Реферат: Композиции преобразований
--PAGE_BREAK--Для треугольника MNP имеет место равенство: <shape id="_x0000_i1061" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image065.wmz» o:><img width=«39» height=«21» src=«dopb75981.zip» v:shapes="_x0000_i1061">=2<shape id="_x0000_i1062" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image067.wmz» o:><img width=«32» height=«23» src=«dopb75982.zip» v:shapes="_x0000_i1062">. Точки Aи B заданы, следовательно, вектор <shape id="_x0000_i1063" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image067.wmz» o:><img width=«32» height=«23» src=«dopb75982.zip» v:shapes="_x0000_i1063"> - постоянный, и искомая композиция двух центральных симметрий ZB◦ZAесть параллельный перенос на вектор 2<shape id="_x0000_i1064" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image067.wmz» o:><img width=«32» height=«23» src=«dopb75982.zip» v:shapes="_x0000_i1064">:ZB◦ZA=<shape id="_x0000_i1065" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image069.wmz» o:><img width=«41» height=«31» src=«dopb75983.zip» v:shapes="_x0000_i1065">. (1)
б) Найдем композицию центральной симметрии ZO и переноса <shape id="_x0000_i1066" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image003.wmz» o:><img width=«21» height=«25» src=«dopb75936.zip» v:shapes="_x0000_i1066"> в пространстве. Представим перенос <shape id="_x0000_i1067" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image003.wmz» o:><img width=«21» height=«25» src=«dopb75936.zip» v:shapes="_x0000_i1067"> как композицию двух центральных симметрий: <shape id="_x0000_i1068" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image003.wmz» o:><img width=«21» height=«25» src=«dopb75936.zip» v:shapes="_x0000_i1068">=ZB◦ZO, где <shape id="_x0000_i1069" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image071.wmz» o:><img width=«31» height=«24» src=«dopb75984.zip» v:shapes="_x0000_i1069">=<shape id="_x0000_i1070" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image073.wmz» o:><img width=«17» height=«45» src=«dopb75985.zip» v:shapes="_x0000_i1070"><shape id="_x0000_i1071" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image075.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb75937.zip» v:shapes="_x0000_i1071">. Следовательно, <shape id="_x0000_i1072" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image003.wmz» o:><img width=«21» height=«25» src=«dopb75936.zip» v:shapes="_x0000_i1072">◦ZO=(ZB◦ZO)◦ZO. Это равенство эквивалентно равенству:
<shape id="_x0000_i1073" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image003.wmz» o:><img width=«21» height=«25» src=«dopb75936.zip» v:shapes="_x0000_i1073">◦ZO=ZB . (2)
Таким образом, композиция центральной симметрии ZOи переноса <shape id="_x0000_i1074" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image003.wmz» o:><img width=«21» height=«25» src=«dopb75936.zip» v:shapes="_x0000_i1074"> есть центральная симметрия ZO, центр которой определяется условием <shape id="_x0000_i1075" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image071.wmz» o:><img width=«31» height=«24» src=«dopb75984.zip» v:shapes="_x0000_i1075">=<shape id="_x0000_i1076" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image073.wmz» o:><img width=«17» height=«45» src=«dopb75985.zip» v:shapes="_x0000_i1076"><shape id="_x0000_i1077" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image075.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb75937.zip» v:shapes="_x0000_i1077">.
в) Найдем композицию трех центральных симметрий пространства f=ZC◦ZB◦ZA. Композицию ZC◦ZBпредставим в виде переноса в соответствии с выводом (1): ZC◦ZB=<shape id="_x0000_i1078" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image076.wmz» o:><img width=«41» height=«31» src=«dopb75986.zip» v:shapes="_x0000_i1078">. Тогда искомая композиция будет иметь следующий вид: f=<shape id="_x0000_i1079" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image076.wmz» o:><img width=«41» height=«31» src=«dopb75986.zip» v:shapes="_x0000_i1079">◦ZA. Воспользовавшись выводом (2), заметим, что правая часть равенства есть центральная симметрия ZO, центр О которой определяется условием <shape id="_x0000_i1080" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image078.wmz» o:><img width=«33» height=«24» src=«dopb75987.zip» v:shapes="_x0000_i1080">=<shape id="_x0000_i1081" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image080.wmz» o:><img width=«32» height=«24» src=«dopb75988.zip» v:shapes="_x0000_i1081">. Таким образом, композиция трех центральных симметрий пространства является центральной симметрией.
Пользуясь ассоциативностью композиции и выводами, полученными ранее, обобщим:
1) композиция четного числа центральных симметрий пространства является переносом;
2) композиция нечетного числа центральных симметрий пространства является центральной симметрией.
Задача 5.Найти композицию центральных симметрий пространства относительно последовательно взятых вершин параллелограмма ABCD.
Решение. Требуется найти композицию f=ZD◦ZC◦ZB◦ZA (рис. 5).
Рис. 5
Сгруппируем элементы композиции «удобным» образом и воспользуемся выводом (1) предыдущей задачи:
f=(ZD◦ZC)◦(ZB◦ZA)=<shape id="_x0000_i1082" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image083.wmz» o:><img width=«41» height=«31» src=«dopb75990.zip» v:shapes="_x0000_i1082">◦<shape id="_x0000_i1083" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image069.wmz» o:><img width=«41» height=«31» src=«dopb75983.zip» v:shapes="_x0000_i1083">. Векторы <shape id="_x0000_i1084" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image085.wmz» o:><img width=«43» height=«23» src=«dopb75991.zip» v:shapes="_x0000_i1084"> и <shape id="_x0000_i1085" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image087.wmz» o:><img width=«41» height=«24» src=«dopb75992.zip» v:shapes="_x0000_i1085"> являются противоположными, поскольку ABCD есть параллелограмм, следовательно искомая композиция является тождественным преобразованием E.
Обобщим эту задачу на случай четырех произвольных точек.
Задача 6. Найти композицию центральных симметрий пространства относительно четырех произвольных точек.
Решение. Требуется найти композицию f=ZE◦ZC◦ZB◦ZA(рис. 6). Воспользуемся результатом предыдущей задачи, для этого построим, например, в плоскости BCDточку D такую, что четырехугольник BCEDявляется параллелограммом.
Рис. 6
Тогда равенству f=ZE◦ZC◦ZB◦ZAэквивалентно равенство f=ZD◦ZD◦ZE◦ZC◦ZB◦ZA. Композиция ZD◦ZE◦ZC◦ZB есть тождественное преобразование, т.к. BCED– параллелограмм. И искомая композиция имеет вид f=ZD◦ZA, а это перенос пространства <shape id="_x0000_i1086" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image091.wmz» o:><img width=«43» height=«28» src=«dopb75995.zip» v:shapes="_x0000_i1086"> (согласно выводу (1) ).
1.3. Композиции зеркальной и центральной симметрий
Задача 7. Найти композицию зеркальной и центральной симметрий, если плоскость первой не содержит центр второй.
Решение. Пусть даны плоскость a и точка О, не принадлежащая ей. Найдем композицию ZO◦Sa. Центральная симметрия ZO как частный случай поворотной симметрии представима композицией осевой и зеркальной симметрии: ZO=Sl◦Sb, где lи b — перпендикулярные прямая и плоскость, причем lÇb=O. Выберем плоскость b таким образом, что a║b, тогда lбудет являться перпендикуляром и к плоскости a (рис. 7).Тогда ZO◦Sa=Sl◦Sb◦Sa. В силу того, что плоскости aи bпараллельны, их композиция есть параллельный перенос <shape id="_x0000_i1087" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image093.wmz» o:><img width=«43» height=«31» src=«dopb75996.zip» v:shapes="_x0000_i1087">, при этом <shape id="_x0000_i1088" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image078.wmz» o:><img width=«33» height=«24» src=«dopb75987.zip» v:shapes="_x0000_i1088">║l. А это по определению есть винтовое движение с осью l, углом 180°, вектором <shape id="_x0000_i1089" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image095.wmz» o:><img width=«44» height=«24» src=«dopb75997.zip» v:shapes="_x0000_i1089">.
<shapetype id="_x0000_t7" coordsize=«21600,21600» o:spt=«7» adj=«5400» path=«m@0,l,21600@1,21600,21600,xe»><path gradientshapeok=«t» o:connecttype=«custom» o:connectlocs="@4,0;10800,@11;@3,10800;@5,21600;10800,@12;@2,10800" textboxrect=«1800,1800,19800,19800;8100,8100,13500,13500;10800,10800,10800,10800»><shape id="_x0000_s1139" type="#_x0000_t7" strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><img width=«226» height=«26» src=«dopb75998.zip» v:shapes="_x0000_s1139"><shape id="_x0000_s1140" type="#_x0000_t7" strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><img width=«226» height=«26» src=«dopb75998.zip» v:shapes="_x0000_s1140"><line id="_x0000_s1141" from=«135pt,11.25pt» to=«135pt,57.75pt» strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><img width=«2» height=«64» src=«dopb75999.zip» v:shapes="_x0000_s1141"><line id="_x0000_s1142" from=«135.75pt,70.5pt» to=«135.75pt,116.25pt» strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><img width=«2» height=«63» src=«dopb76000.zip» v:shapes="_x0000_s1142"><line id="_x0000_s1143" from=«135pt,130.5pt» to=«135pt,149.25pt» strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><img width=«2» height=«27» src=«dopb76001.zip» v:shapes="_x0000_s1143"><line id="_x0000_s1144" from=«135pt,117.75pt» to=«135pt,130.5pt» strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><img width=«2» height=«19» src=«dopb76002.zip» v:shapes="_x0000_s1144"><line id="_x0000_s1145" from=«135.75pt,58.5pt» to=«135.75pt,70.5pt» strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><img width=«2» height=«18» src=«dopb76003.zip» v:shapes="_x0000_s1145"><oval id="_x0000_s1146" strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><img width=«6» height=«6» src=«dopb76004.zip» v:shapes="_x0000_s1146"><oval id="_x0000_s1147" strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><img width=«6» height=«6» src=«dopb76004.zip» v:shapes="_x0000_s1147">
O
<shape id="_x0000_s1148" type="#_x0000_t7" strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><img width=«245» height=«25» src=«dopb76005.zip» v:shapes="_x0000_s1148"><line id="_x0000_s1149" from=«135pt,.75pt» to=«135pt,48.75pt» strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><img width=«2» height=«66» src=«dopb76006.zip» v:shapes="_x0000_s1149"><line id="_x0000_s1150" from=«135pt,105.75pt» to=«135pt,118.5pt» strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><img width=«2» height=«19» src=«dopb76002.zip» v:shapes="_x0000_s1150"><line id="_x0000_s1151" from=«135pt,119.25pt» to=«135pt,146.25pt» strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><img width=«2» height=«38» src=«dopb76007.zip» v:shapes="_x0000_s1151"><line id="_x0000_s1152" from=«35.25pt,12.75pt» to=«206.25pt,40.5pt» strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><img width=«230» height=«39» src=«dopb76008.zip» v:shapes="_x0000_s1152"><line id="_x0000_s1153" from=«46.5pt,30.75pt» to=«187.5pt,65.25pt» strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><img width=«190» height=«48» src=«dopb76009.zip» v:shapes="_x0000_s1153"><line id="_x0000_s1154" from=«135pt,56.25pt» to=«135pt,105.75pt» strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><img width=«2» height=«68» src=«dopb76010.zip» v:shapes="_x0000_s1154"><line id="_x0000_s1155" from=«128.25pt,23.25pt» to=«135pt,24pt» strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><img width=«11» height=«3» src=«dopb76011.zip» v:shapes="_x0000_s1155"><line id="_x0000_s1156" from=«128.25pt,24.75pt» to=«135.75pt,28.5pt» strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><img width=«12» height=«7» src=«dopb76012.zip» v:shapes="_x0000_s1156"><line id="_x0000_s1157" from=«135pt,20.25pt» to=«140.25pt,21pt» strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><img width=«9» height=«3» src=«dopb76013.zip» v:shapes="_x0000_s1157"><line id="_x0000_s1158" from=«141pt,20.25pt» to=«141pt,23.25pt» strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><img width=«2» height=«6» src=«dopb76014.zip» v:shapes="_x0000_s1158"><line id="_x0000_s1159" from=«51pt,33pt» to=«57.75pt,34.5pt» strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><img width=«11» height=«4» src=«dopb76015.zip» v:shapes="_x0000_s1159"><line id="_x0000_s1160" from=«51pt,34.5pt» to=«54.75pt,36pt» strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><img width=«7» height=«4» src=«dopb76016.zip» v:shapes="_x0000_s1160"><oval id="_x0000_s1161" strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><img width=«6» height=«6» src=«dopb76004.zip» v:shapes="_x0000_s1161"><oval id="_x0000_s1162" strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><img width=«6» height=«6» src=«dopb76004.zip» v:shapes="_x0000_s1162"><oval id="_x0000_s1163" strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><img width=«6» height=«6» src=«dopb76004.zip» v:shapes="_x0000_s1163">
L
A
h
b
l
A
a
l
a
O
a
Рис. 7 Рис. 8
Итак, композиция зеркальной и центральной симметрий есть винтовое движение: ZO◦Sa= Sl◦<shape id="_x0000_i1090" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image093.wmz» o:><img width=«43» height=«31» src=«dopb75996.zip» v:shapes="_x0000_i1090">. (3)
Задача 8. Найти композицию ZO◦Sa◦Sl, если прямая lпараллельна плоскости a и точка О лежит в a.
Решение. На основании (3) композиция ZO◦Saв общем случае есть винтовое движение. В силу того, что ОÎa, вектор винтового движения будет нулевым, и само винтовое движение выродится в осевую симметрию Sa, где a^aи OÎa(рис. 8). Тогда ZO◦Sa◦Sl=Sa◦Sl, причем a^l.
Если прямые a и lскрещиваются, то искомая композиция является винтовым движением Rhj◦<shape id="_x0000_i1091" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image003.wmz» o:><img width=«21» height=«25» src=«dopb75936.zip» v:shapes="_x0000_i1091">, угол jкоторого равен 2Ð(a, l)=p, ось h – общий перпендикуляр прямых a и l, вектор <shape id="_x0000_i1092" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image075.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb75937.zip» v:shapes="_x0000_i1092">=2<shape id="_x0000_i1093" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image116.wmz» o:><img width=«29» height=«23» src=«dopb76017.zip» v:shapes="_x0000_i1093">, где L=lÇh, A=aÇh(см. [3], с. 19).
Если прямые aи lпересекаются, то <shape id="_x0000_i1094" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image075.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb75937.zip» v:shapes="_x0000_i1094">=<shape id="_x0000_i1095" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image118.wmz» o:><img width=«15» height=«24» src=«dopb76018.zip» v:shapes="_x0000_i1095">, и композиция Sa◦Slявляется осевой симметрией Sh, где h – это перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые aи l.
1.4. Композиции осевых симметрий пространства
Задача 9. Композиция трех осевых симметрий пространства является осевой симметрией: Sc◦Sb◦Sa=Sl. Какое взаимное положение могут иметь прямые a, b, c? Построить ось l этой композиции в каждом из возможных случаев.
Решение. Равенству Sc◦Sb◦Sa=Slэквивалентно равенство
Sc◦Sb=Sl◦Sa . (*)
Если прямые bиcпараллельны, то Sc◦Sb=<shape id="_x0000_i1096" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image003.wmz» o:><img width=«21» height=«25» src=«dopb75936.zip» v:shapes="_x0000_i1096">. Тогда и правая часть равенства (*) является переносом: Sl◦Sa=<shape id="_x0000_i1097" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image003.wmz» o:><img width=«21» height=«25» src=«dopb75936.zip» v:shapes="_x0000_i1097">. А значит прямые aи lтакже будут параллельными.
Таким образом, получили, что, если прямые b, cпараллельны, то все оси a,b,cи lпопарно параллельны (рис. 9а).
h
l
<line id="_x0000_s1164" from=«12pt,12.75pt» to=«58.5pt,105.75pt» strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><img width=«64» height=«126» src=«dopb76019.zip» v:shapes="_x0000_s1164"><line id="_x0000_s1165" from=«34.5pt,6pt» to=«81pt,99pt» strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><img width=«64» height=«126» src=«dopb76019.zip» v:shapes="_x0000_s1165"><line id="_x0000_s1166" from=«70.5pt,65.25pt» to=«117pt,158.25pt» strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><img width=«64» height=«126» src=«dopb76019.zip» v:shapes="_x0000_s1166"><line id="_x0000_s1167" from=«64.5pt,36.75pt» to=«111pt,129.75pt» strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><img width=«64» height=«126» src=«dopb76019.zip» v:shapes="_x0000_s1167">
<line id="_x0000_s1168" from=«2.75pt,35.5pt» to=«17.75pt,44.5pt» strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><img width=«27» height=«20» src=«dopb76020.zip» v:shapes="_x0000_s1168">
<line id="_x0000_s1170" from=«280,23» to=«280,227» strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><line id="_x0000_s1171" from=«247,175» to=«398,237» strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><line id="_x0000_s1172" from=«249,188» to=«418,190» strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><line id="_x0000_s1173" from=«262,61» to=«420,81» strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><line id="_x0000_s1174" from=«256,18» to=«327,86» strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><oval id="_x0000_s1175" fillcolor=«window» strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><oval id="_x0000_s1176" fillcolor=«window» strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><img width=«175» height=«221» src=«dopb76021.zip» v:shapes="_x0000_s1169 _x0000_s1170 _x0000_s1171 _x0000_s1172 _x0000_s1173 _x0000_s1174 _x0000_s1175 _x0000_s1176">
A
<shape id="_x0000_i1098" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image123.wmz» o:><img width=«25» height=«41» src=«dopb76022.zip» v:shapes="_x0000_i1098">
<line id="_x0000_s1177" from=«4.5pt,71.65pt» to=«19.5pt,80.65pt» strokecolor=«windowText» o:insetmode=«auto»><img width=«26» height=«21» src=«dopb76023.zip» v:shapes="_x0000_s1177">
a
c
b
<shape id="_x0000_i1099" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image123.wmz» o:><img width=«25» height=«41» src=«dopb76022.zip» v:shapes="_x0000_i1099">
l
O
c
a
b
Рис. 9а Рис. 9б
Если прямые bиcпересекаются в точке O, то композиция Sc◦Sbявляется поворотом Rhj(см. [3], c. 15), где h– перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые bи c, при этом точка O принадлежит оси h, угол j=2Ð(b, c)(рис. 9б). Тогда и композиция Sl◦Saявляется этим же поворотом Rhj, значит h– перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые aи l, точка пересечения Aкоторых принадлежит оси h, и ориентированный угол между aи l равен углу поворота j.
Таким образом, если оси bиcпересекаются, то прямая a параллельна плоскости, проходящей через b иc, пересекается с перпендикуляром hк этой плоскости, восстановленным в точке пересечения прямых bиc. Осьlудовлетворяет следующим условиям: точка пересечения A прямых aи hпринадлежитl,lпараллельна плоскости(b, c), ориентированные углы Ð(a,l)=Ð(b,c). Если точка A принадлежит прямой a, то точки Aи O совпадают, т.е. ось lтакже походит через точку A.
Если прямые bиcскрещиваются, то композиция Sc◦Sbявляется винтовым движением Rh2j◦<shape id="_x0000_i1100" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image003.wmz» o:><img width=«21» height=«25» src=«dopb75936.zip» v:shapes="_x0000_i1100">, ось h которого есть общий перпендикуляр к прямым b и c, вектор <shape id="_x0000_i1101" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image126.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb75937.zip» v:shapes="_x0000_i1101"> коллинеарен оси h, угол j равен ориентированному углу между прямыми b и c(рис. 9в). В силу равенства (*) композиция Sl◦Saявляется этим же самым винтовым движением: Sl◦Sa=Rh2j◦<shape id="_x0000_i1102" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15314.files/image003.wmz» o:><img width=«21» height=«25» src=«dopb75936.zip» v:shapes="_x0000_i1102">, то есть h– общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым aиl, и угол Ð(a, l)=j.
Рис. 9в
Таким образом, если оси bиc— скрещивающиеся, то прямые a, bиcпопарно скрещиваются и имеют общий перпендикуляр h. Ось l удовлетворяет следующим условиям: lиh — перпендикулярные прямые, расстояния между прямыми b, cиa, l равны, и углы между этими осями также равны.
продолжение
--PAGE_BREAK--