Реферат: Математическое программирование и моделирование в экономике и управлении
--PAGE_BREAK--Экономическое содержание и математическое моделирование распределительных нетранспортных задач.I. Известна программа выполнения продукции на период. Эта программа может быть выполнена на разных станках, а также известны фонд эффективного рабочего времени каждого исполнителя, часовая производительность каждого из исполнителей при выработке каждого вида продукции. Известны затраты по выполнению продукции у разных исполнителей.
i– индекс исполнителя (отдельной машины, рабочего, цеха, участка), i=1,2…m;
j– индекс вида продукции (работы), j=1,2…n;
m– количество рабочих (станков);
n– число видов продукции (работ);
bi– фонд эффективного рабочего времени i-исполнителя в планируемом периоде в часах;
λij– часовая производительность j-продукции у i-исполнителя;
Λ=[λij]mxn– известно;
sij– себестоимость производства единицы j-продукции у i-исполнителя;
S=[ sij]mxn– известно;
Pj– вектор показателей, которые характеризуют объёмы выпуска продукции (выполнения работ) по всем видам – известно;
Наименование
исполнителя
Фонд эффективного рабочего времени
P1 ………………… Pj …………………. Pn
производительность / себестоимость
1
.
.
.
i
.
.
.
m
b1
.
.
.
bi
.
.
.
bm
Λ=[λij]mxn / S=[ sij]mxn
Найти план распределения производственного задания по выпуску продукции (выполнения работ) между исполнителями, при котором задание было бы выполнено с минимальными суммарными затратами.
xij– затраты эффективного рабочего времени у i-исполнителя на произведение j-продукции;
Х=[ xij]mxn– искомые величины.
Целевая функция:
<img width=«179» height=«75» src=«ref-1_655736825-581.coolpic» v:shapes="_x0000_i1027">
s’ij– себестоимость часового объёма выпуска продукции определённого вида на определённом оборудовании.
Система ограничений:
<img width=«147» height=«47» src=«ref-1_655737406-365.coolpic» v:shapes="_x0000_i1028"> – суммарные затраты эффективного рабочего времени на выполнение всех видов работ не должен превышать фонда, которым располагает i-рабочий в плановом периоде;
<img width=«165» height=«45» src=«ref-1_655737771-396.coolpic» v:shapes="_x0000_i1029"> – суммарный объём выпущенной продукции j-вида у всех mисполнителей должен быть равен производственному заданию;
<img width=«135» height=«48» src=«ref-1_655738167-386.coolpic» v:shapes="_x0000_i1030">
II. На предприятии известна программа выпуска продукции по видам, которая может быть выполнена разными исполнителями (на разных участках). В условии задачи известны: фонд эффективного рабочего времени каждого исполнителя в плановом периоде, показатели норм затрат эффективного рабочего времени на производство различных видов продукции на разном оборудовании, а также прибыль от реализации единицы продукции, выработанной разными исполнителями.
Наименование
исполнителя
Фонд эффективного рабочего времени
P1 ………………… Pj …………………. Pn
нормы затрат / прибыль
1
.
.
.
i
.
.
.
m
b1
.
.
.
bi
.
.
.
bm
A=[aij]mxn / C=[ cij]mxn
i– индекс исполнителя (отдельной машины, рабочего, цеха, участка), i=1,2…m;
j– индекс вида продукции (работы), j=1,2…n;
m– количество рабочих (станков);
n– число видов продукции (работ);
bi– фонд эффективного рабочего времени i-исполнителя в планируемом периоде в часах;
aij– показатель нормы затрат на производство j-продукции у i-исполнителя;
A=[аij]mxn– известно;
сij– показатель прибыли от единицы j-продукции у i-исполнителя;
С=[ сij]mxn– известно;
Pj– вектор показателей, которые характеризуют объёмы выпуска продукции (выполнения работ) по всем видам – известно.
Требуется найти план распределения производственного задания между исполнителями, при котором это задание было бы выполнено с максимальной суммарной прибылью от реализации всей продукции.
xij– объём (количество) j-продукции выработанной i-исполнителем;
Х=[ xij]mxn– искомые величины.
Целевая функция:
<img width=«175» height=«47» src=«ref-1_655738553-447.coolpic» v:shapes="_x0000_i1031">
Система ограничений:
<img width=«171» height=«149» src=«ref-1_655739000-1104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1032">
При решении этой системы линейных уравнений и неравенств, нужно найти такие неотрицательные значения переменных, чтобы целевая функция принимала максимальное значение.
продолжение
--PAGE_BREAK--Методология математического моделирования раскройной задачи (задачи оптимизации программы раскроя материалов).
Пусть имеются ДСП стандартных размеров, из которых необходимо нарезать mразличных по размеру заготовок и деталей для производства мебели. ДСП определённого размера может быть раскроена nспособами (вариантами). По каждому из возможных вариантов раскроя составляется соответствующая карта раскроя, из которой видно, что при j(j=1,2…n) способе раскроя из одной плиты получается определённое количество (обозначим через aij) заготовок i(i=1,2…m) вида (размера). По картам раскроя устанавливается также величина отходов (площадь, вес, стоимость) при раскрое одной плиты jспособом (обозначим – сj). В задании на раскрой должно быть указано общее количество заготовок каждого iвида (размера) – bi, которое необходимо нарезать из плит, поступивших в раскрой (обозначим – R). В задаче требуется определить оптимальный план раскроя ДСП, обеспечивающий минимальные отходы (или минимальный расход раскраиваемых материалов), при условии выполнения задания по выходу заготовок.
xj– количество ДСП, которое следует раскраивать с тем, чтобы нарезать заданное число заготовок каждого вида, при этом суммарные отходы (или суммарный расход плит) должны быть минимальными.
Виды заготовок
Задание по раскрою
Способы раскроя
1 ……………………. j…………………… n
1
.
.
.
i
.
.
.
m
b1
.
.
.
bi
.
.
.
bm
A=[аij]mxn
Отходы
C=[ cj]n
Критерий оптимальности:
<img width=«152» height=«47» src=«ref-1_655740104-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i1033">
Система ограничений:
<img width=«169» height=«147» src=«ref-1_655740462-918.coolpic» v:shapes="_x0000_i1034">
При решении этой системы линейных уравнений и неравенств, нужно найти такие неотрицательные значения переменных, чтобы целевая функция принимала минимальное значение.
Рассмотрим пример решения задачи оптимизации программы раскроя материалов симплексным методом.
F=0.26x1+0.28x2+0.3x3+0.29x4=min
<img width=«173» height=«147» src=«ref-1_655741380-1271.coolpic» v:shapes="_x0000_i1035">
F=0.26x1+0.28x2+0.3x3+0.29x4+0x5+0x6+0x7+0x8+0x9+M(y1+y2+y3+y4)=min
<img width=«235» height=«173» src=«ref-1_655742651-1674.coolpic» v:shapes="_x0000_i1036">
C0
P0
B
0.26
0.28
0.3
0.29
M
M
M
M
∑
β
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
Y1
Y2
Y3
Y4
X5
250
1
1
1
1
1
255
250
M
Y1
540
1
31
1
2
-1
1
547
180
M
Y2
200
2
1
2
-1
1
205
200
M
Y3
400
2
3
-1
1
405
200
M
Y4
390
1
2
-1
1
393
195
1530M
4M-0.28
8M-0.28
4M-0.3
4M-0.29
-M
-M
-M
-M
X5
70
2/3
2/3
1/3
1
1/3
-1/3
218/3
70/3
0.28
X2
180
1/3
1
1/3
2/3
-1/3
1/3
547/3
-
M
Y2
20
5/3
-1/3
4/3
1/3
-1
-1/3
1
68/3
20/3
M
Y3
40
-2/3
7/3
-4/3
2/3
-1
-2/3
1
121/3
80/3
M
Y4
30
1/3
-2/3
-4/3
2/3
-1
-2/3
1
85/3
60/3
50.4+90M
4/3M-1/6
4/3M-31/150
-4/3M-31/300
5/3M-7/75
-M
-M
-M
-8/3M+7/75
продолжение
--PAGE_BREAK--
Дальнейшее решение было проведено на компьютере и получены следующие ответы: всего подлежит раскрою 200 плит, причем все раскраиваются вторым способом, тогда мы получим 600 заготовок первого вида, 200 – второго, 400 – третьего, 400 – четвёртого, при минимальных отходах, равных 56 м2.
Экономическая сущность и математическое моделирование транспортных задач.
Известны: пункты производства (А1, А2 … Ai… Аm); m– пунктов, производящих конкретную продукцию;
аi– мощность i-поставщика (сколько необходимо реализовать продукции, т. е. перевести из Аi)
<img width=«37» height=«45» src=«ref-1_655744325-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1037">– суммарная мощность поставщиков в плановом периоде;
пункты потребления (В1, В2 … Bj… Вn); n– пунктов потребления конкретной продукции;
bj– потребность (спрос, ёмкость) j-поставщика в конкретной продукции;
<img width=«83» height=«58» src=«ref-1_655744499-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1038">– суммарный спрос n-потребителей.
1) <img width=«88» height=«47» src=«ref-1_655744740-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1039"> – сбалансированные спрос и предложение, такие задачи называются закрытыми транспортными задачами;
<img width=«95» height=«99» src=«ref-1_655745025-576.coolpic» v:shapes="_x0000_i1040"> – открытая транспортная задача.
2) возможна поставка продукции из любого пункта производства в любой пункт потребления.
3) сij– затраты на поставку продукции, т. е. критерий оптимальности (может быть и на производство, и на транспортировку).
В задаче требуется найти план транспортных связей между поставщиками и потребителями продукции, при котором потребности всех потребителей были бы удовлетворены с минимальными суммарными затратами на поставку всей продукции.
xij– объём поставки от i-поставщика к j-потребителю (искомая величина)
Поставщики
и их мощности
Потребители и их спрос
B1 …………………………… Bj …………………………………… Bn
b1 …………………………… bj …………………………………… bn
С=[ сij]mxn/ Х=[ xij]mxn
A1
a1
c11
…………………….
x11…………………
c1j
………………….
………x1j………
c1n
………………
…………… x1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . .
. . .
. . .
.
.
.
. . .
. . .
. . .
.
.
.
. . .
. . .
. . .
Ai
ai
ci1
…………………….
xi1…………………
cij
………………….
………xij………
cin
………………
…………… xin
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
am
cm1
…………………….
xm1…………………
c11
………………….
………xmj………
c11
………………
…………..xmn
Целевая функция:
<img width=«172» height=«47» src=«ref-1_655745601-437.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041"> (1)
Условие реализации продукции у каждого из поставщиков:
<img width=«159» height=«47» src=«ref-1_655746038-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1042"> (2)
Условие обеспечения всех потребителей продукцией по их потребности:
<img width=«160» height=«45» src=«ref-1_655746401-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1043"> (3)
Условие не отрицательности переменных:
<img width=«135» height=«48» src=«ref-1_655738167-386.coolpic» v:shapes="_x0000_i1044">
В решении системы линейных уравнений 2 и 3 необходимо найти такие не отрицательные значения переменных, чтобы целевая функция принимала минимальное значение.
m+n-1 – линейно независимых уравнений, ранг системы, r= m+n-1.
В каждом опорном плане должно быть m+n-1 базисных элементов (xij>0), если таких переменных равно или больше, чем m+n-1, план называется невырожденный; если одна или несколько базисных переменных равна нулю, то такой план считается вырожденным.
продолжение
--PAGE_BREAK--Открытые транспортные задачи.
a) <img width=«88» height=«47» src=«ref-1_655747150-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1045">
<img width=«172» height=«47» src=«ref-1_655745601-437.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046"> (1)
<img width=«159» height=«47» src=«ref-1_655747880-375.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047"> (2)
<img width=«160» height=«45» src=«ref-1_655746401-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048"> (3)
<img width=«135» height=«48» src=«ref-1_655738167-386.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049">
Bn+1: <img width=«127» height=«47» src=«ref-1_655749004-351.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050"> – потребность какого-то потребителя, находящегося за пределами района (фиктивный потребитель).
<img width=«172» height=«47» src=«ref-1_655745601-437.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051"> (1)
<img width=«199» height=«47» src=«ref-1_655749792-422.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052"> (2)
<img width=«156» height=«45» src=«ref-1_655750214-359.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053"> (3)
<img width=«96» height=«45» src=«ref-1_655750573-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054">
<img width=«135» height=«48» src=«ref-1_655738167-386.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055">
сi, n+1=0 (i=1,2…m)
б) <img width=«88» height=«47» src=«ref-1_655751228-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056">
<img width=«172» height=«47» src=«ref-1_655745601-437.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057"> (1)
<img width=«159» height=«47» src=«ref-1_655746038-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058"> (2)
<img width=«160» height=«45» src=«ref-1_655752319-370.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059"> (3)
<img width=«135» height=«48» src=«ref-1_655738167-386.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060">
Аn+1: <img width=«131» height=«47» src=«ref-1_655753075-351.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061"> – фиктивный поставщик.
<img width=«172» height=«47» src=«ref-1_655745601-437.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062"> (1)
<img width=«159» height=«47» src=«ref-1_655746038-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063"> (2)
<img width=«212» height=«45» src=«ref-1_655754226-440.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064"> (3)
<img width=«103» height=«47» src=«ref-1_655754666-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065">
<img width=«131» height=«48» src=«ref-1_655754947-380.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066">
Ограничение транспортных возможностей.
а) xij=0 => cij=М, где М»0;
б) 0 ≤хij≤ dij
dij– характеризует транспортные возможности между i-поставщиком и j-потребителем.
Тогда поставщик Аiусловно делится на Аi` и Аi``, при этом ai`=dijи ai``= ai`-dij, cij`=cijи cij``=М, где М»0.
Рассмотрим пример решения транспортной задачи методом потенциалов.
В1
200
В2
250
В3
275
В4
255
В5
120
Ui
A1
300
7
-
10
-
M
-
6
255
45
A2
125
9
-
5
125
6
8
-
-
-5
A3
125
9
-
5
125
M
-
8
-
-
-5
A4
270
8
-
6
-
11
195
10
-
75
A5
280
6
200
11
-
9
80
7
-
-
-2
Vj
-8
10
11
6
Δ11=-1
Δ12=0
Δ13=M-11
<img width=«244» height=«172» src=«ref-1_655755327-1115.coolpic» v:shapes="_x0000_s1086 _x0000_s1031 _x0000_s1032 _x0000_s1033 _x0000_s1034 _x0000_s1035">Δ21=6
Δ24=7
Δ25=5
Δ31=6
Δ33=M-6
Δ34=7
Δ35=5
Δ41=0
Δ
42
=-4
Δ44=4
Δ52=13
Δ54=0
Δ55=2
В1
200
В2
250
В3
275
В4
255
В5
120
Ui
A1
300
7
-
10
-
M
-
6
255
45
A2
125
9
-
5
-
6
125
8
-
-
-5
A3
125
9
-
5
125
M
-
8
-
-
-1
A4
270
8
-
6
125
11
70
10
-
75
A5
280
6
200
11
-
9
80
7
-
-
-2
Vj
8
6
11
6
Δ
11
=-1
Δ12=4
Δ13=M-11
Δ21=6
<img width=«268» height=«136» src=«ref-1_655756442-845.coolpic» v:shapes="_x0000_s1077 _x0000_s1070 _x0000_s1064 _x0000_s1065 _x0000_s1066 _x0000_s1067 _x0000_s1068 _x0000_s1069 _x0000_s1071 _x0000_s1072 _x0000_s1073 _x0000_s1074 _x0000_s1075 _x0000_s1076">Δ22=4
Δ24=7
Δ25=5
Δ31=2
Δ33=M-10
Δ34=3
Δ35=1
Δ41=0
Δ44=4
Δ52=7
Δ54=3
Δ55=2
В1
200
В2
250
В3
275
В4
255
В5
120
Ui
A1
300
7
45
10
-
M
-
6
255
-
A2
125
9
-
5
-
6
125
8
-
-
-4
A3
125
9
-
5
125
M
-
8
-
-
A4
270
8
-
6
125
11
25
10
-
120
1
A5
280
6
155
11
-
9
125
7
-
-
-1
Vj
7
5
10
6
-1
Δ12=5
<img width=«244» height=«172» src=«ref-1_655757287-1105.coolpic» v:shapes="_x0000_s1079 _x0000_s1080 _x0000_s1081 _x0000_s1082 _x0000_s1083 _x0000_s1084">Δ13=M-10
Δ15=1
Δ21=6
Δ22=4
Δ24=6
Δ25=5
Δ31=2
Δ33=M-10
Δ34=2
Δ35=1
Δ
41
=0
Δ44=3
Δ52=7
Δ54=2
Δ55=2
F=7x1+10x2+Mx3+6x4+7x1+10x2+Mx3+6x4+9x5+5x6+6x7+8x8+8x9+6x10+11x11+
+10x12+6x13+11x14+9x15+7x16=min
при ограничениях:
<img width=«175» height=«272» src=«ref-1_655758392-2261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067">
F=7*45+6*155+5*125+6*125+6*125+11*25+9*125+6*255=6300
Оптимальный план поставок для деревообрабатывающих предприятий, обеспечивающий минимальные транспортные затраты в сумме 6300000 руб., заключается в следующем:
1-ое лесозаготовительное предприятие поставляет 45 т. м3 1-ому деревообрабатывающему предприятию;
1-ое – 4-ому: 255 т. м3;
2-ое – 2-ому: 125 т. м3;
2-ое – 3-ему: 125 т. м3;
3-е – 2-ому: 125 т. м3;
3-е – 3-ему: 25 т. м3;
у 3-го предприятия остаётся запас в 120 т. м3;
4-е – 1-ому: 155 т. м3;
4-е – 3-ему: 125 т. м3;
имеется альтернативный приведённому план поставок при тех же транспортных издержках:
1-ое – 4-ому: 255 т. м3;
2-ое – 2-ому: 125 т. м3;
2-ое – 3-ему: 125 т. м3;
3-е – 1-ому: 25 т. м3;
3-е – 2-ому: 125 т. м3;
у 3-го предприятия остаётся запас в 120 т. м3;
4-е – 1-ому: 130 т. м3;
4-е – 3-ему: 150 т. м3.
продолжение
--PAGE_BREAK--
еще рефераты
Еще работы по математике
Реферат по математике
Математические модели в менеджменте и маркетинге
1 Сентября 2013
Реферат по математике
Математические модели в экономике 2
1 Сентября 2013
Реферат по математике
Математические модели и методы их расчета
1 Сентября 2013
Реферат по математике
Математические методы и модели в экономике
1 Сентября 2013