Реферат: Исследование функции с помощью производной

1. Монотонность – возрастание или убывание функции.

Если функция дифференцируема на интервале и ( ) для всех, то эта функция возрастает (убывает)на интервале.

2. Экстремумы – максимумы и минимумы функции.

Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой окрестности точки и или не существует, а при переходе через точку производная меняет знак с «–» на «+», то – точка минимума, а при смене знака с «+» на «–» – точка максимума.

знак – + знак + –

поведение min поведение max

3.Выпуклость графика функции. Точки перегиба.

Если функция имеет вторую производную и ( ) для всех, то график этой функции в этом интервале выпуклый внизиливогнутый (выпуклый вверх или просто выпуклый).

Если вторая производная меняет знак при переходе через точку и или не существует, то точка графика с абсциссой – точка перегиба.

знак знак

вид вид

4. Асимптоты графика функции.

Прямая является вертикальной асимптотой графика функции, если .

Прямая является наклонной асимптотой графика функции, если существуют два конечных предела

и .

В частности, если, то прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции.

Замечание. Наклонные асимптоты графика функции при и могут различаться, тогда они называются, соответственно, левой и правой наклонной асимптотой.