Реферат: Использование среды MatLAB для решения линейной программы

--PAGE_BREAK--
1.2 Переход к канонической форме



Подавляющее большинство известных методов решения задач линейного программирования предназначены для канонических задач. Поэтому начальный этап решения всякой общей задачи линейного программирования обычно связан с приведением ее к некоторой эквивалентной канонической задаче.

Общая идея перехода от ОЗЛП к КЗЛП достаточно проста:

Øограничения в виде неравенств преобразуются в уравнения за счет добавления фиктивных неотрицательных переменных <img width=«80» height=«24» src=«ref-1_1610682083-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1036">, которые одновременно входят в целевую функцию с коэффициентом 0, т. е. не оказывают влияния на ее значение;

Øпеременные, на которые не наложено условие неотрицательности, представляются в виде разности двух новых неотрицательных переменных:
<img width=«185» height=«31» src=«ref-1_1610682275-345.coolpic» v:shapes="_x0000_i1037">
Øпеременные, на которые наложено условие неположительности, представляются в виде новой неотрицательной переменной помноженной на -1:
<img width=«124» height=«25» src=«ref-1_1610682620-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1038">
Нетрудно заметить, что «платой» за переход от общей формы задачи линейного программирования к канонической является рост ее размерности, что, при прочих равных условиях, является фактором, усложняющим процесс решения.

2. СИМПЛЕКС-МЕТОД 2.1 Теоретические основы симплекс-метода



Исходя из свойств линейных экстремальных задач, можно заключить, что на принципиальном уровне поиск их решений сводится к последовательному перебору угловых точек множества допустимых планов или, что то же самое, перебору соответствующих допустимых базисных планов. Средством решения данной проблемы явились прикладные оптимизационные методы, основанные на последовательном, целенаправленном переборе базисных планов ЗЛП.

Классическим методом решения ЗЛП стал симплекс-метод, получивший также в литературе название метода последовательного улучшения плана (упорядоченность обеспечивается монотонным изменением значения целевой функции при переходе к очередному плану), разработанный в <metricconverter productid=«1947 г» w:st=«on»>1947 г. американским математиком Джорджем Данцигом.

Пусть стоит задача максимизации
<img width=«128» height=«51» src=«ref-1_1610682863-469.coolpic» v:shapes="_x0000_i1039"> (2.1)
при условиях
<img width=«119» height=«59» src=«ref-1_1610683332-427.coolpic» v:shapes="_x0000_i1040">, (2.2)
Xj³0, j=1,…,n(2.3)

Предположим, что нам удалось найти опорный план X, в котором, например, первые m компонент отличны от нуля:




X=(X1,X2,…,Xm, 0, …, 0), (2.4)
и соответствующий базис Б=(A1,A2,…,Am).

Попытаемся выбрать другую систему базисных векторов с целью построения нового опорного плана, в котором k-я переменная (k>m) принимает значениеQ>0:
X(Q) = (X1(Q), X2(Q),…,Xm(Q), 0, …,Q, …0) (2.5)
Подставляя (2.4) в (2.2), имеем
<img width=«129» height=«59» src=«ref-1_1610683759-455.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041">(2.6)
Подставив (2.5) в (2.2), получаем
<img width=«195» height=«56» src=«ref-1_1610684214-500.coolpic» v:shapes="_x0000_i1042"> (2.7)
Разложим вектор Ak по векторам исходного базиса
<img width=«120» height=«53» src=«ref-1_1610684714-351.coolpic» v:shapes="_x0000_i1043"> (8)
В общем случае для получения коэффициентов такого разложения придется решать систему mуравнений с m неизвестными, которая имеет единственное решение, поскольку базисные векторы линейно независимы и соответствующая матрица имеет ненулевой определитель. Заметим, что в ситуации, когда базисные векторы являются единичными (образуют единичную матрицу), искомые коэффициенты совпадают с компонентами исходного вектора; поэтому в дальнейшем мы предпочтем работать с единичным базисом.

Подставляя (2.6) и (2.8) в (2.7), получаем
<img width=«316» height=«55» src=«ref-1_1610685065-792.coolpic» v:shapes="_x0000_i1044">, (2.9)
откуда имеем
<img width=«307» height=«55» src=«ref-1_1610685857-660.coolpic» v:shapes="_x0000_i1045"> (2.10)
Так как система уравнений (2.10) имеет единственное решение, то получаем представление первых mкомпонент нового плана
<img width=«309» height=«40» src=«ref-1_1610686517-718.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046"> (2.11)
Естественно потребовать неотрицательность компонент нового плана. Так как нарушение неотрицательности в (2.11) может возникнуть лишь при Zjk>0, то значение Qнужно взять не превышающим наименьшего из отношений <img width=«31» height=«40» src=«ref-1_1610687235-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047"> к положительным Zjk.

Если к тому же учесть, что число положительных (базисных) компонент опорного плана должно оставаться равным m, то одну из первых m (ненулевых) компонент исходного плана обращаем в нуль выбором






<img width=«100» height=«58» src=«ref-1_1610687381-376.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048"> (2.12)
Подставляя (2.11) в (2.1), имеем
<img width=«417» height=«50» src=«ref-1_1610687757-867.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049"> (2.13)
Если обозначить
<img width=«100» height=«43» src=«ref-1_1610688624-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050">, (2.14)

<img width=«108» height=«27» src=«ref-1_1610688914-325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051">, (2.15)
то (2.13) примет вид
<img width=«199» height=«30» src=«ref-1_1610689239-410.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052"> (16)
Из полученных соотношений напрашиваются следующие выводы.

Критерий 1 (критерий оптимальности).Если все Dk ³0, то выбранный план для задачи максимизации является оптимальным.

Критерий 2. Если обнаруживается некоторое Dk < 0 и хотя бы одно из значений Zjk >0, то переход к новому плану увеличит значение целевой функции.

Этот вывод с очевидностью следует из (2.16); в такой ситуации согласно (2.12) полагаем k-ю переменную равной Qи преобразуем значения остальных (базисных) переменных в соответствии с (2.11).

Критерий 3. Если обнаруживается некоторое Dk < 0, но все Zjk£0, то линейная форма задачи не ограничена по максимуму.

Этот вывод следует из того, что согласно (2.11) компоненты нового плана сохраняют неотрицательность при любом Q>0 (в том числе и при сколь угодно большом) и согласно (2.16) появляется возможность неограниченного изменения значения целевой функции.

Предположение о том, что базисными являются первые mкомпонент плана, не является принципиальным, и указание диапазона поj от 1 до m в (2.11)-(2.15) можно заменить на указание о принадлежности к базису “jÎБ“.

Если все опорные планы задачи являются невырожденными (число положительных компонент равно m), то Qотлично от нуля и переход к новому плану согласно (2.16) изменяет значение целевой функции, что гарантирует достижение экстремума за конечное число шагов. При наличии вырожденных планов возможно т. н. зацикливание (возврат к ранее рассмотренным планам), но на практике зацикливание никогда не возникало.
    продолжение
--PAGE_BREAK--2.2 Прямой алгоритм симплексного метода[1]


Пусть исходная задача приведена к канонической форме и начальный базис образует единичную матрицу. Тогда базисные компоненты опорного плана совпадают с правыми частями ограничений и коэффициенты Zjk разложения вектора Xk по такому базису совпадают с компонентами этого вектора.

Для единообразия описания вычислительной процедуры в дальнейшем будем пользоваться т.н. симплексной таблицей вида:


    продолжение
--PAGE_BREAK--