Реферат: Интеграл и его свойства

--PAGE_BREAK--            Интегралы вида <img width=«121» height=«29» src=«ref-1_288928326-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103"> Универсальная подстановка. Будем рассматривать интегралы вида:

<img width=«121» height=«29» src=«ref-1_288928326-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">  — (7)

при условии, что они не являются табличными. Вычислить их можно различными методами, изложенными ранее. Иногда бывает достаточно преобразовать подынтегральное выражение, использовав тригонометрические формулы, применить методы «подведения» множителя под знак дифференциала, замены переменной или интегрирования по частям.

            Для вычисления интеграла вида (7) существует общая универсальная схема вычисления, основанная на универсальной тригонометрической подстановке <img width=«53» height=«41» src=«ref-1_288928904-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">.

            Интегралы вида <img width=«12» height=«23» src=«ref-1_288898649-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106"><img width=«111» height=«29» src=«ref-1_288929151-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107"> (
m,
n є Z,
m ≥ 0,
n ≥ 0). Если хотя бы одно из чисел mи  n– нечетное, то, отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы sin2
x+
cos2
x=1 оставшуюся четную степень через конфункцию, приходим к табличному интегралу.

            Интегралы вида <img width=«59» height=«29» src=«ref-1_288929416-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">, <img width=«65» height=«29» src=«ref-1_288929614-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">, (
n є N,
n > 1). Эти интегралы вычисляются подстановками tgx=
tи ctgx=
tсоответсвенно.

            Если t=
tgx, то x=
arctgt, <img width=«73» height=«41» src=«ref-1_288929823-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">. Тогда:

<img width=«136» height=«44» src=«ref-1_288930045-370.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">.

            Последний интеграл при n ≥ 2 является интегралом от неправильной рациональной дроби, которая вычисляется по правилу интегрирования рациональных дробей.

            Аналогично если t=
ctgx, то x=
arcctgt, <img width=«84» height=«41» src=«ref-1_288930415-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">, откуда:

<img width=«155» height=«44» src=«ref-1_288930648-394.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">

            Интегралы вида <img width=«113» height=«29» src=«ref-1_288931042-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114"> <img width=«116» height=«29» src=«ref-1_288931312-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115"> <img width=«108» height=«29» src=«ref-1_288931582-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116"> (
m,
n є R). Они вычисляются путем разложения подынтегральной функции на слагаемые по формулам:

<img width=«292» height=«41» src=«ref-1_288931849-554.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">

<img width=«299» height=«41» src=«ref-1_288932403-552.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">

<img width=«304» height=«41» src=«ref-1_288932955-559.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119">

8.
Интегрирование иррациональных выражений.

            Интегралы вида <img width=«160» height=«32» src=«ref-1_288933514-375.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120"> (m1,
n1,
m2,
n2, … — целые числа). В этих интегралах подынтегральная функция рациональна относительно переменной интегрирования и радикалов от х. Они вычисляются подстановкой x=
ts, где s – общий знаменатель дробей <img width=«25» height=«47» src=«ref-1_288933889-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121">, <img width=«27» height=«47» src=«ref-1_288934028-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122">, … При такой замене переменной все отношения <img width=«25» height=«47» src=«ref-1_288933889-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">= r1, <img width=«27» height=«47» src=«ref-1_288934028-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">= r2, … являются целыми числами, т. е. интеграл приводится к рациональной функции от переменной t:

<img width=«160» height=«32» src=«ref-1_288933514-375.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125"><img width=«164» height=«29» src=«ref-1_288934838-338.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126">

            Интегралы вида <img width=«232» height=«55» src=«ref-1_288935176-716.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127"> (m1,
n1,
m2,
n2, … — целые числа). Эти  интегралы подстановкой:

<img width=«80» height=«41» src=«ref-1_288935892-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128">

где s– общий знаменатель дробей <img width=«25» height=«47» src=«ref-1_288933889-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">, <img width=«27» height=«47» src=«ref-1_288934028-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">, …, сводятся к рациональной функции от переменной t.

            Интегралы вида <img width=«141» height=«47» src=«ref-1_288936425-365.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131"> <img width=«143» height=«47» src=«ref-1_288936790-446.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132"> <img width=«149» height=«47» src=«ref-1_288937236-378.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133"> Для вычисления интеграла I1 выделяется полный квадрат под знаком радикала:

<img width=«411» height=«56» src=«ref-1_288937614-1080.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">

и применяется подстановка:

<img width=«73» height=«41» src=«ref-1_288938694-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135">, dx=du.

В результате этот интеграл сводится к табличному: <img width=«111» height=«47» src=«ref-1_288938901-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136">

            В числителе интеграла I2 выделяется дифференциал выражения, стоящего под знаком радикала, и этот интеграл представляется в виде суммы двух интегралов:

<img width=«351» height=«71» src=«ref-1_288939220-1070.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137">

<img width=«252» height=«49» src=«ref-1_288940290-719.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138">
<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_288898649-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139"><img width=«352» height=«48» src=«ref-1_288941082-770.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140">

<img width=«216» height=«45» src=«ref-1_288941852-529.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141">

где I1 – вычисленный выше интеграл.

            Вычисление интеграла I3 сводится к вычислению интеграла I1 подстановкой:

<img width=«47» height=«41» src=«ref-1_288942381-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142"> <img width=«89» height=«41» src=«ref-1_288942537-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143">

            Интеграл вида <img width=«156» height=«32» src=«ref-1_288942769-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144"> Частные случаи вычисления интегралов данного вида рассмотрены в предыдущем пункте. Существует несколько различных приемов их вычисления. Рассмотрим один из таких приемов, основанный на применении тригонометрических подстановок.

            Квадратный трехчлен ax2+
bx+
cпутем выделения полного квадрата и замены переменной может быть представлен в виде <img width=«56» height=«21» src=«ref-1_288943132-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145"> Таким образом, достаточно ограничиться рассмотрением трех видов интегралов:

<img width=«161» height=«32» src=«ref-1_288943281-353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146"> <img width=«163» height=«32» src=«ref-1_288943634-365.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147"> <img width=«161» height=«32» src=«ref-1_288943999-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148">

            Интеграл <img width=«161» height=«32» src=«ref-1_288943281-353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">подстановкой

u=ksint            (илиu=kcost)


сводится к интегралу от рациональной функции относительно sintи cost.

            Интегралы
вида
<img width=«116» height=«29» src=«ref-1_288944706-286.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150">
 (m, n, p є
Q, a, b є R). Рассматриваемые интегралы, называемые интегралами от дифференциального бинома <img width=«107» height=«24» src=«ref-1_288944992-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151">, выражаются через элементарные функции только в следующих трех случаях:

1)      если p є Z, то применяется подстановка:

x=
ts,

где s– общий знаменатель дробей mи n;

2)      если <img width=«47» height=«41» src=«ref-1_288945226-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152"> Z, то используется подстановка:

a+
bxn=
ts,

где s – знаменатель дроби <img width=«49» height=«41» src=«ref-1_288945398-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">

3)      если <img width=«77» height=«41» src=«ref-1_288945560-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154"> Z, то применяется подстановка:

ax-n+b=ts,

где s– знаменатель дроби <img width=«49» height=«41» src=«ref-1_288945398-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">
9.     
Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл.

                  Определение. Если существует конечный передел интегральной суммы (8)

<img width=«381» height=«45» src=«ref-1_288945944-736.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">  — (8)

при λ→0, не зависящий от способа разбиения τ
nотрезка [
a;
b] на частичные отрезки и выбора промежуточных точек ξ
k, то этот предел называют определенным интегралом (или интегралом Римана) от функции
f(
x) на отрезке [
a;
b] и обозначают:

<img width=«184» height=«51» src=«ref-1_288946680-534.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">

            Если указанный предел существует, то функция f(
x) называется интегрируемой на отрезке [a; b] (или интегрируемой по Риману). При этом f(
x)
dxназывается подынтегральным выражением,
f(
x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования,
aи b – соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

            Определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма, в случае, когда диаметр разбиения λ стремится к нулю.

            Геометрический смысл определенного интеграла. Пусть функция y=
f(
x) непрерывна на отрезке [a; b] и f(
x) ≥ 0. Фигура, ограниченная графиком АВ функции y=
f(
x), прямыми x=
a,
x=
bи осью Ох (рис. 1), называется криволинейной трапецией.

<img width=«264» height=«198» src=«ref-1_288947214-16639.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1030">            Интегральная сумма и ее слагаемые имеют простой геометрический смысл: произведение <img width=«65» height=«24» src=«ref-1_288963853-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158"> равно площади прямоугольника с основанием <img width=«100» height=«24» src=«ref-1_288964034-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159"> и высотой <img width=«43» height=«24» src=«ref-1_288964230-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">, а сумма <img width=«123» height=«45» src=«ref-1_288964373-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161"> представляет собой площадь заштрихованной ступенчатой фигуры (изображенной на рис. 1). Очевидно, что эта площадь зависит от разбиения τ
nотрезка [a; b] на частичные отрезки и выбора точек ξ
k.

            Чем меньше <img width=«28» height=«24» src=«ref-1_288964704-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">, k=1,
n, тем площадь ступенчатой фигуры ближе к площади криволинейной трапеции. Следовательно, за точную площадь S криволинейной трапеции принимается предел интегральной суммы при λ→0:

<img width=«212» height=«51» src=«ref-1_288964822-554.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">

            Таким образом, с геометрической точки зрения определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.


10. 
Основные свойства определенного интеграла.

                  Рассмотрим свойства определенного интеграла.

1.                
Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (
a=
b), то интеграл равен нулю:

<img width=«89» height=«51» src=«ref-1_288965376-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">

            Это свойство следует из определения интеграла.
2.                
Если
f(x)=1, то

<img width=«80» height=«51» src=«ref-1_288965653-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">

            Действительно, так как f(
x)=1, то

<img width=«240» height=«52» src=«ref-1_288965899-568.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">

3.                
При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

<img width=«145» height=«51» src=«ref-1_288966467-413.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">

4.                
Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

<img width=«145» height=«51» src=«ref-1_288966880-426.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168"> <img width=«36» height=«19» src=«ref-1_288967306-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">R.

5.                
Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых на [
a;
b] функций
f1(
x),
f2(
x), …,
fn(
x) равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых:

<img width=«457» height=«51» src=«ref-1_288967421-1000.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">

6          (аддитивность определенного интеграла). Если существует интегралы <img width=«61» height=«51» src=«ref-1_288968421-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">и <img width=«64» height=«51» src=«ref-1_288968657-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172"> то существует также интеграл <img width=«61» height=«51» src=«ref-1_288968902-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173"> и для любых чисел
a,
b,
c;


<img width=«208» height=«51» src=«ref-1_288969144-551.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">

            7.         Если
f(
x) ≥ 0
<img width=«36» height=«19» src=«ref-1_288969695-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">[
a;
b], то

<img width=«89» height=«51» src=«ref-1_288969811-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176"> a <
b.

8          (определенность определенного интеграла). Если интегрируемые функции
f(
x) и
φ(
x) удовлетворяют неравенству
f(
x) ≥ φ(
x) <img width=«36» height=«19» src=«ref-1_288969695-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">[
a;
b], то

<img width=«136» height=«51» src=«ref-1_288970215-410.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178"> a >
b.

9          (об оценке определенного интеграла). Если
m и М – соответственно нименьшее и наибольшее значения функции
f(
x), непрерывной на отрезке [
a;
b], то

<img width=«211» height=«51» src=«ref-1_288970625-500.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179"> a <
b.

10        (теорема о среднем). Если функция
f(
x) непрерывна на отрезке [
a;
b], то существует такая точка <img width=«25» height=«21» src=«ref-1_288971125-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">[
a;
b], что

<img width=«155» height=«51» src=«ref-1_288971231-408.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">

т. е. определенный интеграл от переменной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке ξ отрезка интегрирования  [
a;
b] и длины
b-
a этого отрезка.
11. 
Теорема о среднем.

            Если функция
f(
x) непрерывна на отрезке [
a;
b], то существует такая точка <img width=«25» height=«21» src=«ref-1_288971125-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">[
a;
b], что

<img width=«155» height=«51» src=«ref-1_288971231-408.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">

т. е. определенный интеграл от переменной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке ξ отрезка интегрирования  [
a;
b] и длины
b-
a этого отрезка.


12. 
Производная определенного интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.

            До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования aи b. Если оставить постоянным нижний предел интегрирования a, а верхний х изменять так, чтобы x є [
a;
b], то величина интеграла будет изменяться. Интеграл вида:

<img width=«108» height=«51» src=«ref-1_288972153-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184"> xє [a; b],

называется определенным интегралом с переменным верхним пределом и является функцией верхнего предела х. Здесь для удобства переменная интегрирования обозначена буквой t, а верхний предел интегрирования – буквой х.

            Теорема. Производная определенного интеграла от непрерывной функции
f(
x) по его переменному верхнему пределу существует и равна подынтегральной функции, в которой вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела:

<img width=«187» height=«53» src=«ref-1_288972473-512.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">

            Формула Ньютона-Лейбница. Формула Ньютона-Лейбница дает правило вычисления определенного интеграла: значение определенного интеграла на отрезке [
a;
b] от непрерывной функции
f(
x) равно разности значений любой ее первообразной, вычисленной при
x=
b и
x=
a.

<img width=«159» height=«51» src=«ref-1_288972985-408.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">  — (9)
    продолжение
--PAGE_BREAK--