Реферат: Решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами Комплексные
Контрольная работа
по высшей математике
по теме:
Решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Комплексные числа
Выполнила:
Студентка II курса
Экономического факультета
Очного отделения
2007г
I. у″ — 4y′ + 4y = соs4х
у = U + у — общ. реш. н. д. у.
у″ — 4у′ + 4у = 0
k2 — 4k + 4 = 0
k1; 2 = 2
1) U =?
U = C1e2x + С2е2х ∙ х
2) у =? у = Acos4x + Bsin4xy′ = — 4Asin4x + 4Bcos4x
y″ = — 16Acos4x — 16Bsin4x
16Acos4x — 16Bsin4x + 16Asin4x + 16Bcos4x + 4Acos4x +4Bsin4x =
= cos4x + 0 ∙ sin4x
12Acos4x — 12Bsin4x + 16Asin4x + 16Bcos4x = cos4x + 0 ∙ sin4x
12A + 16A = 016B — 12B = 0
4A = 04B = 0
A = 4 B = 4
y = 4cos4x + 4sin4x
y = C1e2x+ C2e2x· x + 4cos4x + 4sin4x — общее решение н. д. у.
Найдем частное решение при условии:
у (0) = 1 у′ (0) = 0
у′ = 2С1e2x + 2C2e2x · x — 16sin4x + 16cos4x
1 = C1 + C2 + 4С1 + С2 = 3 С1 + 13 = 3
0 = 2C1 + 2C2 + 162С1 + 2С2 = 16
С1 + С2 = 13
С1 = — 10С2 = 13
у = — 10е2х + 13е2х· x + 4cos4x + 4sin4x — частное решение при заданных условиях
II. у″ — 4y′ + 4y = 5х2 + 3х + 1
у = U + у — общее решение н. д. у.
у″ — 4у′ + 4у = 0
k2 — 4k + 4 = 0
k1; 2 = 2
1) U =?
U = C1e2x + С2е2х ∙ х
2) у =? у = Ах2 + Вх + Сy′ = 2Ах + В
у″ = 2А
2А — 8В + 4В + 4Ах + 4Вх + 4С = 5х2 + 3х + 1
4А = 5А = 5/4 В = 3 С = 1/4
8А + 4В = 3
2А — 4В + 4С = 1
у = 5/4х2 + 3 + 1/4
у = C1e2x + С2е2х ∙ х + 5/4х2 + 3 + 1/4 — общее решение н. д. у.
Найдем частное решение при условии:
у (0) = 1 у′ (0) = 0
у′ = 2С1e2x + 2C2e2x + 5/2х — 1/8
1 = C1 + C2 + 5/4 C1 + C2 = 1/4
0 = 2C1 + 2C2 + 5/22C1 + 2C2 = 5/2
C1 + С2 = 9/4
C1 = — 2С2 = 9/4
у = — 2e2x + 9/4е2х ∙ х + 5/4х2 + 3 + 1/4 — частное решение при заданных условиях.
III. у″ — 4у′ + 4у = 2е5х
у = U + у — общее решение н. д. у.
у″ — 4у′ + 4у = 0
k2 — 4k + 4 = 0
k1; 2 = 2
1) U =?
U = C1e2x + С2е2х ∙ х
2) у =? у = Ае5х y′ = 5А5х
у″ = 25Ае5х
25Ае5х — 20Ае5х + 4А5х = 2е5х
9А5х = 2е5х
А = 2/9 у = 2/9е5х
у = C1e2x + С2е2х ∙ х + 2/9е5х — общее решение н. д. у.
Найдем частное решение при условии:
у (0) = 1 у′ (0) = 0
у′ = 2C1e2x + 2С2е2х ∙ х + 10/9е5х
1 = C1 + С2 + 2/9C1 + С2 = 7/9
0 = 2C1+ 2С2+ 10/92C1+ 2С2 = 10/9
C1 + С2 = 1/3
C1 + 1/3 = 7/9
С1 = 4/9 С2 = 1/3
у = 4/9e2x + 1/3е2х ∙ х + 2/9е5х — частное решение при заданных условиях.
Комплексные числа
/>
Ö — 1 = i — мнимое число
/>(Ö — 1) 2 = i 2 i 2 = — 1
i 3 = i 2 ∙ i = — 1 ∙ i = — i
i 4 = i 2 ∙ i 2 = ( — 1) ∙ ( — 1) = 1
а + вi — комплексные числа, где: а, в — действительные числа или а, в є R
Геометрический смысл комплексного числа:
/>в
/>/>/>. (а; в)
ρ в ρ = Öа 2 + в 2 = çа + вiú
/>) d а
а d = arctg в/а –
аргумент комплексного числа
(находится с учетом четверти)
/>tg
нет
d
0 0
П/6
П/4
П/3
П/2
tg
Ö3/ 3
1
Ö3
---
— +/>0 0
+ —
нет
cosd = a / ρa = ρcosd
--PAGE_BREAK--sind = в/ ρв= ρsind
а+ вi = ρcosd+ i ρsind
а+ вi = ρ(cosd + i sind) –
комплексное число в тригонометрической форме
Действия с комплексными числами:
Сложение:
а1 + в1i + а2 + в2i = а1 + а2 + (в1 + в2) i
Умножение:
(а1 + в1i) (а2 + в2i) = а1а2 +в1в2i 2 + а1в2i
а1а2 — в1в2 + (в1а2 + а2в2) i
Формула Эйлера: Комплексное число в показательной форме:
еiу= cosу+ isinуz = ρеi φ
Примеры по возведению комплексного числа в степень в тригонометрической и показательной формах:
1) (7 + 3i) (3 + 7i) = 21 + 21i 2+ 9i + 49i = 58i
(7 + 3i) = Ö58 (cosarctg 3/ 7 + isinarctg 3/ 7) = еln Ö58 ×еarctg 3/7= еln Ö58 + i arctg 3/7
ρ1= Ö58
φ1= arctg 3/ 7
(3 + 7i) = Ö58 (cosarctg 7/ 3 + isinarctg 7/ 3) = еln Ö58 ×еarctg 7/ 3= еln Ö58 + i arctg 7/ 3
ρ2= Ö58
φ2= arctg 7/ 3
Ö58 (cosarctg 3/ 7 + isinarctg 3/ 7) Ö58 (cosarctg 7/ 3 + isinarctg 7/ 3) =
= 58 (cos (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) + i (sin (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3))) =
= еln 58 ×еi (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) = еln 58 + i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3)
При решении примера использовали формулу:
ρ1 (cosφ1 + isinφ1) ρ2 (cosφ2 + isinφ2) = ρ1ρ2 (cos (φ1 + φ2) + i (sin (φ1 +φ2))
Проверка:
еln 58 + i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) = еln 58 ×еi (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) =58 (cos (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) + i (sin (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3)
cos (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) = cos (arctg 3/ 7) cos (arctg 7/ 3) -
sin (arctg 3/ 7) sin (arctg 7/ 3)
/>/>cos (arctg 3/ 7) = 1/ (Ö1 + tg2(arctg 3/ 7)) = 1/ Ö1 + (9/49) = 7/Ö58
cos (arctg 7/ 3) = 3/Ö58
/>/>/>/>sin (arctg 3/ 7) = Ö1 — cos2arctg 3/ 7 = Ö1 — (7/Ö58) 2= Ö9/ 58 = 3/Ö58 sin (arctg 7/3) = Ö1 — cos2arctg 7/ 3 = 7/Ö58
cos (arctg 3/ 7 — arctg 7/ 3) = 7/Ö58 ×3/Ö58 — 3/Ö58 ×7/Ö58 = 0
sin (arctg 3/ 7 — arctg 7/ 3) = 3/Ö58×3/Ö58 ×3/Ö58×3/Ö58 = 0
Возведениевстепень:
(7 + 3i) (3 + 7i) = Ö58 (cosarctg 3/7 + isinarctg 3/7) = еln Ö58 + i arctg 3/7
(7 + 3i) 2= 49 + 42i + 9i2= 40 + 42i
/>(Ö58 (cosarctg 3/7 + isinarctg 3/7)) 2 = 58 (cos2arctg 3/7 + isin2arctg 3/7) =
= е lnÖ58 + iarctg3/7
Проверка:
еln Ö58 + i arctg 3/7= 58 (cos2arctg 3/7 + isin2arctg 3/7)
cos2arctg 3/ 7 = 2cos2arctg 3/7 — 1 = 2 ×(7/Ö58) 2— 1 = 40/58
sin2arctg 3/ 7 = 2sin2arctg 3/ 7 cosarctg 3/ 7 = 2 ∙ (3/Ö58) ∙ (7/Ö58) = 42/58
58 (40/58 + 42/58 × i) = 40 + 42i
При решении примера применяли следующие формулы:
(ρ(cosd + i sind)) п= ρп(cosпd + i sinпd) пєN
е х + iу = е х (cosу + isinу)
2) (3 + 4i) (4 + 3i) = 12 + 12i 2+ 16i + 9i = 25i
(3 + 4i) = 5 (cosarctg 4/ 3 + isinarctg 4/ 3) = еln 5 ×еarctg 4/ 3= еln 5 + i arctg 4/ 3
ρ1= Ö25 = 5
продолжение--PAGE_BREAK--
φ1= arctg 4/ 3
(4 + 3i) = 5 (cosarctg 3/ 4 + isinarctg 3/ 4) = еln 5 ×еarctg 3/ 4= еln 5 + i arctg 3/ 4
ρ2= 5
φ2= arctg 3/ 4
5 (cosarctg 4/ 3 + isinarctg 4/ 3) 5 (cosarctg 3/ 4 + isinarctg 3/ 4) =
= 25 (cos (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4) + i (sin (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4))) =
= еln 25×еi (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4) = еln 25 + i (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4)
При решении примера использовали формулу:
ρ1 (cosφ1 + isinφ1) ρ2 (cosφ2 + isinφ2) = ρ1ρ2 (cos (φ1 + φ2) + i (sin (φ1 +φ2))
Проверка:
еln 25 + i (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4) = еln 25 ×еi (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4) =25 (cos (arctg 4/ 3 +
+ arctg 3/ 4) + i (sin (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4)))
cos (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4) = cos (arctg 4/ 3) cos (arctg 3/ 4) -
sin (arctg 4/ 3) sin (arctg 3/ 4)
/>/>cos (arctg 4/ 3) = 1/ (Ö1 + tg2(arctg 4/ 3)) = 1/ Ö1 + (16/ 9) = 3/ 5
cos (arctg 3/ 4) = 4/ 5
/>/>sin (arctg 4/ 3) = Ö1 — cos2arctg 4/ 3 = Ö1 — 9/ 5 = 4/5
/>sin (arctg 3/ 4) = Ö1 — cos2arctg 3/ 4 = 3/ 5
cos (arctg 4/ 3 — arctg 3/ 4) = 3/ 5 ×4/5 — 3/ 5 ×4/5 = 0
sin (arctg 4/ 3 — arctg 3/ 4) = 4/ 5 × 3/5 — 4/ 5 × 3/5 = 0
Извлечение корня третий степени из комплексного числа:
Применяем формулу:
/>/>пÖ ρ (cosd + i sind) = пÖ ρ (cos d + 2Пк / п + i sin d + 2Пк / п) к є (0; 1;...; п — 1)
3Ö3 +4i = 3Ö25 (cosarctg 4/3 + 2Пк/3 +isinarctg 4/3 + 2Пк/3)
z1= 6Ö25 (cosarctg (4/3) / 3 + isinarctg (4/3) / 3) к= 0
z2 = 6Ö25 (cosarctg (4/3 + 2П) / 3 + isinarctg (4/3 + 2П) / 3) к= 1
/>z3 = 6Ö25 (cosarctg (4/3 + 4П) / 3 + isinarctg (4/3 + 4П) / 3) к= 2