Реферат: Решение матриц
Умножение
Умножение матриц (Произведение матриц):
Операция умножения двух матрицвводится только для случая, когда число столбцов первой матрицыравно числу строк второй матрицы.
Это условие не выполняется, произведение АВ не существует.
Произведение матрицы и вектора Аb:
/>
Скалярное произведение векторов (b, с):
/>
Найти определитель матрицы А:
В частности, формула вычисления определителя матрицы />такова:
/>
= a11a22a33− a11a23a32− a12a21a33+ a12a23a31+ a13a21a32− a13a22a31
=2*(-4)*5 – 2*4*2 – (-2)*5*5 + (-2)*4*(-1) +(-1)*5*2 – (-1)*(-4)*(-1) = -40 – 16 +50 + 8 – 10 + 4 = -4
Найти обратную матрицу А-1:
Решение.
/>
Определитель введенной Вами матрицы равен:
/>
Определитель не равен нулю, следовательно обратная матрицасуществует.
Допишем к исходной матрице единичную матрицу справа.
/>
Начнем приведение левой квадратной матрицы к единичному виду. При помощи элементарных преобразованийуберем все коэффициенты ниже главной диагонали.
Вычтем 1 — ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.
/>
Вычтем 2 — ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.
/>
Приведем все коэффициенты на главной диагонали матрицы к 1. Поделим каждую строку матрицы на коэффициент этой строки находящийся на главной диагонали, если он не равен 1.
/>
Приведем все коэффициенты выше главной диагонали к 0, при помощи элементарных преобразований.
Вычтем 3 — ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.
/>
Вычтем 2 — ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.
/>
Ответ.
Как уже ранее упоминалось, мы при помощи элементарных преобразований переместили единичную матрицу из правой части в левую, при этом не нарушив ни одного правила работы с матрица.
Квадратная матрица, которую Вы видите справа и есть обратная матрица к введенной Вами.
/>
Решение системы уравнений Ах=b:
Условие
/>
Решение
Найдем определитель главной матрицы, составленной из коэффициентов при X1 — n:
/>
Определитель главной матрицы системы уравнений не равен нулю, следовательно данная система уравнений имеет единственное решение. Найдем его. Достоим главный определитель системы уравнений еще одним столбцом, в который вставим значения за знаком равенства.
/>
Теперь последовательно, при помощи элементарных преобразованийпреобразуем левую часть матрицы (3 × 3) до треугольного вида (обнулим все коэффициенты находящиеся не на главной диагонали, а коэффициенты на главной диагонали преобразуем до единиц).
--PAGE_BREAK--Вычтем 1 — ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.
/>
Вычтем 2 — ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.
/>
Вычтем 3 — ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.
/>
Вычтем 2 — ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.
/>
Приведем все коэффициенты на главной диагонали матрицы к 1. Поделим каждую строку матрицы на коэффициент этой строки находящийся на главной диагонали, если он не равен 1.
/>
Ответ.
Числа получившиеся правее единичной матрицы и будут решением Вашей системы уравнений.
/>
Элементарные преобразования матрицы
Элементарными преобразованиями матрицыназываются следующие преобразования: 1) умножение строки матрицына число, отличное от нуля; 2) прибавление к одной строке матрицыдругой строки; 3) перестановка строк; 4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов); 5) транспонирование матрицы;
Те же операции, применяемые для столбцов матрицы, также называются элементарными преобразованиями. С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу матрицыприбавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов).
Начинаем решать вот такую систему уравнений методом Гаусса
/>
Определитель основной матрицы равен -4
Хотим сделать элемент [1,1] равным 1. Разделили всю строку 1на элемент [1,1]=2.
/>
Сделали в 1 строкеэлемент 1 единичным.
Обнулим 1 столбец: Из 2 строкивычли 1 строку, умноженную на элемент [1,2]=5.
/>
Из 3 строкивычли 1 строку, умноженную на элемент [1,3]=-1.
/>
Преобразование 1 столбца сделали.
Хотим сделать элемент [2,2] равным 1. Разделили всю строку 2на элемент [2,2]=1.
/>
Сделали в 2 строкеэлемент 2 единичным.
Обнулим 2 столбец: Из 1 строкивычли 2 строку, умноженную на элемент [2,1]=-1.
/>
Из 3 строкивычли 2 строку, умноженную на элемент [2,3]=1.
/>
Преобразование 2 столбца сделали.
Хотим сделать элемент [3,3] равным 1. Разделили всю строку 3на элемент [3,3]=-2.
/>
Сделали в 3 строкеэлемент 3 единичным.
Из 1 строкивычли 3 строку, умноженную на элемент [3,1]=6.
/>
Из 2 строкивычли 3 строку, умноженную на элемент [3,2]=6.5.
/>
Преобразование 3 столбца сделали.
Ну вот вроде и все. Решение содержится в правом столбце: />Быстренько сделаем проверку: Исходная матрица:
/>
Подставим в исходную матрицу полученные решения: в квадратных скобках элементы матрицы, в круглых решения системы уравнений
/>