемент а’, следующий за всеми элементами а<shape id="_x0000_i1277" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image009.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb71621.zip» v:shapes="_x0000_i1277">А. Тогда A= A’a’, то есть <shape id="_x0000_i1278" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image065.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb71649.zip» v:shapes="_x0000_i1278"> < <shape id="_x0000_i1279" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image065.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb71649.zip» v:shapes="_x0000_i1279">+1.
Всякое ординальное число <shape id="_x0000_i1280" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image065.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb71649.zip» v:shapes="_x0000_i1280">’< <shape id="_x0000_i1281" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image065.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb71649.zip» v:shapes="_x0000_i1281">+1 является типом некоторого отрезка Аx’ множества A’. Но если х = а’, то Аx’ = A’a’ = A и <shape id="_x0000_i1282" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image065.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb71649.zip» v:shapes="_x0000_i1282">’ = <shape id="_x0000_i1283" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image065.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb71649.zip» v:shapes="_x0000_i1283">; если же x = a < a’, то Ax’ = Aa и <shape id="_x0000_i1284" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image065.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb71649.zip» v:shapes="_x0000_i1284">’ < <shape id="_x0000_i1285" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image065.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb71649.zip» v:shapes="_x0000_i1285">. ■
Теорема 4.5. Пусть А и В – вполне упорядоченные множества. Пусть <shape id="_x0000_i1286" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1286"> и <shape id="_x0000_i1287" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image061.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb71647.zip» v:shapes="_x0000_i1287"> - их порядковые типы. Если А <shape id="_x0000_i1288" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image013.wmz» o:><img width=«16» height=«16» src=«dopb71623.zip» v:shapes="_x0000_i1288"> В, то <shape id="_x0000_i1289" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image077.wmz» o:><img width=«43» height=«21» src=«dopb71655.zip» v:shapes="_x0000_i1289">.
Доказательство.
Будем доказывать методом от противного и предположим, что <shape id="_x0000_i1290" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image061.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb71647.zip» v:shapes="_x0000_i1290"> < <shape id="_x0000_i1291" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1291">. Тогда множество В изоморфно отрезку своего подмножества А, а это противоречит предложению 1.3. ■
Теорема 4.6. Сумма любых ординальных чисел х<shape id="_x0000_i1292" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1292"> (данных в любом порядке) есть ординальное число <shape id="_x0000_i1293" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image065.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb71649.zip» v:shapes="_x0000_i1293">, не меньшее, чем любое из данных слагаемых х<shape id="_x0000_i1294" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1294">.
Доказательство.
Пусть дано некоторое ординальное число <shape id="_x0000_i1295" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image079.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb71656.zip» v:shapes="_x0000_i1295"> и каждому <shape id="_x0000_i1296" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1296"> < <shape id="_x0000_i1297" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image079.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb71656.zip» v:shapes="_x0000_i1297"> поставлено в соответствие ординальное число х<shape id="_x0000_i1298" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1298">. Пусть <shape id="_x0000_i1299" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image065.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb71649.zip» v:shapes="_x0000_i1299"> - сумма по типу <shape id="_x0000_i1300" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image079.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb71656.zip» v:shapes="_x0000_i1300"> всех ординальных чисел х<shape id="_x0000_i1301" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1301">; обозначим её через <shape id="_x0000_i1302" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image065.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb71649.zip» v:shapes="_x0000_i1302"> =<shape id="_x0000_i1303" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image081.wmz» o:><img width=«47» height=«36» src=«dopb71657.zip» v:shapes="_x0000_i1303">.
Если Х<shape id="_x0000_i1304" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1304"> - какое-нибудь множество, упорядоченное по типу х<shape id="_x0000_i1305" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1305">, то сумма вполне упорядоченного (по типу W (<shape id="_x0000_i1306" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image079.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb71656.zip» v:shapes="_x0000_i1306">)) множества множеств Х<shape id="_x0000_i1307" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1307"> есть вполне упорядоченное множество Х, типом которого является <shape id="_x0000_i1308" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image065.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb71649.zip» v:shapes="_x0000_i1308">. Так как множество Х содержит в качестве своего подмножества каждое измножеств Х<shape id="_x0000_i1309" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1309">, то на основании теоремы 4.5 для любого х<shape id="_x0000_i1310" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1310"> имеем х<shape id="_x0000_i1311" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1311"> <shape id="_x0000_i1312" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image083.wmz» o:><img width=«25» height=«21» src=«dopb71658.zip» v:shapes="_x0000_i1312">.■
Теорема 4.7.Для любого множества ординальных чисел можно построить ординальное число, большее любого из чисел этого множества.
Доказательство.
Пусть есть множество ординальных чисел Х. На основании теоремы 4.6 сумма всех элементов х<shape id="_x0000_i1313" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1313"> множества Х есть ординальное число, большее, чем любое из данных х<shape id="_x0000_i1314" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1314">. ■
§5. ПРОСТРАНСТВО ОРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ W(<shape id="_x0000_i1315" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image051.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1315">1 ) И ЕГО СВОЙСТВА.
Мощностью ординального числа называется мощность соответствующего ему вполне упорядоченного множества. Так, числа 1, 2, 3, … являются конечными ординальными числами, <shape id="_x0000_i1316" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1316"> - счётное ординальное число, так как является порядковым типом множества N.
Обозначим <shape id="_x0000_i1317" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1317">1 – первое несчётное ординальное число. Рассмотрим W(<shape id="_x0000_i1318" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1318">1) – множество всех ординальных чисел, меньших <shape id="_x0000_i1319" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1319">1. По теореме 4.1 множество W(<shape id="_x0000_i1320" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1320">1) является вполне упорядоченным и имеет тип <shape id="_x0000_i1321" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1321">1, то есть |W(<shape id="_x0000_i1322" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1322">1)| = <shape id="_x0000_i1323" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image085.wmz» o:><img width=«16» height=«19» src=«dopb71659.zip» v:shapes="_x0000_i1323">1 – первая несчётная мощность.
Определение 2.9. Ординальное число называется предельным, если оно не имеет предшествующего.
Предложение 5.1. <shape id="_x0000_i1324" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1324">1 – предельное ординальное число.
Доказательство.
Если <shape id="_x0000_i1325" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image087.wmz» o:><img width=«43» height=«15» src=«dopb71660.zip» v:shapes="_x0000_i1325">1, то <shape id="_x0000_i1326" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1326"> - счётно или конечно. Тогда таковым будет и число <shape id="_x0000_i1327" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image089.wmz» o:><img width=«36» height=«19» src=«dopb71661.zip» v:shapes="_x0000_i1327">. Следовательно, <shape id="_x0000_i1328" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image091.wmz» o:><img width=«64» height=«19» src=«dopb71662.zip» v:shapes="_x0000_i1328">1. Таким образом, никакое число <shape id="_x0000_i1329" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image087.wmz» o:><img width=«43» height=«15» src=«dopb71660.zip» v:shapes="_x0000_i1329">1 не является предшествующим <shape id="_x0000_i1330" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1330">1. ■
Предложение 5.2. Среди чисел множества W(<shape id="_x0000_i1331" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1331">1) бесконечно много предельных ординальных чисел.
Доказательство.
Пусть <shape id="_x0000_i1332" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image087.wmz» o:><img width=«43» height=«15» src=«dopb71660.zip» v:shapes="_x0000_i1332">1, тогда <shape id="_x0000_i1333" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1333"> - конечно или счётно. Тогда <shape id="_x0000_i1334" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image093.wmz» o:><img width=«43» height=«16» src=«dopb71663.zip» v:shapes="_x0000_i1334"> - счётно, следовательно, <shape id="_x0000_i1335" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image095.wmz» o:><img width=«69» height=«16» src=«dopb71664.zip» v:shapes="_x0000_i1335">1, поэтому <shape id="_x0000_i1336" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image097.wmz» o:><img width=«89» height=«21» src=«dopb71665.zip» v:shapes="_x0000_i1336">1).■
W(<shape id="_x0000_i1337" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1337">1) – линейно упорядоченное множество, так как любые его два элемента сравнимы (по теореме 4.2). Следовательно, на нём можно ввести порядковую топологию, при этом W(<shape id="_x0000_i1338" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1338">1) становится линейно упорядоченным пространством. Для него выполняются общие топологические свойства линейно упорядоченных пространств:
1. Хаусдорфовость. Пространство W(<shape id="_x0000_i1339" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1339">1) является хаусдорфовым пространством ([1]).
2. Нормальность. Пространство W(<shape id="_x0000_i1340" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1340">1) является нормальным пространством ([1]) и, следовательно, тихоновским пространством ([3]).
3. Фундаментальная система окрестностей произвольной точки из W(<shape id="_x0000_i1341" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1341">1).
Определение 2.10. Множество <shape id="_x0000_i1342" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image099.wmz» o:><img width=«17» height=«17» src=«dopb71666.zip» v:shapes="_x0000_i1342"> окрестностей точки х образует фундаментальную систему окрестностей этой точки, если для любой окрестности U(x) точки х найдётся окрестность О(х)<shape id="_x0000_i1343" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image101.wmz» o:><img width=«29» height=«17» src=«dopb71667.zip» v:shapes="_x0000_i1343">, для которой х<shape id="_x0000_i1344" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image103.wmz» o:><img width=«97» height=«21» src=«dopb71668.zip» v:shapes="_x0000_i1344">.
Любая точка пространства W(<shape id="_x0000_i1345" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1345">1) обладает фундаментальной системой окрестностей, состоящей из открыто-замкнутых множеств, то есть для любого <shape id="_x0000_i1346" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image079.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb71656.zip» v:shapes="_x0000_i1346">> 0 множество всех открыто-замкнутых интервалов [<shape id="_x0000_i1347" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image105.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71669.zip» v:shapes="_x0000_i1347">+1; <shape id="_x0000_i1348" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image079.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb71656.zip» v:shapes="_x0000_i1348">] = ={x: <shape id="_x0000_i1349" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image105.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71669.zip» v:shapes="_x0000_i1349">< x < <shape id="_x0000_i1350" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image079.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb71656.zip» v:shapes="_x0000_i1350">+1}, где <shape id="_x0000_i1351" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image107.wmz» o:><img width=«40» height=«15» src=«dopb71670.zip» v:shapes="_x0000_i1351"> образует фундаментальную систему окрестностей точки <shape id="_x0000_i1352" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image079.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb71656.zip» v:shapes="_x0000_i1352">.
4. Локальная компактность.
Лемма 5.3.W(<shape id="_x0000_i1353" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1353">) компактно тогда и только тогда, когда <shape id="_x0000_i1354" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1354"> не является предельным ординальным числом.
Доказательство.
Необходимость. Будем доказывать методом от противного и предположим, что <shape id="_x0000_i1355" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1355"> - предельное ординальное число. Рассмотрим множество «хвостов», то есть множество вида W(<shape id="_x0000_i1356" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1356">)\W(<shape id="_x0000_i1357" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image105.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71669.zip» v:shapes="_x0000_i1357">) = {x<shape id="_x0000_i1358" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image009.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb71621.zip» v:shapes="_x0000_i1358">W(<shape id="_x0000_i1359" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1359">):
x <shape id="_x0000_i1360" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image109.wmz» o:><img width=«28» height=«17» src=«dopb71671.zip» v:shapes="_x0000_i1360">}, где <shape id="_x0000_i1361" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image105.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71669.zip» v:shapes="_x0000_i1361">– некоторое ординальное число: <shape id="_x0000_i1362" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image111.wmz» o:><img width=«41» height=«15» src=«dopb71672.zip» v:shapes="_x0000_i1362">. Это замкнутые множества. Очевидно, что пересечение конечного числа «хвостов» является «хвостом», то есть не пусто. Таким образом, «хвосты» образуют центрированную систему замкнутых множеств. Так как <shape id="_x0000_i1363" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1363"> - предельное ординальное число, то пересечение всех множеств этого семейства пусто и, следовательно, W(<shape id="_x0000_i1364" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1364">) не компактно — противоречие. Следовательно, <shape id="_x0000_i1365" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1365"> - не является предельным ординальным числом.
Достаточность. Проведём доказательство по индукции:
1.W(0) = Æ — очевидно компактно.
2.Индукционное предположение: пусть <shape id="_x0000_i1366" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1366">’ = <shape id="_x0000_i1367" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1367">+1 – не предельное ординальное число. Предположим, что W(<shape id="_x0000_i1368" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image079.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb71656.zip» v:shapes="_x0000_i1368">) компактно для любого <shape id="_x0000_i1369" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image079.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb71656.zip» v:shapes="_x0000_i1369"><<shape id="_x0000_i1370" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1370">+1.
Пусть <shape id="_x0000_i1371" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image099.wmz» o:><img width=«17» height=«17» src=«dopb71666.zip» v:shapes="_x0000_i1371"> - семейство открытых множеств, образующих покрытие пространства W(<shape id="_x0000_i1372" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1372">+1). Так как точка <shape id="_x0000_i1373" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1373"> покрыта, то существует U<shape id="_x0000_i1374" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image101.wmz» o:><img width=«29» height=«17» src=«dopb71667.zip» v:shapes="_x0000_i1374">, <shape id="_x0000_i1375" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image105.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71669.zip» v:shapes="_x0000_i1375"><<shape id="_x0000_i1376" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1376">: [<shape id="_x0000_i1377" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image105.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71669.zip» v:shapes="_x0000_i1377">+1; <shape id="_x0000_i1378" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1378">] <shape id="_x0000_i1379" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image013.wmz» o:><img width=«16» height=«16» src=«dopb71623.zip» v:shapes="_x0000_i1379">U<shape id="_x0000_i1380" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image101.wmz» o:><img width=«29» height=«17» src=«dopb71667.zip» v:shapes="_x0000_i1380">. По индукционному предположению пространство W(<shape id="_x0000_i1381" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image105.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71669.zip» v:shapes="_x0000_i1381">+1), являющееся подпространством W(<shape id="_x0000_i1382" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1382">+1), компактно, так как <shape id="_x0000_i1383" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image105.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71669.zip» v:shapes="_x0000_i1383">+1<<shape id="_x0000_i1384" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1384">+1. Поэтому конечное подсемейство F из <shape id="_x0000_i1385" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image099.wmz» o:><img width=«17» height=«17» src=«dopb71666.zip» v:shapes="_x0000_i1385"> покрывает W(<shape id="_x0000_i1386" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image105.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71669.zip» v:shapes="_x0000_i1386">+1). Тогда F<shape id="_x0000_i1387" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image067.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb71650.zip» v:shapes="_x0000_i1387">{U} – это конечное подпокрытие из <shape id="_x0000_i1388" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image099.wmz» o:><img width=«17» height=«17» src=«dopb71666.zip» v:shapes="_x0000_i1388">, которое покрывает W(<shape id="_x0000_i1389" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1389">+1). Следовательно, W(<shape id="_x0000_i1390" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1390">+1) компактно. ■
Из этой леммы следует, что пространство W(<shape id="_x0000_i1391" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1391">1) не является компактным, так как <shape id="_x0000_i1392" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1392">1 — предельное ординальное число.
Предложение 5.4.Пространство W(<shape id="_x0000_i1393" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1393">1) локально компактно.
Доказательство.
Возьмём произвольную точку <shape id="_x0000_i1394" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1394"> из W(<shape id="_x0000_i1395" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1395">1). Так как <shape id="_x0000_i1396" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1396"><shape id="_x0000_i1397" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image009.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb71621.zip» v:shapes="_x0000_i1397">W(<shape id="_x0000_i1398" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1398">1), то <shape id="_x0000_i1399" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1399"><<shape id="_x0000_i1400" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1400">1 и <shape id="_x0000_i1401" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1401">+1<<shape id="_x0000_i1402" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1402">1 (так как <shape id="_x0000_i1403" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1403">1 – предельное ординальное число). Следовательно, <shape id="_x0000_i1404" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1404">+1 не является предельным ординальным числом. В качестве окрестности точки <shape id="_x0000_i1405" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1405"> возьмём открыто-замкнутое множество U(<shape id="_x0000_i1406" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1406">) = {<shape id="_x0000_i1407" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image105.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71669.zip» v:shapes="_x0000_i1407">|
<shape id="_x0000_i1408" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image105.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71669.zip» v:shapes="_x0000_i1408"> < <shape id="_x0000_i1409" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1409">+1} = {<shape id="_x0000_i1410" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image105.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71669.zip» v:shapes="_x0000_i1410">| <shape id="_x0000_i1411" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image105.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71669.zip» v:shapes="_x0000_i1411"><shape id="_x0000_i1412" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image005.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb71619.zip» v:shapes="_x0000_i1412"><shape id="_x0000_i1413" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1413">} = W(<shape id="_x0000_i1414" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1414">+1) – компактно (по лемме 5.3) и содержит точку <shape id="_x0000_i1415" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1415">. Следовательно, W(<shape id="_x0000_i1416" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1416">1) локально компактно. ■
5. Счётные множества в W(<shape id="_x0000_i1417" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1417">1).
Определение 2.11. Множество А называется кофинальным в W(<shape id="_x0000_i1418" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image059.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb71646.zip» v:shapes="_x0000_i1418">), если оно не ограничено сверху, т. е. (<shape id="_x0000_i1419" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image113.wmz» o:><img width=«53» height=«19» src=«dopb71673.zip» v:shapes="_x0000_i1419"> ) (<shape id="_x0000_i1420" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image115.wmz» o:><img width=«91» height=«19» src=«dopb71674.zip» v:shapes="_x0000_i1420">).
Предложение 5.5. Ни одно счётное множество в W(<shape id="_x0000_i1421" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1421">1) не кофинально.
Доказательство.
Будем доказывать методом от противного и предположим, что в W(<shape id="_x0000_i1422" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1422">1) существует счётное кофинальное множество S.
Докажем, что W(<shape id="_x0000_i1423" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1423">1) = <shape id="_x0000_i1424" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image117.wmz» o:><img width=«61» height=«36» src=«dopb71675.zip» v:shapes="_x0000_i1424">:
<shape id="_x0000_i1425" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image053.wmz» o:><img width=«20» height=«16» src=«dopb71643.zip» v:shapes="_x0000_i1425"> Очевидно, что W(<shape id="_x0000_i1426" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image105.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71669.zip» v:shapes="_x0000_i1426">)<shape id="_x0000_i1427" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image013.wmz» o:><img width=«16» height=«16» src=«dopb71623.zip» v:shapes="_x0000_i1427">W(<shape id="_x0000_i1428" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1428">1) для любого <shape id="_x0000_i1429" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image119.wmz» o:><img width=«28» height=«15» src=«dopb71676.zip» v:shapes="_x0000_i1429">S<shape id="_x0000_i1430" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image013.wmz» o:><img width=«16» height=«16» src=«dopb71623.zip» v:shapes="_x0000_i1430"> W(<shape id="_x0000_i1431" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1431">1).
<shape id="_x0000_i1432" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image121.wmz» o:><img width=«20» height=«16» src=«dopb71620.zip» v:shapes="_x0000_i1432"> Докажем, что W(<shape id="_x0000_i1433" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1433">1)<shape id="_x0000_i1434" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image013.wmz» o:><img width=«16» height=«16» src=«dopb71623.zip» v:shapes="_x0000_i1434"> <shape id="_x0000_i1435" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image117.wmz» o:><img width=«61» height=«36» src=«dopb71675.zip» v:shapes="_x0000_i1435">.
Пусть <shape id="_x0000_i1436" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image122.wmz» o:><img width=«24» height=«15» src=«dopb71677.zip» v:shapes="_x0000_i1436">W(<shape id="_x0000_i1437" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71618.zip» v:shapes="_x0000_i1437">1). Так как S кофинально, то существует <shape id="_x0000_i1438" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image119.wmz» o:><img width=«28» height=«15» src=«dopb71676.zip» v:shapes="_x0000_i1438">S: <shape id="_x0000_i1439" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image124.wmz» o:><img width=«40» height=«15» src=«dopb71678.zip» v:shapes="_x0000_i1439">. Следовательно, <shape id="_x0000_i1440" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image122.wmz» o:><img width=«24» height=«15» src=«dopb71677.zip» v:shapes="_x0000_i1440">W(<shape id="_x0000_i1441" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image105.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb71669.zip» v:shapes="_x0000_i1441">)<shape id="_x0000_i1442" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image013.wmz» o:><img width=«16» height=«16» src=«dopb71623.zip» v:shapes="_x0000_i1442"><shape id="_x0000_i1443" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15285.files/image117.wmz» o:><img width=«61» height=«36» src=«dopb71675.zip» v:shapes="_x0000_i1443">.
продолжение
--PAGE_BREAK--
еще рефераты
Еще работы по математике