Реферат: Формирование умения решения квадратных уравнений в 8 классе

--PAGE_BREAK--Это изучение осуществлялось уже в другую эпоху сначала арабскими математиками (VI—Х вв. н. э.), выделившими характерные действия, посредством которых уравнения приводились к стандартному виду приведение подобных членов, перенос членов из одной части уравнения в другую с переменой знака. А затем европейскими математиками Возрождения, в итоге длительного поиска создавшими язык современной алгебры, использование букв, введение символов арифметических операций, скобок и т. д. На рубеже XVI—XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики.
Итак, ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методике математики связано с тремя главными областями своего возникновения и функционирования.
1.2. Основные направления изучения линий уравнений в школьном курсе алгебры
Уравнение как общематематическое понятие многоаспектно. Можно выделить главные области возникновения и функционирования понятия «уравнение» как:
·                    средства решения текстовых задач;
·                   особого рода формулы, служащей в алгебре объектом изучения;
·                   формулы, которой косвенно определяются числа или координаты точек плоскости (пространства), служащие его решением.[12,268]
Каждое из этих представлений оказалось в том или ином отношении полезным.
Названным областям относятся три основных направления изучения линий уравнений в школьном курсе алгебры.
1. Прикладная направленность линии уравнений раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, поскольку он связан с обучением приемам, используемым в приложениях математики.
В настоящее время, ведущее положение в приложениях математики занимает математическое моделирование (Математическое моделирование заключается в конструировании по определенным правилам некоторой формальной системы, которая отображает через совокупность математических операций над величинами определенную гипотезу о структуре или воспитания). Используя это понятие, можно сказать, что прикладное значение уравнений, их систем определяется тем, что они являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании. [14,246].
2. Теоретико-математическая направленность линии уравнений раскрывается в двух аспектах:
·                   выделение и изучение наиболее важных классов уравнений, и их систем;
·                    изучение обобщенных понятий, относящихся ко всей линии в целом.
Оба эти аспекта необходимы в курсе школьной математики. Основные классы уравнений связаны с простейшими и одновременно наиболее важными математическими моделями. Использование обобщенных понятий и методов позволяет логически упорядочить изучение линии в целом, поскольку они описывают то общее, что имеется в процедурах и приемах решения, относящихся к отдельным классам уравнений, неравенств, систем. В свою очередь, эти общие понятия и методы опираются на основные логические понятия: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следование, которые также должны быть раскрыты в линии уравнений.
3. Направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики. Эта линия тесно связана с числовой линией, причем эта связь — двусторонняя. Основная идея, реализуемая в процессе установления взаимосвязи этих линий,— это идея последовательного расширения числовой системы. Все числовые области, рассматриваемые в школьной алгебре и началах анализа, за исключением области всех действительных чисел, возникают в связи с решением каких-либо уравнений.
Например, введение арифметического квадратного корня из рациональных чисел позволяет записывать корни не только уравнений вида х2 = b, где b—неотрицательное рациональное число, но и любых квадратных уравнений с рациональными коэффициентами и неотрицательным дискриминантом.[9,341]
Линия уравнений тесно связана также и с функциональной линией. Одна из важнейших таких связей — приложения методов, разрабатываемых в линии уравнений, к исследованию функции (например, к заданиям на нахождение области определения некоторых функций, их корней, промежутков знакопостоянства и т. д.). С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние как на содержание линии уравнений, так и на стиль ее изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения графической наглядности к решению и исследованию уравнений и их систем.[12,269]
Изучение и использование преобразований уравнений и их систем, с одной стороны, предполагают достаточно высокую логическую культуру учащихся, а с другой стороны, в процессе изучения и применения таких преобразований имеются широкие возможности для формирования логической культуры.
Таким образом, владение содержанием линии уравнений позволяет расширить список выполнимых преобразований. Так, умение решать квадратные уравнения позволяет осуществлять сокращение дробей, в числителе или знаменателе которых имеется квадратный трехчлен. В итоге изучения материала линии уравнений учащиеся должны не только овладеть применением алгоритмических предписаний к решению конкретных заданий, но и научиться использовать логические средства для обоснования решений в случаях, когда это необходимо.
1.3. Методика изучения квадратных уравнений
С началом изучения систематического курса алгебры основное внимание уделяется способам решения квадратных уравнений, которые становятся специальным объектом изучения. Для этой темы характерна большая глубина изложения и богатство устанавливаемых с ее помощью связей в обучении, логическая обоснованность изложения. Поэтому она занимает исключительное положение в линии уравнений и неравенств. К изучению этой темы учащиеся приступают, уже накопив определенный опыт, владея достаточно большим запасом алгебраических и общематематических представлений, понятий, умений.
Умение решать квадратные уравнения служит базой для решения других уравнений и их систем (дробных рациональных, иррациональных, высших степеней).
Для того чтобы решить любое квадратное уравнение, учащиеся должны знать:
·                   формулу нахождения дискриминанта;
·                   формулу нахождения корней квадратного уравнения;
·                   алгоритмы решения уравнений данного вида.
уметь:
·                   решать неполные квадратные уравнения;
·                   решать полные квадратные уравнения;
·                   решать приведенные квадратные уравнения;
·                   находить ошибки в решенных уравнениях и исправлять их;
·                   делать проверку.
Решение каждого уравнения складывается из двух основных частей:
·                   преобразования данного уравнения к простейшим;
·                   решения уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.
При изучении темы «Квадратные уравнения» рассматриваются неполные, полные и приведенные квадратные уравнения. Для изучения данной темы были проанализированы современные школьные учебники разных авторов, таких как А.Г.Мордкович, С.М.Никольский, Ю.Н.Макарычев, М.И.Башмаков.

Анализ учебников
А.Г.        Мордкович
С.М.      Никольский                
Ю.Н.    Макарычев
М.И.     Башмаков
1.
—
<img width=«626» height=«2» src=«dopb141364.zip» v:shapes="_x0000_s1026"> 

2.Неполные квадратные уравнения
1.
—
2.Неполные квадратные уравнения
1.
—
2.Неполные квадратные уравнения
1.Историческая справка
2.Неполные квадратные уравнения
3.Полные квадратные уравнения
3.Полные квадратные уравнения
3.Полные квадратные уравнения
3.Полные квадратные уравнения
4.Приведенные квадратные уравнения
4.Приведенные квадратные уравнения
4.Приведенные квадратные уравнения
4.Приведенные квадратные уравнения
5.Теорема Виета
5.Теорема Виета
6.Теорема, обратная теореме Виета
6.Теорема обратная теореме  Виета
Исходя из таблицы можно сделать вывод о том, что в учебниках алгебры разных авторов есть сходства и различия. Во всех современных школьных учебниках алгебры методическая линия изучения квадратных уравнений одинакова. В учебнике под ред. М.И.Башмакова дается историческая справка, а в других учебниках этого нет. В учебниках алгебры С.М.Никольского и Ю.Н.Макарычева при изучении темы «Квадратные уравнения» рассматриваются прямая и обратная теорема Виета.
Обучение решению уравнений начинается с простейших их видов, и программа [4,131]  обусловливает постепенное накопление как их видов, так и «фонда» тождественных и равносильных преобразований, с помощью которых можно привести произвольное уравнение к простейшим. В этом направлении следует строить и процесс формирования обобщенных приемов решения уравнений в школьном курсе алгебры. В курсе математики старших классов учащиеся сталкиваются с новыми классами уравнений, систем или с углубленным изучением уже известных классов. Однако это мало влияет на уже сформированную систему знаний, умений и навыков; они дополняют ее новым фактическим содержанием.
Обобщение способов деятельности учащихся при решении квадратных уравнений происходит постепенно. Можно выделить следующие этапы при изучении темы «Квадратные уравнения»:
I этап – «Решение неполных квадратных уравнений».
II этап – «Решение полных квадратных уравнений».
III этап – «Решение приведенных квадратных уравнений».
На первом этапе рассматриваются неполные квадратные уравнения. Так как сначала математики научились решать неполные квадратные уравнения, поскольку для этого не пришлось, как говорится,  ничего изобретать. Это уравнения вида: ах2 = 0, ах2 + с = 0, где  с≠ 0, ах2 + bх = 0, где b ≠ 0.  Рассмотрим решение несколько таких уравнений:
1. Если  ах2 = 0. Уравнения такого вида решаются по алгоритму:
1) найти х2;
2) найти х.
 Например,  5х2 = 0. Разделив обе части уравнения на 5 получается: х2 = 0, откуда х = 0.
2. Если ах2 + с = 0,  с≠ 0 Уравнения данного вида решаются по алгоритму:
1) перенести слагаемые в правую часть;
2) найти все числа, квадраты которых равны числу с.
Например, х2 — 5 = 0, Это уравнение равносильно уравнению х2  = 5. Следовательно, надо найти все числа, квадраты которых равны числу 5. Таких чисел только два <shape id="_x0000_i1029" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«30936.files/image012.wmz» o:><img width=«20» height=«24» src=«dopb141365.zip» v:shapes="_x0000_i1029"> и — <shape id="_x0000_i1030" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«30936.files/image014.wmz» o:><img width=«16» height=«19» src=«dopb141366.zip» v:shapes="_x0000_i1030">.  Таким образом, уравнение  х2 — 5 = 0 имеет два корня: x1 =<shape id="_x0000_i1031" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«30936.files/image012.wmz» o:><img width=«20» height=«24» src=«dopb141365.zip» v:shapes="_x0000_i1031"> ,       x2 = — <shape id="_x0000_i1032" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«30936.files/image014.wmz» o:><img width=«16» height=«19» src=«dopb141366.zip» v:shapes="_x0000_i1032">  и других корней не имеет.
3. Если  ах2 + bх = 0, b ≠ 0.  Уравнения такого вида решаются по алгоритму:
1) перенести общий множитель за скобки;
2) найти x1, x2.
Например, х2 — 3х = 0. Перепишем уравнение  х2 – 3х = 0 в виде х ( х – 3 ) = 0. Это уравнение имеет, очевидно, корни x1 = 0,  x2 = 3. Других корней оно не имеет, ибо если в него подставить вместо х любое число, отличное от нуля и 3, то в левой части уравнения х ( х – 3 ) = 0 получится число, не равное нулю.
Итак, данные примеры показывают, как решаются неполные квадратные уравнения:
1) если уравнение имеет вид  ах2 = 0, то оно имеет один корень х = 0;
2) если уравнение имеет вид ах2 + bх = 0, то используется метод разложения на множители: х (ах +b) = 0; значит, либо х = 0, либо ах + b = 0. В итоге получается два корня: x1 = 0; x2 = — <shape id="_x0000_i1033" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«30936.files/image016.wmz» o:><img width=«16» height=«41» src=«dopb141367.zip» v:shapes="_x0000_i1033">;
3) если уравнение имеет вид ах2 + с = 0, то его преобразуют к виду ах2 = — с и далее х2.= — <shape id="_x0000_i1034" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«30936.files/image018.wmz» o:><img width=«16» height=«41» src=«dopb141368.zip» v:shapes="_x0000_i1034"> В случае, когда  — <shape id="_x0000_i1035" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«30936.files/image020.wmz» o:><img width=«16» height=«41» src=«dopb141368.zip» v:shapes="_x0000_i1035">< 0, уравнение х2 = -<shape id="_x0000_i1036" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«30936.files/image021.wmz» o:><img width=«16» height=«41» src=«dopb141368.zip» v:shapes="_x0000_i1036">не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда — <shape id="_x0000_i1037" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«30936.files/image020.wmz» o:><img width=«16» height=«41» src=«dopb141368.zip» v:shapes="_x0000_i1037"> > 0, т.е. — <shape id="_x0000_i1038" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«30936.files/image020.wmz» o:><img width=«16» height=«41» src=«dopb141368.zip» v:shapes="_x0000_i1038"> = m, где m>0, уравнение х2 = m имеет два корня
<shape id="_x0000_i1039" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«30936.files/image022.wmz» o:><img width=«16» height=«23» src=«dopb141369.zip» v:shapes="_x0000_i1039"> = <shape id="_x0000_i1040" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«30936.files/image024.wmz» o:><img width=«29» height=«24» src=«dopb141370.zip» v:shapes="_x0000_i1040">, <shape id="_x0000_i1041" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«30936.files/image026.wmz» o:><img width=«20» height=«23» src=«dopb141371.zip» v:shapes="_x0000_i1041"> = -<shape id="_x0000_i1042" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«30936.files/image028.wmz» o:><img width=«29» height=«24» src=«dopb141370.zip» v:shapes="_x0000_i1042">, (в этом случае допускается более короткая запись <shape id="_x0000_i1043" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«30936.files/image029.wmz» o:><img width=«27» height=«25» src=«dopb141372.zip» v:shapes="_x0000_i1043">= <shape id="_x0000_i1044" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«30936.files/image031.wmz» o:><img width=«41» height=«24» src=«dopb141373.zip» v:shapes="_x0000_i1044">.
Таким образом, неполное квадратное уравнение может иметь два корня, один корень, ни одного корня.
На втором этапе осуществляется переход к решению полного квадратного уравнения. Это уравнения вида ах2 + bx + c = 0, где a,b,c – заданные числа, а ≠ 0, х – неизвестное.
Любое полное квадратное уравнение можно преобразовать к виду <shape id="_x0000_i1045" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«30936.files/image033.wmz» o:><img width=«116» height=«49» src=«dopb141374.zip» v:shapes="_x0000_i1045"> , для того, чтобы определять  число корней квадратного уравнения и находить эти корни. Рассмотриваются следующие случаи решения полных квадратных уравнений: D < 0, D = 0, D > 0.
1. Если D < 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.
Например, 2х2 + 4х + 7 = 0. Решение: здесь а = 2, b = 4, с = 7.
D = b2 – 4ас = 42 – 4*2*7 = 16 – 56 = — 40.
Так как D < 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.
2. Если D = 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 имеет один корень, который находится по формуле <shape id="_x0000_i1046" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«30936.files/image035.wmz» o:><img width=«64» height=«41» src=«dopb141375.zip» v:shapes="_x0000_i1046">.
Например, 4х – 20х + 25 = 0. Решение: а = 4, b = — 20, с = 25.
D = b2 – 4ас = (-20)2 – 4*4*25 = 400 – 400 = 0.
Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле <shape id="_x0000_i1047" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«30936.files/image037.wmz» o:><img width=«64» height=«41» src=«dopb141375.zip» v:shapes="_x0000_i1047">. Значит, <shape id="_x0000_i1048" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«30936.files/image038.wmz» o:><img width=«105» height=«41» src=«dopb141376.zip» v:shapes="_x0000_i1048"> 
3. Если D > 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 имеет два корня, которые находятся по формулам:<shape id="_x0000_i1049" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«30936.files/image040.wmz» o:><img width=«100» height=«45» src=«dopb141377.zip» v:shapes="_x0000_i1049">; <shape id="_x0000_i1050" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«30936.files/image042.wmz» o:><img width=«101» height=«45» src=«dopb141378.zip» v:shapes="_x0000_i1050">                         (1)
Например, 3х2 +8х – 11 = 0. Решение: а = 3, b = 8, с = -11. D = b2 – 4ас = 82  –  4*3*(-11) = 64 + 132 = 196.
Так как  D > 0, то данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находятся по формулам:
<shape id="_x0000_i1051" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«30936.files/image044.wmz» o:><img width=«445» height=«45» src=«dopb141379.zip» v:shapes="_x0000_i1051">.
Составляется алгоритм решения уравнения вида ах2 + bx + c = 0.
1.     Вычислить дискриминант D по формуле D = b2 – 4ас.
2. Если D < 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет корней.
3. Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень, который находится по формуле <shape id="_x0000_i1052" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«30936.files/image046.wmz» o:><img width=«68» height=«41» src=«dopb141380.zip» v:shapes="_x0000_i1052">
4. Если D > 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 имеет два корня: <shape id="_x0000_i1053" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«30936.files/image040.wmz» o:><img width=«100» height=«45» src=«dopb141377.zip» v:shapes="_x0000_i1053"> ; <shape id="_x0000_i1054" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«30936.files/image042.wmz» o:><img width=«101» height=«45» src=«dopb141378.zip» v:shapes="_x0000_i1054">.
Это алгоритм универсален, он применим как к неполным, так и к полным квадратным уравнениям. Однако неполные квадратные уравнения обычно по этому алгоритму не решают.
Математики – люди практичные, экономные, поэтому пользуются формулой: <shape id="_x0000_i1055" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«30936.files/image048.wmz» o:><img width=«148» height=«47» src=«dopb141381.zip» v:shapes="_x0000_i1055">.  (2)
Итак, можно сделать вывод, что квадратные уравнения можно решать подробно, используя сформулированное выше правило; можно – записать сразу формулу (2) и с ее  помощью делать необходимые выводы. [1,98].
На третьем этапе рассматриваются приведенные квадратные уравнения, которые имеют вид х2 +px + q = 0 (3), где p и q – данные числа. Число p – коэффициент при х, а q – свободный член. Дискриминант уравнения равен: D = p2 – 4q. Рассматривают 3 случая:
1. D > 0, тогда уравнение (3) имеет два корня, вычисляемые по формуле <shape id="_x0000_i1056" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«30936.files/image050.wmz» o:><img width=«155» height=«53» src=«dopb141382.zip» v:shapes="_x0000_i1056">.  (4)
2. D = 0, тогда уравнение (3) имеет единственный корень, или, как горят, два совпадающих корня:<shape id="_x0000_i1057" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«30936.files/image052.wmz» o:><img width=«99» height=«41» src=«dopb141383.zip» v:shapes="_x0000_i1057">
3. D < 0, то уравнение не имеет корней. Обычно в случае приведенного квадратного уравнения (3) вместо D рассматривается выражение <shape id="_x0000_i1058" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«30936.files/image054.wmz» o:><img width=«96» height=«49» src=«dopb141384.zip» v:shapes="_x0000_i1058">, имеющее тот же знак, что и D. При этом формулу корней приведенного квадратного уравнения (4) записывают так:<shape id="_x0000_i1059" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«30936.files/image056.wmz» o:><img width=«113» height=«47» src=«dopb141385.zip» v:shapes="_x0000_i1059">
    продолжение
--PAGE_BREAK--