Реферат: Доказательство сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера

© Н.М. Козий, 2008, [UA]

Свидетельство Украины № 25256

о регистрации авторского права

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СИЛЬНОЙ ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА-ЭЙЛЕРА

Сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера формулируется следующим образом: любое четное число, большее двух, равно сумме двух простых чисел:

N = A + B,

где: А и В – простые числа.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Напишем арифметическую прогрессию: Р = [ 1, 2, 3, 4, 5… N]

Очевидно, что:

— количество членов прогрессии равно N;

— количество четных и нечетных членов прогрессии одинаково и равно:

n = 0, 5 N.

Напишем возрастающую Vи убывающуюUарифметические прогрессии из нечетных чисел прогрессии Р для случая, когда n– четное число:

V = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1, 0,5N +1… N-3, N-1]

U = [ N-1, N-3 … 0,5N +1, 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1]

Очевидно, что часть прогрессии U:

U1 = [ N-1, N-3 … 0,5N +1]

представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:

V1 =[ 0,5N +1… N-3, N-1],

а часть прогрессии U:

U2 = [ 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1]

представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:

V2 = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1].

Исходя из этого для числа N при n– четном запишем:

V= [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1]

U= [ 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1].

Приэтом:

V0i + U0i = N,

где Viи Uiiтые члены прогрессий V0 иU.

Приn– четном количество членов прогрессии Vравно количеству членовпрогрессииUи равно:

K= 0,5∙n= 0,25·N. /1/

Напишем возрастающую Vи убывающуюUарифметические прогрессии из нечетных чисел прогрессии Р для случая, когда n– нечетное число:

V = [1, 3, 5, 7 … 0,5N… N-3, N-1]

U = [N-1, N-3 … 0,5N … 7, 5, 3, 1]

Очевидно, что часть прогрессии U:

U3 = [N-1, N-3 … 0,5N]

представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:

V3 = [0,5 … N-3, N-1],

а часть прогрессии U:

U4 = [0,5N … 7, 5, 3, 1]

представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:

V4 = [1, 3, 5, 7 … 0,5N].

Исходя из этого для числа N при n– нечетном запишем:

V= [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N]

U= [ 0,5N … 7, 5, 3, 1].

Приэтом:

V0i + U0i = N,

где Viи Uiiтые члены прогрессий V0 иU.

Приn–нечетном количество членов прогрессии Vравно количеству членовпрогрессииUи равно:

К=0,5·(n+1) = 0,25·(N+ 2). /2/

Количество пар чисел Vi+ Uiпрогрессий V0 иUравно: П =К.

В общем случае обозначим:

Zpvколичество простых чисел в прогрессии V;

Zsvколичество составных чисел в прогрессииV;

Zpu-- количество простых чисел в прогрессии U;

Zsuколичество составных чисел в прогрессии U;

Пs/v – количество пар чисел Vi+ Ui, состоящих из составных чисел прогрессии Uи простыхчисел прогрессииV;

Пs/u– количество пар чисел Vi+ Ui, состоящих из составных чисел прогрессии V0 и простыхчисел прогрессии U;

Пр--количество пар чисел Vi+ Ui, состоящих из простыхчисел прогрессий VиU.

Очевидно, что:

--PAGE_BREAK--

П= К= Zpv+ Zsv = Zpu+ Zsu; /3/

Zsv= K — Zpv; Zsu= K — Zpu.

Из анализа значений числа N с использованием таблицы простых чисел следует:

-для чисел N≤ 116: Zpv> Zsu; Zpu> Zsv;

для чисел N= 118…136: Zpv=Zsu; Zpu= Zsv;

для чисел N≥138: Zpv<Zsu; Zpu< Zsv.

Составим прогрессии VиUдля произвольно взятых чисел N, разделим их на подпрогрессии, установим значения величин Zpv, Zsv, Zpu, Zsu,Пs/v, Пs/u, При соотношения между ними как для прогрессий VиUв целом, так и для входящих в них подпрогрессий.

ПРИМЕР 1. N=120; n=0,5N=0,5·120 = 60 –четное число.

В соответствии с зависимостями /1/ и /3/ количество пар чисел Vi+ Uiравно:

П = К = 0,25·N=0,25∙120 =30.

V={ V01 =[ 1 3 5 7 9 11 13 ] V02=[ 15 17 19 21 23] V03=[25 27]

U={U01 = [119 117 115 113 111 109 107 ] U02 =[105 103 101 99 97 ] U03=[95 93]

Пр* * * * * *

V04 = [ 29 31 ] V05 = [ 33 35 ] V06= [ 37 39 41 43 45 47 ] V07= [ 49 51 53]

U04= [ 91 89 ] U05= [ 87 85 ] U06= [ 83 81 79 77 75 73 ] U07= [ 71 69 67]

Пр* * * * *

V08= [ 55 57 59 ] }.

U08= [ 65 63 61 ] }.

Пр *

Простые числа набраны жирным шрифтом курсивом.

*- пары простых чисел.

Для прогрессий V0 и Uв целом имеем:

Zpv =17, Zsv =13, Zpv = Zsu, Пs/v=5, Пs/v ≠Пs/u,

Zpu =13, Zsu =17, Zpu = Zsv, Пs/u=1, Пр = 12.

Определим разности:

Rv = Zpv — Пs/v= 17 – 5 = 12;

Ru = Zpu — Пs/u= 13 – 1 = 12.

Из сравнительного анализа величин Rv, Ru иПр следует:

Rv=Ru =Пр = 12.

Для подпрогрессий V01 иU01 имеем:

Zpv =6, Zsv =1, Zpv > Zsu, Пs/v=3, Пs/v ≠Пs/u,

Zpu =3, Zsu =4, Zpu > Zsv, Пs/u=0, Пр = 3.

Определим разности:

Rv = Zpv — Пs/v= 6 – 3 = 3; Ru = Zpu — Пs/u= 3 – 0 = 3.

Из сравнительного анализа величин Rv, Ru иПр следует: Rv= Ru =Пр = 3.

Для подпрогрессий V02 иU02 имеем:

Zpv =3, Zsv =2, Zpv > Zsu, Пs/v=0, Пs/v =Пs/u= 0,

Zpu =3, Zsu =2, Zpu > Zsv, Пs/u=0, Пр = 3.

Определим разности:

Rv = Zpv — Пs/v= 3 – 0 = 3; Ru = Zpu — Пs/u= 3 – 0 = 3.

    продолжение
--PAGE_BREAK--

Из сравнительного анализа величин Rv, Ru иПр следует: Rv= Ru =Пр = 3.

Для подпрогрессий V04 иU04 имеем:

Zpv =2, Zsv =0, Zpv > Zsu, Пs/v=1, Пs/v ≠Пs/u,

Zpu =1, Zsu =1, Zpu > Zsv, Пs/u=0, Пр = 1.

Определим разности:

Rv = Zpv — Пs/v= 2 – 1 = 1; Ru = Zpu — Пs/u= 1 – 0 = 1.

Из сравнительного анализа величин Rv, Ru иПр следует: Rv= Ru =Пр = 1.

Для подпрогрессий V06 иU06 имеем:

Zpv =4, Zsv =2, Zpv > Zsu, Пs/v=1, Пs/v ≠Пs/u,

Zpu =3, Zsu =3, Zpu > Zsv, Пs/u=0, Пр = 3.

Определим разности:

Rv = Zpv — Пs/v= 4 – 1 = 3; Ru = Zpu — Пs/u= 3 – 0 = 3.

Из сравнительного анализа величин Rv, Ru иПр следует: Rv= Ru =Пр = 3.

Для подпрогрессий V07иU07 имеем:

Zpv =1, Zsv =2, Zpv = Zsu, Пs/v=0, Пs/v ≠Пs/u,

Zpu =2, Zsu =1, Zpu = Zsv, Пs/u=1, Пр = 1.

Определим разности:

Rv = Zpv — Пs/v= 1 – 0 = 1; Ru = Zpu — Пs/u= 2 – 1 = 1.

Из сравнительного анализа величин Rv, Ru иПр следует: Rv= Ru =Пр = 1.

Для подпрогрессий V08иU08 имеем:

Zpv =1, Zsv =2, Zpv < Zsu, Пs/v=0, Пs/v =Пs/u= 0,

Zpu =1, Zsu =2, Zpu < Zsv, Пs/u=0, Пр = 1.

Определим разности:

Rv = Zpv — Пs/v= 1 – 0 = 1; Ru = Zpu — Пs/u= 1 – 0 = 1.

Из сравнительного анализа величин Rv, Ru иПр следует: Rv= Ru =Пр = 1.

ПРИМЕР 2. N=154; n=0,5N=0,5·154= 77 – нечетное число.

В соответствии с зависимостями /2/ и /3/ количество пар чисел Vi+ Uiравно:

П = К=0,5(n+1) = 0,25(N+ 2) = 0,25 (154 + 2) = 39.

V={V01= [ 1 3 5 7 9 ] V02= [ 11 13 15 17 19 21 23]»

U={U01= [153 151 149 147 145] U02= [143 141 139 137 135 133 131 ] »

Пр * * * *

V03=[ 25 27 29 31 33 35 37 39] V04=[ 41 43 45 47 49 51 53]

U03=[129 127 125 123 121 119 117 115] U04=[113 111 109 107 105 103 101]

Пр * * *

» V05= [55 57 59 61 63 65 67 69] V06= [ 71 73 ] V07= [ 75 77 ] }.

» U05= [99 97 95 93 91 89 87 85] U06= [ 83 81 ] U07= [ 79 77 ] }.

Пр *

Простые числа набраны жирным шрифтом курсивом.

    продолжение
--PAGE_BREAK--

*- пары простых чисел.

Для прогрессий V0 и Uв целом имеем:

Zpv =21, Zsv =18, Zpv < Zsu, Пs/v=13, Пs/v ≠Пs/u ,

Zpu =15, Zsu =24, Zpu < Zsv, Пs/u=7, Пр = 8.

Определим разности:

Rv = Zpv — Пs/v= 21 – 13 = 8; Ru = Zpu — Пs/u= 15 – 7 = 8.

Из сравнительного анализа величин Rv, Ru иПр следует: Rv= Ru =Пр = 8.

Для подпрогрессий V01 иU01 имеем:

Zpv =4, Zsv =1, Zpv > Zsu, Пs/v=2, Пs/v ≠Пs/u,

Zpu =2, Zsu =3, Zpu > Zsv, Пs/u=0, Пр = 2.

Определим разности:

Rv = Zpv — Пs/v= 4 – 2 = 2; Ru = Zpu — Пs/u= 2 – 0 = 2.

Из сравнительного анализа величин Rv, Ru иПр следует: Rv= Ru =Пр = 2.

Для подпрогрессий V02 иU02 имеем:

Zpv =5, Zsv =2, Zpv > Zsu, Пs/v=3, Пs/v ≠Пs/u,

Zpu =3, Zsu =1, Zpu > Zsv, Пs/u=1, Пр = 2.

Определим разности:

Rv = Zpv — Пs/v= 5 – 3 = 2; Ru = Zpu — Пs/u= 3 – 1= 2.

Из сравнительного анализа величин Rv, Ru иПр следует: Rv= Ru =Пр = 2.

Для подпрогрессий V04 иU04 имеем:

Zpv =4, Zsv =3, Zpv > Zsu, Пs/v=1, Пs/v ≠Пs/u,

Zpu =5, Zsu =2, Zpu > Zsv, Пs/u=2, Пр = 3.

Определим разности:

Rv = Zpv — Пs/v= 4 – 1 = 3;

Ru = Zpu — Пs/u= 5 – 2 = 3.

Из сравнительного анализа величин Rv, Ru иПр следует: Rv= Ru =Пр = 3.

Для подпрогрессий V06 иU06 имеем:

Zpv =2, Zsv =0, Zpv > Zsu, Пs/v=1, Пs/v ≠Пs/u,

Zpu =1, Zsu =1, Zpu > Zsv, Пs/u=0, Пр = 1.

Определим разности:

Rv = Zpv — Пs/v= 2 – 1 = 1; Ru = Zpu — Пs/u= 1 – 0 = 1.

Из сравнительного анализа величин Rv, Ru иПр следует: Rv= Ru =Пр = 1.

Из анализа приведенных прогрессий и входящих в их состав подпрогрессий следуют определенные варианты сочетаний величин Zpv, Zsv, Zpu, Zsu,Пs/v, Пs/u, при которых прогрессии и входящие в них подпрогрессии содержат пары простых чисел Vi+ Ui, удовлетворяющие условию:

Vi+ Ui= N:

Вариант 1: Zpv=Zpu, Zsv=Zsu, Zpv>Zsu, Zpu>Zsv, Пs/v=Пs/u = 0 (подпрогрессия V02 -U02 для числа N =120);

    продолжение
--PAGE_BREAK--

Вариант 2: Zpv=Zpu, Zsv=Zsu, Zpv<Zsu, Zpu<Zsv, Пs/v= Пs/u = 0 (подпрогрессияV08 -U08 для числа N =120);

Вариант 3: Zpv>Zpu, Zsv<Zsu, Zpv>Zsu, Zpu>Zsv, Пs/v>Пs/u(подпрогрессии V01 -U01, V04 -U04, V06 -U06 для числа N =120 и подпрогрессии V01 -U01, V06 -U06 для числа 154);

Вариант 4: Zpv>Zpu, Zsv<Zsu, Zpv=Zsu, Zpu=Zsv, Пs/v>Пs/u (прогрессия V0-U0для числа N =120);

Вариант 5: Zpv>Zpu, Zsv>Zsu, Zpv>Zsu, Zpu>Zsv, Пs/v>Пs/u (подпрогрессия V02-U02 для числа N =154);

Вариант 6: Zpv<Zpu, Zsv>Zsu, Zpv=Zsu, Zpu=Zsv, Пs/v<Пs/u (подпрогрессия V07-U07 для числа N =120);

Вариант 7: Zpv<Zpu, Zsv>Zsu, Zpv>Zsu, Zpu>Zsv, Пs/v<Пs/u (подпрогрессия V04-U04 для числа N =154);

Вариант 8: Zpv>Zpu, Zsv<Zsu, Zpv<Zsu, Zpu<Zsv, Пs/v>Пs/u (прогрессия V0-U0для числа N =154).

В рассмотренных вариантах преобладает вариант 3 (в 5 из 12 подпрогрессий). Вероятно, что возможны и другие варианты сочетаний величин Zpv, Zsv, Zpu, Zsu,Пs/v, Пs/u.

Значения количества пар Пp простых чисел для некоторых четных чисел N (количества Пpприведены в скобках рядом с числами N):

80(5), 82(5), 84(8), 86(5), 88(4), 90(10), 120(12), 138(5), 150(13), 154(8), 180(15), 184(8), 222(11), 226(7), 228(13), 336(19), 644(17), 1000(28), 1312(22).

Из анализа приведенных данных следует, что строгой зависимости между значениями четных чисел Nи количеством пар Пp простых чисел для них не существует, но прослеживается закономерность, в соответствии с которой с существенным увеличением значений числа Nувеличивается количество пар Пpдля них.

Из изложенного следует, что любое четное число N>4 равно сумме двух и более пар Пp простых чисел при условии, что эти числа могут быть равны. Примеры:

6=1+5=3+3; 8=1+7=3+5; 10=3+7=5+5; 12=1+11=5+7; 14=1+13=3+11=7+7.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СЛАБОЙГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА

Слабая гипотеза Гольдбаха формулируется следующим образом: любое нечетное число М, большее семи, представимо в виде суммы трех нечетных простых чисел:

М = A+ B+ C,

где: A, B и C – простые числа.

При этом:

AB≠ С

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Обозначим:

A + B =N.

Очевидно, что N – четное число.

Тогда:

M = N + C.

Отсюда:

N = M – C.

Вычтя из любого нечетного числа простое число, получим четное число. Выше при доказательстве сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера доказано, что любое четное число, большее двух, равно сумме одной пары или нескольких пар простых чисел. Следовательно, любое нечетное число М, большее семи, равно:

M = N + C = A + B + С,

где: A, Bи C– простые числа.

При этом:

AB≠ С

Автор: Козий Николай Михайлович, инженер-механик

E-mail: nik_krm@mail.ru

umbolic@gmail.com

Ссылки (links):
mailto:nik_krm@mail.rumailto:umbolic@gmail.com
еще рефераты
Еще работы по математике