Реферат: Тригонометрия

Действительные числа:

Теорема: R — несчётное множество.

Док-во:метод от противного. Несчётность (0;1)

X1=0,n11n12n13…n1k… m1Î{0,1,…,9}\{9,n11}

X2=0,n21n22n23…n2k… m2Î{0,1,…,9}\{9,n22}

……………………… ………………………

Xk=0,nk1nk2nk3…nkk… mkÎ{0,1,…,9}\{9,nkk}

a=0,m1m2…mk… Þa¹x1a¹x2a¹x3…… a¹xk

aÏ(0;1) Противоречие.

0<a<1 ÞR — несчётное множество.

Теорема:Q — Счётное множество.

Док-ть: Q+— счётное,т.к. Q=Q-U{0}UQ+

Док-во:

/>

Q+— счётное множество, т.к. оно есть объединение счётного семейства счётных

множеств. Q — — Тоже, что и Q+ только все элементы множества отрецательные

. По теореме: Всякое множество счётных одмножеств явл. Само счётным Þ Q — сч. мн.

Предел числовой последовательности:

Пусть aÎR, e>0 {x:|x-a|<e}

Последовательность {Xn} имеет конечный предел если сущ. такое число a?R, что кокого

бы нибыло e>0 почти все члены этой последовательности e — окрестность точки a.

Почти все — это значит за исключением быть может конечного числа.

$n=n(e)ÎN: n>nÞ|xn-a|<ea=limxn, при n®¥

Свойства:

1. Единственность(Если предел есть, то только один)

Док-во: Метод от противного. a=limxn , b=limxn , при n®¥, a>b, a-b=e>0

$n=n(e/3):|xn-a|<e/3 и|xn-b|<e/3

e=a-b=(a-xn)-(b-xn)

e=|(a-xn)-(b-xn)|£ |(a-xn)|+|(b-xn)|£2e/3

e£2e/3 Противоречие.

2. Ограниченность(Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена)

Дано: $limxn=a, приn®¥ — конечный предел

Док-ть:$M>0:|xn|<M "n

Док-во: limxn=a, при n®¥:"e>0 $n=n(e):a-e<xn<a+e, приn>n

Пусть e=1, тогда при n>n(1) будет выполняться a-1<xn<a+1 или |xn-a|<1

Тогда |xn|<|(xn-a)+a|<|xn-a|+|a|<|a|+1 "n>n(1)

P=max{|a1|,|a2|,…,|ano|}

M=max{P,|a|+1}Þ|xn|<M "n

3. Предел подпоследовательности(Если последовательность имеет предел а, то любая

её подпоследовательность имеет тоже предел а)

Свойства предельного перехода связанные с неравенствами:

Теорема 1. Пусть $limxn=x, при n®¥— конечный (1 последовательность)

$limyn=y, при n®¥ — конечный (2 последовательность)

Если x<y, то для почти всех n xn<yn

Док-во: e=y-x>0

$n|=n|(e/3): |xn-x|<e/3 "n>n|

$n||=n||(e/3): |yn-y|<e/3 "n>n|

n=max{n|,n||}, n>n

x-e/3<xn<x+e/3 î

y-e/3<yn<y+e/3 ìÞxn<x+e/3<y-e/3<ynÞ"n>nxn<ynЧто и т. док-ть.

Следствие: Если последовательность имеет предел отличный от нуля, то

эта последовательность отделена от нуля. Эта последовательность при больших n

сохраняет знак своего предела)

x=limxn, x¹

1) x>0 Предположим x>0 x/2>0Þx>x/2

limxn>x/2, при n®¥Из Т.1. следует, что $n:"n>nxn>x/2>0

Теорема 2. Предположим, что $limxn=x и$limyn=y, при n®¥

Если для почти всех n:xn£yn, то и x£y

Док-во:Метод от противного. x>y по Т.1. Þ xn>ynдля почти всех n

Противоречие.

--PAGE_BREAK--Теорема 3. Теорема о двустороннем ограничении.

Пусь $limxn=limyn=a, при n®¥, и предположим, что xn£zn£yn"n, тогда

1) Сущ. limzn, при n®¥

2)limzn=a, при n®¥

Док-во: $n|=n|(e):a-e£xn£a+e, "n>n|

$n||=n||(e):a-e£yn£a+e, "n>n||

n=max{n|,n||}

n>nÞa-e£xn£zn£yn£a+eÞa-e£zn£a+eÞ$limzn=a

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности:

defû{xn}-б.м. :=limxn=0, при n®¥, т.е. «e>0 $n=n(e) n>nÞ|xn|<e

defû{xn}-б.б. :=limxn=¥, при n®¥, т.е. „e>0 $n=n(e) n>nÞ|xn|>e

Свойство 1. Произведение б.м. последов. на ограниченную даёт сного б.м.

{xn}-б.м. {yn}-ограниченная {xnyn}-б.м.

Док-во:$M>0:|yn|£M “n — значит ограничена.

»e>0 $n=n(e/M):n>nÞ|xn|<e/M Þ

Þn>n|xnyn|=|xn||yn|£e/M*M=eÞ{xnyn}-б.м.

Свойство 2. Произведение б.б. на посл. Отделённую от нуля даст б.б.

{xn}-б.б. и {yn}-отдел от нуля

Док-во:{1/xn*1/yn}=б.м.*огран.=б.м. (по 1-ому свойству)Þ {xnyn}-б.б.

Свойство 3. Сумма двух (любого кон. числа) б.м. послед. Даст снова б.м.

{xn} и {yn}-б.м. Þ{xn+yn}-б.м.

Док-во:"e$n|=n|(e/2):n>n||xn|<e/2

$n||=n||(e/2):n>n|||yn|<e/2

n=max{n|,n||}

n>nÞ|xn+yn|£|xn|+|yn|<e/2+e/2=e

Для того чтобы получить это св-во с любым числом последовательностей

нужно применить метод мат. индукции.

Свойство 4. Сумма б.б. одного знака снова б.б. того же знака

Док-во: Очивиднл.

Неопределённые интегралы.

def / F(x) называется первообразной

для f(x) на [a;b] если F ¢(x)=f(x)

У непрерывной функции первообразная

всегда есть.

Теорема: Различные первообразные

одной и той же функции отличаются

на одно и тоже постоянное слагаемое.

Док-во: F1(x) иF2(x) – первообразные для f(x)

F(x)= F1(x)- F2(x)

F ¢(x)= F1¢(x)- F1¢(x)=f(x)-f(x)=0

F(x)=const

Def / Совокупность всех первообразных одной

и той же функции называется её

неопределённым интегралом.

/>

/>

/>

Св-ва линейности:

/>

Замена переменных в неопределённом интеграле

или методом подстановки.

Теорема: Пусть функция x=

x(t): (a;b)®(a;b), xÎC1(a;b), fÎC(a;b)

1) />

½x=x(t)

2) Если x¢(t) сохраняет знак, тогда

/>

½t=t(x)

Док-во: 1) d/dxF(x(t))=F ¢(x(t))x¢(t)=f(x(t))x¢(t)

2) x(t) – строго монотонная Þ $обратная t=t(x)

/>

½t=t(x)

Интегрирование по частям.

/>

Рекуррентная формула.

/>

y=a+bx2y¢=2bx xy¢=2bx2=2(y-a)

U=1/yn dx=dV dU=(-ny¢/yn+1)dx V=x

/>

/>

In=x/yn+2nIn-2naIn+1

1) In+1=(1/2na)(x/yn+(2n-1)In), n¹0, a¹0

2) In=(1/(2n-1))(2naIn+1-x/yn), n¹1/2, a¹0

Поле комплексных чисел.

(x;y)=(x;0)+(y;0)(0;1)=x+yi

– алгебраическая запись комплексного числа

Чертёж :