Реферат: Решение уравнений в целых числах

--PAGE_BREAK--3. ПРИМЕРЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
П р и м е р I. Рассмотрим уравнение второй степени с тремя неизвестными:

                                                                <img width=«85» height=«24» src=«ref-1_299360360-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257">                                                             (12)

Геометрически решение этого уравнения в целых числах можно истолковать как нахождение всех пифагоровых треугольников, т. е. прямоугольных треугольников, у которых и катеты <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299318656-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258">, <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_299319012-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259">и гипотенуза <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_299360711-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260"> выражаются целыми числами.

Обозначим через <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_299317233-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261"> общий наибольший делитель чисел <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299318656-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262"> и <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_299319012-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263">: <img width=«64» height=«23» src=«ref-1_299361057-173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264">. Тогда

<img width=«52» height=«23» src=«ref-1_299361230-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265">, <img width=«55» height=«23» src=«ref-1_299361372-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266">,

и уравнение (12) примет вид

<img width=«119» height=«24» src=«ref-1_299361521-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267">.

Отсюда следует, что <img width=«19» height=«20» src=«ref-1_299361770-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268"> делится на <img width=«21» height=«21» src=«ref-1_299361868-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269"> и, значит, <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_299360711-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270"> кратно <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_299317233-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271">: <img width=«52» height=«23» src=«ref-1_299362145-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272">.

Теперь уравнение (12) можно записать в виде

<img width=«135» height=«24» src=«ref-1_299362285-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273">;

сокращая на <img width=«21» height=«21» src=«ref-1_299361868-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274">,получим

<img width=«85» height=«24» src=«ref-1_299362669-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275">.

Мы пришли к уравнению того же вида, что и исход­ное, причем теперь величины <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_299362865-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276"> и <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_299362958-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277"> не имеют общих делителей, кроме 1. Таким образом, при решении уравнения (12) можно ограничиться случаем, когда <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299318656-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278"> и <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_299319012-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279"> взаимно просты. Итак, пусть <img width=«60» height=«23» src=«ref-1_299363228-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280">. Тогда хотя бы одна из величин <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299318656-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281"> и <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_299319012-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282"> (например, <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299318656-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283">) будет нечетной. Перенося <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_299363652-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284"> в правую часть уравнения (12), получим

                                                 <img width=«84» height=«24» src=«ref-1_299363755-173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285">; <img width=«121» height=«24» src=«ref-1_299363928-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286">.                                           (13)

Обозначим через <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_299364178-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287"> общий наибольший делитель выражений <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_299364280-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288"> и <img width=«37» height=«17» src=«ref-1_299364397-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289">.Тогда

                                                        <img width=«75» height=«23» src=«ref-1_299364506-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290">, <img width=«75» height=«23» src=«ref-1_299364677-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291">,                                                  (14)

где <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299314935-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292"> и <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_299316058-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293"> взаимно просты.

Подставляя в (13) значения <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_299364280-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294"> и <img width=«37» height=«17» src=«ref-1_299364397-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295">, получим

<img width=«71» height=«24» src=«ref-1_299365244-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296">.

Так как числа <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299314935-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297"> и <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_299316058-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298"> не имеют общих делителей, то полученное равенство возможно только в том случае, когда <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299314935-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299"> и <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_299316058-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300"> будут полными квадратами:

<img width=«45» height=«21» src=«ref-1_299365769-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301">, <img width=«43» height=«21» src=«ref-1_299365899-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302">.

Но тогда

<img width=«84» height=«24» src=«ref-1_299366027-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303">

и

                                                                     <img width=«57» height=«23» src=«ref-1_299366230-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304">                                                               (15)

Найдем теперь <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_299319012-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305"> и <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_299360711-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306"> из равенств (14). Сложение этих равенств дает:

                                         <img width=«187» height=«24» src=«ref-1_299366552-338.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307">;<img width=«93» height=«44» src=«ref-1_299366890-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308">.                                (16)

Вычитая второе из равенств (14) из первого, получим

                                         <img width=«188» height=«24» src=«ref-1_299367142-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309">; <img width=«95» height=«44» src=«ref-1_299367472-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310">                                 (17)

В силу нечетности <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299318656-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311"> из (15) получаем, что <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299367802-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312">, <img width=«12» height=«15» src=«ref-1_299367885-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1313"> и <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_299364178-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1314"> также нечетны. Более того, <img width=«41» height=«23» src=«ref-1_299368070-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1315">, так как иначе из равенств

<img width=«57» height=«23» src=«ref-1_299366230-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1316"> и <img width=«95» height=«44» src=«ref-1_299367472-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1317">

следовало бы, что величины <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299318656-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1318"> и <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_299319012-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1319"> имеют общий делитель <img width=«41» height=«23» src=«ref-1_299368767-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1320">, что противоречит предположению об их взаимной простоте. Числа <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299367802-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1321">и <img width=«12» height=«15» src=«ref-1_299367885-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1322"> связаны с взаимно простыми числами <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299314935-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1323"> и <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_299316058-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1324"> равенствами

<img width=«45» height=«21» src=«ref-1_299365769-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1325">, <img width=«43» height=«21» src=«ref-1_299365899-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1326">

и в силу этого сами взаимно просты; <img width=«37» height=«15» src=«ref-1_299369496-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1327">, так как <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_299369605-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1328">, что ясно из равенств (14).

Подставляя в равенства (15) — (17) <img width=«41» height=«23» src=«ref-1_299368070-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1329">, получим формулы:

                                                     <img width=«45» height=«15» src=«ref-1_299369851-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1330">, <img width=«80» height=«44» src=«ref-1_299369968-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1331">, <img width=«79» height=«44» src=«ref-1_299370186-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1332">,                                     (18)

дающие при нечетных взаимно простых <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299367802-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1333"> и <img width=«12» height=«15» src=«ref-1_299367885-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1334"> <img width=«47» height=«23» src=«ref-1_299370574-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1335"> все свободные от общих делителей тройки целых положительных чисел <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299318656-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1336">, <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_299319012-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1337">, <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_299360711-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1338">, удовлетворяющие уравнению (12). Простой подстановкой <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299318656-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1339">, <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_299319012-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1340"> и <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_299360711-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1341"> в уравнение (12) легко проверить, что при любых <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299367802-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1342">и <img width=«12» height=«15» src=«ref-1_299367885-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1343"> числа (18) удовлетворяют этому уравнению.

Для начальных значений <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299367802-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1344"> и <img width=«12» height=«15» src=«ref-1_299367885-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1345"> формулы (18) приводят к следующим часто встречающимся равенствам:

<img width=«97» height=«73» src=«ref-1_299371567-443.coolpic» v:shapes="_x0000_i1346">   <img width=«45» height=«69» src=«ref-1_299372010-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1347"><img width=«45» height=«71» src=«ref-1_299372251-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1348">

Как уже было сказано, формулы (18) дают только те решения уравнения

<img width=«85» height=«24» src=«ref-1_299360360-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1349">,

в которых числа <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299318656-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1350">, <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_299319012-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1351"> и <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_299360711-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1352"> не имеют общих делителей. Все остальные целые положительные решения-этого уравнения получаются умножением решений, содержащихся в формулах (18), на произвольный общий множитель <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_299317233-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1353">.

Тем же путем, каким мы получили все решения уравнения (12), могут быть получены и все решения других уравнений того же типа.

Пример  II.  Найдем все решения уравнения

                                                                   <img width=«93» height=«24» src=«ref-1_299373038-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1354">                                                        (19)

в целых положительных попарно взаимно простых числах <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299318656-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1355">, <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_299319012-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1356">, <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_299360711-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1357">.

Заметим, что если <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299318656-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1358">, <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_299319012-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1359">, <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_299360711-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1360"> есть решение уравнения (19) и <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299318656-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1361">, <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_299319012-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1362">, <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_299360711-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1363"> не имеют общего делителя, отличного от 1, то они и попарно взаимно просты. Действительно, если <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299318656-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1364"> и <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_299319012-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1365"> кратны простому числу <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_299374173-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1366">, то из равенства

<img width=«152» height=«52» src=«ref-1_299374300-512.coolpic» v:shapes="_x0000_i1367">

следует, так как его левая часть — целое число, что <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_299360711-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1368"> кратно <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_299374895-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1369">. То же самое будет, если <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299318656-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1370"> и <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_299360711-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1371"> или <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_299319012-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1372"> и <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_299360711-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1373"> делятся на <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_299374895-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1374">.

Заметим, что <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299318656-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1375"> должно быть числом нечетным для того, чтобы общий наибольший делитель <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299318656-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1376">, <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_299319012-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1377">, <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_299360711-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1378"> был равен 1. Действительно, если <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299318656-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1379"> четно, то левая часть уравнения (19) будет четным числом и, значит, zтакже будет четным. Но <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_299375838-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1380"> и <img width=«19» height=«20» src=«ref-1_299361770-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1381"> будут тогда кратны 4. Отсюда следует, что <img width=«28» height=«24» src=«ref-1_299376035-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1382"> должно делиться на 4, другими словами, что <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_299319012-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1383"> тоже должно быть четным числом. Значит, если <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299318656-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1384"> четно, то все числа <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299318656-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1385">, <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_299319012-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1386">, <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_299360711-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1387"> должны быть четными. Итак, в решении без общего отличного от 1 делителя <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299318656-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1388"> должно быть нечетным. Отсюда уже следует, что и <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_299360711-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1389"> должно быть тоже нечетным. Перенося <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_299375838-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1390"> в правую часть, мы получаем:

<img width=«193» height=«24» src=«ref-1_299376847-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1391">.

Но <img width=«36» height=«16» src=«ref-1_299377167-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1392"> и <img width=«36» height=«15» src=«ref-1_299377276-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1393"> имеют общим наибольшим делителем 2. Действительно, пусть их общий наибольший делитель будет <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_299317233-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1394">. Тогда

<img width=«69» height=«19» src=«ref-1_299377469-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1395">, <img width=«67» height=«19» src=«ref-1_299377623-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1396">,

где <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_299354037-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1397"> и <img width=«9» height=«19» src=«ref-1_299377853-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1398">  — целые числа. Складывая и вычитая эти равенства, мы будем иметь:

<img width=«87» height=«23» src=«ref-1_299377935-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1399">,<img width=«87» height=«23» src=«ref-1_299378144-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1400">.

Но <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_299360711-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1401"> и <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299318656-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1402"> нечетны и взаимно просты. Поэтому общий наибольший делитель <img width=«21» height=«19» src=«ref-1_299378513-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1403"> и <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_299378613-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1404"> будет 2. Отсюда следует, что <img width=«40» height=«19» src=«ref-1_299378712-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1405">.

Итак, или <img width=«39» height=«41» src=«ref-1_299378831-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1406">, или <img width=«39» height=«41» src=«ref-1_299378982-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1407"> нечетно. Поэтому или

числа

<img width=«36» height=«16» src=«ref-1_299377167-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1408"> и <img width=«39» height=«41» src=«ref-1_299378982-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1409">

взаимно просты, или взаимно просты числа

<img width=«39» height=«41» src=«ref-1_299378831-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1410"> и <img width=«36» height=«15» src=«ref-1_299377276-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1411">.

В первом случае из равенства

<img width=«113» height=«41» src=«ref-1_299379621-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1412">

следует, что

<img width=«68» height=«21» src=«ref-1_299379886-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i1413">, <img width=«71» height=«21» src=«ref-1_299380038-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1414">,

а во втором случае из равенства

<img width=«113» height=«41» src=«ref-1_299380192-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1415">

следует

<img width=«79» height=«21» src=«ref-1_299380464-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1416">, <img width=«68» height=«21» src=«ref-1_299379886-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i1417">,

где <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299355924-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1418"> и <img width=«17» height=«15» src=«ref-1_299380870-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1419"> целые, <img width=«17» height=«15» src=«ref-1_299380870-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1420">  — нечетное число и <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_299381046-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1421">, <img width=«41» height=«19» src=«ref-1_299381166-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1422">. Решая эти две системы уравнений относительно <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299318656-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1423"> и <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_299360711-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1424"> и находя <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_299319012-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1425">, мы получаем или

<img width=«111» height=«41» src=«ref-1_299381546-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1426">, <img width=«111» height=«41» src=«ref-1_299381836-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1427">, <img width=«51» height=«17» src=«ref-1_299382119-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1428"> или

<img width=«111» height=«41» src=«ref-1_299381546-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1429">, <img width=«111» height=«41» src=«ref-1_299382544-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1430">, <img width=«51» height=«17» src=«ref-1_299382119-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1431">,

где <img width=«17» height=«15» src=«ref-1_299380870-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1432"> нечетно. Объединяя эти две формы представления решения <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299318656-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1433">, <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_299319012-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1434">, <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_299360711-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1435"> мы получаем общую формулу

<img width=«121» height=«41» src=«ref-1_299383305-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1436">, <img width=«51» height=«17» src=«ref-1_299382119-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1437">, <img width=«111» height=«41» src=«ref-1_299381546-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1438">,

где <img width=«17» height=«15» src=«ref-1_299380870-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1439"> нечетно. Но для того чтобы <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_299360711-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1440"> и <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299318656-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1441"> были целыми числами, необходимо, чтобы <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299355924-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1442"> было четным. Полагая <img width=«47» height=«19» src=«ref-1_299384371-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1443"> и <img width=«43» height=«15» src=«ref-1_299384501-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1444">, мы получим окончательно общие формулы, дающие все решения уравнения (19) в целых положительных без общего делителя, большего 1, числах<img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299318656-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1445">, <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_299319012-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1446">, <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_299360711-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1447">:

                                           <img width=«104» height=«24» src=«ref-1_299384870-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1448">, <img width=«56» height=«21» src=«ref-1_299385109-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1449">, <img width=«84» height=«21» src=«ref-1_299385259-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1450">,                                    (19')

где <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299314935-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1451"> и <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_299316058-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1452"> положительны, взаимно просты и <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299314935-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1453"> нечетно. При этих условиях величины <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299314935-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1454"> и <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_299316058-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1455"> выбираются произвольно, но так, чтобы <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299318656-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1456"> было положительно. Формулы (19') действительно дают все решения в целых положительных и взаимно простых числах <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299318656-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1457">, <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_299319012-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1458">, <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_299360711-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1459">, так как, с одной стороны, мы доказали, что <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299318656-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1460">, <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_299319012-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1461">, <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_299360711-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1462"> в этом случае должны представляться по формулам (19'), а с другой стороны, если мы зададим числа <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299314935-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1463"> и <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_299316058-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1464">, удовлетворяющие нашим условиям, то <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299318656-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1465">, <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_299319012-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1466">, <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_299360711-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1467"> будут действительно взаимно просты и будут решением уравнения (19).
    продолжение
--PAGE_BREAK--4. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

В этом пункте мы докажем, что при любом целом положительном <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_299386890-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1468"> и иррациональном <img width=«28» height=«23» src=«ref-1_299386982-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1469"> уравнение

                                                                 <img width=«85» height=«24» src=«ref-1_299387104-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1470">                                                            (20)

всегда имеет нетривиальное решение, другими словами существует пара целых чисел <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_299320730-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1471">и <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_299387380-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1472">; <img width=«67» height=«24» src=«ref-1_299387477-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1473">, которая ему удовлетворяет. Прежде всего, укажем прием, позволяющий разложить в цепную дробь произвольное положительное число. Пусть <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_299387643-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1474">  — любое положительное число. Тогда всегда существует целое число, которое будет меньше или равно <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_299387643-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1475"> и больше <img width=«36» height=«19» src=«ref-1_299387819-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1476">. Такое целое число носит название целой части <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_299387643-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1477"> и обозначается <img width=«23» height=«23» src=«ref-1_299388018-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1478">. Разность между <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_299387643-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1479"> и его целой частью называется дробной частью числа <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_299387643-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1480"> и обозначается <img width=«25» height=«23» src=«ref-1_299388314-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1481">. Из определений целой части и дробной части числа <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_299387643-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1482"> непосредственно следует соотношение между ними, именно:

<img width=«85» height=«23» src=«ref-1_299388523-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1483">

или

                                                                  <img width=«87» height=«23» src=«ref-1_299388743-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1484">.                                                          (21)

Так как дробная часть числа есть разность между положительным числом и наибольшим целым числом, его не превосходящим, то дробная часть числа всегда меньше единицы и неотрицательна. Например, целая часть <img width=«24» height=«41» src=«ref-1_299388967-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1485"> есть 5, а дробная его часть есть <img width=«16» height=«41» src=«ref-1_299389102-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1486">, целая часть <img width=«25» height=«23» src=«ref-1_299389213-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1487"> есть 1, а дробная часть равна <img width=«45» height=«23» src=«ref-1_299389327-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1488">; целая часть <img width=«32» height=«24» src=«ref-1_299389467-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1489"> равна 3, а дробная часть равна <img width=«55» height=«24» src=«ref-1_299389602-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1490">, и т. д.

Введенное нами определение целой части и дробной части положительного числа <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_299387643-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1491"> может быть использовано для разложения этого числа в цепную дробь. Положим:

<img width=«52» height=«23» src=«ref-1_299389852-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1492">, <img width=«60» height=«45» src=«ref-1_299390019-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1493">.

Тогда

<img width=«80» height=«45» src=«ref-1_299390231-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1494">.

Так как <img width=«25» height=«23» src=«ref-1_299388314-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1495"> всегда меньше единицы, то <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_299390578-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1496"> всегда больше единицы. Если бы <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_299387643-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1497"> было само целым числом, то его дробная часть равнялась бы нулю, <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_299390578-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1498"> было бы равно бесконечности и мы имели бы равенство <img width=«44» height=«23» src=«ref-1_299390864-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1499">. Отвлекаясь от этого частного случая, который исключается тем, что мы разлагаем в непрерывную дробь иррациональное число, мы можем утверждать, что <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_299390578-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1500">  — положительное число, большее единицы. С этим числом <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_299390578-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1501"> мы поступаем так же, как и с <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_299387643-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1502">, и пишем равенство

<img width=«88» height=«45» src=«ref-1_299391279-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1503">, <img width=«61» height=«23» src=«ref-1_299391520-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1504">, <img width=«68» height=«45» src=«ref-1_299391698-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1505">

Продолжая этот процесс, мы получаем ряд равенств:

<img width=«26» height=«218» src=«ref-1_299391920-324.coolpic» v:shapes="_x0000_s1032">                                                       <img width=«179» height=«232» src=«ref-1_299392244-1294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1506">                                               (24)

Этот процесс последовательного образования целых чисел <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_299335002-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1507">, <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_299393634-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1508">,<img width=«19» height=«24» src=«ref-1_299393732-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1509">,<img width=«19» height=«9» src=«ref-1_299355732-78.coolpic» v:shapes="_x0000_i1510">,<img width=«19» height=«24» src=«ref-1_299393908-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1511">,<img width=«19» height=«9» src=«ref-1_299355732-78.coolpic» v:shapes="_x0000_i1512"> в случае, когда <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_299387643-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1513">,— рациональное число, — другими словами, когда <img width=«44» height=«41» src=«ref-1_299394171-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1514">, где <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299314935-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1515"> и <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_299316058-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1516">  — целые положительные числа, — как нетрудно заметить, ничем не отличается по своим результатам от получения неполных частных с помощью алгоритма Евклида (см. формулу (6)). Он должен поэтому оборваться при <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_299387643-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1517"> рациональном. При <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_299387643-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1518"> иррациональном этот процесс должен быть бесконечным. Действительно, если бы при каком-нибудь <img width=«31» height=«24» src=«ref-1_299394675-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1519"> было целым числом, то- отсюда следовало бы, что <img width=«28» height=«24» src=«ref-1_299394793-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1520">было бы рациональным, что в свою очередь влекло бы за собой рациональность <img width=«31» height=«24» src=«ref-1_299394903-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1521"> и т. д. и, наконец, рациональность <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_299390578-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1522">.Из формул (23), делая последовательные замены, исключая <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_299390578-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1523">,<img width=«20» height=«23» src=«ref-1_299395216-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1524">,<img width=«19» height=«9» src=«ref-1_299355732-78.coolpic» v:shapes="_x0000_i1525">,<img width=«29» height=«24» src=«ref-1_299395396-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1526"> мы получим цепную дробь
<img width=«214» height=«124» src=«ref-1_299395508-585.coolpic» v:shapes="_x0000_s1036 _x0000_s1033 _x0000_s1034 _x0000_s1035">


(24)
<img width=«211» height=«116» src=«ref-1_299396093-542.coolpic» v:shapes="_x0000_s1041 _x0000_s1037 _x0000_s1038 _x0000_s1039 _x0000_s1040">которую, так как <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299355924-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1527"> можно взять сколь угодно большим, можно записывать и в форме бесконечной цепной дроби
Т е о р е м а III. При любом целом положительном <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_299386890-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1528"> и иррациональном <img width=«28» height=«23» src=«ref-1_299386982-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1529"> уравнение (20)

<img width=«85» height=«24» src=«ref-1_299387104-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1530">

имеет нетривиальное решение<img width=«49» height=«24» src=«ref-1_299358958-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1531">, <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_299397276-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1532">, <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_299397409-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1533">.

Рассмотрим уравнение общего вида,

                                                                  <img width=«92» height=«24» src=«ref-1_299397546-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1534">                                                         (25)

где <img width=«40» height=«19» src=«ref-1_299397737-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1535">  — целое, <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_299397860-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1536">  — целое число, <img width=«56» height=«23» src=«ref-1_299397951-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1537">  — иррациональное число. При <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_299398108-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1538"> это уравнение всегда имеет бесчисленное множество решений в целых числах <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299318656-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1539"> и <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_299319012-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1540">. При произвольных <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_299397860-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1541"> и <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_299386890-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1542"> такое уравнение может вообще не иметь решений.

П р и м е р. Покажем, что уравнение

                                                                <img width=«93» height=«24» src=«ref-1_299398579-184.coolpic» v:shapes="_x0000_i1543">                                                           (26)

вообще не разрешимо в целых числах<img width=«13» height=«15» src=«ref-1_299318656-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1544"> и <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_299319012-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1545">. Заметим, прежде всего, что квадрат нечетного числа при Делений на 8 всегда дает в остатке 1. Действительно, так как всякое нечетное число а может быть записано в форме <img width=«72» height=«19» src=«ref-1_299398936-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1546">, где <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_299399097-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1547">  — целое число, то

                              <img width=«364» height=«25» src=«ref-1_299399194-590.coolpic» v:shapes="_x0000_i1548">,                        (27)

где <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_299399784-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1549">  — целое число в силу того, что или <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_299399097-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1550">,или <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_299399982-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1551"> должно быть четным числом. Далее, если <img width=«49» height=«24» src=«ref-1_299358958-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1552"> -решение уравнения (27),. то <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_299320730-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1553"> и <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_299387380-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1554"> не могут быть числами одинаковой четности. Если бы <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_299320730-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1555"> и <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_299387380-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1556"> были одновременно четными или нечетными, то <img width=«59» height=«25» src=«ref-1_299400647-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1557"> было бы четным числом и не могло быть равно 1. Если же <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_299320730-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1558"> нечетно, а <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_299387380-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1559"> четно, то при делении на <img width=«27» height=«24» src=«ref-1_299401008-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1560"> давало бы в остатке 1, <img width=«39» height=«24» src=«ref-1_299401122-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1561"> делилось бы на 4 и <img width=«57» height=«25» src=«ref-1_299401248-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1562"> при делении на 4 давало бы в остатке 1. Это невозможно, так как при делении на 4 правая часть тривиально дает в остатке <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_299401410-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1563"> или <img width=«57» height=«19» src=«ref-1_299401505-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1564">. Наконец, если <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_299320730-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1565"> четно, а <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_299387380-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1566"> нечетно, то <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_299375838-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1567"> делится на 4, <img width=«40» height=«25» src=«ref-1_299401926-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1568"> на основании (26) может быть записано в форме

<img width=«315» height=«25» src=«ref-1_299402064-495.coolpic» v:shapes="_x0000_i1569">

и, значит, при делении на 4 дает в остатке 1. Поэтому <img width=«59» height=«25» src=«ref-1_299400647-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1570"> при делении на 4 должно опять давать в остатке 1, что, как мы уже видели, невозможно. Поэтому не существует целых чисел <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_299320730-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1571"> и <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_299387380-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1572">, которые могли бы удовлетворять уравнению (26).

Не останавливаясь на вопросе, при каких условиях, наложенных на <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_299397860-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1573">и <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_299386890-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1574">, уравнение (25) будет иметь решение, — вопросе трудном и разрешимом с помощью общей теории квадратических иррациональностей в алгебраической теории чисел, — мы остановимся на случае, когда уравнение (25) имеет нетривиальные решения. По-прежнему нетривиальным решением мы будем называть решение <img width=«44» height=«23» src=«ref-1_299403103-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1575">, если <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_299403252-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1576">. Итак, пусть уравнение (25) имеет нетривиальное решение <img width=«44» height=«23» src=«ref-1_299403103-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1577">; другими словами, пусть

                                                                  <img width=«100» height=«24» src=«ref-1_299403554-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1578">                                                       (28)

Рассмотрим при том же <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_299386890-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1579"> уравнение

                                                                    <img width=«85» height=«24» src=«ref-1_299387104-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1580">                                                         (29)

Это уравнение имеет бесчисленное множество решений в целых числах при <img width=«40» height=«19» src=«ref-1_299397737-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1581"> и иррациональном <img width=«56» height=«23» src=«ref-1_299397951-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1582">, и любое такое его решение <img width=«37» height=«23» src=«ref-1_299404309-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1583"> будет:

<img width=«55» height=«24» src=«ref-1_299404449-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1584">, <img width=«56» height=«24» src=«ref-1_299404587-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1585">,

Так как <img width=«37» height=«23» src=«ref-1_299404309-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1586"> решение уравнения (29)

<img width=«199» height=«24» src=«ref-1_299404875-361.coolpic» v:shapes="_x0000_i1587">.

Равенство (28) в свою очередь может быть переписано в форме

<img width=«148» height=«23» src=«ref-1_299405236-298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1588">.

Перемножая почленно эти два последних равенства, мы получаем

                                               <img width=«248» height=«23» src=«ref-1_299405534-460.coolpic» v:shapes="_x0000_i1589">                                     (30)

Но

<img width=«287» height=«23» src=«ref-1_299405994-509.coolpic» v:shapes="_x0000_i1590">

и совершенно так же

<img width=«285» height=«23» src=«ref-1_299406503-494.coolpic» v:shapes="_x0000_i1591">.

Воспользовавшись этими двумя равенствами, мы можем переписать равенство (30) в форме

<img width=«371» height=«23» src=«ref-1_299406997-652.coolpic» v:shapes="_x0000_i1592">

или в форме

<img width=«215» height=«25» src=«ref-1_299407649-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1593">.

Этим мы доказали, что если <img width=«37» height=«23» src=«ref-1_299404309-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1594">  — решение уравнения (25), то этому уравнению будет удовлетворять и пара чисел <img width=«36» height=«23» src=«ref-1_299322054-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1595">:

                                                      <img width=«96» height=«21» src=«ref-1_299408320-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1596">, <img width=«87» height=«21» src=«ref-1_299408518-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1597">,                                            (31)

где <img width=«37» height=«23» src=«ref-1_299404309-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1598">  — любое решение уравнения (29). Таким образом, мы доказали, что если уравнение (25) имеет хотя бы одно решение, то оно имеет их бесчисленное множество.

Нельзя, конечно, утверждать, что формулами (31)даются все решения уравнения (25). В теории алгебраических чисел доказывается, что все решения уравнения (25) в целых числах можно получить, взяв некоторое конечное и определенное зависящее от <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_299386890-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1599"> и <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_299397860-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1600"> число решений этого уравнения и размножив их с помощью формул (31). Уравнение (25) при А отрицательном или равном квадрату целого числа может иметь не более конечного числа решений. Решение самых общих уравнений второй степени с двумя неизвестными в целых числах, уравнений вида

                                                <img width=«233» height=«24» src=«ref-1_299409026-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1601">                                        (32)

где числа А, В, С, D, Е и F— целые, сводится с помощью замен переменных к решению уравнений вида (25) с положительным или отрицательным А. Поэтому характер поведения решений, если они существуют, такой же, как и у уравнения типа (25). Подводя итог всему изложенному, мы можем теперь сказать, что уравнение второй степени с двумя неизвестными типа (32) может не иметь решений в целых числах, может иметь их только в конечном числе и, наконец, может иметь бесконечное множество таких решений, причем эти решения берутся тогда из конечного числа обобщенных геометрических прогрессий, даваемых формулами (31).

--PAGE_BREAK--