Реферат: Аппроксимация непрерывных функций многочленами

--PAGE_BREAK--  <img width=«231» height=«45» src=«ref-1_747517943-520.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">
, n=n(<img width=«13» height=«15» src=«ref-1_747505571-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">), которая для всех t удовлетворяет неравенству:

<img width=«109» height=«28» src=«ref-1_747518655-335.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">.
II. Круг идей П.Л. Чебышева.

Пусть даны замкнутый (конечный или бесконечный) интервал [a,b] числовой оси и две вещественные непрерывные в [a,b] функции f(x) и S(x). Составим выражение:<img width=«223» height=«48» src=«ref-1_747518990-628.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158"> (*), где m и n заданы и поставим задачу найти вещественные параметры p0,p1...pm; q0,q1...qnтак, чтобы уклонение <img width=«152» height=«31» src=«ref-1_747519618-420.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159"> Q(x) от f(x) было наименьшим.

В частном случае, когда S(x)=1, m=0 и интервал [a,b] конечен, поставленная задача переходит в задачу о наилучшем приближении в пространстве С заданной функции с помощью многочлена степени n.

Будем полагать, что m=n-k,кроме того, если интервалом [a,b] является вся числовая ось, мы будем предполагать, что <img width=«163» height=«31» src=«ref-1_747520038-427.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160"> и будем рассматривать только те функции, для которых <img width=«137» height=«28» src=«ref-1_747520465-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">, m условимся считать чётным.
2.1 Обобщённая теорема Валле-Пуссена.

Если многочлены <img width=«153» height=«27» src=«ref-1_747520839-361.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">; <img width=«145» height=«25» src=«ref-1_747521200-353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">, где <img width=«67» height=«20» src=«ref-1_747521553-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164"> и <img width=«61» height=«17» src=«ref-1_747521811-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">, <img width=«44» height=«21» src=«ref-1_747522062-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">, не имеют общего делителя, а выражение <img width=«116» height=«44» src=«ref-1_747522288-371.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167"> в интервале [a,b] остаётся конечным и если разность f(x)-R(x) принимает в последовательных точках x1<x2<...<xnинтервала [a,b],отличные от значения <img width=«120» height=«25» src=«ref-1_747522659-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168"> с чередующимися знаками, N=m+n-d+2, <img width=«95» height=«27» src=«ref-1_747523006-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">, то для каждой функции <img width=«223» height=«48» src=«ref-1_747518990-628.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170"> имеет место неравенство:   <img width=«145» height=«28» src=«ref-1_747523936-376.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">
, где <img width=«152» height=«31» src=«ref-1_747519618-420.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">. Это же неравенство имеет место, если R(x)=0 и N=n+2.

Значение этой теоремы состоит в том, что она даёт возможность получить для погрешности наилучшего приближения некоторую оценку снизу.
Теорема существования.

Среди функций Q(x)существует по крайней мере одна, для которой HQимеет наименьшее значение.

Т.о., пусть Н<img width=«25» height=«16» src=«ref-1_747524732-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">— есть нижняя грань множества всех HQ. По определению, следовательно, существует бесконечная последовательность функций Qi(x), для которой<img width=«64» height=«24» src=«ref-1_747524936-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">.
2.2. Теорема Чебышева.

Функция Р(х), которая из всех функций вида Q(x) наименее уклоняется в [a,b] от функции f(x), единственна.

Эта функция вполне характеризуется таким своим свойством, если она приведена к виду <img width=«339» height=«49» src=«ref-1_747525192-841.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">, <img width=«67» height=«20» src=«ref-1_747521553-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176"> и <img width=«61» height=«17» src=«ref-1_747521811-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">, <img width=«44» height=«21» src=«ref-1_747522062-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178"> и дробь <img width=«39» height=«44» src=«ref-1_747526768-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179"> несократима, то число N последовательных точек интервала [a,b], в котором разность f(x)-P(x) принимает с чередующимися знаками значение Нр, не менее, чем m+n-d+2, где d=<img width=«68» height=«27» src=«ref-1_747527034-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">, а если P(x)=0,то <img width=«67» height=«16» src=«ref-1_747527288-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">.

Теорема Чебышева показывает, что существует единственная функция P(x), дающая наилучшее приближение к данной функции f(x) (т.е. наименее отклоняется от f(x)) в данном нормированном пространстве.
Случай аппроксимации многочленами.

Особенно важным является частный случай, когда S(x)=1, m=0 и интервал [a,b] конечен. В этом случае мы получаем теорему:

многочлен n-й степени P(x), который наименее уклоняется (в метрике пространства С) от заданной непрерывной функции f(x), единственен и вполне характеризуется тем, что число последовательных точек интервала [a,b], в которых разность f(x)-P(x) принимает с чередующимися знаками значение <img width=«116» height=«31» src=«ref-1_747527546-367.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182"> не меньше, чем n+2.
2.3 Переход к периодическим функциям.

Допустим, что <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_747527913-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">— есть непрерывная периодическая функция с периодом <img width=«23» height=«17» src=«ref-1_747528148-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">, которую нужно наилучшим образом аппроксимировать на всей оси при помощи тригонометрической суммы: <img width=«363» height=«21» src=«ref-1_747528360-577.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185"> порядка n. Сделаем замену переменной <img width=«56» height=«41» src=«ref-1_747528937-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186"> так, что интервалу <img width=«79» height=«19» src=«ref-1_747529210-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187"> будет соответствовать интервал <img width=«91» height=«19» src=«ref-1_747529476-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">.

Т.к. <img width=«97» height=«44» src=«ref-1_747529746-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189">  <img width=«91» height=«41» src=«ref-1_747530061-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190"> и так как <img width=«121» height=«45» src=«ref-1_747530381-402.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191"> есть многочлены степени к от <img width=«36» height=«19» src=«ref-1_747530783-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">, то после преобразования мы получим <img width=«207» height=«47» src=«ref-1_747530999-530.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">. Следовательно, наша задача сводится к наилучшему (в интервале <img width=«64» height=«24» src=«ref-1_747531529-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">)приближению функции F(x)=f(<img width=«13» height=«19» src=«ref-1_747531771-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">) при помощи выражения вида: <img width=«213» height=«47» src=«ref-1_747531969-548.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">. Выражение W2n(x) можно рассматривать как частный случай выражения Q(x),если положить m=0, <img width=«109» height=«44» src=«ref-1_747532517-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">. Легко видеть, что общие теоремы применимы, и теорема Чебышева гласит:

тригонометрическая сумма n-го порядка <img width=«40» height=«23» src=«ref-1_747532856-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">, которая наименее уклоняется на всей оси от заданной непрерывной периодической функции, единственна и вполне характеризуется тем, что число последовательных точек интервала <img width=«79» height=«19» src=«ref-1_747533105-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199"> (или какого- нибудь открытого полуинтервала длиной 2<img width=«15» height=«15» src=«ref-1_747517536-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">), в которых разность <img width=«87» height=«21» src=«ref-1_747533562-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201"> принимает с чередующимися знаками значение max|<img width=«87» height=«21» src=«ref-1_747533562-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">| не меньше, чем 2n+2.

Одну и ту же функцию f(x) в (0,<img width=«15» height=«15» src=«ref-1_747517536-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203">) можно разложить в ряд по sin, по cos, по sin и cos, т.к. если f(x) определена на (0,<img width=«15» height=«15» src=«ref-1_747517536-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">), то доопределить f(x) на <img width=«52» height=«24» src=«ref-1_747534548-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205"> можно бесконечным множеством способов. Следовательно, задача о разложении f(x) в ряд имеет бесчисленное множество решений. Из всех этих решений выделяются 2:

Если f(x)доопределить чётным образом, то получим ряд только по cos кратных дуг;

Если f(x)доопределить нечётным образом, то получим ряд только по sin.

Пример:f(x)=x на <img width=«37» height=«24» src=«ref-1_747534784-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206">
<img width=«429» height=«93» src=«ref-1_747535012-905.coolpic» v:shapes="_x0000_s1026">
 <img width=«169» height=«52» src=«ref-1_747535917-484.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207"> , <img width=«336» height=«24» src=«ref-1_747536401-560.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">

<img width=«459» height=«88» src=«ref-1_747536961-1123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">
<img width=«159» height=«45» src=«ref-1_747538084-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210"><img width=«12» height=«21» src=«ref-1_747473110-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">;

<img width=«637» height=«51» src=«ref-1_747538703-1136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212"><img width=«308» height=«41» src=«ref-1_747539839-508.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213"><img width=«12» height=«21» src=«ref-1_747473110-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">

<img width=«265» height=«52» src=«ref-1_747540516-623.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">;

<img width=«233» height=«45» src=«ref-1_747541139-543.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">

Для sinаналогично, только f(x)-нечётная.
2.4 Обобщение теоремы Чебышева.

Мы рассмотрели алгебраические и тригонометрические многочлены на некотором интервале и сформулировали для них теорему Чебышева об аппроксимации этих функций. Теперь рассмотрим произвольную, непрерывную на [a,b]вещественную функцию.

Рассмотрим систему вещественных непрерывных функций f1(x),f2(x)...fn(x) в конечном или бесконечном интервале [a,b], которая удовлетворяет условиям Хаара: единственность полинома наименьшего уклонения для каждой функции f(P) будет тогда и только тогда, когда каждый полином F(P,x)<img width=«15» height=«16» src=«ref-1_747541682-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">0 имеет в ограниченном замкнутом точечном множестве <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_747476441-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218"> не более n-1 различных нулей.

Такую систему называют системой Чебышева относительно интервала [a,b].

Лемма: Пусть x1,x2...xn-1произвольно взятые различные точки из интервала [a,b]. В таком случае существует (и с точностью до постоянного множителя только 1) нетривиальный полином <img width=«256» height=«21» src=«ref-1_747542064-494.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">, который имеет своими нулями следующие точки:

<img width=«407» height=«100» src=«ref-1_747542558-818.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220"> 

Других нулей у этого полинома нет, и, если т. xkлежит внутри [a,b], то при переходе через неё полином F(x,<img width=«15» height=«19» src=«ref-1_747543376-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221">) меняет знак.

Обобщение:Если S-есть система Чебышева относительно интервала [a,b], а f(x)-произвольная непрерывная в [a,b]вещественная функция, то полином F(x,<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_747487837-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222">), который в метрике С наименее уклоняется в [a,b] от f(x) вполне определяется тем, что разность <img width=«107» height=«27» src=«ref-1_747543768-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223"> принимает с чередующимися знаками своё максимальное значение по крайней мере в n+1 последовательных точках интервала [a,b].

Теперь мы можем рассматривать функции в произвольных нормированных пространствах.
III. Методы аппроксимации

3.1 Приближение функций многочленами.

Алгебраическим многочленом степени n называется функция <img width=«467» height=«43» src=«ref-1_747544090-747.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224">— действительные числа, называемые коэффициентами.

Алгебраические многочлены являются простейшими функциями. Они непрерывны при любом x. Производная многочлена- так же многочлен, степень которого на единицу меньше степени исходного. Так, если степень n, то <img width=«12» height=«21» src=«ref-1_747473110-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225"><img width=«303» height=«24» src=«ref-1_747545006-557.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">.

В школьном курсе математики рассматриваются функции f(x)=ax, f(x)=logax, f(x)=sin(x) и др., изучаются их свойства, строятся графики. Однако вопрос о методах вычисления значений названных функций при заданных значениях аргумента не рассматривается. Вместе с тем, он очень важен. Познакомимся с методами приближения функций, или методами аппроксимации.
3.2 Формула Тейлора.

Рассмотрим функцию y=f(x), определённой на некотором промежутке, содержащим т.а. Предположим, что эта функция имеет производные (n+1)-го порядка. <img width=«392» height=«36» src=«ref-1_747545563-680.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227"> 

Уравнение касательной к графику функции в т. х=а имеет вид: <img width=«377» height=«23» src=«ref-1_747546243-600.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228">.

Многочлен 1-й степени: <img width=«179» height=«23» src=«ref-1_747546843-412.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229"> в т. х=а совпадает со значением f(x) в этой точке: P1(a)=f(a). Многочлен в т. х=а имеет то же значение производной, что и функция. Действительно, P1’(x)=f’(a), следовательно, P1’(а)=f’(a). График многочлена Р1(х) касается графика функции y=f(x) в т. М0(а,f’(a)).

Можно найти многочлен 2-й степени, а именно: <img width=«288» height=«43» src=«ref-1_747547255-585.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230">, который в т. х=а будет иметь с функцией y=f(x) общее значение и одинаковые значения как первых, так и вторых производных. График многочлена Р2(х) вблизи т. х=а ещё теснее будет прилегать к графику функции y=f(x) по сравнению с графиком многочлена Р1(х).

Естественно ожидать, что многочлен, имеющий при х=а первые n производных, одинаковых с соответствующими производными функции f(x) в той же точке, при х, близких к а, будет хорошо приближать f(x). В этом случае вместо f(x)можно рассматривать указанный многочлен, а для приближённого вычисления f(x)при заданном х достаточно вычислить его значения  при том же х.

Этот многочлен получают в результате решения следующей задачи: для функции f(x), имеющей в окрестности т. х=а производные до порядка n+1включительно, найти многочлен Рn(x) степени не выше n такой, что Pn(a)=f(a); Pn’(a)=f’(a);Pn’’(a)=f’’(a);… Pn(n)(a)=f(n)(a).

Эти равенства означают, что в т. х=а значения многочлена Рn(x) и функции y=f(x), а так же их соответствующих производных совпадают. Многочлен Pn(x) представим в виде: <img width=«312» height=«24» src=«ref-1_747547840-521.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231">. Коэффициенты <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_747548361-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232"> определяются, предварительно найдя его производные:

<img width=«353» height=«29» src=«ref-1_747548615-551.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233">

<img width=«448» height=«29» src=«ref-1_747549166-700.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">

......................................

<img width=«167» height=«24» src=«ref-1_747549866-390.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235">

Подставляя в формулы значения х=а, получим:

<img width=«72» height=«23» src=«ref-1_747550256-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236"> <img width=«76» height=«29» src=«ref-1_747550537-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237"><img width=«12» height=«21» src=«ref-1_747473110-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238"><img width=«89» height=«29» src=«ref-1_747550993-312.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239">...<img width=«171» height=«24» src=«ref-1_747551305-394.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240">

Из этих равенств находим, что

<img width=«313» height=«44» src=«ref-1_747551699-639.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241"><img width=«12» height=«21» src=«ref-1_747473110-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242">

Получаем искомый многочлен:

<img width=«427» height=«44» src=«ref-1_747552507-848.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243">.

Обозначим через rn(x) разность между функцией f(x)и многочленом Pn(x).

<img width=«304» height=«23» src=«ref-1_747553355-516.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244"> 

<img width=«469» height=«44» src=«ref-1_747553871-892.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245">

Величину rn(x) называет остаточным членом. Видно, что при тех же значениях х, для которых rn(x)достаточно мал, вместо f(x)можно рассматривать многочлен Pn(x).

Оценим величину остаточного члена rn(x). Запишем его в виде <img width=«145» height=«49» src=«ref-1_747554763-472.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246"> , где Q(x)— функция, которую нужно определить. Формула примет вид: <img width=«533» height=«49» src=«ref-1_747555235-1036.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247">

При фиксированных значениях а и х функция Q(x) имеет определённые значения, которые обозначаются через Q.

Рассмотрим вспомогательную функцию переменной t (a<t<x)

<img width=«533» height=«47» src=«ref-1_747556271-942.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248"> Применяя правила дифференцирования алгебраической суммы и произведения двух функций, находим производную функции F(t) по аргументу t.(x и а- фиксированные, следовательно, f(x)-постоянная).

<img width=«583» height=«91» src=«ref-1_747557213-1521.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249"><img width=«12» height=«21» src=«ref-1_747473110-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250">Приведя подобные слагаемые, получим:

<img width=«243» height=«40» src=«ref-1_747558903-551.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251">

Из формулы функции F(t)видно, что F(x)=0 и F(a)=0. Воспользуемся свойством дифференцируемой функции:

Если дифференцируемая функция f(x) обращается в нуль при х=а и х=b, f(a)=0, f(b)=0, (a<img width=«15» height=«16» src=«ref-1_747541682-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252">b),то между точками а и b найдётся по крайней мере одна т.с, в которой равна нулю производная данной функции: f’(c )=0. (т. Ролля).

Геометрически это означает, если в т. а и b f(a)=0 и f(b)=0, то <img width=«83» height=«21» src=«ref-1_747559644-286.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253"><img width=«12» height=«21» src=«ref-1_747473110-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254">такое, что в т. С(с,f(c )) касательная к графику y=f(x) параллельна оси ОХ.

<img width=«10» height=«173» src=«ref-1_747560099-240.coolpic» v:shapes="_x0000_s1027">y

<img width=«202» height=«116» src=«ref-1_747560339-1754.coolpic» v:shapes="_x0000_s1035 _x0000_s1034 _x0000_s1033 _x0000_s1032 _x0000_s1031 _x0000_s1030 _x0000_s1029 _x0000_s1028">




f©
0         a           c             b          X
Корнемили нулём функции называют такое значение аргумента х0, при котором функция f(x0)=0.

С учётом этого понятия указанное свойство можно сформулировать так: между двумя различными корнями дифференцируемой функции находится хотя бы один корень её производной (т. Ролля).

Поскольку F(x)=0и F(a)=0, то к функции F(t)можно применить свойство: <img width=«175» height=«21» src=«ref-1_747562093-379.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255">

<img width=«279» height=«44» src=«ref-1_747562472-578.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256">

<img width=«309» height=«47» src=«ref-1_747563050-626.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257">

Так как с заключено между а и х, то его можно представить в виде <img width=«165» height=«21» src=«ref-1_747563676-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258">

<img width=«237» height=«47» src=«ref-1_747564039-540.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259">

Говорят, что это равенство выражает остаточный член формулы в форме Лагранжа. Подставим его в формулу:

<img width=«627» height=«47» src=«ref-1_747564579-1096.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260">Эту формулу называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Если а=0, то <img width=«415» height=«45» src=«ref-1_747565675-828.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261"> <img width=«60» height=«19» src=«ref-1_747566503-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262">

Формула Тейлора для функций sinx, cosx, ex

Выведем формулы Тейлора для элементарных функций f(x)=sinx, f(x)=cosx,  f(x)=ex.

Рассмотрим функцию f(x)=sinx. Найдём производную n+1- го порядка.

<img width=«540» height=«83» src=«ref-1_747566747-1095.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263"> Вычислим значение функции и её производной при х=0.

<img width=«533» height=«41» src=«ref-1_747567842-853.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264"> Подставим эти значения в формулу Тейлора:

<img width=«400» height=«47» src=«ref-1_747568695-802.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265">

2.Аналогично находим формулу Тейлора для f(x)=cosx.<img width=«560» height=«83» src=«ref-1_747569497-1075.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266"><img width=«12» height=«21» src=«ref-1_747473110-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267"><img width=«453» height=«41» src=«ref-1_747570741-763.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268">

<img width=«408» height=«47» src=«ref-1_747571504-795.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269">

3.Рассмотрим функцию f(x)=ex.

<img width=«69» height=«24» src=«ref-1_747572299-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270">, <img width=«76» height=«24» src=«ref-1_747572572-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271">...<img width=«81» height=«24» src=«ref-1_747572844-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272">

<img width=«57» height=«21» src=«ref-1_747573128-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273">, <img width=«63» height=«21» src=«ref-1_747573373-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274">...<img width=«73» height=«24» src=«ref-1_747573623-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275">, <img width=«100» height=«24» src=«ref-1_747573890-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276">

<img width=«316» height=«45» src=«ref-1_747574205-603.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277">

4.Рассмотрим функцию f(x)=(a+x)n, <img width=«84» height=«20» src=«ref-1_747574808-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278">

<img width=«551» height=«24» src=«ref-1_747575092-754.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279"><img width=«12» height=«21» src=«ref-1_747473110-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280"><img width=«588» height=«24» src=«ref-1_747576015-734.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281"><img width=«532» height=«85» src=«ref-1_747576749-1102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282">

Эту формулу называют биномом Ньютона. Отметим частные случаи:

n=2 (a+x)2=a2+2ax+x2

n=3 (a+x)3=a3+3a2x+3ax2+x3
Приближение функций sinx, cosx, exалгебраическими многочленами.

В формуле Тейлора для sinx положим n=2m-1

<img width=«467» height=«47» src=«ref-1_747577851-884.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283">

Остаточный член этой формулы имеет вид:

<img width=«391» height=«47» src=«ref-1_747578735-765.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284">

Оценим его модуль. Поскольку <img width=«560» height=«96» src=«ref-1_747579500-1164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285">Отбрасывая остаточный член, получим приближённо:

<img width=«265» height=«45» src=«ref-1_747580664-557.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286">. Она может быть применена для вычисления значений функции f(x)=sinx при заданных значениях аргумента х. Эти вычисления сводятся к вычислениям значений алгебраического многочлена степени 2m-1<img width=«268» height=«47» src=«ref-1_747581221-568.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287">. Следовательно, вместо функции f(x)=sinx можно рассматривать алгебраический многочлен, который приближённо заменяет её. Говорят, что указанный многочлен приближает данную функцию. Оценка такого приближения определяется формулой: <img width=«121» height=«48» src=«ref-1_747581789-428.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288">

Полагая n=2mв формуле для cosx, аналогично: <img width=«236» height=«45» src=«ref-1_747582217-534.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289"> , погрешность  <img width=«123» height=«48» src=«ref-1_747582751-435.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290">.

Например, для приближённой формулы <img width=«313» height=«45» src=«ref-1_747583186-674.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291">

В случае функции f(x)=ex, получаем: <img width=«476» height=«45» src=«ref-1_747583860-787.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292">

В общем случае, отбросив остаточный член, получим приближённую формулу:<img width=«316» height=«44» src=«ref-1_747584647-630.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293">. Она позволяет заменить данную функцию алгебраическим многочленом n-й степени:

<img width=«12» height=«21» src=«ref-1_747473110-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294"><img width=«465» height=«44» src=«ref-1_747585446-802.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295">
Ряд Тейлора.

Обратимся к формуле (1). Разность между функцией f(x)и её многочленом в правой части называют отклонением, которое выражается остаточным членом rn(x).Если в формуле рассматривать всё больше и больше членов, то может оказаться, что отклонение стремится к нулю, но не для всякой функции и не для любого значения х. Однако существует широкий класс функций, для которых остаточный член действительно стремится к нулю при <img width=«48» height=«16» src=«ref-1_747505143-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296">, по крайней мере для значений, заполняющих некоторый промежуток, содержащий т.а. Именно для таких функций формула Тейлора позволяет вычислить f(x) с любой степенью точности. Если <img width=«84» height=«28» src=«ref-1_747586463-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297">, то из формулы Тейлора следует: <img width=«501» height=«49» src=«ref-1_747586759-845.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298">

Число слагаемых является неограниченным. Выражение в правой части формулы называют рядом Тейлора, а функцию f(x)-суммой этого ряда.

Ряд Тейлора можно записать в таком виде:

<img width=«223» height=«47» src=«ref-1_747587604-549.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299">, при а=0  <img width=«197» height=«47» src=«ref-1_747588153-508.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300"> Выражение в правой части этой формулы называют рядом Маклорена. Получаем:

<img width=«149» height=«44» src=«ref-1_747588661-366.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301">

<img width=«183» height=«44» src=«ref-1_747589027-411.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302">

<img width=«165» height=«44» src=«ref-1_747589438-387.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303">

Условие сходимости:

Для разложения f(x) в степенной ряд (т.е. в ряд Тейлора), необходимо и достаточно, чтобы предел остаточного члена формулы Тейлора был равен нулю: <img width=«87» height=«28» src=«ref-1_747589825-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304"> 

Степенной ряд сходится при любых х или говорят, что его областью сходимости является промежуток <img width=«64» height=«24» src=«ref-1_747531529-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305">. Из этих формул видно, что sin(-x)=-sinx, т.е. f(x)=sinx- нечётная функция.

cos(-x)=cosx, f(x)=cosx- чётная функция.
Примеры разложения функций в степенные ряды.

Степенной ряд <img width=«169» height=«45» src=«ref-1_747590364-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306"> можно рассматривать как геометрический с первым членом а=1 и знаменателем q=x. Если <img width=«40» height=«27» src=«ref-1_747590770-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307">, т.е. <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_747590997-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308">, то данный ряд сходится. <img width=«365» height=«45» src=«ref-1_747591210-575.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309"> .

Мы получили разложение функции <img width=«84» height=«41» src=«ref-1_747591785-286.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310"> в степенной ряд. Этот ряд сходится при <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_747590997-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311">.

Аналогичными рассуждениями можно установить, что <img width=«200» height=«41» src=«ref-1_747592284-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312"> сходится при <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_747590997-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1313">. Степенной ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать, т.е. обращаться с ним как с многочленом.

В формуле (1) заменим x на t и проинтегрируем получившийся ряд на промежутке [0,x]; <img width=«57» height=«20» src=«ref-1_747592890-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1314"> <img width=«176» height=«41» src=«ref-1_747593136-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1315">,  <img width=«224» height=«49» src=«ref-1_747593475-474.coolpic» v:shapes="_x0000_i1316"><img width=«257» height=«49» src=«ref-1_747593949-525.coolpic» v:shapes="_x0000_i1317"> <img width=«261» height=«56» src=«ref-1_747594474-541.coolpic» v:shapes="_x0000_i1318"> <img width=«371» height=«44» src=«ref-1_747595015-616.coolpic» v:shapes="_x0000_i1319">

Так же заменим x на t в формуле (2). Получим: <img width=«361» height=«44» src=«ref-1_747595631-620.coolpic» v:shapes="_x0000_i1320">  <img width=«296» height=«49» src=«ref-1_747596251-550.coolpic» v:shapes="_x0000_i1321">

Разложение (3) в степенной ряд сходится при <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_747590997-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1322">. Оно может быть использовано для вычисления логарифмов натуральных чисел. Положим в формуле (3) <img width=«69» height=«41» src=«ref-1_747597014-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1323">, где n- натуральное число, 0<x<1, при любом n ряд в правой части этой формулы будет сходится. <img width=«311» height=«48» src=«ref-1_747597280-701.coolpic» v:shapes="_x0000_i1324"> <img width=«313» height=«48» src=«ref-1_747597981-622.coolpic» v:shapes="_x0000_i1325">

Пользуясь этой формулой, можно последовательно вычислить <img width=«203» height=«21» src=«ref-1_747598603-394.coolpic» v:shapes="_x0000_i1326">

Обратимся снова к формуле (2). Полагая <img width=«41» height=«20» src=«ref-1_747598997-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1327">, записываем полученный ряд и интегрируем его по отрезку [0,x], 0<x<1.<img width=«237» height=«49» src=«ref-1_747599218-499.coolpic» v:shapes="_x0000_i1328">  <img width=«212» height=«56» src=«ref-1_747599717-523.coolpic» v:shapes="_x0000_i1329"> <img width=«328» height=«44» src=«ref-1_747600240-584.coolpic» v:shapes="_x0000_i1330">

Пусть х=1 в этой формуле <img width=«93» height=«41» src=«ref-1_747600824-309.coolpic» v:shapes="_x0000_i1331">

<img width=«139» height=«41» src=«ref-1_747601133-342.coolpic» v:shapes="_x0000_i1332"> Можно приближённо вычислить <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_747517536-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1333">.
Биномиальный ряд

Разложим в ряд Маклорена функцию

<img width=«144» height=«25» src=«ref-1_747601669-352.coolpic» v:shapes="_x0000_i1334">

<img width=«131» height=«25» src=«ref-1_747602021-350.coolpic» v:shapes="_x0000_i1335"> <img width=«188» height=«25» src=«ref-1_747602371-387.coolpic» v:shapes="_x0000_i1336"> <img width=«264» height=«25» src=«ref-1_747602758-455.coolpic» v:shapes="_x0000_i1337">;

<img width=«533» height=«24» src=«ref-1_747603213-701.coolpic» v:shapes="_x0000_i1338">В соответствии с формулой Маклорена:

<img width=«403» height=«41» src=«ref-1_747603914-672.coolpic» v:shapes="_x0000_i1339"> 

Ряд в правой части называют биномиальным. Можно доказать, что биномиальный ряд сходится при <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_747590997-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1340">, т.е. областью его сходимости служит интервал (-1,1). Отметим, что ряд (2) является частным случаем этого ряда при <img width=«48» height=«17» src=«ref-1_747604799-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1341">.

В случае <img width=«85» height=«20» src=«ref-1_747605012-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1342"> формула принимает вид:

<img width=«416» height=«67» src=«ref-1_747605285-926.coolpic» v:shapes="_x0000_i1343">

все члены, начиная с n+1-го обращаются в 0. В правой части формулы разложения <img width=«52» height=«24» src=«ref-1_747606211-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1344"> их остаётся конечное число, ряд обрывается. Эта формула при а=1 является частным случаем бинома Ньютона.
Применение рядов в приближённых вычислениях.

Знакочередующимся рядомназывается ряд, у которого любые 2 члена с номерами k и k+1 (k=1,2,3..) имеют противоположные знаки.

<img width=«277» height=«45» src=«ref-1_747606447-546.coolpic» v:shapes="_x0000_i1345"> 

Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда выражается следующей теоремой:

    продолжение
--PAGE_BREAK--