Реферат: Новый метод решения кубического уравнения

--PAGE_BREAK--4.В расчетах п.2 была произведена операция перехода к целым числам путем умножения соответствующих чисел на множители k1и k2. Совершая обратную операцию, получим

(2mn)11 = 2.5, (2mn)12 = — 2.5,

(2mn)21 = 2.65, (2mn)22 = — 2.65,

(2mn)31 = 0.15, (2mn)32 = — 0.15.

5. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

5.13x
2
+ 2
bx
+
c= — (2mn
)11( 2
mn
)21

-→ 3x2 — 2∙(6.85)∙ x+ 13.425 = (2.5)∙(2.65)-> 3x2 – 13.7x+ 6.8 = 0.

-→ X1
= 4 – это один из корней исходного уравнения!

6.Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X1= 4, и

кроме того, известны значения (2mn)11 ч (2mn)32. Этих данных достаточно для

определения двух остальных корней.

6.1Пусть (2mn)11 = 2.5 = (X
1
—
X
2) -→ X
2= X
1– 2.5 = 4 – 2.5 = 1.5 . Это второй корень!

6.2 Пусть (2mn)12 = — 2.5 = (X
1
—
X
2) -→ X
2= X
1+2.5 = 4 + 2.5 = 6.5. Это не корень.

6.3 Пусть (2mn)21 = 2.65 = (X
1
—
X
3) -→ X
3= X
1– 2.65= 4 – 2.65 = 1.35. Это третий корень!

Решением исходного уравнения будет X1= 4, X2= 1.5, X3= 1.35.

Расчет закончен !
Неприводимый случай формулы Кардана

Если для кубического уравнения имеет место случай одного действительного и двух мнимых сопряженных корней, то такой вариант называют неприводимым случаем формулы Кардана.

Рассмотрим неприводимый случай формулы Кардана с позиций системы mnпараметров.

Задача«Задано кубическое уравнение вида ax3 + bx2+ cx + d = 0. Известно, что нули этого уравнения имеют один действительный и два мнимых сопряженных корня. Используя формулы системы mn параметров предложить метод определения нулей исходного уравнения ».

Пусть а = 1.

Решение

Ранее было показано, что для любого кубического уравнения имеют место формулы

D1= — (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32

D2= — [(2mn)12 + ( 2mn)22 + ( 2mn)32],

где

— (2mn)j— разность любой пары корней исходного уравнения

— D1= — <img width=«202» height=«35» src=«ref-1_1670804648-1021.coolpic» v:shapes="_x0000_i1033">

— D2= — 2( 3c – b
2
)

— ( b,c,d) – коэффициенты исходного уравнения.

По условиям задачи имеем один действительный корень ( обозначим его X
1
=
g
1) и два сопряженных мнимых корня X
2
=( g
2
—
hi
),
X
3
= (
g
2
+
hi
). Тогда

(2
mn
)1 = (
X
1
—
X
2
) = (g
1
—
g
2
) +
hi


(2
mn
)2 = (
X
1
—
X
3
) = (g
1
—
g
2
) –
hi


(2mn)3 = ( X2 — X3) = g2 — hi — g2 – hi = — 2hi

-→ D1= — ( 2mn)12 ∙ ( 2mn)22 ∙ ( 2mn)32 = — [(g1 — g2 ) + hi]2 ∙ [(g1 — g2 ) — hi]2 ∙ [2hi]2
-→ D
1

= [(
g
1
—
g
2
)2 +
h
2
]2 ∙ 4
h
2

Обратим внимание на то, что в этой формуле в квадратных скобках имеют место

— знак “ + “

— только действительные числа.

Таким образом, метод решения поставленной задачи заключается в следующем

1. На основании значений коэффициентов исходного уравнения по формулам

D
1
= — <img width=«202» height=«35» src=«ref-1_1670804648-1021.coolpic» v:shapes="_x0000_i1034">


D
2
= — 2( 3c —
b
2
)

определяются значения D
1и D
2
.

2. Определяются D
1
— как произведение двух квадратов

D
2— как удвоенная сумма двух квадратов.

3.
Определяются значения g
1
,
g
2
,
h
.


4. Определяются значения (2mn)11, (2mn)21, (2mn)31

5. Определяются значения корней исходного уравнения.
Пример 5 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 -9x2 + 73x – 265 = 0

где
a =1, b = — 9, c = 73, d = — 265

В этом уравнении имеет место неприводимый случай формулы Кардана.

Решение

1. Определяем значениеD1= — <img width=«202» height=«34» src=«ref-1_1670805669-954.coolpic» v:shapes="_x0000_i1035">

-→D1= — [4(219 – 81)3+(- 1458 + 5913 – 7155)2]/27 = — [ 10512288 + 7290000]/27= — 659344

2.Для дальнейших расчетов общий знак “ — “ не имеет значения, поэтому будем рассматривать D1как положительную величину.

-→D1= [(g
1
—
g
2
)2 +
h
2
]2 ∙ 4
h
2= 659344 = 2∙2∙2∙2∙7∙7∙29∙29 = 4∙2∙2∙7∙7∙29∙29= 4∙72 ∙ 582

Здесь число 659344 представлено в виде всех сомножителей с целью наглядности формирования множителей в соответствии с формулой [(g
1
—
g
2
)2 +
h
2
]2 ∙ 4
h
2. Тогда можно записать

h
= 7, (g1— g2)2 + h2= 58 -→(g1— g2)2 = 58 – 49 = 9 -→( g1— g2) = ± 3

3.Для определения g1и g2воспользуемся свойством корней исходного уравнения

— b = X1+X2+X3-→ — ( — 9) = g1 + g2 + hi + g2 – hi = g1 + 2 g2-→ 9 = g1 + 2g2.

4.Теперь, имея два уравнения ( g1— g2)= ± 3 и (g1+ 2 g2) = 9, можно определить значения g1и g2

Пусть ( g1— g2)= 3 -→ g2= g1– 3 -→ g1+ 2(g1– 3) = 9 -→ 3g1= 15 -→ g
1
= 5-→g
2
= 2.

-→ X
1
= 5,
X
2
= 2 + 7
i
,
X
3
= 2 – 7
i


Расчет закончен !

Пример 6 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -30x2 + 322x – 1168 = 0

где
a =1, b = — 30, c = 322, d = — 1168

В этом уравнении имеет место неприводимый случай формулы Кардана.

Решение

1. Определяем значениеD1= — <img width=«202» height=«34» src=«ref-1_1670805669-954.coolpic» v:shapes="_x0000_i1036">

-→D1= — [4(966 – 900)3+(- 54000 + 86940 – 31536)2]/27 = — [ 1149984 + 1971216]/27= — 115600

2.Для дальнейших расчетов общий знак “ — “ не имеет значения, поэтому будем рассматривать D1как положительную величину.

-→D1= [(g
1
—
g
2
)2 +
h
2
]2 ∙ 4
h
2= 115600= 2∙2∙2∙2∙5∙5∙17∙17 = 4∙2∙2∙5∙5∙17∙17= 4∙ 52 ∙342

Здесь число 115600 представлено в виде всех сомножителей с целью наглядности формирования множителей в соответствии с формулой [(g
1
—
g
2
)2 +
h
2
]2 ∙ 4
h
2. Тогда можно записать

h
= 5, (g1— g2)2 + h2= 34 -→(g1— g2)2 = 34 – 25 = 9 -→( g1— g2) = ± 3

3.Для определения g1и g2воспользуемся свойством корней исходного уравнения

— b = X1+X2+X3-→ — ( — 30) = g1 + g2 + hi + g2 – hi = g1 + 2 g2-→ 30 = g1 + 2g2.

4.Теперь, имея два уравнения ( g1— g2)= ± 3 и (g1+ 2 g2) = 30, можно определить значения g1и g2

Пусть ( g1— g2)= — 3 -→ g2= g1– 3 -→ g1+ 2(g1– 3) = 30 -→ 3g1= 24 -→ g
1
= 8-→g
2
= 11.

-→ X
1
= 8,
X
2
= 11 + 5
i
,
X
3
= 2 – 5
i


Расчет закончен !

Новый метод решения кубических уравнений
Из анализа результатов вышеприведенных примеров можно предложить новый метод решения кубических уравнений… Для корней кубического уравнения могут

иметь место следующие случаи

— три корня имеют одинаковые действительные значения

— три корня имеют действительные значения, при этом два из них являются сопряженными, т.е. если X1= g+ h, то X2= g– hили X1=<img width=«12» height=«31» src=«ref-1_1670813919-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1037">(g+ h), то X2= <img width=«8» height=«31» src=«ref-1_1670814089-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1038">(g– h), Наличие множителя <img width=«8» height=«31» src=«ref-1_1670814089-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1039"> обусловлено численным значением коэффициента bпри Xдля X3+ bX2+ cX+ d= ( X– X1)∙( X2 + bX+ c) = 0.

— один корень имеет действительное значение, два других- комплексные и сопряженные, т.е. если X1= g+ ih, то X2= g– ih.

Первый случай – тривиальный. (x– a)3 = x3– 3ax2+3a2x– a3= 0. Определение корней для остальных случаев является непростой задачей.




Три разных действительных корня
Пусть имеем один действительный корень ( обозначим его X
1
=
g
1) и два сопряженных действительных корня. Если исходное уравнение разделить на разность ( X– g1 ), то получим квадратное уравнение вида

[ X – (g2 + h)]∙[ X – (g2 — h)] = 0

-→ X2 – 2g2X + (g22 – h2) = 0

-→ X1 = g1, X2,3 = g2 ± h -→ X2 =( g2 — h), X3 = ( g2 + h)

-→(2mn)1 = ( X1 — X2) = (g1 — g2 ) + h

(2mn)2 = ( X1 — X3) = (g1 — g2 ) – h

(2mn)3 = ( X2 — X3) = g2 — h — g2 – h = — 2h

-→ D1= — ( 2mn)12 ∙ ( 2mn)22 ∙ ( 2mn)32 = — [(g1 — g2 ) + h]2 ∙ [(g1 — g2 ) — h]2 ∙ [2h]2

-→ D1
= [(g1 — g2 )2 — h2 ]2 ∙ 4h2(3)

-→ D2 = — [ (2mn)12 + (2mn)22 + (2mn)32 ] = — [(g1 — g2 ) + h]2 + [(g1 — g2 ) — h]2 + 4h2

    продолжение
--PAGE_BREAK--→ D2 = — [(g1 — g2 )2 + 2(g1 — g2 )∙ h + h2 + (g1 — g2 )2 — 2(g1 — g2 )∙ h + h2 + 4h2]

→ D
2
= — [ 2(
g
1
—
g
2
)2 + 6
h
2
]= — 2[(g
1
—
g
2
)2 +3
h
2
] (8)

На основании формул системы mnпараметров имеем
D
1
= — <img width=«202» height=«35» src=«ref-1_1670804648-1021.coolpic» v:shapes="_x0000_i1040"> (4)

D
2
= — 2( 3c —
b
2
), (5)

где
b
,
c
,
d
— коэффициенты исходного кубического уравнения.
Три действительных корня и два одинаковых

Пусть имеем один действительный корень ( обозначим его X
1
=
g
1) и два равных действительных корня. Тогда имеем h
=0и (2mn
)
I
= 0


При (2mn
)
I
= 0 на основанииуравнения (1) будем иметь

3
x
2
+ 2
bx
+с = 0 (6)

→X
2
=( g
2
—
h
),
X
3
= (
g
2
+
h
) → X
2
=
X
3
=
g
2


→ (2mn)1 = ( X1 — X2) = (g1 — g2 )

(2mn)2 = ( X1 — X3) = (g1 — g2 )

(2mn)3 = ( X2 — X3) = g2 — g2 = 0

→ D1
= — ( 2mn)12 ∙ ( 2mn)22 ∙ ( 2mn)32 = 0

→ D2 = — [ (2mn)12 + (2mn)22 + (2mn)32 ] = — [ (2mn)12 + (2mn)22 ]

→ D2 = 2 (2mn)12 = 2 (g1 — g2 )2 = — 2( 3c – b2 ) = 2( b2 – 3c )

→ (g1 — g2 )2 = ( b2 — 3c )

На основании свойств корней исходного уравнения можно записать — b
=X
1
+ 2
X
2

→                     g
1
+ 2
g
2
= —
b


Решая систему из двух уравнений будем иметь g
2
= — <img width=«37» height=«32» src=«ref-1_1670815450-348.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041">


→             X11,12 = g11,12 = <img width=«8» height=«32» src=«ref-1_1670815798-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1042">[ — b ± <img width=«86» height=«26» src=«ref-1_1670816037-487.coolpic» v:shapes="_x0000_i1043"> ]

→ X
21,22
=
g
21,22= <img width=«8» height=«32» src=«ref-1_1670815798-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1044">[ —
b
± <img width=«75» height=«26» src=«ref-1_1670816763-438.coolpic» v:shapes="_x0000_i1045"> ]

Расчет закончен !

Пример 7 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -41x2 + 475x – 1083 = 0

где
a =1, b = — 41, c = 475, d = — 1083

1.X11,12 = g11,12 = <img width=«8» height=«32» src=«ref-1_1670817201-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046">[ — b ± <img width=«83» height=«25» src=«ref-1_1670817427-472.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047"> ] → X11,12 = <img width=«8» height=«32» src=«ref-1_1670817201-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048">[ 41 ± <img width=«129» height=«25» src=«ref-1_1670818125-708.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049"> ] = <img width=«8» height=«32» src=«ref-1_1670817201-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050">[ 41 ± <img width=«45» height=«22» src=«ref-1_1670819059-313.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051"> ]

→ X11 = <img width=«15» height=«32» src=«ref-1_1670819372-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052"> , X1 = 3

X21,22 = g21,22= <img width=«8» height=«32» src=«ref-1_1670817201-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053">[ — b ± <img width=«73» height=«25» src=«ref-1_1670819854-429.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054"> ] → g21,22 = <img width=«8» height=«32» src=«ref-1_1670817201-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055">[ 41 ± <img width=«127» height=«25» src=«ref-1_1670820509-680.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056"> ]= <img width=«8» height=«32» src=«ref-1_1670817201-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057">[ 41 ± <img width=«21» height=«22» src=«ref-1_1670821415-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058"> ]

→ X21= 19, X22= <img width=«15» height=«32» src=«ref-1_1670821668-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059"> → X
2
=
X
3
= 19


Расчет закончен !

Вывод основных формул

Задано исходное уравнение x3 + bx2+ cx + d = 0. Необходимо найти значения корней.
1.Определяем значение D
1
= — <img width=«202» height=«35» src=«ref-1_1670804648-1021.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060">

2. Разделим <img width=«17» height=«32» src=«ref-1_1670822950-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061">
3. Представляем число <img width=«17» height=«32» src=«ref-1_1670822950-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062"> в виде произведения двух квадратов <img width=«17» height=«32» src=«ref-1_1670822950-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063"> = [(g
1
—
g
2
)2 —
h
2
]2 ∙
h
2
.

4. Меньший множитель принимаем за h
2→ [(g
1
—
g
2
)2 —
h
2
]2 = <img width=«23» height=«32» src=«ref-1_1670823772-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064">


→ (g
1
—
g
2
) = <img width=«107» height=«46» src=«ref-1_1670824103-829.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065"> (6)

5. Для получения второго уравнения используем свойство корней исходного уравнения

Из исходного уравнения b= — (X1+ X2+ X3) →b= — (g1+ g2— h+ g2+h)

→ b
= — (
g
1
+ 2
g
2
) (7)

6. Решая систему из двух уравнений (26) и (27) в итоге получим

X1 = g1= <img width=«137» height=«46» src=«ref-1_1670824932-979.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066"> — b )

→                      X11 = g11= <img width=«123» height=«46» src=«ref-1_1670825911-946.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067"> — b )               (8)

→                      X12 = g12= <img width=«137» height=«46» src=«ref-1_1670826857-959.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068"> — b )             (9)

Таким образом получили значение одного из корней исходного уравнения.
7.
→ g2 = — <img width=«34» height=«32» src=«ref-1_1670827816-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069">


→ g21 = — <img width=«40» height=«32» src=«ref-1_1670828160-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">


→ g
22
= — <img width=«40» height=«32» src=«ref-1_1670828523-366.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071">


8. Определяем два остальных корня

X21 = g21 + h

X22 = g22 + h

X31 = g21 – h

X32 = g22 – h

Этими формулами определены по два варианта каждого из трех корней. Среди этих вариантов имеют место и корни исходного кубического уравнения.

Задача решена!
Пример 8 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -33x2 + 311x – 663 = 0

где
a =1, b = — 30, c = 322, d = — 1168
Решение

1. Определяем значениеD1= — <img width=«202» height=«34» src=«ref-1_1670805669-954.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072">

-→D1= — [4(933 – 1089)3+(- 71874 + 92367 – 17901)2]/27 = — [- 15185664 +6718464 ]/27=313600

-→ D1= [(g
1
—
g
2
)2 —
h
2
]2 ∙ 4
h
2= 313600= 4∙42∙72∙102 = 4∙402∙72 = 4∙702∙42 = 4∙282∙102

313600= 4∙1402∙22 = 4∙72∙402 = 4∙52∙562

-→ <img width=«17» height=«32» src=«ref-1_1670822950-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073"> = 402∙72 = 702∙42 = 282∙102 = 1402∙22 =52∙562

2.
Пусть
h
1
2

= 72

→ X1 = g11= <img width=«123» height=«46» src=«ref-1_1670825911-946.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074"> — b )= <img width=«153» height=«46» src=«ref-1_1670831063-1040.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">  — b) = <img width=«111» height=«32» src=«ref-1_1670832103-575.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076">

→ g11 =X11 = 13, X12 = 9.

→ g21 = — <img width=«40» height=«32» src=«ref-1_1670828160-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077"> = — <img width=«51» height=«32» src=«ref-1_1670833041-373.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078"> = 10

→ X
2,3= g
21
+
h
1= 10 ± 7 → X
2
= 17,
X
3
= 3

Задача решена!
Неприводимый случай формулы Кардана
Пусть имеем один действительный корень ( обозначим его X
1
=
g
1) и два мнимых сопряженных корня

X
2
=( g
2
—
ih
),
X
3
= (
g
2
+
ih
).

-→(2mn
)1 = (
X
1
—
X
2
) = (g
1
—
g
2
) +
ih


(2
mn
)2 = (
X
1
—
X
3
) = (g
1
—
g
2
) –
ih


(2
mn
)3 = (
X
2
—
X
3
) = g
2
—
ih
—
g
2
–
ih
= — 2
ih


Задано исходное уравнение x3 + bx2+ cx + d = 0. Необходимо найти значения корней.

1.Определяем значение D
1
= — <img width=«202» height=«35» src=«ref-1_1670804648-1021.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079">

2. Разделим <img width=«17» height=«32» src=«ref-1_1670822950-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080">
3. Представляем число <img width=«17» height=«32» src=«ref-1_1670822950-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081"> в виде произведения двух квадратов <img width=«17» height=«32» src=«ref-1_1670822950-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082"> = [(g
1
—
g
2
)2 +
h
2
]2 ∙
h
2
.

4. Меньший множитель принимаем за h
2→ [(g
1
—
g
2
)2 +
h
2
]2 = <img width=«23» height=«32» src=«ref-1_1670823772-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083">


→ (g
1
—
g
2
) = <img width=«107» height=«46» src=«ref-1_1670835588-801.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084">


5. Для получения второго уравнения используем свойство корней исходного уравнения

Из исходного уравнения b= — (X1+ X2+ X3) →b= — (g1+ g2— ih+ g2+ ih)

→ b = — ( g1 + 2g2 )

6. X1 = g1= <img width=«137» height=«46» src=«ref-1_1670836389-956.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085"> — b )

→                      X11 = g11= <img width=«123» height=«46» src=«ref-1_1670837345-928.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086"> — b )

→                      X12 = g12= <img width=«137» height=«46» src=«ref-1_1670838273-938.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087"> — b )

7.
→ g2 = — <img width=«34» height=«32» src=«ref-1_1670827816-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088">


→ g21 = — <img width=«40» height=«32» src=«ref-1_1670828160-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">


→ g
22
= — <img width=«40» height=«32» src=«ref-1_1670828523-366.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">


8. Определяем два остальных корня

X21 = g21 + h

X22 = g22 + h

X31 = g21 – h

X32 = g22 – h


Пример 9 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -6x2 + 58x – 200 = 0

где
a =1, b = — 6, c = 58, d = — 200
Решение

1. Определяем значениеD1= — <img width=«202» height=«34» src=«ref-1_1670805669-954.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">

-→D1= — [4(174 – 36)3+(- 432 + 3132 – 5400)2]/27 = — [ 10512288 + 7290000 ]/27= 659344

-→ D1= [(g
1
—
g
2
)2 —
h
2
]2 ∙ 4
h
2= 659344= 4∙22∙72∙292 = 4∙142∙292 = 4∙72∙582 = 4∙22∙2032

-→ <img width=«17» height=«32» src=«ref-1_1670822950-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">    продолжение
--PAGE_BREAK--