Реферат: Некоторые понятия высшей матаматики

Высшая математика

Слушатель – Никифоров Михаил Николаевич

Курс 1. АПМ-03. Семестр осенний. 2003 год.

Матрица – совокупность чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы.

Минором для элемента аig называется определитель матрицы, полученный из исходной, вычеркиванием i-ой строки и g-ого столбца.

Матрицы с нулевым определителем называются вырожденными или особенными. Особенная матрица обратной не имеет. />. />.

Bpq согласовано с Amn, если число строк В равно числу столбцов А, т.е. p=n. Одно согласование.

Если один столбец или одна строка все нули, то | |=0.

Если в матрице имеется 2 равных столбца или 2 равных строки, то | |=0.

Треугольная матрица. Все элементы выше или ниже главной диагонали =0. Тогда определитель матрицы равен произведению диагональных элементов.

При перемене местами 2 строк или 2 столбцов определитель меняет знак.

Определитель матрицы, содержащей 2 пропорциональные строки или столбца равен нулю.

Определитель матрицы равен сумме произведений некоторой строки на соответствующие алгебраические дополнения.

Системы уравнений с матрицами

Система 1 совместная, если имеет хотя бы одно решение.

Система 1 определенная, если есть только 1 решение и неопределенная, если более 1 решения.

Ранг матрицы.

Ранг нулевой матрицы равен 0.

Ранг единичной матрицыnm равен n.

Ранг трипсидальной матрицы равен числу ненулевых строк.

При элементарных преобразованиях матрицы ранг её остается неизменным.

При добавлении к матрице строки или столбца ранг её может только увеличиться или остаться неизменным.

Лекция 5.

/>.

Замечание: 1) />Нет решения

2) />/>. n-число неизвестных

а) r=n – одно решение />

б) r<n – бесконечное множество решений, зависящих от S=n-r параметров.

Векторная алгебра

Проекция вектора на ось:

Проекцией точки на прямую называется основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проекция АВ на х это число |A’B’| взятое со знаком +, если угол острый и со знаком – если угол тупой.

/>, />

/>.

Скалярное произведение векторов

/>. />

Признак перпендикулярности />.

Векторное произведение векторов

/>; />; />

Объем пирамиды />; />

Смешанное произведение векторов

Если /> — углы, которые составляет вектор а с координатными осями, то />, откуда следует

Условие коллинеарности />

ab=0 – перпендикулярность

/>— коллинеарность

abc=0 – компланарность

Аналитическая геометрия

Плоскость в пространстве

Нормаль и точка привязки однозначно определяют положение плоскости в пространстве.

/>—

каноническое уравнение (1)

Общее уравнение плоскости

/>, где />,

где А, В, С – координаты нормали, D – свободный член, x,y,z – текущий координаты.

Уравнение плоскости, проходящий через точку />перпендикулярно вектору N=(A;B;C), имеет вид

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки записывают в виде

Уравнение плоскости в отрезках />

Нормальное уравнение плоскости />, где p – расстояние от начала координат.

Нормирующий множитель />

Расстояние от точки до плоскости

Угол между плоскостями />

Условия параллельности и перпендикулярности />; />

Уравнение пучка плоскостей: />

Прямые линии в пространстве.

/>-уравнение прямой

--PAGE_BREAK--

/>— параметрическое уравнение прямой.

/>— каноническое уравнение прямой.

Уравнения прямой, проходящей через 2 заданные точки

Угол между 2 прямыми

Взаимное расположение 2 прямых.

1. />(могут лежать и на одной прямой)

2. />(могут скрещиваться)

3. />. Если (3) />, то скрещиваются.

Взаимное расположение прямой и плоскости

1. />

2. />

3. Угол между прямой и плоскостью />

4. />

Аналитическая геометрия на плоскости.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Расстояние между 2 точками />.

Если заданы точки А и В и точка С делит отрезок АВ в отношении />, т.е. />, то />.

Уравнение прямой на плоскости

Ax+By+C=0;

Уравнение прямой в отрезках />.

Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки />.

Уравнение прямой, проходящей через точку, под заданным углом />к оси Ох (/>): />

Расстояние от точки до прямой />

1. />

2. />

3. />

Окружность

Уравнение окружности с центром в M(a;b) радиусом R />

Уравнение окружности с центром в начале координат />

Эллипс

Эллипс – геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух заданных точек плоскости (фокусов эллипса) есть величина постоянная, />, чем расстояние между фокусами.

Обозначим M(x;y) – произвольная точка эллипса, 2с – расстояние между фокусами F1 и F2; 2а – сумма расстояний от точки М до F1 и F2 (a – большая полуось эллипса). /> — малая полуось эллипса. />.

Тогда каноническое уравнение эллипса имеет вид />. />

Число />называется эксцентриситетом эллипса и характеризует сплюснутость эллипса относительно осей />. Если />, то получается окружность. a=b.

Гипербола

Гипербола – геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух заданных точек (фокусов) есть постоянная величина, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Если M (x;y) – точка гиперболы; F1, F2 – фокусы, 2с – расстояние между фокусами, 2а – разность расстояний от точки М (х;y) до фокусов />, где а – действительная полуось гиперболы. /> — мнимая полуось гиперболы.

Каноническое уравнение гиперболы />.

Гипербола пересекает ось Ох в точках />и />, с осью Оу пересечений нет.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых />.

Эксцентриситет гиперболы />.

Парабола

Парабола – геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки F – фокуса и заданной прямой – директрисы параболы. Если ось абсцисс совпадает с перпендикуляром, опущенным из фокуса на директрису, а начало координат делит этот перпендикуляр пополам, то каноническое уравнение имеет вид />.

Эксцентриситет параболы /> — отношение расстояния от точки параболы до директрисы к расстоянию от этой точки до фокуса.

Общее уравнение второго порядка

/>— общее уравнение кривой второго порядка

Параллельный перенос: />.

Поворот осей: />

/>— инварианты. /> — дискриминант

Если />>0, то уравнение эллиптического вида

Если /><0, то уравнение гиперболического типа

Если />=0, то уравнение параболического типа

Выбираем угол так, чтобы B’=0, тогда

/>/>/>

(1) />(B=0) />

1. />. Осуществляем параллельный перенос для уничтожения членов />.(**) ** подставляем в

продолжение
--PAGE_BREAK--

(1)/>+ />

/>/>

(2)/>(3)

а) />>0 – эллиптический вид

A`C`>0 (одного знака)

Если F``>0, то пустое множество

Если F``=0, то одна точка (x``=0, y``=0)

Если F``<0, то получим эллипс в виде />, где />

б) /><0 (гиперболический вид) A’C’<0 (разные знаки). Пусть A’>0

A`=/>, />, />, тогда />.

Если F0=0, то />, получаем пару пересекающихся прямых.

Если F0>0, то />(гипербола)

Если F0<0, то />(гипербола, где оси поменялись местами)

в) />(параболический тип) A`C`=0

/>(5)

а) D`=E`=0, пусть />

б) />/>/>

** в (5)

/>, где 2р=/>, если p>0, то парабола />.

Теория пределов

Число а называется пределом последовательности xn для любого (/>) сколь угодно малого положительного числа />найдется номер, зависящий от />, начиная с которого все члены последовательности отличаются от а меньше, чем на />.

Предел последовательности

Под числовой последовательностью />понимают функцию />, заданную на множестве натуральных чисел />т.е. функцию натурального аргумента.

Число a называется пределом последовательности xn(x=1,2,…): />=а, если для любого сколь угодно малого />>0, существует такое число N=N(/>), что для всех натуральных n>N выполняется неравенство />.

1) />, /> — натуральное число. Если xn=a, то (a, a, a, a) – стационарная последовательность.

2) />, гдеa, d – const, тогда(a, a+d, a+2d,…a+(n-1)d)

xn+1=xn+d– рекуррентная формула.

3) Числа Фибоначчи. (1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…), где x1, x2 =1 и />.

/>(*);

/>/>

/>— эпсилон – окрестность числа а.

1. />. />/>

2. />

Основные теоремы пределах

О единственном пределе. Последовательность имеет не более 1 предела.

Предельный переход в неравенстве.