Реферат: Теорема Дезарга и её применение к решению задач из курса школьной геометрии

--PAGE_BREAK--1.2  Теорема Дезарга.
Теорема Дезарга является фундаментальной теоремой проективной геометрии. Перед тем как сформулировать ее, дадим проективное определение треугольника.

<img width=«180» height=«154» src=«ref-2_1889188346-2949.coolpic» hspace=«12» v:shapes=«Рисунок_x0020_10»>Треугольником, или трехвершинником, или трехсторонником называется фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех прямых (а не отрезков прямых), соединяющих эти точки попарно (рис.1). Точки называются вершинами, а прямые – сторонами треугольника.

В дальнейшем будем говорить о треугольниках только в смысле этого определения, если не будет оговорено противное.

Теоремы Дезарга, прямая и обратная, верны как в том случае, когда треугольники АВС и А'В'С' расположены в двух разных плоскостях, так и в том случае, когда они расположены в одной плоскости. В первом случае мы говорим о теореме Дезарга в пространстве, во втором случае о теореме Дезарга на плоскости.

Точка S называется точкой Дезарга или центром перспективности, а прямая s – прямой Дезарга или осью перспективности данных треугольников. Два треугольника, удовлетворяющие условиям теоремы Дезарга в пространстве называются перспективными, так как один из них есть перспективный образ другого; два треугольника, удовлетворяющие условиям теоремы Дезарга на плоскости, называются гомологическими.

Доказательство векторным методом

Теорема Дезарга:Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух трехвершинников пересекаются в одной точке, то точки пересечения соответствующих сторон этих трехвершинников лежат на одной прямой.

AB
Ç
A
'
B
'=
P
,  
AC
Ç
A
'
C
'=
Q
, 
BC
Ç
B
'
C
'=
R
,  
AA
'
Ç
BB
'
Ç
CC
'=
O
,

Доказать:P, Q, R  лежат в одной прямой

Доказательство:<img width=«286» height=«351» src=«ref-2_1889191295-10192.coolpic» hspace=«12» v:shapes=«Рисунок_x0020_15»>Рассмотрим векторы <img width=«159» height=«25» src=«ref-2_1889201487-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1025"> порождающие соответствующие точки, так как А, А', О лежат на одной прямой, то векторы порождающие их линейно зависимы, т.е. <img width=«13» height=«19» src=«ref-2_1889201797-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1026">= <img width=«64» height=«19» src=«ref-2_1889201886-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1027">.

Из того, что В', В, О — лежат на одной прямой Þ<img width=«15» height=«23» src=«ref-2_1889202049-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1028">,<img width=«16» height=«23» src=«ref-2_1889202144-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1029">, <img width=«13» height=«19» src=«ref-2_1889201797-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1030">— линейно зависимы Þ<img width=«13» height=«19» src=«ref-2_1889201797-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1031">= <img width=«67» height=«25» src=«ref-2_1889202422-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1032">

Точки С, С', О — лежат на одной прямой Þ<img width=«13» height=«19» src=«ref-2_1889201797-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1033">= γ<img width=«13» height=«19» src=«ref-2_1889202699-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1034"> + <img width=«17» height=«21» src=«ref-2_1889202787-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1035"><img width=«17» height=«19» src=«ref-2_1889202882-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1036">

<img width=«64» height=«19» src=«ref-2_1889201886-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1037">= <img width=«67» height=«25» src=«ref-2_1889202422-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1038">= γ<img width=«13» height=«19» src=«ref-2_1889202699-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1039"> + <img width=«17» height=«21» src=«ref-2_1889202787-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1040"><img width=«17» height=«19» src=«ref-2_1889202882-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041">

<img width=«183» height=«25» src=«ref-2_1889203606-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1042">


 <img width=«13» height=«19» src=«ref-2_1889203945-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1043">,<img width=«15» height=«23» src=«ref-2_1889202049-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1044">,<img width=«16» height=«21» src=«ref-2_1889204131-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1045"> — линейно зависимы Þточки А, В, Р Îодной прямой, <img width=«17» height=«19» src=«ref-2_1889204226-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046">,<img width=«16» height=«23» src=«ref-2_1889202144-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047">,<img width=«17» height=«21» src=«ref-2_1889204423-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048"> — линейно зависимы Þточки А', В', Р' Îодной прямой.

P
=
AB
Ç
A
'
B
'

<img width=«23» height=«19» src=«ref-2_1889204523-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049">  — <img width=«19» height=«21» src=«ref-2_1889204627-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050"> = <img width=«17» height=«21» src=«ref-2_1889202787-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051"><img width=«17» height=«19» src=«ref-2_1889202882-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052">  — <img width=«29» height=«19» src=«ref-2_1889204918-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053">
=<img width=«13» height=«21» src=«ref-2_1889205033-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054">(2)

<img width=«13» height=«19» src=«ref-2_1889203945-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055">,<img width=«13» height=«19» src=«ref-2_1889202699-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056">,<img width=«13» height=«21» src=«ref-2_1889205033-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057"> — линейно зависимы Þточки А, С, QÎодной прямой.

<img width=«55» height=«25» src=«ref-2_1889205404-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058">— линейно зависимы Þточки А', С', Q
' Îодной прямой.

Следовательно, Q
=АС
Ç
А'С'

<img width=«24» height=«25» src=«ref-2_1889205567-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059">  — <img width=«19» height=«21» src=«ref-2_1889204627-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060"> =<img width=«17» height=«21» src=«ref-2_1889202787-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061"><img width=«17» height=«19» src=«ref-2_1889202882-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062">  — <img width=«32» height=«25» src=«ref-2_1889205975-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063"> = <img width=«13» height=«17» src=«ref-2_1889206106-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064">(3)

<img width=«15» height=«23» src=«ref-2_1889202049-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065">,<img width=«13» height=«19» src=«ref-2_1889202699-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066">,<img width=«13» height=«17» src=«ref-2_1889206106-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067"> –линейно зависимы Þточки В, С, RÎодной прямой.

<img width=«16» height=«23» src=«ref-2_1889202144-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068">,<img width=«13» height=«19» src=«ref-2_1889202699-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069">', <img width=«13» height=«17» src=«ref-2_1889206106-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">' –линейно зависимы Þточки В', С', R
'Îодной прямой

Следовательно, R
=ВС
Ç
В'С'.

Составим выражение: <img width=«63» height=«21» src=«ref-2_1889206741-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071">

<img width=«63» height=«21» src=«ref-2_1889206741-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072">=<img width=«23» height=«19» src=«ref-2_1889204523-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073">-<img width=«24» height=«25» src=«ref-2_1889205567-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074">
-<img width=«23» height=«19» src=«ref-2_1889204523-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">+
<img width=«19» height=«21» src=«ref-2_1889204627-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076">
+
<img width=«24» height=«25» src=«ref-2_1889205567-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">
-
<img width=«19» height=«21» src=«ref-2_1889204627-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">
=<img width=«13» height=«23» src=«ref-2_1889207695-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079"><img width=«12» height=«23» src=«ref-2_1889207787-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080">— векторы <img width=«16» height=«21» src=«ref-2_1889204131-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081">, <img width=«13» height=«21» src=«ref-2_1889205033-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082">, <img width=«13» height=«17» src=«ref-2_1889206106-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083"> линейно зависимы Þточки P
,
Q
,
Rлежат на одной прямой.

Теорема доказана.

Если точки пересечения соответственных сторон двух трехвершинников лежат на одной прямой, то прямые, проходящие через соответственные вершины этих трехвершинников, проходят через одну точку.

Доказательство при помощи теоремы Менелая

Теорема Менелая гласит:

Если точки X,Y,Zлежащие на сторонах ВС, СА, АВ (соответственно продолженных) треугольника АВС коллинеарны, то

<img width=«119» height=«41» src=«ref-2_1889208139-365.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084">
.

<img width=«71» height=«159» src=«ref-2_1889208504-329.coolpic» v:shapes="_x0000_s1028">Обратно, если это уравнение выполняется для точек X,Y,Z, лежащих на трех сторонах треугольника, то эти три точки коллинеарны.

<img width=«162» height=«153» src=«ref-2_1889208833-533.coolpic» v:shapes="_x0000_s1030 _x0000_s1032"> <img width=«241» height=«161» src=«ref-2_1889209366-789.coolpic» v:shapes="_x0000_s1029 _x0000_s1031 _x0000_s1033"> <img width=«266» height=«2» src=«ref-2_1889210155-85.coolpic» v:shapes="_x0000_s1035"> <img width=«172» height=«2» src=«ref-2_1889210240-82.coolpic» v:shapes="_x0000_s1034">



Теорема Дезарга:       Если два треугольника перспективны относительно точки и если их пары соответствующих сторон пересекаются, то эти три точки пересечения коллинеарны.

Доказать: P, Q, R  коллинеарны

Доказательство: Мы имеем теорему лишь о принадлежности точек прямым и пересечении прямых. Треугольники АВС и A’B’C’перспективны относительно точки О, а пары их соответствующих сторон пересекаются в точках R, Q, P. Для доказательства применим теорему Менелая к тройкам точек.

{Q,C’,A’}, {R,B’,C’}, {P,A’,B’}

Лежащих на сторонах трех треугольников <img width=«15» height=«17» src=«ref-2_1889210322-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085">ОАС, <img width=«15» height=«17» src=«ref-2_1889210322-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">ОСВ, <img width=«15» height=«17» src=«ref-2_1889210322-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087">ОВА, получим при этом

<img width=«123» height=«44» src=«ref-2_1889210595-396.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088">
,

<img width=«120» height=«41» src=«ref-2_1889210991-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">
,

<img width=«124» height=«41» src=«ref-2_1889211365-378.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">


Перемножим эти три выражения и, проделав умеренное число сокращений, получим

<img width=«116» height=«44» src=«ref-2_1889211743-378.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">,

ÞТочки Q
,
R
,
Pколлинеарны.

Теорема доказана.

Доказательство в проективной системе координат

На проективной действительной плоскости имеет место Теорема Дезарга.

Теорема Дезарга:       Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух трехвершинников пересекаются в одной точке, то точки пересечения соответствующих сторон этих трехвершинников лежат на одной прямой.

P
=
AB
Ç
A
'
B
',  
Q
=
AC
Ç
A
'
C
', 
R
=
BC
Ç
B
'
C
',  
AA
'
Ç
BB
'
Ç
CC
'=
Q


Доказать:P, Q, R лежат на одной прямой.

Доказательство:Введем проективную систему координат, примем точки А, В, С, О за фундаментальные: А(1,0,0), В(0,1,0), С(0,0,1), О(1,1,1)

Координаты точки А' — есть линейная комбинация координат точки А и точки О, так как А¹
А', то А'=a
А +
d
q

Можно положить d=1. Тогда получаем А'=a
А +
q
.Тоже самое относится и к другим вершинам трехвершинника A
'
B
'
C
'. Поэтому А'(a
+1,1,1), В'(1,
b
+1,1), С'(1,1,
g
+1)уравнение прямой АВ:

<img width=«32» height=«19» src=«ref-2_1889212121-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">
 <img width=«207» height=«48» src=«ref-2_1889212235-611.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093">

АВ:   х3=0

Уравнение А
¢
В
¢
: <img width=«140» height=«75» src=«ref-2_1889212846-516.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094">

А
¢
В
¢
:  <img width=«299» height=«48» src=«ref-2_1889213362-764.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">

А
¢
В
¢
:  <img width=«216» height=«24» src=«ref-2_1889214126-361.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096">

Так какАВ<img width=«17» height=«13» src=«ref-2_1889214487-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097"> А¢
В
¢
=Р<img width=«14» height=«50» src=«ref-2_1889214575-128.coolpic» v:shapes="_x0000_s1036"><img width=«14» height=«50» src=«ref-2_1889214575-128.coolpic» v:shapes="_x0000_s1037"><img width=«14» height=«50» src=«ref-2_1889214575-128.coolpic» v:shapes="_x0000_s1038"> ,

 
P
:
<img width=«12» height=«23» src=«ref-2_1889207787-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098"><img width=«14» height=«50» src=«ref-2_1889214575-128.coolpic» v:shapes="_x0000_s1039"><img width=«227» height=«51» src=«ref-2_1889215160-630.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">   

 
P
:
<img width=«12» height=«23» src=«ref-2_1889207787-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100"><img width=«331» height=«51» src=«ref-2_1889215863-881.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">
   
P<img width=«61» height=«23» src=«ref-2_1889216744-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">
.

АС: <img width=«108» height=«77» src=«ref-2_1889217007-453.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103"> ,      
A
¢
C
¢
:<img width=«140» height=«77» src=«ref-2_1889217460-514.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">

АС: х2=0 

A
¢
C
¢
: <img width=«203» height=«24» src=«ref-2_1889217974-329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">

так какАС<img width=«17» height=«13» src=«ref-2_1889214487-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">A
¢
C
¢
=Q

Q:<img width=«219» height=«51» src=«ref-2_1889218391-597.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">,

тоQ<img width=«52» height=«23» src=«ref-2_1889218988-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">

ВС: <img width=«108» height=«77» src=«ref-2_1889219235-455.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">,    B
¢
C
¢
:<img width=«139» height=«77» src=«ref-2_1889219690-525.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">

так как R=BC∩B¢C¢

R:<img width=«12» height=«23» src=«ref-2_1889207787-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111"><img width=«208» height=«51» src=«ref-2_1889220288-606.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">, то R<img width=«68» height=«23» src=«ref-2_1889220894-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">.

С помощью условия коллинеарности трех точек убедимся, что точки P, Q, R лежат на одной прямой.

Имеем

<img width=«223» height=«75» src=«ref-2_1889221159-834.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114">
Условие коллинеарности выполнено, следовательно, P
,
Q
,
RÎодной прямой.

Теорема доказана.    продолжение
--PAGE_BREAK--