Реферат: Властивості визначеного інтеграла

Визначений інтеграл має властивості, які можна сформулювати за допомогою знаків рівностей або нерівностей.

1) Сталий множник можна виносити за знак інтеграла:

Дійсно,

2) Визначений інтеграл від алгебраїчної суми кількох функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від доданків.

Це дійсно так, оскільки (Властивості 1) і 2) вірні і при, і при .)

2) Якщо при, то .

Це дійсно так, оскільки

. Значить,, що і потрібно було довести.

4) Якщо і – найменше і найбільше значення функції при, то

.

Ця властивість випливає з попередньої, якщо врахувати, що і що, а .

5) Якщо функція неперервна на проміжку, то існує таке число

, що. (Цю властивість називають теоремою про середнє).

Дійсно, нехай. За попередньою властивістю одержуємо:

, або, де. Оскільки функція неперервна на, вона приймає на цьому проміжку всі свої проміжні значення між і. Отже, існує таке значення, при якому, тобто .

6) Для будь-яких трьох чисел має місце рівність:

(якщо всі три інтеграла існують).

Дійсно, якщо, скажімо, то, складаючи інтегральну суму для функції на, вибираємо точку однією з точок поділу. Маємо:

.

Перейдемо до границі при і одержуємо потрібну властивість, якщо ж, то, або

.

Аналогічно розглядаються інші способи взаємного розміщення точок і .