Реферат: Характеристика анализа временных рядов

--PAGE_BREAK--1.1 Анализ тенденции развития (тренда) временного ряда


Понятие тенденция развития не имеет достаточно четкого определения. Обычно тенденцию стремятся представить в виде более или менее гладкой кривой, которой соответствует некоторая функция времени. Эта кривая, назовем ее трендом, характеризует основную закономерность движения во времени и в известной мере (но не полностью) свободна от случайных воздействий. Тренд описывает некоторую усредненную для достаточно протяженного периода наблюдения тенденцию развития во времени. В большинстве случаев полученная траектория связывается исключительно с ходом времени. Предполагается, что с помощью переменной время можно выразить влияние всех основных факторов. Механизм их влияния в явном виде не учитывается.

Для анализа линии тренда в статистическом пакете «MINITAB» необходимо выполнить следующую операцию: Stat

>
Time

Series

>
Trend

Analysis
. На мониторе появится следующее диалоговое окно (Рисунок 1.1):
<img width=«373» height=«250» src=«ref-1_1519891274-14434.coolpic» v:shapes="_x0000_i1025">

Рисунок 1.1 – Диалоговое окно «Анализ линии тренда»
Диалоговое окно включает в себя следующие параметры:

Variable
:вводится идентификатор (название) столбца в таблице с исследуемым временным рядом.

Model

Type
:определяется тип модели для аппроксимации тренда временного ряда. В используемой программе Minitabрассматриваются следующие четыре типа моделей:

– Linear– линейная;

– Quadratic– квадратическая;

– Exponentialgrowth– экспоненциального роста;

– S-Curve (Pearl-Reed logistic) – логистическаяS – кривая.

Generate

forecasts
:Отмечается при необходимости просчитать прогнозные значения, на графике эти точки отмечаются красным цветом.

Number

of

forecasts
:Вводится число точек для прогноза.

Starting

from

origin
:Вводится положительное число, определяющее с какой точки начинать считать прогнозные значения. Если эта позиция остается не заполненной Minitabначинает считать прогнозные значения, начиная с последней точки исходного временного ряда. Например, если в примере 1 необходимо сделать прогноз валового сбора хлеба на три года вперед, начиная с последнего года, т. е. с 22-го по счету, то в эту позицию вводят число 21 или оставляют незаполненной и программа подсчитает прогноз в точках 22, 23, 24.

Title
:Вводится вами заданный заголовок для выводимого графика.

Результат проведенного исследования Minitabвыводит в виде графика, на котором показаны исходные данные, аппроксимирующая их линия тренда и рассчитанные прогнозные значения для этого ряда. В качестве оценок точности аппроксимации и вычисленного прогноза Minitabиспользует следующие три показателя:

MAPE– средняя абсолютная ошибка в процентах (mean

absolute

percentage

error

– среднее относительное отклонение);

MAD– среднее абсолютное отклонение (mean

absolute

deviation);

MSD– s
2– среднеквадратическое отклонение (mean

squared

deviation). Близко по своей структуре к среднеквадратической ошибке, но не зависит от числа степеней свободы для разных моделей, поэтому может быть использовано для сравнения точности разных моделей.

Вычисляются эти оценки точности следующим образом:
MAPE
<img width=«148» height=«77» src=«ref-1_1519905708-776.coolpic» v:shapes="_x0000_i1026">, где <img width=«59» height=«25» src=«ref-1_1519906484-309.coolpic» v:shapes="_x0000_i1027">; MAD<img width=«103» height=«69» src=«ref-1_1519906793-493.coolpic» v:shapes="_x0000_i1028">; MSD<img width=«116» height=«69» src=«ref-1_1519907286-575.coolpic» v:shapes="_x0000_i1029">;


Определение типа модели для аппроксимации тренда временного ряда – одна из наиболее сложных задач анализа временных рядов. Оценка коэффициентов уравнения тренда осуществляется по методу наименьших квадратов (МНК).

Наиболее часто в экономике при аппроксимации тренда используются следующие виды функций:

линейная <img width=«75» height=«24» src=«ref-1_1519907861-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1030">, параболическая <img width=«115» height=«31» src=«ref-1_1519908043-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1031">, степенная <img width=«57» height=«31» src=«ref-1_1519908291-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1032">,

экспоненциальная <img width=«64» height=«31» src=«ref-1_1519908458-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1033">, функция Гомперца <img width=«60» height=«37» src=«ref-1_1519908640-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1034">, логистическая
<img width=«96» height=«55» src=«ref-1_1519908814-460.coolpic» v:shapes="_x0000_i1035">.
Пример 1. Рассмотрим динамику валового сбора хлеба и цен на хлеб в России за 1890 –1910 гг., данные представлены в таблице 1.1. Необходимо определить тип модели для аппроксимации имеющихся временных рядов. В качестве критерия оптимальности выбора модели воспользуемся показателем MSD– среднеквадратическим отклонением.
Таблица 1.1



В статистическом пакете Minitabрассматриваются следующие четыре типа моделей: линейная, квадратическая, экспоненциального роста, логистическая S– кривая. Выполним расчеты по каждой из моделей для обоих временных рядов и представим данные расчетов в таблице 2.
Таблица 1.2



Наиболее точно описывают имеющиеся данные квадратическая модель, так как среднеквадратическое отклонение (MSD) у этой модели наименьшее. Уравнения тренда, описывающие данные временные ряды имеют вид:

– для валового сбора хлеба:

Yt= 84.5263 + 7.88980*t— 0.148474*t2

– для цены на хлеб:

Yt= 130.932 — 7.72938*t+ 0.433980*t2

В результате выполнения операции: Stat

>
Time

Series

>
Trend

Analysis
и заполнения диалогового окна на экране появятся графики, которые показаны на рисунке 1.2. На графиках видно, что выбранные нами модели тренда достаточно точно описывают имеющиеся временные ряды.


<img width=«495» height=«337» src=«ref-1_1519909274-18890.coolpic» v:shapes="_x0000_i1036">
<img width=«490» height=«341» src=«ref-1_1519928164-17686.coolpic» v:shapes="_x0000_i1037">

Рисунок 1.2 – Анализ трендов валового сбора хлеба и цены на него
    продолжение
--PAGE_BREAK--1.2 Декомпозиция временного ряда. Анализ сезонных колебаний


При анализе временного ряда его изменчивость можно разделить на закономерную (детерминированную) и случайную составляющие. Для многих рядов в экономике причины, порождающие их закономерные составляющие не ясны. Тем не менее их совокупное влияние может быть устойчивым в течении достаточно длительных промежутков времени. Это обеспечивает возможность прогноза для подобных временных рядов.

Составная часть временного ряда, остающаяся после выделения из него закономерных (детерминированных) компонент, представляет собой случайную, нерегулярную компоненту. Она является обязательной составной частью любого временного ряда в экономике, так как случайные отклонения неизбежно сопутствуют любому экономическому явлению. Если систематические компоненты временного ряда определены правильно, что как раз и составляет одну из главных целей при разработке моделей временного ряда, то остающаяся после выделения из временного ряда этих компонент так называемая остаточная последовательность (ряд остатков) будет случайной компонентой ряда.

Случайная компонента ряда обладает следующими свойствами:

– случайностью колебаний уровней остаточной последовательности;

– соответствием распределения случайной компоненты нормальному закону распределения;

– равенством математического ожидания случайной компоненты нулю;

– независимостью значений уровней случайной последовательности, то есть отсутствием существенной автокорреляции.

Проверка адекватности моделей временных рядов основана на проверке выполняемости у остаточной последовательности указанных четырех свойств. Если не выполняется хотя бы одно из них, модель признается неадекватной; при выполнении всех четырех свойств модель адекватна. Данная проверка осуществляется с использованием ряда статистических критериев

Закономернуюили детерминированную составляющую при анализе экономического временного ряда обычно разбивают на три составляющие: тренд, сезонную компоненту и циклическую компоненту.

Наличие первых двух составляющих временного ряда можно приблизительно определить визуально, построив график временного ряда. На рисунке 1.3 показаны различные виды временных рядов с трендом и сезонной составляющей.
<img width=«357» height=«177» src=«ref-1_1519945850-16212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1038">

Рисунок 1.3 – Различные виды временных рядов
На рисунке 1.3 введены следующие обозначения:

1 – временной ряд не содержит сезонной составляющей;

2 – временной ряд содержит аддитивную сезонную составляющую;

3 – временной ряд содержит мультипликативную сезонную составляющую;

А – временный ряд не содержит тренда;

В – временной ряд содержит аддитивный тренд;

С – временной ряд содержит мультипликативный тренд (при увеличении данных, увеличивается величина сезонных отклонений).

(Ниже в этом пункте будет рассмотрены понятия аддитивной и мультипликативной переменных временного ряда).

Циклическая компонента временного ряда описывает длительные периоды относительного подъёма и спада. Она состоит из циклов, которые меняются по амплитуде и протяженности. Выделение в экономических временных рядах циклической компоненты связано с тем, что экономическая активность не растет (или спадает) постоянными темпами. Она состоит из периодов относительных подъёмов и спадов. Считается, что причиной циклических изменений в экономических показателях является взаимодействие спроса и предложения. Играют роль и другие факторы: рост и истощение ресурсов, увеличение размеров капитала, используемого в бизнесе, продолжительно действующие неблагоприятные (либо благоприятные) для тех или иных отраслей сельского хозяйства погодные условия, изменения в правительственной финансовой и налоговой политике и т. п. Влияние всех этих факторов приводит к тому, что циклическую компоненту крайне трудно идентифицировать формальными методами, исходя только из данных изучаемого ряда. Поэтому для ее анализа обычно приходиться привлекать дополнительную информацию в виде других временных рядов, которые оказывают влияние на изучаемый ряд, например, учитывать информацию типа налоговых льгот, перенасыщенности рынка и т. п.

В ходе выполнения данной лабораторной работы необходимо будет учитывать влияние лишь двух составляющих: тренда и сезонной компоненты.

К сезонным относятся такие явления, которые обнаруживают в своем развитии определенные закономерности более или менее повторяющиеся из месяца в месяц, из квартала в квартал. Под сезонностью иногда понимают неравномерность производственной деятельности в отраслях промышленности, связанных с переработкой с/х сырья, поступления которого зависит от времени года. Кроме того, сезонность может возникать из-за сезонного характера спроса на товары, производимые промышленностью и т. д. Как бы ни проявлялась сезонность, она наносит большой ущерб народному хозяйству, который заключается в неравномерном использовании оборудования и рабочей силы, неравномерной постановке сырья и загрузке транспорта в отраслях, связанных с сезонным производством. Изучение сезонных колебаний необходимо для более ритмичной работы предприятий.

Статистическое исследование сезонности ставит следующие задачи: численно выразить проявление сезонных колебаний; выявить их силу и характер в условиях отдельных отраслей народного хозяйства; вскрыть факторы, вызывающие сезонные колебания; найти экономические последствия проявления сезонности. Известно несколько способов исследования сезонных колебаний: способ простых средних, способ относительных чисел, способ Персонса, способ расчета сезонных волн, базирующийся на определении тенденции (методом скользящей средней и методом наименьших квадратов).

Индексы сезонности являются показателями, характеризующими результаты сравнения фактических уровней данного месяца или квартала с уровнями, вычисленными при выявлении основной тенденции для того же месяца или квартала.

Расчет сезонного индекса может быть произведен следующим образом. Предположим, что рассматриваемый временной ряд x1, … xnможет быть описанаддитивной моделью.Пусть p– период последовательности st. Для этого сначала мы должны оценить тренд <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_1519962062-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1039">. Затем для каждого сезона i, 1 <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1519962203-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1040"> i<img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1519962203-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041"> p, необходимо рассмотреть все относящиеся к нему разности: xi– <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_1519962062-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1042">. Каждое из этих отклонений xiот <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_1519962062-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1043">можно рассматривать как результат влияния сезонных изменений. Усреднение этих разностей дает нам оценку сезонной компоненты si. В качестве простейшей оценки можно взять простое среднее, т.е.:
<img width=«192» height=«48» src=«ref-1_1519962663-680.coolpic» v:shapes="_x0000_i1044"> для i= 1,…, p


Сезонный индекс для мультипликативной модели вычисляется по другой формуле.

Minitabпроизводит классическую декомпозицию временного ряда, используя мультипликативную или аддитивную модели. С помощью этой процедуры временной ряд разделяется на три составляющие: тренд, сезонные колебания и ошибку.

Для работы с этим видом анализа необходимо набрать: Stat

>
Time

Series

>
Decomposition
.В результате выполнения этой процедуры на мониторе появится следующие диалоговое окно (рисунок 1.4).
<img width=«501» height=«324» src=«ref-1_1519963343-21663.coolpic» v:shapes="_x0000_i1045">

Рисунок 1.4 – Вид диалогового окна «Анализ сезонной декомпозиции»
Диалоговое окно включает в себя следующие параметры:

Variable
:выбирается столбец, содержащий исходный временной ряд.

Seasonal

Length
:Длина сезонного цикла. Вводится целое число большее 2.

Model

Type
: Выбирается тип модели:

– мультипликативная модель. Используется, если сезонные колебания зависят от уровня данных. В этом случае предполагается, что если данные увеличиваются, то увеличивается и величина сезонных отклонений. Многие временные ряды соответствуют этой модели. Модель имеет следующий вид
yt
=
Trend
*
Seasonal
*
Error

– аддитивная модель имеет следующий вид:
yt
=
Trend
+
Seasonal
+
Error

Model

Components
:Выбор компонентов присутствующих в модели:

– Trendplusseasonal: Отмечается, если исходные данные содержат тренд и сезонную составляющую.

– Seasonalonly: Отмечается, если при анализе тренд не учитывается. Если данные содержат тренд, но это не указано, то оценки сезонных индексов могут быть не верными.

Initial

seasonal

period
:По умолчанию Minitabсчитает, что исходные данные начинаются с первого периода – 1. Если исследуются месячные данные, и они начинаются с июня, то тогда указывается 6 месяц.

Generate

forecasts
:Отмечается, если необходимо сделать прогноз. Прогнозные значения отмечаются на графике красным цветом.

Number

of

forecasts
:Вводится число прогнозных значений.

Starting

from

origin
:Используется аналогично диалогу в анализе тренда.

Title
:Можно ввести свое название графика.

Minitabпри декомпозиции:

— оценивает линию тренда методом наименьших квадратов;

— удаляет тренд, деля на тренд или вычитая его из временного ряда в зависимости от используемой модели (соответственно мультипликативной или аддитивной);

— сглаживает преобразованные данные, используя метод скользящего среднего с параметром сглаживания равным длине сезонного цикла. Если сезонный цикл четный, то используется двухшаговая процедура сглаживания методом скользящего среднего;

— временной ряд без тренда делится или из него вычитается полученный сглаженный ряд, чтобы получить сезонную компоненту. С помощью полученных значений вычисляются сезонные индексы, которые позволяют оценить влияние сезонных колебаний.

Рассмотрим на примере производства молока процедуру декомпозиции временного ряда (данные представлены в таблице 1.2).
Таблица 1.2 – Производство молока в России за 1992–1996 гг. (тыс. тонн в месяц)



Заполним диалоговое окно, изображенное на рисунке 1.4, следующим образом:

Variable
:1992–96

Seasonal

Length
: 12

Model

Type
:мультипликативная модель (для выбора типа модели можно использовать рисунок 1.3. Из графика анализирующего временной ряд на наличие тренда (рисунок 1.5) видно, что величина сезонных колебаний пропорциональна среднему уровню производства. Поэтому для описания сезонных колебаний следует использовать мультипликативную модель).

Model

Components
:
Trend

plus

seasonal
(тренд и сезонная составляющая)

Initial seasonal period: 1 (данныеначинаютсясянваря)

Generate forecasts:

Number

of

forecasts
:6

В результате выполнения этой операции на экране появятся следующие графики и расчеты. В окне Session
появятся результаты вычисления сезонных индексов и значения прогнозных показателей на полгода вперед, а также уравнение тренда и его точность:

Time

Series

Decomposition
(Декомпозиция временного ряда)

Data1992-96 (Название анализируемых данных)

Length58.0000 (Длина временного ряда)

NMissing0 (Количество ошибок в данных)

Trend Line Equation (Уравнениетренда)

Yt = 2841.10 — 23.6304*t

Seasonal Indices (Сезонныеиндексы)



Period

Index

1

0.654509

2

0.678928

3

0.909029

4

1.02617

5

1.27273

6

1.58137

7

1.54385

8

1.35862

9

1.02653

10

0.777468

11

0.570636

12

0.600173



AccuracyofModel(Оценка точности полученного уравнения тренда)

MAPE: 4.1

MAD: 85.0

MSD: 10808.6

Forecasts(Прогнозные значения)



Row

Period

Forecast

1

59

826.68

2

60

855.31

3

61

917.31

4

62

935.52

5

63

1231.15

6

64

1365.59



При проведении декомпозиции Minitabтакже генерирует три набора графиков (рисунки 1.5 – 1.7).

На рисунке 1.5 изображены исходные данные, оцененная линия тренда, оцененная линия тренда с сезонными колебаниями (predicted) и прогнозные значения.

На рисунке 1.6 изображены отдельные графики для каждой компоненты: исходные данные, данные без тренда, данные без сезонных колебаний и график ошибки – данные без тренда и без сезонных колебаний.

Эта группа графиков показывает как сезонные колебания влияют на временной ряд. Сюда входят графики:

— сезонных индексов (Seasonal

Indices
),

— график процента дисперсии обусловленной сезонными колебаниями (Percent

Variation
,
by

Seasonal

Period
),

— график разброса исходных данных за рассматриваемый сезонный период (Original

Data
,
by

Seasonal

Period
),

— график разброса остатков за этот период (Residuals
,
by

Seasonal

Period
).
<img width=«379» height=«255» src=«ref-1_1519985006-13685.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046">

Рисунок 1.5 – График временного ряда
<img width=«311» height=«214» src=«ref-1_1519998691-14401.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047">

Рисунок 1.6 – Результаты компонентного анализа при декомпозиции временного ряда.


<img width=«321» height=«223» src=«ref-1_1520013092-17157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048">

Рисунок 1.7 – Результаты сезонного анализа при декомпозиции временного ряда
В результате проведенного анализа можно сделать следующие выводы:


1. Визуальный анализ графика ряда показывает, что производство молока имеет тенденцию к сокращению. Это может быть обусловлено сокращением поголовья молочного стада и общим снижением производства сельскохозяйственной продукции.

2. Временный ряд подвержен сильным сезонным колебаниям с максимумом производства в летние месяцы (апрель – сентябрь) и минимумом – в зимние (октябрь – март). При этом величина сезонных колебаний пропорциональна среднему уровню производства.

Следовательно, потребителю молочных продуктов необходимо быть готовым к сезонным изменениям уровня цен на продукцию: в летние месяцы — снижение цены, в зимние — возрастание.



    продолжение
--PAGE_BREAK--