Реферат: Разностные аппроксимации

--PAGE_BREAK--2.4. Разностные тождества и неравенства.Для того, чтобы доказать неравенство (13), нам потребуются некоторые разностные тождества и неравенства. Будем рассматривать сеточные функции, заданные на сетке (7). Обозначим

<img width=«360» height=«72» src=«ref-1_297233860-1003.coolpic» v:shapes="_x0000_s1065">



Справедливо следующее разностное утверждение:
(y,
u
x
) = –(
u
, yx) + yN
u
N
– y0
u
1
.                                                                (14)
Действительно,

<img width=«383» height=«139» src=«ref-1_297234863-1423.coolpic» v:shapes="_x0000_s1066">



что и требовалось доказать. Тождество (14) называется формулой суммирования по частям.

Подставляя в (14) вместо uвыражение azx и вместо y функцию z, получаем первую разностную формулу Грина

<img width=«299» height=«28» src=«ref-1_297236286-553.coolpic» v:shapes="_x0000_s1067">


(15)

<img width=«159» height=«45» src=«ref-1_297236839-462.coolpic» v:shapes="_x0000_s1068">


<img width=«200» height=«27» src=«ref-1_297237301-434.coolpic» v:shapes="_x0000_s1069">Здесь                                           В частности, если zN = 0 (как в задаче (11), (12)), то получим

(16)
Обозначим

<img width=«128» height=«45» src=«ref-1_297237735-407.coolpic» v:shapes="_x0000_s1070">



и докажем, что для любой сеточной функции zi, удовлетворяющей условию zN = 0, справедливо неравенство

<img width=«131» height=«27» src=«ref-1_297238142-350.coolpic» v:shapes="_x0000_s1071">


(17)
Для доказательства воспользуемся тождеством

<img width=«329» height=«47» src=«ref-1_297238492-692.coolpic» v:shapes="_x0000_s1072">



и применим неравенство Коши-Буняковского

<img width=«193» height=«55» src=«ref-1_297239184-672.coolpic» v:shapes="_x0000_s1073">



Тогда получим

<img width=«349» height=«51» src=«ref-1_297239856-897.coolpic» v:shapes="_x0000_s1074">



Откуда сразу следует неравенство (17).
2.5. Доказательство сходимости.Возвращаясь к доказательству сходимости схемы (3), (4), получим тождество, которому удовлетворяет погрешность zi = yi – u(xi). Для этого умножим уравнение (11) на hzi и просуммируем по i от 1 до N–1. Тогда получим

<img width=«191» height=«27» src=«ref-1_297240753-420.coolpic» v:shapes="_x0000_s1075">




Отсюда, применяя разностную формулу Грина (16), получим

<img width=«224» height=«27» src=«ref-1_297241173-472.coolpic» v:shapes="_x0000_s1076">




Далее, согласно (12) имеем

<img width=«143» height=«28» src=«ref-1_297241645-363.coolpic» v:shapes="_x0000_s1077">




следовательно, справедливо тождество

<img width=«240» height=«28» src=«ref-1_297242008-500.coolpic» v:shapes="_x0000_s1078">


(18)
Из этого тождества и будет сейчас выведено требуемое неравенство вида (13).

Заметим прежде всего, что если
k(x)
³
c1 > 0,  
b

³
0,   q(x)
³
0,
то коэффициенты разностной схемы (3), (4) удовлетворяют неравенствам
ai
³
c1 > 0,  
b

³
0,   di
³
0.                                                                      (19)
Это утверждение сразу следует из явного представления коэффициентов (5), (6).

Воспользовавшись (19), оценим слагаемые, входящие в левую часть тождества (18), следующим образом:

<img width=«285» height=«72» src=«ref-1_297242508-837.coolpic» v:shapes="_x0000_s1079">



Тогда придем к неравенству
<img width=«197» height=«27» src=«ref-1_297243345-410.coolpic» v:shapes="_x0000_s1080">(20)
Оценим сверху правую часть этого неравенства. Будем иметь

<img width=«461» height=«96» src=«ref-1_297243755-893.coolpic» v:shapes="_x0000_s1081">



Подставляя эту оценку в (20) и учитывая неравенство (17), получим

<img width=«265» height=«48» src=«ref-1_297244648-592.coolpic» v:shapes="_x0000_s1082">




т.е.

<img width=«204» height=«48» src=«ref-1_297245240-515.coolpic» v:shapes="_x0000_s1083">



Окончательно

<img width=«211» height=«45» src=«ref-1_297245755-472.coolpic» v:shapes="_x0000_s1084">


(21)

<img width=«208» height=«27» src=«ref-1_297246227-439.coolpic» v:shapes="_x0000_s1085">


Поскольку                                                                               из неравенства следует,

что погрешность zi = yi – u(xi) также является величиной O(h2) при h®0. Итак, справедливо следующее утверждение.

Пусть k(x) – непрерывно дифференцируемая и q(x), f(x) – непрерывные функции при x
Î
[0, l], решение u(x) задачи (1), (2) обладает непрерывными четвертыми производными. Пусть коэффициенты разностной схемы (3), (4) удовлетворяют условиям (8), (9), (19). Тогда решение разностной задачи (3), (4) сходится при h
®
0 к решению исходной дифференциальной задачи (1), (2) со вторым порядком по h, так что выполняется оценка

<img width=«131» height=«27» src=«ref-1_297246666-348.coolpic» v:shapes="_x0000_s1086">




где M – постоянная, не зависящая от h.



3. Разностные схемы для уравнения теплопроводности

3.1. Исходная задача.Будем рассматривать следующую первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами. В области {0 < x < 1, 0 < t £
T}требуется найти решение уравнения

<img width=«128» height=«44» src=«ref-1_297247014-441.coolpic» v:shapes="_x0000_s1087">


(1)
удовлетворяющее начальному условию

u(x, 0) = u0(x)                                                                                          (2)

и граничным условиям

u(0, t) =
m
1
(t), u(1, t) =
m
2
(t).                                                                   (3)

Здесь u0(x), m
1
(t),
m
2
(t)– заданные функции. Известно, что при определенных предположениях гладкости решение задачи (1)–(3) существует и единственно. В дальнейшем при исследовании аппроксимации разностных схем будем предполагать, что решение u(x, t) обладает необходимым по ходу изложения числом производных по x и по t. Решение задачи (1) – (3) удовлетворяет принципу максимума и тем самым непрерывно зависит от начальных и граничных данных.
3.2. Явная схема.Как всегда, для построения разностной схемы надо прежде всего ввести сетку в области изменения независимых переменных и задать шаблон, т.е. множество точек сетки, участвующих в аппроксимации дифференциального выражения. Введем сетку по переменному x такую же, как в предыдущей главе, т.е.

w
h
= {xi = ih, i = 0, 1,…, N, hN = 1}

и сетку по переменному t с шагом t, которую обозначим

w
t
= {tn = n
t
, n = 0, 1,…, K, K
t
= T}

Точки (xi, tn), i = 0, 1,…, N, n = 0, 1,…, K, образуют узлы пространственно-временной сетки wh, t= whx wt. Узлы (xi, tn), принадлежащие отрезкам I0= {0 £
x
£
1, t = 0}, I1 = {x = 0, 0
£
t
£
T}, I2 = {x = 1, 0
£
t
£
T}, называются граничными узлами сетки wh, t, а остальные узлы – внутренними. На рисунке граничные узлы обозначены крестиками, а внутренние – кружочками.

<img width=«194» height=«192» src=«ref-1_297247455-566.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1088">Слоемназывается множество всех узлов сетки wh, t, имеющих одну и ту же временную координату. Так, n-м слоем называется множество узлов
(x0, tn), (x1, tn),…, (xN, tn).
Для функции y(x, t), определенной на сетке wh, t, введем обозначения yni = y(xi, tn),

<img width=«271» height=«44» src=«ref-1_297248021-617.coolpic» v:shapes="_x0000_s1089">


(4)
Иногда для упрощения записи индексы i и n будем опускать, обозначая

<img width=«136» height=«28» src=«ref-1_297248638-340.coolpic» v:shapes="_x0000_s1090">


                     
(
xi, tn+1
)
                                  (xi-1, tn+1)     (xi, tn+1)     (xi+1, tn+1)

<img width=«152» height=«59» src=«ref-1_297248978-716.coolpic» v:shapes="_x0000_s1092"> <img width=«152» height=«59» src=«ref-1_297249694-735.coolpic» v:shapes="_x0000_s1091">



    (xi-1, tn)        (xi, tn)        (xi+1, tn)                                    (xi, tn)


  (xi-1, tn+1)     (xi, tn+1)     (xi+1, tn+1)                                 (xi, tn+1)

<img width=«152» height=«59» src=«ref-1_297250429-920.coolpic» v:shapes="_x0000_s1094"> <img width=«152» height=«97» src=«ref-1_297251349-934.coolpic» v:shapes="_x0000_s1093">



    (xi-1, tn)        (xi, tn)        (xi+1, tn)                (xi-1, tn)               (xi, tn)   (xi+1, tn)


                                                                                         (xi, tn-1)


Чтобы аппроксимировать уравнение (1) в точке (xi, tn), введем шаблон, изображенный на рисунке и состоящий из четырех узлов (xi±1, tn), (xi, tn), (xi, tn+1). Производную ¶u/¶t заменим в точке (xi, tn) разностным отношением ynt, i, а производную ¶2u/¶2x – второй разностной производной ynxx, i. Правую часть f(x, t) заменим приближенно сеточной функцией jni, в качестве jniможно взять одно из следующих выражений:

<img width=«304» height=«52» src=«ref-1_297252283-753.coolpic» v:shapes="_x0000_s1095">



В результате получим разносное уравнение

<img width=«227» height=«44» src=«ref-1_297253036-545.coolpic» v:shapes="_x0000_s1096">


(5)
которое аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение в точке (xi, tn) с первым порядком по tи вторым порядком по h при условии, что разность j
n
i
– f(xi, tn)имеет тот же порядок малости.

Под разностной схемой понимается совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение во всех внутренних узлах сетки и дополнительные (начальные и граничные) условия – в граничных узлах сетки. Разностную схему по аналогии с дифференциальной задачей будем называть также разностной задачей. В данном случае разностная схема имеет вид

<img width=«328» height=«123» src=«ref-1_297253581-1343.coolpic» v:shapes="_x0000_s1097">




(6)
Эта схема представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных. Находить решение такой системы следует по слоям. Решение на нулевом слое задано начальными условиями y0i = u0(xi), i = 0, 1,…, N. Если решение yni, i = 0, 1,…, N, на слое n уже найдено, то решение yin+1 на слое n+1 находится по явной формуле

<img width=«271» height=«28» src=«ref-1_297254924-513.coolpic» v:shapes="_x0000_s1098">


(7)
<img width=«203» height=«25» src=«ref-1_297255437-420.coolpic» v:shapes="_x0000_s1099">а значения                                                                   доопределяются изграничных

условий. По этой причине схема (6) называется явной разностной схемой. Несколько позже мы познакомимся и с неявными схемами, в которых для нахождения yin+1 при заданных yin требуется решать систему уравнений.

Погрешность разностной схемы (6) определяется как разность zin = yin – u(xi, tn) между решением задачи (6) и решением исходной задачи (1) – (3). Подставляя в (6) yin = zin + u(xi, tn), получим уравнение для погрешности

<img width=«328» height=«95» src=«ref-1_297255857-1132.coolpic» v:shapes="_x0000_s1100">




(8)
<img width=«143» height=«28» src=«ref-1_297256989-385.coolpic» v:shapes="_x0000_s1101">


где                                                           – погрешность аппроксимации разностной

схемы (6) на решении задачи (1) – (3), y
i
n
= O(
t
+ h2). Можно оценить решение zin уравнения (8) через правую часть yinи доказать тем самым сходимость разностной схемы (6) с первым порядком по tи вторым – по h. Однако это исследование мы отложим, а сейчас на примере схемы (6) продемонстрируем один распространенный прием исследования разностных схем с постоянными коэффициентами, называемый методом гармоник. Хотя данный метод не является достаточно обоснованным, в частности не учитывает влияния граничных условий и правых частей, он позволяет легко найти необходимые условия устойчивости и сходимости разностных схем. Покажем, например, что явную схему (6) можно применять лишь при условии t

£
0,5h2, означающем, что шаг по времени надо брать достаточно малым.

Рассмотрим уравнение

<img width=«193» height=«47» src=«ref-1_297257374-522.coolpic» v:shapes="_x0000_s1102">


(9)
т.е. однородное уравнение, соответствующее (5). Будем искать частные решения (9), имеющие вид

yjn (
j
) = qneijh
j,                                                                                         (10)
где i – мнимая единица, j– любое действительное число и q – число, подлежащее определению. Подставляя (10) в уравнение (9) и сокращая на eijhj, получим

<img width=«153» height=«44» src=«ref-1_297257896-423.coolpic» v:shapes="_x0000_s1103">



откуда найдем

<img width=«183» height=«41» src=«ref-1_297258319-451.coolpic» v:shapes="_x0000_s1104">


(11)

<img width=«91» height=«27» src=«ref-1_297258770-324.coolpic» v:shapes="_x0000_s1105">


Начальные условия                                 соответствующие решениям вида (10) (их называют гармониками), ограничены. Если для некоторого jмножитель q станет по модулю больше единицы, то решение вида (10) будет неограниченно возрастать при n®¥. В этом случае разностное уравнение (9) называется неустойчивым, поскольку нарушается непрерывная зависимость его решения от начальных условий. Если же |q| £1 для всех действительных j, то все решения вида (10) ограничены при любом n и разностное уравнение (9) называется устойчивым. В случае неустойчивости найти решение разностной задачи (6) по формулам (7) практически невозможно, так как погрешности (например погрешности округления), внесенные в начальный момент времени, будут неограниченно возрастать при увеличении n. Такие разностные схемы называются неустойчивыми.

Для уравнения (9) неравенство |q| £
1выполняется согласно (11) при всех jтогда и только тогда, когда g£0,5. Таким образом, использование схемы (6) возможно лишь при выполнении условия t£0,5h2. Разностные схемы, устойчивые лишь при некотором ограничении на отношение шагов по пространству и по времени, называются условно устойчивыми. Следовательно, схема (6) возможно устойчива, причем условие устойчивости имеет вид t/h2£0,5. Условно устойчивые схемы для уравнений параболического типа используются редко, так как они накладывают слишком сильное ограничение на шаг по времени. Действительно, пусть, например, h = 10-2. Тогда шаг tне должен превосходить 0,5 * 10-4, и для того чтобы вычислить решение yjn при t = 1, надо взять число шагов по времени n = t-1³2 * 104, т.е. провести не менее 2 * 104 вычислений по формулам (7).
    продолжение
--PAGE_BREAK--