Реферат: Некоторые понятия высшей матаматики
Высшая математика
Слушатель – Никифоров Михаил Николаевич
Курс 1. АПМ-03. Семестр осенний. 2003 год.
Матрица – совокупность чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы.
Минором для элемента аig называется определитель матрицы, полученный из исходной, вычеркиванием i-ой строки и g-ого столбца.
Матрицы с нулевым определителем называются вырожденными или особенными. Особенная матрица обратной не имеет. />. />.
Bpq согласовано с Amn, если число строк В равно числу столбцов А, т.е. p=n. Одно согласование.
Если один столбец или одна строка все нули, то | |=0.
Если в матрице имеется 2 равных столбца или 2 равных строки, то | |=0.
Треугольная матрица. Все элементы выше или ниже главной диагонали =0. Тогда определитель матрицы равен произведению диагональных элементов.
При перемене местами 2 строк или 2 столбцов определитель меняет знак.
Определитель матрицы, содержащей 2 пропорциональные строки или столбца равен нулю.
Определитель матрицы равен сумме произведений некоторой строки на соответствующие алгебраические дополнения.
Системы уравнений с матрицами
Система 1 совместная, если имеет хотя бы одно решение.
Система 1 определенная, если есть только 1 решение и неопределенная, если более 1 решения.
Ранг матрицы.
Ранг нулевой матрицы равен 0.
Ранг единичной матрицыnm равен n.
Ранг трипсидальной матрицы равен числу ненулевых строк.
При элементарных преобразованиях матрицы ранг её остается неизменным.
При добавлении к матрице строки или столбца ранг её может только увеличиться или остаться неизменным.
Лекция 5.
/>.
Замечание: 1) />Нет решения
2) />/>. n-число неизвестных
а) r=n – одно решение />
б) r<n – бесконечное множество решений, зависящих от S=n-r параметров.
Векторная алгебра
Проекция вектора на ось:
Проекцией точки на прямую называется основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проекция АВ на х это число |A’B’| взятое со знаком +, если угол острый и со знаком – если угол тупой.
/>, />
/>.
Скалярное произведение векторов
/>. />
Признак перпендикулярности />.
Векторное произведение векторов
/>; />; />
Объем пирамиды />; />
Смешанное произведение векторов
/>
Если /> — углы, которые составляет вектор а с координатными осями, то />, откуда следует
/>
/>
/>
Условие коллинеарности />
ab=0 – перпендикулярность
/>— коллинеарность
abc=0 – компланарность
Аналитическая геометрия
Плоскость в пространстве
Нормаль и точка привязки однозначно определяют положение плоскости в пространстве.
/>—
каноническое уравнение (1)
Общее уравнение плоскости
/>, где />,
где А, В, С – координаты нормали, D – свободный член, x,y,z – текущий координаты.
Уравнение плоскости, проходящий через точку />перпендикулярно вектору N=(A;B;C), имеет вид
/>
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки записывают в виде
/>
Уравнение плоскости в отрезках />
Нормальное уравнение плоскости />, где p – расстояние от начала координат.
Нормирующий множитель />
Расстояние от точки до плоскости
/>
Угол между плоскостями />
Условия параллельности и перпендикулярности />; />
Уравнение пучка плоскостей: />
Прямые линии в пространстве.
/>-уравнение прямой
--PAGE_BREAK--/>— параметрическое уравнение прямой.
/>— каноническое уравнение прямой.
Уравнения прямой, проходящей через 2 заданные точки
/>
Угол между 2 прямыми
/>
Взаимное расположение 2 прямых.
1. />(могут лежать и на одной прямой)
2. />(могут скрещиваться)
3. />. Если (3) />, то скрещиваются.
Взаимное расположение прямой и плоскости
1. />
2. />
3. Угол между прямой и плоскостью />
4. />
Аналитическая геометрия на плоскости.
Прямоугольная декартова система координат на плоскости
Расстояние между 2 точками />.
Если заданы точки А и В и точка С делит отрезок АВ в отношении />, т.е. />, то />.
Уравнение прямой на плоскости
Ax+By+C=0;
Уравнение прямой в отрезках />.
Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки />.
Уравнение прямой, проходящей через точку, под заданным углом />к оси Ох (/>): />
Расстояние от точки до прямой />
1. />
2. />
3. />
Окружность
Уравнение окружности с центром в M(a;b) радиусом R />
Уравнение окружности с центром в начале координат />
Эллипс
Эллипс – геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух заданных точек плоскости (фокусов эллипса) есть величина постоянная, />, чем расстояние между фокусами.
Обозначим M(x;y) – произвольная точка эллипса, 2с – расстояние между фокусами F1 и F2; 2а – сумма расстояний от точки М до F1 и F2 (a – большая полуось эллипса). /> — малая полуось эллипса. />.
Тогда каноническое уравнение эллипса имеет вид />. />
Число />называется эксцентриситетом эллипса и характеризует сплюснутость эллипса относительно осей />. Если />, то получается окружность. a=b.
Гипербола
Гипербола – геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух заданных точек (фокусов) есть постоянная величина, меньшая, чем расстояние между фокусами.
Если M (x;y) – точка гиперболы; F1, F2 – фокусы, 2с – расстояние между фокусами, 2а – разность расстояний от точки М (х;y) до фокусов />, где а – действительная полуось гиперболы. /> — мнимая полуось гиперболы.
Каноническое уравнение гиперболы />.
Гипербола пересекает ось Ох в точках />и />, с осью Оу пересечений нет.
Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых />.
Эксцентриситет гиперболы />.
Парабола
Парабола – геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки F – фокуса и заданной прямой – директрисы параболы. Если ось абсцисс совпадает с перпендикуляром, опущенным из фокуса на директрису, а начало координат делит этот перпендикуляр пополам, то каноническое уравнение имеет вид />.
Эксцентриситет параболы /> — отношение расстояния от точки параболы до директрисы к расстоянию от этой точки до фокуса.
Общее уравнение второго порядка
/>— общее уравнение кривой второго порядка
Параллельный перенос: />.
Поворот осей: />
/>
/>— инварианты. /> — дискриминант
Если />>0, то уравнение эллиптического вида
Если /><0, то уравнение гиперболического типа
Если />=0, то уравнение параболического типа
Выбираем угол так, чтобы B’=0, тогда
/>/>/>
(1) />(B=0) />
1. />. Осуществляем параллельный перенос для уничтожения членов />.(**) ** подставляем в
продолжение--PAGE_BREAK--
(1)/>+ />
/>
/>
/>/>
(2)/>(3)
а) />>0 – эллиптический вид
A`C`>0 (одного знака)
Если F``>0, то пустое множество
Если F``=0, то одна точка (x``=0, y``=0)
Если F``<0, то получим эллипс в виде />, где />
б) /><0 (гиперболический вид) A’C’<0 (разные знаки). Пусть A’>0
A`=/>, />, />, тогда />.
Если F0=0, то />, получаем пару пересекающихся прямых.
Если F0>0, то />(гипербола)
Если F0<0, то />(гипербола, где оси поменялись местами)
в) />(параболический тип) A`C`=0
/>(5)
а) D`=E`=0, пусть />
/>
б) />/>/>
** в (5)
/>
/>, где 2р=/>, если p>0, то парабола />.
Теория пределов
Число а называется пределом последовательности xn для любого (/>) сколь угодно малого положительного числа />найдется номер, зависящий от />, начиная с которого все члены последовательности отличаются от а меньше, чем на />.
Предел последовательности
Под числовой последовательностью />понимают функцию />, заданную на множестве натуральных чисел />т.е. функцию натурального аргумента.
Число a называется пределом последовательности xn(x=1,2,…): />=а, если для любого сколь угодно малого />>0, существует такое число N=N(/>), что для всех натуральных n>N выполняется неравенство />.
1) />, /> — натуральное число. Если xn=a, то (a, a, a, a) – стационарная последовательность.
2) />, гдеa, d – const, тогда(a, a+d, a+2d,…a+(n-1)d)
xn+1=xn+d– рекуррентная формула.
3) Числа Фибоначчи. (1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…), где x1, x2 =1 и />.
/>(*);
/>/>
/>— эпсилон – окрестность числа а.
1. />. />/>
2. />
Основные теоремы пределах
О единственном пределе. Последовательность имеет не более 1 предела.
Предельный переход в неравенстве.
О трех последовательностях. О сжатой последовательности.