Реферат: Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач
--PAGE_BREAK--<shape id="_x0000_i1076" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image074.wmz» o:><img width=«535» height=«49» src=«dopb73686.zip» v:shapes="_x0000_i1076">.Положим <shape id="_x0000_i1077" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image076.wmz» o:><img width=«68» height=«41» src=«dopb73687.zip» v:shapes="_x0000_i1077">, где <shape id="_x0000_i1078" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image078.wmz» o:><img width=«95» height=«45» src=«dopb73688.zip» v:shapes="_x0000_i1078">, тогда
<shape id="_x0000_i1079" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image080.wmz» o:><img width=«279» height=«165» src=«dopb73689.zip» v:shapes="_x0000_i1079">.
<shape id="_x0000_i1080" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image082.wmz» o:><img width=«580» height=«48» src=«dopb73690.zip» v:shapes="_x0000_i1080">.
<shape id="_x0000_i1081" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image084.wmz» o:><img width=«241» height=«48» src=«dopb73691.zip» v:shapes="_x0000_i1081">.
Ответ: <shape id="_x0000_i1082" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image086.wmz» o:><img width=«121» height=«53» src=«dopb73692.zip» v:shapes="_x0000_i1082">.
Алгебраическое решение <shape id="_x0000_i1083" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image088.wmz» o:><img width=«541» height=«59» src=«dopb73693.zip» v:shapes="_x0000_i1083">.
Так как <shape id="_x0000_i1084" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image090.wmz» o:><img width=«75» height=«21» src=«dopb73694.zip» v:shapes="_x0000_i1084">, то <shape id="_x0000_i1085" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image092.wmz» o:><img width=«171» height=«31» src=«dopb73695.zip» v:shapes="_x0000_i1085">. Значит, <shape id="_x0000_i1086" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image094.wmz» o:><img width=«101» height=«27» src=«dopb73696.zip» v:shapes="_x0000_i1086">, поэтому можно раскрыть модуль
<shape id="_x0000_i1087" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image096.wmz» o:><img width=«629» height=«49» src=«dopb73697.zip» v:shapes="_x0000_i1087"><shape id="_x0000_i1088" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image098.wmz» o:><img width=«587» height=«131» src=«dopb73698.zip» v:shapes="_x0000_i1088">
<shape id="_x0000_i1089" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image100.wmz» o:><img width=«116» height=«93» src=«dopb73699.zip» v:shapes="_x0000_i1089">.
Ответ: <shape id="_x0000_i1090" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image086.wmz» o:><img width=«121» height=«53» src=«dopb73692.zip» v:shapes="_x0000_i1090">.
Решение уравнения алгебраическим способом требует хорошего навыка проведения тождественных преобразований и грамотного обращения с равносильными переходами. Но в общем оба приема решения равноценны.
Пример 2. Решите уравнение
<shape id="_x0000_i1091" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image102.wmz» o:><img width=«187» height=«37» src=«dopb73700.zip» v:shapes="_x0000_i1091"> [14].
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Область определения уравнения задается неравенством <shape id="_x0000_i1092" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image104.wmz» o:><img width=«75» height=«21» src=«dopb73701.zip» v:shapes="_x0000_i1092">, что равносильно условию <shape id="_x0000_i1093" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image106.wmz» o:><img width=«84» height=«45» src=«dopb73702.zip» v:shapes="_x0000_i1093">, тогда <shape id="_x0000_i1094" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image108.wmz» o:><img width=«72» height=«23» src=«dopb73703.zip» v:shapes="_x0000_i1094">. Поэтому можно положить <shape id="_x0000_i1095" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image110.wmz» o:><img width=«159» height=«23» src=«dopb73704.zip» v:shapes="_x0000_i1095">. Уравнение примет вид
<shape id="_x0000_i1096" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image112.wmz» o:><img width=«599» height=«61» src=«dopb73705.zip» v:shapes="_x0000_i1096">
<shape id="_x0000_i1097" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image114.wmz» o:><img width=«195» height=«29» src=«dopb73706.zip» v:shapes="_x0000_i1097">.
Так как <shape id="_x0000_i1098" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image116.wmz» o:><img width=«73» height=«23» src=«dopb73707.zip» v:shapes="_x0000_i1098">, то <shape id="_x0000_i1099" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image118.wmz» o:><img width=«61» height=«19» src=«dopb73708.zip» v:shapes="_x0000_i1099">. Раскроем внутренний модуль
<shape id="_x0000_i1100" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image120.wmz» o:><img width=«499» height=«48» src=«dopb73709.zip» v:shapes="_x0000_i1100">.
Положим <shape id="_x0000_i1101" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image122.wmz» o:><img width=«164» height=«45» src=«dopb73710.zip» v:shapes="_x0000_i1101">, тогда
<shape id="_x0000_i1102" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image124.wmz» o:><img width=«563» height=«165» src=«dopb73711.zip» v:shapes="_x0000_i1102">
<shape id="_x0000_i1103" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image126.wmz» o:><img width=«167» height=«112» src=«dopb73712.zip» v:shapes="_x0000_i1103">.
Условию <shape id="_x0000_i1104" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image128.wmz» o:><img width=«95» height=«45» src=«dopb73713.zip» v:shapes="_x0000_i1104"> удовлетворяют два значения <shape id="_x0000_i1105" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image130.wmz» o:><img width=«44» height=«23» src=«dopb73714.zip» v:shapes="_x0000_i1105"> и <shape id="_x0000_i1106" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image132.wmz» o:><img width=«59» height=«41» src=«dopb73715.zip» v:shapes="_x0000_i1106">.
<shape id="_x0000_i1107" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image134.wmz» o:><img width=«245» height=«48» src=«dopb73716.zip» v:shapes="_x0000_i1107">.
<shape id="_x0000_i1108" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image136.wmz» o:><img width=«475» height=«45» src=«dopb73717.zip» v:shapes="_x0000_i1108">
<shape id="_x0000_i1109" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image138.wmz» o:><img width=«491» height=«45» src=«dopb73718.zip» v:shapes="_x0000_i1109">
<shape id="_x0000_i1110" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image140.wmz» o:><img width=«251» height=«53» src=«dopb73719.zip» v:shapes="_x0000_i1110">.
Ответ: <shape id="_x0000_i1111" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image142.wmz» o:><img width=«119» height=«53» src=«dopb73720.zip» v:shapes="_x0000_i1111">.
Алгебраическое решение
<shape id="_x0000_i1112" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image144.wmz» o:><img width=«208» height=«37» src=«dopb73721.zip» v:shapes="_x0000_i1112"><shape id="_x0000_i1113" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image146.wmz» o:><img width=«467» height=«125» src=«dopb73722.zip» v:shapes="_x0000_i1113">
<shape id="_x0000_i1114" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image148.wmz» o:><img width=«235» height=«125» src=«dopb73723.zip» v:shapes="_x0000_i1114">.
Возведем в квадрат уравнение первой системы совокупности, получим
<shape id="_x0000_i1115" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image150.wmz» o:><img width=«463» height=«27» src=«dopb73724.zip» v:shapes="_x0000_i1115">.
Пусть <shape id="_x0000_i1116" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image152.wmz» o:><img width=«63» height=«23» src=«dopb73725.zip» v:shapes="_x0000_i1116">, тогда <shape id="_x0000_i1117" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image154.wmz» o:><img width=«236» height=«25» src=«dopb73726.zip» v:shapes="_x0000_i1117">. Уравнение перепишется в виде
<shape id="_x0000_i1118" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image156.wmz» o:><img width=«171» height=«21» src=«dopb73727.zip» v:shapes="_x0000_i1118">.
Проверкой устанавливаем, что <shape id="_x0000_i1119" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image158.wmz» o:><img width=«43» height=«19» src=«dopb73728.zip» v:shapes="_x0000_i1119"> – корень, тогда делением многочлена <shape id="_x0000_i1120" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image160.wmz» o:><img width=«147» height=«21» src=«dopb73729.zip» v:shapes="_x0000_i1120"> на двучлен <shape id="_x0000_i1121" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image162.wmz» o:><img width=«39» height=«21» src=«dopb73730.zip» v:shapes="_x0000_i1121">получаем разложение правой части уравнения на множители
<shape id="_x0000_i1122" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image164.wmz» o:><img width=«476» height=«53» src=«dopb73731.zip» v:shapes="_x0000_i1122">.
От переменной <shape id="_x0000_i1123" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image166.wmz» o:><img width=«9» height=«16» src=«dopb73732.zip» v:shapes="_x0000_i1123"> перейдем к переменной <shape id="_x0000_i1124" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image168.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb73656.zip» v:shapes="_x0000_i1124">, получим
<shape id="_x0000_i1125" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image169.wmz» o:><img width=«109» height=«93» src=«dopb73733.zip» v:shapes="_x0000_i1125">.
Условию <shape id="_x0000_i1126" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image171.wmz» o:><img width=«117» height=«27» src=«dopb73734.zip» v:shapes="_x0000_i1126"> удовлетворяют два значения
<shape id="_x0000_i1127" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image173.wmz» o:><img width=«103» height=«93» src=«dopb73735.zip» v:shapes="_x0000_i1127">.
Подставив эти значения в исходное уравнение, получаем, что <shape id="_x0000_i1128" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image175.wmz» o:><img width=«53» height=«45» src=«dopb73736.zip» v:shapes="_x0000_i1128"> – корень.
Решая аналогично уравнение второй системы исходной совокупности, находим, что <shape id="_x0000_i1129" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image177.wmz» o:><img width=«99» height=«45» src=«dopb73737.zip» v:shapes="_x0000_i1129"> тоже корень.
Ответ: <shape id="_x0000_i1130" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image179.wmz» o:><img width=«119» height=«53» src=«dopb73720.zip» v:shapes="_x0000_i1130">.
Если в предыдущем примере алгебраическое решение и решение с помощью тригонометрической подстановки были равноценны, то в данном случае решение подстановкой выгоднее. При решении уравнения средствами алгебры приходится решать совокупность из двух уравнений, то есть дважды возводить в квадрат. После этого неравносильного преобразования получаются два уравнения четвертой степени с иррациональными коэффициентами, избавиться от которых помогает замена. Еще одна трудность – проверка найденных решений подстановкой в исходное уравнение.
Пример 3. Решите уравнение
<shape id="_x0000_i1131" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image180.wmz» o:><img width=«115» height=«47» src=«dopb73738.zip» v:shapes="_x0000_i1131"> [31].
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Так как <shape id="_x0000_i1132" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image182.wmz» o:><img width=«67» height=«21» src=«dopb73739.zip» v:shapes="_x0000_i1132">, то <shape id="_x0000_i1133" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image184.wmz» o:><img width=«40» height=«27» src=«dopb73740.zip» v:shapes="_x0000_i1133">. Заметим, что отрицательное значение неизвестного не может быть решением задачи. Действительно, преобразуем исходное уравнение к виду
<shape id="_x0000_i1134" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image186.wmz» o:><img width=«135» height=«53» src=«dopb73741.zip» v:shapes="_x0000_i1134">.
Множитель в скобках в левой части уравнения положительный, правая часть уравнения тоже положительная, поэтому множитель <shape id="_x0000_i1135" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image188.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb73656.zip» v:shapes="_x0000_i1135"> в левой части уравнения не может быть отрицательным. Вот почему <shape id="_x0000_i1136" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image189.wmz» o:><img width=«35» height=«19» src=«dopb73742.zip» v:shapes="_x0000_i1136">, тогда <shape id="_x0000_i1137" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image191.wmz» o:><img width=«63» height=«41» src=«dopb73743.zip» v:shapes="_x0000_i1137">, поэтому можно положить <shape id="_x0000_i1138" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image193.wmz» o:><img width=«139» height=«45» src=«dopb73744.zip» v:shapes="_x0000_i1138"> Исходное уравнение перепишется в виде
<shape id="_x0000_i1139" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image195.wmz» o:><img width=«376» height=«52» src=«dopb73745.zip» v:shapes="_x0000_i1139">.
Так как <shape id="_x0000_i1140" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image197.wmz» o:><img width=«72» height=«45» src=«dopb73746.zip» v:shapes="_x0000_i1140">, то <shape id="_x0000_i1141" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image199.wmz» o:><img width=«61» height=«19» src=«dopb73747.zip» v:shapes="_x0000_i1141"> и <shape id="_x0000_i1142" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image201.wmz» o:><img width=«63» height=«19» src=«dopb73748.zip» v:shapes="_x0000_i1142">. Уравнение примет вид
<shape id="_x0000_i1143" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image203.wmz» o:><img width=«268» height=«41» src=«dopb73749.zip» v:shapes="_x0000_i1143">.
Пусть <shape id="_x0000_i1144" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image205.wmz» o:><img width=«228» height=«21» src=«dopb73750.zip» v:shapes="_x0000_i1144">. Перейдем от уравнения к равносильной системе
<shape id="_x0000_i1145" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image207.wmz» o:><img width=«159» height=«88» src=«dopb73751.zip» v:shapes="_x0000_i1145">.
Числа <shape id="_x0000_i1146" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image209.wmz» o:><img width=«36» height=«19» src=«dopb73752.zip» v:shapes="_x0000_i1146"> и <shape id="_x0000_i1147" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image211.wmz» o:><img width=«39» height=«15» src=«dopb73753.zip» v:shapes="_x0000_i1147"> являются корнями квадратного уравнения
<shape id="_x0000_i1148" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image213.wmz» o:><img width=«109» height=«41» src=«dopb73754.zip» v:shapes="_x0000_i1148">.
<shape id="_x0000_i1149" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image215.wmz» o:><img width=«81» height=«179» src=«dopb73755.zip» v:shapes="_x0000_i1149">.
Ответ: <shape id="_x0000_i1150" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image217.wmz» o:><img width=«49» height=«45» src=«dopb73756.zip» v:shapes="_x0000_i1150">.
Алгебраическое решение Возведем обе части уравнения в квадрат <shape id="_x0000_i1151" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image219.wmz» o:><img width=«507» height=«49» src=«dopb73757.zip» v:shapes="_x0000_i1151">.
Введем замену <shape id="_x0000_i1152" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image221.wmz» o:><img width=«135» height=«49» src=«dopb73758.zip» v:shapes="_x0000_i1152">, тогда уравнение запишется в виде
<shape id="_x0000_i1153" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image223.wmz» o:><img width=«128» height=«41» src=«dopb73759.zip» v:shapes="_x0000_i1153">
<shape id="_x0000_i1154" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image225.wmz» o:><img width=«196» height=«49» src=«dopb73760.zip» v:shapes="_x0000_i1154">
<shape id="_x0000_i1155" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image227.wmz» o:><img width=«75» height=«88» src=«dopb73761.zip» v:shapes="_x0000_i1155">.
Второй корень является лишним, поэтому рассмотрим уравнение
<shape id="_x0000_i1156" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image229.wmz» o:><img width=«380» height=«49» src=«dopb73762.zip» v:shapes="_x0000_i1156">
<shape id="_x0000_i1157" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image231.wmz» o:><img width=«375» height=«24» src=«dopb73763.zip» v:shapes="_x0000_i1157">
<shape id="_x0000_i1158" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image233.wmz» o:><img width=«107» height=«88» src=«dopb73764.zip» v:shapes="_x0000_i1158">.
Так как <shape id="_x0000_i1159" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image235.wmz» o:><img width=«37» height=«19» src=«dopb73765.zip» v:shapes="_x0000_i1159">, то <shape id="_x0000_i1160" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image237.wmz» o:><img width=«55» height=«88» src=«dopb73766.zip» v:shapes="_x0000_i1160">.
Ответ: <shape id="_x0000_i1161" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image239.wmz» o:><img width=«49» height=«45» src=«dopb73756.zip» v:shapes="_x0000_i1161">.
В данном случае алгебраическое решение в техническом плане проще, но рассмотреть приведенное решение с помощью тригонометрической подстановки следует обязательно. Это связано, во-первых, с нестандартностью самой подстановки, которая разрушает стереотип, что применение тригонометрической подстановки возможно лишь, когда <shape id="_x0000_i1162" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image240.wmz» o:><img width=«40» height=«27» src=«dopb73658.zip» v:shapes="_x0000_i1162">. Оказывается, если <shape id="_x0000_i1163" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image241.wmz» o:><img width=«40» height=«27» src=«dopb73740.zip» v:shapes="_x0000_i1163"> тригонометрическая подстановка тоже находит применение. Во-вторых, представляет определенную трудность решение тригонометрического уравнения <shape id="_x0000_i1164" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image242.wmz» o:><img width=«123» height=«41» src=«dopb73767.zip» v:shapes="_x0000_i1164">, которое сводится введением замены к системе уравнений. В определенном смысле эту замену тоже можно считать нестандартной, а знакомство с ней позволяет обогатить арсенал приемов и методов решения тригонометрических уравнений.
Пример 4. Решить уравнение
<shape id="_x0000_i1165" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image244.wmz» o:><img width=«153» height=«28» src=«dopb73768.zip» v:shapes="_x0000_i1165"> [4].
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Так как переменная <shape id="_x0000_i1166" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image188.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb73656.zip» v:shapes="_x0000_i1166"> может принимать любые действительные значения, положим <shape id="_x0000_i1167" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image246.wmz» o:><img width=«151» height=«45» src=«dopb73769.zip» v:shapes="_x0000_i1167">. Тогда
<shape id="_x0000_i1168" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image248.wmz» o:><img width=«125» height=«24» src=«dopb73770.zip» v:shapes="_x0000_i1168">,
<shape id="_x0000_i1169" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image250.wmz» o:><img width=«317» height=«47» src=«dopb73771.zip» v:shapes="_x0000_i1169">, так как <shape id="_x0000_i1170" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image252.wmz» o:><img width=«93» height=«45» src=«dopb73772.zip» v:shapes="_x0000_i1170">.
Исходное уравнение с учетом проведенных преобразований примет вид
<shape id="_x0000_i1171" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image254.wmz» o:><img width=«429» height=«51» src=«dopb73773.zip» v:shapes="_x0000_i1171">
<shape id="_x0000_i1172" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image256.wmz» o:><img width=«491» height=«44» src=«dopb73774.zip» v:shapes="_x0000_i1172">
<shape id="_x0000_i1173" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image258.wmz» o:><img width=«319» height=«21» src=«dopb73775.zip» v:shapes="_x0000_i1173">.
Так как <shape id="_x0000_i1174" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image260.wmz» o:><img width=«61» height=«19» src=«dopb73776.zip» v:shapes="_x0000_i1174">, поделим обе части уравнения на <shape id="_x0000_i1175" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image262.wmz» o:><img width=«44» height=«21» src=«dopb73777.zip» v:shapes="_x0000_i1175">, получим
<shape id="_x0000_i1176" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image264.wmz» o:><img width=«585» height=«45» src=«dopb73778.zip» v:shapes="_x0000_i1176">.
Пусть <shape id="_x0000_i1177" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image266.wmz» o:><img width=«108» height=«41» src=«dopb73779.zip» v:shapes="_x0000_i1177">, тогда <shape id="_x0000_i1178" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image268.wmz» o:><img width=«155» height=«41» src=«dopb73780.zip» v:shapes="_x0000_i1178">. Уравнение примет вид
<shape id="_x0000_i1179" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image270.wmz» o:><img width=«269» height=«24» src=«dopb73781.zip» v:shapes="_x0000_i1179">.
<shape id="_x0000_i1180" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image272.wmz» o:><img width=«183» height=«41» src=«dopb73782.zip» v:shapes="_x0000_i1180">.
Учитывая подстановку <shape id="_x0000_i1181" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image266.wmz» o:><img width=«108» height=«41» src=«dopb73779.zip» v:shapes="_x0000_i1181">, получим совокупность из двух уравнений
<shape id="_x0000_i1182" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image274.wmz» o:><img width=«315» height=«88» src=«dopb73783.zip» v:shapes="_x0000_i1182">.
Решим каждое уравнение совокупности по отдельности.
1) <shape id="_x0000_i1183" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image276.wmz» o:><img width=«145» height=«21» src=«dopb73784.zip» v:shapes="_x0000_i1183">.
<shape id="_x0000_i1184" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image278.wmz» o:><img width=«185» height=«41» src=«dopb73785.zip» v:shapes="_x0000_i1184">.
<shape id="_x0000_i1185" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image280.wmz» o:><img width=«56» height=«23» src=«dopb73786.zip» v:shapes="_x0000_i1185"> не может быть значением синуса, так как <shape id="_x0000_i1186" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image282.wmz» o:><img width=«63» height=«27» src=«dopb73787.zip» v:shapes="_x0000_i1186"> для любых значений аргумента.
<shape id="_x0000_i1187" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image284.wmz» o:><img width=«568» height=«56» src=«dopb73788.zip» v:shapes="_x0000_i1187">
<shape id="_x0000_i1188" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image286.wmz» o:><img width=«371» height=«45» src=«dopb73789.zip» v:shapes="_x0000_i1188">.
Откуда
<shape id="_x0000_i1189" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image288.wmz» o:><img width=«132» height=«41» src=«dopb73790.zip» v:shapes="_x0000_i1189">.
Так как <shape id="_x0000_i1190" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image290.wmz» o:><img width=«167» height=«28» src=«dopb73791.zip» v:shapes="_x0000_i1190"> и правая часть исходного уравнения положительна, то <shape id="_x0000_i1191" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image292.wmz» o:><img width=«37» height=«19» src=«dopb73765.zip» v:shapes="_x0000_i1191">. Из чего следует, что <shape id="_x0000_i1192" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image293.wmz» o:><img width=«121» height=«41» src=«dopb73792.zip» v:shapes="_x0000_i1192">.
2) <shape id="_x0000_i1193" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image295.wmz» o:><img width=«157» height=«21» src=«dopb73793.zip» v:shapes="_x0000_i1193">.
<shape id="_x0000_i1194" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image297.wmz» o:><img width=«99» height=«41» src=«dopb73794.zip» v:shapes="_x0000_i1194">.
Это уравнение корней не имеет, так как <shape id="_x0000_i1195" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image299.wmz» o:><img width=«44» height=«41» src=«dopb73795.zip» v:shapes="_x0000_i1195">.
Итак, исходное уравнение имеет единственный корень <shape id="_x0000_i1196" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image293.wmz» o:><img width=«121» height=«41» src=«dopb73792.zip» v:shapes="_x0000_i1196">.
Ответ: <shape id="_x0000_i1197" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image301.wmz» o:><img width=«96» height=«41» src=«dopb73796.zip» v:shapes="_x0000_i1197">.
Алгебраическое решение
Данное уравнение легко «превратить» в рациональное уравнение восьмой степени возведением обеих частей исходного уравнения в квадрат. Поиск корней получившегося рационального уравнения затруднен, и необходимо обладать высокой степенью изобретательности, чтобы справиться с задачей. Поэтому целесообразно знать иной способ решения, менее традиционный. Например, подстановку <shape id="_x0000_i1198" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image303.wmz» o:><img width=«95» height=«48» src=«dopb73797.zip» v:shapes="_x0000_i1198">, предложенную И. Ф. Шарыгиным [57].
Положим <shape id="_x0000_i1199" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image305.wmz» o:><img width=«147» height=«48» src=«dopb73798.zip» v:shapes="_x0000_i1199">, тогда
<shape id="_x0000_i1200" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image307.wmz» o:><img width=«413» height=«53» src=«dopb73799.zip» v:shapes="_x0000_i1200">
<shape id="_x0000_i1201" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image309.wmz» o:><img width=«643» height=«57» src=«dopb73800.zip» v:shapes="_x0000_i1201">Преобразуем правую часть уравнения <shape id="_x0000_i1202" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image244.wmz» o:><img width=«153» height=«28» src=«dopb73768.zip» v:shapes="_x0000_i1202">:
<shape id="_x0000_i1203" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image311.wmz» o:><img width=«507» height=«51» src=«dopb73801.zip» v:shapes="_x0000_i1203">.
С учетом преобразований уравнение <shape id="_x0000_i1204" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image244.wmz» o:><img width=«153» height=«28» src=«dopb73768.zip» v:shapes="_x0000_i1204"> примет вид
<shape id="_x0000_i1205" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image313.wmz» o:><img width=«245» height=«51» src=«dopb73802.zip» v:shapes="_x0000_i1205">.
Введем замену <shape id="_x0000_i1206" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image315.wmz» o:><img width=«93» height=«24» src=«dopb73803.zip» v:shapes="_x0000_i1206">, тогда
<shape id="_x0000_i1207" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image317.wmz» o:><img width=«187» height=«69» src=«dopb73804.zip» v:shapes="_x0000_i1207">.
Второй корень является лишним, поэтому <shape id="_x0000_i1208" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image319.wmz» o:><img width=«52» height=«25» src=«dopb73805.zip» v:shapes="_x0000_i1208">, а <shape id="_x0000_i1209" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image321.wmz» o:><img width=«116» height=«48» src=«dopb73806.zip» v:shapes="_x0000_i1209">.
Ответ: <shape id="_x0000_i1210" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image323.wmz» o:><img width=«91» height=«48» src=«dopb73807.zip» v:shapes="_x0000_i1210">.
Если заранее не известна идея решения уравнения <shape id="_x0000_i1211" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image244.wmz» o:><img width=«153» height=«28» src=«dopb73768.zip» v:shapes="_x0000_i1211">, то решать стандартно возведением обеих частей уравнения в квадрат проблематично, так как в результате получается уравнение восьмой степени <shape id="_x0000_i1212" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image325.wmz» o:><img width=«280» height=«21» src=«dopb73808.zip» v:shapes="_x0000_i1212">, найти корни которого чрезвычайно сложно. Решение с помощью тригонометрической подстановки выглядит громоздким. Могут возникнуть трудности с поиском корней уравнения <shape id="_x0000_i1213" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image327.wmz» o:><img width=«296» height=«21» src=«dopb73809.zip» v:shapes="_x0000_i1213">, если не заметить, что оно является возвратным. Решение указанного уравнения происходит с применением аппарата алгебры, поэтому можно сказать, что предложенное решение является комбинированным. В нем сведения из алгебры и тригонометрии работают совместно на одну цель – получить решение. Также решение указанного уравнения требует аккуратного рассмотрения двух случаев. Решение заменой <shape id="_x0000_i1214" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image303.wmz» o:><img width=«95» height=«48» src=«dopb73797.zip» v:shapes="_x0000_i1214">технически проще и красивее, чем с помощью тригонометрической подстановки. Желательно, чтобы учащиеся знали такой способ замены и применяли его для решения задач. Подчеркнем, что применение тригонометрической подстановки для решения задач должно быть осознанным и оправданным. Использовать подстановку целесообразно в тех случаях, когда решение другим способом сложнее или вовсе невозможно. Приведем еще один пример, который, в отличие от предыдущего, проще и быстрее решается стандартным способом.
Пример 5. Решить уравнение
<shape id="_x0000_i1215" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image329.wmz» o:><img width=«153» height=«47» src=«dopb73810.zip» v:shapes="_x0000_i1215"> [51].
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Так как переменная <shape id="_x0000_i1216" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image188.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb73656.zip» v:shapes="_x0000_i1216"> может принимать любые действительные значения, можно положить <shape id="_x0000_i1217" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image331.wmz» o:><img width=«159» height=«45» src=«dopb73811.zip» v:shapes="_x0000_i1217">. Уравнение примет вид
<shape id="_x0000_i1218" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image333.wmz» o:><img width=«339» height=«53» src=«dopb73812.zip» v:shapes="_x0000_i1218">.
В силу того, что <shape id="_x0000_i1219" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image335.wmz» o:><img width=«91» height=«45» src=«dopb73813.zip» v:shapes="_x0000_i1219">, можно раскрыть модуль
<shape id="_x0000_i1220" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image337.wmz» o:><img width=«539» height=«44» src=«dopb73814.zip» v:shapes="_x0000_i1220">
<shape id="_x0000_i1221" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image339.wmz» o:><img width=«204» height=«123» src=«dopb73815.zip» v:shapes="_x0000_i1221">.
Так как <shape id="_x0000_i1222" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image341.wmz» o:><img width=«91» height=«45» src=«dopb73813.zip» v:shapes="_x0000_i1222">, то <shape id="_x0000_i1223" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image342.wmz» o:><img width=«184» height=«47» src=«dopb73816.zip» v:shapes="_x0000_i1223">.
Ответ: <shape id="_x0000_i1224" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image344.wmz» o:><img width=«44» height=«45» src=«dopb73817.zip» v:shapes="_x0000_i1224">.
Алгебраическое решение <shape id="_x0000_i1225" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image346.wmz» o:><img width=«640» height=«47» src=«dopb73818.zip» v:shapes="_x0000_i1225">Проверкой убеждаемся, что <shape id="_x0000_i1226" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image348.wmz» o:><img width=«52» height=«41» src=«dopb73819.zip» v:shapes="_x0000_i1226"> – корень.
Ответ: <shape id="_x0000_i1227" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image344.wmz» o:><img width=«44» height=«45» src=«dopb73817.zip» v:shapes="_x0000_i1227">.
1.2 Рациональные уравнения
Тригонометрическая подстановка применяется при решении рациональных уравнений, когда уравнение не имеет рациональных корней или найденные рациональные решения не исчерпывают всего множества решений уравнения.
При решении иррациональных уравнений возможность введения тригонометрической подстановки была видна по структуре уравнения. В нескольких следующих задачах применение метода тригонометрической подстановки не так очевидно. Вот почему прежде чем ввести подстановку, нужно доказать законность такого введения.
Пример 1. Сколько корней имеет уравнение
<shape id="_x0000_i1228" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image350.wmz» o:><img width=«205» height=«28» src=«dopb73820.zip» v:shapes="_x0000_i1228"> [37].
Решение этой задачи любым методом начинается одинаково. Докажем, что все корни данного уравнения принадлежат промежутку <shape id="_x0000_i1229" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image352.wmz» o:><img width=«69» height=«25» src=«dopb73821.zip» v:shapes="_x0000_i1229">. Действительно, если
<shape id="_x0000_i1230" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image354.wmz» o:><img width=«488» height=«32» src=«dopb73822.zip» v:shapes="_x0000_i1230">.
Но тогда в исходном уравнении слева стоит произведение больше восьми, а справа единица, что невозможно.
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Положим <shape id="_x0000_i1231" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image356.wmz» o:><img width=«163» height=«25» src=«dopb73823.zip» v:shapes="_x0000_i1231">. Тогда каждому корню <shape id="_x0000_i1232" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image358.wmz» o:><img width=«103» height=«27» src=«dopb73824.zip» v:shapes="_x0000_i1232"> исходного уравнения будет соответствовать ровно один корень <shape id="_x0000_i1233" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image360.wmz» o:><img width=«67» height=«24» src=«dopb73825.zip» v:shapes="_x0000_i1233">, где <shape id="_x0000_i1234" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image362.wmz» o:><img width=«92» height=«27» src=«dopb73826.zip» v:shapes="_x0000_i1234">. Наоборот, каждому корню <shape id="_x0000_i1235" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image364.wmz» o:><img width=«64» height=«23» src=«dopb73827.zip» v:shapes="_x0000_i1235"> уравнения соответствует ровно один корень исходного уравнения. Таким образом, задача может быть переформулирована так: сколько корней на промежутке <shape id="_x0000_i1236" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image366.wmz» o:><img width=«61» height=«19» src=«dopb73828.zip» v:shapes="_x0000_i1236"> имеет уравнение
<shape id="_x0000_i1237" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image368.wmz» o:><img width=«356» height=«28» src=«dopb73829.zip» v:shapes="_x0000_i1237">.
Так как <shape id="_x0000_i1238" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image370.wmz» o:><img width=«39» height=«19» src=«dopb73830.zip» v:shapes="_x0000_i1238"> и <shape id="_x0000_i1239" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image372.wmz» o:><img width=«60» height=«23» src=«dopb73831.zip» v:shapes="_x0000_i1239">, то можно взять <shape id="_x0000_i1240" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image374.wmz» o:><img width=«135» height=«45» src=«dopb73832.zip» v:shapes="_x0000_i1240">. Заметим, что если <shape id="_x0000_i1241" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image376.wmz» o:><img width=«19» height=«24» src=«dopb73833.zip» v:shapes="_x0000_i1241"> - корень данного уравнения, то и <shape id="_x0000_i1242" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image378.wmz» o:><img width=«31» height=«24» src=«dopb73834.zip» v:shapes="_x0000_i1242"> тоже корень. Вот почему достаточно рассмотреть <shape id="_x0000_i1243" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image380.wmz» o:><img width=«72» height=«45» src=«dopb73746.zip» v:shapes="_x0000_i1243">, то есть отыскать только положительные решения. С учетом выше изложенного исходное уравнение перепишется в виде
<shape id="_x0000_i1244" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image381.wmz» o:><img width=«657» height=«25» src=«dopb73835.zip» v:shapes="_x0000_i1244"><shape id="_x0000_i1245" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image383.wmz» o:><img width=«591» height=«24» src=«dopb73836.zip» v:shapes="_x0000_i1245">
<shape id="_x0000_i1246" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image385.wmz» o:><img width=«528» height=«24» src=«dopb73837.zip» v:shapes="_x0000_i1246">
<shape id="_x0000_i1247" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image387.wmz» o:><img width=«185» height=«19» src=«dopb73838.zip» v:shapes="_x0000_i1247">.
Так как <shape id="_x0000_i1248" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image380.wmz» o:><img width=«72» height=«45» src=«dopb73746.zip» v:shapes="_x0000_i1248">, то можно обе части равенства умножить на <shape id="_x0000_i1249" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image389.wmz» o:><img width=«61» height=«19» src=«dopb73776.zip» v:shapes="_x0000_i1249">, получим
<shape id="_x0000_i1250" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image390.wmz» o:><img width=«509» height=«19» src=«dopb73839.zip» v:shapes="_x0000_i1250">
<shape id="_x0000_i1251" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image392.wmz» o:><img width=«575» height=«133» src=«dopb73840.zip» v:shapes="_x0000_i1251">.
Ответ: шесть корней.
Алгебраическое решение Так как выражение от правой части равенства четное и <shape id="_x0000_i1252" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image370.wmz» o:><img width=«39» height=«19» src=«dopb73830.zip» v:shapes="_x0000_i1252"> и <shape id="_x0000_i1253" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image372.wmz» o:><img width=«60» height=«23» src=«dopb73831.zip» v:shapes="_x0000_i1253">, выясним вопрос о наличии корней на промежутке <shape id="_x0000_i1254" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image394.wmz» o:><img width=«48» height=«25» src=«dopb73841.zip» v:shapes="_x0000_i1254">. Проверкой устанавливаем, что <shape id="_x0000_i1255" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image396.wmz» o:><img width=«47» height=«41» src=«dopb73842.zip» v:shapes="_x0000_i1255"> – корень. Рассмотрим функции от правой и левой частей уравнения, то есть функции <shape id="_x0000_i1256" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image398.wmz» o:><img width=«209» height=«25» src=«dopb73843.zip» v:shapes="_x0000_i1256"> и <shape id="_x0000_i1257" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image400.wmz» o:><img width=«44» height=«23» src=«dopb73844.zip» v:shapes="_x0000_i1257">. Так как <shape id="_x0000_i1258" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image402.wmz» o:><img width=«503» height=«45» src=«dopb73845.zip» v:shapes="_x0000_i1258">
и функция <shape id="_x0000_i1259" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image398.wmz» o:><img width=«209» height=«25» src=«dopb73843.zip» v:shapes="_x0000_i1259"> непрерывна на числовой прямой, то найдутся такие значения <shape id="_x0000_i1260" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image404.wmz» o:><img width=«19» height=«23» src=«dopb73846.zip» v:shapes="_x0000_i1260"> и <shape id="_x0000_i1261" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image406.wmz» o:><img width=«17» height=«24» src=«dopb73847.zip» v:shapes="_x0000_i1261">, что <shape id="_x0000_i1262" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image408.wmz» o:><img width=«112» height=«24» src=«dopb73848.zip» v:shapes="_x0000_i1262">. Поэтому на промежутке <shape id="_x0000_i1263" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image410.wmz» o:><img width=«35» height=«23» src=«dopb73849.zip» v:shapes="_x0000_i1263"> уравнение имеет три корня, а на всей числовой прямой – шесть корней.
Ответ: 6 корней.
В данном случае можно решать любым способом, но если количество корней на небольшом промежутке достаточно велико, вычисления могут оказаться громоздкими, и сам метод неэффективным. В этом случае на помощь приходит метод тригонометрической подстановки. Надо заметить, что решить вопрос о количестве корней можно с помощью производной, но в данном случае такое решение мало эффективно, так как затруднительно найти нули производной.
Пример 2. Решить уравнение
<shape id="_x0000_i1264" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image412.wmz» o:><img width=«119» height=«24» src=«dopb73850.zip» v:shapes="_x0000_i1264">.
Если для выше приведенных задач не удается найти нетрадиционный путь решения, то все равно остается вероятность справиться с задачей с помощью стандартных школьных рассуждений, правда, затратив при этом гораздо больше времени. Эта задача лишает такого выбора, так как ее решение другим способом не представляется возможным.
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Поделим все члены уравнения на 2. Уравнение примет вид
<shape id="_x0000_i1265" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image414.wmz» o:><img width=«99» height=«45» src=«dopb73851.zip» v:shapes="_x0000_i1265">.
Докажем, что все корни данного уравнения по модулю не превосходят единицы. Пусть <shape id="_x0000_i1266" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image416.wmz» o:><img width=«40» height=«27» src=«dopb73740.zip» v:shapes="_x0000_i1266">, тогда <shape id="_x0000_i1267" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image417.wmz» o:><img width=«187» height=«29» src=«dopb73852.zip» v:shapes="_x0000_i1267">. Получили, что при <shape id="_x0000_i1268" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image416.wmz» o:><img width=«40» height=«27» src=«dopb73740.zip» v:shapes="_x0000_i1268"> левая часть уравнения по модулю больше единицы, а правая – меньше единицы, что невозможно.
Положим <shape id="_x0000_i1269" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image419.wmz» o:><img width=«140» height=«23» src=«dopb73853.zip» v:shapes="_x0000_i1269">. Уравнение примет вид
<shape id="_x0000_i1270" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image421.wmz» o:><img width=«423» height=«45» src=«dopb73854.zip» v:shapes="_x0000_i1270">.
Условию <shape id="_x0000_i1271" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image423.wmz» o:><img width=«63» height=«23» src=«dopb73665.zip» v:shapes="_x0000_i1271"> удовлетворяют три значения
<shape id="_x0000_i1272" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image424.wmz» o:><img width=«72» height=«133» src=«dopb73855.zip» v:shapes="_x0000_i1272">.
Поскольку кубическое уравнение не может иметь больше трех различных корней, то мы нашли все решения.
Ответ: <shape id="_x0000_i1273" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image426.wmz» o:><img width=«179» height=«45» src=«dopb73856.zip» v:shapes="_x0000_i1273">.
1.3 Показательные уравнения
Приведем пример задания, решить которое без введения тригонометрической подстановки не представляется возможным.
Пример 1. Решить уравнение <shape id="_x0000_i1274" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image428.wmz» o:><img width=«132» height=«24» src=«dopb73857.zip» v:shapes="_x0000_i1274">.
Пусть <shape id="_x0000_i1275" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image430.wmz» o:><img width=«56» height=«19» src=«dopb73858.zip» v:shapes="_x0000_i1275">, тогда уравнение перепишется в виде
<shape id="_x0000_i1276" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image432.wmz» o:><img width=«463» height=«45» src=«dopb73859.zip» v:shapes="_x0000_i1276">.
Введем замену <shape id="_x0000_i1277" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image434.wmz» o:><img width=«97» height=«24» src=«dopb73860.zip» v:shapes="_x0000_i1277">, получим
<shape id="_x0000_i1278" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image436.wmz» o:><img width=«99» height=«45» src=«dopb73861.zip» v:shapes="_x0000_i1278">.
Это уравнение мы уже решали[1]. Его корни
<shape id="_x0000_i1279" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image438.wmz» o:><img width=«93» height=«133» src=«dopb73862.zip» v:shapes="_x0000_i1279">.
Два последних значения меньше нуля, поэтому нам подходит только <shape id="_x0000_i1280" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image440.wmz» o:><img width=«71» height=«41» src=«dopb73863.zip» v:shapes="_x0000_i1280">. Перейдем к переменной <shape id="_x0000_i1281" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image442.wmz» o:><img width=«9» height=«16» src=«dopb73732.zip» v:shapes="_x0000_i1281">, а затем к переменной <shape id="_x0000_i1282" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image443.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb73656.zip» v:shapes="_x0000_i1282">
<shape id="_x0000_i1283" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image444.wmz» o:><img width=«467» height=«41» src=«dopb73864.zip» v:shapes="_x0000_i1283">.
Ответ: <shape id="_x0000_i1284" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image446.wmz» o:><img width=«85» height=«41» src=«dopb73865.zip» v:shapes="_x0000_i1284">.
§2. Решение систем
В данном параграфе предложены системы повышенной сложности, решить которые, не зная специальных методов решения, сложно.
Пример 1. Решить систему уравнений
<shape id="_x0000_i1285" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image448.wmz» o:><img width=«112» height=«53» src=«dopb73866.zip» v:shapes="_x0000_i1285"> [3].
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Так как квадрат суммы чисел <shape id="_x0000_i1286" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image450.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb73656.zip» v:shapes="_x0000_i1286"> и <shape id="_x0000_i1287" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image451.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb73867.zip» v:shapes="_x0000_i1287">равен единице, то каждое из этих чисел по модулю не превосходит единицы и их можно рассматривать как синус и косинус некоторого угла. Поэтому можно положить <shape id="_x0000_i1288" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image453.wmz» o:><img width=«228» height=«21» src=«dopb73868.zip» v:shapes="_x0000_i1288"> Второе уравнение системы примет вид
<shape id="_x0000_i1289" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image455.wmz» o:><img width=«553» height=«41» src=«dopb73869.zip» v:shapes="_x0000_i1289">.
Условию <shape id="_x0000_i1290" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image457.wmz» o:><img width=«72» height=«21» src=«dopb73870.zip» v:shapes="_x0000_i1290"> удовлетворяют четыре значения
<shape id="_x0000_i1291" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image459.wmz» o:><img width=«72» height=«173» src=«dopb73871.zip» v:shapes="_x0000_i1291">.
<shape id="_x0000_i1292" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image461.wmz» o:><img width=«197» height=«48» src=«dopb73872.zip» v:shapes="_x0000_i1292"> <shape id="_x0000_i1293" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image463.wmz» o:><img width=«204» height=«48» src=«dopb73873.zip» v:shapes="_x0000_i1293">.
<shape id="_x0000_i1294" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image465.wmz» o:><img width=«209» height=«48» src=«dopb73874.zip» v:shapes="_x0000_i1294"> <shape id="_x0000_i1295" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image467.wmz» o:><img width=«225» height=«48» src=«dopb73875.zip» v:shapes="_x0000_i1295">.
<shape id="_x0000_i1296" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image469.wmz» o:><img width=«219» height=«48» src=«dopb73876.zip» v:shapes="_x0000_i1296"> <shape id="_x0000_i1297" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image471.wmz» o:><img width=«224» height=«48» src=«dopb73877.zip» v:shapes="_x0000_i1297">.
<shape id="_x0000_i1298" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image473.wmz» o:><img width=«227» height=«48» src=«dopb73878.zip» v:shapes="_x0000_i1298"> <shape id="_x0000_i1299" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image475.wmz» o:><img width=«221» height=«48» src=«dopb73879.zip» v:shapes="_x0000_i1299">.
Ответ: <shape id="_x0000_i1300" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image477.wmz» o:><img width=«144» height=«59» src=«dopb73880.zip» v:shapes="_x0000_i1300">; <shape id="_x0000_i1301" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image479.wmz» o:><img width=«157» height=«59» src=«dopb73881.zip» v:shapes="_x0000_i1301">; <shape id="_x0000_i1302" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image481.wmz» o:><img width=«169» height=«59» src=«dopb73882.zip» v:shapes="_x0000_i1302">; <shape id="_x0000_i1303" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image483.wmz» o:><img width=«156» height=«59» src=«dopb73883.zip» v:shapes="_x0000_i1303">.
Алгебраическое решение <shape id="_x0000_i1304" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image485.wmz» o:><img width=«519» height=«53» src=«dopb73884.zip» v:shapes="_x0000_i1304">
<shape id="_x0000_i1305" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image487.wmz» o:><img width=«229» height=«24» src=«dopb73885.zip» v:shapes="_x0000_i1305">.
Пусть <shape id="_x0000_i1306" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image489.wmz» o:><img width=«89» height=«24» src=«dopb73886.zip» v:shapes="_x0000_i1306">, тогда <shape id="_x0000_i1307" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image491.wmz» o:><img width=«59» height=«24» src=«dopb73887.zip» v:shapes="_x0000_i1307">. Имеем
<shape id="_x0000_i1308" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image493.wmz» o:><img width=«580» height=«24» src=«dopb73888.zip» v:shapes="_x0000_i1308">
<shape id="_x0000_i1309" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image495.wmz» o:><img width=«525» height=«28» src=«dopb73889.zip» v:shapes="_x0000_i1309">
<shape id="_x0000_i1310" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image497.wmz» o:><img width=«428» height=«44» src=«dopb73890.zip» v:shapes="_x0000_i1310">
<shape id="_x0000_i1311" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image499.wmz» o:><img width=«352» height=«52» src=«dopb73891.zip» v:shapes="_x0000_i1311">.
Подберем <shape id="_x0000_i1312" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image501.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb73892.zip» v:shapes="_x0000_i1312"> так, чтобы многочлен, стоящий в правой части равенства, стал полным квадратом. Для этого он должен иметь один двукратный корень, то есть
<shape id="_x0000_i1313" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image503.wmz» o:><img width=«387» height=«51» src=«dopb73893.zip» v:shapes="_x0000_i1313">.
Подбором находим, что <shape id="_x0000_i1314" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image505.wmz» o:><img width=«45» height=«24» src=«dopb73894.zip» v:shapes="_x0000_i1314"> является корнем уравнения
<shape id="_x0000_i1315" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image507.wmz» o:><img width=«164» height=«44» src=«dopb73895.zip» v:shapes="_x0000_i1315">.
Подставим <shape id="_x0000_i1316" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image505.wmz» o:><img width=«45» height=«24» src=«dopb73894.zip» v:shapes="_x0000_i1316"> в уравнение <shape id="_x0000_i1317" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image509.wmz» o:><img width=«331» height=«52» src=«dopb73896.zip» v:shapes="_x0000_i1317">, после чего оно примет вид
<shape id="_x0000_i1318" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image511.wmz» o:><img width=«343» height=«45» src=«dopb73897.zip» v:shapes="_x0000_i1318">.
Перейдем к переменной <shape id="_x0000_i1319" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image513.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb73867.zip» v:shapes="_x0000_i1319">
<shape id="_x0000_i1320" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image514.wmz» o:><img width=«160» height=«203» src=«dopb73898.zip» v:shapes="_x0000_i1320">
Подставив получившиеся значения переменной <shape id="_x0000_i1321" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image513.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb73867.zip» v:shapes="_x0000_i1321"> во второе уравнение системы, найдем соответствующие значения переменной <shape id="_x0000_i1322" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image450.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb73656.zip» v:shapes="_x0000_i1322">
<shape id="_x0000_i1323" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image516.wmz» o:><img width=«209» height=«219» src=«dopb73899.zip» v:shapes="_x0000_i1323">
Ответ: <shape id="_x0000_i1324" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image477.wmz» o:><img width=«144» height=«59» src=«dopb73880.zip» v:shapes="_x0000_i1324">; <shape id="_x0000_i1325" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image479.wmz» o:><img width=«157» height=«59» src=«dopb73881.zip» v:shapes="_x0000_i1325">; <shape id="_x0000_i1326" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image481.wmz» o:><img width=«169» height=«59» src=«dopb73882.zip» v:shapes="_x0000_i1326">; <shape id="_x0000_i1327" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image483.wmz» o:><img width=«156» height=«59» src=«dopb73883.zip» v:shapes="_x0000_i1327">.
Пример 2. Сколько решений имеет система уравнений
<shape id="_x0000_i1328" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image518.wmz» o:><img width=«95» height=«83» src=«dopb73900.zip» v:shapes="_x0000_i1328">[18].
Здесь представлена так называемая циклическая система уравнений. Подобные системы часто предлагаются на вступительных экзаменах в вузы с повышенными требованиями по математике [30]. Решить эти системы, не зная специальных методов решения, очень сложно. В данном случае подбором устанавливается решение <shape id="_x0000_i1329" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image520.wmz» o:><img width=«53» height=«23» src=«dopb73901.zip» v:shapes="_x0000_i1329">. Попытки доказать, что система не имеет других решений, положительных результатов не дают. Неоценимую помощь в решении такого класса задач оказывает метод тригонометрической подстановки.
Перепишем систему в виде
<shape id="_x0000_i1330" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image522.wmz» o:><img width=«95» height=«83» src=«dopb73902.zip» v:shapes="_x0000_i1330">.
Докажем, что все числа <shape id="_x0000_i1331" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image524.wmz» o:><img width=«45» height=«17» src=«dopb73903.zip» v:shapes="_x0000_i1331"> по абсолютной величине не превосходят единицы. Пусть <shape id="_x0000_i1332" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image526.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb73656.zip» v:shapes="_x0000_i1332"> – максимальное из чисел <shape id="_x0000_i1333" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image524.wmz» o:><img width=«45» height=«17» src=«dopb73903.zip» v:shapes="_x0000_i1333"> и <shape id="_x0000_i1334" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image527.wmz» o:><img width=«35» height=«19» src=«dopb73742.zip» v:shapes="_x0000_i1334">, то <shape id="_x0000_i1335" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image528.wmz» o:><img width=«109» height=«21» src=«dopb73904.zip» v:shapes="_x0000_i1335">. Пришли к противоречию. Если число <shape id="_x0000_i1336" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image526.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb73656.zip» v:shapes="_x0000_i1336"> – минимальное и <shape id="_x0000_i1337" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image530.wmz» o:><img width=«45» height=«19» src=«dopb73905.zip» v:shapes="_x0000_i1337">, то <shape id="_x0000_i1338" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image532.wmz» o:><img width=«109» height=«21» src=«dopb73906.zip» v:shapes="_x0000_i1338">. Опять пришли к противоречию. Итак <shape id="_x0000_i1339" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image534.wmz» o:><img width=«101» height=«21» src=«dopb73907.zip» v:shapes="_x0000_i1339">.
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Положим <shape id="_x0000_i1340" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image536.wmz» o:><img width=«140» height=«23» src=«dopb73853.zip» v:shapes="_x0000_i1340">. Тогда <shape id="_x0000_i1341" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image537.wmz» o:><img width=«71» height=«19» src=«dopb73908.zip» v:shapes="_x0000_i1341">, <shape id="_x0000_i1342" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image539.wmz» o:><img width=«72» height=«21» src=«dopb73909.zip» v:shapes="_x0000_i1342">, <shape id="_x0000_i1343" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image541.wmz» o:><img width=«80» height=«19» src=«dopb73910.zip» v:shapes="_x0000_i1343">. Число решений исходной системы равно числу решений уравнения
<shape id="_x0000_i1344" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image543.wmz» o:><img width=«521» height=«88» src=«dopb73911.zip» v:shapes="_x0000_i1344">.
Условию <shape id="_x0000_i1345" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image545.wmz» o:><img width=«63» height=«23» src=«dopb73665.zip» v:shapes="_x0000_i1345"> удовлетворяет 27 решений
<shape id="_x0000_i1346" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image546.wmz» o:><img width=«168» height=«88» src=«dopb73912.zip» v:shapes="_x0000_i1346">.
Ответ: <shape id="_x0000_i1347" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image548.wmz» o:><img width=«168» height=«88» src=«dopb73912.zip» v:shapes="_x0000_i1347">.
Алгебраическое решение
Выразим переменную <shape id="_x0000_i1348" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image450.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb73656.zip» v:shapes="_x0000_i1348">
<shape id="_x0000_i1349" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image549.wmz» o:><img width=«279» height=«28» src=«dopb73913.zip» v:shapes="_x0000_i1349">
<shape id="_x0000_i1350" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image551.wmz» o:><img width=«397» height=«31» src=«dopb73914.zip» v:shapes="_x0000_i1350">.
Выяснить количество корней полученного уравнения с помощью производной или другим способом чрезвычайно трудно, поэтому в данном случае самый эффективный способ решение – решение с помощью тригонометрической подстановки.
§3. Доказательство неравенств
Как правило, навыки решения и доказательства неравенств, за исключением квадратичных, формируются на более низком уровне, чем уравнений. Эта особенность имеет объективную природу: теория неравенств сложнее теории уравнений. Тем не менее, многие приемы и методы решения неравенств совпадают с приемами и методами решения уравнений. В том числе, к доказательству неравенств применим метод замены переменной. При этом замена переменных, входящих в неравенство, с одной стороны, сокращает число переменных, а с другой, позволяет привести неравенство к виду, более удобному для исследования его свойств.
Пример 1. Доказать, что <shape id="_x0000_i1351" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image553.wmz» o:><img width=«133» height=«25» src=«dopb73915.zip» v:shapes="_x0000_i1351"> [43].
При <shape id="_x0000_i1352" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image555.wmz» o:><img width=«63» height=«19» src=«dopb73916.zip» v:shapes="_x0000_i1352"> неравенство верное.
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Для любых <shape id="_x0000_i1353" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image557.wmz» o:><img width=«53» height=«21» src=«dopb73917.zip» v:shapes="_x0000_i1353"> найдется угол <shape id="_x0000_i1354" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image047.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb73673.zip» v:shapes="_x0000_i1354">, что <shape id="_x0000_i1355" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image559.wmz» o:><img width=«167» height=«45» src=«dopb73918.zip» v:shapes="_x0000_i1355">. Исходное неравенство примет вид
<shape id="_x0000_i1356" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image561.wmz» o:><img width=«452» height=«52» src=«dopb73919.zip» v:shapes="_x0000_i1356">.
Так как <shape id="_x0000_i1357" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image563.wmz» o:><img width=«91» height=«45» src=«dopb73920.zip» v:shapes="_x0000_i1357">, то <shape id="_x0000_i1358" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image565.wmz» o:><img width=«72» height=«21» src=«dopb73921.zip» v:shapes="_x0000_i1358">. Умножим обе части неравенства на <shape id="_x0000_i1359" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image567.wmz» o:><img width=«47» height=«21» src=«dopb73922.zip» v:shapes="_x0000_i1359">, получим
<shape id="_x0000_i1360" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image569.wmz» o:><img width=«252» height=«25» src=«dopb73923.zip» v:shapes="_x0000_i1360">
<shape id="_x0000_i1361" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image571.wmz» o:><img width=«599» height=«24» src=«dopb73924.zip» v:shapes="_x0000_i1361">
<shape id="_x0000_i1362" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image573.wmz» o:><img width=«477» height=«45» src=«dopb73925.zip» v:shapes="_x0000_i1362">
<shape id="_x0000_i1363" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image575.wmz» o:><img width=«459» height=«24» src=«dopb73926.zip» v:shapes="_x0000_i1363">.
Второй множитель всегда положительный, а первый не превосходит 0, поэтому все произведение не положительно.
Алгебраическое решение
Выполним решение с помощью тождественных преобразований. Для этого рассмотрим разность
<shape id="_x0000_i1364" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image577.wmz» o:><img width=«343» height=«28» src=«dopb73927.zip» v:shapes="_x0000_i1364">
<shape id="_x0000_i1365" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image579.wmz» o:><img width=«357» height=«21» src=«dopb73928.zip» v:shapes="_x0000_i1365">
<shape id="_x0000_i1366" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image581.wmz» o:><img width=«561» height=«26» src=«dopb73929.zip» v:shapes="_x0000_i1366">
<shape id="_x0000_i1367" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image583.wmz» o:><img width=«468» height=«28» src=«dopb73930.zip» v:shapes="_x0000_i1367">
<shape id="_x0000_i1368" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image585.wmz» o:><img width=«273» height=«28» src=«dopb73931.zip» v:shapes="_x0000_i1368">.
Оба решения по простоте реализации не уступают друг другу. Решение с помощью тригонометрической подстановки может быть дано как один из возможных способов решения.
Пример 2. Известно, что <shape id="_x0000_i1369" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image587.wmz» o:><img width=«164» height=«24» src=«dopb73932.zip» v:shapes="_x0000_i1369">. Доказать, что <shape id="_x0000_i1370" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image589.wmz» o:><img width=«79» height=«27» src=«dopb73933.zip» v:shapes="_x0000_i1370"> [9].
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Так как сумма квадратов <shape id="_x0000_i1371" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image591.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb73934.zip» v:shapes="_x0000_i1371"> и <shape id="_x0000_i1372" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image593.wmz» o:><img width=«13» height=«19» src=«dopb73935.zip» v:shapes="_x0000_i1372"> равна единице, то каждое из чисел <shape id="_x0000_i1373" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image591.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb73934.zip» v:shapes="_x0000_i1373"> и <shape id="_x0000_i1374" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image593.wmz» o:><img width=«13» height=«19» src=«dopb73935.zip» v:shapes="_x0000_i1374"> по абсолютной величине не превосходит единицы, и их можно рассматривать как синус и косинус некоторого угла. Поэтому законна подстановка
продолжение
--PAGE_BREAK--<shape id="_x0000_i1375" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image595.wmz» o:><img width=«223» height=«23» src=«dopb73936.zip» v:shapes="_x0000_i1375">.
Аналогично <shape id="_x0000_i1376" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image597.wmz» o:><img width=«227» height=«23» src=«dopb73937.zip» v:shapes="_x0000_i1376">. Доказываемое неравенство запишется в виде
<shape id="_x0000_i1377" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image599.wmz» o:><img width=«355» height=«27» src=«dopb73938.zip» v:shapes="_x0000_i1377">.
Алгебраическое решение
Алгебраическое решение в данном случае будет состоять в возведении обеих частей неравенства в квадрат и выполнении тождественных преобразований.
<shape id="_x0000_i1378" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image601.wmz» o:><img width=«395» height=«28» src=«dopb73939.zip» v:shapes="_x0000_i1378">
<shape id="_x0000_i1379" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image603.wmz» o:><img width=«570» height=«26» src=«dopb73940.zip» v:shapes="_x0000_i1379">
<shape id="_x0000_i1380" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image605.wmz» o:><img width=«309» height=«25» src=«dopb73941.zip» v:shapes="_x0000_i1380">.
Обычно неравенство <shape id="_x0000_i1381" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image589.wmz» o:><img width=«79» height=«27» src=«dopb73933.zip» v:shapes="_x0000_i1381"> при заданных условиях доказывается, когда изучаются приложения комплексных чисел. Но еще до изучения комплексных чисел оно может быть рассмотрено с учащимися, причем доказательство с помощью тригонометрической подстановки довольно компактно. Единственное, на что в данном случае следует обратить внимание учащихся – полное обоснование введения подстановки.
§4 Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.
Задачи, связанные с поиском наибольшего и наименьшего значений функции, неспроста пользуются большой популярностью у составителей экзаменационных заданий: чтобы решить подобную задачу, приходится комбинировать приемы и методы из весьма различных разделов школьного курса математики. Первое, что приходит в голову при решении подобных задач, – исследовать функцию на наибольшее и наименьшее значения с помощью производной. Но у такого подхода есть недостаток: во многих задачах вступительных экзаменов в вузы с повышенными требованиями по математике этот привычный путь решения сопряжен со значительными техническими трудностями. В условиях конкурса этот недостаток особенно ощутим. Часто, однако, удается избавиться от громоздких выкладок, применяя понятия и навыки из других разделов школьного курса математики. Например, из тригонометрии.
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значение выражения <shape id="_x0000_i1382" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image607.wmz» o:><img width=«37» height=«19» src=«dopb73942.zip» v:shapes="_x0000_i1382"> в области
<shape id="_x0000_i1383" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image609.wmz» o:><img width=«132» height=«24» src=«dopb73943.zip» v:shapes="_x0000_i1383"> [25].
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Уравнение <shape id="_x0000_i1384" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image609.wmz» o:><img width=«132» height=«24» src=«dopb73943.zip» v:shapes="_x0000_i1384"> преобразуем так, чтобы в левой части получилась сумма квадратов: <shape id="_x0000_i1385" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image611.wmz» o:><img width=«108» height=«25» src=«dopb73944.zip» v:shapes="_x0000_i1385">. Следовательно, каждое из выражений <shape id="_x0000_i1386" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image613.wmz» o:><img width=«36» height=«19» src=«dopb73945.zip» v:shapes="_x0000_i1386"> и <shape id="_x0000_i1387" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image615.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb73867.zip» v:shapes="_x0000_i1387"> по модулю не превосходит единицы и их можно рассматривать как синус и косинус некоторого угла. Положим <shape id="_x0000_i1388" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image616.wmz» o:><img width=«251» height=«23» src=«dopb73946.zip» v:shapes="_x0000_i1388">. Выразим <shape id="_x0000_i1389" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image607.wmz» o:><img width=«37» height=«19» src=«dopb73942.zip» v:shapes="_x0000_i1389"> через одну величину <shape id="_x0000_i1390" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image047.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb73673.zip» v:shapes="_x0000_i1390">:
<shape id="_x0000_i1391" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image618.wmz» o:><img width=«427» height=«45» src=«dopb73947.zip» v:shapes="_x0000_i1391">.
Ответ: наибольшее значение равно <shape id="_x0000_i1392" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image620.wmz» o:><img width=«60» height=«23» src=«dopb73948.zip» v:shapes="_x0000_i1392">, наименьшее значение равно <shape id="_x0000_i1393" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image622.wmz» o:><img width=«57» height=«23» src=«dopb73949.zip» v:shapes="_x0000_i1393">.
Алгебраическое решение
Уравнение <shape id="_x0000_i1394" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image609.wmz» o:><img width=«132» height=«24» src=«dopb73943.zip» v:shapes="_x0000_i1394"> преобразуем так, чтобы в левой части получилась сумма квадратов: <shape id="_x0000_i1395" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image611.wmz» o:><img width=«108» height=«25» src=«dopb73944.zip» v:shapes="_x0000_i1395">. Нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения выражения <shape id="_x0000_i1396" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image607.wmz» o:><img width=«37» height=«19» src=«dopb73942.zip» v:shapes="_x0000_i1396"> в точках окружности <shape id="_x0000_i1397" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image611.wmz» o:><img width=«108» height=«25» src=«dopb73944.zip» v:shapes="_x0000_i1397">, то есть окружности с центром в точке <shape id="_x0000_i1398" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image624.wmz» o:><img width=«47» height=«23» src=«dopb73950.zip» v:shapes="_x0000_i1398"> и радиусом <shape id="_x0000_i1399" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image626.wmz» o:><img width=«9» height=«17» src=«dopb73951.zip» v:shapes="_x0000_i1399">. Пусть в точке с координатами <shape id="_x0000_i1400" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image628.wmz» o:><img width=«52» height=«24» src=«dopb73952.zip» v:shapes="_x0000_i1400"> выражение <shape id="_x0000_i1401" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image607.wmz» o:><img width=«37» height=«19» src=«dopb73942.zip» v:shapes="_x0000_i1401"> принимает наибольшее значение, тогда справедлива система
<shape id="_x0000_i1402" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image630.wmz» o:><img width=«543» height=«53» src=«dopb73953.zip» v:shapes="_x0000_i1402">
<shape id="_x0000_i1403" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image632.wmz» o:><img width=«231» height=«45» src=«dopb73954.zip» v:shapes="_x0000_i1403">.
Так как ищем наибольшее значение выражения <shape id="_x0000_i1404" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image607.wmz» o:><img width=«37» height=«19» src=«dopb73942.zip» v:shapes="_x0000_i1404">, то выбираем
<shape id="_x0000_i1405" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image634.wmz» o:><img width=«83» height=«45» src=«dopb73955.zip» v:shapes="_x0000_i1405">.
<shape id="_x0000_i1406" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image636.wmz» o:><img width=«147» height=«45» src=«dopb73956.zip» v:shapes="_x0000_i1406">.
Тогда наибольшее значение выражения <shape id="_x0000_i1407" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image607.wmz» o:><img width=«37» height=«19» src=«dopb73942.zip» v:shapes="_x0000_i1407"> равно
<shape id="_x0000_i1408" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image638.wmz» o:><img width=«231» height=«45» src=«dopb73957.zip» v:shapes="_x0000_i1408">.
Аналогично находим, что наименьшее значение выражения <shape id="_x0000_i1409" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image607.wmz» o:><img width=«37» height=«19» src=«dopb73942.zip» v:shapes="_x0000_i1409"> равно
<shape id="_x0000_i1410" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image640.wmz» o:><img width=«140» height=«27» src=«dopb73958.zip» v:shapes="_x0000_i1410">.
Ответ: наибольшее значение равно <shape id="_x0000_i1411" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image620.wmz» o:><img width=«60» height=«23» src=«dopb73948.zip» v:shapes="_x0000_i1411">, наименьшее значение равно <shape id="_x0000_i1412" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image622.wmz» o:><img width=«57» height=«23» src=«dopb73949.zip» v:shapes="_x0000_i1412">.
Пример 2. Найти наименьшее и наибольшее значения выражения <shape id="_x0000_i1413" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image642.wmz» o:><img width=«59» height=«24» src=«dopb73959.zip» v:shapes="_x0000_i1413">, если <shape id="_x0000_i1414" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image644.wmz» o:><img width=«121» height=«24» src=«dopb73960.zip» v:shapes="_x0000_i1414"> [24].
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Уравнение <shape id="_x0000_i1415" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image644.wmz» o:><img width=«121» height=«24» src=«dopb73960.zip» v:shapes="_x0000_i1415"> преобразуем так, чтобы в левой части получилась сумма квадратов:
<shape id="_x0000_i1416" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image646.wmz» o:><img width=«117» height=«25» src=«dopb73961.zip» v:shapes="_x0000_i1416">.
Имеем, что сумма квадратов <shape id="_x0000_i1417" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image648.wmz» o:><img width=«47» height=«23» src=«dopb73962.zip» v:shapes="_x0000_i1417"> и <shape id="_x0000_i1418" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image650.wmz» o:><img width=«33» height=«25» src=«dopb73963.zip» v:shapes="_x0000_i1418"> равна единице, поэтому каждое из этих выражений по модулю не превосходит единицы и их можно рассматривать как синус и косинус некоторого угла. Вот почему можно положить <shape id="_x0000_i1419" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image652.wmz» o:><img width=«268» height=«25» src=«dopb73964.zip» v:shapes="_x0000_i1419">. Выразим сумму квадратов <shape id="_x0000_i1420" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image642.wmz» o:><img width=«59» height=«24» src=«dopb73959.zip» v:shapes="_x0000_i1420"> через одну величину <shape id="_x0000_i1421" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image047.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb73673.zip» v:shapes="_x0000_i1421">:
<shape id="_x0000_i1422" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image654.wmz» o:><img width=«649» height=«47» src=«dopb73965.zip» v:shapes="_x0000_i1422"><shape id="_x0000_i1423" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image656.wmz» o:><img width=«271» height=«53» src=«dopb73966.zip» v:shapes="_x0000_i1423">.
Ответ: наименьшее значение <shape id="_x0000_i1424" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image658.wmz» o:><img width=«49» height=«45» src=«dopb73967.zip» v:shapes="_x0000_i1424">, наибольшее значение <shape id="_x0000_i1425" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image660.wmz» o:><img width=«49» height=«45» src=«dopb73968.zip» v:shapes="_x0000_i1425">.
Алгебраическое решение
Иногда уравнения с параметрами возникают при решении задач, казалось бы, не имеющих к ним никакого отношения. Если требуется найти, например, наименьшее значение функции <shape id="_x0000_i1426" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image662.wmz» o:><img width=«60» height=«23» src=«dopb73969.zip» v:shapes="_x0000_i1426">, ответ можно получить, если найти множество всех ее значений. Хотя это и более общая задача, но ее решение оказывается более простым. Причем число <shape id="_x0000_i1427" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image664.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb73934.zip» v:shapes="_x0000_i1427"> будет значением функции <shape id="_x0000_i1428" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image662.wmz» o:><img width=«60» height=«23» src=«dopb73969.zip» v:shapes="_x0000_i1428"> тогда и только тогда, когда уравнение <shape id="_x0000_i1429" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image665.wmz» o:><img width=«60» height=«23» src=«dopb73970.zip» v:shapes="_x0000_i1429"> имеет хотя бы один корень. Поэтому требуется найти все такие значения параметра <shape id="_x0000_i1430" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image664.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb73934.zip» v:shapes="_x0000_i1430"> и среди них выбрать наименьшее число. Это число и будет наименьшим значением функции <shape id="_x0000_i1431" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image662.wmz» o:><img width=«60» height=«23» src=«dopb73969.zip» v:shapes="_x0000_i1431"> [37]. Реализуем сказанное для решения данной задачи другим способом.
Перейдем к системе
<shape id="_x0000_i1432" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image667.wmz» o:><img width=«129» height=«53» src=«dopb73971.zip» v:shapes="_x0000_i1432">,
то есть выясним, при каких значениях параметра <shape id="_x0000_i1433" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image664.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb73934.zip» v:shapes="_x0000_i1433"> система имеет решения. Умножим второе уравнение на <shape id="_x0000_i1434" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image664.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb73934.zip» v:shapes="_x0000_i1434"> и вычтем полученное уравнение из первого.
<shape id="_x0000_i1435" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image669.wmz» o:><img width=«453» height=«24» src=«dopb73972.zip» v:shapes="_x0000_i1435">.
Получили однородное уравнение относительно переменных <shape id="_x0000_i1436" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image671.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb73656.zip» v:shapes="_x0000_i1436"> и <shape id="_x0000_i1437" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image672.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb73867.zip» v:shapes="_x0000_i1437">. Проверкой устанавливается, что при <shape id="_x0000_i1438" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image673.wmz» o:><img width=«39» height=«21» src=«dopb73973.zip» v:shapes="_x0000_i1438"> система решений не имеет, поэтому уравнение можно разделить на <shape id="_x0000_i1439" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image675.wmz» o:><img width=«39» height=«21» src=«dopb73974.zip» v:shapes="_x0000_i1439">
<shape id="_x0000_i1440" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image677.wmz» o:><img width=«209» height=«52» src=«dopb73975.zip» v:shapes="_x0000_i1440">.
Чтобы это уравнение имело решения необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант был неотрицателен.
<shape id="_x0000_i1441" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image679.wmz» o:><img width=«435» height=«45» src=«dopb73976.zip» v:shapes="_x0000_i1441">.
Итак, данная система равносильна системе
<shape id="_x0000_i1442" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image681.wmz» o:><img width=«217» height=«80» src=«dopb73977.zip» v:shapes="_x0000_i1442">.
Покажем, что при <shape id="_x0000_i1443" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image683.wmz» o:><img width=«139» height=«53» src=«dopb73978.zip» v:shapes="_x0000_i1443"> система имеет решения. Пусть <shape id="_x0000_i1444" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image685.wmz» o:><img width=«9» height=«16» src=«dopb73732.zip» v:shapes="_x0000_i1444"> - корень первого уравнения, тогда <shape id="_x0000_i1445" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image686.wmz» o:><img width=«41» height=«19» src=«dopb73979.zip» v:shapes="_x0000_i1445"> подставим во второе уравнение
<shape id="_x0000_i1446" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image688.wmz» o:><img width=«212» height=«24» src=«dopb73980.zip» v:shapes="_x0000_i1446">.
Обратим внимание на то, что в промежутке <shape id="_x0000_i1447" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image690.wmz» o:><img width=«115» height=«53» src=«dopb73981.zip» v:shapes="_x0000_i1447"> только положительные числа, значит, полученное уравнение имеет решения. Соответственно, имеет решение и вся система. Промежуток <shape id="_x0000_i1448" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image690.wmz» o:><img width=«115» height=«53» src=«dopb73981.zip» v:shapes="_x0000_i1448"> и есть множество значений, принимаемых выражением <shape id="_x0000_i1449" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image642.wmz» o:><img width=«59» height=«24» src=«dopb73959.zip» v:shapes="_x0000_i1449"> при условии, что
<shape id="_x0000_i1450" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image644.wmz» o:><img width=«121» height=«24» src=«dopb73960.zip» v:shapes="_x0000_i1450">.
В данном случае решение с помощью тригонометрической подстановки проще как в техническом, так и в идейном смысле. Не зная заранее идеи второго способа, трудно догадаться свести задачу о нахождении наибольшего и наименьшего значений выражения к решению системы с параметром.
Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значение выражения<shape id="_x0000_i1451" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image692.wmz» o:><img width=«83» height=«24» src=«dopb73982.zip» v:shapes="_x0000_i1451">, если <shape id="_x0000_i1452" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image694.wmz» o:><img width=«100» height=«24» src=«dopb73983.zip» v:shapes="_x0000_i1452"> [16].
Как в предыдущем примере, в этом случае самый удобный подход – тригонометрическая подстановка. Решение системы, состоящей из двух неравенств и одного уравнения с параметром, довольно сложно.
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Положим <shape id="_x0000_i1453" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image696.wmz» o:><img width=«293» height=«23» src=«dopb73984.zip» v:shapes="_x0000_i1453">. Геометрический смысл такой замены: для каждой точки <shape id="_x0000_i1454" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image698.wmz» o:><img width=«40» height=«23» src=«dopb73681.zip» v:shapes="_x0000_i1454"> кольца <shape id="_x0000_i1455" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image694.wmz» o:><img width=«100» height=«24» src=«dopb73983.zip» v:shapes="_x0000_i1455"> определяются расстояние <shape id="_x0000_i1456" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image699.wmz» o:><img width=«12» height=«13» src=«dopb73682.zip» v:shapes="_x0000_i1456"> до начала координат и угол <shape id="_x0000_i1457" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image047.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb73673.zip» v:shapes="_x0000_i1457">наклона вектора <shape id="_x0000_i1458" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image698.wmz» o:><img width=«40» height=«23» src=«dopb73681.zip» v:shapes="_x0000_i1458"> к положительному направлению оси абсцисс. Тогда неравенство <shape id="_x0000_i1459" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image694.wmz» o:><img width=«100» height=«24» src=«dopb73983.zip» v:shapes="_x0000_i1459"> будет выполнено при <shape id="_x0000_i1460" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image699.wmz» o:><img width=«12» height=«13» src=«dopb73682.zip» v:shapes="_x0000_i1460"><shape id="_x0000_i1461" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image700.wmz» o:><img width=«55» height=«25» src=«dopb73985.zip» v:shapes="_x0000_i1461">. Произведем замену в данном выражении
<shape id="_x0000_i1462" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image692.wmz» o:><img width=«83» height=«24» src=«dopb73982.zip» v:shapes="_x0000_i1462">=<shape id="_x0000_i1463" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image702.wmz» o:><img width=«240» height=«45» src=«dopb73986.zip» v:shapes="_x0000_i1463">.
Так как множество значений выражения <shape id="_x0000_i1464" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image704.wmz» o:><img width=«77» height=«41» src=«dopb73987.zip» v:shapes="_x0000_i1464"> – это отрезок <shape id="_x0000_i1465" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image706.wmz» o:><img width=«48» height=«45» src=«dopb73988.zip» v:shapes="_x0000_i1465">, то множество значений выражения <shape id="_x0000_i1466" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image708.wmz» o:><img width=«108» height=«45» src=«dopb73989.zip» v:shapes="_x0000_i1466"> – отрезок<shape id="_x0000_i1467" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image710.wmz» o:><img width=«43» height=«45» src=«dopb73990.zip» v:shapes="_x0000_i1467">.
Ответ: наименьшее значение <shape id="_x0000_i1468" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image712.wmz» o:><img width=«16» height=«41» src=«dopb73991.zip» v:shapes="_x0000_i1468">, наибольшее значение 3.
Пример 4. Среди всех решений системы
<shape id="_x0000_i1469" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image714.wmz» o:><img width=«85» height=«83» src=«dopb73992.zip» v:shapes="_x0000_i1469"> [42].
Найдите такие, при которых выражение <shape id="_x0000_i1470" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image716.wmz» o:><img width=«36» height=«16» src=«dopb73993.zip» v:shapes="_x0000_i1470"> принимает наибольшее значение.
Перепишем систему в виде
<shape id="_x0000_i1471" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image718.wmz» o:><img width=«121» height=«157» src=«dopb73994.zip» v:shapes="_x0000_i1471">
Так как сумма квадратов чисел <shape id="_x0000_i1472" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image720.wmz» o:><img width=«16» height=«41» src=«dopb73995.zip» v:shapes="_x0000_i1472"> и <shape id="_x0000_i1473" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image722.wmz» o:><img width=«16» height=«41» src=«dopb73996.zip» v:shapes="_x0000_i1473"> рана единице, то каждое из них по абсолютной величине не превосходит единицы, поэтому их можно рассматривать как синус и косинус некоторого аргумента. Вот почему будет законна подстановка <shape id="_x0000_i1474" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image724.wmz» o:><img width=«228» height=«41» src=«dopb73997.zip» v:shapes="_x0000_i1474">. Аналогично обосновывается введение замены <shape id="_x0000_i1475" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image726.wmz» o:><img width=«232» height=«41» src=«dopb73998.zip» v:shapes="_x0000_i1475">. Тогда неравенство системы перепишется в виде
<shape id="_x0000_i1476" type="#_x0000_t75" o:ole="" o:bullet=«t»><imagedata src=«15301.files/image728.wmz» o:><img width=«12» height=«23» src=«dopb73999.zip» alt="*" v:shapes="_x0000_i1476"> <shape id="_x0000_i1477" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image730.wmz» o:><img width=«449» height=«23» src=«dopb74000.zip» v:shapes="_x0000_i1477">
<shape id="_x0000_i1478" type="#_x0000_t75" o:ole="" o:bullet=«t»><imagedata src=«15301.files/image728.wmz» o:><img width=«12» height=«23» src=«dopb73999.zip» alt="*" v:shapes="_x0000_i1478"> <shape id="_x0000_i1479" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image732.wmz» o:><img width=«291» height=«21» src=«dopb74001.zip» v:shapes="_x0000_i1479">.
Запишем выражение <shape id="_x0000_i1480" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image716.wmz» o:><img width=«36» height=«16» src=«dopb73993.zip» v:shapes="_x0000_i1480"> в виде
<shape id="_x0000_i1481" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image734.wmz» o:><img width=«488» height=«93» src=«dopb74002.zip» v:shapes="_x0000_i1481">.
Наибольшее значение выражения <shape id="_x0000_i1482" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image716.wmz» o:><img width=«36» height=«16» src=«dopb73993.zip» v:shapes="_x0000_i1482"> достигается тогда и только тогда, когда
<shape id="_x0000_i1483" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image736.wmz» o:><img width=«439» height=«41» src=«dopb74003.zip» v:shapes="_x0000_i1483">
Найдем <shape id="_x0000_i1484" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image738.wmz» o:><img width=«61» height=«21» src=«dopb74004.zip» v:shapes="_x0000_i1484">
<shape id="_x0000_i1485" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image740.wmz» o:><img width=«219» height=«45» src=«dopb74005.zip» v:shapes="_x0000_i1485">. <shape id="_x0000_i1486" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image742.wmz» o:><img width=«217» height=«45» src=«dopb74006.zip» v:shapes="_x0000_i1486">.
<shape id="_x0000_i1487" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image744.wmz» o:><img width=«215» height=«45» src=«dopb74007.zip» v:shapes="_x0000_i1487">.
<shape id="_x0000_i1488" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image746.wmz» o:><img width=«217» height=«45» src=«dopb74008.zip» v:shapes="_x0000_i1488">.
Ответ: <shape id="_x0000_i1489" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image748.wmz» o:><img width=«157» height=«48» src=«dopb74009.zip» v:shapes="_x0000_i1489">.
Алгебраическое решение
Перепишем исходную систему в виде
<shape id="_x0000_i1490" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image750.wmz» o:><img width=«352» height=«157» src=«dopb74010.zip» v:shapes="_x0000_i1490">.
Сложим равенства полученной системы
<shape id="_x0000_i1491" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image752.wmz» o:><img width=«212» height=«49» src=«dopb74011.zip» v:shapes="_x0000_i1491">.
Сравним левые и правые части получившегося равенства и неравенства системы, получим
<shape id="_x0000_i1492" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image754.wmz» o:><img width=«361» height=«49» src=«dopb74012.zip» v:shapes="_x0000_i1492">
<shape id="_x0000_i1493" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image756.wmz» o:><img width=«405» height=«49» src=«dopb74013.zip» v:shapes="_x0000_i1493">
<shape id="_x0000_i1494" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image758.wmz» o:><img width=«511» height=«88» src=«dopb74014.zip» v:shapes="_x0000_i1494">.
Рассмотрим квадрат выражения <shape id="_x0000_i1495" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image716.wmz» o:><img width=«36» height=«16» src=«dopb73993.zip» v:shapes="_x0000_i1495">
<shape id="_x0000_i1496" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image760.wmz» o:><img width=«545» height=«25» src=«dopb74015.zip» v:shapes="_x0000_i1496">.
Наибольшее значение выражения <shape id="_x0000_i1497" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image762.wmz» o:><img width=«52» height=«25» src=«dopb74016.zip» v:shapes="_x0000_i1497">, а значит, наибольшее значение выражения <shape id="_x0000_i1498" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image716.wmz» o:><img width=«36» height=«16» src=«dopb73993.zip» v:shapes="_x0000_i1498"> имеет место тогда и только тогда, когда <shape id="_x0000_i1499" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image764.wmz» o:><img width=«63» height=«19» src=«dopb74017.zip» v:shapes="_x0000_i1499">, то есть <shape id="_x0000_i1500" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image766.wmz» o:><img width=«40» height=«19» src=«dopb74018.zip» v:shapes="_x0000_i1500">. Можно записать
<shape id="_x0000_i1501" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image768.wmz» o:><img width=«179» height=«41» src=«dopb74019.zip» v:shapes="_x0000_i1501">.
Подставим полученное выражение <shape id="_x0000_i1502" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image770.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb73934.zip» v:shapes="_x0000_i1502"> в первое уравнение исходной системы и найдем <shape id="_x0000_i1503" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image771.wmz» o:><img width=«13» height=«19» src=«dopb73935.zip» v:shapes="_x0000_i1503">
<shape id="_x0000_i1504" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image772.wmz» o:><img width=«436» height=«47» src=«dopb74020.zip» v:shapes="_x0000_i1504">.
Так как необходимо найти наибольшее значение выражения <shape id="_x0000_i1505" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image716.wmz» o:><img width=«36» height=«16» src=«dopb73993.zip» v:shapes="_x0000_i1505"> и <shape id="_x0000_i1506" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image770.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb73934.zip» v:shapes="_x0000_i1506"> и <shape id="_x0000_i1507" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image771.wmz» o:><img width=«13» height=«19» src=«dopb73935.zip» v:shapes="_x0000_i1507"> имеют одинаковый знак, то выбираем
<shape id="_x0000_i1508" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image774.wmz» o:><img width=«59» height=«44» src=«dopb74021.zip» v:shapes="_x0000_i1508">.
<shape id="_x0000_i1509" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image776.wmz» o:><img width=«156» height=«44» src=«dopb74022.zip» v:shapes="_x0000_i1509">.
Так как <shape id="_x0000_i1510" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image766.wmz» o:><img width=«40» height=«19» src=«dopb74018.zip» v:shapes="_x0000_i1510">, то <shape id="_x0000_i1511" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image778.wmz» o:><img width=«60» height=«44» src=«dopb74023.zip» v:shapes="_x0000_i1511">.
<shape id="_x0000_i1512" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image780.wmz» o:><img width=«155» height=«44» src=«dopb74024.zip» v:shapes="_x0000_i1512">.
Ответ: <shape id="_x0000_i1513" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image748.wmz» o:><img width=«157» height=«48» src=«dopb74009.zip» v:shapes="_x0000_i1513">.
Здесь решение с помощью тригонометрической подстановки компактнее, быстрее приводит к результату. Единственный и важный момент, на который следует указать учащимся, является необходимость обоснования введения тригонометрической подстановки. Тот факт, что, например, <shape id="_x0000_i1514" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image720.wmz» o:><img width=«16» height=«41» src=«dopb73995.zip» v:shapes="_x0000_i1514"> и <shape id="_x0000_i1515" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image722.wmz» o:><img width=«16» height=«41» src=«dopb73996.zip» v:shapes="_x0000_i1515"> по модулю не превосходят единицы, можно проиллюстрировать графически. Уравнение <shape id="_x0000_i1516" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image782.wmz» o:><img width=«77» height=«21» src=«dopb74025.zip» v:shapes="_x0000_i1516"> задает окружность с центром в начале координат и радиуса 2.
Из рисунка видно, что <shape id="_x0000_i1517" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image770.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb73934.zip» v:shapes="_x0000_i1517"> и <shape id="_x0000_i1518" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image784.wmz» o:><img width=«13» height=«19» src=«dopb73935.zip» v:shapes="_x0000_i1518"> принимают значения из отрезка <shape id="_x0000_i1519" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image785.wmz» o:><img width=«48» height=«23» src=«dopb74026.zip» v:shapes="_x0000_i1519">, тогда <shape id="_x0000_i1520" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image720.wmz» o:><img width=«16» height=«41» src=«dopb73995.zip» v:shapes="_x0000_i1520"> и <shape id="_x0000_i1521" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image722.wmz» o:><img width=«16» height=«41» src=«dopb73996.zip» v:shapes="_x0000_i1521"> изменяются на отрезке <shape id="_x0000_i1522" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image787.wmz» o:><img width=«43» height=«23» src=«dopb74027.zip» v:shapes="_x0000_i1522">.
<shapetype id="_x0000_t202" coordsize=«21600,21600» o:spt=«202» path=«m,l,21600r21600,l21600,xe»><path gradientshapeok=«t» o:connecttype=«rect»><img width=«313» height=«232» src=«dopb74028.zip» v:shapes="_x0000_s1038 _x0000_s1026 _x0000_s1027 _x0000_s1028 _x0000_s1029 _x0000_s1030 _x0000_s1031 _x0000_s1032 _x0000_s1033 _x0000_s1034 _x0000_s1035 _x0000_s1036 _x0000_s1037">
§5. Решение задач с параметрами
Решение задач с параметрами – один из труднейших разделов школьного курса математики. Здесь, кроме использования определенных алгоритмов решения уравнений или неравенств, приходится думать об удачной классификации, следить за тем, чтобы не пропустить много тонкостей. Уравнения и неравенства с параметрами – это тема, на которой проверяется подлинное понимание учеником материала. Поэтому, например, на вступительных экзаменах в вузы с повышенными требованиями по математике уравнения и неравенства с параметрами часто включают в варианты письменных работ.
Пример 1.Решите и исследуйте уравнение
<shape id="_x0000_i1523" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image790.wmz» o:><img width=«157» height=«28» src=«dopb74029.zip» v:shapes="_x0000_i1523">[45].
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Так как <shape id="_x0000_i1524" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image069.wmz» o:><img width=«65» height=«21» src=«dopb73684.zip» v:shapes="_x0000_i1524"> , то <shape id="_x0000_i1525" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image792.wmz» o:><img width=«40» height=«27» src=«dopb73658.zip» v:shapes="_x0000_i1525">, поэтому положим <shape id="_x0000_i1526" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image793.wmz» o:><img width=«155» height=«45» src=«dopb74030.zip» v:shapes="_x0000_i1526">. Уравнение примет вид
<shape id="_x0000_i1527" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image795.wmz» o:><img width=«565» height=«45» src=«dopb74031.zip» v:shapes="_x0000_i1527">.
Если <shape id="_x0000_i1528" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image797.wmz» o:><img width=«55» height=«28» src=«dopb74032.zip» v:shapes="_x0000_i1528">, то данное уравнение корней не имеет.
Пусть <shape id="_x0000_i1529" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image799.wmz» o:><img width=«95» height=«25» src=«dopb74033.zip» v:shapes="_x0000_i1529">. Так как <shape id="_x0000_i1530" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image801.wmz» o:><img width=«91» height=«45» src=«dopb73813.zip» v:shapes="_x0000_i1530">, то <shape id="_x0000_i1531" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image802.wmz» o:><img width=«125» height=«45» src=«dopb74034.zip» v:shapes="_x0000_i1531">. При этих значениях <shape id="_x0000_i1532" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image804.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb73673.zip» v:shapes="_x0000_i1532"> имеем
<shape id="_x0000_i1533" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image805.wmz» o:><img width=«151» height=«45» src=«dopb74035.zip» v:shapes="_x0000_i1533">.
То есть для того чтобы уравнение имело корни необходимо и достаточно, чтобы
<shape id="_x0000_i1534" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image807.wmz» o:><img width=«204» height=«44» src=«dopb74036.zip» v:shapes="_x0000_i1534">.
Значит, если <shape id="_x0000_i1535" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image809.wmz» o:><img width=«95» height=«23» src=«dopb74037.zip» v:shapes="_x0000_i1535">, то данное уравнение корней не имеет.
Пусть <shape id="_x0000_i1536" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image811.wmz» o:><img width=«113» height=«41» src=«dopb74038.zip» v:shapes="_x0000_i1536">, то есть <shape id="_x0000_i1537" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image813.wmz» o:><img width=«168» height=«45» src=«dopb74039.zip» v:shapes="_x0000_i1537">. Отсюда <shape id="_x0000_i1538" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image815.wmz» o:><img width=«69» height=«19» src=«dopb74040.zip» v:shapes="_x0000_i1538">. Тогда данное уравнение имеет один корень
<shape id="_x0000_i1539" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image817.wmz» o:><img width=«547» height=«51» src=«dopb74041.zip» v:shapes="_x0000_i1539">.
Если <shape id="_x0000_i1540" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image819.wmz» o:><img width=«349» height=«45» src=«dopb74042.zip» v:shapes="_x0000_i1540">, то исходное уравнение имеет два корня
<shape id="_x0000_i1541" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image821.wmz» o:><img width=«247» height=«49» src=«dopb74043.zip» v:shapes="_x0000_i1541">.
<shape id="_x0000_i1542" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image823.wmz» o:><img width=«295» height=«44» src=«dopb74044.zip» v:shapes="_x0000_i1542">,<shape id="_x0000_i1543" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image728.wmz» o:><img width=«12» height=«23» src=«dopb73999.zip» v:shapes="_x0000_i1543"><shape id="_x0000_i1544" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image825.wmz» o:><img width=«271» height=«49» src=«dopb74045.zip» v:shapes="_x0000_i1544">.
Ответ: Если <shape id="_x0000_i1545" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image827.wmz» o:><img width=«85» height=«19» src=«dopb74046.zip» v:shapes="_x0000_i1545"> или <shape id="_x0000_i1546" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image829.wmz» o:><img width=«88» height=«23» src=«dopb74047.zip» v:shapes="_x0000_i1546">, то данное уравнение корней не имеет.
Если <shape id="_x0000_i1547" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image831.wmz» o:><img width=«69» height=«19» src=«dopb74040.zip» v:shapes="_x0000_i1547">, то уравнение имеет единственный корень <shape id="_x0000_i1548" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image832.wmz» o:><img width=«108» height=«47» src=«dopb74048.zip» v:shapes="_x0000_i1548">.
Если <shape id="_x0000_i1549" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image834.wmz» o:><img width=«72» height=«23» src=«dopb74049.zip» v:shapes="_x0000_i1549">, то уравнение имеет два корня <shape id="_x0000_i1550" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image836.wmz» o:><img width=«108» height=«47» src=«dopb74050.zip» v:shapes="_x0000_i1550">.
Алгебраическое решение <shape id="_x0000_i1551" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image838.wmz» o:><img width=«585» height=«75» src=«dopb74051.zip» v:shapes="_x0000_i1551">.
Пусть <shape id="_x0000_i1552" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image840.wmz» o:><img width=«108» height=«47» src=«dopb74052.zip» v:shapes="_x0000_i1552">. Выясним, при каких значениях <shape id="_x0000_i1553" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image842.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb73934.zip» v:shapes="_x0000_i1553"> выполняется неравенство <shape id="_x0000_i1554" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image843.wmz» o:><img width=«39» height=«17» src=«dopb74053.zip» v:shapes="_x0000_i1554">, то есть решим неравенство
<shape id="_x0000_i1555" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image845.wmz» o:><img width=«472» height=«77» src=«dopb74054.zip» v:shapes="_x0000_i1555">
<shape id="_x0000_i1556" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image847.wmz» o:><img width=«168» height=«77» src=«dopb74055.zip» v:shapes="_x0000_i1556">.
Пусть <shape id="_x0000_i1557" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image849.wmz» o:><img width=«108» height=«47» src=«dopb74048.zip» v:shapes="_x0000_i1557">, тогда рассмотрим неравенство
<shape id="_x0000_i1558" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image850.wmz» o:><img width=«599» height=«107» src=«dopb74056.zip» v:shapes="_x0000_i1558">
<shape id="_x0000_i1559" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image852.wmz» o:><img width=«340» height=«107» src=«dopb74057.zip» v:shapes="_x0000_i1559">.
Ответ: Если <shape id="_x0000_i1560" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image827.wmz» o:><img width=«85» height=«19» src=«dopb74046.zip» v:shapes="_x0000_i1560"> или <shape id="_x0000_i1561" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image829.wmz» o:><img width=«88» height=«23» src=«dopb74047.zip» v:shapes="_x0000_i1561">, то данное уравнение корней не имеет.
Если <shape id="_x0000_i1562" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image831.wmz» o:><img width=«69» height=«19» src=«dopb74040.zip» v:shapes="_x0000_i1562">, то уравнение имеет единственный корень <shape id="_x0000_i1563" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image832.wmz» o:><img width=«108» height=«47» src=«dopb74048.zip» v:shapes="_x0000_i1563">.
Если <shape id="_x0000_i1564" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image834.wmz» o:><img width=«72» height=«23» src=«dopb74049.zip» v:shapes="_x0000_i1564">, то уравнение имеет два корня <shape id="_x0000_i1565" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image836.wmz» o:><img width=«108» height=«47» src=«dopb74050.zip» v:shapes="_x0000_i1565">.
В данном случае оба решения равноценны, можно решать любым способом. Зато уже в следующем примере решение с помощью тригонометрической подстановки проще.
Пример 2. При каких а неравенство
<shape id="_x0000_i1566" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image854.wmz» o:><img width=«149» height=«24» src=«dopb74058.zip» v:shapes="_x0000_i1566">
имеет решение [13].
Неравенство <shape id="_x0000_i1567" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image854.wmz» o:><img width=«149» height=«24» src=«dopb74058.zip» v:shapes="_x0000_i1567"> имеет решение при а большем наименьшего значения выражения <shape id="_x0000_i1568" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image856.wmz» o:><img width=«69» height=«48» src=«dopb74059.zip» v:shapes="_x0000_i1568">.
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Положим <shape id="_x0000_i1569" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image858.wmz» o:><img width=«348» height=«23» src=«dopb74060.zip» v:shapes="_x0000_i1569">, тогда
<shape id="_x0000_i1570" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image860.wmz» o:><img width=«523» height=«48» src=«dopb74061.zip» v:shapes="_x0000_i1570">
<shape id="_x0000_i1571" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image862.wmz» o:><img width=«315» height=«45» src=«dopb74062.zip» v:shapes="_x0000_i1571">, где <shape id="_x0000_i1572" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image864.wmz» o:><img width=«144» height=«41» src=«dopb74063.zip» v:shapes="_x0000_i1572">.
Оценим выражение <shape id="_x0000_i1573" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image866.wmz» o:><img width=«113» height=«41» src=«dopb74064.zip» v:shapes="_x0000_i1573">
<shape id="_x0000_i1574" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image868.wmz» o:><img width=«191» height=«26» src=«dopb74065.zip» v:shapes="_x0000_i1574">
<shape id="_x0000_i1575" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image870.wmz» o:><img width=«199» height=«41» src=«dopb74066.zip» v:shapes="_x0000_i1575">
<shape id="_x0000_i1576" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image872.wmz» o:><img width=«221» height=«41» src=«dopb74067.zip» v:shapes="_x0000_i1576">
<shape id="_x0000_i1577" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image874.wmz» o:><img width=«103» height=«41» src=«dopb74068.zip» v:shapes="_x0000_i1577">.
Наименьшее значение выражения<shape id="_x0000_i1578" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image856.wmz» o:><img width=«69» height=«48» src=«dopb74059.zip» v:shapes="_x0000_i1578"> равно <shape id="_x0000_i1579" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image876.wmz» o:><img width=«28» height=«41» src=«dopb74069.zip» v:shapes="_x0000_i1579">. Значит, при <shape id="_x0000_i1580" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image878.wmz» o:><img width=«52» height=«41» src=«dopb74070.zip» v:shapes="_x0000_i1580"> неравенство имеет решение.
Ответ: при <shape id="_x0000_i1581" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image878.wmz» o:><img width=«52» height=«41» src=«dopb74070.zip» v:shapes="_x0000_i1581"> неравенство имеет решение.
Алгебраическое решение
Если <shape id="_x0000_i1582" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image880.wmz» o:><img width=«47» height=«24» src=«dopb74071.zip» v:shapes="_x0000_i1582">, то неравенство примет вид
<shape id="_x0000_i1583" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image882.wmz» o:><img width=«80» height=«21» src=«dopb74072.zip» v:shapes="_x0000_i1583">.
Значит, при <shape id="_x0000_i1584" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image884.wmz» o:><img width=«47» height=«19» src=«dopb74073.zip» v:shapes="_x0000_i1584"> неравенство имеет решение.
Поделим числитель и знаменатель на <shape id="_x0000_i1585" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image886.wmz» o:><img width=«47» height=«24» src=«dopb74074.zip» v:shapes="_x0000_i1585">, получим
<shape id="_x0000_i1586" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image888.wmz» o:><img width=«87» height=«104» src=«dopb74075.zip» v:shapes="_x0000_i1586">.
Введем замену <shape id="_x0000_i1587" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image890.wmz» o:><img width=«39» height=«44» src=«dopb74076.zip» v:shapes="_x0000_i1587">, тогда
<shape id="_x0000_i1588" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image892.wmz» o:><img width=«271» height=«44» src=«dopb74077.zip» v:shapes="_x0000_i1588">.
Найдем наименьшее значение выражения <shape id="_x0000_i1589" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image894.wmz» o:><img width=«43» height=«41» src=«dopb74078.zip» v:shapes="_x0000_i1589">.
<shape id="_x0000_i1590" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image896.wmz» o:><img width=«417» height=«41» src=«dopb74079.zip» v:shapes="_x0000_i1590">
<shape id="_x0000_i1591" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image898.wmz» o:><img width=«376» height=«45» src=«dopb74080.zip» v:shapes="_x0000_i1591">.
То есть наименьшее значение выражения <shape id="_x0000_i1592" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image894.wmz» o:><img width=«43» height=«41» src=«dopb74078.zip» v:shapes="_x0000_i1592"> равно <shape id="_x0000_i1593" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image900.wmz» o:><img width=«28» height=«41» src=«dopb74081.zip» v:shapes="_x0000_i1593">. Тогда наименьшее значение выражения <shape id="_x0000_i1594" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image902.wmz» o:><img width=«56» height=«44» src=«dopb74082.zip» v:shapes="_x0000_i1594">, а значит наименьшее значение выражения <shape id="_x0000_i1595" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image888.wmz» o:><img width=«87» height=«104» src=«dopb74075.zip» v:shapes="_x0000_i1595"> равно <shape id="_x0000_i1596" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image904.wmz» o:><img width=«28» height=«41» src=«dopb74069.zip» v:shapes="_x0000_i1596">.
Ответ: при <shape id="_x0000_i1597" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image878.wmz» o:><img width=«52» height=«41» src=«dopb74070.zip» v:shapes="_x0000_i1597"> неравенство имеет решение.
Для данного задания самый удобный метод решения – решение с помощью тригонометрической подстановки. Во втором случае возникает проблема с тем, чтобы найти наименьшее значение выражения <shape id="_x0000_i1598" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image894.wmz» o:><img width=«43» height=«41» src=«dopb74078.zip» v:shapes="_x0000_i1598">. Если учащиеся умеют находить наименьшее значение функции с помощью производной, то выполнив все вычисления и проведя исследование, они справятся с задачей. Если подобное задание решать до изучения производной, то могут возникнуть трудности с определением наименьшего значения. В работе предложен прием сведения к уравнению с параметром, подробно описанный в предыдущем параграфе.
Глава 3
Опытное преподавание темы «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач»
на факультативных занятиях по математике
Одной из задач дипломной работы является опытное испытание эффективности разработанной методики изучения тригонометрической подстановки как метода решения алгебраических уравнений, неравенств, их систем, а также задач на отыскание наибольшего и наименьшего значений функции. Это испытание применяется для объективной и достоверной проверки гипотезы и предполагает одновременное использование целого ряда методов, например, наблюдения, диагностирующих контрольных работ и других.
Тригонометрическая подстановка как метод решения алгебраических задач рассматривается в курсе математики для классов с углубленным изучением предмета в плане ознакомления [57]. Но в силу значимости материала для развития творческих способностей учащихся и освоения ими эффективного приема и метода решения сложных конкурсных заданий целесообразно организовать более детальную работу с тригонометрической подстановкой. Поэтому возникает необходимость в разработке и проведении факультативных занятий, посвященных данной теме.
Опытное преподавание темы «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач» было осуществлено в 2005 году в 10 «Б» классе Физико-математического лицея. Цели опытного преподавания: исследование возможности введения на факультативных занятиях в классы с углубленным изучением математики тригонометрической подстановки и проверка эффективности разработанной методики преподавания. Этапы работы:
1. Разработка факультативного курса на тему: «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач» с учащимися классов с углубленным изучением математики.
2. Проведение разработанного факультативного курса.
3. Проведение диагностирующей контрольной работы.
4. Проведение диагностирующей домашней контрольной работы.
5. Анализ полученных результатов опытной работы.
Этап 1. Разработка факультативного курса на тему: «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач» » с учащимися классов с углубленным изучением математики.
Факультативный курс был разработан на основе сравнительного анализа решения большого числа задач традиционным способом и с помощью тригонометрической подстановки. Данный курс состоит из пяти занятий, которые желательно провести в 10 классе сразу после изучения тригонометрии или в 11 классе в связи с подготовкой учащихся к итоговой аттестации и поступлению в вузы. В процессе разработки и проведения факультативных занятий были поставлены следующие цели:
1. Продолжить изучение тригонометрической подстановки, но уже на факультативных занятиях.
2. Углубить знания о методах решения алгебраических задач.
3. Показать применение различных методов решения.
4. Провести сравнительный анализ этих решений.
5. Способствовать формированию у учащихся умения видеть рациональный метод решения математических задач и обосновывать его применение.
6. Показать, как аппарат тригонометрии может быть применен для решения задач алгебры, усилить связи между алгеброй и тригонометрией.
продолжение
--PAGE_BREAK--7. Развитие логического мышления.
8. Формирование настойчивости, целеустремленности и трудолюбия через решение сложных конкурсных задач.
Этап 2. Проведение разработанного факультативного курса.
Разработанные занятия проводились один раз в неделю. Всего было проведено 5 занятий. Ниже предлагается разработка одного занятия. С разработками остальных занятий можно ознакомиться в приложении к работе.
Занятие №2.
Тема: применение тригонометрической подстановки при решении уравнений.
Цель:
1. Продолжить изучение применения тригонометрической подстановки для решения иррациональных уравнений в случае, когда переменная <shape id="_x0000_i1599" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image188.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb73656.zip» v:shapes="_x0000_i1599"> может принимать любые действительные значения.
2. Выявить виды рациональных уравнений, для решения которых применяется тригонометрическая подстановка.
3. Провести сравнительный анализ решения рациональных уравнений с помощью тригонометрической подстановки и без нее, выбрать наиболее рациональный метод решения.
4. Рассмотреть применение тригонометрической подстановки как одного из способов решения задач с параметрами.
Содержание:
1. Решить уравнение <shape id="_x0000_i1600" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image244.wmz» o:><img width=«153» height=«28» src=«dopb73768.zip» v:shapes="_x0000_i1600">.
Перед началом решения задачи желательно обсудить с учащимися, какие возможные значения может принимать переменная <shape id="_x0000_i1601" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image188.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb73656.zip» v:shapes="_x0000_i1601"> и чем данное иррациональное уравнение отличается от ранее решенных уравнений. Целесообразно, чтобы при решении данного уравнения класс был разделен на три группы: учащиеся, которые решают с помощью тригонометрической подстановки, с помощью замены <shape id="_x0000_i1602" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image303.wmz» o:><img width=«95» height=«48» src=«dopb73797.zip» v:shapes="_x0000_i1602"> и возведением в квадрат. Решение задачи завершается тем, что заслушивается решение каждым способом, после чего происходит обсуждение сильных и слабых сторон каждого метода решения.
Перед тем, как приступить к рассмотрению рациональных уравнений, желательно вспомнить с учащимися, какие проблемы возникают при решении рациональных уравнений. Во-вторых, следует обратить внимание учащихся, что решение этих заданий следует начинать с исследования того, какие значения может принять переменная <shape id="_x0000_i1603" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image188.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb73656.zip» v:shapes="_x0000_i1603"> с целью обоснования возможности введения тригонометрической подстановки. В первом примере желательно все необходимые рассуждения провести вместе с классом.
2. Выяснить, сколько корней имеет уравнение <shape id="_x0000_i1604" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image350.wmz» o:><img width=«205» height=«28» src=«dopb73820.zip» v:shapes="_x0000_i1604">.
Организовать работу с данным уравнением можно как в предыдущем случае, разделив класс на две группы, решающих алгебраическим способом и с помощью тригонометрической подстановки. После чего целесообразно организовать сравнительный анализ обоих способов решения.
3. Решить уравнение <shape id="_x0000_i1605" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image412.wmz» o:><img width=«119» height=«24» src=«dopb73850.zip» v:shapes="_x0000_i1605">.
4. Сколько решений имеет уравнение в зависимости от параметра
<shape id="_x0000_i1606" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image905.wmz» o:><img width=«140» height=«28» src=«dopb74083.zip» v:shapes="_x0000_i1606">.
На этом примере желательно дать учащимся еще один способ решения задач с параметрами – с помощью тригонометрической подстановки и обсудить, как по структуре уравнения с параметром можно понять, что метод тригонометрической подстановки можно применить к данному уравнению.
Домашнее задание:
1. Решить уравнение <shape id="_x0000_i1607" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image907.wmz» o:><img width=«191» height=«48» src=«dopb74084.zip» v:shapes="_x0000_i1607">.
2. Выяснить, сколько корней имеет уравнение <shape id="_x0000_i1608" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image909.wmz» o:><img width=«187» height=«24» src=«dopb74085.zip» v:shapes="_x0000_i1608">.
Литература: [3], [4], [12], [13], [23]-[25], [37]-[40], [45], [55]-[57].
Этап 3. Проведение диагностирующей контрольной работы.
Диагностирующая контрольная работа была организована после проведения всех занятий, предусмотренных факультативом, и заняла 1 урок. Учащимся было предложено для обязательного решения 3 задачи и одно задание было вынесено на дополнительную оценку. При этом школьникам была предоставлена возможность самостоятельно выбрать метод решения каждой задачи. Цели контрольной работы:
1. Выявить степень усвоения учащимися материала.
2. Определить понимание необходимости обоснования введения тригонометрической подстановки.
3. Сравнить эффективность решения с помощью тригонометрической подстановки и без нее.
4. Выявить тот материал и те задания, которые вызывают наибольшие затруднения у учащихся.
План:
1. Организация учащихся на выполнение контрольной работы.
2. Выполнение работы по двум вариантам.
Содержание:
I Вариант
1. Решить уравнение <shape id="_x0000_i1609" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image911.wmz» o:><img width=«128» height=«27» src=«dopb74086.zip» v:shapes="_x0000_i1609">
2. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения <shape id="_x0000_i1610" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image607.wmz» o:><img width=«37» height=«19» src=«dopb73942.zip» v:shapes="_x0000_i1610"> в области <shape id="_x0000_i1611" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image913.wmz» o:><img width=«132» height=«24» src=«dopb73943.zip» v:shapes="_x0000_i1611">.
3. Среди всех решений (а, b, с, d) системы найти такие, при которых выражение а+с принимает наибольшее значение
<shape id="_x0000_i1612" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image914.wmz» o:><img width=«92» height=«83» src=«dopb74087.zip» v:shapes="_x0000_i1612">.
4. Сколько решений имеет уравнение в зависимости от параметра
<shape id="_x0000_i1613" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image916.wmz» o:><img width=«103» height=«27» src=«dopb74088.zip» v:shapes="_x0000_i1613">.
II Вариант
1. Решить уравнение <shape id="_x0000_i1614" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image918.wmz» o:><img width=«141» height=«27» src=«dopb74089.zip» v:shapes="_x0000_i1614">.
2. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения <shape id="_x0000_i1615" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image920.wmz» o:><img width=«51» height=«41» src=«dopb74090.zip» v:shapes="_x0000_i1615"> в области <shape id="_x0000_i1616" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image922.wmz» o:><img width=«79» height=«24» src=«dopb74091.zip» v:shapes="_x0000_i1616">.
3. Среди всех решений (а, b, с, d) системы найти такие, при которых выражение а+с принимает наибольшее значение
<shape id="_x0000_i1617" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image924.wmz» o:><img width=«104» height=«83» src=«dopb74092.zip» v:shapes="_x0000_i1617">.
4. Сколько решений имеет уравнение в зависимости от параметра
<shape id="_x0000_i1618" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image916.wmz» o:><img width=«103» height=«27» src=«dopb74088.zip» v:shapes="_x0000_i1618">.
Оценивание: Правильно выполненное и аргументированное решение оценивалось знаком «+». Правильно выполненное решение с частичным обоснованием введения тригонометрической подстановки – знаком «<shape id="_x0000_i1619" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image926.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb74093.zip» v:shapes="_x0000_i1619">». Правильно выполненное решение без обоснования применения тригонометрической подстановки, но с указанием промежутка изменения <shape id="_x0000_i1620" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image047.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb73673.zip» v:shapes="_x0000_i1620"> – знаком «*». Правильно выполненное решение без обоснования применения тригонометрической подстановки и без указания промежутка изменения <shape id="_x0000_i1621" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image047.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb73673.zip» v:shapes="_x0000_i1621"> – знаком «<shape id="_x0000_i1622" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image928.wmz» o:><img width=«17» height=«41» src=«dopb74094.zip» v:shapes="_x0000_i1622">». Решение с ошибками – знаком «<shape id="_x0000_i1623" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image930.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb74095.zip» v:shapes="_x0000_i1623">». Отсутствие решения – знаком «–». Буква «д» рядом с одним из указанных выше знаков означает, что учащийся решал задание, не прибегая к тригонометрической подстановке. Буква «к» — учащийся в решении комбинирует тригонометрическую подстановку с другим способом решения. Буква «с» — учащийся представил два решения: с помощью тригонометрической подстановки и без нее.
Результаты: контрольная работа была написана 21 учеником класса из 22. Начнем с разбора обязательной части контрольной работы.
Первое задание – решение иррационального уравнения – все учащиеся выполнили с помощью тригонометрической подстановки, причем во всех работах было представлено полное обоснование возможности введения этой подстановки. В восьми работах решение оказалось с ошибками. Все учащиеся, использовавшие подстановку <shape id="_x0000_i1664" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image932.wmz» o:><img width=«69» height=«19» src=«dopb74096.zip» v:shapes="_x0000_i1664">, где <shape id="_x0000_i1665" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image934.wmz» o:><img width=«91» height=«45» src=«dopb74097.zip» v:shapes="_x0000_i1665">, допустили ошибки. Это было связано с тем, что в результате преобразований исходного уравнения в правой части получалась формула синуса тройного аргумента с отрицательным знаком, который был утерян. Потерю знака удалось избежать тем учащимся, которые выбрали подстановку <shape id="_x0000_i1666" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image936.wmz» o:><img width=«72» height=«19» src=«dopb74098.zip» v:shapes="_x0000_i1666">, где <shape id="_x0000_i1667" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image938.wmz» o:><img width=«63» height=«23» src=«dopb73665.zip» v:shapes="_x0000_i1667">. Ошибки в решении при такой подстановке были связаны с неверным отбором корней.
Второе и третье задания были посвящены нахождению наибольшего и наименьшего значений функции.
Второе задание всеми учащимися было решено верно, при этом в качестве метода решения был выбран метод тригонометрической подстановки. Но в отличие от решения первого задания, во втором только двое учащихся дали аргументированное решение с полным обоснованием возможности введения тригонометрической подстановки. В одной работе эта возможность не получила достаточно полного обоснования. Остальные восемнадцать учащихся приступили к решению без доказательства возможности введения замены, причем из них только один верно указал, что <shape id="_x0000_i1668" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image939.wmz» o:><img width=«72» height=«23» src=«dopb74099.zip» v:shapes="_x0000_i1668">.
К решению третьего задания приступили двадцать учащихся из двадцати одного. Из них трое решали алгебраическим способом и полностью справились с решением. Один ученик начал решение алгебраическим способом, получил промежуточный результат, который использовал при решении с помощью тригонометрической подстановки, но все решение не было доведено до конца. Шестнадцать учащихся применили метод тригонометрической подстановки для решения, но ни в одной из этих работ не было обоснования введения этой подстановки, и только четверо указали, что <shape id="_x0000_i1669" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image941.wmz» o:><img width=«89» height=«23» src=«dopb74100.zip» v:shapes="_x0000_i1669">. Из шестнадцати работ шесть содержат ошибки. В трех решение было завершено после того, как было найдено наибольшее значение выражения, в то время как задание состояло в том, чтобы найти такие решения системы, при которых данное выражение принимает наибольшее значение. В остальных трех работах были допущены вычислительные ошибки.
Перейдем к разбору дополнительного задания. Оно содержало уравнение с параметром, для которого требовалось исследовать количество решений в зависимости от параметра. Из двадцати одного ученика к заданию на дополнительную оценку приступили двадцать человек, из них половина верно справилась с ним. Семеро из верно решивших учащихся опирались на графическую иллюстрацию, трое – использовали алгебраический подход. Из не решивших десяти человек семеро привели исходное уравнение с помощью тригонометрической подстановки к виду <shape id="_x0000_i1670" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image943.wmz» o:><img width=«117» height=«45» src=«dopb74101.zip» v:shapes="_x0000_i1670"> и продолжили решение для <shape id="_x0000_i1671" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image945.wmz» o:><img width=«91» height=«45» src=«dopb74097.zip» v:shapes="_x0000_i1671">. Они не учли, что аргумент правой части равенства <shape id="_x0000_i1672" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image946.wmz» o:><img width=«125» height=«45» src=«dopb74034.zip» v:shapes="_x0000_i1672">. Трое не рассмотрели все возможные случаи.
Этап 3. Проведение диагностирующей домашней контрольной работы.
Домашняя контрольная работа была проведена после завершающего четвертого занятия перед написанием итоговой контрольной работы.
Содержание:
1. Решите уравнение <shape id="_x0000_i1673" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image947.wmz» o:><img width=«145» height=«47» src=«dopb74102.zip» v:shapes="_x0000_i1673">.
2. Решите уравнение <shape id="_x0000_i1674" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image949.wmz» o:><img width=«181» height=«28» src=«dopb74103.zip» v:shapes="_x0000_i1674">.
3. Решите уравнение <shape id="_x0000_i1675" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image951.wmz» o:><img width=«208» height=«25» src=«dopb74104.zip» v:shapes="_x0000_i1675">.
4. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения <shape id="_x0000_i1676" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image953.wmz» o:><img width=«59» height=«24» src=«dopb73959.zip» v:shapes="_x0000_i1676"> в области <shape id="_x0000_i1677" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image954.wmz» o:><img width=«121» height=«24» src=«dopb73960.zip» v:shapes="_x0000_i1677">.
Результаты:
Первые три задания были посвящены решению иррациональных уравнений. Причем решить первое уравнение было рекомендовано двумя способами: с помощью тригонометрической подстановки и без нее. Это было сделано с той целью, чтобы показать учащимся: не всегда введение тригонометрической подстановки упрощает решение. Иногда применение стандартного метода для решения задач оказывается более эффективным. Таким образом, уравнение было призвано обратить внимание учащихся не необходимость обдуманного введения тригонометрической подстановки. Пример не вызвал серьезных затруднений, из восемнадцати работ только в одной были ошибки. Как правило, для решения учащиеся выбирали и обосновывали подстановку
<shape id="_x0000_i1686" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image955.wmz» o:><img width=«159» height=«45» src=«dopb73811.zip» v:shapes="_x0000_i1686">.
Одним учащимся был предложен другой вариант тригонометрической подстановки
<shape id="_x0000_i1687" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image956.wmz» o:><img width=«257» height=«45» src=«dopb74105.zip» v:shapes="_x0000_i1687">,
но само решение оказалось более громоздким.
Со вторым заданием справились все учащиеся.
В третьем задании ошибки возникли у трех учащихся из восемнадцати и были связаны с неверным отбором корней.
Вновь наибольшие затруднения вызвало задание на нахождение наибольшего и наименьшего значений выражения. Даже среди тех, кто получил верный ответ, немногие обосновали введение тригонометрической подстановки.
Этап 4. Анализ полученных результатов опытной работы.
Результаты контрольной и домашней контрольной работ можно представить в виде диаграмм.
продолжение
--PAGE_BREAK--Процент учащихся, выбравших тригонометрическую подстановку
<shape id="_x0000_i1688" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image958.wmz» o:><img width=«288» height=«192» src=«dopb74106.zip» v:shapes="_x0000_i1688">\s<shape id="_x0000_i1689" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image960.wmz» o:><img width=«288» height=«192» src=«dopb74107.zip» v:shapes="_x0000_i1689">\s
В основном в качестве метода решения предложенных алгебраических задач учащиеся выбирали метод тригонометрической подстановки. Другим способом решали, если задание состояло в том, чтобы найти наибольшее значение выражения при заданных в системе условиях (как в контрольной работе) или если было рекомендовано решать другим способом (как в домашней контрольной работе).
Процент учащихся, верно справившихся с заданиями
<shape id="_x0000_i1690" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image962.wmz» o:><img width=«288» height=«192» src=«dopb74108.zip» v:shapes="_x0000_i1690">\s<shape id="_x0000_i1691" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image964.wmz» o:><img width=«288» height=«192» src=«dopb74109.zip» v:shapes="_x0000_i1691">\s
Из диаграмм видно, что наибольшие затруднения вызывали у учащихся задания двух типов. Во – первых, задания на нахождение наибольшего и наименьшего значений выражения. Во – вторых, иррациональные уравнения, область допустимых значений которых можно представить неравенством <shape id="_x0000_i1692" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image966.wmz» o:><img width=«47» height=«27» src=«dopb74110.zip» v:shapes="_x0000_i1692">, где <shape id="_x0000_i1693" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image968.wmz» o:><img width=«36» height=«19» src=«dopb74111.zip» v:shapes="_x0000_i1693">. А вот иррациональные уравнения, область допустимых значений которых определяется неравенством <shape id="_x0000_i1694" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image240.wmz» o:><img width=«40» height=«27» src=«dopb73658.zip» v:shapes="_x0000_i1694">, традиционно решаются лучше.
Процент учащихся, обосновавших введение тригонометрической подстановки
<shape id="_x0000_i1695" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image970.wmz» o:><img width=«288» height=«192» src=«dopb74112.zip» v:shapes="_x0000_i1695">\s<shape id="_x0000_i1696" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image972.wmz» o:><img width=«288» height=«192» src=«dopb74113.zip» v:shapes="_x0000_i1696">\s
Во всех заданиях, где учащимся было предложено решить иррациональное уравнение, тригонометрическая подстановка была обоснована. Хуже обстояло дело с обоснованием введения тригонометрической подстановки, если речь шла о двух переменных. В этом случае учащиеся, как правило, приступали к решению, доводили его до верного ответа, но не обосновывали законность произведенной замены.
Так как только в двух случаях (в одном задании из контрольной и в одном задании из домашней контрольной работы) учащиеся предложили другое решение без использования тригонометрической подстановки
Сравним процент учащихся, решивших верно с помощью тригонометрической подстановки и без нее
<shape id="_x0000_i1697" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image974.wmz» o:><img width=«352» height=«201» src=«dopb74114.zip» v:shapes="_x0000_i1697">\s
<shape id="_x0000_i1698" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15301.files/image976.wmz» o:><img width=«352» height=«201» src=«dopb74115.zip» v:shapes="_x0000_i1698">\s
Решение более привычным и отработанным способом для учащихся оказалось эффективнее, чем с помощью введения тригонометрической подстановки. И это не удивительно. Тема «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач» является довольно сложной, речь идет о ее рассмотрении на факультативных занятиях только в классах с углубленным изучением математики. Пять факультативных занятий для того чтобы учащиеся овладели этим методом, безусловно, мало, о чем свидетельствуют результаты. Но ввиду того, что применение тригонометрической подстановки может оказать существенную помощь в решении некоторых классов задач (например, иррациональных уравнений, задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции и других), желательно продолжить работу с учащимися над овладением этим методом и вернуться к нему в конце 11 класса. В пользу этого говорит еще и тот факт, что при решении предложенных задач учащиеся выбирали именно этот способ решения для получения ответа. Особенно удачно учащиеся использовали замену при решении иррациональных уравнений, видели возможность введения тригонометрической подстановки и обосновывали это введение. Сама замена стала интересной для учащихся не только тем, что позволила решить непростые конкурсные примеры, но и указала на связь между алгеброй и тригонометрией, показала, что введение тригонометрической подстановки не только не усложняет решение, а в некоторых случаях существенно упрощает его, тем самым повышая значимость самой тригонометрии в глазах учащихся.
Заключение При проведении исследования были поставлены и решены следующие задачи:
1. Исследованы теоретические основы возможности введения тригонометрической подстановки.
2. Проведена работа по подбору и объединению в одном источнике решений с помощью тригонометрической подстановки разнообразных алгебраических заданий: уравнений, неравенств, их систем, задач с параметрами и задач на отыскание наибольшего и наименьшего значений функции. Работа включает в себя задания, решение которых с помощью тригонометрической подстановки и без нее равноценны, задания, которые не могут быть решены стандартными алгебраическими приемами без применения тригонометрической подстановки и задания, которые решаются без тригонометрической подстановки проще.
3. Проведен сравнительный анализ решения задач с помощью тригонометрической подстановки и без нее. Метод тригонометрической подстановки рассмотрен во многих источниках по математике, в том числе [3]-[6], [9]-[14], [16], [18], [22]-[25], [29]-[32], [37]-[39], [42]-[45], [47], [49], [51], [57]. Но практически ни в одном из них не был проведен сравнительный анализ решения задач с помощью тригонометрической подстановки и без нее и практически нет источников, в которых была бы представлена возможность применения тригонометрической подстановки для решения большого класса задач.
4. На основе проведенного сравнительного анализа была разработана методика изучения тригонометрической подстановки при решении алгебраических задач на факультативных занятиях по математике в старших классах с углубленным изучением математики.
5. Проведено опытное испытание эффективности разработанной методики в 10 классе ФМЛ.
Опытная работа показала, что введение факультативного курса «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач» в классы с углубленным изучением математики оправдано. В состав диагностирующей контрольной работы, которая была проведена на завершающем занятии факультативного курса, были включены задачи, которые допускали как алгебраический способ решения, так и решение с помощью тригонометрической подстановки. Школьникам была предоставлена свобода выбора метода решения каждого задания. Результаты работы показали, что учащиеся без особого труда выделяют задачи, в которых возможно ввести тригонометрическую подстановку; применяют ее для решения трудных и очень трудных конкурсных задач; осуществляют сравнение и выбор наиболее рационального способа решения. А значит, гипотеза, сделанная в начале дипломной работы, подтвердилась. Введение материала, связанного с тригонометрической подстановкой, на факультативных занятиях в классах с углубленным изучением математики способствует развитию творческих способностей учащихся и подготавливает их к вступительным экзаменам в вузы с повышенными требованиями к математике. Единственное, над чем еще можно поработать – грамотное обоснование введенной замены.
Литература
1. Алгебра и математический анализ. 10 класс: Учебное пособие для школ и классов с углубленным изучением математики / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2001. – С. 335.
2. Алгебра и математический анализ. 11 класс: Учебное пособие для школ и классов с углубленным изучением математики / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2001. – С. 288.
3. Алексеев А. Тригонометрические подстановки / А. Алексеев, Л. Курляндчик // Квант. – №2. – 1995. – С. 40–42.
4. Балаян Э. Н. Репетитор по математике для поступающих в вузы / Э. Н. Балаян. – Ростов–на–Дону: Изд-во Феникс, 2003. – С. 736.
5. Болтянский В. Г. Лекции и задачи по элементарной математике / В. Г. Болтянский, Ю. В. Сидоров, М. И. Шабунин. – М.: Изд-во Наука, 1972. – С. 592.
6. Вавилов В. В. Задачи по математике. Алгебра / В. В. Вавилов, И. И. Мельников, С. Н. Олехник, П. И. Пасиченко. – М.: Наука, 1988. – С. 439.
7. Василевский А. Б. Методы решения задач / А. Б. Василевский. – Минск: Вышэйшая школа, 1974. – С. 240.
8. Василевский А. Б. Обучение решению задач: Учебное пособие для педагогических институтов / А. Б. Василевский. – Минск: Вышэйшая школа, 1988. – С. 255.
9. Вороной А. Н. Пять способов доказательства одного неравенства / А. Н. Вороной // Математика в школе. – №4. – 2000. – С. 12.
10. Вороной А. Н. Циклические системы уравнений / А. Н. Вороной // Математика в школе. – №7. – 2003. – С. 71-77.
11. Всероссийские математические олимпиады школьников: Книга для учащихся / Г. Н. Яковлев, Л. П. Купцов, С. В. Резниченко, П. Б. Гусятников. – М.: Просвещение, 1992. – С. 383.
12. Горнштейн П. И. Экзамен по математике и его подводные рифы / П. И. Горнштейн, А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. – М.: Илекса, 2004. – С. 236.
13. Горнштейн П. И. Задачи с параметрами / П. И. Горнштейн, В. Б. Полонский, М. С. Якир. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2002. – С. 336.
14. Горнштейн П. И. Тригонометрия помогает алгебре / П. И. Горнштейн. – М.: Бюро Квантум, 1995. – С. 100-103. – Приложение к ж. «Квант», №3/95.
15. Громов А. И. Математика для поступающих в вузы. Методы решения задач по элементарной математике и началам анализа / А. И. Громов, В. М. Савчин. – М.: Изд-во РУДН Народная Компания Евразийский регион, 1997. – С. 264.
16. Дорофеев Г. В. Пособие по математике для поступающих в вузы. Избранные вопросы элементарной математики / Г. В. Дорофеев, М. К. Потапов, Н. Х. Розов. – М.: Просвещение, 1976. – С. 640.
17. Епифанова Т. Н. Отыскание экстремальных значений функций различными способами / Т. Н. Епифанова // Математика в школе. – №4. – 2000. – С. 52-55.
18. Зарубежные математические олимпиады / С. В. Конягин, Г. А. Тоноян, И. Ф. Шарыгин. – М.: Наука, 1987. – С. 416.
19. Канин Е. С. Учебные математические задачи: Учебное пособие / Е. С. Канин. – Киров: Изд-во ВятскогоГГУ, 2003. – С. 191.
20. Колягин Ю. М. Задачи в обучении математике / Ю. М. Колягин. – М.: Просвещение, 1977. – С. 143.
21. Лапушкина Л. И. Системы алгебраических уравнений / Л. И. Лапушкина, М. И. Шабунин // Математика в школе. – №6. – 1998. – С. 22-26.
22. Махров В. Г. Новый репетитор по математике для старшеклассников и абитуриентов / В. Г. Махров, В. Н. Махрова. – Ростов–на–Дону: Изд-во Феникс, 2004. – С. 544.
23. Мельников И. И. Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах / И. И. Мельников, И. Н. Сергеев. – М.: Изд-во Московского университета, 1990. – С. 303.
24. Мерзляк А. Г. Тригонометрия: Задачник по школьному курсу. 8-11 класс / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, Е. М. Рабинович. – М.: АСТ – ПРЕСС: Магистр, 1998. – С. 655.
25. Мерзляк А. Г. Неожиданный шаг или сто тринадцать красивых задач / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. – Киев: Агрофирма Александрия, 1993. – С. 59.
26. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учебное пособие для студентов пед. ин-тов по спец. 2104 «Математика» и 2105 «Физика» / Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. – М.: Просвещение, 1985. – С. 336.
27. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учебное пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. Спец. / Сост. В. И. Мишин. – М.: Просвещение, 1987. – С. 414.
28. Мордкович А. Г. Беседы с учителями математики / А. Г. Мордкович. – М.: Школа – Пресс, 1995. – С. 272.
29. Морозова Е. А. Международные математические олимпиады. Задачи, итоги, решения. Пособие для учащихся / Е. А. Морозова. – М.: Просвещение, 1976. – С. 288.
30. Московский государственный университет // Математика в школе. – №10. – 2002. – С. 28-43.
31. Нараленков М. И. Вступительный экзамен по математике. Алгебра: как решать задачи: Учебно-практическое пособие / М. И. Нараленков. – М.: Изд-во Экзамен, 2003. – С. 448.
32. Олехник С. Н. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств: Справочник / С. Н. Олехник, М. К. Потапов, П. И. Пасиченко. – М.: Изд-во МГУ, 1991. – С. 143.
33. Петров В. В. Нестандартные задачи / В. В. Петров, Е. В. Елисеева // Математика в школе. – №8. – 2001. – С. 56-59.
34. Писаревский Б. М. Задачи об экстремумах / Б. М. Писаревский // Математика в школе. – №5. – 2004. – С. 47-51.
35. Письменный Д. Т. Математика для старшеклассников / Д. Т. Письменный. – М.: Айрис, Рольф, 1996. – С. 281.
36. Пойа Д. Обучение через задачи / Д. Пойа // Математика в школе. – №3. – 1970. – С. 89-91.
37. Потапов М. К. Готовимся к экзаменам по математике: Учебное пособие для поступающих в вузы и старшеклассников / М. К. Потапов, С. Н. Олехник, Ю. В. Нестеренко. – М.: Научно – технический центр «Университетский»: АСТ – Пресс, 1997. – С. 352.
38. Потапов М. К. Конкурсные задачи по математике / М. К. Потапов, С. Н. Олехник, Ю. В. Нестеренко. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – С. 400.
39. Потапов М. К. Математика. Методы решения задач. Для поступающих в вузы: Учебное пособие / М. К. Потапов, С. Н. Олехник, Ю. В. Нестеренко. – М.: Дрофа, 1995. – С. 336.
продолжение
--PAGE_BREAK--
еще рефераты
Еще работы по математике
Реферат по математике
Поиски более рационального способа решения систем линейных уравнений с двумя переменными - методом
1 Сентября 2013
Реферат по математике
Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса Башфорта
20 Июня 2015
Реферат по математике
Решение нелинейных уравнений
1 Сентября 2013
Реферат по математике
Система линейных уравнений
1 Сентября 2013