Реферат: Приложение определенного интеграла к решению задач практического содержания
--PAGE_BREAK--A(b) = A = <shape id="_x0000_i1112" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image073.wmz» o:><img width=«21» height=«51» src=«dopb96335.zip» v:shapes="_x0000_i1112">f(x)dx.3.2 Интегральное исчисление в геометрии
3.2.1 Вычисление длины дуги плоской кривой
Прямоугольные координаты
Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая AB, уравнение которой y = f(x), где a ≤ x ≤ b. (рис 2)[7]
Под длиной дуги AB понимается предел, к которому стремиться длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремиться к нулю.
Применим схему I (метод сумм).
1. Точками X<shape id="_x0000_i1113" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image074.wmz» o:><img width=«9» height=«24» src=«dopb96315.zip» v:shapes="_x0000_i1113"> = a, X<shape id="_x0000_i1114" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image075.wmz» o:><img width=«9» height=«17» src=«dopb96337.zip» v:shapes="_x0000_i1114">, …, X<shape id="_x0000_i1115" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image077.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb96320.zip» v:shapes="_x0000_i1115"> = b (X<shape id="_x0000_i1116" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image078.wmz» o:><img width=«9» height=«24» src=«dopb96315.zip» v:shapes="_x0000_i1116"> ≤ X<shape id="_x0000_i1117" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image079.wmz» o:><img width=«9» height=«17» src=«dopb96337.zip» v:shapes="_x0000_i1117">≤ … ≤ X<shape id="_x0000_i1118" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image080.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb96320.zip» v:shapes="_x0000_i1118">) разобьем отрезок [a, b] на n частей. Пусть этим точкам соответствуют точки M<shape id="_x0000_i1119" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image081.wmz» o:><img width=«9» height=«24» src=«dopb96315.zip» v:shapes="_x0000_i1119"> = A, M<shape id="_x0000_i1120" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image082.wmz» o:><img width=«8» height=«23» src=«dopb96316.zip» v:shapes="_x0000_i1120"> , …, M<shape id="_x0000_i1121" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image083.wmz» o:><img width=«11» height=«24» src=«dopb96332.zip» v:shapes="_x0000_i1121"> = B на кривой AB. Проведем хорды M<shape id="_x0000_i1122" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image084.wmz» o:><img width=«9» height=«24» src=«dopb96315.zip» v:shapes="_x0000_i1122">M<shape id="_x0000_i1123" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image085.wmz» o:><img width=«8» height=«23» src=«dopb96316.zip» v:shapes="_x0000_i1123">, M<shape id="_x0000_i1124" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image086.wmz» o:><img width=«8» height=«23» src=«dopb96316.zip» v:shapes="_x0000_i1124">M<shape id="_x0000_i1125" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image087.wmz» o:><img width=«11» height=«23» src=«dopb96317.zip» v:shapes="_x0000_i1125">, …, M<shape id="_x0000_i1126" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image088.wmz» o:><img width=«20» height=«24» src=«dopb96338.zip» v:shapes="_x0000_i1126">M<shape id="_x0000_i1127" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image090.wmz» o:><img width=«11» height=«24» src=«dopb96332.zip» v:shapes="_x0000_i1127"> , длины которых обозначим соответственно через ΔL<shape id="_x0000_i1128" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image091.wmz» o:><img width=«12» height=«23» src=«dopb96339.zip» v:shapes="_x0000_i1128">, ΔL<shape id="_x0000_i1129" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image093.wmz» o:><img width=«11» height=«23» src=«dopb96317.zip» v:shapes="_x0000_i1129">, …, ΔL<shape id="_x0000_i1130" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image094.wmz» o:><img width=«11» height=«24» src=«dopb96332.zip» v:shapes="_x0000_i1130">.
<imagedata src=«dopb96340.zip» o:><img width=«438» height=«252» src=«dopb96340.zip» v:shapes="_x0000_i1131">
Получим ломанную M<shape id="_x0000_i1132" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image084.wmz» o:><img width=«9» height=«24» src=«dopb96315.zip» v:shapes="_x0000_i1132">M<shape id="_x0000_i1133" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image085.wmz» o:><img width=«8» height=«23» src=«dopb96316.zip» v:shapes="_x0000_i1133">M<shape id="_x0000_i1134" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image087.wmz» o:><img width=«11» height=«23» src=«dopb96317.zip» v:shapes="_x0000_i1134"> … M<shape id="_x0000_i1135" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image088.wmz» o:><img width=«20» height=«24» src=«dopb96338.zip» v:shapes="_x0000_i1135">M<shape id="_x0000_i1136" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image090.wmz» o:><img width=«11» height=«24» src=«dopb96332.zip» v:shapes="_x0000_i1136">, длина которой равна L<shape id="_x0000_i1137" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image094.wmz» o:><img width=«11» height=«24» src=«dopb96332.zip» v:shapes="_x0000_i1137"> = ΔL<shape id="_x0000_i1138" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image091.wmz» o:><img width=«12» height=«23» src=«dopb96339.zip» v:shapes="_x0000_i1138">+ ΔL<shape id="_x0000_i1139" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image093.wmz» o:><img width=«11» height=«23» src=«dopb96317.zip» v:shapes="_x0000_i1139">+ … + ΔL<shape id="_x0000_i1140" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image094.wmz» o:><img width=«11» height=«24» src=«dopb96332.zip» v:shapes="_x0000_i1140"> = <shape id="_x0000_i1141" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image096.wmz» o:><img width=«31» height=«45» src=«dopb96333.zip» v:shapes="_x0000_i1141"> ΔL<shape id="_x0000_i1142" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image097.wmz» o:><img width=«5» height=«24» src=«dopb96326.zip» v:shapes="_x0000_i1142">.
2. Длину хорды (или звена ломанной) ΔL<shape id="_x0000_i1143" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image097.wmz» o:><img width=«5» height=«24» src=«dopb96326.zip» v:shapes="_x0000_i1143"> можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами ΔX<shape id="_x0000_i1144" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image098.wmz» o:><img width=«8» height=«24» src=«dopb96322.zip» v:shapes="_x0000_i1144"> и ΔY<shape id="_x0000_i1145" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image099.wmz» o:><img width=«5» height=«24» src=«dopb96326.zip» v:shapes="_x0000_i1145">:
ΔL<shape id="_x0000_i1146" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image097.wmz» o:><img width=«5» height=«24» src=«dopb96326.zip» v:shapes="_x0000_i1146"> = <shape id="_x0000_i1147" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image100.wmz» o:><img width=«120» height=«29» src=«dopb96341.zip» v:shapes="_x0000_i1147">, где ΔX<shape id="_x0000_i1148" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image098.wmz» o:><img width=«8» height=«24» src=«dopb96322.zip» v:shapes="_x0000_i1148"> = X<imagedata src=«21617.files/image102.wmz» o:><img width=«8» height=«24» src=«dopb96322.zip» v:shapes="_x0000_i1149"> - X<shape id="_x0000_i1150" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image103.wmz» o:><img width=«17» height=«24» src=«dopb96342.zip» v:shapes="_x0000_i1150">, ΔY<shape id="_x0000_i1151" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image099.wmz» o:><img width=«5» height=«24» src=«dopb96326.zip» v:shapes="_x0000_i1151"> = f(X<shape id="_x0000_i1152" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image105.wmz» o:><img width=«8» height=«24» src=«dopb96322.zip» v:shapes="_x0000_i1152">) – f(X<shape id="_x0000_i1153" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image103.wmz» o:><img width=«17» height=«24» src=«dopb96342.zip» v:shapes="_x0000_i1153">).
По теореме Лагранжа о конечном приращении функции ΔY<shape id="_x0000_i1154" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image099.wmz» o:><img width=«5» height=«24» src=«dopb96326.zip» v:shapes="_x0000_i1154"> = <shape id="_x0000_i1155" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image106.wmz» o:><img width=«25» height=«33» src=«dopb96343.zip» v:shapes="_x0000_i1155">(C<shape id="_x0000_i1156" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image108.wmz» o:><img width=«8» height=«24» src=«dopb96322.zip» v:shapes="_x0000_i1156">) ΔX<shape id="_x0000_i1157" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image098.wmz» o:><img width=«5» height=«24» src=«dopb96326.zip» v:shapes="_x0000_i1157">, где C<shape id="_x0000_i1158" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image109.wmz» o:><img width=«8» height=«24» src=«dopb96322.zip» v:shapes="_x0000_i1158"> <shape id="_x0000_i1159" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image110.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb96331.zip» v:shapes="_x0000_i1159"> (X<shape id="_x0000_i1160" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image103.wmz» o:><img width=«17» height=«24» src=«dopb96342.zip» v:shapes="_x0000_i1160">, X<imagedata src=«21617.files/image102.wmz» o:><img width=«8» height=«24» src=«dopb96322.zip» v:shapes="_x0000_i1161">). Поэтому
ΔL<shape id="_x0000_i1162" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image097.wmz» o:><img width=«5» height=«24» src=«dopb96326.zip» v:shapes="_x0000_i1162"> = <shape id="_x0000_i1163" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image111.wmz» o:><img width=«156» height=«29» src=«dopb96344.zip» v:shapes="_x0000_i1163"> = <shape id="_x0000_i1164" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image113.wmz» o:><img width=«131» height=«31» src=«dopb96345.zip» v:shapes="_x0000_i1164"> ,
а длина всей ломанной M<shape id="_x0000_i1165" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image084.wmz» o:><img width=«9» height=«24» src=«dopb96315.zip» v:shapes="_x0000_i1165">M<shape id="_x0000_i1166" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image085.wmz» o:><img width=«8» height=«23» src=«dopb96316.zip» v:shapes="_x0000_i1166">M<shape id="_x0000_i1167" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image087.wmz» o:><img width=«11» height=«23» src=«dopb96317.zip» v:shapes="_x0000_i1167"> … M<shape id="_x0000_i1168" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image088.wmz» o:><img width=«20» height=«24» src=«dopb96338.zip» v:shapes="_x0000_i1168">M<shape id="_x0000_i1169" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image090.wmz» o:><img width=«11» height=«24» src=«dopb96332.zip» v:shapes="_x0000_i1169"> равна
L<shape id="_x0000_i1170" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image115.wmz» o:><img width=«11» height=«24» src=«dopb96332.zip» v:shapes="_x0000_i1170"> = <shape id="_x0000_i1171" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image096.wmz» o:><img width=«31» height=«45» src=«dopb96333.zip» v:shapes="_x0000_i1171"> ΔL<shape id="_x0000_i1172" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image097.wmz» o:><img width=«5» height=«24» src=«dopb96326.zip» v:shapes="_x0000_i1172"> = <shape id="_x0000_i1173" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image096.wmz» o:><img width=«31» height=«45» src=«dopb96333.zip» v:shapes="_x0000_i1173"><shape id="_x0000_i1174" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image113.wmz» o:><img width=«131» height=«31» src=«dopb96345.zip» v:shapes="_x0000_i1174">.
Длина кривой AB, по определению, равна L = <shape id="_x0000_i1175" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image116.wmz» o:><img width=«53» height=«37» src=«dopb96346.zip» v:shapes="_x0000_i1175">L<shape id="_x0000_i1176" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image118.wmz» o:><img width=«11» height=«24» src=«dopb96332.zip» v:shapes="_x0000_i1176"> = <shape id="_x0000_i1177" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image116.wmz» o:><img width=«53» height=«37» src=«dopb96346.zip» v:shapes="_x0000_i1177"><shape id="_x0000_i1178" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image096.wmz» o:><img width=«31» height=«45» src=«dopb96333.zip» v:shapes="_x0000_i1178"> ΔL<shape id="_x0000_i1179" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image097.wmz» o:><img width=«5» height=«24» src=«dopb96326.zip» v:shapes="_x0000_i1179">. Заметим, что при ΔL<shape id="_x0000_i1180" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image097.wmz» o:><img width=«5» height=«24» src=«dopb96326.zip» v:shapes="_x0000_i1180"> <shape id="_x0000_i1181" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image119.wmz» o:><img width=«20» height=«15» src=«dopb96336.zip» v:shapes="_x0000_i1181"> 0 также и ΔX<shape id="_x0000_i1182" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image098.wmz» o:><img width=«5» height=«24» src=«dopb96326.zip» v:shapes="_x0000_i1182"> <shape id="_x0000_i1183" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image120.wmz» o:><img width=«20» height=«15» src=«dopb96336.zip» v:shapes="_x0000_i1183"> 0 (ΔL<shape id="_x0000_i1184" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image097.wmz» o:><img width=«5» height=«24» src=«dopb96326.zip» v:shapes="_x0000_i1184"> = <shape id="_x0000_i1185" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image100.wmz» o:><img width=«120» height=«29» src=«dopb96341.zip» v:shapes="_x0000_i1185"> и следовательно | ΔX<shape id="_x0000_i1186" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image098.wmz» o:><img width=«5» height=«24» src=«dopb96326.zip» v:shapes="_x0000_i1186"> | < ΔL<shape id="_x0000_i1187" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image097.wmz» o:><img width=«5» height=«24» src=«dopb96326.zip» v:shapes="_x0000_i1187">). Функция <shape id="_x0000_i1188" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image121.wmz» o:><img width=«96» height=«29» src=«dopb96347.zip» v:shapes="_x0000_i1188"> непрерывна на отрезке [a, b], так как, по условию, непрерывна функция f<shape id="_x0000_i1189" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image123.wmz» o:><img width=«8» height=«20» src=«dopb96348.zip» v:shapes="_x0000_i1189"> (X). Следовательно, существует предел интегральной суммы L<shape id="_x0000_i1190" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image115.wmz» o:><img width=«11» height=«24» src=«dopb96332.zip» v:shapes="_x0000_i1190"> = <shape id="_x0000_i1191" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image096.wmz» o:><img width=«31» height=«45» src=«dopb96333.zip» v:shapes="_x0000_i1191"> ΔL<shape id="_x0000_i1192" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image097.wmz» o:><img width=«5» height=«24» src=«dopb96326.zip» v:shapes="_x0000_i1192"> = <shape id="_x0000_i1193" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image096.wmz» o:><img width=«31» height=«45» src=«dopb96333.zip» v:shapes="_x0000_i1193"><shape id="_x0000_i1194" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image113.wmz» o:><img width=«131» height=«31» src=«dopb96345.zip» v:shapes="_x0000_i1194">, кода max ΔX<shape id="_x0000_i1195" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image098.wmz» o:><img width=«5» height=«24» src=«dopb96326.zip» v:shapes="_x0000_i1195"> <shape id="_x0000_i1196" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image125.wmz» o:><img width=«20» height=«15» src=«dopb96336.zip» v:shapes="_x0000_i1196"> 0:
L = <shape id="_x0000_i1197" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image126.wmz» o:><img width=«51» height=«47» src=«dopb96349.zip» v:shapes="_x0000_i1197"><shape id="_x0000_i1198" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image096.wmz» o:><img width=«31» height=«45» src=«dopb96333.zip» v:shapes="_x0000_i1198"><shape id="_x0000_i1199" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image128.wmz» o:><img width=«131» height=«31» src=«dopb96345.zip» v:shapes="_x0000_i1199"> = <shape id="_x0000_i1200" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image129.wmz» o:><img width=«21» height=«51» src=«dopb96335.zip» v:shapes="_x0000_i1200"><shape id="_x0000_i1201" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image121.wmz» o:><img width=«96» height=«29» src=«dopb96347.zip» v:shapes="_x0000_i1201">dx.
Таким образом, L = <shape id="_x0000_i1202" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image129.wmz» o:><img width=«21» height=«51» src=«dopb96335.zip» v:shapes="_x0000_i1202"><shape id="_x0000_i1203" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image121.wmz» o:><img width=«96» height=«29» src=«dopb96347.zip» v:shapes="_x0000_i1203">dx.
Пример: Найти длину окружности радиуса R. (рис 3)[5]
Решение:
<imagedata src=«21617.files/image130.png» o:><img width=«173» height=«179» src=«dopb96350.zip» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1028">Найдем ¼ часть ее длины от точки (0;R) до точки (R;0). Так как y = <shape id="_x0000_i1204" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image132.wmz» o:><img width=«71» height=«25» src=«dopb96351.zip» v:shapes="_x0000_i1204">, ¼L = <shape id="_x0000_i1205" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image134.wmz» o:><img width=«21» height=«51» src=«dopb96352.zip» v:shapes="_x0000_i1205"> <shape id="_x0000_i1206" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image136.wmz» o:><img width=«93» height=«48» src=«dopb96353.zip» v:shapes="_x0000_i1206">dx = R arcsin<shape id="_x0000_i1207" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image003.wmz» o:><img width=«12» height=«23» src=«dopb96314.zip» v:shapes="_x0000_i1207"><shape id="_x0000_i1208" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image138.wmz» o:><img width=«40» height=«41» src=«dopb96354.zip» v:shapes="_x0000_i1208"> = R <shape id="_x0000_i1209" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image140.wmz» o:><img width=«17» height=«41» src=«dopb96355.zip» v:shapes="_x0000_i1209">.
Значит L = 2<shape id="_x0000_i1210" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image142.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1210">R.
Полярные координаты
Пусть кривая AB задана уравнением в полярных координатах r = r(<shape id="_x0000_i1211" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image144.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb96357.zip» v:shapes="_x0000_i1211">), <shape id="_x0000_i1212" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image146.wmz» o:><img width=«72» height=«21» src=«dopb96358.zip» v:shapes="_x0000_i1212">. Предположим, что r(<shape id="_x0000_i1213" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image144.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb96357.zip» v:shapes="_x0000_i1213">) и r<shape id="_x0000_i1214" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image148.wmz» o:><img width=«8» height=«20» src=«dopb96348.zip» v:shapes="_x0000_i1214">(<shape id="_x0000_i1215" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image144.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb96357.zip» v:shapes="_x0000_i1215">) непрерывны на отрезке [<shape id="_x0000_i1216" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image149.wmz» o:><img width=«32» height=«21» src=«dopb96359.zip» v:shapes="_x0000_i1216">].
Если в равенствах x = r cos<shape id="_x0000_i1217" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image144.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb96357.zip» v:shapes="_x0000_i1217">, y = r sin<shape id="_x0000_i1218" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image144.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb96357.zip» v:shapes="_x0000_i1218">, связывающих полярные и декартовы координаты, параметром считать угол <shape id="_x0000_i1219" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image144.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb96357.zip» v:shapes="_x0000_i1219">, то кривую AB можно задать параметрически <shape id="_x0000_i1220" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image151.wmz» o:><img width=«101» height=«48» src=«dopb96360.zip» v:shapes="_x0000_i1220">
Тогда
<shape id="_x0000_i1221" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image153.wmz» o:><img width=«160» height=«59» src=«dopb96361.zip» v:shapes="_x0000_i1221">
Поэтому
<shape id="_x0000_i1222" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image155.wmz» o:><img width=«99» height=«32» src=«dopb96362.zip» v:shapes="_x0000_i1222"> = <shape id="_x0000_i1223" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image157.wmz» o:><img width=«355» height=«29» src=«dopb96363.zip» v:shapes="_x0000_i1223"> =
<shape id="_x0000_i1224" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image159.wmz» o:><img width=«132» height=«29» src=«dopb96364.zip» v:shapes="_x0000_i1224">
<imagedata src=«21617.files/image161.png» o:><img width=«211» height=«169» src=«dopb96365.zip» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1030">Применяя формулу L = <shape id="_x0000_i1225" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image163.wmz» o:><img width=«21» height=«51» src=«dopb96366.zip» v:shapes="_x0000_i1225"><shape id="_x0000_i1226" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image165.wmz» o:><img width=«140» height=«29» src=«dopb96367.zip» v:shapes="_x0000_i1226">, получаем
L = <shape id="_x0000_i1227" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image163.wmz» o:><img width=«21» height=«51» src=«dopb96366.zip» v:shapes="_x0000_i1227"><shape id="_x0000_i1228" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image167.wmz» o:><img width=«87» height=«28» src=«dopb96368.zip» v:shapes="_x0000_i1228">
Пример: Найти длину кардиоиды r = a(1 + cos<shape id="_x0000_i1229" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image169.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb96357.zip» v:shapes="_x0000_i1229">).
[5]
Решение: Кардиоида r = a(1 + cos<shape id="_x0000_i1230" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image169.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb96357.zip» v:shapes="_x0000_i1230">) симметрична относительно полярной оси. Найдем половину
(рис 4) длины кардиоиды:
½ L = <shape id="_x0000_i1231" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image170.wmz» o:><img width=«21» height=«51» src=«dopb96369.zip» v:shapes="_x0000_i1231"><shape id="_x0000_i1232" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image172.wmz» o:><img width=«219» height=«29» src=«dopb96370.zip» v:shapes="_x0000_i1232"> = a <shape id="_x0000_i1233" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image170.wmz» o:><img width=«21» height=«51» src=«dopb96369.zip» v:shapes="_x0000_i1233"><shape id="_x0000_i1234" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image174.wmz» o:><img width=«91» height=«27» src=«dopb96371.zip» v:shapes="_x0000_i1234"> = a <shape id="_x0000_i1235" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image170.wmz» o:><img width=«21» height=«51» src=«dopb96369.zip» v:shapes="_x0000_i1235"><shape id="_x0000_i1236" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image176.wmz» o:><img width=«115» height=«47» src=«dopb96372.zip» v:shapes="_x0000_i1236"> = 2a <shape id="_x0000_i1237" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image170.wmz» o:><img width=«21» height=«51» src=«dopb96369.zip» v:shapes="_x0000_i1237">cos<shape id="_x0000_i1238" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image178.wmz» o:><img width=«17» height=«41» src=«dopb96373.zip» v:shapes="_x0000_i1238"> d<shape id="_x0000_i1239" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image180.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb96357.zip» v:shapes="_x0000_i1239"> = 4a sin<shape id="_x0000_i1240" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image181.wmz» o:><img width=«17» height=«41» src=«dopb96373.zip» v:shapes="_x0000_i1240"><shape id="_x0000_i1241" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image182.wmz» o:><img width=«17» height=«48» src=«dopb96374.zip» v:shapes="_x0000_i1241"> = 4a.
3.2.2 Вычисление объема тела
Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений
Пусть требуется найти объем Vтела (рис 5), причем известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ox:S= S(x), a≤ x≤ b [5]
Применим схему II (метод дифференциала).
<imagedata src=«dopb96375.zip» o:><img width=«464» height=«225» src=«dopb96375.zip» v:shapes="_x0000_i1242">
1. Через произвольную точку x<shape id="_x0000_i1243" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image185.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb96331.zip» v:shapes="_x0000_i1243"> [а; b]проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох. Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно изменяющейся при изменении x. Через v(x) обозначим объем части тела, лежащее левее плоскости П. Будем считать, что на отрезке [а; x]величина vесть функция от x, т. е. v= у(x) (v(a) = 0, v(b) = V).
2. Находим дифференциал dVфункции v= v(x). Он представляет собой
“элементарный слой” тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках xи x+ Δx, который приближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(x) и высотой dx. Поэтому дифференциал объема dV= S(х) dх.
2. Находим искомую величину Vпутем интегрирования dА в пределах от a до b:
V = <shape id="_x0000_i1244" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image186.wmz» o:><img width=«21» height=«51» src=«dopb96335.zip» v:shapes="_x0000_i1244">S(x) dx
Формула объема тела по площади параллельных сечений
Пример: Найти объем эллипсоида <shape id="_x0000_i1245" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image187.wmz» o:><img width=«116» height=«44» src=«dopb96376.zip» v:shapes="_x0000_i1245"> (рис 6)[5]
<imagedata src=«dopb96377.zip» o:><img width=«445» height=«241» src=«dopb96377.zip» v:shapes="_x0000_i1246">
Решение: Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости OYZ и на расстоянии х от нее (-a≤ x≤ b.), получим эллипс
<shape id="_x0000_i1247" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image190.wmz» o:><img width=«204» height=«72» src=«dopb96378.zip» v:shapes="_x0000_i1247">
Площадь этого эллипса равна S(x) = <shape id="_x0000_i1248" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image192.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1248">bc(1 — <shape id="_x0000_i1249" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image193.wmz» o:><img width=«23» height=«44» src=«dopb96379.zip» v:shapes="_x0000_i1249">). Поэтому, по формуле имеем
V = <shape id="_x0000_i1250" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image192.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1250">bc<shape id="_x0000_i1251" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image195.wmz» o:><img width=«23» height=«51» src=«dopb96380.zip» v:shapes="_x0000_i1251">(1 — <shape id="_x0000_i1252" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image193.wmz» o:><img width=«23» height=«44» src=«dopb96379.zip» v:shapes="_x0000_i1252">)dx= <shape id="_x0000_i1253" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image197.wmz» o:><img width=«16» height=«41» src=«dopb96381.zip» v:shapes="_x0000_i1253"><shape id="_x0000_i1254" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image192.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1254">abc.
Объем тела вращения
Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией у = f(х) ≥ 0, отрезком а ≤ х ≤ bи прямыми х = а и х = b(рис 7). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Oх), есть круг с радиусом у = f(х). Следовательно,
S(x)=<shape id="_x0000_i1255" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image199.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1255">y<shape id="_x0000_i1256" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image200.wmz» o:><img width=«11» height=«20» src=«dopb96382.zip» v:shapes="_x0000_i1256">.
Применяя формулу V= <shape id="_x0000_i1257" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image186.wmz» o:><img width=«21» height=«51» src=«dopb96335.zip» v:shapes="_x0000_i1257">S(x) dx объема тела по площади
параллельных сечений, получаем
<imagedata src=«21617.files/image202.png» o:><img width=«325» height=«248» src=«dopb96383.zip» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1034">
V<shape id="_x0000_i1258" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image204.wmz» o:><img width=«11» height=«24» src=«dopb96384.zip» v:shapes="_x0000_i1258"> = <shape id="_x0000_i1259" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image206.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1259"><shape id="_x0000_i1260" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image207.wmz» o:><img width=«21» height=«51» src=«dopb96335.zip» v:shapes="_x0000_i1260">y<shape id="_x0000_i1261" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image208.wmz» o:><img width=«11» height=«20» src=«dopb96382.zip» v:shapes="_x0000_i1261">dx.
Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции x = <shape id="_x0000_i1262" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image209.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb96357.zip» v:shapes="_x0000_i1262">(x) ≥ 0 и прямыми x = 0, y = c, y = d (c <
<img width=«90» height=«42» src=«dopb96385.zip» hspace=«12» alt=«Подпись: Рис 7» v:shapes="_x0000_s1035">d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой V= <shape id="_x0000_i1263" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image186.wmz» o:><img width=«21» height=«51» src=«dopb96335.zip» v:shapes="_x0000_i1263">S(x) dx, равен
V=<shape id="_x0000_i1264" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image211.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1264"><shape id="_x0000_i1265" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image186.wmz» o:><img width=«21» height=«51» src=«dopb96335.zip» v:shapes="_x0000_i1265">x<shape id="_x0000_i1266" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image212.wmz» o:><img width=«11» height=«20» src=«dopb96382.zip» v:shapes="_x0000_i1266">dy.
Пример:Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями у = <shape id="_x0000_i1267" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image213.wmz» o:><img width=«23» height=«44» src=«dopb96386.zip» v:shapes="_x0000_i1267">, x = 0, у = 2<shape id="_x0000_i1268" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image215.wmz» o:><img width=«25» height=«23» src=«dopb96387.zip» v:shapes="_x0000_i1268"> вокруг оси Оу.[5]
Решение: По формуле V=<shape id="_x0000_i1269" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image211.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1269"><shape id="_x0000_i1270" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image186.wmz» o:><img width=«21» height=«51» src=«dopb96335.zip» v:shapes="_x0000_i1270">x<shape id="_x0000_i1271" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image212.wmz» o:><img width=«11» height=«20» src=«dopb96382.zip» v:shapes="_x0000_i1271">dy.
находим:
V<shape id="_x0000_i1272" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image217.wmz» o:><img width=«11» height=«25» src=«dopb96388.zip» v:shapes="_x0000_i1272"> = <shape id="_x0000_i1273" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image206.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1273"><shape id="_x0000_i1274" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image219.wmz» o:><img width=«27» height=«52» src=«dopb96389.zip» v:shapes="_x0000_i1274">2ydy = <shape id="_x0000_i1275" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image206.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1275">y<shape id="_x0000_i1276" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image221.wmz» o:><img width=«11» height=«20» src=«dopb96382.zip» v:shapes="_x0000_i1276"><shape id="_x0000_i1277" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image222.wmz» o:><img width=«36» height=«53» src=«dopb96390.zip» v:shapes="_x0000_i1277"> = 8<shape id="_x0000_i1278" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image206.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1278">.
3.2.3Вычисление площади поверхности вращения
Пусть кривая АВ является графиком функции у = f(х) ≥ 0, где х <shape id="_x0000_i1279" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image224.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb96331.zip» v:shapes="_x0000_i1279"> [а;b], а функция у = f(х) и ее производная у' = f'(х) непрерывны на этом отрезке.
Найдем площадь S поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ох (рис 8).
Применим схему II (метод дифференциала).
1. Через произвольную точку х <shape id="_x0000_i1280" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image225.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb96331.zip» v:shapes="_x0000_i1280"> [а; b] проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох. Плоскость П пересекает поверхность вращения по окружности с радиусом у - f(х). Величина S поверхности части фигуры вращения, лежащей левее плоскости, является функцией от х, т. е. s = s(х) (s(а) = 0 и s(b) = S).
2. Дадим аргументу х приращение Δх = dх. Через точку х + dх <shape id="_x0000_i1281" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image225.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb96331.zip» v:shapes="_x0000_i1281"> [а; b]также проведем плоскость, перпендикулярную оси Ох. Функция s = s(х) получит приращение Δs, изображенного на рисунке в виде “пояска”.
<imagedata src=«21617.files/image226.png» o:><img width=«301» height=«235» src=«dopb96391.zip» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1036"><img width=«102» height=«42» src=«dopb96392.zip» hspace=«12» alt=«Подпись: Рис 8» v:shapes="_x0000_s1037">Найдем дифференциал площади ds, заменяя образованную между сечениями фигуру усеченным конусом, образующая которого равна dl, а радиусы оснований равны у и у + dу. Площадь его боковой поверхности равна ds= <shape id="_x0000_i1282" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image206.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1282"> (у + у + dу) • d1 = 2<shape id="_x0000_i1283" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image206.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1283">ydl + <shape id="_x0000_i1284" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image206.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1284">dydl.Отбрасывая произведение dу d1 как бесконечно малую высшего порядка, чем ds, получаем ds= 2<shape id="_x0000_i1285" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image206.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1285">уdl, или, так как d1 = <shape id="_x0000_i1286" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image229.wmz» o:><img width=«71» height=«31» src=«dopb96393.zip» v:shapes="_x0000_i1286">dx.
3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получаем
S<shape id="_x0000_i1287" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image231.wmz» o:><img width=«11» height=«24» src=«dopb96384.zip» v:shapes="_x0000_i1287">= 2<shape id="_x0000_i1288" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image232.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1288"><shape id="_x0000_i1289" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image233.wmz» o:><img width=«21» height=«51» src=«dopb96335.zip» v:shapes="_x0000_i1289">y<shape id="_x0000_i1290" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image229.wmz» o:><img width=«71» height=«31» src=«dopb96393.zip» v:shapes="_x0000_i1290">dx.
Если кривая AB задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), t<shape id="_x0000_i1291" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image234.wmz» o:><img width=«8» height=«23» src=«dopb96316.zip» v:shapes="_x0000_i1291">≤ t <shape id="_x0000_i1292" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image235.wmz» o:><img width=«8» height=«23» src=«dopb96316.zip» v:shapes="_x0000_i1292">≤ t<shape id="_x0000_i1293" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image236.wmz» o:><img width=«11» height=«23» src=«dopb96317.zip» v:shapes="_x0000_i1293">, то формула для площади поверхности вращения принимает вид
S<shape id="_x0000_i1294" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image237.wmz» o:><img width=«11» height=«24» src=«dopb96384.zip» v:shapes="_x0000_i1294"> = 2<shape id="_x0000_i1295" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image238.wmz» o:><img width=«199» height=«55» src=«dopb96394.zip» v:shapes="_x0000_i1295">dt.
Пример: Найти площадь поверхности шара радиуса R.[5]
Решение: Можно считать, что поверхность шара образована вращением полуокружности y = <shape id="_x0000_i1296" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image240.wmz» o:><img width=«64» height=«27» src=«dopb96395.zip» v:shapes="_x0000_i1296">, -R ≤ x ≤ R, вокруг оси Ox. По формуле S<shape id="_x0000_i1297" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image231.wmz» o:><img width=«11» height=«24» src=«dopb96384.zip» v:shapes="_x0000_i1297">= 2<shape id="_x0000_i1298" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image232.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1298"><shape id="_x0000_i1299" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image233.wmz» o:><img width=«21» height=«51» src=«dopb96335.zip» v:shapes="_x0000_i1299">y<shape id="_x0000_i1300" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image229.wmz» o:><img width=«71» height=«31» src=«dopb96393.zip» v:shapes="_x0000_i1300">dx находим
S = 2<shape id="_x0000_i1301" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image242.wmz» o:><img width=«223» height=«51» src=«dopb96396.zip» v:shapes="_x0000_i1301"> =
<shape id="_x0000_i1302" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image244.wmz» o:><img width=«279» height=«49» src=«dopb96397.zip» v:shapes="_x0000_i1302">
3.2.4.1. Вычисление площадей плоских фигур
Прямоугольные координаты
Пусть функция f(х) непрерывна на сегменте [а;b]. Если f(х )≥0 на [а; b]то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями у =f(х), у = 0, х = а, х = b, равна интегралу
<shape id="_x0000_i1303" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image246.wmz» o:><img width=«91» height=«51» src=«dopb96398.zip» v:shapes="_x0000_i1303">
Если же f(x) ≤ 0 на [а; b]то — f(х) ≥ 0 на [а; b]. Поэтому площадь S соответствующей криволинейной трапеции выразится формулой
<shape id="_x0000_i1304" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image248.wmz» o:><img width=«97» height=«51» src=«dopb96399.zip» v:shapes="_x0000_i1304"> или
<shape id="_x0000_i1305" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image250.wmz» o:><img width=«105» height=«51» src=«dopb96400.zip» v:shapes="_x0000_i1305">
<imagedata src=«21617.files/image252.png» o:><img width=«131» height=«232» src=«dopb96401.zip» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1038">Если, наконец, кривая y=f(х) пересекает ось Ох, то сегмент [а;b]надо разбить на части, в пределах которых f(х) не меняет знака, и к каждой такой части применить ту из формул, которая ей соответствует.
Пример. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной параболой y = x2, прямыми х=1, х = 3 и осью Ох (рис 9). [1]
Решение. Пользуясь формулой <shape id="_x0000_i1306" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image246.wmz» o:><img width=«91» height=«51» src=«dopb96398.zip» v:shapes="_x0000_i1306">, находим искомую площадь
S = <shape id="_x0000_i1307" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image254.wmz» o:><img width=«180» height=«49» src=«dopb96402.zip» v:shapes="_x0000_i1307">
<imagedata src=«21617.files/image256.png» o:><img width=«269» height=«119» src=«dopb96403.zip» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1040"> Пример. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции у = sinх и осью абсцисс при условии <shape id="_x0000_i1308" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image258.wmz» o:><img width=«75» height=«19» src=«dopb96404.zip» v:shapes="_x0000_i1308"> (рис 10). [1]
Решение. Разбиваем сегмент [0; <shape id="_x0000_i1309" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image260.wmz» o:><img width=«24» height=«19» src=«dopb96405.zip» v:shapes="_x0000_i1309">] на два сегмента [0; <shape id="_x0000_i1310" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image262.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1310">] и [<shape id="_x0000_i1311" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image263.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1311">; 2<shape id="_x0000_i1312" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image263.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb96356.zip» v:shapes="_x0000_i1312">]. На первом из них sinx ≥ 0, на втором — sinx ≤ 0. Следовательно, используя формулы
<shape id="_x0000_i1313" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image246.wmz» o:><img width=«91» height=«51» src=«dopb96398.zip» v:shapes="_x0000_i1313"> и <shape id="_x0000_i1314" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image248.wmz» o:><img width=«97» height=«51» src=«dopb96399.zip» v:shapes="_x0000_i1314"> , имеем, что искомая площадь
<shape id="_x0000_i1315" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image264.wmz» o:><img width=«348» height=«53» src=«dopb96406.zip» v:shapes="_x0000_i1315">
Полярные координаты.
Пусть требуется определить площадь сектора ОАВ, ограниченного лучами <shape id="_x0000_i1316" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image266.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb96357.zip» v:shapes="_x0000_i1316"> = <shape id="_x0000_i1317" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image267.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb96407.zip» v:shapes="_x0000_i1317">, <shape id="_x0000_i1318" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image269.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb96357.zip» v:shapes="_x0000_i1318"> = <shape id="_x0000_i1319" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image270.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb96408.zip» v:shapes="_x0000_i1319"> и кривой АВ (рис 11), заданной в полярной системе координат уравнением r= r(<shape id="_x0000_i1320" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image269.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb96357.zip» v:shapes="_x0000_i1320">), где r(<shape id="_x0000_i1321" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image269.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb96357.zip» v:shapes="_x0000_i1321">) — функция, непрерывная на сегменте [<shape id="_x0000_i1322" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image272.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb96407.zip» v:shapes="_x0000_i1322">; <shape id="_x0000_i1323" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image273.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb96408.zip» v:shapes="_x0000_i1323">].
<imagedata src=«21617.files/image274.png» o:><img width=«412» height=«149» src=«dopb96409.zip» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1042"> Разобьем отрезок [<shape id="_x0000_i1324" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image276.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb96407.zip» v:shapes="_x0000_i1324">; <shape id="_x0000_i1325" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image277.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb96408.zip» v:shapes="_x0000_i1325">] на п частей точками <shape id="_x0000_i1326" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image276.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb96407.zip» v:shapes="_x0000_i1326"> = <shape id="_x0000_i1327" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image266.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb96357.zip» v:shapes="_x0000_i1327">о<<shape id="_x0000_i1328" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image266.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb96357.zip» v:shapes="_x0000_i1328">1 < ...< <shape id="_x0000_i1329" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image266.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb96357.zip» v:shapes="_x0000_i1329"><shape id="_x0000_i1330" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image278.wmz» o:><img width=«33» height=«19» src=«dopb96410.zip» v:shapes="_x0000_i1330"> <<shape id="_x0000_i1331" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image266.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb96357.zip» v:shapes="_x0000_i1331"><shape id="_x0000_i1332" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image280.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb96320.zip» v:shapes="_x0000_i1332"> = <shape id="_x0000_i1333" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image281.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb96408.zip» v:shapes="_x0000_i1333"> и положим: Δ<shape id="_x0000_i1334" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image282.wmz» o:><img width=«20» height=«24» src=«dopb96411.zip» v:shapes="_x0000_i1334"> = <shape id="_x0000_i1335" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image284.wmz» o:><img width=«20» height=«24» src=«dopb96411.zip» v:shapes="_x0000_i1335"> — <shape id="_x0000_i1336" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image285.wmz» o:><img width=«29» height=«24» src=«dopb96412.zip» v:shapes="_x0000_i1336"> k = 1, 2, ..., n. Наибольшую из этих разностей обозначим через <shape id="_x0000_i1337" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image287.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb96413.zip» v:shapes="_x0000_i1337">: <shape id="_x0000_i1338" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image289.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb96413.zip» v:shapes="_x0000_i1338">= max Δ<shape id="_x0000_i1339" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image282.wmz» o:><img width=«20» height=«24» src=«dopb96411.zip» v:shapes="_x0000_i1339">. Разобьем данный сектор на п частей лучами <shape id="_x0000_i1340" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image290.wmz» o:><img width=«19» height=«25» src=«dopb96414.zip» v:shapes="_x0000_i1340"> = <shape id="_x0000_i1341" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image284.wmz» o:><img width=«20» height=«24» src=«dopb96411.zip» v:shapes="_x0000_i1341"> (k=1, 2, ..., п — 1). Заменим k-й элементарный сектор круговым сектором радиуса r(<shape id="_x0000_i1342" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image292.wmz» o:><img width=«19» height=«24» src=«dopb96415.zip» v:shapes="_x0000_i1342">), где <shape id="_x0000_i1343" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image294.wmz» o:><img width=«19» height=«24» src=«dopb96415.zip» v:shapes="_x0000_i1343"><shape id="_x0000_i1344" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image295.wmz» o:><img width=«73» height=«24» src=«dopb96416.zip» v:shapes="_x0000_i1344">.
Тогда сумма <shape id="_x0000_i1345" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image297.wmz» o:><img width=«105» height=«45» src=«dopb96417.zip» v:shapes="_x0000_i1345"> - приближенно площадь сектора OAB. Отсюда:
<shape id="_x0000_i1346" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image299.wmz» o:><img width=«271» height=«51» src=«dopb96418.zip» v:shapes="_x0000_i1346">
Пример. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной кардиоидой г = a(1+соs<shape id="_x0000_i1347" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image290.wmz» o:><img width=«19» height=«25» src=«dopb96414.zip» v:shapes="_x0000_i1347">) (рис 12). [7]
Решение. Учитывая симметричность кривой относительно полярной оси, по формуле <shape id="_x0000_i1348" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image301.wmz» o:><img width=«271» height=«51» src=«dopb96418.zip» v:shapes="_x0000_i1348"> получаем:
<shape id="_x0000_i1349" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image302.wmz» o:><img width=«356» height=«51» src=«dopb96419.zip» v:shapes="_x0000_i1349">
<shape id="_x0000_i1350" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image304.wmz» o:><img width=«284» height=«51» src=«dopb96420.zip» v:shapes="_x0000_i1350">
<shape id="_x0000_i1351" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image306.wmz» o:><img width=«247» height=«48» src=«dopb96421.zip» v:shapes="_x0000_i1351">
3.3 Механические приложение определенного интеграла
3.3.1 Работа переменной силы
Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под действием переменной силы F= F(х), направленной параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения х = а в положение х = b(а <bЬ), находится по формуле
A = <shape id="_x0000_i1352" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image308.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb96422.zip» v:shapes="_x0000_i1352">
Пример. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пру-'—' жину на <metricconverter productid=«0,05 м» w:st=«on»>0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на <metricconverter productid=«0,01 м» w:st=«on»>0,01 м?[5]
Решение: По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению х, т. е. F= kх, где k— коэффициент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила F= 100 Н растягивает пружину на х = <metricconverter productid=«0,01 м» w:st=«on»>0,01 м; следовательно, 100 = k 0,01, откуда k = 10000; следовательно, F=10000х.
Искомая работа на основании формулы A = <shape id="_x0000_i1353" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image308.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb96422.zip» v:shapes="_x0000_i1353">
равна
A = <shape id="_x0000_i1354" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image310.wmz» o:><img width=«267» height=«51» src=«dopb96423.zip» v:shapes="_x0000_i1354">
<imagedata src=«21617.files/image312.png» o:><img width=«223» height=«217» src=«dopb96424.zip» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1045">Пример.Найти работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать через край жидкость из вертикального цилиндрического резервуара высоты Н м и радиусом основания Rм (рис 13).[5]
<img width=«102» height=«42» src=«dopb96425.zip» hspace=«12» alt=«Подпись: Рис 13» v:shapes="_x0000_s1046">Решение: Работа, затрачиваемая на поднятие тела весом р на высоту h, равна р • Н. Но различные слои жидкости в резервуаре находятся на различных глубинах и высота поднятия (до края резервуара) различных слоев не одинакова.
Для решения поставленной задачи применим схему II (метод дифференциала). Введем систему координат.
1. Работа, затрачиваемая на выкачивание из резервуара слоя жидкости толщиной х (0 ≤ х ≤ Н), есть функция от х, т. е. А = А(х), где (0 ≤ х ≤ Н)( A(0) = <metricconverter productid=«0, A» w:st=«on»>0, A(H) = А0).
2. Находим главную часть приращения ΔA при изменении х на величину Δх = dx, т. е. находим дифференциал dА функции А(х).
Ввиду малости dх считаем, что “элементарный” слой жидкости находится на одной глубине х (от края резервуара). Тогда dА = dрх, где dр — вес этого слоя; он равен g<shape id="_x0000_i1355" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image315.wmz» o:><img width=«27» height=«21» src=«dopb96426.zip» v:shapes="_x0000_i1355"> АV, где g— ускорение свободногопадения, <shape id="_x0000_i1356" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image317.wmz» o:><img width=«13» height=«17» src=«dopb96427.zip» v:shapes="_x0000_i1356"> — плотность жидкости, dv— объем “элементарного” слоя жидкости (на рисунке он выделен), т. е. dр = g<shape id="_x0000_i1357" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image319.wmz» o:><img width=«27» height=«21» src=«dopb96426.zip» v:shapes="_x0000_i1357">. Объем указанного слоя жидкости, очевидно, равен <shape id="_x0000_i1358" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image320.wmz» o:><img width=«44» height=«21» src=«dopb96428.zip» v:shapes="_x0000_i1358">, где dx— высота цилиндра (слоя), <shape id="_x0000_i1359" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image322.wmz» o:><img width=«28» height=«21» src=«dopb96429.zip» v:shapes="_x0000_i1359"> — площадь его основания, т. е. dv= <shape id="_x0000_i1360" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image324.wmz» o:><img width=«44» height=«21» src=«dopb96428.zip» v:shapes="_x0000_i1360">.
Таким образом, dр =<shape id="_x0000_i1361" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image325.wmz» o:><img width=«71» height=«24» src=«dopb96430.zip» v:shapes="_x0000_i1361">.и <shape id="_x0000_i1362" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image327.wmz» o:><img width=«115» height=«24» src=«dopb96431.zip» v:shapes="_x0000_i1362">
3) Интегрируя полученное равенство в пределах от х = 0 до х = Н, находим
A<shape id="_x0000_i1363" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image329.wmz» o:><img width=«221» height=«51» src=«dopb96432.zip» v:shapes="_x0000_i1363">
3.3.2 Путь, пройденный телом
Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной скоростью v=v(t). Найдем путь S, пройденный ею за промежуток времени от t<shape id="_x0000_i1364" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image331.wmz» o:><img width=«8» height=«23» src=«dopb96316.zip» v:shapes="_x0000_i1364"> до t2.
Решение: Из физического смысла производной известно, что при движении точки в одном направлении “скорость прямолинейного движения
равна производной от пути по времени”, т. е. v(t) = <shape id="_x0000_i1365" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image332.wmz» o:><img width=«25» height=«41» src=«dopb96433.zip» v:shapes="_x0000_i1365">. Отсюда следует, что dS= v(t)dt. Интегрируя полученное равенство в пределах от t<shape id="_x0000_i1366" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image334.wmz» o:><img width=«8» height=«23» src=«dopb96316.zip» v:shapes="_x0000_i1366"> до t<shape id="_x0000_i1367" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image335.wmz» o:><img width=«11» height=«23» src=«dopb96317.zip» v:shapes="_x0000_i1367">,
получаем S = <shape id="_x0000_i1368" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image336.wmz» o:><img width=«51» height=«53» src=«dopb96434.zip» v:shapes="_x0000_i1368">
Пример.Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, если скорость тела v(t)= 10t+ 2 (м/с).[5]
Решение: Если v(t) = 10t + 2 (м/с), то путь, пройденный телом от начала движения (t= 0) до конца 4-й секунды, равен
S = <shape id="_x0000_i1369" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image338.wmz» o:><img width=«283» height=«51» src=«dopb96435.zip» v:shapes="_x0000_i1369">
3.3.3 Давление жидкости на вертикальную пластинку
По закону Паскаля давление жидкости на горизонтальную пластину равно весу столба этой жидкости, имеющего основанием пластинку, а высотой — глубину ее погружения от свободной поверхности жидкости, т. е. Р =g<shape id="_x0000_i1370" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image340.wmz» o:><img width=«55» height=«21» src=«dopb96436.zip» v:shapes="_x0000_i1370">, где g— ускорение свободного падения, <shape id="_x0000_i1371" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image342.wmz» o:><img width=«13» height=«17» src=«dopb96427.zip» v:shapes="_x0000_i1371"> — плотность жидкости, S — площадь пластинки, h— глубина ее погружения.
По этой формуле нельзя искать давление жидкости на вертикально погруженную пластинку, так как ее разные точки лежат на разных глубинах.
Пусть в жидкость погружена вертикально пластина, ограниченная линиями х = а, х = b, y<shape id="_x0000_i1372" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image343.wmz» o:><img width=«56» height=«23» src=«dopb96437.zip» v:shapes="_x0000_i1372"> и y<shape id="_x0000_i1373" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image345.wmz» o:><img width=«59» height=«23» src=«dopb96438.zip» v:shapes="_x0000_i1373">. Для нахождения давления Р жидкости на эту пластину применим схему II (метод дифференциала).
<imagedata src=«21617.files/image347.png» o:><img width=«276» height=«206» src=«dopb96439.zip» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1047">
1. Пусть часть искомой величины Р есть функция от х: р = р(х), т. е. р = р(х) — давление на часть пластины, соответствующее отрезку [а; b]значений переменной х, где х <shape id="_x0000_i1374" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image349.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb96331.zip» v:shapes="_x0000_i1374"> [a; b] (р(a) = 0, р(b) = Р).
2. Дадим аргументу х приращение Δx = dх. Функция р(х) получит приращение Δр (на рисунке — полоска-слой толщины dх). Найдем дифференциал dр этой функции. Ввиду малости dх будем приближенно считать полоску прямоугольником, все точки которого находятся на одной глубине х, т. е. пластинка эта — горизонтальная.
Тогда по закону Паскаля dр =<shape id="_x0000_i1375" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«21617.files/image350.wmz» o:><img width=«137» height=«23» src=«dopb96440.zip» v:shapes="_x0000_i1375">.
продолжение
--PAGE_BREAK--