Реферат: Приложение определенного интеграла к решению задач практического содержания

--PAGE_BREAK--A(b) = A = <shape id="_x0000_i1112" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image073.wmz» o:><img width=«21» height=«51» src=«dopb96335.zip» v:shapes="_x0000_i1112">f(x)dx.

3.2 Интегральное исчисление в геометрии
3.2.1 Вычисление длины дуги плоской кривой
Прямоугольные координаты
Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая AB, уравнение которой y = f(x), где a  ≤ x ≤ b. (рис 2)[7]
Под длиной дуги AB понимается предел, к которому стремиться длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремиться к нулю.
Применим схему I (метод сумм).
1.                Точками X<shape id="_x0000_i1113" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image074.wmz» o:><img width=«9» height=«24» src=«dopb96315.zip» v:shapes="_x0000_i1113"> = a, X<shape id="_x0000_i1114" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image075.wmz» o:><img width=«9» height=«17» src=«dopb96337.zip» v:shapes="_x0000_i1114">, …, X<shape id="_x0000_i1115" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image077.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb96320.zip» v:shapes="_x0000_i1115"> = b (X<shape id="_x0000_i1116" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image078.wmz» o:><img width=«9» height=«24» src=«dopb96315.zip» v:shapes="_x0000_i1116"> ≤ X<shape id="_x0000_i1117" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image079.wmz» o:><img width=«9» height=«17» src=«dopb96337.zip» v:shapes="_x0000_i1117">≤ … ≤ X<shape id="_x0000_i1118" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image080.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb96320.zip» v:shapes="_x0000_i1118">) разобьем отрезок [a, b] на n частей. Пусть этим точкам соответствуют точки M<shape id="_x0000_i1119" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image081.wmz» o:><img width=«9» height=«24» src=«dopb96315.zip» v:shapes="_x0000_i1119"> = A, M<shape id="_x0000_i1120" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image082.wmz» o:><img width=«8» height=«23» src=«dopb96316.zip» v:shapes="_x0000_i1120"> , …, M<shape id="_x0000_i1121" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image083.wmz» o:><img width=«11» height=«24» src=«dopb96332.zip» v:shapes="_x0000_i1121"> = B на кривой AB. Проведем хорды M<shape id="_x0000_i1122" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image084.wmz» o:><img width=«9» height=«24» src=«dopb96315.zip» v:shapes="_x0000_i1122">M<shape id="_x0000_i1123" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image085.wmz» o:><img width=«8» height=«23» src=«dopb96316.zip» v:shapes="_x0000_i1123">, M<shape id="_x0000_i1124" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image086.wmz» o:><img width=«8» height=«23» src=«dopb96316.zip» v:shapes="_x0000_i1124">M<shape id="_x0000_i1125" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image087.wmz» o:><img width=«11» height=«23» src=«dopb96317.zip» v:shapes="_x0000_i1125">, …, M<shape id="_x0000_i1126" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image088.wmz» o:><img width=«20» height=«24» src=«dopb96338.zip» v:shapes="_x0000_i1126">M<shape id="_x0000_i1127" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image090.wmz» o:><img width=«11» height=«24» src=«dopb96332.zip» v:shapes="_x0000_i1127"> , длины которых обозначим соответственно через ΔL<shape id="_x0000_i1128" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image091.wmz» o:><img width=«12» height=«23» src=«dopb96339.zip» v:shapes="_x0000_i1128">, ΔL<shape id="_x0000_i1129" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image093.wmz» o:><img width=«11» height=«23» src=«dopb96317.zip» v:shapes="_x0000_i1129">, …, ΔL<shape id="_x0000_i1130" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image094.wmz» o:><img width=«11» height=«24» src=«dopb96332.zip» v:shapes="_x0000_i1130">.
  <imagedata src=«dopb96340.zip» o:><img width=«438» height=«252» src=«dopb96340.zip» v:shapes="_x0000_i1131">
Получим ломанную M<shape id="_x0000_i1132" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image084.wmz» o:><img width=«9» height=«24» src=«dopb96315.zip» v:shapes="_x0000_i1132">M<shape id="_x0000_i1133" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image085.wmz» o:><img width=«8» height=«23» src=«dopb96316.zip» v:shapes="_x0000_i1133">M<shape id="_x0000_i1134" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image087.wmz» o:><img width=«11» height=«23» src=«dopb96317.zip» v:shapes="_x0000_i1134"> … M<shape id="_x0000_i1135" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image088.wmz» o:><img width=«20» height=«24» src=«dopb96338.zip» v:shapes="_x0000_i1135">M<shape id="_x0000_i1136" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image090.wmz» o:><img width=«11» height=«24» src=«dopb96332.zip» v:shapes="_x0000_i1136">, длина которой равна L<shape id="_x0000_i1137" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image094.wmz» o:><img width=«11» height=«24» src=«dopb96332.zip» v:shapes="_x0000_i1137"> =  ΔL<shape id="_x0000_i1138" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image091.wmz» o:><img width=«12» height=«23» src=«dopb96339.zip» v:shapes="_x0000_i1138">+ ΔL<shape id="_x0000_i1139" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image093.wmz» o:><img width=«11» height=«23» src=«dopb96317.zip» v:shapes="_x0000_i1139">+ … + ΔL<shape id="_x0000_i1140" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image094.wmz» o:><img width=«11» height=«24» src=«dopb96332.zip» v:shapes="_x0000_i1140"> = <shape id="_x0000_i1141" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image096.wmz» o:><img width=«31» height=«45» src=«dopb96333.zip» v:shapes="_x0000_i1141"> ΔL<shape id="_x0000_i1142" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image097.wmz» o:><img width=«5» height=«24» src=«dopb96326.zip» v:shapes="_x0000_i1142">.
2.                Длину хорды (или звена ломанной) ΔL<shape id="_x0000_i1143" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image097.wmz» o:><img width=«5» height=«24» src=«dopb96326.zip» v:shapes="_x0000_i1143"> можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами ΔX<shape id="_x0000_i1144" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image098.wmz» o:><img width=«8» height=«24» src=«dopb96322.zip» v:shapes="_x0000_i1144"> и ΔY<shape id="_x0000_i1145" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image099.wmz» o:><img width=«5» height=«24» src=«dopb96326.zip» v:shapes="_x0000_i1145">:
ΔL<shape id="_x0000_i1146" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image097.wmz» o:><img width=«5» height=«24» src=«dopb96326.zip» v:shapes="_x0000_i1146"> = <shape id="_x0000_i1147" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image100.wmz» o:><img width=«120» height=«29» src=«dopb96341.zip» v:shapes="_x0000_i1147">, где ΔX<shape id="_x0000_i1148" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image098.wmz» o:><img width=«8» height=«24» src=«dopb96322.zip» v:shapes="_x0000_i1148"> = X<imagedata src=«21617.files/image102.wmz» o:><img width=«8» height=«24» src=«dopb96322.zip» v:shapes="_x0000_i1149"> - X<shape id="_x0000_i1150" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image103.wmz» o:><img width=«17» height=«24» src=«dopb96342.zip» v:shapes="_x0000_i1150">, ΔY<shape id="_x0000_i1151" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image099.wmz» o:><img width=«5» height=«24» src=«dopb96326.zip» v:shapes="_x0000_i1151"> = f(X<shape id="_x0000_i1152" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image105.wmz» o:><img width=«8» height=«24» src=«dopb96322.zip» v:shapes="_x0000_i1152">) – f(X<shape id="_x0000_i1153" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image103.wmz» o:><img width=«17» height=«24» src=«dopb96342.zip» v:shapes="_x0000_i1153">).
По теореме Лагранжа о конечном приращении функции ΔY<shape id="_x0000_i1154" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image099.wmz» o:><img width=«5» height=«24» src=«dopb96326.zip» v:shapes="_x0000_i1154"> = <shape id="_x0000_i1155" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image106.wmz» o:><img width=«25» height=«33» src=«dopb96343.zip» v:shapes="_x0000_i1155">(C<shape id="_x0000_i1156" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image108.wmz» o:><img width=«8» height=«24» src=«dopb96322.zip» v:shapes="_x0000_i1156">) ΔX<shape id="_x0000_i1157" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image098.wmz» o:><img width=«5» height=«24» src=«dopb96326.zip» v:shapes="_x0000_i1157">, где C<shape id="_x0000_i1158" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image109.wmz» o:><img width=«8» height=«24» src=«dopb96322.zip» v:shapes="_x0000_i1158"> <shape id="_x0000_i1159" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image110.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb96331.zip» v:shapes="_x0000_i1159"> (X<shape id="_x0000_i1160" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image103.wmz» o:><img width=«17» height=«24» src=«dopb96342.zip» v:shapes="_x0000_i1160">, X<imagedata src=«21617.files/image102.wmz» o:><img width=«8» height=«24» src=«dopb96322.zip» v:shapes="_x0000_i1161">). Поэтому
ΔL<shape id="_x0000_i1162" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image097.wmz» o:><img width=«5» height=«24» src=«dopb96326.zip» v:shapes="_x0000_i1162"> = <shape id="_x0000_i1163" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image111.wmz» o:><img width=«156» height=«29» src=«dopb96344.zip» v:shapes="_x0000_i1163"> = <shape id="_x0000_i1164" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image113.wmz» o:><img width=«131» height=«31» src=«dopb96345.zip» v:shapes="_x0000_i1164"> ,
а длина всей ломанной M<shape id="_x0000_i1165" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image084.wmz» o:><img width=«9» height=«24» src=«dopb96315.zip» v:shapes="_x0000_i1165">M<shape id="_x0000_i1166" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image085.wmz» o:><img width=«8» height=«23» src=«dopb96316.zip» v:shapes="_x0000_i1166">M<shape id="_x0000_i1167" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image087.wmz» o:><img width=«11» height=«23» src=«dopb96317.zip» v:shapes="_x0000_i1167"> … M<shape id="_x0000_i1168" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image088.wmz» o:><img width=«20» height=«24» src=«dopb96338.zip» v:shapes="_x0000_i1168">M<shape id="_x0000_i1169" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image090.wmz» o:><img width=«11» height=«24» src=«dopb96332.zip» v:shapes="_x0000_i1169"> равна
L<shape id="_x0000_i1170" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image115.wmz» o:><img width=«11» height=«24» src=«dopb96332.zip» v:shapes="_x0000_i1170"> = <shape id="_x0000_i1171" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image096.wmz» o:><img width=«31» height=«45» src=«dopb96333.zip» v:shapes="_x0000_i1171"> ΔL<shape id="_x0000_i1172" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image097.wmz» o:><img width=«5» height=«24» src=«dopb96326.zip» v:shapes="_x0000_i1172"> = <shape id="_x0000_i1173" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image096.wmz» o:><img width=«31» height=«45» src=«dopb96333.zip» v:shapes="_x0000_i1173"><shape id="_x0000_i1174" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image113.wmz» o:><img width=«131» height=«31» src=«dopb96345.zip» v:shapes="_x0000_i1174">.
Длина кривой AB, по определению, равна L = <shape id="_x0000_i1175" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image116.wmz» o:><img width=«53» height=«37» src=«dopb96346.zip» v:shapes="_x0000_i1175">L<shape id="_x0000_i1176" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image118.wmz» o:><img width=«11» height=«24» src=«dopb96332.zip» v:shapes="_x0000_i1176"> = <shape id="_x0000_i1177" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image116.wmz» o:><img width=«53» height=«37» src=«dopb96346.zip» v:shapes="_x0000_i1177"><shape id="_x0000_i1178" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image096.wmz» o:><img width=«31» height=«45» src=«dopb96333.zip» v:shapes="_x0000_i1178"> ΔL<shape id="_x0000_i1179" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image097.wmz» o:><img width=«5» height=«24» src=«dopb96326.zip» v:shapes="_x0000_i1179">. Заметим, что при ΔL<shape id="_x0000_i1180" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image097.wmz» o:><img width=«5» height=«24» src=«dopb96326.zip» v:shapes="_x0000_i1180"> <shape id="_x0000_i1181" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image119.wmz» o:><img width=«20» height=«15» src=«dopb96336.zip» v:shapes="_x0000_i1181"> 0 также и ΔX<shape id="_x0000_i1182" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image098.wmz» o:><img width=«5» height=«24» src=«dopb96326.zip» v:shapes="_x0000_i1182">  <shape id="_x0000_i1183" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image120.wmz» o:><img width=«20» height=«15» src=«dopb96336.zip» v:shapes="_x0000_i1183"> 0 (ΔL<shape id="_x0000_i1184" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image097.wmz» o:><img width=«5» height=«24» src=«dopb96326.zip» v:shapes="_x0000_i1184"> = <shape id="_x0000_i1185" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image100.wmz» o:><img width=«120» height=«29» src=«dopb96341.zip» v:shapes="_x0000_i1185"> и следовательно | ΔX<shape id="_x0000_i1186" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image098.wmz» o:><img width=«5» height=«24» src=«dopb96326.zip» v:shapes="_x0000_i1186"> | < ΔL<shape id="_x0000_i1187" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image097.wmz» o:><img width=«5» height=«24» src=«dopb96326.zip» v:shapes="_x0000_i1187">). Функция <shape id="_x0000_i1188" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image121.wmz» o:><img width=«96» height=«29» src=«dopb96347.zip» v:shapes="_x0000_i1188"> непрерывна на отрезке [a, b], так как, по условию, непрерывна функция f<shape id="_x0000_i1189" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image123.wmz» o:><img width=«8» height=«20» src=«dopb96348.zip» v:shapes="_x0000_i1189"> (X). Следовательно, существует предел интегральной суммы L<shape id="_x0000_i1190" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image115.wmz» o:><img width=«11» height=«24» src=«dopb96332.zip» v:shapes="_x0000_i1190"> = <shape id="_x0000_i1191" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image096.wmz» o:><img width=«31» height=«45» src=«dopb96333.zip» v:shapes="_x0000_i1191"> ΔL<shape id="_x0000_i1192" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image097.wmz» o:><img width=«5» height=«24» src=«dopb96326.zip» v:shapes="_x0000_i1192"> = <shape id="_x0000_i1193" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image096.wmz» o:><img width=«31» height=«45» src=«dopb96333.zip» v:shapes="_x0000_i1193"><shape id="_x0000_i1194" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image113.wmz» o:><img width=«131» height=«31» src=«dopb96345.zip» v:shapes="_x0000_i1194">, кода  max ΔX<shape id="_x0000_i1195" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image098.wmz» o:><img width=«5» height=«24» src=«dopb96326.zip» v:shapes="_x0000_i1195">  <shape id="_x0000_i1196" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image125.wmz» o:><img width=«20» height=«15» src=«dopb96336.zip» v:shapes="_x0000_i1196"> 0:
L = <shape id="_x0000_i1197" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image126.wmz» o:><img width=«51» height=«47» src=«dopb96349.zip» v:shapes="_x0000_i1197"><shape id="_x0000_i1198" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image096.wmz» o:><img width=«31» height=«45» src=«dopb96333.zip» v:shapes="_x0000_i1198"><shape id="_x0000_i1199" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image128.wmz» o:><img width=«131» height=«31» src=«dopb96345.zip» v:shapes="_x0000_i1199"> = <shape id="_x0000_i1200" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image129.wmz» o:><img width=«21» height=«51» src=«dopb96335.zip» v:shapes="_x0000_i1200"><shape id="_x0000_i1201" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image121.wmz» o:><img width=«96» height=«29» src=«dopb96347.zip» v:shapes="_x0000_i1201">dx.
Таким образом, L = <shape id="_x0000_i1202" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image129.wmz» o:><img width=«21» height=«51» src=«dopb96335.zip» v:shapes="_x0000_i1202"><shape id="_x0000_i1203" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image121.wmz» o:><img width=«96» height=«29» src=«dopb96347.zip» v:shapes="_x0000_i1203">dx.
Пример: Найти длину окружности радиуса R. (рис 3)[5]
Решение:

<imagedata src=«21617.files/image130.png» o:><img width=«173» height=«179» src=«dopb96350.zip» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1028">Найдем ¼ часть ее длины от точки (0;R) до точки (R;0). Так как y = <shape id="_x0000_i1204" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image132.wmz» o:><img width=«71» height=«25» src=«dopb96351.zip» v:shapes="_x0000_i1204">,  ¼L = <shape id="_x0000_i1205" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image134.wmz» o:><img width=«21» height=«51» src=«dopb96352.zip» v:shapes="_x0000_i1205"> <shape id="_x0000_i1206" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image136.wmz» o:><img width=«93» height=«48» src=«dopb96353.zip» v:shapes="_x0000_i1206">dx = R arcsin<shape id="_x0000_i1207" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image003.wmz» o:><img width=«12» height=«23» src=«dopb96314.zip» v:shapes="_x0000_i1207"><shape id="_x0000_i1208" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image138.wmz» o:><img width=«40» height=«41» src=«dopb96354.zip» v:shapes="_x0000_i1208"> = R <shape id="_x0000_i1209" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image140.wmz» o:><img width=«17» height=«41» src=«dopb96355.zip» v:shapes="_x0000_i1209">.
   

Значит L = 2<shape id="_x0000_i1210" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image142.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1210">R.
Полярные координаты
         Пусть кривая AB задана уравнением в полярных координатах r = r(<shape id="_x0000_i1211" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image144.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb96357.zip» v:shapes="_x0000_i1211">),  <shape id="_x0000_i1212" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image146.wmz» o:><img width=«72» height=«21» src=«dopb96358.zip» v:shapes="_x0000_i1212">. Предположим, что r(<shape id="_x0000_i1213" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image144.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb96357.zip» v:shapes="_x0000_i1213">) и r<shape id="_x0000_i1214" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image148.wmz» o:><img width=«8» height=«20» src=«dopb96348.zip» v:shapes="_x0000_i1214">(<shape id="_x0000_i1215" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image144.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb96357.zip» v:shapes="_x0000_i1215">) непрерывны на отрезке [<shape id="_x0000_i1216" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image149.wmz» o:><img width=«32» height=«21» src=«dopb96359.zip» v:shapes="_x0000_i1216">].
         Если в равенствах x = r cos<shape id="_x0000_i1217" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image144.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb96357.zip» v:shapes="_x0000_i1217">, y = r sin<shape id="_x0000_i1218" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image144.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb96357.zip» v:shapes="_x0000_i1218">, связывающих полярные и декартовы координаты, параметром считать угол <shape id="_x0000_i1219" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image144.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb96357.zip» v:shapes="_x0000_i1219">, то кривую AB можно задать параметрически <shape id="_x0000_i1220" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image151.wmz» o:><img width=«101» height=«48» src=«dopb96360.zip» v:shapes="_x0000_i1220"> 
Тогда
<shape id="_x0000_i1221" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image153.wmz» o:><img width=«160» height=«59» src=«dopb96361.zip» v:shapes="_x0000_i1221">
Поэтому
         <shape id="_x0000_i1222" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image155.wmz» o:><img width=«99» height=«32» src=«dopb96362.zip» v:shapes="_x0000_i1222"> = <shape id="_x0000_i1223" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image157.wmz» o:><img width=«355» height=«29» src=«dopb96363.zip» v:shapes="_x0000_i1223"> =
                                                                                     <shape id="_x0000_i1224" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image159.wmz» o:><img width=«132» height=«29» src=«dopb96364.zip» v:shapes="_x0000_i1224">
<imagedata src=«21617.files/image161.png» o:><img width=«211» height=«169» src=«dopb96365.zip» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1030">Применяя формулу L = <shape id="_x0000_i1225" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image163.wmz» o:><img width=«21» height=«51» src=«dopb96366.zip» v:shapes="_x0000_i1225"><shape id="_x0000_i1226" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image165.wmz» o:><img width=«140» height=«29» src=«dopb96367.zip» v:shapes="_x0000_i1226">, получаем
                                               L = <shape id="_x0000_i1227" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image163.wmz» o:><img width=«21» height=«51» src=«dopb96366.zip» v:shapes="_x0000_i1227"><shape id="_x0000_i1228" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image167.wmz» o:><img width=«87» height=«28» src=«dopb96368.zip» v:shapes="_x0000_i1228">
Пример: Найти длину кардиоиды r = a(1 + cos<shape id="_x0000_i1229" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image169.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb96357.zip» v:shapes="_x0000_i1229">).
[5]    
   

Решение: Кардиоида r = a(1 + cos<shape id="_x0000_i1230" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image169.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb96357.zip» v:shapes="_x0000_i1230">) симметрична относительно полярной оси. Найдем половину
             (рис 4)                    длины кардиоиды:
½ L = <shape id="_x0000_i1231" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image170.wmz» o:><img width=«21» height=«51» src=«dopb96369.zip» v:shapes="_x0000_i1231"><shape id="_x0000_i1232" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image172.wmz» o:><img width=«219» height=«29» src=«dopb96370.zip» v:shapes="_x0000_i1232"> = a <shape id="_x0000_i1233" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image170.wmz» o:><img width=«21» height=«51» src=«dopb96369.zip» v:shapes="_x0000_i1233"><shape id="_x0000_i1234" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image174.wmz» o:><img width=«91» height=«27» src=«dopb96371.zip» v:shapes="_x0000_i1234"> = a <shape id="_x0000_i1235" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image170.wmz» o:><img width=«21» height=«51» src=«dopb96369.zip» v:shapes="_x0000_i1235"><shape id="_x0000_i1236" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image176.wmz» o:><img width=«115» height=«47» src=«dopb96372.zip» v:shapes="_x0000_i1236"> = 2a <shape id="_x0000_i1237" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image170.wmz» o:><img width=«21» height=«51» src=«dopb96369.zip» v:shapes="_x0000_i1237">cos<shape id="_x0000_i1238" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image178.wmz» o:><img width=«17» height=«41» src=«dopb96373.zip» v:shapes="_x0000_i1238"> d<shape id="_x0000_i1239" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image180.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb96357.zip» v:shapes="_x0000_i1239"> = 4a sin<shape id="_x0000_i1240" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image181.wmz» o:><img width=«17» height=«41» src=«dopb96373.zip» v:shapes="_x0000_i1240"><shape id="_x0000_i1241" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image182.wmz» o:><img width=«17» height=«48» src=«dopb96374.zip» v:shapes="_x0000_i1241"> = 4a.
3.2.2 Вычисление объема тела
Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений
Пусть требуется найти объем Vтела (рис 5), причем известны площади  сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, на­пример оси Ox:S= S(x), a x b [5]
Применим схему II (метод дифференциала).
  <imagedata src=«dopb96375.zip» o:><img width=«464» height=«225» src=«dopb96375.zip» v:shapes="_x0000_i1242">
1.                Через произвольную точку x<shape id="_x0000_i1243" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image185.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb96331.zip» v:shapes="_x0000_i1243"> [а; b]проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох. Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно изменяю­щейся при изменении x. Через v(x) обозна­чим объем части тела, лежащее левее плос­кости П. Будем считать, что на отрезке [а; x]величина vесть функция от x, т. е. v= у(x) (v(a) = 0, v(b) = V).
2. Находим дифференциал dVфункции v= v(x). Он представляет собой  
“элементарный слой” тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках xи x+ Δx, который при­ближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(x) и высотой      dx. Поэтому дифференциал объема dV= S(х) dх.
2.                Находим искомую величину Vпутем интегрирования dА в пределах от a до b:
V = <shape id="_x0000_i1244" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image186.wmz» o:><img width=«21» height=«51» src=«dopb96335.zip» v:shapes="_x0000_i1244">S(x) dx
Формула объема тела по площади параллельных сечений
Пример: Найти объем эллипсоида <shape id="_x0000_i1245" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image187.wmz» o:><img width=«116» height=«44» src=«dopb96376.zip» v:shapes="_x0000_i1245"> (рис 6)[5]
  <imagedata src=«dopb96377.zip» o:><img width=«445» height=«241» src=«dopb96377.zip» v:shapes="_x0000_i1246">
Решение: Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости OYZ и на расстоянии х от нее (-a x b.), получим эллипс
<shape id="_x0000_i1247" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image190.wmz» o:><img width=«204» height=«72» src=«dopb96378.zip» v:shapes="_x0000_i1247">
Площадь этого эллипса равна S(x) = <shape id="_x0000_i1248" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image192.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1248">bc(1 — <shape id="_x0000_i1249" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image193.wmz» o:><img width=«23» height=«44» src=«dopb96379.zip» v:shapes="_x0000_i1249">). Поэтому, по формуле имеем
V = <shape id="_x0000_i1250" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image192.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1250">bc<shape id="_x0000_i1251" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image195.wmz» o:><img width=«23» height=«51» src=«dopb96380.zip» v:shapes="_x0000_i1251">(1 — <shape id="_x0000_i1252" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image193.wmz» o:><img width=«23» height=«44» src=«dopb96379.zip» v:shapes="_x0000_i1252">)dx= <shape id="_x0000_i1253" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image197.wmz» o:><img width=«16» height=«41» src=«dopb96381.zip» v:shapes="_x0000_i1253"><shape id="_x0000_i1254" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image192.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1254">abc.
 Объем тела вращения
Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией у = f(х) ≥ 0, отрезком а ≤ х bи прямыми х = а и х = b(рис 7). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Oх), есть круг с радиусом у = f(х). Следовательно,
S(x)=<shape id="_x0000_i1255" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image199.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1255">y<shape id="_x0000_i1256" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image200.wmz» o:><img width=«11» height=«20» src=«dopb96382.zip» v:shapes="_x0000_i1256">.
Применяя формулу V= <shape id="_x0000_i1257" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image186.wmz» o:><img width=«21» height=«51» src=«dopb96335.zip» v:shapes="_x0000_i1257">S(x) dx объема тела по площади
параллельных сечений, получаем
<imagedata src=«21617.files/image202.png» o:><img width=«325» height=«248» src=«dopb96383.zip» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1034">
V<shape id="_x0000_i1258" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image204.wmz» o:><img width=«11» height=«24» src=«dopb96384.zip» v:shapes="_x0000_i1258"> = <shape id="_x0000_i1259" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image206.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1259"><shape id="_x0000_i1260" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image207.wmz» o:><img width=«21» height=«51» src=«dopb96335.zip» v:shapes="_x0000_i1260">y<shape id="_x0000_i1261" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image208.wmz» o:><img width=«11» height=«20» src=«dopb96382.zip» v:shapes="_x0000_i1261">dx.
Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции x = <shape id="_x0000_i1262" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image209.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb96357.zip» v:shapes="_x0000_i1262">(x) ≥ 0 и прямыми x = 0, y = c, y = d (c <
<img width=«90» height=«42» src=«dopb96385.zip» hspace=«12» alt=«Подпись: Рис 7» v:shapes="_x0000_s1035">d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой V= <shape id="_x0000_i1263" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image186.wmz» o:><img width=«21» height=«51» src=«dopb96335.zip» v:shapes="_x0000_i1263">S(x) dx, равен
V=<shape id="_x0000_i1264" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image211.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1264"><shape id="_x0000_i1265" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image186.wmz» o:><img width=«21» height=«51» src=«dopb96335.zip» v:shapes="_x0000_i1265">x<shape id="_x0000_i1266" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image212.wmz» o:><img width=«11» height=«20» src=«dopb96382.zip» v:shapes="_x0000_i1266">dy.
Пример:Найти объем тела, образован­ного вращением фигуры, ограниченной линия­ми у = <shape id="_x0000_i1267" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image213.wmz» o:><img width=«23» height=«44» src=«dopb96386.zip» v:shapes="_x0000_i1267">, x = 0, у = 2<shape id="_x0000_i1268" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image215.wmz» o:><img width=«25» height=«23» src=«dopb96387.zip» v:shapes="_x0000_i1268"> вокруг оси Оу.[5]
Решение: По формуле V=<shape id="_x0000_i1269" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image211.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1269"><shape id="_x0000_i1270" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image186.wmz» o:><img width=«21» height=«51» src=«dopb96335.zip» v:shapes="_x0000_i1270">x<shape id="_x0000_i1271" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image212.wmz» o:><img width=«11» height=«20» src=«dopb96382.zip» v:shapes="_x0000_i1271">dy.
 находим:
V<shape id="_x0000_i1272" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image217.wmz» o:><img width=«11» height=«25» src=«dopb96388.zip» v:shapes="_x0000_i1272"> = <shape id="_x0000_i1273" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image206.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1273"><shape id="_x0000_i1274" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image219.wmz» o:><img width=«27» height=«52» src=«dopb96389.zip» v:shapes="_x0000_i1274">2ydy = <shape id="_x0000_i1275" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image206.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1275">y<shape id="_x0000_i1276" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image221.wmz» o:><img width=«11» height=«20» src=«dopb96382.zip» v:shapes="_x0000_i1276"><shape id="_x0000_i1277" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image222.wmz» o:><img width=«36» height=«53» src=«dopb96390.zip» v:shapes="_x0000_i1277"> = 8<shape id="_x0000_i1278" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image206.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1278">.
3.2.3Вычисление площади поверхности вращения
Пусть кривая АВ является графиком функции у = f(х) ≥  0, где х <shape id="_x0000_i1279" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image224.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb96331.zip» v:shapes="_x0000_i1279"> [а;b], а функция у = f(х) и ее производная у' = f'(х) непрерывны на этом отрезке.
Найдем площадь S поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ох (рис 8).
Применим схему II (метод дифференциала).
1. Через произвольную точку х <shape id="_x0000_i1280" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image225.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb96331.zip» v:shapes="_x0000_i1280"> [а; b] проведем плос­кость П, перпендикулярную оси Ох. Плоскость П пере­секает поверхность вращения по окружности с радиусом у  -  f(х). Величина S поверхности части фи­гуры вращения, лежащей левее плоскости, является функ­цией от х, т. е. s = s(х) (s(а) = 0 и s(b) = S).
2. Дадим аргументу х приращение Δх = dх. Через точку х + dх <shape id="_x0000_i1281" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image225.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb96331.zip» v:shapes="_x0000_i1281"> [а; b]также проведем плоскость, перпендику­лярную оси Ох. Функция s = s(х) получит приращение Δs, изображенного на рисунке в виде “пояска”.
<imagedata src=«21617.files/image226.png» o:><img width=«301» height=«235» src=«dopb96391.zip» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1036"><img width=«102» height=«42» src=«dopb96392.zip» hspace=«12» alt=«Подпись: Рис 8» v:shapes="_x0000_s1037">Найдем дифференциал площади ds, заменяя образо­ванную между сечениями фигуру усеченным конусом, об­разующая которого равна dl, а радиусы оснований рав­ны у и у + dу. Площадь его боковой поверхности равна ds= <shape id="_x0000_i1282" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image206.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1282"> (у + у + dу) • d1 = 2<shape id="_x0000_i1283" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image206.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1283">ydl + <shape id="_x0000_i1284" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image206.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1284">dydl.Отбрасывая произведение dу d1 как бесконечно малую высшего порядка, чем ds, получаем ds= 2<shape id="_x0000_i1285" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image206.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1285">уdl, или, так как d1  = <shape id="_x0000_i1286" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image229.wmz» o:><img width=«71» height=«31» src=«dopb96393.zip» v:shapes="_x0000_i1286">dx.
3.                Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получаем
S<shape id="_x0000_i1287" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image231.wmz» o:><img width=«11» height=«24» src=«dopb96384.zip» v:shapes="_x0000_i1287">= 2<shape id="_x0000_i1288" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image232.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1288"><shape id="_x0000_i1289" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image233.wmz» o:><img width=«21» height=«51» src=«dopb96335.zip» v:shapes="_x0000_i1289">y<shape id="_x0000_i1290" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image229.wmz» o:><img width=«71» height=«31» src=«dopb96393.zip» v:shapes="_x0000_i1290">dx.
Если кривая AB задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), t<shape id="_x0000_i1291" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image234.wmz» o:><img width=«8» height=«23» src=«dopb96316.zip» v:shapes="_x0000_i1291">≤ t <shape id="_x0000_i1292" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image235.wmz» o:><img width=«8» height=«23» src=«dopb96316.zip» v:shapes="_x0000_i1292">≤ t<shape id="_x0000_i1293" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image236.wmz» o:><img width=«11» height=«23» src=«dopb96317.zip» v:shapes="_x0000_i1293">, то формула для площади поверхности вращения принимает вид
S<shape id="_x0000_i1294" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image237.wmz» o:><img width=«11» height=«24» src=«dopb96384.zip» v:shapes="_x0000_i1294"> = 2<shape id="_x0000_i1295" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image238.wmz» o:><img width=«199» height=«55» src=«dopb96394.zip» v:shapes="_x0000_i1295">dt.
Пример: Найти площадь поверхности шара радиуса R.[5]
Решение: Можно считать, что поверхность шара образована вращением полуокружности y = <shape id="_x0000_i1296" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image240.wmz» o:><img width=«64» height=«27» src=«dopb96395.zip» v:shapes="_x0000_i1296">, -R ≤ x ≤ R, вокруг оси Ox. По формуле S<shape id="_x0000_i1297" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image231.wmz» o:><img width=«11» height=«24» src=«dopb96384.zip» v:shapes="_x0000_i1297">= 2<shape id="_x0000_i1298" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image232.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1298"><shape id="_x0000_i1299" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image233.wmz» o:><img width=«21» height=«51» src=«dopb96335.zip» v:shapes="_x0000_i1299">y<shape id="_x0000_i1300" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image229.wmz» o:><img width=«71» height=«31» src=«dopb96393.zip» v:shapes="_x0000_i1300">dx  находим
S = 2<shape id="_x0000_i1301" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image242.wmz» o:><img width=«223» height=«51» src=«dopb96396.zip» v:shapes="_x0000_i1301"> =
<shape id="_x0000_i1302" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image244.wmz» o:><img width=«279» height=«49» src=«dopb96397.zip» v:shapes="_x0000_i1302">
3.2.4.1.                 Вычисление площадей плоских фигур
Прямоугольные координаты  
Пусть функция f(х) непрерывна на сегменте [а;b]. Если  f(х )≥0 на [а; b]то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями у =f(х), у = 0, х = а, х = b, равна интегралу
<shape id="_x0000_i1303" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image246.wmz» o:><img width=«91» height=«51» src=«dopb96398.zip» v:shapes="_x0000_i1303">
Если же f(x) ≤ 0 на [а; b]то — f(х) ≥ 0 на [а; b]. Поэтому площадь S соответствующей криволинейной трапеции выразится формулой
<shape id="_x0000_i1304" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image248.wmz» o:><img width=«97» height=«51» src=«dopb96399.zip» v:shapes="_x0000_i1304"> или
                            <shape id="_x0000_i1305" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image250.wmz» o:><img width=«105» height=«51» src=«dopb96400.zip» v:shapes="_x0000_i1305">
<imagedata src=«21617.files/image252.png» o:><img width=«131» height=«232» src=«dopb96401.zip» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1038">Если, наконец, кривая y=f(х) пересекает ось Ох, то сегмент [а;b]надо разбить на части, в пределах которых f(х) не меняет знака, и к каждой такой части применить ту из формул, которая ей соот­ветствует.
  Пример. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной параболой y = x2, прямыми х=1, х = 3 и осью Ох (рис 9). [1]
Решение. Пользуясь формулой <shape id="_x0000_i1306" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image246.wmz» o:><img width=«91» height=«51» src=«dopb96398.zip» v:shapes="_x0000_i1306">, нахо­дим искомую площадь
S = <shape id="_x0000_i1307" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image254.wmz» o:><img width=«180» height=«49» src=«dopb96402.zip» v:shapes="_x0000_i1307">
<imagedata src=«21617.files/image256.png» o:><img width=«269» height=«119» src=«dopb96403.zip» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1040">  Пример. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции у = sinх и осью абс­цисс при условии <shape id="_x0000_i1308" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image258.wmz» o:><img width=«75» height=«19» src=«dopb96404.zip» v:shapes="_x0000_i1308"> (рис 10). [1]
Решение. Разбиваем сег­мент [0; <shape id="_x0000_i1309" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image260.wmz» o:><img width=«24» height=«19» src=«dopb96405.zip» v:shapes="_x0000_i1309">] на два сегмента [0; <shape id="_x0000_i1310" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image262.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1310">] и [<shape id="_x0000_i1311" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image263.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1311">; 2<shape id="_x0000_i1312" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image263.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1312">]. На первом из них sinx ≥ 0, на втором — sinx ≤ 0. Следовательно, ис­пользуя формулы
<shape id="_x0000_i1313" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image246.wmz» o:><img width=«91» height=«51» src=«dopb96398.zip» v:shapes="_x0000_i1313"> и <shape id="_x0000_i1314" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image248.wmz» o:><img width=«97» height=«51» src=«dopb96399.zip» v:shapes="_x0000_i1314"> , имеем, что искомая площадь
<shape id="_x0000_i1315" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image264.wmz» o:><img width=«348» height=«53» src=«dopb96406.zip» v:shapes="_x0000_i1315">
Полярные координаты.
 Пусть требует­ся определить площадь сектора ОАВ, ограниченного лу­чами <shape id="_x0000_i1316" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image266.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb96357.zip» v:shapes="_x0000_i1316"> = <shape id="_x0000_i1317" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image267.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb96407.zip» v:shapes="_x0000_i1317">, <shape id="_x0000_i1318" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image269.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb96357.zip» v:shapes="_x0000_i1318"> = <shape id="_x0000_i1319" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image270.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb96408.zip» v:shapes="_x0000_i1319"> и кривой АВ (рис 11), заданной в полярной системе координат уравнением r= r(<shape id="_x0000_i1320" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image269.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb96357.zip» v:shapes="_x0000_i1320">), где r(<shape id="_x0000_i1321" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image269.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb96357.zip» v:shapes="_x0000_i1321">) — функция, непрерывная на сегменте [<shape id="_x0000_i1322" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image272.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb96407.zip» v:shapes="_x0000_i1322">; <shape id="_x0000_i1323" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image273.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb96408.zip» v:shapes="_x0000_i1323">].
<imagedata src=«21617.files/image274.png» o:><img width=«412» height=«149» src=«dopb96409.zip» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1042">    Разобьем отрезок [<shape id="_x0000_i1324" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image276.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb96407.zip» v:shapes="_x0000_i1324">; <shape id="_x0000_i1325" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image277.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb96408.zip» v:shapes="_x0000_i1325">] на п частей точками <shape id="_x0000_i1326" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image276.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb96407.zip» v:shapes="_x0000_i1326"> = <shape id="_x0000_i1327" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image266.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb96357.zip» v:shapes="_x0000_i1327">о<<shape id="_x0000_i1328" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image266.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb96357.zip» v:shapes="_x0000_i1328">1 < ...< <shape id="_x0000_i1329" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image266.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb96357.zip» v:shapes="_x0000_i1329"><shape id="_x0000_i1330" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image278.wmz» o:><img width=«33» height=«19» src=«dopb96410.zip» v:shapes="_x0000_i1330"> <<shape id="_x0000_i1331" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image266.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb96357.zip» v:shapes="_x0000_i1331"><shape id="_x0000_i1332" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image280.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb96320.zip» v:shapes="_x0000_i1332"> = <shape id="_x0000_i1333" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image281.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb96408.zip» v:shapes="_x0000_i1333"> и положим: Δ<shape id="_x0000_i1334" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image282.wmz» o:><img width=«20» height=«24» src=«dopb96411.zip» v:shapes="_x0000_i1334"> = <shape id="_x0000_i1335" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image284.wmz» o:><img width=«20» height=«24» src=«dopb96411.zip» v:shapes="_x0000_i1335"> — <shape id="_x0000_i1336" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image285.wmz» o:><img width=«29» height=«24» src=«dopb96412.zip» v:shapes="_x0000_i1336"> k = 1, 2, ..., n. Наи­большую из этих разностей обозначим через <shape id="_x0000_i1337" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image287.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb96413.zip» v:shapes="_x0000_i1337">: <shape id="_x0000_i1338" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image289.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb96413.zip» v:shapes="_x0000_i1338">= max Δ<shape id="_x0000_i1339" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image282.wmz» o:><img width=«20» height=«24» src=«dopb96411.zip» v:shapes="_x0000_i1339">. Разо­бьем данный сектор на п частей лучами  <shape id="_x0000_i1340" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image290.wmz» o:><img width=«19» height=«25» src=«dopb96414.zip» v:shapes="_x0000_i1340"> = <shape id="_x0000_i1341" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image284.wmz» o:><img width=«20» height=«24» src=«dopb96411.zip» v:shapes="_x0000_i1341"> (k=1, 2, ..., п — 1). Заменим k-й элементарный сектор круговым сектором радиуса r(<shape id="_x0000_i1342" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image292.wmz» o:><img width=«19» height=«24» src=«dopb96415.zip» v:shapes="_x0000_i1342">), где <shape id="_x0000_i1343" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image294.wmz» o:><img width=«19» height=«24» src=«dopb96415.zip» v:shapes="_x0000_i1343"><shape id="_x0000_i1344" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image295.wmz» o:><img width=«73» height=«24» src=«dopb96416.zip» v:shapes="_x0000_i1344">.
Тогда сумма <shape id="_x0000_i1345" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image297.wmz» o:><img width=«105» height=«45» src=«dopb96417.zip» v:shapes="_x0000_i1345"> - приближенно площадь сектора OAB. Отсюда:
<shape id="_x0000_i1346" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image299.wmz» o:><img width=«271» height=«51» src=«dopb96418.zip» v:shapes="_x0000_i1346">
Пример. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной кардиоидой г = a(1+соs<shape id="_x0000_i1347" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image290.wmz» o:><img width=«19» height=«25» src=«dopb96414.zip» v:shapes="_x0000_i1347">) (рис 12). [7]
Решение. Учитывая симметричность кривой относительно полярной оси, по формуле <shape id="_x0000_i1348" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image301.wmz» o:><img width=«271» height=«51» src=«dopb96418.zip» v:shapes="_x0000_i1348"> получаем:
<shape id="_x0000_i1349" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image302.wmz» o:><img width=«356» height=«51» src=«dopb96419.zip» v:shapes="_x0000_i1349">
<shape id="_x0000_i1350" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image304.wmz» o:><img width=«284» height=«51» src=«dopb96420.zip» v:shapes="_x0000_i1350">
<shape id="_x0000_i1351" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image306.wmz» o:><img width=«247» height=«48» src=«dopb96421.zip» v:shapes="_x0000_i1351">
3.3 Механические приложение определенного интеграла
3.3.1 Работа переменной силы
Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под дей­ствием переменной силы F= F(х), направленной параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения х = а в положение х = b(а <bЬ), находится по формуле
A = <shape id="_x0000_i1352" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image308.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb96422.zip» v:shapes="_x0000_i1352">
ПримерКакую работу нужно затратить, чтобы растянуть пру-'—'             жину на <metricconverter productid=«0,05 м» w:st=«on»>0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на <metricconverter productid=«0,01 м» w:st=«on»>0,01 м?[5]
Решение: По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, про­порциональна этому растяжению х, т. е. F= kх, где k— коэффициент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила F= 100 Н растяги­вает пружину на х = <metricconverter productid=«0,01 м» w:st=«on»>0,01 м; следовательно, 100 = k 0,01, откуда k = 10000; следовательно, F=10000х.
Искомая работа на основании формулы A = <shape id="_x0000_i1353" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image308.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb96422.zip» v:shapes="_x0000_i1353">
 равна
A = <shape id="_x0000_i1354" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image310.wmz» o:><img width=«267» height=«51» src=«dopb96423.zip» v:shapes="_x0000_i1354">
<imagedata src=«21617.files/image312.png» o:><img width=«223» height=«217» src=«dopb96424.zip» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1045">Пример.Найти работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать через край жидкость из вертикального цилиндрического резер­вуара высоты Н м и радиусом основания Rм (рис 13).[5]
<img width=«102» height=«42» src=«dopb96425.zip» hspace=«12» alt=«Подпись: Рис 13» v:shapes="_x0000_s1046">Решение: Работа, затрачиваемая на поднятие тела весом р на высоту h, равна р • Н. Но различные слои жидкости в резервуаре находятся на различных глубинах и высота поднятия (до края резервуара) различных слоев не одинакова.
Для решения поставленной задачи применим схему II (метод дифференциала). Введем систему координат.
1. Работа, затрачиваемая на выкачивание из резер­вуара слоя жидкости толщиной х (0 ≤ х Н), есть функция от х, т. е. А = А(х), где  (0 ≤ х Н)( A(0) = <metricconverter productid=«0, A» w:st=«on»>0, A(H) =  А0).
 2. Находим главную часть приращения ΔA при из­менении х на величину Δх = dx, т. е. находим диффе­ренциал dА функции А(х).
Ввиду малости dх считаем, что “элементарный” слой жидкости находится на одной глубине х (от края резервуара). Тогда dА = dрх, где dр — вес этого слоя; он равен  g<shape id="_x0000_i1355" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image315.wmz» o:><img width=«27» height=«21» src=«dopb96426.zip» v:shapes="_x0000_i1355"> АV, где gускорение свободногопадения, <shape id="_x0000_i1356" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image317.wmz» o:><img width=«13» height=«17» src=«dopb96427.zip» v:shapes="_x0000_i1356"> — плотность жидкости, dvобъем “элементарного” слоя жидкости (на рисунке он выделен), т. е. dр = g<shape id="_x0000_i1357" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image319.wmz» o:><img width=«27» height=«21» src=«dopb96426.zip» v:shapes="_x0000_i1357">. Объем указанного слоя жидкости, очевидно, равен <shape id="_x0000_i1358" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image320.wmz» o:><img width=«44» height=«21» src=«dopb96428.zip» v:shapes="_x0000_i1358">, где dx— высота цилиндра (слоя), <shape id="_x0000_i1359" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image322.wmz» o:><img width=«28» height=«21» src=«dopb96429.zip» v:shapes="_x0000_i1359"> — площадь его основания, т. е. dv= <shape id="_x0000_i1360" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image324.wmz» o:><img width=«44» height=«21» src=«dopb96428.zip» v:shapes="_x0000_i1360">.
Таким образом, dр =<shape id="_x0000_i1361" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image325.wmz» o:><img width=«71» height=«24» src=«dopb96430.zip» v:shapes="_x0000_i1361">.и <shape id="_x0000_i1362" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image327.wmz» o:><img width=«115» height=«24» src=«dopb96431.zip» v:shapes="_x0000_i1362">
3) Интегрируя полученное равенство в пределах от х = 0 до х = Н, находим
A<shape id="_x0000_i1363" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image329.wmz» o:><img width=«221» height=«51» src=«dopb96432.zip» v:shapes="_x0000_i1363">
3.3.2 Путь, пройденный телом
Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной ско­ростью v=v(t). Найдем путь S, пройденный ею за промежуток времени от t<shape id="_x0000_i1364" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image331.wmz» o:><img width=«8» height=«23» src=«dopb96316.zip» v:shapes="_x0000_i1364"> до t2.
Решение: Из физического смысла производной известно, что при дви­жении точки в одном направлении “скорость прямолинейного движения
равна производной от пути по времени”, т. е. v(t) = <shape id="_x0000_i1365" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image332.wmz» o:><img width=«25» height=«41» src=«dopb96433.zip» v:shapes="_x0000_i1365">. Отсюда следует, что dS= v(t)dt. Интегрируя полученное равенство в пределах от t<shape id="_x0000_i1366" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image334.wmz» o:><img width=«8» height=«23» src=«dopb96316.zip» v:shapes="_x0000_i1366"> до t<shape id="_x0000_i1367" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image335.wmz» o:><img width=«11» height=«23» src=«dopb96317.zip» v:shapes="_x0000_i1367">,
получаем S = <shape id="_x0000_i1368" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image336.wmz» o:><img width=«51» height=«53» src=«dopb96434.zip» v:shapes="_x0000_i1368">
Пример.Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, если скорость тела v(t)= 10t+ 2 (м/с).[5]
Решение: Если v(t) = 10t + 2 (м/с), то путь, пройденный телом от на­чала движения (t= 0) до конца 4-й секунды, равен
S = <shape id="_x0000_i1369" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image338.wmz» o:><img width=«283» height=«51» src=«dopb96435.zip» v:shapes="_x0000_i1369">
3.3.3 Давление жидкости на вертикальную пластинку
По закону Паскаля давление жидкости на горизонтальную пластину равно весу столба этой жидкости, имеющего основанием пластинку, а вы­сотой — глубину ее погружения от свободной поверхности жидкости, т. е. Р =g<shape id="_x0000_i1370" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image340.wmz» o:><img width=«55» height=«21» src=«dopb96436.zip» v:shapes="_x0000_i1370">, где gускорение свободного падения, <shape id="_x0000_i1371" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image342.wmz» o:><img width=«13» height=«17» src=«dopb96427.zip» v:shapes="_x0000_i1371"> — плотность жидкости, S — площадь пластинки, hглубина ее погружения.
По этой формуле нельзя искать давление жидкости на вертикально погруженную пластинку, так как ее разные точки лежат на разных глу­бинах.
Пусть в жидкость погружена вертикально пластина, ограниченная ли­ниями х = а, х = b, y<shape id="_x0000_i1372" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image343.wmz» o:><img width=«56» height=«23» src=«dopb96437.zip» v:shapes="_x0000_i1372"> и y<shape id="_x0000_i1373" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image345.wmz» o:><img width=«59» height=«23» src=«dopb96438.zip» v:shapes="_x0000_i1373">. Для нахождения давления Р жидкости на эту пластину применим схему II (метод дифференциала).
<imagedata src=«21617.files/image347.png» o:><img width=«276» height=«206» src=«dopb96439.zip» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1047">
1. Пусть часть искомой величины Р есть функция от х: р = р(х), т. е. р = р(х) — да­вление на часть пластины, соответствующее от­резку [а; b]значений переменной х, где х <shape id="_x0000_i1374" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image349.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb96331.zip» v:shapes="_x0000_i1374"> [a; b] (р(a) = 0, р(b) = Р).
  2. Дадим аргументу х приращение Δx = dх. Функция р(х) получит приращение Δр (на рисун­ке — полоска-слой толщины dх). Найдем диффе­ренциал dр этой функции. Ввиду малости dх бу­дем приближенно считать полоску прямоуголь­ником, все точки которого находятся на одной глубине х, т. е. пластинка эта — горизонталь­ная.
Тогда по закону Паскаля dр =<shape id="_x0000_i1375" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image350.wmz» o:><img width=«137» height=«23» src=«dopb96440.zip» v:shapes="_x0000_i1375">.
    продолжение
--PAGE_BREAK--
еще рефераты
Еще работы по математике