Реферат: Антипростые числа

--PAGE_BREAK--. Следовательно, с возрастанием nминимальное количество антипростых чисел на отрезках [n; 2n] увеличивается.

Заметим также, что аналог гипотезы Лежандра [3] о том, что для любого n ≥ 2 найдётся простое число в интервале [n2; (n+1)2], для антипростых чисел выполняется. Ведь любой квадрат сам по себе уже антипростое число.

Для оценки количества чисел на отрезке от 1 до nпостроим график, на котором по оси Ox будем откладывать числа от 1 до 1 500 000, а по оси Oy – значение функции p(n), т.е. количество антипростых чисел на отрезке от [1; n] (см рис. 1).
<img width=«492» height=«270» src=«ref-1_1512924833-4094.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087">

Рисунок 1 – График функции p(n)
Сравним график на рис. 1 с графиком функции <img width=«39» height=«27» src=«ref-1_1512928927-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088"> (см рис.2).
<img width=«540» height=«251» src=«ref-1_1512929148-3460.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">

Рисунок 2 – График функции <img width=«39» height=«27» src=«ref-1_1512928927-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">
Для сравнения на рисунке 3 представлены одновременно графики функций p(n) и <img width=«39» height=«27» src=«ref-1_1512928927-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">. Исследования показали, что на отрезке до n=420000 <img width=«39» height=«27» src=«ref-1_1512928927-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092"> <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1512933271-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093"> p(n), а далее <img width=«39» height=«27» src=«ref-1_1512928927-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094"><img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1512933636-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">p(n), причём процент ошибки небольшой (см. таблицу 1 в Приложение В). Так как вначале <img width=«39» height=«27» src=«ref-1_1512928927-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096"> <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1512933271-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097"> p(n), то процент ошибки убывает, после n=420000 он начинает возрастать, и при n=2000000 он приблизительно равен 2% .
<img width=«559» height=«293» src=«ref-1_1512934145-4388.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">

Рисунок 3 – Сравнение графиков функций p(n) и <img width=«33» height=«24» src=«ref-1_1512938533-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">
1.3 Исследование частоты встречаемости антипростых чисел среди натуральных чисел
Будем исследовать частоту встречаемости антипростых чисел среди натуральных чисел в следующем смысле. Необходимо исследовать свойства частоты встречаемости антипростых чисел на отрезках длины т, расположенных в ряду натуральных чисел от 1 до 1000000 и др. и получить какие-либо общие закономерности. Назовем частотой встречаемости антипростых чисел на отрезке [1, т] число t(т) = p(т)/т. Аналогично t(k, т) = p(k, т)/(т – k+1) – частота встречаемости антипростых чисел на отрезке [k, т]. Для оценки частоты встречаемости антипростых чисел на отрезке от 1 до mпостроим графики функций t(т) = p(т)/т(см рис. 4).


<img width=«539» height=«219» src=«ref-1_1512938665-3120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">

Рисунок 4 – График функции <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1512941785-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">
Изучив график частоты t(т) = p(т)/твстречаемости антипростых чисел на отрезке от 1 до m, получим, что при малых значениях m он колеблется, то возрастая, то убывая (максимумы при антипростых m), но достигнув своего наибольшего значения <img width=«15» height=«41» src=«ref-1_1512941915-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102"> при m= 9 приобретает тенденцию к убыванию.

На рисунке 5 представлен графики функций t(т) и y(x)=<img width=«95» height=«25» src=«ref-1_1512942024-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103"> (<img width=«81» height=«48» src=«ref-1_1512942263-435.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">) для <img width=«84» height=«20» src=«ref-1_1512942698-391.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">.
<img width=«532» height=«279» src=«ref-1_1512943089-5627.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">

Рисунок 5 — График функции t(т) иy(x)=<img width=«95» height=«25» src=«ref-1_1512942024-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">


Из графика на рис. 5 и из предыдущего пункта при больших m получаем гипотезу t(т)<img width=«249» height=«48» src=«ref-1_1512948955-870.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">.

В таблице 2 (см Приложение Г) приведено сравнение значений функций t(m), f(m)=<img width=«35» height=«49» src=«ref-1_1512949825-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109"> и y(x)=<img width=«95» height=«25» src=«ref-1_1512942024-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110"> до m= 1500000 и вычислена средняя ошибка приближения.

Средняя ошибка приближения функции t(m) к функции f(m)=<img width=«35» height=«49» src=«ref-1_1512949825-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111"> составила 1,185812%, а к функции y(x)=<img width=«95» height=«25» src=«ref-1_1512950554-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">–0,280031%.

Исследование функции t(k, т) = p(k, т)/(т – k+1) – частоты встречаемости антипростых чисел на отрезке [k, т], не позволило выявить закономерностей. Ясно лишь, что она при любом m принимает значения от 0 до 1. Всего различных значений не более m+1, а при m > 3 не более m и среди них будет 1. Есть гипотеза (строго это не доказано), что t(k, т) не периодическая функция. Это также будет следовать из доказанной ниже теоремы 5.




2 Обобщения об антипростых числах
Цель данной работы не только решить поставленные на турнире задачи, но и предложить свои вопросы для исследования задачи об антипростых числах и исследовать их.

Докажем ряд теорем, которые могут представлять интерес при исследовании антипростых чисел.

Теорема 1. Любое нечетное число можно представить как разность двух антипростых чисел.

Доказательство:

Заметим, что 1 = 9 – 8 и 3 = 128 – 125. Пусть теперь 2p+ 1 – произвольное нечетное число и p > 1. Тогда числа p2и (p+ 1)2 – антипростые. Их разность, как легко заметить, равна 2p+ 1.

Теорема 2. Любое натуральное число, делящееся на 4, можно представить как разность двух антипростых чисел.

Доказательство: Заметим, что 4 = 8 – 4 и 8 = 16 – 8. Пусть теперь 4p– произвольное число, делящееся на 4 и p > 2. Тогда числа (p– 1)2 и (p+ 1)2 – антипростые. Их разность, как легко заметить, равна 4p.

Теорема 3 . Существует отрезок любой длины в натуральном ряду, на котором нет антипростых чисел.

Доказательство: Рассмотрим систему сравнений:
<img width=«185» height=«159» src=«ref-1_1512950794-2013.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">

(<img width=«69» height=«23» src=«ref-1_1512952807-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114"><img width=«103» height=«25» src=«ref-1_1512953071-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">–простые числа и <img width=«137» height=«25» src=«ref-1_1512953353-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">).


Если данная система имеет решения, то тогда получим последовательность чисел длины <img width=«39» height=«20» src=«ref-1_1512953599-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117"> такую, что каждый её член делится на <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_1512953747-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">(<img width=«67» height=«20» src=«ref-1_1512953849-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119">), но не делится на <img width=«31» height=«29» src=«ref-1_1512954124-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">, то есть не является антипростым числом. Но данная система имеет решения по Китайской теореме об остатках (числа <img width=«103» height=«25» src=«ref-1_1512953071-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121"> попарно взаимно простые).

Значит существует отрезок любой длины в натуральном ряду, на котором нет антипростых чисел.

Примечание. Китайская теорема об остатках[6].

Если <img width=«77» height=«25» src=«ref-1_1512954529-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122"> –попарно взаимно простые числа, <img width=«61» height=«25» src=«ref-1_1512954765-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123"> –такие числа, что <img width=«81» height=«25» src=«ref-1_1512954976-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">, то существует такое число <img width=«20» height=«20» src=«ref-1_1512955253-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125">, что <img width=«116» height=«25» src=«ref-1_1512955356-443.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126"> при всех <img width=«97» height=«24» src=«ref-1_1512955799-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">.

Также нам понадобиться следующий известный факт:

Лемма. Пусть НОД(b;d) = 1. Тогда найдется бесконечно много членов арифметической (геометрической) прогрессии с начальным членом 1 и разностью (знаменателем) b сравнимых с 1 по модулю d.

Теорема 4. В любой арифметической прогрессии (a,dÎN, a> 0), у которой НОД(a;d) – антипростое или 1, бесконечно много антипростых чисел.

Доказательство:

Пусть НОД(a;d) = 1. Рассмотрим арифметическую прогрессию с членами вида a0+ a0kd. Каждый ее член является членом исходной арифметической прогрессии. При <img width=«99» height=«59» src=«ref-1_1512956096-484.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128"> члены этой прогрессии антипростые числа. Но согласно лемме, найдется бесконечно много таких k. Следовательно, прогрессия содержит бесконечно много антипростых чисел.

В случае, когда НОД(a;d) – антипростое, рассуждения аналогичны.

Теорема 5. Не существует арифметической прогрессии (<img width=«51» height=«20» src=«ref-1_1512956580-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">,<img width=«52» height=«25» src=«ref-1_1512956786-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">) состоящей только из антипростых чисел или такой у которой после n-ого члена все члены – антипростые числа.

Доказательство:

Если все члены арифметической прогрессии (разность <img width=«16» height=«20» src=«ref-1_1512957017-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">, <img width=«51» height=«20» src=«ref-1_1512956580-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">) после <img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1512912566-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">-ого члена (<img width=«21» height=«25» src=«ref-1_1512957404-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">) – антипростые числа, то взяв арифметическую прогрессию с <img width=«59» height=«25» src=«ref-1_1512957506-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135"> и разностью <img width=«16» height=«20» src=«ref-1_1512957017-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136">, получим арифметическую прогрессию, состоящую только из антипростых чисел.

Пусть существует арифметическая прогрессия, состоящая только из антипростых чисел (<img width=«152» height=«25» src=«ref-1_1512957758-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137">).

Рассмотрим <img width=«295» height=«25» src=«ref-1_1512958077-653.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138">, и простое число<img width=«96» height=«24» src=«ref-1_1512958730-309.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">.

Если <img width=«49» height=«24» src=«ref-1_1512959039-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140"> представимо в виде <img width=«64» height=«29» src=«ref-1_1512959222-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141">(то есть сравнение <img width=«134» height=«27» src=«ref-1_1512959396-436.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142"> имеет решение), то тогда <img width=«19» height=«25» src=«ref-1_1512959832-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143"> не антипростое число (делится на <img width=«17» height=«20» src=«ref-1_1512910559-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">, но не делится на <img width=«25» height=«29» src=«ref-1_1512960025-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145">).

Но сравнение<img width=«134» height=«27» src=«ref-1_1512959396-436.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146"> имеет решение согласно лемме, так как НОД(<img width=«43» height=«29» src=«ref-1_1512960576-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147">)=1. Значит <img width=«19» height=«25» src=«ref-1_1512959832-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148"> не антипростое число – противоречие.

Значит не существует арифметической прогрессии, состоящей только из антипростых чисел.

Следствие. В любой арифметической прогрессии(<img width=«44» height=«19» src=«ref-1_1512960854-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">,<img width=«45» height=«24» src=«ref-1_1512960988-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150">) бесконечно много не антипростых чисел (если <img width=«131» height=«27» src=«ref-1_1512961124-431.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151">, то и <img width=«180» height=«27» src=«ref-1_1512961555-516.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">).

Одно из примечательных в теории чисел понятий – совершенное число. Это натуральное число, равное сумме своих натуральных делителей, исключая само число.На октябрь 2008 г. известно только 46 чётных совершенных чисел, нечетных совершенных чисел найдено не было. Встает вопрос, а могут ли антипростые числа быть совершенными? В этой связи интересны следующие две теоремы.

Теорема 6. Число вида <img width=«28» height=«29» src=«ref-1_1512962071-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153"> не совершенно (<img width=«17» height=«20» src=«ref-1_1512910559-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154"> – простое, <img width=«19» height=«16» src=«ref-1_1512962284-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">– натуральное).

Действительно, если <img width=«28» height=«29» src=«ref-1_1512962071-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156"> – совершенно, то верно следующее:
<img width=«237» height=«149» src=«ref-1_1512962496-1512.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">
Следовательно <img width=«28» height=«29» src=«ref-1_1512962071-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158"> – не совершенно.

Теорема 7. Число вида <img width=«23» height=«25» src=«ref-1_1512964126-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159"> не совершенно (<img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1512964234-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">– целое).

Доказательство:

Пусть <img width=«20» height=«23» src=«ref-1_1512964322-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161"> совершенно. Рассмотрим два случая:

1. <img width=«20» height=«23» src=«ref-1_1512964322-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">– чётно. Представим <img width=«23» height=«25» src=«ref-1_1512964528-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163"> в виде произведения простых множителей:

<img width=«207» height=«31» src=«ref-1_1512964634-543.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">. Количество натуральных делителей числа <img width=«20» height=«23» src=«ref-1_1512964322-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165"> равно <img width=«216» height=«25» src=«ref-1_1512965280-690.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">, притом количество чётных <img width=«179» height=«25» src=«ref-1_1512965970-597.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167"> их сумма чётна, нечётных <img width=«147» height=«25» src=«ref-1_1512966567-518.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168"> их сумма нечётна, сумма всех натуральных делителей <img width=«23» height=«25» src=«ref-1_1512964528-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169"> – нечётна, но их сумма равна <img width=«32» height=«25» src=«ref-1_1512967191-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">– противоречие.

2. <img width=«20» height=«23» src=«ref-1_1512964322-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">– нечётно. Представим <img width=«23» height=«25» src=«ref-1_1512964528-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172"> в виде произведения простых множителей:

<img width=«253» height=«33» src=«ref-1_1512967599-689.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">. Количество натуральных делителей числа <img width=«23» height=«25» src=«ref-1_1512964528-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174"> равно <img width=«150» height=«29» src=«ref-1_1512968394-524.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">, сумма их нечётна, но она же равна <img width=«32» height=«25» src=«ref-1_1512967191-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">– противоречие.

Сложным оказался вопрос о существовании трёх подряд идущих антипростых числах, пытаясь его ослабить, мы попытались рассмотреть совместное расположение последовательно расположенных простых и антипростых чисел. При этом нами был поставлен ряд вопросов, на которые удалось получить ответы.

Вопрос 1. Существуют ли три подряд идущих натуральных числа, каждое из которых является либо простым, либо антипростым?

Ответ. Рассмотрим тройки вида (p1; p2; a) (a; p1; p2): Одно из чисел p1или p2 чётное, то есть 2, так как 1 не антипростое и не простое, то троек (a; p1; p2) нет. А тройка (p1; p2; a) всего одна (2;3;4).

Рассмотрим тройки вида (<img width=«69» height=«25» src=«ref-1_1512969117-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">). <img width=«44» height=«25» src=«ref-1_1512969331-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178"> – нечётные (иначе одно не анипростое по задачи 1 пункта 1.1), тогда <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_1512969521-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179"> – чётно, то есть 2, но 1 не антипростое, то есть данной тройки не существует.

Очевидно, что тройки (p1; p2; p3) не существует.

Тройки (p; a1; a2), (p1; a; p2), (<img width=«69» height=«25» src=«ref-1_1512969623-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">) существуют: (7; 8; 9), (3; 4; 5), (675;676;677) но доказать их конечность или бесконечность не удалось.

Примечание. В приведенных обозначениях p– простое число, a– антипростое число.

Вопрос 2. Существуют ли четыре подряд идущих натуральных числа, каждое из которых является либо простым, либо антипростым?

Ответ. Среди четырёх подряд идущих натуральных чисел два чётных, но из задачи 1 пункта 1.1, следует что они одновременно не могут быть антипростыми, также как и простыми. Значит, если существует четвёрка, то одно из них простое. Так как 1 не антипростое, то имеем только одну четвёрку: (2;3;4;5).

Вопрос 3. Существуют ли пять или более подряд идущих натуральных чисел, каждое из которых является либо простым, либо антипростым?

Ответ. Как показано выше, существует только одна четверка подряд идущих натуральных числа, каждое из которых является либо простым, либо антипростым. Если бы существовало пять или более подряд идущих натуральных чисел, удовлетворяющих условию, то они содержали бы эти четыре числа. Но 6 и 1 не простое и не антипростое. Значит, таких чисел нет.


Заключение
В процессе выполнения данной работы были решены задачи, предлагаемые на XI турнире юных математиков, и получены следующие результаты.

Для исследования антипростых чисел была разработана программа на Паскале, которая вычисляет антипростые числа. В Приложении А представлена таблица антипростых чисел на отрезке до <img width=«105» height=«20» src=«ref-1_1512969837-457.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">    продолжение
--PAGE_BREAK--