Реферат: Алгебраические группы матриц

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ МАТРИЦ

Исполнитель:

студентка группы H.01.01.01 М-42

Мариненко В.В.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Скиба С.В.

Гомель 2003

Содержание

Введение

1. Алгебраические группы матриц

1.1 Примеры алгебраических групп матриц

1.2 О полугруппах

1.3 Компоненты алгебраической группы

1.4 О -группах

2 Ранг матрицы

2.1 Возвращение к уравнениям

2.2 Ранг матрицы

2.3 Критерий совместности

3 Линейные отображения. Действия с матрицами

3.1 Матрицы и отображения

3.2 Произведение матриц

3.3 Квадратные матрицы

Заключение

Список использованных источников

Введение

Множество /> матриц />-ой степени над /> будем рассматривать как аффинное пространство /> с имеющейся на ней полиномиальной топологией. Алгебраические группы матриц определяются как невырожденные части алгебраических множеств из />, являющиеся группами относительно обычного матричного умножения. Простейший пример такой группы — общая линейная группа />. В настоящем параграфе мы начнем систематическое изучение алгебраических матричных групп.

Все топологические понятия относятся к полиномиальной топологии; черта обозначает замыкание в />, диез — замыкание в />, бемоль — взятие невырожденной части, т. е. /> — совокупность всех невырожденных матриц из />. Иногда, допуская вольность, мы употребляем для групп те же понятия, что и для подлежащих алгебраических множеств, — например, говорим об общих точках групп; это не должно вызывать недоразумений.

1. Алгебраические группы матриц

1.1 Примеры алгебраических групп матриц

Классические матричные группы — общая, специальная, симплектическая и ортогональная:

где />

/>— единичная матрица и штрих обозначает транспонирование.

Диагональная группа />, группы клеточно-диагональных матриц данного вида. Треугольная группа /> (для определенности — с нижним нулевым углом), унитреугольная группа /> (треугольные матрицы с единичной диагональю), группы клеточно-треугольных матриц данного вида.

Централизатор произвольного множества из /> в алгебраической группе />, нормализатор замкнутого множества из /> в />.

Пересечение всех алгебраических групп, содержащих данное множество матриц /> из /> — алгебраическая группа. Она обозначается /> и называется алгебраической группой, порожденной множеством />.

--PAGE_BREAK--

Каждую алгебраическую линейную группу из /> можно изоморфно — в смысле умножения и полиномиальной топологии — отождествить с замкнутой подгруппой из /> в силу формулы

Такое отождествление позволяет при желании ограничиться рассмотрением только таких групп матриц, которые сами являются алгебраическими множествами (а не их невырожденными частями). Это дает другое оправдание тем вольностям в терминологии, которые упоминались в начале параграфа.

Множество всех матриц из />, оставляющих инвариантной заданную невырожденную билинейную форму /> на />.

Пусть /> — алгебра над /> конечной размерности /> (безразлично, ассоциативная или нет), /> — группа всех ее автоморфизмов. Фиксируя в /> какую-нибудь базу /> и сопоставляя автоморфизмам алгебры /> их матрицы в этой базе, мы получим на /> строение алгебраической группы. Действительно, пусть

т. е. /> — структурные константы алгебры />. Пусть далее

где />. Тогда /> задается в матричных координатах /> очевидными полиномиальными уравнениями, вытекающими из соотношений

Указать в приведенных выше примерах определяющие уравнения, найти общую точку, если она есть.

В дальнейшем нам встретится еще много примеров и конструкций алгебраических матричных групп.

1.1.1 Если матричная группа />содержит алгебраическую подгруппу />конечного индекса, то />сама алгебраическая.

Доказательство. Пусть /> — аннулятор группы /> в />, /> — его корень в />. Надо показать, что />. Пусть, напротив, />. Пусть /> — смежные классы /> по />. Для каждого /> выберем многочлен

и положим

Очевидно, />, />. Получили противоречие.

Пусть /> — алгебраическая группа, />, /> — подмножество и замкнутое подмножество из />. Тогда множества

где />, замкнуты. Если /> тоже замкнуто и /> — общее поле квазиопределения для />, />, />, то />, />, /> квазиопределены над />. В частности, если существует хотя бы одно /> с условием /> (соответственно, />, />), то можно считать, что /> (см. 7.1.5).

Если на множестве /> выполняется теоретико-групповое тождество />, то оно выполняется и на его замыкании />. В частности, коммутативность, разрешимость, нильпотентность матричной группы сохраняются на ее замыкании в полиномиальной топологии.

1.2 О полугруппах

Определим действие элементов из /> на рациональные функции из />, />, полагая

Для каждого /> отображение /> (сдвиг аргумента) есть автоморфизм поля />. Отображение /> есть изоморфизм полной линейной группы /> в группу автоморфизмов расширения />.

Имеет место следующее предложение.

1.2.1 Все замкнутые (в полиномиальной топологии) полугруппы из />являются группами. Более общно: замыкание />произвольной полугруппы />— группа. Более точно: если />— аннулятор />в />, то />совпадает с

Здесь вместо /> можно написать />.

Доказательство. Во-первых, /> и, значит, />. Действительно, если />, /> и />, то />, т. е. />. Подпространство /> многочленов из /> степени /> отображается оператором /> на себя, так как оно конечномерно, а опрератор обратим. Но тогда и всё /> отображается на себя, как объединение всех />.

продолжение
--PAGE_BREAK--

Во-вторых, />, т. е. /> для каждого />. Действительно, пусть />. По уже доказанному, />. Найдём /> с условием />. Тогда />.

В-третьих, />, т. е. /> для всех />, />. Действительно, />. Предложение доказано.

Таким образом, теория алгебраических полугрупп из /> исчерпывается теорией алгебраических групп.

Отметим ещё одно полезное предложение.

1.2.2 Пусть алгебраическая группа />неприводима, т. е. />— многообразие, />— густое подмножество, плотное в />. Тогда каждый элемент />является произведением двух элементов из />; в частности, если />— подгруппа, то она совпадает с />.

Доказательство. Множества /> и /> тоже густые и плотные, поэтому пересечение /> непусто (см. п. 8.2).

Если /> — полугруппа из />, то />.

1.3 Компоненты алгебраической группы

Пусть /> — алгебраическая группа матриц. Невырожденные части компонент её подлежащего многообразия /> называеются компонентами группы />. наличие в /> групповой структуры позволяет высказать о компонентах ряд важных утверждений, отсутствующих в случае произвольного многообразия.

1.3.1 Теорема. Пусть />— алгебраическая группа матриц. Её компонента />, содержащая единицу, единственна и является нормальной подгруппой. Остальные компоненты — смежные классы />по />(в частности, они являются связными компонентами группы />в полиномиальной топологии). />— единственная связная замкнутая подгруппа конечного индекса в />. Аннулятор />компоненты />связан с аннулятором />всей группы />следующим образом:

/>для некоторого />, зависящего от />

/>, где />— аннулятор единицы в />, />— некоторый многочлен из />.

Доказательство. а) Пусть /> — общее поле определения всех компонент /> группы />. Пусть />, /> содержат единицу />, />, /> — их независимые общие точки над /> и />, />. Имеем специализации

над />, откуда />, />, />. Этим доказана единственность компоненты />.

б) Очевидно, что отображения

являются гомеоморфизмами пространства />. Так как /> инвариантна относительно них, то /> — нормальная подгруппа группы />.

в) Пусть />. Тогда /> при фиксированном /> — снова все компоненты группы />. В частности, />, />. Этим доказано, что /> — смежные классы /> по /> и, значит, связные компоненты группы />.

г) Если /> — связная замкнутая подгруппа группы />, то, предыдущему, />. Если, кроме того, /> конечного индекса, то она той же размерности, что и />, потому совпадает с />.

д) Для каждого /> возьмем многочлен

Пусть /> — точка из />, в которой />. Рассмотрим многочлен

Он искомый. В самом деле, очевидно, />. Оба включения справа налево очевидны (использовать простоту идеала />). Остается доказать включение

продолжение
--PAGE_BREAK--

Пусть />, />. Имеем:

Если />, то />, если же />, />, то />. В любом случае />. Следовательно, />. Теорема доказана.

Мы видим, в частности, что для алгебраической группы неприводимость и связность в полиномиальной топологии — одно и то же; в дальнейшем мы будем пользоваться только вторым термином, чтобы избежать путаницы с понятием матричной приводимости групп (к полураспавшейся форме).

Доказать, что связанная компонента единицы алгебраической группы содержится в любой замкнутой подгруппе конечного индекса.

Подгруппа /> алгебраической группы /> тогда и только тогда замкнута, когда замкнуто её пересечение со связной компонентой единицы />.

<<Только тогда>> очевидно. <<Тогда>> вытекает из 9.1.9, если заметить, что

Конечная нормальная подгруппа /> связной алгебраической группы /> всегда лежит в центре />.

В заключение отметим, что если в качестве универсальной области выбрано поле комплексных чисел />, то в алгебраической группе можно рассматривать две топологии — полиномиальную и евклидову. Ясно, что вторая тоньше первой, поэтому, в частности, евклидова связная компонента единицы содержится в полиномиальной связной компоненте. Можно было бы доказать и обратное, т. е. на самом деле связные компоненты комплексной алгебраической группы в обеих топологиях одни и те же. Этот результат становится неверным, если рассматривать />-порцию комплексной алгебраической группы (по поводу определения см. следующий пункт).

1.4. О />-группах

Пусть /> — поле. По определению, алгебраическая />-группа — это группа матриц из />, выделяемая полиномиальными уравнениями с коэффициентами в />. Иначе можно сказать, что это />-порция, т. е. пересечение с />, некоторой алгебраической группы, квазиопределенной над />. Обычные алгебраические группы тоже можно трактовать как />-группы по отношению к некоторой большей универсальной области />. В этом смысле понятие алгебраической />-группы является более общим, так как от /> не требуется ни алгебраической замкнутости, ни бесконечной степени трансцендентности над простым полем.

В свойствах алгебраических групп и />-групп много общего. Имеется сандартный способ перехода от первых ко вторым — посредством поля определения (в чём и состоит основное значение этого понятия). Нам не раз представится возможность продемонстрировать этот способ. В целом же />-группы в нашем изложении останутся на заднем плане, лишь иногда выходя на авансцену.

Многие результаты о />-группах по формулировке и доказательству вполне аналогичны результатам об абсолютных алгебраических группах (в />) и опираются на сведения из алгебраической геометрии для />-множеств, (по определению, алгебраическое />-множество выделяется в /> уравнениями с коэффициентами из />).

2 Ранг матрицы

2.1 Возвращение к уравнениям

В арифметическом линейном пространстве /> столбцов высоты /> рассмотрим /> векторов

и их линейную оболочку />. Пусть дан еще один вектор />. Спрашивается, принадлежит ли /> подпространству />, а если принадлежит, то каким образом его координаты /> выражаются через координаты векторов />. В случае /> вторая часть вопроса относится к значениям координат вектора /> в базисе />. Мы берем линейную комбинацию векторов /> с произвольными коэффициентами /> и составляем уравнение />. Наглядный вид этого уравнения

/> ??

есть лишь иная запись системы из /> линейных уравнений с /> неизвестными:

/> ??

Первое впечатление таково, что мы вернулись к исходным позициям, потеряв время и ничего не выиграв. На самом же деле мы располагаем теперь рядом важных понятий. Осталось приобрести навыки в обращении с ними.

В этом месте удобно условиться в обозначениях. В дальнейшем для сокращения записи мы часто будем обозначать сумму /> значком />. При этом /> — величины произвольной природы (числа, векторы-строки и т. д.), для которых выполнены все законы сложения чисел или векторов. Правила

достаточно понятны, чтобы их нужно было разъяснять. Будут рассматриваться также двойные суммы,

в которых порядок суммирования (по первому и по второму индексу) можно выбирать по своему желанию. Это легко понять, если расположить величины /> в прямоугольную матрицу размера />: в нашей воле начинать суммирование элементов матрицы по строкам или по столбцам.

Другие возможные типы суммирования будут разъясняться в нужном месте.

продолжение
--PAGE_BREAK--

2.2 Ранг матрицы

Назовем пространством столбцов прямоугольной матрицы /> размера /> введенное выше пространство />, которое мы будем обозначать теперь символом /> или просто /> (в — вертикальный). Его размерность /> назовем рангом по столбцам матрицы />. Аналогично вводится ранг по строкам матрицы />: />, где /> — подпространство в />, натянутое на векторы-строки />, /> (г — горизонтальный). Другими словами,

— ранги систем векторов-столбцов и соответственно векторов-строк. По теореме о существовании конечного базиса у подпространства /> величины /> и /> определены правильно.

Будем говорить, что матрица /> получена из /> при помощи элементарного преобразования типа (I), если /> для какой-то пары индексов /> и /> для />. Если же /> для всех /> и />, />, то говорим, что к /> применено элементарное преобразование типа (II).

Заметим, что элементарные преобразования обоих типов обратимы, т. е. матрица />, получающаяся из /> при помощи одного элементарного преобразования, переходит снова в /> путем применения одного элементарного преобразования, причем того же типа.

2.2.1 Лемма. Если матрица />получена из прямоугольной матрицы />путем применения конечной последовательности элементарных преобразований, то имеют место равенства:

(i) />

(ii) />

Доказательство. Достаточно рассмотреть тот случай, когда /> получена из /> путем применения одного элементарного преобразования (сокращенно э. п.).

(i) Так как, очевидно, />, то э. п. типа (I) не меняет />. Далее, /> и, следовательно, />, так что /> не меняется и при э. п. типа (II).

(ii) Пусть /> — столбцы матрицы />. Нам нужно доказать, что

Тогда всякой, в том числе и максимальной, независимой системе столбцов одной матрицы будет отвечать независимая система столбцов с теми же номерами другой матрицы, чем и устанавливается равенство />. Заметим еще, что в силу обратимости элементарных преобразований достаточно доказать импликацию в одну сторону. Пусть, например, />. Тогда, заменяя в (1) /> на /> и все /> на 0, мы видим, что /> — решение однородной системы ОС, ассоциированной с линейной системой (2). По соответствующей теореме это решение будет также решением однородной системы />, получающейся из ОС при помощи э. п. типа (I) или (II) и имеющей своей матрицей как раз матрицу />. Так как система /> кратко записывается в виде />, то мы приходим к соотношению />

Основным результатом этого параграфа является следующее утверждение:

2.2.2 Теорема. Для любой прямоугольной />-матрицы />справедливо равенство />(это число называется просто рангом матрицы />и обозначается символом />).

Доказательство. Т. к. конечным числом элементарных преобразований, совершаемых над строками />, матрицу /> можно привести к ступенчатому виду:

/> ??

с />. Согласно лемме /> так что нам достаточно доказать равенство />.

Столбцы матриц /> и /> с номерами />, отвечающими главным неизвестным /> линейной системы (2), будем называть базисными столбцами. Эта терминология вполне оправдана. Предположив наличие соотношения

связывающего векторы-столбцы />, />, /> матрицы (3), получим последовательно: />, />, />, />, />, а так как />, то />. Значит, /> и />. Но пространство />, порожденное столбцами матрицы />, отождествляется с пространством столбцов матрицы, которая получается из /> удалением последних /> нулевых строк. Поэтому />. Сопоставление двух неравенств показывает, что /> (неравенство /> вытекает также из того очевидного соображения, что все столбцы матрицы /> являются линейными комбинациями базисных; проделайте это самостоятельно в качестве упражнения).

продолжение
--PAGE_BREAK--

С другой стороны, все ненулевые строки матрицы /> линейно независимы: любое гипотетическое соотношение

как и в случае со столбцами, дает последовательно />, />, />, />. Откуда />. Стало быть, />

2.3 Критерий совместности

Ступенчатый вид матрицы />, дающий ответ на ряд вопросов относительно линейных систем, содержит элементы произвола, связанные, например, с выбором базисных столбцов или, что эквивалентно, с выбором главных неизвестных системы (2). В то же время из теоремы 1 и из ее доказательства извлекается

Следствие. Число главных неизвестных, линейной системы (2) не зависит от способа приведения ее к ступенчатому виду и равно />, где />— матрица системы.

Действительно, мы видели, что число главных неизвестных равно числу ненулевых строк матрицы /> (см. (3)), совпадающему, как мы видели, с рангом матрицы />. Ранг определялся нами совершенно инвариантным образом. Этими словами выражается тот факт, что ранг матрицы служит ее внутренней характеристикой, не зависящей от каких-либо привходящих обстоятельств. />

В следующей главе мы получим эффективное средство для вычисления ранга матрицы />, устраняющее необходимость приведения /> к ступенчатому виду. Это, несомненно, повысит ценность утверждений, основанных на понятии ранга. В качестве простого, но полезного примера сформулируем критерий разрешимости линейной системы.

2.3.3 Теорема. (Кронекер — Капелли) Система линейных уравнений (2) совместна тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы совпадает с рангом расширенной матрицы

Доказательство. Совместность линейной системы (2), записанной в виде (1), можно трактовать как вопрос о представлении вектора-столбца /> свободных членов в виде линейной комбинации векторов-столбцов /> матрицы />. Если такое представление возможно (т. е. система (2) совместна), то /> и />, откуда /> (см. формулировку теоремы 1).

Обратно, если ранги матриц /> и /> совпадают и /> — какая-то максимальная линейно независимая система базисных столбцов матрицы />, то расширенная система /> будет линейно зависимой, а это означает, что /> — линейная комбинация базисных (и тем более всех) столбцов />. Стало быть, система (2) совместна. />

3. Линейные отображения. Действия с матрицами

3.1 Матрицы и отображения

Пусть /> и /> — арифметические линейные пространства столбцов высоты /> и /> соответственно. Пусть, далее, /> — матрица размера />. Определим отображение />, полагая для любого />

где /> — столбцы матрицы />. Так как они имеют высоту />, то в правой части (1) стоит вектор-столбец />. Более подробно (1) переписывается в виде

Если />,

то />.

Аналогично />.

Обратно, предположим, что /> — отображение множеств, обладающее следующими двумя свойствами:

(i) />для всех />;

(ii) />для всех />.

Тогда, обозначив стандартные базисные столбцы пространств /> и /> соответственно символами /> и />, мы воспользуемся свойствами (i), (ii) в применении к произвольному вектору

/>:

Соотношение (2) показывает, что отображение /> полностью определяется своими значениями на базисных векторах-столбцах. Положив

мы обнаруживаем, что задание /> равносильно заданию прямоугольной матрицы /> размера /> со столбцами />, а соотношения (1) и (2) фактически совпадают. Стало быть, можно положить />.

3.1.1. Определение. Отображение />, обладающее свойствами (i), (ii), называется линейным отображением из /> в />. Часто, в особенности при />, говорят о линейном преобразовании. Матрица /> называется матрицей линейного отображения />.

Пусть />, /> — два линейных отображения /> с матрицами /> и />. Тогда равенство /> равносильно совпадению значений /> для всех />. В частности, />, откуда /> и />.

продолжение
--PAGE_BREAK--

Резюмируем наши результаты:

3.1.2 Теорема. Между линейными отображениями />в />и матрицами размера />существует взаимно однозначное соответствие.

Следует подчеркнуть, что бессмысленно говорить о линейных отображениях /> произвольных множеств /> и />. Условия (i), (ii) предполагают, что /> и /> — подпространства арифметических линейных пространств />, />.

Обратим внимание на специальный случай />, когда линейное отображение />, обычно называемое линейной функцией от /> переменных, задается /> скалярами />:

Линейные функции (4), равно как и произвольные линейные отображения /> при фиксированных /> и /> можно складывать и умножать на скаляры. В самом деле, пусть /> — два линейных отображения. Отображение

определяется своими значениями:

В правой части стоит обычная линейная комбинация векторов-столбцов.

Так как

то /> — линейное отображение. По теореме 1 можно говорить о его матрице />. Чтобы найти />, выпишем, следуя (3), столбец с номером />:

Матрицу /> с элементами /> естественно назвать линейной комбинацией матриц /> и /> с коэффициентами /> и />:

Итак, />.

Особенно часто нами будет использоваться тот факт, что линейные комбинации линейных функций снова являются линейными функциями.

3.2 Произведение матриц

Соотношения (5) и (6) выражают согласованность действий сложения и умножения на скаляры в множествах матриц размера /> и отображений />. В случае произвольных множеств имеется еще важное понятие произведения (композиции) отображений. Разумно ожидать, что композиция двух линейных отображений должна выражаться неким согласованным образом в терминах матриц. Посмотрим как это делается.

Пусть />, /> — линейные отображения, /> — их композиция.

Вообще говоря, нам следовало бы предварительно проверить, что /> — линейное отображение, но это довольно ясно:

(i) />;

(ii) />;

поэтому по теореме 1 с /> ассоциируется вполне определенная матрица />.

Действие отображений на столбцы в цепочке запишем в явном виде по формуле (/>):

С другой стороны,

Сравнивая полученные выражения и памятуя о том, что /> — произвольные вещественные числа, мы приходим к соотношениям

Будем говорить, что матрица /> получается в результате умножения матрицы /> на матрицу />. Принято писать />. Таким образом, произведением прямоугольной матрицы /> размера /> и прямоугольной матрицы /> размера /> называется прямоугольная матрица /> размера /> с элементами />, задающимися соотношением (7). Нами доказана

3.2.1 Теорема. Произведение />двух линейных отображений с матрицами />и />является линейным отображением с матрицей />. Другими словами,

Соотношение (8) — естественное дополнение к соотношению (6).

Мы можем забыть о линейных отображениях и находить произведение /> двух произвольных матриц />, />, имея в виду, однако, что символ />имеет смысл только в том случае, когда число столбцов в матрице />совпадает с числом строк в матрице />. Именно при этом условии работает правило (7) «умножения />-й строки /> на />-й столбец />», согласно которому

продолжение
--PAGE_BREAK--

Число строк, матрицы />равно числу строк матрицы />, а число столбцов — числу столбцов матрицы />. В частности, произведение квадратных матриц одинаковых порядков всегда определено, но даже в этом случае, вообще говоря, />, как показывает хотя бы следующий пример:

Умножение матриц, конечно, можно было бы вводить многими другими способами (умножать, например, строки на строки), но ни один из этих способов не сравним по важности с рассмотренным выше. Это и понятно, поскольку мы пришли к нему при изучении естественной композиции (суперпозиции) отображений, а само понятие отображения относится к числу наиболее фундаментальных в математике.

Следствие. Умножение матриц ассоциативно:

Действительно, произведение матриц соответствует произведению линейных отображений (теорема 2 и соотношение (8)), а произведение любых отображений ассоциативно. К тому же результату можно прийти вычислительным путем, используя непосредственно соотношение (7).

3.3 Квадратные матрицы

Пусть /> (или />) — множество всех квадратных матриц (/>) порядка /> с вещественными коэффициентами />,

Единичному преобразованию />, переводящему каждый столбец /> в себя, соответствует, очевидно, единичная матрица

Можно записать />, где

— символ Кронекера. Правило (7) умножения матриц, в котором следует заменить /> на />, показывает, что справедливы соотношения

Матричные соотношения (10), полученные вычислительным путем, вытекают, конечно, из соотношений /> для произвольного отображения />, если воспользоваться теоремой 1 и равенством (8) с />.

Как мы знаем (см. (5)), матрицы из /> можно умножать на числа, понимая под />, где />, матрицу />.

Но умножение на скаляр (число) сводится к умножению матриц:

— известная нам скалярная матрица.

В равенстве (11) отражен легко проверяемый факт перестановочности /> с любой матрицей />. Весьма важным для приложений является следующее его обращение.

3.3.1 Теорема. Матрица из />, перестановочная со всеми матрицами в />, должна быть скалярной.

Доказательство. Введем матрицу />, в которой на пересечении />-й строки и />-го столбца стоит 1, а все остальные элементы — нулевые. Если /> — матрица, о которой идет речь в теореме, то она перестановочна,

Перемножая матрицы в левой и правой частях этого равенства, мы получим матрицы

с единственным ненулевым />-м столбцом и соответственно с единственной ненулевой />-й строкой. Их сравнение немедленно приводит к соотношениям /> при /> и />. Меняя /> и />, получаем требуемое. />

Отметим еще соотношения />, которые непосредственно вытекают из определения умножения матриц на скаляры или, если угодно, из соотношений (11) и из ассоциативности умножения матриц.

Для данной матрицы /> можно попробовать найти такую матрицу />, чтобы выполнялось условие

Если матрица /> существует, то условию (12) в терминах линейных преобразований отвечает условие

означающее, что /> — преобразование, обратное к />. /> существует тогда и только тогда, когда /> — биективное преобразование. При этом /> определено однозначно. Так как />, то биективность /> означает, в частности, что

Пусть теперь /> — какое-то биективное линейное преобразование из /> в />. Обратное к нему преобразование /> существует, но, вообще говоря, не ясно, является ли оно линейным. Чтобы убедиться в линейности />, мы введем векторы-столбцы

продолжение
--PAGE_BREAK--

и применим к обеим частям этих равенств преобразование />. В силу его линейности получим

Так как />, то

откуда, в соответствии с импликацией (13), находим, что />, /> — нулевые векторы. Таким образом, выполнены свойства (i), (ii) из 3.1, определяющие линейные отображения. Имеем />, где /> — некоторая матрица. Переписав условие (/>) в виде /> (см. (8)) и снова воспользовавшись теоремой 1, мы придем к равенствам (12).

Итак, матрица, обратная к />, существует в точности тогда, когда преобразование />биективно. При этом преобразование />линейно. Биективность /> равносильна условию, что любой вектор-столбец /> записывается единственным образом в виде (1)

где /> — столбцы матрицы /> (сюръективность /> приводит к существованию />, для которого />, а инъективность /> дает единственность />: если />, то />, откуда, согласно (12), />). Значит, /> совпадает с пространством столбцов /> матрицы />, так что />.

Если матрица, обратная к />, существует, то, согласно вышесказанному, она единственна. Ее принято обозначать символом />. В таком случае (см. (/>))

Квадратную матрицу />, для которой существует обратная матрица />, называют невырожденной (или неособенной). Невырожденным называют и соответствующее линейное преобразование />. В противном случае матрицу /> и линейное преобразование /> называют вырожденными (или особенными).

Резюмируем полученные нами результаты.

3.3.2 Теорема. Квадратная матрица />порядка />является невырожденной тогда и только тогда, когда ее ранг равен />. Преобразование />, обратное к />, линейно и задается равенством (14).

Следствие. Невырожденность />влечет невырожденность />и />. Если />— невырожденные />— матрицы, то произведение />также невырождено и />.

Для доказательства достаточно сослаться на симметричность условия />. />

Нами получено довольно много правил действий с квадратными матрицами порядка />. Имеются в виду, ассоциативность (следствие теоремы 2), (10) и теорема 4. Обратим еще внимание на так называемые законы дистрибутивности:

где />, />, /> — произвольные матрицы из />.

Действительно, полагая />, мы получим для любых /> равенство (используется дистрибутивность в />):

левая часть которого дает элемент /> матрицы />, а правая — элементы /> и /> матриц /> и соответственно />. Второй закон дистрибутивности (16) проверяется совершенно аналогично. Необходимость в нем обусловлена некоммутативностью умножения в />. Законы дистрибутивности

для линейных отображений />, />, /> из /> в /> можно не доказывать, ссылаясь на соответствие между отображениями и матрицами, но можно, в свою очередь, выводить (16) из (/>), поскольку в случае отображений, рассуждение столь же просто.

Заключение

Таким образом, в данной курсовой работе мы доказали, что связанная компонента единицы алгебраической группы содержится в любой замкнутой подгруппе конечного индекса. В работе была доказана теорема: Для любой прямоугольной />-матрицы />справедливо равенство />(это число называется просто рангом матрицы />и обозначается символом />).А также было получено эффективное средство для вычисления ранга матрицы />, устраняющее необходимость приведения /> к ступенчатому виду, доказана теорема: Квадратная матрица />порядка />является невырожденной тогда и только тогда, когда ее ранг равен />. Преобразование />, обратное к />, линейно и задается равенством (14) и следствие этой теоремы: невырожденность />влечет невырожденность />и />. Если />— невырожденные />— матрицы, то произведение />также невырождено и />.