Реферат: Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса.

Курсовая работа

Исполнитель:

студентка группы H.01.01.01 М-31

Зелюткина В.И.

Научный руководитель: профессор,

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры алгебры и геометрии

Монахов В.С.

Гомель 2005

Содержание

Введение

. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса

. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса

. О неразрешимых группах с заданными подгруппами непримарного индекса

Заключение

Список литературы

Введение

Данная курсовая работа представлена в виде трех параграфов. В первом параграфе рассматриваются конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса. Здесь представлены:

A. Пусть />— конечная группа и />. Тогда и только тогда в группе />все подгруппы четного индекса сверхразрешимы, когда выполняется одно из следующих утверждений:

1) /> — 2-группа;

2) /> — группа Фробениуса, ядро которой — минимальная нормальная подгруппа порядка />, где /> — показатель 2 по каждому простому нечетному делителю порядка группы;

3) />.

1. />— наследственный гомоморф, т.е. каждая подгруппа и каждая факторгруппа группы />также принадлежит />.

2. />, то />---/>-свободна.

3. /> и /> не 2-нильпотентна, то силовская 2-подгруппа в /> элементарная абелева или типа />.

4. /> — разрешимая группа и />, то 2-длина группы /> не превосходит 1.

5. /> — разрешимая группа и />. Если /> и силовская 2-подгруппа /> из /> неабелева, то центр /> совпадает с центром />.

6. /> — разрешимая группа и />. Тогда и только тогда />, когда /> — группа Фробениуса, ядро которой — минимальная нормальная подгруппа порядка />, где /> — показатель 2 по каждому нечетному простому делителю порядка группы />.

Лемма 7. /> и /> — простая неабелева группа, то />.

8. /> и />, то />.

9. />для />.

Во второй — конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. Здесь представлены:

B. неразрешимая группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы, изоморфна одной из следующих групп:

1) /> или />, где /> — 5-группа;

2) />, где /> — 3-группа.

C. /> — разрешимая недисперсивная группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. Тогда /> бипримарна, и /> — дисперсивная группа порядка />, где />.

1. /> конечная группа, в которой каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда в любой подгруппе и в любой фактор-группе группы /> каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима.

2. /> — конечная группа и /> — простое число, делящее порядок />. Если в /> нет />-замкнутых подгрупп Шмидта, то />/>-нильпотентна.

3. /> — сверхразрешимая группа Шмидта с нормальной силовской />-подгруппой /> и циклической силовской />-подгруппой />, то />.

4. группа дисперсивна по Оре, если в ней все подгруппы Шмидта сверхразрешимы.

5. конечная группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса не более чем трипримарна.

6. группа порядка />, где /> и /> — простые числа, /> и /> не делит />, нильпотентна.

7. разрешимая группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса дисперсивна.

8. /> — подгруппа примарного индекса /> конечной группы />, то />.

9. /> — группа порядка />, где /> и /> — простые числа, /> и />. Пpeдnoлoжим, что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда /> либо />-группа, либо группа Шмидта />, где /> — элементарная абелева, или группа кватернионов.

10. /> — группа порядка />, где /> и /> — простые числа, /> и />. Предположим, что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда факторгруппа /> либо />-группа, либо изоморфна /> и /> делит />.

--PAGE_BREAK--

Третий посвящен неразрешимым группам с заданными подгруппами непримарного индекса. Здесь представлены:

D. класс /> замкнут относительно прямых произведений и /> разрешим. Если в конечной неразрешимой группе /> нет неединичных нормальных />-подгрупп, то /> изоморфна одной из следующих групп: /> и /> — простое число или 9; /> или /> и />.

1. конечная неразрешимая группа /> принадлежит />, то />, где />, а /> и />.

2. класс /> замкнут относительно прямых произведений, и /> — неразрешимая группа, принадлежащая />. Если /> — минимальная нормальная в /> подгруппа, то либо />, либо /> — простая неабелева группа, /> и />, где />.

3. класс /> разрешим и /> — простая неабелева группа из />, то:

1) />, />, /> и /> или /> — простое число;

2) />, /> и /> — простое число;

3) />, />, />;

4) />, /> или />, /> или /> соответственно.

В каждом параграфе подробно изучена соответствующая тема с теоремами леммами и доказательствами последних.

/>1. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса

Строение конечных минимальных несверхразрешимых групп хорошо известно. В частности, они дисперсивны и их порядки делятся не более чем на три различных простых числа. Если условие сверхразрешимости накладывать не на все подгруппы, а только на некоторые, то возникают недисперсивные и даже неразрешимые группы. В описаны конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. В настоящей заметке исследуется строение конечных групп со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса. Доказывается следующая

1) /> — 2-группа;

3) />.

Здесь /> — центр группы />, /> — наибольшая нормальная в /> подгруппа нечетного порядка. Через /> обозначим класс конечных групп, у которых все подгруппы четного индекса сверхразрешимы.

1. />— наследственный гомоморф, т.е. каждая подгруппа и каждая факторгруппа группы />также принадлежит />осуществляется проверкой.

Отметим, что знакопеременная группа/>, но /> не содержится в />. Поэтому /> не является формацией и не является классом Фиттинга.

Через /> обозначается симметрическая группа степени 4. Конечная группа /> называется />-свободной, если в ней нет подгрупп /> и /> таких, что /> нормальна в /> и /> изоморфна />.

2. />, то />---/>-свободна.

. Допустим противное, т.е. предположим, что существует секция />, изоморфная />. Тогда существует подгруппа /> индекса 2 в /> и /> изоморфна />. Так как /> несверхразрешима, то /> — несверхразрешимая подгруппа четного в /> индекса. Противоречие. Лемма доказана.

Конечная группа называется 2-нильпотентной, если в ней существует нормальное дополнение к силовской 2-подгруппе. Полупрямое произведение нормальной подгруппы /> и подгруппы /> обозначается через />.

3. /> и /> не 2-нильпотентна, то силовская 2-подгруппа в /> элементарная абелева или типа />.

Если /> не 2-нильпотентна, то в /> существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта />, см., с. 192. Так как /> несверхразрешима, то индекс /> в группе /> нечетен, и /> — силовская 2-подгруппа из />. Из свойств подгрупп Шмидта следует, что /> элементарная абелева или типа />.

4. /> — разрешимая группа и />, то 2-длина группы /> не превосходит 1.

следует из леммы 3 и леммы 3.4 из .

5. /> — разрешимая группа и />. Если /> и силовская 2-подгруппа /> из /> неабелева, то центр /> совпадает с центром />.

продолжение
--PAGE_BREAK--

Если G — 2-группа, то лемма справедлива.

Пусть /> не 2-группа. По лемме 4 подгруппа /> нормальна в />. Через /> обозначим />-холловскую подгруппу из />. Так как /> имеет четный индекс, то /> сверхразрешима и />. Теперь /> содержится в центре />, а поскольку />, то /> — 2-группа. Группа /> не является 2-нильпотентной, поэтому существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта />. Поскольку /> не 2-нильпотентна, то индекс /> нечетен и /> — силовская 2-подгруппа из />. Следовательно, /> содержится в /> и по лемме 2.2 получаем, что /> содержится в />. Лемма доказана.

Пусть /> — разрешимая группа, /> и />. Из лемм 3,4 и 5 получаем, что силовская 2-подгруппа /> нормальна в /> и является элементарной абелевой подгруппой. Так как /> — не 2-группа, то в /> существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта />, где /> — силовская 2-подгруппа из />. Подгруппа /> несверхразрешима, поэтому ее индекс нечетен и /> силовская в />. Из свойств групп Шмидта следует, что /> — минимальная нормальная в /> подгруппа порядка />, и /> — показатель 2 по модулю />, где /> делит />. Поэтому /> — минимальная нормальная в /> подгруппа.

Централизатор /> содержит /> и нормален в />, поэтому /> и />. Значит /> самоцентрализуема.

Пусть /> — />-холловская подгруппа в />. Тогда /> — максимальная в /> подгруппа и /> совпадает со своим нормализатором. Предположим, что существует неединичный элемент /> в /> такой, что /> не содержится в />. Так как /> и /> содержится в />, то /> и />. Пусть />. Тогда />, а по теореме Машке в /> существует подгруппа /> такая, что /> и /> допустима относительно />, т.е. />. Но индекс подгруппы /> четен поэтому эта подгруппа сверхразрешима и />. Теперь /> централизует всю силовскую подгруппу />, противоречие.

Следовательно, /> содержится в /> для всех неединичных элементов /> из /> и /> — группа Фробениуса с ядром />, см., с.630.

Пусть /> — произвольный нечетный делитель порядка группы />, и пусть /> — />-холловская подгруппа из />. Так как /> самоцентрализуема, то /> не 2-нильпотентна и в /> существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта />. Поскольку /> не 2-нильпотентна, то ее индекс нечетен и /> — элементарная абелева подгруппа порядка />. Из свойств групп Шмидта следует, что /> — показатель 2 по модулю />. Необходимость доказана.

Обратно, пусть /> — группа Фробениуса, ядро которой /> — минимальная нормальная в /> подгруппа порядка /> где /> — показатель 2 по каждому нечетному простому делителю порядка />. Пусть /> — произвольная подгруппа из />. Тогда либо />, либо />, либо />, либо /> — группа Фробениуса с ядром />. Если />, то индекс /> нечетен. Если /> или />, то /> 2-нильпотентна. Пусть /> — группа Фробениуса и /> не содержится в />. Поскольку /> не 2-нильпотентна, то в /> существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта />, где /> — нормальная в /> силовская подгруппа порядка />, а /> — циклическая />-подгруппа. Так как /> — элементарная абелева, то из свойств группы Шмидта вытекает, что /> — показатель 2 по модулю />, значит /> и />, т.е. />. Лемма доказана полностью.

продолжение
--PAGE_BREAK--

Следствие. Пусть /> — разрешимая группа и />. Тогда и только тогда />, когда каждая подгруппа из /> четного индекса является 2-подгруппой или группой нечетного порядка.

1. Пусть /> — элементарная абелева группа порядка />. В группе ее автоморфизмов /> существует самоцентрализуемая циклическая подгруппа /> порядка /> см., с.187. Число 11 является показателем 2 по модулю 23 и по модулю 89. Поэтому в классе /> существует группа Фробениуса, удовлетворяющая заключению леммы, и не являющаяся группой Шмидта.

Лемма 7. /> и /> — простая неабелева группа, то />.

Если силовская 2-подгруппа в /> типа /> то /> по теореме из. Но в этой группе есть несверхразрешимая подгруппа четного индекса в нормализаторе силовской 2-подгруппы. По лемме 3 силовская 2-подгруппа в /> элементарная абелева. В группах Янко и Ри есть неразрешимые подгруппы четного индекса в централизаторах инволюций.

Рассмотрим группу />, где /> и />. Если />, то /> — несверхразрешимая подгруппа четного индекса. Следовательно, />. В /> силовская 2-подгруппа имеет порядок 4 и несверхразрешимые подгруппы изоморфны знакопеременным группам /> и />.

Рассмотрим />. Если /> не простое, то /> содержит подгруппу />, />, четного индекса, которая несверхразрешима. Значит, /> — простое. Несверхразрешимыми в /> являются только нормализаторы силовских 2-подгрупп.

Из теоремы Уолтера следует, что других простых групп, кроме рассмотренных, нет.

Через /> обозначим разрешимый радикал группы />.

8. /> и />, то />.

Пусть /> — минимальная нормальная в /> подгруппа. Тогда />. Если />, то индекс /> в /> четен и /> должна быть сверхразрешимой. Противоречие. Поэтому /> — простая подгруппа и /> изоморфна /> или />. Теперь /> нечетен, /> и /> — подгруппа из />.

Если />, то />, поэтому />.

Пусть />, /> — простое. Так как /> — циклическая группа порядка />, то /> либо совпадает с />, либо G совпадает с />. Пусть /> и /> — подгруппа из N порожденная инволюцией. Так как внешний автоморфизм /> группы /> централизует />, см., с.317, то по теореме Машке в силовской 2-подгруппе /> группы /> есть подгруппа /> индекса 2 в />, допустимая относительно />. Теперь /> — — не 2-нильпотентная подгруппа четного индекса в /> и /> не принадлежит />.

9. />для />.

Пусть /> — подгруппа четного индекса в группе />, где />, и пусть /> — центральная инволюция в />. Если />, то /> — подгруппа в /> четного индекса. Так как />, то /> сверхразрешима, поэтому и /> сверхразрешима.

Пусть /> не принадлежит />. Тогда />. Допустим, что /> несверхразрешима. Так как /> — подгруппа из />, то из доказательства леммы 7 следует, что /> изоморфна /> или />. Но теперь силовская 2-подгруппа в /> элементарная абелева, противоречие.

теоремы. Достаточность вытекает из лемм 6-9. Докажем необходимость. Пусть вначале /> — разрешимая группа, /> и />. Если /> — не 2-группа, то легко проверить, что /> и по лемме 6 группа /> из пункта 2 теоремы.

Пусть /> неразрешима. Если />, то по лемме 8 теорема верна. Пусть />. Если /> разрешима, то разрешима и группа />, противоречие. Следовательно, подгруппа /> имеет четный индекс в группе />. Так как /> сверхразрешима и />, то /> — 2-группа, отличная от силовской 2-подгруппы. Пусть /> — централизатор подгруппы /> в группе />.

Для каждого нечетного простого /> подгруппа /> имеет четный индекс, поэтому сверхразрешима и 2-нильпотентна. Поэтому /> для всех нечетных /> и индекс /> в группе /> четен или равен 1. Если />, то в /> есть нормальная подгруппа нечетного порядка, противоречие. Значит, /> и /> содержится в центре />.

продолжение
--PAGE_BREAK--

Если />, то /> — квазипростая группа и /> не изоморфна />. Так как />, то по лемме 8 группа /> изоморфна /> или />. Теперь по теореме из, с.646 группа /> изоморфна /> или />.

Пусть /> — собственная в /> подгруппа. Тогда /> имеет нечетный индекс и />. Так как /> — собственная в /> подгруппа, то из леммы 8 получаем, что /> изоморфна />, a /> изоморфна />. Противоречие. Теорема доказана полностью.

/>2. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса

Задача С.Н. Черникова об описании конечных групп, у которых подгруппы непримарного индекса нильпотентны, решена в 1975 г. С.С. Левищенко. Конечные группы с формационными подгруппами непримарных индексов рассматривались А.В. Сидоровым.

В настоящей статье изучаются конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. Доказаны следующие две теоремы.

1) /> или />, где /> — 5-группа;

2) />, где /> — 3-группа.

Далее, если />, то

и /> делит />. Если />, то

группа Шмидта, и Q — элементарная абелева группа или группа кватернионов.

Здесь /> — наибольшая нормальная в />/>-подгруппа; /> — подгруппа Фиттинга группы />; /> — циклическая группа порядка />.

Осуществляется непосредственной проверкой.

Группа /> называется />-замкнутой, если в ней силовская />-подгруппа нормальна, и />-нильпотентной, если в ней имеется нормальное дополнение к силовской />-подгруппе. Свойства групп Шмидта хорошо известны.

Если /> — собственная подгруппа в группе />, то /> удовлетворяет условию леммы, по индукции подгруппа />/>-нильпотентна. Теперь группа /> либо />-нильпотентна, либо />-замкнутая группа Шмидта (см., с. 192). Последнее исключается условием леммы.

Все главные факторы сверхразрешимой группы имеют простые порядки. Так как /> — главный фактор, то

Определения дисперсивных групп см. в, с.251. Конечная группа называется трипримарной, если ее порядок делится точно на три различных простых числа.

4. группа дисперсивна по Оре, если в ней все подгруппы Шмидта сверхразрешимы.

Пусть в конечной группе /> все подгруппы Шмидта сверхразрешимы и /> — наименьшее простое число, делящее порядок />. По лемме 3 в группе /> нет />-замкнутых подгрупп Шмидта, поэтому />/>-нильпотентна по лемме 2. По индукции нормальное />-дополнение в /> дисперсивно по Оре, поэтому и вся группа дисперсивна по Оре.

5. конечная группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса не более чем трипримарна.

Пусть /> — недисперсивная группа. По лемме 4 в ней имеется несверхразрешимая подгруппа />, которая является группой Шмидта. Так как /> бипримарна, а индекс /> в группе /> по условию леммы примарен, то группа /> либо бипримарна, либо трипримарна.

6. группа порядка />, где /> и /> — простые числа, /> и /> не делит />, нильпотентна.

Пусть /> — рассматриваемая группа. Так как /> сверхразрешима и />, то в /> имеется нормальная подгруппа /> порядка />. Теперь /> изоморфна подгруппе группы автоморфизмов группы />, которая является циклической порядка />. Поскольку /> не делит />, то силовская />-подгруппа /> из /> содержится в />. Теперь /> лежит в центре />. Факторгруппа /> нильпотентна по индукции, значит, нильпотентна и />.

продолжение
--PAGE_BREAK--

теоремы B. Пусть /> — конечная неразрешимая группа, в которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. По лемме 2 в группе /> существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта />, где /> — нормальная силовская 2-подгруппа из />; подгруппа /> — циклическая. Поскольку /> не является сверхразрешимой группой, то ее индекс примарен, т.е. />, где /> — простое число. Теперь /> для силовской />-подгруппы из /> и /> является холловской подгруппой в />.

По теореме 2.1 подгруппа /> содержит нормальную в группе /> подгруппу /> такую, что факторгруппа /> изоморфна

В факторгруппе /> по лемме 1 несверхразрешимыми могут быть только подгруппы примарных индексов. В /> и /> имеется несверхразрешимая подгруппа, изоморфная знакопеременной группе /> степени 4, индекса 14 и 24 соответственно. Поэтому эти группы исключаются.

В /> внешний автоморфизм нормализует силовскую 2-подгруппу, но не централизует ее. Поэтому в /> имеется несверхразрешимая подгруппа порядка 24 и индекса />, в связи с чем данная группа также исключается.

Пусть /> изоморфна />. Группа /> допускает единственную факторизацию в виде группы Шмидта и примарной группы, а именно: /> (см., с.73). Поэтому /> — 5-группа, /> изоморфна /> и /> имеет порядок 5.

Предположим вначале, что /> — неабелева группа. Через /> обозначим центр />. По индукции факторгруппа /> изоморфна

Где

Поскольку /> — собственная в /> подгруппа, то по индукции

Теперь />. Подгруппа /> характеристична в />, a /> нормальна в />. Поэтому /> нормальна в />. Из простоты /> следует, что />. Значит, />, где />. Л Пусть теперь /> — абелева группа. Так как подгруппа /> имеет индекс 20 в группе />, то /> — сверхразрешимая группа, и по лемме 6 она нильпотентна. Поэтому /> и />, т.е. /> лежит в центре />.

Если />, то группа /> квазипроста, и /> или /> по, c.646. Но в этом случае />. Значит, коммутант /> — собственная в /> подгруппа. По индукции

Так как

то />. По свойству коммутантов />. Следовательно,

Случай /> рассмотрен полностью.

Пусть /> изоморфна />. Группа /> допускает единственную факторизацию в виде групп Шмидта, и примарной группы, а именно: />. Поэтому /> — 5-группа, /> изоморфна />, и /> имеет порядок 5.

Предположим вначале, что /> — неабелева группа, и пусть /> — центр />. По индукции фактор-группа /> изоморфна

Поскольку /> — собственная в /> подгруппа, то по индукции

Теперь

Подгруппа /> характеристична в />, а подгруппа /> нормальна в />, поэтому /> нормальна в />. Кроме того,

Следовательно, />, где />.

Пусть теперь /> — абелева группа. Так как /> имеет индекс 40 в группе />, то /> — сверхразрешимая группа, и по лемме 6 она нильпотентна. Поэтому /> и /> нормальная в /> подгруппа порядка, делящегося на 3. Значит, /> и /> лежит в центре />. Теперь

и для инволюции /> подгруппа /> нормальна в />. Следовательно,

и факторгруппа /> проста.

продолжение
--PAGE_BREAK--

Если />, то группа /> квазипроста, и /> по, с.646. Но в этом случае />.

Пусть коммутант /> — собственная в /> подгруппа. По индукции />, где /> изоморфна /> или />, а

Так как

то />. По свойству коммутантов />, значит,

Так как />, то подгруппа /> изоморфна /> и не изоморфна />.

Осталось рассмотреть случай />. Группа /> допускает единственную факторизацию в виде подгруппы Шмидта и примарной подгруппы, а именно: />. Поэтому /> — 3-группа, /> изоморфна /> и /> — циклическая группа порядка 9.

Предположим вначале, что /> — неабелева группа. Через /> обозначим центр />. По индукции факторгруппа /> изоморфна />, где

Поскольку /> — собственная в /> подгруппа, то по индукции

Теперь

Подгруппа /> характеристична, в /> а подгруппа /> нормальна в />. Поэтому /> нормальна в />. Из простоты /> следует, что />. Следовательно, />, где />.

Пусть теперь /> — абелева группа. Так как подгруппа /> имеет индекс 72, то она сверхразрешима. Но />, где /> — подгруппа порядка 7, а /> — 3-группа. Отсюда следует, что /> нильпотентна и абелева, а поэтому />, т.е. /> лежит в центре />.

Если />, то группа /> квазипроста, и /> по, с.646. В этом случае />.

Значит, коммутант /> — собственная в /> подгруппа. По индукции

Где

Так как

По свойству коммутантов />. Следовательно,

где />.

Теорема 1 доказана.

Перейдем теперь к изучению разрешимых групп, у которых несверхразрешимые подгруппы имеют примарные индексы. В силу леммы 5 такие недисперсивные группы не более чем трипримарны.

7. разрешимая группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса дисперсивна.

Пусть /> — разрешимая группа порядка />, где /> — различные простые числа, и пусть каждая подгруппа непримарного индекса из /> сверхразрешима. Предположим, что />/>-нильпотентна. Тогда холловская />-подгруппа /> нормальна в />. Если /> сверхразрешима, то /> дисперсивна. Если /> несверхразрешима, то все собственные подгруппы из /> имеют в группе /> непримарные индексы. Поэтому /> — минимальная несверхразрешимая группа. Теперь /> дисперсивна, поэтому дисперсивна и />.

Если группа /> содержит нормальную силовскую />-подгруппу />, то />, где /> — холловская />-подгруппа. Так как /> дисперсивна, то дисперсивна и />. Противоречие.

Пусть теперь группа /> не обладает нормальным дополнением ни к одной силовской подгруппе и ни одна силовская подгруппа из /> не нормальна в />. Предположим, что />. Так как /> не />-нильпотентна, то в /> имеется />-замкнутая подгруппа Шмидта />, где /> — некоторая />-группа, и /> или />. Из минимальности /> по лемме 3 получаем, что /> несверхразрешима, поэтому ее индекс примарен, и />, где /> — примарная подгруппа. Ввиду леммы VI.4.7 подгруппу /> можно выбрать так, что /> — холловская />-подгруппа в группе />. Если /> нормальна в />, то /> — нормальная в /> холловская подгруппа. Так как /> либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, то /> — дисперсивна, поэтому дисперсивна и />. Противоречие.

продолжение
--PAGE_BREAK--

Следовательно, /> не нормальна в /> и подгруппа /> не />-нильпотентна. Так как /> дисперсивна, то /> нормальна в />. По лемме 2 в группе /> имеется />-замкнутая подгруппа Шмидта />. Но /> циклическая, поэтому /> — простое число и по лемме 3 подгруппа /> сверхразрешима и /> есть />-группа. Значит, />, где /> — силовская />-подгруппа в />, a /> — силовская />-подгруппа.

Рассмотрим подгруппу />. Она дисперсивна. Если /> нормальна в />, то /> дисперсивна. Противоречие. Значит, /> нормальна в />.

Итак, в группе /> холловские подгруппы имеют строение: /> сверхразрешима с циклической силовской />-подгруппой />; /> с силовской />-подгруппой шмидтовского типа; /> — подгруппа Шмидта.

В разрешимой группе /> имеется нормальная подгруппа /> простого индекса. Пусть />. Если /> бипримарна или примарна, то /> дисперсивна. Пусть /> трипримарна. По индукции /> дисперсивна, а так как в /> нет нормальных силовских подгрупп, то />.

Если /> и />, то /> нильпотентна как подгруппа группы Шмидта /> и /> нормальна в />. Если /> и />, то

также нильпотентна, и /> нормальна в />.

Итак, при /> в /> имеется нормальная силовская подгруппа. Противоречие.

Пусть />. Если />, то

нильпотентна и /> нормальна в />. Пусть />. Тогда

Теперь /> нормальна, в />. Если />, то /> и /> нормальна в />. Если />, то /> — собственная подгруппа в группе Шмидта />. Поэтому /> нильпотентна, и

т.е. /> нормальна в />. Противоречие.

Осталось рассмотреть случай />. Так как /> нормальна в />, и /> циклическая, то в /> имеется нормальная подгруппа /> порядка />. Теперь /> — абелева группа порядка, делящего />. и в случае /> в группе /> имеется нормальная подгруппа простого индекса, отличного от />. Но эта ситуация уже рассмотрена. Если />, то к фактор-группе /> применима индукция, по которой /> дисперсивна. Так как /> — подгруппа из центра />, то и вся группа /> дисперсивна.

Лемма 7 доказана полностью.

8. /> — подгруппа примарного индекса /> конечной группы />, то />.

Пусть /> — силовская />-подгруппа группы />, содержащая />-подгруппу />. Так как />, то />. Теперь для любого элемента />, где />, />, получаем

и /> — />-группа.

Пусть /> не является силовской в /> подгруппой и /> — силовская в />/>-подгруппа. Тогда /> — подгруппа непримарного индекса для каждой максимальной в /> подгруппы />. По условию /> сверхразрешима, поэтому ее коммутант нильпотентен и

продолжение
--PAGE_BREAK--

т.е. /> и /> абелева. Итак, в силовской />-подгруппе из /> все собственные подгруппы абелевы.

Так как /> не />-нильпотентна, то в ней имеется />-замкнутая подгруппа Шмидта />. Эта подгруппа несверхразрешима по лемме 3, поэтому ее индекс примарен. Если />, то силовская />-подгруппа /> в /> циклическая, а так как />, то /> нормальна в />. Противоречие.

Следовательно,

По лемме 8 подгруппа /> максимальна в />.

Если /> — абелева, то /> — элементарная абелева группа порядка /> и /> — показатель числа /> по модулю />.

Пусть /> — неабелева группа. Так как /> сопряжена />, то все собственные в /> подгруппы абелевы, т.е. /> — группа Миллера-Морено. Если /> — неабелева группа, порядка /> и экспоненты />, то из свойств групп Шмидта следует, что /> делит />. Так как />, то />, />. Но группы экспоненты 2 абелевы, противоречие. Следовательно, /> — группа кватернионов порядка 8 и />.

Факторгруппа /> — q-замкнута по лемме 3.2, поэтому в /> каждая подгруппа непримарного индекса нильпотентна. Поскольку />, то из следует, что /> имеет простой порядок, а так как /> не входит в />, то

есть группа Шмидта.

Так как />, то группа /> не />-нильпотентна, поэтому в ней существует />-замкнутая подгруппа Шмидта />. По лемме 3 подгруппа /> несверхразрешима а по условию леммы ее индекс примарен.

Если />, то /> — силовская />-подгруппа группы />, и /> нормальна в /> по лемме 3.2. Поэтому /> и /> — />-группа.

Пусть />. Тогда /> — циклическая силовская />-подгруппа группы />. Будем считать, что /> не />-замкнута, т.е. /> не является силовской в /> подгруппой. Для максимальной в /> подгруппы /> индекс подгруппы />, бипримарен, поэтому /> сверхразрешима. Так как />, то /> нормальна в /> и

Таким образом, /> и /> группа порядка, />.

Теперь факторгруппа /> обладает нормальной силовской />-подгруппой /> порядка />. Итак, />, где /> — силовская />-подгруппа в />. Так как /> нормальна в />, а в /> нет неединичных нормальных />-подгрупп, то /> и /> изоморфна подгруппе группы автоморфизмов циклической группы /> порядка />. Поэтому /> — циклическая группа порядка /> и /> делит />.

теоремы C. Пусть /> — разрешимая недисперсивная группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. По леммам 5 и 8 группа /> бипримарна. Пусть />, где /> и /> — простые числа и />. Если /> — примарная группа, то из лемм 9 и 10 следует, что /> — дисперсивная группа порядка />.

Пусть /> — бипримарная группа. Так как группа /> не />-нильпотентна, то в /> существует />-замкнутая подгруппа Шмидта />. Поскольку />, то подгруппа /> несверхразрешима по лемме 3, поэтому имеет в /> примарный индекс. Если />, то /> — циклическая силовская />-подгруппа группы />, и группа /> имеет единичную />-длину. Поэтому />/>-замкнута, а значит />-замкнута и />. Для максимальной подгруппы /> из /> подгруппа /> имеет в /> непримарный индекс, поэтому /> сверхразрешима, а поскольку />, то /> нормальна в

продолжение
--PAGE_BREAK--

Из />-замкнутости /> следует, что /> нормальна в />, поскольку /> — циклическая подгруппа, то /> нормальна в />. Так как /> не нормальна в />, то />, и /> имеет порядок />.

Пусть теперь />. Тогда /> — силовская />-подгруппа группы />, и группа /> имеет единичную />-длину по лемме 3.2. Поэтому />/>-замкнута, а по лемме 8 максимальная подгруппа /> из /> содержится в />. Так как />, то по свойствам групп Шмидта

Первое исключается тем, что /> недисперсивна. Теперь /> — />-замкнутая группа, в которой каждая подгруппа непримарного индекса нильпотентна. Пусть />. Так как в /> имеется группа Шмидта />, то /> ненильпотентна, и /> не является силовской в />. Значит, подгруппа /> имеет в /> непримарный индекс, и по условию теоремы /> сверхразрешима. Так как /> нормальна в />, то /> нормальна в />, поэтому /> содержится в />. Следовательно, /> и в />. Теперь из следует, что силовская />-подгруппа в /> имеет простой порядок.

Итак, в любом случае /> — дисперсивная группа порядка />. Последние два утверждения теоремы 2 вытекают из лемм 9 и 10.

Теорема доказана.

/>3. О неразрешимых группах с заданными подгруппами непримарного индекса

Пусть /> — некоторый класс конечных групп. Через /> обозначается совокупность минимальных не />-групп, а через /> — множество всех тех конечных групп, у которых каждая подгруппа непримарного индекса принадлежит />. Ясно, что /> наследственный класс и />. В настоящей заметке доказывается следующая

Формации /> и /> нильпотентных и сверхразрешимых групп удовлетворяют условиям теоремы. Но класс /> разрешим, а для класса /> теоремы получается описание конечных неразрешимых групп, у которых все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы .

Все обозначения и определения общепринятые, их можно найти в .

1. конечная неразрешимая группа /> принадлежит />, то />, где />, а /> и />.

Если />, то в качестве подгруппы /> можно выбрать всю группу />, а подгруппа /> будет единичной. Пусть /> и пусть /> — собственная в /> подгруппа, которая является минимальной не />-группой. По условию />, /> — простое число. Теперь для силовской />-подгруппы /> из /> получаем, что />. Из неразрешимости /> следует, что /> непримарна и />.

Пусть минимальная нормальная в /> подгруппа /> не принадлежит />. Так как />, то индекс />, /> — простое число. Теперь /> неразрешима и является прямым произведением изоморфных простых неабелевых групп: /> Поскольку /> замкнут относительно прямых произведений, то /> не принадлежит /> и индекс /> в группе /> должен быть примарным. Поэтому /> — простая неабелева группа.

Централизатор /> нормален в /> и />. Поэтому />, а так как индекс /> непримарен, то />.

продолжение
--PAGE_BREAK--

3. класс /> разрешим и /> — простая неабелева группа из />, то:

1) />, />, /> и /> или /> — простое число;

2) />, /> и /> — простое число;

3) />, />, />;

4) />, /> или />, /> или /> соответственно.

Здесь /> и /> — подгруппы, зафиксированные в лемме 1. />, />, /> — циклическая, элементарная абелева, диэдральная группы порядка />, /> — симметрическая груша степени 4.

По лемме 1 простая группа />, где />, а />. Опираясь на классификацию конечных простых групп, Гуральник перечислил все простые группы с подгруппой примарного индекса. Учитывая разрешимость подгруппы /> из этого списка, получаем утверждение нашей леммы.

Теоремы D. Пусть /> — минимальная нормальная в /> подгруппа. По лемме 2 подгруппа /> простая, /> и />

Так как /> не принадлежит />, то существует подгруппа />, />. Теперь />, где />, /> и />. Так как /> разрешима, то по лемме 3 подгруппа /> изоморфна одной из четырех серий групп.

Пусть /> и /> простое число или 9. Предположим, что /> — собственная в /> подгруппа. Так как /> — циклическая группа порядка />, то /> делит />. Кроме того, индекс /> в /> должен быть примарным, а поскольку

/>,

то при /> простое число /> должно делить />, что невозможно. Для /> числа /> и /> взаимно просты. При /> группа /> удовлетворяет условию теоремы. Следовательно, если />, то либо />, либо />, a />.

Пусть /> и /> — простое число, где />. Так как />, то индекс /> в /> равен /> и /> или />.

Пусть />, где />. Поскольку />, то подгруппа /> имеет в /> непримарный индекс. Поэтому в этом случае />.

Поскольку случай /> рассмотрен при />, где />, то теорема доказана полностью.

Заключение

В данной курсовой работе изучены три темы:

1. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса.

2. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса.

3. О неразрешимых группах с заданными подгруппами непримарного индекса.

Подробно рассмотрены теоремы и леммы, а также их доказательства.

Список литературы

1. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. — М.: Наука, 1978. — 272 С.

2. Монахов B. C. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. // В кн.: Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. Киев 1993.С. 195-209.

3. Мазуров В.Д., Сыскин С.А. О конечных группах со специальными силовскими 2-подгруппами. // Матем. заметки. — 1973. — Т.14, N 2. — С.217-222.

4. Монахов B. C. Произведение конечных групп, близких и нильпотентных. // В кн.: Конечные группы. Мн.: Наука и техника. — 1975. — С.70-100.

5. Старостин А.И. О группах Фробениуса. // Украинский матем. ж. — 1971. — Т.23, N 5. — С.629-639.

6. Huppert В. Endliche Gruppen I. — Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1967. — 793 P.

7. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. — М.: Мир,-1985. — 352 С.

8. Левищенко С.С. Конечные группы с нильпотентными подгруппами непримарного индекса // Некоторые вопросы теории групп. — Киев, 1975. — С.173-196.

9. Сидоров А.В. Конечные группы с формационными подгруппами непримарных индексов // Вопросы алгебры. — Минск. — 19S7. — Вып.3. — С.48-56.

10. Huppert B. Endliche Gruppen.I. — Berlin: Springer, 19 (37. — 795 S.

11. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. — М.: Наука, 1978. — 267 с.

12. Монахов B. C. Произведение конечных групп, близких к нильпотентным // Конечные группы. — Минск: Наука и техника, 1975. — С.70-100.

13. Левищенко С.С. Конечные группы с нильпотентными подгруппами непримарного индекса // В кн.: Некоторые вопросы теории групп. Киев, 1975. — С. 197-217.

14. Монахов B. C. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса // В кн.: Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. Киев. 1993. — С. 195-209.

15. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978, 272 с.

16. Guralnick R. Subgroups of prime power index in a simple group. J. Algebra. 1983. — Vol.81. — P.304-311.

еще рефераты

Еще работы по математике

Реферат по математике

Подготовка к Единому государственному экзамену по математике через элективные курсы

2 Сентября 2013

Реферат по математике

Твердые тела

2 Сентября 2013

Реферат по математике

Вопросы к гос. экзамену по дисциплине Математика Алгебра

20 Июня 2015

Реферат по математике

Комплексные числа

2 Сентября 2013