Реферат: Диференціальні рівняння
Диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними:
яке за умови зводиться до рівняння
Інтегруючи обидві частини цієї рівності, маємо
що являє собою загальний розв’язок у неявній формі.
Однорідні рівняння можуть бути записані у вигляді або де і — однорідні функції одного й того ж порядку п, тобто,. Шляхом заміни, де – невідома функція, це рівняння зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними.
Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами мають вигляд: де р, q – сталі величини.
Частинним розв’язком такого рівняння є функція де k задовольняє так званому характеристичному рівнянню:
Загальний розв’язок рівняння залежить від коренів характеристичного рівняння. Можливі такі випадки:
1. Якщо корені k1 і k2дійсні і різні (k1 ¹ k2), то загальний розв’язок має вигляд:
2. Якщо корені дійсні і рівні (k1 = k2 =k), то
3. Якщо корені комплексно-спряжені, тобто
k1 = a +bі; k2 = a -bі (і = ), тоді
Лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами: де р і q — дані сталі величини, а (права частина рівняння) — відома функція від х. Нехай и — загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння а у1 – частинний розв’язок неоднорідного рівняння
Тоді загальний розв’язок даного рівняння буде причому загальний розв’язок відповідного неоднорідного рівняння залежить від виду функції Можливі такі випадки.
1. Права частина є багаточлен степеня п, тобто Тоді частинний розв’язок слід шукати у вигляді
де — багаточлен з невизначеними коефіцієнтами того ж степеня, що й багаточлен — число коренів характеристичного рівняння, які дорівнюють нулю.
2. тоді де А – невизначений коефіцієнт, r – число коренів характеристичного рівняння, що дорівнюють a.
3.. Частинний розв’язок неоднорідного рівняння має вигляд де — багаточлен з невизначеними коефіцієнтами того ж степеня, що й — число коренів характеристичного рівняння, що дорівнюють a.
4. Частинний розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді де А і В – невизначені коефіцієнти, r – число коренів характеристичного рівняння, що дорівнюють bі.