Реферат: Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений
/>Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений
1. Общая постановка задачи. />Найти действительные корни уравнения />, где /> — алгебраическая или трансцендентная функция.
Точные методы решения уравнений подходят только к узкому классу уравнений (квадратные, биквадратные, некоторые тригонометрические, показательные, логарифмические).
В общем случае решение данного уравнения находится приближённо в следующей последовательности:
1) отделение (локализация) корня;
/>2) приближённое вычисление корня до заданной точности.
2. Отделение корня. />/>Отделение действительного корня уравнения /> — это нахождение отрезка />, в котором лежит только один корень данного уравнения. Такой отрезок называется отрезком изоляции (локализации) корня.
/>Наиболее удобным и наглядным является графический метод отделения корней:
1) строится график функции />, и определяются абсциссы точек пересечения этого графика с осью />, которые и являются корнями уравнения />;
2) если /> — сложная функция, то её надо представить в виде /> так, чтобы легко строились графики функций /> и />. Так как />, то />. Тогда абсциссы точек пересечения этих графиков и будут корнями уравнения />.
Пример./>Графически отделить корень уравнения />.
/>Решение. Представим левую часть уравнения в виде />. Получим: Построим графики функций /> и />.
/>Абсцисса точки пересечения графиков находится на отрезке />, значит корень уравнения />.
3. />Уточнение корня.
/>Если искомый корень уравнения /> отделён, т.е. определён отрезок />, на котором существует только один действительный корень уравнения, то далее необходимо найти приближённое значение корня с заданной точностью.
/>Такая задача называется задачей уточнения корня.
/>Уточнение корня можно производить различными методами:
/>1) метод половинного деления (бисекции);
/>2) метод итераций;
/>3) метод хорд (секущих);
/>4) метод касательных (Ньютона);
/>5) комбинированные методы.
/>4. Метод половинного деления (бисекции).
/>Отрезок изоляции корня можно уменьшить путём деления его пополам.
/>Такой метод можно применять, если функция /> непрерывна на отрезке /> и на его концах принимает значения разных знаков, т.е. выполняется условие /> (1).
/>Разделим отрезок /> пополам точкой />, которая будет приближённым значением корня />.
/>Для уменьшения погрешности приближения корня уточняют отрезок изоляции корня. В этом случае продолжают делить отрезки, содержащие корень, пополам.
/>Из отрезков /> и /> выбирают тот, для которого выполняется неравенство (1).
/>В нашем случае это отрезок />, где />.
/>Далее повторяем операцию деления отрезка пополам, т.е. находим /> и так далее до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность />. Т.е. до тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые в ответе десятичные знаки или до выполнения неравенства />.
/>Достоинство метода: простота (достаточно выполнения неравенства (1)).
/>Недостаток метода: медленная сходимость результата к заданной точности.
/>Пример. Решить уравнение /> методом половинного деления с точностью до 0,001.
/>Решение./>Известен отрезок изоляции корня /> и заданная точность />. По уравнению составим функцию />.
Найдём значения функции на концах отрезка: />
/>, />.
Проверим выполнение неравенства (1): /> — условие выполняется, значит можно применить метод половинного деления.
Найдём середину отрезка /> и вычислим значение функции в полученной точке:
/>, />.
Среди значений />/> и /> выберем два значения разных знаков, но близких друг к другу. Это /> и />. Следовательно, из отрезков /> и /> выбираем тот, на концах которого значения функции разных знаков. В нашем случае это отрезок /> и опять находим середину отрезка и вычисляем значение функции в этой точке:
/>, />, />, /> — заданная точность результата не достигнута, продолжим вычисления.
/>, />, />, />.
/>, />, />, />.
/>, />, />, />.
--PAGE_BREAK--/>, />, />, />.
/>, />, />, />.
/>, />, />, />.
/>, />, />, />.
/>, />, />, />.
/>, /> — заданная точность результата достигнута, значит, нашли приближённое значение корня />.
Ответ: корень уравнения /> с точностью до 0,001.
5. Метод хорд (секущих).
Этот метод применяется при решении уравнений вида />, если корень уравнения отделён, т.е. /> и выполняются условия:
1) />(функция /> принимает значения разных знаков на концах отрезка />);
2) производная /> сохраняет знак на отрезке /> (функция /> либо возрастает, либо убывает на отрезке />).
Первое приближение корня находится по формуле: />.
Для следующего приближения из отрезков /> и /> выбирается тот, на концах которого функция /> имеет значения разных знаков.
Тогда второе приближение вычисляется по формуле:
/>, если /> или />, если />.
Вычисления продолжаются до тех пор, пока не перестанут изменяться те десятичные знаки, которые нужно оставить в ответе.
6. Метод касательных (Ньютона).
Этот метод применяется, если уравнение /> имеет корень />, и выполняются условия:
1) /> (функция принимает значения разных знаков на концах отрезка />);
2) производные /> и /> сохраняют знак на отрезке /> (т.е. функция /> либо возрастает, либо убывает на отрезке />, сохраняя при этом направление выпуклости).
На отрезке /> выбирается такое число />, при котором /> имеет тот же знак, что и />, т. е. выполняется условие />. Таким образом, выбирается точка с абсциссой />, в которой касательная к кривой /> на отрезке /> пересекает ось />. За точку /> сначала удобно выбирать один из концов отрезка.
Первое приближение корня определяется по формуле: />.
Второе приближение корня определяется по формуле: />.
Вычисления ведутся до совпадения десятичных знаков, которые необходимы в ответе, или при заданной точности /> — до выполнения неравенства />.
Достоинства метода: простота, быстрота сходимости.
Недостатки метода: вычисление производной и трудность выбора начального положения.
7. Комбинированный метод хорд и касательных.
Если выполняются условия:
1) />,
2) /> и /> сохраняют знак на отрезке />,
то приближения корня /> уравнения /> по методу хорд и по методу касательных подходят к значению этого корня с противоположных сторон. Поэтому для быстроты нахождения корня удобно применять оба метода одновременно. Т.к. один метод даёт значение корня с недостатком, а другой – с избытком, то достаточно легко получить заданную степень точности корня.
Схема решения уравнения методом хорд и касательных
Вычислить значения функции /> и />.
Проверить выполнение условия />. Если условие не выполняется, то неправильно выбран отрезок />.
Найти производные /> и />.
Проверить постоянство знака производных на отрезке />. Если нет постоянства знака, то неверно выбран отрезок />.
Для метода касательных выбирается за /> тот из концов отрезка />, в котором выполняется условие />, т.е. /> и /> одного знака.
Приближения корней находятся:
а) по методу касательных: />,
б) по методу хорд: />.
Вычисляется первое приближение корня: />.
Проверяется выполнение условия: />, где /> — заданная точность.
Если условие не выполняется, то нужно продолжить применение метода по схеме 1-8.
В этом случае отрезок изоляции корня сужается и имеет вид />. Приближённые значения корня находятся по формулам:
/>и />.
Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет найдено такое значение />, при котором /> и /> совпадут с точностью />.
Пример. Решить уравнение />методом хорд и касательных с точностью 0,001, если известно, что корень уравнения/>.
продолжение--PAGE_BREAK--
Решение.
Вычислим значения функции /> на концах отрезка: />, />.
Проверим выполнение условия: /> — условие выполняется.
Найдём производные: /> и />/>./>
На отрезке /> производные /> и />, т.е. сохраняют знак, следовательно, условие выполняется.
Выберем значение /> для метода касательных. Т.к. /> и />, то />.
Найдём приближения корня:
а) по методу касательных: />
б) по методу хорд: />.
Найдём первое приближение корня: />.
Проверим выполнение условия: /> — условие не выполняется, значит нужно продолжить вычисления.
Отрезок изоляции корня имеет вид: />.
10. Продолжим уточнение корня по схеме. Для этого найдём значения функции на концах суженного отрезка:
/>, />.
11. Проверим условие: /> — выполняется, значит можно продолжить применение метода./>
12. Так как /> и /> на отрезке/>, то для метода касательных: />.
13. Вычислим значение производной: />.
14. Найдём новые значения концов отрезка изоляции:
/>, />.
15. Найдём второе приближение корня: />.
16. Проверим выполнение условия: /> — неравенство неверное, значит необходимо продолжить вычисления.
17. Отрезок изоляции корня имеет вид: />.
18. Вычислим значения функции:
/>, />.
19. Условие /> — выполняется.
20. Так как /> и /> на />, то для метода касательных />.
21. Вычислим производную: />.
22. Вычислим: />,
/>.
23. Найдём третье приближение корня: />.
24. Проверим выполнение неравенства: /> — условие выполняется, значит, цель достигнута.
25. Следовательно, /> или /> — приближённое значение корня с точностью до 0,001.
Ответ: />.
9. Задания для расчётных работ.
Решить уравнение методами:
а) бисекции,
б) хорд и касательных.
Вариант
Вид алгебраического уравнения
Корень, который необходимо вычислить
1
/>
единственный
2
/>
единственный
3
/>
единственный
4
/>
единственный
5
/>
единственный
6
/>
единственный
7
/>
единственный
8
/>
единственный
9
/>
положительный
10
/>
единственный
11
/>
положительный
12
/>
единственный
13
/>
больший отрицательный
14
/>
единственный
15
/>
единственный
16
/>
единственный
17
/>
единственный
18
/>
единственный
19
/>
единственный
20
/>
единственный
21
/>
единственный
22
/>
меньший положительный
23
/>
единственный
24
/>
меньший положительный
25
/>
единственный
26
/>
единственный
27
/>
единственный
28
/>
единственный
29
/>
единственный
30
/>
единственный
31
/>
меньший положительный
32
/>
единственный
33
/>
больший отрицательный
34
/>
единственный
35
/>
единственный
36
/>
единственный
37
/>
меньший положительный
38
/>
единственный
39
/>
единственный
40
/>
единственный
продолжение--PAGE_BREAK--