Реферат: Расширение понятия числа

--PAGE_BREAK--         В Древнем Египте архитектура достигла высокого развития. Для того, чтобы строить грандиозные пирамиды и храмы, чтобы вычислять длины, площади и объемы фигур, необходимо было знать арифметику.
         Из расшифрованных сведений на папирусах ученые узнали, что египтяне 4 000 лет назад имели десятичную (но не позиционную) систему счисления, умели решать многие задачи, связанные с потребностями строительства, торговли и военного дела.
         Вот как записывали египтяне свои дроби. Если, например, в результате измерения получалось дробное число 3/4, то для египтян оно представлялось в виде суммы единичных дробей Ѕ + ј .
3.1.3.Дроби в Древнем Риме
Римляне пользовались, в основном, только конкретными дробями, которые заменяли абстрактные части подразделами используемых мер. Они остановили свое внимание на мере «асс», который у римлян служил основной единицей измерения массы, а также денежной единицей. Асс делился на двенадцать частей – унций. Из них складывали все дроби со знаменателем 12, то есть 1/12,  2/12,  3/12…
Так возникли римские двенадцатеричные дроби, то есть дроби, у которых знаменателем всегда было число 12. Вместо 1/12   римляне говорили «одна унция», 5/12 – «пять унций» и т.д. Три унции назывались четвертью, четыре унции – третью, шесть унций – половиной.
Сейчас «асс» — аптекарский фунт.
3.1.4. Вавилонские шестидесятеричные дроби
         Раскопками, проведенными в ХХ веке среди развалин древних городов южной части Двуречья, обнаружено большое количество клинописных математических табличек. Ученые, изучая их, установили, что за 2000 лет до н. э. у вавилонян математика достигла высокого уровня развития.
         Письменная шестидесятеричная нумерация вавилонян комбинировалась их двух значков: вертикального клина ▼, обозначавшего единицу, и условного знака ◄, обозначавшего десять. В вавилонских клинописных текстах впервые встречается позиционная система счисления. Вертикальный клин обозначал не только 1, но и 60, 602, 603 и т.д. Знака для нуля в позиционной шестидесятеричной системе у вавилонян вначале не было. Позже был введен знак èè  , заменяющий современный ноль, для отделения разрядов между собой.
         Происхождение шестидесятеричной системы счисления у вавилонян связано, как полагают ученые, с тем, что вавилонская денежная и весовая единицы измерения подразделялись в силу исторических условий на 60 равных частей:
v 1 талант = 60 мин;
v 1 мина = 60 шекель.
Шестидесятые доли были привычны в жизни вавилонян. Вот почему они пользовались шестидесятеричными дробями, имеющими знаменателем всегда число 60 или его степени: 602 = 3600, 603 = 216000 и т.д. В этом отношении шестидесятеричные дроби можно сравнить с нашими десятичными дробями.
Вавилонская математика оказала влияние на греческую математику. Следы вавилонской шестидесятеричной системы счисления удержались в современной науке при измерении времени и углов. До наших дней сохранилось деление часа на 60 мин., минуты на 60 с, окружности на 360 градусов, градуса на 60 мин., минуты на 60с.
Вавилоняне внесли ценный вклад в развитие астрономии. Шестидесятеричными дробями пользовались в астрономии ученые всех народов до XVII века, называя их астрономическими дробями. В отличие от них, дроби общего вида, которыми пользуемся мы, были названы обыкновенными.
3.1.5. Нумерация и дроби в Древней Греции
В Древней Греции арифметику – учение об общих свойствах чисел – отделяли от логистики – искусства исчисления. Греки считали, что дроби можно использовать только в логистике. Здесь мы впервые встречаемся с общим понятием дроби вида m/n. Таким образом, можно считать, что впервые область натуральных чисел расширилась до области дополнительных рациональных чисел в Древней Греции  не позднее V столетия до н. э. Греки свободно оперировали всеми арифметическими действиями с дробями, но числами их не признавали.
В Древней Греции существовали две системы письменной нумерации: аттическая иионийская или алфавитная. Они были так названы по древнегреческим областям  — Аттика  и Иония. В аттической системе, названной также геродиановой, большинство числовых знаков являются первыми буквами греческих соответствующих числительных, например, ГЕNTE (генте или центе) – пять, ΔЕКА (дека) – десять и т.д. Эту систему применяли в Аттике до I века н.э., но в других областях Древней Греции она была еще раньше заменена более удобной алфавитной нумерацией, быстро распространившейся по всей Греции.
Греки употребляли наряду с единичными, «египетскими» дробями  и общие обыкновенные дроби. Среди разных записей употреблялась и такая: сверху знаменатель, под ним – числитель дроби. Например, 5/3 означало три пятых и т.д.
3.1.6. Нумерация и дроби на Руси
         Как свидетельствуют старинные памятники русской истории, наши предки-славяне, находившиеся в культурном общении с Византией, пользовались десятичной алфавитной славянской нумерацией, сходной с ионийской. Над буквами-числами ставился особый знак, названный титло. Для обозначения тысячи применялся другой знак, который приставлялся слева от букв.
         В русских рукописных арифметиках XVII века дроби называли долями, позднее «ломаными числами». В старых руководствах находим следующие названия дробей на Руси:
1/2 – половина, полтина
1/3 – треть
1/4 – четь
1/6 – полтреть
1/8 — полчеть
1/12 –полполтреть
1/16 — полполчеть
1/24 – полполполтреть (малая треть)
1/32 – полполполчеть (малая четь)
1/5 – пятина
1/7 — седьмина
1/10 — десятина
         Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в страну начала постепенно проникать десятичная позиционная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.
3.1.7. Дроби в других государствах древности
В китайской «Математике в девяти разделах» уже имеют место сокращения дробей и все действия с дробями.
У индийского математика Брахмагупты мы находим достаточно развитую систему дробей. У него встречаются разные дроби: и основные, и производные с любым числителем. Числитель и знаменатель записываются так же, как и у нас сейчас, но без горизонтальной черты, а просто размещаются один над другим.
Арабы первыми начали отделять чертой числитель от знаменателя.
Леонардо Пизанский уже записывает дроби, помещая в случае смешанного числа, целое число справа, но читает так, как принято у нас. Иордан Неморарий (XIII ст.) выполняет деление дробей с помощью деления числителя на числитель и знаменателя на знаменатель, уподобляя деление умножению. Для этого приходится члены первой дроби дополнять множителями:
<shapetype id="_x0000_t75" coordsize=«21600,21600» o:spt=«75» o:divferrelative=«t» path=«m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe» filled=«f» stroked=«f»><path o:extrusionok=«f» gradientshapeok=«t» o:connecttype=«rect»><lock v:ext=«edit» aspectratio=«t»><shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image001.wmz» o:><img width=«221» height=«41» src=«dopb16720.zip» v:shapes="_x0000_i1025">
В XV – XVI столетиях учение о дробях приобретает уже знакомый нам теперь вид и оформляется приблизительно в те самые разделы, которые встречаются в наших учебниках.
Следует отметить, что раздел арифметики о дробях долгое время был одним из наиболее трудных. Недаром у немцев сохранилась поговорка: «Попасть в дроби», что означало – зайти в безвыходное положение. Считалось, что тот, кто не знает дробей, не знает и арифметики.
3.1.8. Десятичные дроби
         Со временем практика измерений и вычислений показала, что проще и удобнее пользоваться такими мерами, у которых отношение двух ближайших единиц длины было бы постоянным и равнялось бы именно десяти – основанию нумерации. Этим требованиям отвечает метрическая система мер.
         Она возникла во Франции как одно из следствий буржуазной революции. Новые меры должны были удовлетворять следующим требованиям:
v основой общей системы мер должна быть единица длины;
v меры длины, площади, объема, вместимости и веса должны быть связаны между собой;
v основную меру длины следовало выбрать так, чтобы она была постоянной «для всех времен и всех народов»;
v основанием системы мер необходимо было взять число, равное основанию системы счисления.
Во Франции за основную меру длины приняли одну десятимиллионную часть четверти земного меридиана и назвали ее метром (от греческого слова «метрон», означающего «мера»). На основании измерений меридиана, сделанных французскими учеными Мешеном и Деламбром, был изготовлен впоследствии платиновый эталон метра. Число 10 легло в основу подразделений метра. Вот почему метрическая система мер, применяемая ныне в большинстве стран мира, оказалась тесно связанной с десятичной системой счисления и с десятичными дробями.
Однако следует отметить, что европейцы не первые, кто пришел к необходимости использовать десятичные дроби в математике.
Зарождение и развитие десятичных дробей в некоторых странах Азии было тесно связано с метрологией (учением о мерах). Уже во II веке до н.э. там существовала десятичная система мер длины.
Примерно в III веке н.э. десятичный счет распространился на меры массы и объема. Тогда и было создано понятие о десятичной дроби, сохранившей, однако метрологическую форму.
Например, в Китае  в Х веке существовали следующие меры массы:      1 лан = 10 цянь = 102 фэнь = 103 ли = 104 хао = 105 сы = 106 хо.
Если вначаледесятичные дроби выступали в качестве метрологических, конкретных дробей, то есть десятых, сотых и т.д. частей более крупных мер, то позже они по существу стали все более приобретать характер отвлеченных десятичных дробей. Целую часть стали отделять от дробной особым иероглифом «дянь» (точка). Однако в Китае как в древние, так и в средние века десятичные дроби не имели полной самостоятельности, оставаясь в той или иной мере связанными с метрологией.
Более полную и систематическую трактовку получают десятичные дроби в трудах среднеазиатского ученого ал-Каши в XV веке. Независимо от него, в 80-тых годах XVI века десятичные дроби были «открыты» заново в Европе нидерландским математиком Стевином.
С начала XVII века начинается интенсивное проникновение десятичных дробей в науку и практику. В Англии в качестве знака, отделяющего целую часть от дробной, была введена точка. Запятая, как и точка, в качестве разделительного знака была предложена в 1617 году математиком Непером.
Развитие промышленности и торговли, науки и техники требовали все более громоздких вычислений, которые с помощью десятичных дробей легче было выполнять. Широкое применение десятичные дроби получили в XIX веке после введения тесно связанной с ними метрической системы мер и весов. Например, в нашей стране в сельском хозяйстве и промышленности десятичные дроби и их частный вид – проценты – применяются намного чаще, чем обыкновенные дроби.
3.2.Отрицательные числа
Обходиться только натуральными числами неудобно. Например, ими нельзя вычесть большее из меньшего. Для такого случая были введены отрицательные числа: китайцами – в Х в. до н. э., индийцами – в VII веке, европейцами – только в XIII веке.
3.2.1. Отрицательные числа в Древней Азии
Положительные количества в китайской математике называли «чен», отрицательные – «фу»; их изображали разными цветами: «чен» — красным, «фу» — черным. Такой способ изображения использовался в Китае до середины XII столетия, пока Ли Е не предложил более удобное обозначение отрицательных чисел – цифры, которые изображали отрицательные числа, перечеркивали черточкой наискось справа налево.
В V-VI столетиях отрицательные числа появляются и очень широко распространяются в индийской математике. В Индии отрицательные числа систематически использовали в основном так, как это мы делаем сейчас.
Уже в произведении выдающегося индийского математика и астронома Брахмагупты (598 – около 660 гг.) мы читаем: « имущество и имущество есть имущество, сумма двух долгов есть долг; сумма имущества и нуля есть имущество; сумма двух нулей есть нуль… Долг, который отнимают от нуля, становится имуществом, а имущество – долгом. Если нужно отнять имущество от долга, а долг от имущества, то берут их сумму».
Отрицательными числами индийские математики пользовались при решении уравнений, причем вычитание заменяли добавлением с равнопротивоположным числом.
Вместе с отрицательными числами индийские математики ввели понятие ноль, что позволило им создать десятеричную систему исчисления. Но долгое время ноль не признавали числом, «nullus» по- латыни – никакой, отсутствие числа. И лишь через X веков, в XVII-ом столетии с введением системы координат ноль становится числом.
3.2.2. Развитие идеи отрицательного количества в Европе
В Европе к идее отрицательного количества достаточно близко подошел в начале XIII столетия Леонардо Пизанский, однако в явном виде отрицательные числа применил впервые в конце XV столетия французский математик Шюке.
Современное обозначение положительных и отрицательных чисел со знаками « + »  и « — » применил немецкий математик Видман, однако еще в ХVI столетии много математиков (например, Виет) не признавали отрицательных чисел.
Натуральные числа, противоположные им (отрицательные) числа и ноль называются целыми числами. Целые и дробные числа на 2-ом уровне обобщения получили общее название — рациональные числа. Их называли также относительными, потому что любое их них можно представить отношением двух целых чисел. Каждое рациональное число можно представить как бесконечную периодическую десятичную дробь.
 С помощью рациональных чисел можно осуществлять различные измерения (например, длины отрезка при выбранной единице масштаба) с любой точностью. То есть совокупность рациональных чисел достаточна для удовлетворения большинства практических потребностей.
4. Действительные числа
4.1. Иррациональные числа
 Еще в Древнем Египте и Вавилоне ХХ веков назад были известны так называемые несоизмеримые отрезки (<shape id="_x0000_i1026" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image003.wmz» o:><img width=«28» height=«25» src=«dopb16721.zip» v:shapes="_x0000_i1026">, <shape id="_x0000_i1027" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image005.wmz» o:><img width=«28» height=«27» src=«dopb16722.zip» v:shapes="_x0000_i1027"> ,  π…), которые нельзя было выразить отношением, относительными, рациональными числами.
Точно не известно, исследование каких вопросов привело к открытию несоизмеримости. Это могло произойти:
q  в геометрических расчетах при нахождении общей меры стороны и диагонали квадрата;
q  в теории музыки при попытках поделить октаву пополам, что сводится к определению среднего геометрического между 1 и 2;
q  в арифметике при определении дроби, квадрат которой равняется двум.
Речь шла об отыскании и исследовании величины, которую мы теперь обозначаем <shape id="_x0000_i1028" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image003.wmz» o:><img width=«28» height=«25» src=«dopb16721.zip» v:shapes="_x0000_i1028">. Открытие факта, что между двумя отрезками – стороной и диагональю квадрата – не существует общей меры, привело к настоящему кризису основ, по крайней мере, древнегреческой математики.
Факт существования несоизмеримых отрезков, тем не менее, не тормозил развитие геометрии в древней Греции. Греки разработали теорию отношения отрезков, которая учитывала возможность их несоизмеримости. Они умели сравнивать такие соотношения по величине, выполнять над ними арифметические действия в чисто геометрической форме, иначе говоря, пользоваться такими соотношениями как числами. Индийцы рассматривали иррациональные числа как числа нового вида, но допускающие над ними такие же арифметические действия, как и над рациональными числами. Например, индийский математик Бхаскара уничтожает иррациональность в знаменателе, умножая числитель и знаменатель на тот же самый иррациональный множитель. У него мы встречаем выражения:
<shape id="_x0000_i1029" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image007.wmz» o:><img width=«312» height=«31» src=«dopb16723.zip» v:shapes="_x0000_i1029">
         Развивая тригонометрию как самостоятельную научную дисциплину, азербайджанский ученый XIII столетия Насретдин ат-Туси (1201- 1274 гг.) трактует соотношение несоизмеримых величин как числа: «Каждое из этих соотношений может быть названо числом, которое измеряется единицей так же само, как один из членов соотношения обозначается другим из этих членов». Похожую трактовку числа давал и Омар Хайям.
         В Европе существование геометрических несоизмеримых величин в средние века не оспаривалось, но для многих иррациональные числа были лишь символами, лишенными точно определенного содержания, поэтому их называли «глухими», «недействительными», «фиктивными» и т.д.
         Только после появления геометрии Декарта (1637 г) началось применение иррациональных, как впрочем, и отрицательных чисел. Идеи Декарта привели к обобщению понятия о числе. Между точками прямой и числами было определено взаимно однозначное соответствие. В математику была введена переменная величина.
         В начале XVIII столетия существовало три понятия иррационального числа:
q  иррациональное число рассматривали как корень n-ой степени из целого или дробного числа, когда результат извлечения корня нельзя выразить «точно» целым или дробным числом;
    продолжение
--PAGE_BREAK--