Реферат: Математические вычисления

--PAGE_BREAK--, <img width=«104» height=«75» src=«ref-1_1622915612-423.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">, <img width=«55» height=«75» src=«ref-1_1622916035-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">
2. Вычисляем определитель матрицы <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1622884325-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">:


<img width=«557» height=«75» src=«ref-1_1622916493-1403.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">
Итак, матрица <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1622884325-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165"> неособенная и для нее существует обратная матрица <img width=«29» height=«21» src=«ref-1_1622884143-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">.

3. Вычисляем алгебраические дополнения для всех элементов матрицы:
<img width=«216» height=«48» src=«ref-1_1622918237-480.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">

<img width=«247» height=«48» src=«ref-1_1622918717-521.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">

<img width=«219» height=«48» src=«ref-1_1622919238-491.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">

<img width=«245» height=«48» src=«ref-1_1622919729-519.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">

<img width=«240» height=«48» src=«ref-1_1622920248-515.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">

<img width=«239» height=«48» src=«ref-1_1622920763-515.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">

<img width=«232» height=«48» src=«ref-1_1622921278-505.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">

<img width=«235» height=«48» src=«ref-1_1622921783-504.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">

<img width=«235» height=«48» src=«ref-1_1622922287-501.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">
4. Записываем присоединенную матрицу в явном виде:
<img width=«233» height=«65» src=«ref-1_1622922788-1005.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">


5. Вычисляем обратную матрицу <img width=«31» height=«23» src=«ref-1_1622923793-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">:
<img width=«453» height=«88» src=«ref-1_1622923975-2373.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">
6. Проверяем достоверность вычисления обратной матрицы по условию:
<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1622845375-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179"><img width=«308» height=«75» src=«ref-1_1622926421-1011.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">

<img width=«536» height=«75» src=«ref-1_1622927432-2018.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">

<img width=«89» height=«75» src=«ref-1_1622896465-410.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">
Следовательно, обратная матрица вычислена верно.

7. Решаем заданную систему уравнений:
<img width=«459» height=«75» src=«ref-1_1622929860-1709.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183"> или <img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1622845375-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">(1, 2, 1).
3. Метод Гаусса

1. Запишем СЛАУ в виде матрицы, расширенной за счет элементов правой части ее:




<img width=«87» height=«77» src=«ref-1_1622931642-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">
Первую строку оставляем без изменения. Умножаем элементы первой строки на (-3) и прибавляем к соответствующим элементам второй строки. Получим:
<img width=«128» height=«77» src=«ref-1_1622932092-527.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">
Затем умножаем элементы первой строки на (-2) и прибавляем к соответствующим элементам третьей строки.
<img width=«129» height=«77» src=«ref-1_1622932619-546.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">
Умножаем элементы третьей строки на (-2) и прибавляем к соответствующим элементам второй строки.
<img width=«129» height=«77» src=«ref-1_1622933165-528.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">
Первую и вторую строки оставляем без изменения. Умножаем элементы второй строки на 3 и прибавляем к соответствующим элементам третьей строки. Получим:




<img width=«112» height=«77» src=«ref-1_1622933693-503.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189">
Вычисляем значения переменных СЛАУ снизу вверх:
<img width=«117» height=«19» src=«ref-1_1622934196-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">

<img width=«39» height=«21» src=«ref-1_1622934374-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">

<img width=«101» height=«21» src=«ref-1_1622934495-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">

<img width=«192» height=«21» src=«ref-1_1622934692-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">
Итак, решение системы уравнений имеет вид:
<img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1622934963-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">, <img width=«39» height=«21» src=«ref-1_1622934374-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">, <img width=«33» height=«17» src=«ref-1_1622935193-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">
или в краткой форме: (1,2,1).
14. Задача 14
Определить число элементарных событий и простых соединений

Сколько есть двузначных чисел, у которых обе цифры четные?

Решение

Всего четных цифр 4 (2,4,6,8), значит существует 4 способа выбора первой цифры двузначного числа и 4 способа выбора второй цифры. Так как выбор цифр осуществляется одновременно, по правилу произведения вычислим количество двузначных чисел, у которых обе цифры четные: <img width=«84» height=«19» src=«ref-1_1622935299-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">




15. Задача 15
Вычислить вероятность события по классической схеме

Имеется 6 билетов в театр, 4 из которых на места первого ряда. Какова вероятность того, что из 3 наудачу выбранных билета 2 окажутся на места первого ряда?

Решение

1. Определяем общее количество способов, которыми можно взять 3 билета из 6.
<img width=«51» height=«29» src=«ref-1_1622935463-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">
2. Определяем количество способов взять три билета, в том числе два на места первого ряда и один на другой ряд:
<img width=«84» height=«29» src=«ref-1_1622935721-353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199">
3. Вероятность искомого события:
<img width=«507» height=«56» src=«ref-1_1622936074-1390.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">
16. Задача 16
Вычислить вероятность события с использованием теорем сложения и умножения.

Охотник выстрелил три раза по удаляющейся мишени. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найти вероятность того, что он попал в цель все три раза.

Решение

Пусть

P(A) – вероятность попадания 3 раза,

P(B) – вероятность попадания в 1-й раз,

P(C) – вероятность попадания во 2-й раз,

P(D) – вероятность попадания в 3-й раз.

Тогда

P(B)=0,8

P(C)= P(B)-0,1=0,8-0,1=0,7

P(D)= P(C)-0,1=0,7-0,1=0,6

P(A)=P(B) ∙P(C) ∙P(D)=0,8∙0,7∙0,6=0,336
17. Задача 17
Вычисление вероятности повторных независимых испытаний

Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет не более трех девочек. Вероятность рождения мальчиков и девочек считаем одинаковой.

Решение

Используем формулу Я. Бернулли:
<img width=«157» height=«53» src=«ref-1_1622937464-415.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">
1. Определяем исходные данные для формулы Бернулли:

<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1622845375-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202"><img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1622845375-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203">

n=5, k=3, p=0,5, q=1-0,5=0,5


2. Вычисление вероятности искомого события:
<img width=«560» height=«69» src=«ref-1_1622938025-1234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">
18. Задача 18
Найти законы распределения случайных величин <img width=«84» height=«19» src=«ref-1_1622939259-309.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205"> и <img width=«80» height=«20» src=«ref-1_1622939568-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206">, если законы распределения случайных величин <img width=«21» height=«19» src=«ref-1_1622939888-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207"> и <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1622940069-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208"> имеют вид
<img width=«27» height=«17» src=«ref-1_1622940238-112.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1209"><img width=«23» height=«17» src=«ref-1_1622940350-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">



<img width=«19» height=«24» src=«ref-1_1622940459-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">



2

4

6

<img width=«19» height=«24» src=«ref-1_1622940554-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">

0,1

0,2

0,3

,4

<img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1622940651-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213">

3

5

7

9

<img width=«19» height=«24» src=«ref-1_1622940554-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">

0,3

0,2

0,2

,3



Решение

Вычисления производим в табличной форме на основании определения разности и произведения случайных величин.

1. Вычисляем промежуточные величины для вычисления распределения переменной величины Z=Х-Y(разности двух случайных величин), используя табл.2.
Таблица 2.

<img width=«20» height=«28» src=«ref-1_1622940843-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">

<img width=«21» height=«25» src=«ref-1_1622941022-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">

3

5

7

9

    <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1622941190-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217"> <img width=«26» height=«21» src=«ref-1_1622941298-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218">

0.3

0.2

0.2

0.3



0.1

-3    0.03

-5   0.02

-7  0.02

-9   0.03

2

0.2

-1    0.06

-3   0.04

-5  0.04

-7   0.06

4

0.3

1   0.09

-1   0.06

-3  0.06

-5   0.09

6

0.4

3   0.12

1   0.08

-1  0.08

-3  0.12



2. Записываем закон распределения случайной величины Z=X-Yв табл.3.
Таблица 3

<img width=«17» height=«25» src=«ref-1_1622941409-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">

-9

-7

-5

-3

-1

1

3

<img width=«20» height=«25» src=«ref-1_1622941571-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220">

0.03

0.08

0.15

0.25

0.2

0.17

0.12



2.      Проверяем достоверность вычислений:
<img width=«60» height=«31» src=«ref-1_1622941751-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221">0.03+0.08+0.15+0.25+0.2+0.17+0.12=1.0
4. Вычисляем промежуточные величины для вычисления распределения случайной величины <img width=«79» height=«20» src=«ref-1_1622942054-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222"> (произведения тех же случайных величин), используя табл.4.
Таблица 4

<img width=«20» height=«25» src=«ref-1_1622942373-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223">

<img width=«21» height=«25» src=«ref-1_1622941022-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224">

3

5

7

9

    <img width=«29» height=«25» src=«ref-1_1622942705-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225"><img width=«31» height=«25» src=«ref-1_1622942935-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">

0.3

0.2

0.2

0.3



0.1

0    0.03

   0.02

  0.02

   0.03

2

0.2

6    0.06

10   0.04

14  0.04

18   0.06

4

0.3

12   0.09

20   0.06

28  0.06

36   0.09

6

0.4

18   0.12

90   0.08

42  0.08

54  0.12



5. Записываем закон распределения случайной величины <img width=«20» height=«20» src=«ref-1_1622943152-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227"> в табл. 5.




Таблица 5



6. Проверяем достоверность вычислений:
<img width=«60» height=«31» src=«ref-1_1622941751-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230">    продолжение
--PAGE_BREAK--