Реферат: Алгебра логики

Лекция. Алгебра логики

Кроме обычной алгебрысуществует специальная, основы которой были заложены английским математиком XIX века Дж. Булем. Эта алгебразанимается так называемым исчислением высказываний.

Ее особенностью является применимость для описания работы так называемых дискретных устройств, к числу которых принадлежит целый класс устройств автоматики и вычислительной техники.

При этом сама алгебравыступает в качестве модели устройства. Это означает, что работа произвольного устройства указанного типа может быть лишь в каком-то отношении описана с помощью построений этой алгебры. Действительное реальное устройство физически работает не так, как это описывает алгебралогики. Однако применение положений этой теории позволяет сделать ряд полезных в практическом отношении обобщений.

Рассмотрим некоторую схему и представим ее в виде так называемого «черного» ящика.

Будем считать, что внутреннее содержимое ящика неизвестно.

X1,X2,X3– входные сигналы, F– выходной сигнал.

Считаем также, что схема А– элементарная, т.е. нет другой схемы Б, меньшей, чем А, которая бы содержалась в А.

Построим абстрактное устройство из элементарных устройств, типа А, Б, Ви т.д. Очевидно, более сложное устройство можно построить из простых путем:

последовательного соединения элементов;

параллельного соединения;

перестановки входов элементов.

Тогда роль Y1для второго элемента Ббудет играть:

Y1=FА(X1,X2,X3)

Y2=FБ(X1,X2)

F=F(Y1,Y2)=F(FА(X1,X2,X3),FБ(X1,X2))

Параллельное соединение элементов не меняет функции, поэтому, с точки зрения логики, этот тип соединения не используется. Физически иногда все же применяют параллельное соединение элементов, но в основном для того, чтобы, например, усилить сигнал.

В связи с этим, параллельное соединение элементов в алгебрелогики не рассматривается.

Функция, которую выполняет элемент, вообще говоря, зависит от переменных, которые подаются на вход.

Поэтому перестановка аргументоввлияет на характер функции.

F=F(FА(X1,X2,X3),FБ(X2,X3)) />

F(FБ(X2,X3),FА(X1,X2,X3))

Таким образом, произвольные, сколь угодно сложные в логическом отношении схемы, можно строить, используя два приема:

последовательное соединение элементов;

перестановка входов элементов.

Этим двум физическим приемам в алгебрелогики соответствуют:

принцип суперпозиции (подстановка в функциювместо ее аргументовдругих функций);

подстановка аргументов(изменение порядка записи аргументов функцийили замена одних аргументов функциидругими).

Итак, физическая задача построения и анализаработы сложного устройства заменяется математической задачей синтезаи анализасоответствующих функций алгебрылогики.

Элементарные функции алгебры логики

Существует несколько синонимов по отношению к функциям алгебрылогики:

функции алгебрылогики (ФАЛ);

переключательные функции;

булевские функции;

двоичные функции.

По мере необходимости будем пользоваться всеми этими синонимами.

Рассмотрим некоторый набор аргументов:

<X1,X2,X3,… Хi,...Xn>

и будем считать, что каждый из аргументовпринимает только одно из двух возможных значений, независимо от других

Чему равно число различных наборов?

Xi = {0, 1}

Поставим каждому набору в соответствие некоторое двоичное число:

X1,X2,...........Xn

0, 0,...........,0 нулевой набор

0, 0,...........,1 первый набор

0, 0,..........1,0 второй набор

...................

1, 1,...........,1 (2n-1)-ый набор

Очевидно, что количество различных X1,X2,...........Xnn-разрядных чисел в позиционной двоичной системе есть 2n.

Допустим, что некоторая функцияF(X1,X2,....Xn)задана на этих наборах и на каждом из них она принимает либо ''-ое, либо '1'-ое значение.

Такую функциюназывают функцией алгебрылогики или переключательной функцией.

Чему равно число различных переключательных функций'n' аргументов?

Т.к. функцияна каждом наборе может принять значение '' или '1', а всего различных наборов 2n, то общее число различных функций'n' аргументовесть: 22n.

По сравнению с аналитической функциейнепрерывного аргументадаже для одного аргументасуществует множество различных функций.

--PAGE_BREAK--

Число аргументов

Число различных перекл. ф-ций

256

65536

~4*109

~10300

Различные устройства ЭВМ содержат десятки и сотни переменных (аргументов), поэтому понятно, что число различных устройств, отличающихся друг от друга, практически бесконечно.

Итак, нужно научиться строить эти сложные функции(а стало быть, и устройства), а также анализировать их.

Задача синтезаболее сложных функцийзаключается в представлении их через простые на основе операций суперпозиции и подстановки аргументов.

Таким образом, вначале необходимо изучить эти элементарные функции, чтобы на их основе строить более сложные.

ФАЛ одного аргумента

Чтобы задать ФАЛ, нужно задать ее значения на всех наборах аргументов.

АргументХ

значение

Наименование функции

F(x)

константа ''

F1(x)

переменная 'х'

F2(x)

инверсия'х' (отрицание х)

F3(x)

константа '1'

Будем у функцииставить индекс, эквивалентный набору ее значений для соответствующих значений аргумента, начиная с 0,0,....,0,.....и т.д. в порядке возрастания.

Эти функцииможно реализовать на 4-х элементах, каждый из которых имеет максимум один вход. Таким образом, принципом подстановки аргументовдля построения более сложных функцийнельзя воспользоваться.

Необходимо рассмотреть более сложные функции, т.е. ФАЛ 2х аргументов.

Дадим такие определения:

ФАЛ, принимающие одинаковые значения на всех наборах аргументов, называются равными.

ФАЛ существенно зависит от аргументаХi, если

F(X1,X2,..., Хi-1,0,Xi+1,...,Xn) />

F(X1,X2,..., Хi-1,1,Xi+1,...,Xn)

В противном случае она зависит не существенно, а соответствующий аргументназ. фиктивным.

Например:

Х1

Х2

Х3

F(X1,X2, Х3)

Видно, что Х3– фиктивный аргумент. Это показывает, что в функциюможно ввести любое число фиктивных аргументов, от которых она существенно не зависит. Этот прием в дальнейшем потребуется для выполнения ряда преобразований.

Все ФАЛ от 2-х аргументов. Сведем их в единую таблицу 2.1.

Таблица 2.1.

№ функции

Значение функциина наборах логических переменных

Наименование функции

Обозначение функции

продолжение
--PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--

Читается: если X1, то X2. При этом X1– посылка, X2– следствие.

Если посмотреть на таблицу истинности, то может показаться странным название этой функции, т.к. из него следует, что истинным может быть высказывание, составленное из двух ложных.

Но в действительности, все верно, т.к. содержанием высказываний в алгебрелогики не интересуются.

Тогда из ложной посылки может следовать ложное следствие и это можно считать верным: <если Киев – столица Франции>, то <2-квадрат 3>.

Эквивалентности

В некоторых случаях сложное и длинное высказывание можно записать более коротким и простым без нарушения истинности исходного высказывания. Это можно выполнить с использованием некоторых эквивалентных соотношений.

Дизъюнкция:

х />х />х />х />… />х />х />х= х,

т.е. истинность высказывания не изменится, если его заменить более коротким, таким образом, это правило приведения подобных членов:

– постоянно истинное высказывание.

0 />x = x

x1/>x2= x2/>x1

— (переместительный) коммуникативный закон.

x1/>х2/>х3= (x1/>х2) />х3= x1/>(х2/>х3)

— сочетательный закон.

Конъюнкция:

х />х />х />х… />х />х />х= х

правило приведения подобных членов: