Реферат: Трансформация преобразований

--PAGE_BREAK--5.2. Трансформация параллельного переноса гомотетией <shape id="_x0000_i1169" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image249.wmz» o:><img width=«157» height=«35» src=«dopb78730.zip» v:shapes="_x0000_i1169">, но <shape id="_x0000_i1170" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image251.wmz» o:><img width=«99» height=«29» src=«dopb78731.zip» v:shapes="_x0000_i1170">, <shape id="_x0000_i1171" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image253.wmz» o:><img width=«96» height=«48» src=«dopb78732.zip» v:shapes="_x0000_i1171">. [1] Тогда <shape id="_x0000_i1172" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image255.wmz» o:><img width=«121» height=«29» src=«dopb78733.zip» v:shapes="_x0000_i1172"><shape id="_x0000_i1173" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image257.wmz» o:><img width=«81» height=«29» src=«dopb78734.zip» v:shapes="_x0000_i1173">, что по формуле (22) равняется <shape id="_x0000_i1174" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image259.wmz» o:><img width=«112» height=«31» src=«dopb78735.zip» v:shapes="_x0000_i1174">. Следовательно,
                                                      <shape id="_x0000_i1175" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image261.wmz» o:><img width=«80» height=«33» src=«dopb78736.zip» v:shapes="_x0000_i1175">.                                                 (26)
5.3. Трансформация произвольного движения гомотетией Рассмотрим <shape id="_x0000_i1176" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image263.wmz» o:><img width=«39» height=«33» src=«dopb78737.zip» v:shapes="_x0000_i1176">. По теореме о неподвижных точках, неподвижными точками преобразования <shape id="_x0000_i1177" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image263.wmz» o:><img width=«39» height=«33» src=«dopb78737.zip» v:shapes="_x0000_i1177"> являются образы неподвижных точек движения f. Докажем, что это – движение. <shape id="_x0000_i1178" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image265.wmz» o:><img width=«161» height=«35» src=«dopb78738.zip» v:shapes="_x0000_i1178">. Рассмотрим точки А и L, |AL| = d. Пусть при гомотетии <shape id="_x0000_i1179" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image267.wmz» o:><img width=«44» height=«29» src=«dopb78739.zip» v:shapes="_x0000_i1179"> они переходят соответственно в точки В и М, тогда |BM| = d/k. При движении f точки В и М переходят соответственно в точки С и N, тогда |CN| = d/k, т.к. движение сохраняет расстояния между точками. Пусть при гомотетии <shape id="_x0000_i1180" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image269.wmz» o:><img width=«31» height=«29» src=«dopb78705.zip» v:shapes="_x0000_i1180"> точки С и N переходят соответственно в точки D и P, |DP| = kd/k= d. Мы получили, что преобразование <shape id="_x0000_i1181" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image263.wmz» o:><img width=«39» height=«33» src=«dopb78737.zip» v:shapes="_x0000_i1181">сохраняет расстояния между точками, значит, это движение, неподвижными точками которого являются образы неподвижных точек движения f, а т.к. вид движения определяется его неподвижными точками, то <shape id="_x0000_i1182" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image263.wmz» o:><img width=«39» height=«33» src=«dopb78737.zip» v:shapes="_x0000_i1182"> — движение того же вида, что и f.
6. Трансформация подобия гомотетией Рассмотрим <shape id="_x0000_i1183" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image270.wmz» o:><img width=«41» height=«35» src=«dopb78740.zip» v:shapes="_x0000_i1183">, где f – подобие. Известно, что подобие – это композиция движения и гомотетии, тогда <shape id="_x0000_i1184" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image272.wmz» o:><img width=«148» height=«36» src=«dopb78741.zip» v:shapes="_x0000_i1184">, а это, по формулам (2), равняется <shape id="_x0000_i1185" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image274.wmz» o:><img width=«101» height=«39» src=«dopb78742.zip» v:shapes="_x0000_i1185">. Как было доказано в 5.3, <shape id="_x0000_i1186" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image276.wmz» o:><img width=«39» height=«36» src=«dopb78743.zip» v:shapes="_x0000_i1186"> — движение того же вида, что и g, а по формуле (24) <shape id="_x0000_i1187" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image278.wmz» o:><img width=«188» height=«39» src=«dopb78744.zip» v:shapes="_x0000_i1187">. Следовательно, <shape id="_x0000_i1188" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image280.wmz» o:><img width=«43» height=«36» src=«dopb78745.zip» v:shapes="_x0000_i1188"> — подобие того же вида, что и f. Если f <shape id="_x0000_i1189" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image282.wmz» o:><img width=«69» height=«29» src=«dopb78746.zip» v:shapes="_x0000_i1189">, то
                                 <shape id="_x0000_i1190" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image284.wmz» o:><img width=«285» height=«36» src=«dopb78747.zip» v:shapes="_x0000_i1190">.                             (27)
7. Трансформация движения подобием Пусть подобие – это композиция движения g и гомотетии <shape id="_x0000_i1191" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image286.wmz» o:><img width=«31» height=«29» src=«dopb78748.zip» v:shapes="_x0000_i1191">, то движение f под подобием – это <shape id="_x0000_i1192" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image288.wmz» o:><img width=«279» height=«35» src=«dopb78749.zip» v:shapes="_x0000_i1192"> <shape id="_x0000_i1193" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image290.wmz» o:><img width=«239» height=«29» src=«dopb78750.zip» v:shapes="_x0000_i1193">. В силу ассоциативности композиции преобразований, <shape id="_x0000_i1194" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image292.wmz» o:><img width=«548» height=«35» src=«dopb78751.zip» v:shapes="_x0000_i1194"> <shape id="_x0000_i1195" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image294.wmz» o:><img width=«41» height=«29» src=«dopb78752.zip» v:shapes="_x0000_i1195">. По доказанному в п. 5.3 <shape id="_x0000_i1196" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image263.wmz» o:><img width=«39» height=«33» src=«dopb78737.zip» v:shapes="_x0000_i1196"> = f1 — движение того же вида, что и f, а его неподвижные точки – образы неподвижных точек движения f при гомотетии <shape id="_x0000_i1197" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image296.wmz» o:><img width=«31» height=«29» src=«dopb78748.zip» v:shapes="_x0000_i1197">. Тогда <shape id="_x0000_i1198" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image297.wmz» o:><img width=«249» height=«35» src=«dopb78753.zip» v:shapes="_x0000_i1198">. Но f1g= f2 – движение того же вида, что и f1, а его неподвижные точки – образы неподвижных точек движения f1 при движении g. Тогда <shape id="_x0000_i1199" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image299.wmz» o:><img width=«55» height=«35» src=«dopb78754.zip» v:shapes="_x0000_i1199"> — движение того же вида, что и f, а его неподвижные точки – образы неподвижных точек движения f при подобии <shape id="_x0000_i1200" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image301.wmz» o:><img width=«56» height=«29» src=«dopb78755.zip» v:shapes="_x0000_i1200">.
8. Трансформация подобия движением Пусть подобие – это композиция движения f и гомотетии <shape id="_x0000_i1201" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image286.wmz» o:><img width=«31» height=«29» src=«dopb78748.zip» v:shapes="_x0000_i1201">, тогда подобие под движением g <shape id="_x0000_i1202" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image303.wmz» o:><img width=«81» height=«29» src=«dopb78756.zip» v:shapes="_x0000_i1202"> по формулам (2) есть <shape id="_x0000_i1203" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image305.wmz» o:><img width=«92» height=«29» src=«dopb78757.zip» v:shapes="_x0000_i1203">. fg= f1 – движение того же вида, что и f, а его неподвижные точки – образы неподвижных точек движения f при движении g, а по формуле (21) <shape id="_x0000_i1204" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image307.wmz» o:><img width=«127» height=«32» src=«dopb78758.zip» v:shapes="_x0000_i1204">. Тогда <shape id="_x0000_i1205" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image309.wmz» o:><img width=«185» height=«32» src=«dopb78759.zip» v:shapes="_x0000_i1205">, а это подобие.
                                              <shape id="_x0000_i1206" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image311.wmz» o:><img width=«175» height=«32» src=«dopb78760.zip» v:shapes="_x0000_i1206">.                                        (28)
9. Трансформация гомотетии подобием Рассмотрим <shape id="_x0000_i1207" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image313.wmz» o:><img width=«409» height=«39» src=«dopb78761.zip» v:shapes="_x0000_i1207"> <shape id="_x0000_i1208" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image315.wmz» o:><img width=«171» height=«32» src=«dopb78762.zip» v:shapes="_x0000_i1208">. В силу ассоциативности композиции преобразований, <shape id="_x0000_i1209" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image317.wmz» o:><img width=«123» height=«32» src=«dopb78763.zip» v:shapes="_x0000_i1209"><shape id="_x0000_i1210" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image319.wmz» o:><img width=«485» height=«41» src=«dopb78764.zip» v:shapes="_x0000_i1210">. По формуле (24), <shape id="_x0000_i1211" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image321.wmz» o:><img width=«116» height=«36» src=«dopb78765.zip» v:shapes="_x0000_i1211">, <shape id="_x0000_i1212" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image323.wmz» o:><img width=«80» height=«29» src=«dopb78766.zip» v:shapes="_x0000_i1212">. Тогда <shape id="_x0000_i1213" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image325.wmz» o:><img width=«139» height=«39» src=«dopb78767.zip» v:shapes="_x0000_i1213"> <shape id="_x0000_i1214" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image327.wmz» o:><img width=«253» height=«32» src=«dopb78768.zip» v:shapes="_x0000_i1214"> (по формуле (21)). Таким образом,
                                       <shape id="_x0000_i1215" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image329.wmz» o:><img width=«232» height=«39» src=«dopb78769.zip» v:shapes="_x0000_i1215">.                                  (29)
10. Трансформация подобия подобием Подобие φ под подобием ψ <shape id="_x0000_i1216" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image331.wmz» o:><img width=«151» height=«36» src=«dopb78770.zip» v:shapes="_x0000_i1216">. По формулам (2), <shape id="_x0000_i1217" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image333.wmz» o:><img width=«272» height=«36» src=«dopb78771.zip» v:shapes="_x0000_i1217">. <shape id="_x0000_i1218" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image335.wmz» o:><img width=«55» height=«36» src=«dopb78772.zip» v:shapes="_x0000_i1218"> — движение того же вида, что и f, а его неподвижные точки – образы неподвижных точек движения f при подобии ψ. По формуле (29), <shape id="_x0000_i1219" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image337.wmz» o:><img width=«152» height=«39» src=«dopb78773.zip» v:shapes="_x0000_i1219"> <shape id="_x0000_i1220" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image339.wmz» o:><img width=«81» height=«31» src=«dopb78774.zip» v:shapes="_x0000_i1220">. Тогда
                                                <shape id="_x0000_i1221" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image341.wmz» o:><img width=«140» height=«36» src=«dopb78775.zip» v:shapes="_x0000_i1221">,                                           (30)
где ξ — подобие такое, что <shape id="_x0000_i1222" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image343.wmz» o:><img width=«100» height=«32» src=«dopb78776.zip» v:shapes="_x0000_i1222">, <shape id="_x0000_i1223" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image345.wmz» o:><img width=«81» height=«31» src=«dopb78774.zip» v:shapes="_x0000_i1223">, а h – движение того же вида, что и f, а его неподвижные точки – образы неподвижных точек движения f при подобии ψ.
11. Трансформация движения аффинным преобразованием 11.1. Трансформация параллельного переноса                                          аффинным преобразованием <lock v:ext=«edit» aspectratio=«t»><shape id="_x0000_s1067" type="#_x0000_t75" o:divferrelative=«f»><fill o:detectmouseclick=«t»><path o:extrusionok=«t» o:connecttype=«none»><lock v:ext=«edit» text=«t»><img width=«230» height=«218» src=«dopb78777.zip» v:shapes="_x0000_s1066 _x0000_s1067 _x0000_s1068 _x0000_s1069 _x0000_s1070 _x0000_s1071 _x0000_s1072 _x0000_s1073 _x0000_s1074 _x0000_s1075 _x0000_s1076 _x0000_s1077 _x0000_s1078 _x0000_s1079 _x0000_s1080 _x0000_s1081">Рассмотрим произвольную точку М, найдем ее образ при преобразовании <shape id="_x0000_i1224" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image348.wmz» o:><img width=«117» height=«29» src=«dopb78778.zip» v:shapes="_x0000_i1224">. При преобразовании g-1 она переходит в точку М1(рис. 3), которая при параллельном переносе <shape id="_x0000_i1225" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image350.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb78665.zip» v:shapes="_x0000_i1225"> прейдет в точку М2, <shape id="_x0000_i1226" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image351.wmz» o:><img width=«84» height=«31» src=«dopb78779.zip» v:shapes="_x0000_i1226">, далее М2 при преобразовании g перейдет в точку М3. Заметим, что вектор <shape id="_x0000_i1227" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image353.wmz» o:><img width=«56» height=«31» src=«dopb78780.zip» v:shapes="_x0000_i1227">при преобразовании g перейдет в вектор <shape id="_x0000_i1228" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image355.wmz» o:><img width=«47» height=«31» src=«dopb78781.zip» v:shapes="_x0000_i1228">, значит, вся трансформация <shape id="_x0000_i1229" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image357.wmz» o:><img width=«24» height=«24» src=«dopb78782.zip» v:shapes="_x0000_i1229"> есть параллельный перенос на вектор <shape id="_x0000_i1230" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image359.wmz» o:><img width=«69» height=«24» src=«dopb78783.zip» v:shapes="_x0000_i1230">.
                                                        <shape id="_x0000_i1231" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image361.wmz» o:><img width=«56» height=«29» src=«dopb78784.zip» v:shapes="_x0000_i1231">,                                                    (31)
где <shape id="_x0000_i1232" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image363.wmz» o:><img width=«69» height=«24» src=«dopb78783.zip» v:shapes="_x0000_i1232">.
11.2. Трансформация центральной симметрии                           аффинным преобразованием   <lock v:ext=«edit» aspectratio=«t»><shape id="_x0000_s1084" type="#_x0000_t75" o:divferrelative=«f»><fill o:detectmouseclick=«t»><path o:extrusionok=«t» o:connecttype=«none»><lock v:ext=«edit» text=«t»><img width=«252» height=«252» src=«dopb78785.zip» v:shapes="_x0000_s1083 _x0000_s1084 _x0000_s1085 _x0000_s1086 _x0000_s1087 _x0000_s1088 _x0000_s1089 _x0000_s1090 _x0000_s1091 _x0000_s1092 _x0000_s1093 _x0000_s1094 _x0000_s1095 _x0000_s1096 _x0000_s1097 _x0000_s1098 _x0000_s1099 _x0000_s1100 _x0000_s1101 _x0000_s1102 _x0000_s1103 _x0000_s1104 _x0000_s1105 _x0000_s1106 _x0000_s1107">Рассмотрим произвольную точку М, найдем ее образ при преобразовании <shape id="_x0000_i1233" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image365.wmz» o:><img width=«147» height=«31» src=«dopb78786.zip» v:shapes="_x0000_i1233">. При преобразовании g-1 она переходит в точку М1(рис. 4), которая при центральной симметрии  ZO прейдет в точку М2, О – середина М1М2, далее М2 при преобразовании g перейдет в точку М3. Заметим, что точка О при преобразовании g перейдет в середину отрезка ММ3 (т.к. при аффинном преобразовании сохраняется принадлежность точек одной прямой и отношение расстояний между ними), а по теореме о неподвижной точке g(O) будет неподвижной точкой нового преобразования, значит, вся трансформация <shape id="_x0000_i1234" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image367.wmz» o:><img width=«36» height=«31» src=«dopb78787.zip» v:shapes="_x0000_i1234"> есть центральная симметрия Zg(O).
                                                    <shape id="_x0000_i1235" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image369.wmz» o:><img width=«97» height=«33» src=«dopb78788.zip» v:shapes="_x0000_i1235">.                                                (32)
11.2. Трансформация осевой симметрии                                        аффинным преобразованием <lock v:ext=«edit» aspectratio=«t»><shape id="_x0000_s1109" type="#_x0000_t75" o:divferrelative=«f»><fill o:detectmouseclick=«t»><path o:extrusionok=«t» o:connecttype=«none»><lock v:ext=«edit» text=«t»><lock v:ext=«edit» aspectratio=«t»><img width=«362» height=«280» src=«dopb78789.zip» v:shapes="_x0000_s1108 _x0000_s1109 _x0000_s1110 _x0000_s1111 _x0000_s1112 _x0000_s1113 _x0000_s1114 _x0000_s1115 _x0000_s1116 _x0000_s1117 _x0000_s1118 _x0000_s1119 _x0000_s1120 _x0000_s1121 _x0000_s1122 _x0000_s1123 _x0000_s1124 _x0000_s1125 _x0000_s1126 _x0000_s1127 _x0000_s1128 _x0000_s1129 _x0000_s1130 _x0000_s1131 _x0000_s1132 _x0000_s1133 _x0000_s1134 _x0000_s1135 _x0000_s1136 _x0000_s1137 _x0000_s1138 _x0000_s1139 _x0000_s1140 _x0000_s1141 _x0000_s1142 _x0000_s1143 _x0000_s1144">Рассмотрим произвольную точку М, найдем ее образ при преобразовании <shape id="_x0000_i1236" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image372.wmz» o:><img width=«47» height=«31» src=«dopb78790.zip» v:shapes="_x0000_i1236"> <shape id="_x0000_i1237" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image374.wmz» o:><img width=«103» height=«29» src=«dopb78791.zip» v:shapes="_x0000_i1237">. При преобразовании g-1 она переходит в точку М1(рис. 5), которая при осевой симметрии  Sl прейдет в точку М2, <shape id="_x0000_i1238" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image376.wmz» o:><img width=«87» height=«25» src=«dopb78792.zip» v:shapes="_x0000_i1238"> <shape id="_x0000_i1239" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image378.wmz» o:><img width=«117» height=«25» src=«dopb78793.zip» v:shapes="_x0000_i1239">, О – середина М1М2, далее М2 при преобразовании g перейдет в точку М3. Заметим, что точка О при преобразовании g перейдет в середину отрезка ММ3 (т.к. при аффинном преобразовании сохраняется принадлежность точек одной прямой и отношение расстояний между ними), и ее образ – О1 – будет лежать на образе прямой l при преобразовании g — g(l). По теореме о неподвижных прямых, прямая g(l) будет неподвижной прямой нового преобразования. Заметим также, что если при осевой симметрии прямые, соединяющие точки с их образами, были параллельны, то и после трансформации они будут параллельны и наклонены под одним и тем же углом к прямой g(l), значит, вся трансформация <shape id="_x0000_i1240" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image380.wmz» o:><img width=«29» height=«31» src=«dopb78794.zip» v:shapes="_x0000_i1240"> есть косая симметрия Sg(l).
                                                     <shape id="_x0000_i1241" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image382.wmz» o:><img width=«89» height=«33» src=«dopb78795.zip» v:shapes="_x0000_i1241">.                                                 (33)
12. Трансформация гомотетии аффинным преобразованием <lock v:ext=«edit» aspectratio=«t»><shape id="_x0000_s1146" type="#_x0000_t75" o:divferrelative=«f»><fill o:detectmouseclick=«t»><path o:extrusionok=«t» o:connecttype=«none»><lock v:ext=«edit» text=«t»><img width=«264» height=«266» src=«dopb78796.zip» v:shapes="_x0000_s1145 _x0000_s1146 _x0000_s1147 _x0000_s1148 _x0000_s1149 _x0000_s1150 _x0000_s1151 _x0000_s1152 _x0000_s1153 _x0000_s1154 _x0000_s1155 _x0000_s1156 _x0000_s1157 _x0000_s1158 _x0000_s1159 _x0000_s1160 _x0000_s1161 _x0000_s1162 _x0000_s1163 _x0000_s1164">Рассмотрим произвольную точку М, найдем ее образ при преобразовании <shape id="_x0000_i1242" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image385.wmz» o:><img width=«165» height=«29» src=«dopb78797.zip» v:shapes="_x0000_i1242">. При преобразовании g-1 она переходит в точку М1(рис. 6), которая при гомотетии <shape id="_x0000_i1243" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image269.wmz» o:><img width=«31» height=«29» src=«dopb78705.zip» v:shapes="_x0000_i1243"> прейдет в точку М2, <shape id="_x0000_i1244" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image387.wmz» o:><img width=«77» height=«52» src=«dopb78798.zip» v:shapes="_x0000_i1244">, далее М2 при преобразовании g перейдет в точку М3. Заметим, что точка О при преобразовании g перейдет в точку О1 на прямой ММ3, причем <shape id="_x0000_i1245" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image389.wmz» o:><img width=«83» height=«52» src=«dopb78799.zip» v:shapes="_x0000_i1245"><shape id="_x0000_i1246" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image198.wmz» o:><img width=«13» height=«25» src=«dopb78706.zip» v:shapes="_x0000_i1246"> (т.к. при аффинном преобразовании сохраняется принадлежность точек одной прямой и отношение расстояний между ними), а по теореме о неподвижной точке точка О1 будет неподвижной при новом преобразовании, значит, вся трансформация <shape id="_x0000_i1247" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image391.wmz» o:><img width=«60» height=«29» src=«dopb78800.zip» v:shapes="_x0000_i1247"> есть гомотетия <shape id="_x0000_i1248" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image393.wmz» o:><img width=«52» height=«32» src=«dopb78801.zip» v:shapes="_x0000_i1248">.
                                                 <shape id="_x0000_i1249" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image395.wmz» o:><img width=«129» height=«32» src=«dopb78802.zip» v:shapes="_x0000_i1249">.                                             (35)
13. Трансформация аффинного преобразования гомотетией Далее будем предполагать, что аффинные преобразования g и g-1 заданы аналитически.
g: <shape id="_x0000_i1250" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image397.wmz» o:><img width=«204» height=«84» src=«dopb78803.zip» v:shapes="_x0000_i1250"> g-1: <shape id="_x0000_i1251" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image399.wmz» o:><img width=«204» height=«84» src=«dopb78804.zip» v:shapes="_x0000_i1251"> где образы начала координат и базисных векторов при преобразовании g имеют координаты: O’(d1, d2, d3),<shape id="_x0000_i1252" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image401.wmz» o:><img width=«20» height=«27» src=«dopb78805.zip» v:shapes="_x0000_i1252">(a1, a2, a3),<shape id="_x0000_i1253" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image403.wmz» o:><img width=«21» height=«27» src=«dopb78806.zip» v:shapes="_x0000_i1253">(b1, b2, b3),<shape id="_x0000_i1254" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image405.wmz» o:><img width=«21» height=«28» src=«dopb78807.zip» v:shapes="_x0000_i1254">(c1, c2, c3), а при преобразовании g-1O’’(n1, n2, n3), <shape id="_x0000_i1255" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image407.wmz» o:><img width=«24» height=«27» src=«dopb78808.zip» v:shapes="_x0000_i1255"> (k1, k2, k3), <shape id="_x0000_i1256" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image409.wmz» o:><img width=«27» height=«27» src=«dopb78809.zip» v:shapes="_x0000_i1256"> (l1, l2, l3), <shape id="_x0000_i1257" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image411.wmz» o:><img width=«25» height=«28» src=«dopb78810.zip» v:shapes="_x0000_i1257"> (m1, m2, m3).
Известно, что движение является частным случаем аффинного преобразования, значит, движение под аффинным преобразованием, как композиция аффинных преобразований, также будет аффинным преобразованием.
13.1. Трансформация произвольного аффинного                         преобразования гомотетией Выберем систему координат таким образом, чтобы центр гомотетии совпадал с началом координат, тогда <shape id="_x0000_i1258" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image269.wmz» o:><img width=«31» height=«29» src=«dopb78705.zip» v:shapes="_x0000_i1258"> будет задаваться аналитически следующим образом.
<shape id="_x0000_i1259" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image413.wmz» o:><img width=«109» height=«84» src=«dopb78811.zip» v:shapes="_x0000_i1259"> Рассмотрим произвольную точку М(x, y, z), найдем ее образ при преобразовании <shape id="_x0000_i1260" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image415.wmz» o:><img width=«179» height=«35» src=«dopb78812.zip» v:shapes="_x0000_i1260">. При гомотетии <shape id="_x0000_i1261" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image417.wmz» o:><img width=«123» height=«29» src=«dopb78813.zip» v:shapes="_x0000_i1261"> точка М переходит в точку М1(x/k, y/k, z/k).Далее, при аффинном преобразовании gМ1 переходит в точку М2(<shape id="_x0000_i1262" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image419.wmz» o:><img width=«179» height=«48» src=«dopb78814.zip» v:shapes="_x0000_i1262">, <shape id="_x0000_i1263" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image421.wmz» o:><img width=«188» height=«48» src=«dopb78815.zip» v:shapes="_x0000_i1263">, <shape id="_x0000_i1264" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image423.wmz» o:><img width=«185» height=«48» src=«dopb78816.zip» v:shapes="_x0000_i1264">). M2 при гомотетии <shape id="_x0000_i1265" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image269.wmz» o:><img width=«31» height=«29» src=«dopb78705.zip» v:shapes="_x0000_i1265"> переходит в М3(<shape id="_x0000_i1266" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image425.wmz» o:><img width=«153» height=«25» src=«dopb78817.zip» v:shapes="_x0000_i1266">, <imagedata src=«15329.files/image427.wmz» o:><img width=«165» height=«25» src=«dopb78818.zip» v:shapes="_x0000_i1267">, <shape id="_x0000_i1268" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image429.wmz» o:><img width=«155» height=«25» src=«dopb78819.zip» v:shapes="_x0000_i1268">). Тогда <shape id="_x0000_i1269" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image431.wmz» o:><img width=«37» height=«33» src=«dopb78820.zip» v:shapes="_x0000_i1269"> — аффинное преобразование, аналитически оно задается следующим образом.
                                     <shape id="_x0000_i1270" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image433.wmz» o:><img width=«257» height=«87» src=«dopb78821.zip» v:shapes="_x0000_i1270">                                (34)
Мы получили, что
                                                    <shape id="_x0000_i1271" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image435.wmz» o:><img width=«104» height=«35» src=«dopb78822.zip» v:shapes="_x0000_i1271">                                                (35)
где <shape id="_x0000_i1272" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image437.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb78665.zip» v:shapes="_x0000_i1272"> - параллельный перенос, <shape id="_x0000_i1273" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image438.wmz» o:><img width=«243» height=«25» src=«dopb78823.zip» v:shapes="_x0000_i1273">.
13.2. Трансформация косого сжатия гомотетией   Рассмотрим гомотетию <shape id="_x0000_i1274" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image440.wmz» o:><img width=«31» height=«29» src=«dopb78705.zip» v:shapes="_x0000_i1274"> и косое сжатие g с осью q, направлением l и коэффициентом m. Найдем, что представляет собой трансформация косого сжатия гомотетией – <shape id="_x0000_i1275" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image441.wmz» o:><img width=«161» height=«33» src=«dopb78824.zip» v:shapes="_x0000_i1275">, для этого возьмем произвольную точку А и найдем ее образ при данной трансформации (рис. 7).
<lock v:ext=«edit» aspectratio=«t»><shape id="_x0000_s1167" type="#_x0000_t75" o:divferrelative=«f»><fill o:detectmouseclick=«t»><path o:extrusionok=«t» o:connecttype=«none»><lock v:ext=«edit» text=«t»><img width=«494» height=«327» src=«dopb78825.zip» v:shapes="_x0000_s1166 _x0000_s1167 _x0000_s1168 _x0000_s1169 _x0000_s1170 _x0000_s1171 _x0000_s1172 _x0000_s1173 _x0000_s1174 _x0000_s1175 _x0000_s1176 _x0000_s1177 _x0000_s1178 _x0000_s1179 _x0000_s1180 _x0000_s1181 _x0000_s1182 _x0000_s1183 _x0000_s1184 _x0000_s1185 _x0000_s1186 _x0000_s1187 _x0000_s1188 _x0000_s1189 _x0000_s1190 _x0000_s1191 _x0000_s1192 _x0000_s1193 _x0000_s1194 _x0000_s1195 _x0000_s1196 _x0000_s1197 _x0000_s1198 _x0000_s1199 _x0000_s1200">Точка А при гомотетии <shape id="_x0000_i1276" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image444.wmz» o:><img width=«41» height=«29» src=«dopb78826.zip» v:shapes="_x0000_i1276"> перейдет в точку А1, которая при косом сжатии перейдет в точку А2 такую, что А1А2 || l, <shape id="_x0000_i1277" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image446.wmz» o:><img width=«103» height=«52» src=«dopb78827.zip» v:shapes="_x0000_i1277">. Точка А2 при гомотетии <shape id="_x0000_i1278" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image440.wmz» o:><img width=«31» height=«29» src=«dopb78705.zip» v:shapes="_x0000_i1278"> перейдет в точку А3. Заметим, что прямая <shape id="_x0000_i1279" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image448.wmz» o:><img width=«89» height=«29» src=«dopb78828.zip» v:shapes="_x0000_i1279"> – инвариантная прямая всей трансформации (по теореме о неподвижных прямых). Из точек А1 и А2 проведем перпендикуляры на прямую q – А1В1 и А2В2, а из точек А и А3 – на прямую q1 – АВ и А3В3. Тогда АВ и А3В3 – образы отрезков А1В1 и А2В2 при гомотетии <shape id="_x0000_i1280" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image440.wmz» o:><img width=«31» height=«29» src=«dopb78705.zip» v:shapes="_x0000_i1280">, значит, <shape id="_x0000_i1281" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image450.wmz» o:><img width=«131» height=«52» src=«dopb78829.zip» v:shapes="_x0000_i1281">, следовательно,<shape id="_x0000_i1282" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image452.wmz» o:><img width=«139» height=«52» src=«dopb78830.zip» v:shapes="_x0000_i1282">. Мы получили, что при этой трансформации расстояние от точки А до прямой q1 изменилось в m раз:<shape id="_x0000_i1283" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image454.wmz» o:><img width=«108» height=«52» src=«dopb78831.zip» v:shapes="_x0000_i1283">. Причем из того, что А1А2 || l, следует, что AA3 || l, потому что при гомотетии прямая переходит в параллельную ей прямую, значит, точка А сместилась в направлении l. Следовательно, в силу произвольности точки А, искомая трансформация есть косое сжатие с осью <shape id="_x0000_i1284" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image456.wmz» o:><img width=«55» height=«29» src=«dopb78832.zip» v:shapes="_x0000_i1284">, направлением l и коэффициентом m.
13.3. Трансформация сдвига гомотетией Рассмотрим гомотетию <shape id="_x0000_i1285" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image440.wmz» o:><img width=«31» height=«29» src=«dopb78705.zip» v:shapes="_x0000_i1285"> и сдвиг g с осью q и коэффициентом m. Найдем, что представляет собой трансформация сдвига гомотетией – <shape id="_x0000_i1286" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image441.wmz» o:><img width=«161» height=«33» src=«dopb78824.zip» v:shapes="_x0000_i1286">, для этого возьмем произвольную точку А и найдем ее образ при данной трансформации (рис. 8).
<lock v:ext=«edit» aspectratio=«t»><shape id="_x0000_s1202" type="#_x0000_t75" o:divferrelative=«f»><fill o:detectmouseclick=«t»><path o:extrusionok=«t» o:connecttype=«none»><lock v:ext=«edit» text=«t»><img width=«311» height=«268» src=«dopb78833.zip» v:shapes="_x0000_s1201 _x0000_s1202 _x0000_s1203 _x0000_s1204 _x0000_s1205 _x0000_s1206 _x0000_s1207 _x0000_s1208 _x0000_s1209 _x0000_s1210 _x0000_s1211 _x0000_s1212 _x0000_s1213 _x0000_s1214 _x0000_s1215 _x0000_s1216 _x0000_s1217 _x0000_s1218 _x0000_s1219 _x0000_s1220 _x0000_s1221 _x0000_s1222 _x0000_s1223 _x0000_s1224 _x0000_s1225 _x0000_s1226 _x0000_s1227 _x0000_s1228 _x0000_s1229 _x0000_s1230">Точка А при гомотетии <shape id="_x0000_i1287" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image444.wmz» o:><img width=«41» height=«29» src=«dopb78826.zip» v:shapes="_x0000_i1287"> перейдет в точку А1, которая при сдвиге перейдет в точку А2 такую, что А1А2 || q, <shape id="_x0000_i1288" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image459.wmz» o:><img width=«100» height=«52» src=«dopb78834.zip» v:shapes="_x0000_i1288">. Точка А2 при гомотетии <shape id="_x0000_i1289" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image440.wmz» o:><img width=«31» height=«29» src=«dopb78705.zip» v:shapes="_x0000_i1289"> перейдет в точку А3. Заметим, что прямая <shape id="_x0000_i1290" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image461.wmz» o:><img width=«89» height=«29» src=«dopb78828.zip» v:shapes="_x0000_i1290"> – инвариантная прямая всей трансформации (по теореме о неподвижных прямых). Из точки А1 проведем перпендикуляр на прямую q А1В1, а из точки А – на прямую q1 – АВ. Тогда АВ – образ отрезка А1В1 при гомотетии <shape id="_x0000_i1291" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image440.wmz» o:><img width=«31» height=«29» src=«dopb78705.zip» v:shapes="_x0000_i1291">, также АА3 – образ отрезка А1А2 при гомотетии <shape id="_x0000_i1292" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image440.wmz» o:><img width=«31» height=«29» src=«dopb78705.zip» v:shapes="_x0000_i1292">, значит, <shape id="_x0000_i1293" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image462.wmz» o:><img width=«128» height=«52» src=«dopb78835.zip» v:shapes="_x0000_i1293"> и АА3||А1А2||q||q1, (потому что при гомотетии прямая переходит в параллельную ей прямую), следовательно,<shape id="_x0000_i1294" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image464.wmz» o:><img width=«128» height=«52» src=«dopb78836.zip» v:shapes="_x0000_i1294"> и АА3||q1. Мы получили, что при этой трансформации точка А смещается параллельно прямой q1 на расстояние, пропорциональное ее расстоянию от прямой q1: <shape id="_x0000_i1295" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image466.wmz» o:><img width=«101» height=«52» src=«dopb78837.zip» v:shapes="_x0000_i1295">. Следовательно, в силу произвольности точки А, искомая трансформация есть сдвиг с осью <shape id="_x0000_i1296" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image456.wmz» o:><img width=«55» height=«29» src=«dopb78832.zip» v:shapes="_x0000_i1296"> и коэффициентом m.
14. Трансформация аффинного преобразования движением 14.1. Трансформация произвольного аффинного        преобразования движением 14.1.1. Трансформация аффинного преобразования параллельным переносом Данную трансформацию рассмотрим в пространстве. Пусть параллельный перенос задан вектором <shape id="_x0000_i1297" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image468.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb78665.zip» v:shapes="_x0000_i1297">, <shape id="_x0000_i1298" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image469.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb78665.zip» v:shapes="_x0000_i1298">(a, b, c). Рассмотрим произвольную точку М(x, y, z), найдем ее образ при преобразовании <shape id="_x0000_i1299" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image470.wmz» o:><img width=«119» height=«31» src=«dopb78838.zip» v:shapes="_x0000_i1299">. При параллельном переносе <shape id="_x0000_i1300" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image472.wmz» o:><img width=«27» height=«25» src=«dopb78839.zip» v:shapes="_x0000_i1300"> точка М переходит в точку М1(x-a, y-b, z-c). Далее, при аффинном преобразовании g точка М1 переходит в точку М2(a1x+ b1y+ + c1z— aa1 — bb1 — cc1 + d1, a2x+ b2y+ c2z— aa2 — bb2 — cc2 + + d2, a3x+ b3y+ c3z— aa3 — bb3 — cc3 + d3). M2 при параллельном переносе <shape id="_x0000_i1301" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image474.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb78665.zip» v:shapes="_x0000_i1301"> переходит в М3 (a1x + b1y + c1z— aa1 — bb1 — cc1 + d1 + a, a2x+ b2y+ c2z— aa2 — bb2 -  cc2 + d2+ + b, a3x+ b3y+ c3z— aa3 — bb3 — cc3 + d3+ c) (п. 13). Тогда <shape id="_x0000_i1302" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15329.files/image475.wmz» o:><img width=«28» height=«33» src=«dopb78840.zip» v:shapes="_x0000_i1302"> — аффинное преобразование, аналитически оно задается следующим образом.
    продолжение
--PAGE_BREAK--