Реферат: Дифференцирование в линейных нормированных пространствах

--PAGE_BREAK--Сильный дифференциал (дифференциал Фреше)


Пусть X иУ — два нормированных пространства иF— отображение, действующее из X в Yи определенное на некотором открытом подмножестве О пространства X. Мы назовем это отображение дифференцируемым в данной точке<img border=«0» width=«40» height=«19» src=«ref-1_1574457354-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">, если существует такой ограниченный линейный операторLx<img border=«0» width=«14» height=«14» src=«ref-1_1574457475-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076">ж (X, Y),что для любого е> 0 можно найти д > 0, при котором из неравенства ||h||< д следует неравенство






||F(x+ h)-F(x)-Lxh||<е||h|| (1)
То же самое сокращенно записывают так:
А(ч + р)-А(ч)-Дчр = щ(р)ю(2)
Из (I) следует, что дифференцируемое в точке х отображение непрерывно в этой точке. ВыражениеLxh(представляющее собой, очевидно, при каждом h<img border=«0» width=«14» height=«14» src=«ref-1_1574457475-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">Xэлемент пространства У) называетсясильным дифференциалом (илидифференциалом Фреше) отображенияFв точкех. Сам линейный операторLxназываетсяпроизводной, точнее,сильной производной отображенияFв точкех. Мы будем обозначать эту производную символомF'(x).

Если отображениеFдифференцируемо в точке, то соответствующая производная определяется единственным образом. В самом деле, равенство
||L1h— L2h|| = o(h)для операторов

Li<img border=«0» width=«14» height=«14» src=«ref-1_1574457475-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">ж(X,У),i= 1, 2,
возможно, лишь еслиL1= L2.

Установим теперь некоторые элементарные факты, непоcредственно вытекающие из определения производной.
Если F(x) = y= const, то F'(x) = О (т. е. F'(х)
в этом случае есть нулевой оператор).

Производная непрерывного линейного отображения Lесть само это отображение:






L'(x)=L(3)
Действительно, по определению имеем
L(x+ h)-L(x) = L(h).
3. (Производная сложной функции). Пусть X, У, Z— три нормированных пространства, U(x0)—окрестность точки х0<img border=«0» width=«14» height=«14» src=«ref-1_1574457475-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079">Х, F — отображение этой окрестности в У, у0= F(x), V(yo) — окрестность точки у0<img border=«0» width=«14» height=«14» src=«ref-1_1574457475-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080">У и G— отображение этой окрестности в Z. Тогда, если отображение Fдифференцируемо в точке хо, aGдифференцируемо в точке уо, то отображение Н = GF(которое определено в некоторой окрестности точки х0) дифференцируемо в точке хо и
H'(x)=G'(y)F'(x) (4)
Действительно, в силу сделанных предположений
А(ч0+о) = А(ч0) + Аэ (ч0)о+о1 (о ) и

G(уо + з) = G(уо) + G' (уо) з + о2 (з).
НоF
'
(
x

)иG
'(
yo
) —ограниченные линейные операторы. Поэтому
H(х0+о) = G(уо + F' (x) о+ о1о ) = G(уо) + G' (у0) (F' (х0) о+ +о1о))+

+о2(F' (x) о+ о1 (о )) = G(у0) + G' (уо) F' (х0) о+ о3 (о).
Если F, Gи Н — числовые функции, то формула (4) превращается в известное правило дифференцирования сложной функции.

4. Пусть Fи G— два непрерывных отображения, действующих из X в Y. Если Fи Gдифференцируемы в точке х0, то и отображения F+ Gи aF(а — число) тоже дифференцируемы в этой точке, причем
(F+ G)'(х0) = F'(х0) + G'(х0) (5)

(aF)'(x) = aF'(x).(6)
Действительно, из определения суммы операторов и произведения оператора на число сразу получаем, что
(F+G)(x+ h) = F(x+ h) + G(x+ h) = F(х0) + G(х0) + F' (х0) h+

+G' (х0) h+ o1(h)и

aF (x0 + h) = aF (x0) + aF' (x0) h + o2 (h),
откуда следуют равенства (5) и (6).
    продолжение
--PAGE_BREAK--Слабый дифференциал (дифференциал Гато)


Пусть снова Fесть отображение, действующее изX в У.Слабым дифференциалом илидифференциалом Гато отображенияFв точкех (при приращенииh)называется предел
DF(x,h)=<img border=«0» width=«93» height=«42» src=«ref-1_1574457895-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081">t=0=<img border=«0» width=«26» height=«29» src=«ref-1_1574458161-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082"><img border=«0» width=«112» height=«43» src=«ref-1_1574458288-298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083"><img border=«0» width=«13» height=«24» src=«ref-1_1574458586-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084">,
где сходимость понимается как сходимость по норме в пространстве У.

Иногда, следуя Лагранжу, выражениеDF(x,h)называют первой вариацией отображенияFв точке х.

Слабый дифференциалDF(x,h)может и не быть линеен поh.Если же такая линейность имеет место, т. е. если






DF(х, h) = F'c(х) h,
гдеF'c(х) — ограниченный линейный оператор, то этот оператор называетсяслабой производной (илипроизводной Гато).

Заметим, что для слабых производных теорема о дифференцировании сложной функции, вообще говоря, неверна.


Формула конечных приращений


Пусть О — открытое множество в X и пусть отрезок [х0, х] целиком содержится в О. Пусть, наконец,Fесть отображение X в У, определенное на О и имеющее слабую производнуюF'cв каждой точке отрезка [х0,x]. Положив Дх = х — хо и взяв произвольный функционал <img border=«0» width=«26» height=«17» src=«ref-1_1574458659-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085">У*, рассмотрим числовую функцию
f(t) = <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1574458765-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">(F(x+tДх)),
определенную при <img border=«0» width=«56» height=«19» src=«ref-1_1574458859-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087">.Эта функция дифференцируема поt.Действительно, в выражении
<img border=«0» width=«375» height=«43» src=«ref-1_1574459000-849.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088">
можно перейти к пределу под знаком непрерывного линейного функционала<img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1574458765-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">. В результате получаем
F'(t) = <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1574458765-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090"> (F'c(x+tДx) Дx)






Применив к функции fна отрезке [0, 1] формулу конечных приращений, получим
f(l) = f(0) + f'(и), где 0<и<1,

<img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1574458765-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">(F(x)-F(x))= <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1574458765-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">(F'c(x+и Дx) Дx)(7)
Это равенство имеет место для любого функционала <img border=«0» width=«26» height=«17» src=«ref-1_1574458659-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093">У* (величина изависит, разумеется, от<img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1574458765-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094">). Из (7) получаем
|<img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1574458765-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">(F(x)-F(x))|<img border=«0» width=«36» height=«26» src=«ref-1_1574460519-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096"><img border=«0» width=«8» height=«8» src=«ref-1_1574460670-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097"><img border=«0» width=«29» height=«32» src=«ref-1_1574460743-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">||F'c(x+и Дx)||<img border=«0» width=«8» height=«8» src=«ref-1_1574460670-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">||Дx|| (8)
Выберем теперь ненулевой функционал <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1574458765-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100"> так, что
<img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1574458765-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101"> (F(х) — F(х0)) =||<img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1574458765-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">||<img border=«0» width=«8» height=«8» src=«ref-1_1574460670-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103"> ||F
(х) -F(хо) ||
(такой функционал <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1574458765-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104"> существует в силу следствия 4 теоремы Хана — Банаха (см. п. 3 § 1 гл. IV)). При этом из (8) получаем
||(F(х) — F(x)||<img border=«0» width=«9» height=«24» src=«ref-1_1574461412-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105"><img border=«0» width=«29» height=«32» src=«ref-1_1574460743-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106"> ||F'c(x+и Дx)||<img border=«0» width=«8» height=«8» src=«ref-1_1574460670-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107"> ||Дx|| (Дx
=
x
-
x

) (9)
Это неравенство можно рассматривать как аналог формулы конечных приращений для числовых функций. Применив формулу (9) к отображению
х —Ю А (х) — Аэс (хо)Дч
получим следующее неравенство:
||F(x-F(хо)-F'c
(хо) Дx
|| <img border=«0» width=«13» height=«21» src=«ref-1_1574461774-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108"> <img border=«0» width=«29» height=«32» src=«ref-1_1574460743-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109"> 
||F'c(xo+иДx)-F'c(x)
||<img border=«0» width=«8» height=«8» src=«ref-1_1574460670-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">|| Дx
||(10)



    продолжение
--PAGE_BREAK--Связь между слабой и сильной дифференцируемостью


Сильная и слабая дифференцируемость представляют собой различные понятия даже в случае конечномерных пространств. Действительно, из анализа хорошо известно, что для числовой функции
f(x) = f(x1,…,xn)
при n<img border=«0» width=«14» height=«16» src=«ref-1_1574462145-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">2 из существования производной
<img border=«0» width=«91» height=«42» src=«ref-1_1574462232-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">

при любом фиксированном h= (f1,...,fn) еще не следует диф- ференцируемость этой функции, т. е. возможность представить ее приращениеf(x+h)— f(x)в виде суммы линейной (по h) части и члена выше первого порядка малости относительно h.

Простейшим примером здесь может служить функция двух переменных
<img width=«274» height=«70» src=«ref-1_1574462497-890.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1026">(11)
Эта функция непрерывна всюду на плоскости, включая точку (0,0). В точке (0,0) ее слабый дифференциал существует и равен 0, поскольку
<img border=«0» width=«265» height=«48» src=«ref-1_1574463387-692.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">
Вместе с тем этот дифференциал не является главной линейной частью приращения функции (11) в точке (0,0). Действительно, если положитьh2=h12, то
<img border=«0» width=«319» height=«52» src=«ref-1_1574464079-937.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114">
Однако если отображениеFимеет сильную производную, то оно имеет и слабую, причем сильная и слабая производные совпадают. Действительно, для сильно дифференцируемого отображения имеем
А(ч + ер) — А (ч) = Аэ (ч) (ер) + о (ер) = еАэ (ч)р +о (ер) и

<img border=«0» width=«271» height=«40» src=«ref-1_1574465016-557.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">
Выясним условия, при которых из слабой дифференцируемости отображенияFследует его сильная дифференцируемость.

Теорема 1. Если слабая производная F'c(х) отображения Fсуществует в некоторой окрестности Uточки х0и представляет собой в этой окрестности (операторную) функцию от х, непрерывную в x, то в точке xсильная производная F'(x) существует и совпадает со слабой.

Доказательство. По е>0 найдем д>0 так, чтобы при ||h||< д бвыполнялось неравенство:
|| F'c(xo+ h)-F'c(xo) || <img border=«0» width=«14» height=«16» src=«ref-1_1574465573-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">е
Применив к отображениюFформулу (10), получим:

||F(x+ h)-F(хо) — F'c(хо) h|| <img border=«0» width=«14» height=«16» src=«ref-1_1574465573-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117"><img border=«0» width=«29» height=«32» src=«ref-1_1574460743-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118"> ||F'c(xo+ иh)- F'c(xo)||

||h||<img border=«0» width=«14» height=«16» src=«ref-1_1574465573-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119"> е||h||




Тем самым имеет место теорема 1, т. е. доказано как существование сильной производнойF'(xо), так и ее совпадение со слабой производной.
Дифференцируемые функционалы


Мы ввели дифференциал отображенияF,действующего из одного нормированного пространства X в другое нормированное пространство У. ПроизводнаяF'(х)такого отображения при каждомх — это линейный оператор из X в У, т. е. элемент пространства о(X, У). В частности, если У — числовая прямая, тоF— принимающая числовые значения функция на X, т. е. функционал. При этом производная функционалаFв точкех0 есть линейный функционал (зависящий от х0), т. е. элемент пространства X*.

Пример. Рассмотрим в действительном гильбертовом пространствеН функционалF(x)= ||х||2. Тогда
||x+ h||2-||x||2 = 2(x, h) + || h||2;
величина 2(x,h)представляет собой главную линейную (поh) часть этого выражения, следовательно,
F' (x) = F'c(x) = 2х.
    продолжение
--PAGE_BREAK--Абстрактные функции


Предположим теперь, что к числовой прямой сводится пространство аргументов X. Отображение F(x),сопоставляющее числух элемент некоторого банахова пространства У, называетсяабстрактной функцией. ПроизводнаяF'(х)абстрактной функции (если она существует) представляет собой (при каждомх) элемент пространства У — касательный вектор к кривойF(x).Для абстрактной функции (представляющей собой функцию одного числового аргумента) слабая дифференцируемость совпадает с сильной.
Интеграл


ПустьF— абстрактная функция действительного аргументаtсо значениями в банаховом пространстве У. ЕслиFзадана на отрезке[а, b],то можно определить интеграл функцииFпо отрезку[а,b].Этот интеграл понимается как предел интегральных сумм
<img border=«0» width=«121» height=«45» src=«ref-1_1574465984-455.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">,
отвечающих разбиениям
ф = е0Бе1Б ююю Бет = иб ол<img border=«0» width=«14» height=«14» src=«ref-1_1574457475-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121">хелбел+1ъб
при условии, что max(tk+1-tk)<img border=«0» width=«21» height=«15» src=«ref-1_1574466523-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122"> 0. Интеграл (представляющий, собой, очевидно, элемент изY) обозначается символом
<img border=«0» width=«61» height=«57» src=«ref-1_1574466613-448.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">
Рассуждения, в значительной мере аналогичные проводимым для функций, принимающих скалярные значения, показывают, что интеграл от функции, непрерывной на отрезке, существует; при этом он обладает свойствами обычного риманова интеграла.



Производные высших порядков


ПустьF— дифференцируемое отображение, действующее из X в У. Его производная F'(x)при каждом x<img border=«0» width=«14» height=«14» src=«ref-1_1574457475-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">
Xесть элемент из о(X, У), т. е.F'есть отображение пространства X в пространство линейных операторов о(Х, У). Если это отображение дифференцируемо, то его производная называетсявторой производной отображенияFи обозначается символомF".Таким образом,F"(x)есть элемент пространствао(Х, о(Х, У)) линейных операторов, действующих изX во(X,У). Покажем, что элементы этого пространства допускают более удобную и наглядную интерпретацию в виде так называемых билинейных отображений.

Мы говорим, что заданобилинейное отображение пространства X в пространство У, если каждой упорядоченной паре элементов х, х' изX поставлен в соответствие элементу=В(х, х') <img border=«0» width=«14» height=«14» src=«ref-1_1574457475-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125">
У так, что выполнены следующие условия:

1. для любых <img border=«0» width=«79» height=«24» src=«ref-1_1574467229-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126">из X и любых чисел<img border=«0» width=«34» height=«22» src=«ref-1_1574467416-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">имеют место равенства:
В(<img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1574450545-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128">x1+ <img border=«0» width=«16» height=«22» src=«ref-1_1574467634-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">х2,<img border=«0» width=«16» height=«24» src=«ref-1_1574467734-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">)=<img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1574450545-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">В (<img border=«0» width=«16» height=«24» src=«ref-1_1574467921-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">,<img border=«0» width=«16» height=«24» src=«ref-1_1574468016-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">)+<img border=«0» width=«16» height=«22» src=«ref-1_1574467634-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">В (х2, <img border=«0» width=«16» height=«24» src=«ref-1_1574468016-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135">),

В(x1, <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1574450545-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136"><img border=«0» width=«16» height=«24» src=«ref-1_1574467734-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137">+<img border=«0» width=«16» height=«22» src=«ref-1_1574467634-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138"><img border=«0» width=«19» height=«24» src=«ref-1_1574468597-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">) = <img border=«0» width=«16» height=«15» src=«ref-1_1574450545-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140">В (<img border=«0» width=«16» height=«24» src=«ref-1_1574467921-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141">,<img border=«0» width=«16» height=«24» src=«ref-1_1574468016-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">)+<img border=«0» width=«16» height=«22» src=«ref-1_1574467634-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143">В(x1,<img border=«0» width=«19» height=«24» src=«ref-1_1574468597-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">);
2. существует такое положительное число М, что
||В(х, х') || <img border=«0» width=«14» height=«16» src=«ref-1_1574465573-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145">M||x||<img border=«0» width=«8» height=«8» src=«ref-1_1574460670-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146">||x’|| (17)
при всех х, х'<img border=«0» width=«14» height=«14» src=«ref-1_1574457475-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147">X.

Первое из этих условий означает, что отображениеВ линейно по каждому из двух своих аргументов; нетрудно показать, что второе условие равносильно непрерывностиВ по совокупности аргументов.

Наименьшее из чисел М, удовлетворяющих условию (17), называетсянормой билинейного отображенияВ и обозначается ||В||.

Линейные операции над билинейными отображениями определяются обычным способом и обладают обычными свойствами.

Таким образом, билинейные отображения пространства X в пространство У сами образуют линейное нормированное пространство, которое мы обозначимВ(Х2, У). При полноте У полно и В(Х2, У).

Каждому элементуА из пространствао(Х, о(Х,У)) можно поставить в соответствие элемент изВ(Х2, У), положив
В(х, х') = (Ах)х'.(18)
Очевидно, что это соответствие линейно. Покажем, что оно также и изометрично и отображает пространствоо(X,о(Х,У)) на все пространствоB(X2,Y).Действительно, еслиу=В(х, х') = (Ах)х', то
||y||<img border=«0» width=«14» height=«16» src=«ref-1_1574465573-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148">||Ax||<img border=«0» width=«8» height=«8» src=«ref-1_1574460670-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">||x’||<img border=«0» width=«14» height=«16» src=«ref-1_1574465573-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150">||A||<img border=«0» width=«8» height=«8» src=«ref-1_1574460670-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151">||x||<img border=«0» width=«8» height=«8» src=«ref-1_1574460670-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">||x’||,
откуда
||B||<img border=«0» width=«14» height=«16» src=«ref-1_1574465573-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">||A||(19)
С другой стороны, если задано билинейное отображениеВ, то при фиксированном x<img border=«0» width=«14» height=«14» src=«ref-1_1574457475-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">
Xотображение
х'→ (Ах)х' = В(х, х')
есть линейное отображение пространства X в У.

Таким образом, каждому x<img border=«0» width=«14» height=«14» src=«ref-1_1574457475-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">
Xставится в соответствие элементАх пространствао(X,У); очевидно, чтоАх линейно зависит отх, т. е. билинейное отображениеВ определяет некоторый элементА пространствао(Х, о(Х, У)). При этом ясно, что отображениеВ восстанавливается поА при помощи формулы (18) и
||Ах||= <img border=«0» width=«29» height=«34» src=«ref-1_1574470075-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156"> ||(Ax)x'||=<img border=«0» width=«29» height=«34» src=«ref-1_1574470075-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157"> ||В(х,x')<img border=«0» width=«14» height=«16» src=«ref-1_1574465573-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158">||B||<img border=«0» width=«8» height=«8» src=«ref-1_1574460670-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">||x||,
Откуда
||A||<img border=«0» width=«14» height=«16» src=«ref-1_1574465573-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">||B||(20)
Сопоставляя (19) и (20), получаем||A|| = ||В||. Итак, соответствие междуB(X2,Y)ио{X, о(X,Y)),определяемое равенством (18), линейно и изометрично, а следовательно, взаимно однозначно. При этом образ пространствао(Х, о(Х, У)) есть всеВ(Х2, У).

Мы выяснили, что вторая производнаяF"(x)есть элемент пространства о(X, о (X, У)). В соответствии с только что сказанным мы можем считатьF"(x)элементом пространства В(Х2, Y).

Очевидным образом можно ввести понятие третьей, четвертой и вообщеп-й производной отображенияF,действующего из X вY,определивп-ю производную как производную от производной (п—1)-го порядка. При этом, очевидно,п-я производная представляет собой элемент пространствао(Х, о(Х, ..., о(X, У))). Повторяя рассуждения, проведенные для второй производной, можно каждому элементу этого пространства естественным образом поставить в соответствие элемент пространстваN(Хп,У) n-линейных отображенийX вУ.

При этом подn-линейным отображениемпонимается такое соответствие y=N(x', х", ...,x(n)) между упорядоченными системами (х', х",…. , x(n)) элементов изX и элементами пространства У, которое линейно по каждому изхiпри фиксированных остальных элементах и удовлетворяет при некотором М > 0 условию
|| N (x', х",..., x(n)) ||<img border=«0» width=«14» height=«16» src=«ref-1_1574465573-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">М || х' || • ||х" ||… || x(n)||.
Таким образом,п-ю производную отображенияFможно считать, элементом пространстваN(Xn,
У).
    продолжение
--PAGE_BREAK--