Реферат: Некоторые линейные операторы

--PAGE_BREAK--<shape id="_x0000_i1256" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image155.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb127004.zip» v:shapes="_x0000_i1256">1, <shape id="_x0000_i1257" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image155.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb127004.zip» v:shapes="_x0000_i1257">2 – собственные значения.
Найдем собственные векторы для собственных значений <shape id="_x0000_i1258" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image155.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb127004.zip» v:shapes="_x0000_i1258">:
при <shape id="_x0000_i1259" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image155.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb127004.zip» v:shapes="_x0000_i1259"> = <shape id="_x0000_i1260" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image180.wmz» o:><img width=«25» height=«24» src=«dopb127015.zip» v:shapes="_x0000_i1260"> получаем:
<shape id="_x0000_i1261" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image182.wmz» o:><img width=«144» height=«53» src=«dopb127016.zip» v:shapes="_x0000_i1261">
откуда x1 = (2+<shape id="_x0000_i1262" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image180.wmz» o:><img width=«25» height=«24» src=«dopb127015.zip» v:shapes="_x0000_i1262">)x2; 1-й собственный вектор: ((2+<shape id="_x0000_i1263" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image180.wmz» o:><img width=«25» height=«24» src=«dopb127015.zip» v:shapes="_x0000_i1263">)x, x);
при <shape id="_x0000_i1264" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image155.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb127004.zip» v:shapes="_x0000_i1264"> = -<shape id="_x0000_i1265" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image180.wmz» o:><img width=«25» height=«24» src=«dopb127015.zip» v:shapes="_x0000_i1265">получаем:
<shape id="_x0000_i1266" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image184.wmz» o:><img width=«144» height=«53» src=«dopb127017.zip» v:shapes="_x0000_i1266">
откуда x1 = (2 — <shape id="_x0000_i1267" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image180.wmz» o:><img width=«25» height=«24» src=«dopb127015.zip» v:shapes="_x0000_i1267">)x2; 2-й собственный вектор: ((2 — <shape id="_x0000_i1268" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image180.wmz» o:><img width=«25» height=«24» src=«dopb127015.zip» v:shapes="_x0000_i1268">)x, x);

§4. Оператор умножения на непрерывную функцию
Рассмотрим пространство <shape id="_x0000_i1269" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image186.wmz» o:><img width=«37» height=«27» src=«dopb127018.zip» v:shapes="_x0000_i1269"> непрерывных на отрезке <shape id="_x0000_i1270" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image188.wmz» o:><img width=«44» height=«24» src=«dopb127019.zip» v:shapes="_x0000_i1270"> функций, и оператор А, заданный формулой:
Ах(t) = g(t) x(t).
g(t) — функция, непрерывная на [a, b]; a,b<shape id="_x0000_i1271" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image190.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb126940.zip» v:shapes="_x0000_i1271">R.
Проверим является ли оператора А линейным, то есть, по определению 1, должны выполняться аксиомы аддитивности и однородности.
1) Аксиома аддитивности: A(f+g) = A(f) + A(g).
A(f+g) = (g(t)+f(t))x(t) = g(t)x(t)+f(t)x(t) = A(f) + A(g).
2) Аксиома однородности: A(k*f) = k*A(f).
A(k*f) = A(k*x(t)) = k*g(t)x(t) = kA(x(t)) = k*A(f).
По средствам арифметических операции над функциями, аксиомы аддитивность и однородность выполняются. Оператор А является линейным по определению.
3) Проверим, является ли А непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:
p (fn(x), f0(x)) <shape id="_x0000_i1272" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image191.wmz» o:><img width=«36» height=«38» src=«dopb127020.zip» v:shapes="_x0000_i1272"> 0    <shape id="_x0000_i1273" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image193.wmz» o:><img width=«20» height=«16» src=«dopb126965.zip» v:shapes="_x0000_i1273">    p (A fn(x), Af0(x)) <shape id="_x0000_i1274" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image194.wmz» o:><img width=«36» height=«38» src=«dopb127020.zip» v:shapes="_x0000_i1274">0.
Оператор А, действует в пространстве C[<shape id="_x0000_i1275" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image195.wmz» o:><img width=«53» height=«19» src=«dopb127021.zip» v:shapes="_x0000_i1275">], в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:
p (fn(x), f0(x)) = <shape id="_x0000_i1276" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image197.wmz» o:><img width=«38» height=«34» src=«dopb127022.zip» v:shapes="_x0000_i1276">| fn(x) — f0(x)|.
Решение:
p (A xn(t), Ax0(t)) = <shape id="_x0000_i1277" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image199.wmz» o:><img width=«38» height=«34» src=«dopb127023.zip» v:shapes="_x0000_i1277">|Axn(t) — Ax0(t)| = <shape id="_x0000_i1278" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image201.wmz» o:><img width=«38» height=«34» src=«dopb127023.zip» v:shapes="_x0000_i1278">|xn(t)g(t) — x0(t)g(t)| <shape id="_x0000_i1279" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image202.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb126960.zip» v:shapes="_x0000_i1279">  <shape id="_x0000_i1280" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image203.wmz» o:><img width=«38» height=«34» src=«dopb127023.zip» v:shapes="_x0000_i1280">|g(t)| <shape id="_x0000_i1281" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image201.wmz» o:><img width=«38» height=«34» src=«dopb127023.zip» v:shapes="_x0000_i1281">|xn(t) — x0(t)| = <shape id="_x0000_i1282" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image203.wmz» o:><img width=«38» height=«34» src=«dopb127023.zip» v:shapes="_x0000_i1282">|g(t)|p (xn(t), x0(t)) <shape id="_x0000_i1283" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image191.wmz» o:><img width=«36» height=«38» src=«dopb127020.zip» v:shapes="_x0000_i1283"> 0.
Итак, p (A xn(t), Ax0(t)) <shape id="_x0000_i1284" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image191.wmz» o:><img width=«36» height=«38» src=«dopb127020.zip» v:shapes="_x0000_i1284"> 0. Следовательно по определению 2 оператор А является непрерывным, а по теореме 3 он ограничен.
4) Оператор А ограниченный, следовательно у него можно найти норму.
По определению 5: ||A||=<shape id="_x0000_i1285" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image204.wmz» o:><img width=«29» height=«35» src=«dopb127024.zip» v:shapes="_x0000_i1285">|A(f)|.
Решение.
||A||=<shape id="_x0000_i1286" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image204.wmz» o:><img width=«29» height=«35» src=«dopb127024.zip» v:shapes="_x0000_i1286">|A(f)|=<shape id="_x0000_i1287" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image206.wmz» o:><img width=«29» height=«35» src=«dopb126972.zip» v:shapes="_x0000_i1287">|g(t)x(t)|.
|g(t)x(t)| <shape id="_x0000_i1288" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image207.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb126960.zip» v:shapes="_x0000_i1288"> |g(t) <shape id="_x0000_i1289" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image208.wmz» o:><img width=«38» height=«35» src=«dopb127025.zip» v:shapes="_x0000_i1289">x(t)| = |g(t)| |<shape id="_x0000_i1290" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image210.wmz» o:><img width=«38» height=«35» src=«dopb127025.zip» v:shapes="_x0000_i1290">x(t)| <shape id="_x0000_i1291" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image207.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb126960.zip» v:shapes="_x0000_i1291"> <shape id="_x0000_i1292" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image210.wmz» o:><img width=«38» height=«35» src=«dopb127025.zip» v:shapes="_x0000_i1292">|x(t)| |g(t)|.
||A||=<shape id="_x0000_i1293" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image206.wmz» o:><img width=«29» height=«35» src=«dopb126972.zip» v:shapes="_x0000_i1293"> <shape id="_x0000_i1294" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image210.wmz» o:><img width=«38» height=«35» src=«dopb127025.zip» v:shapes="_x0000_i1294">|x(t)| |g(t)| = <shape id="_x0000_i1295" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image206.wmz» o:><img width=«29» height=«35» src=«dopb126972.zip» v:shapes="_x0000_i1295"> ||x(t)|| |g(t)| <shape id="_x0000_i1296" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image207.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb126960.zip» v:shapes="_x0000_i1296"> |g(t)|.
Норма оператора А: ||A|| = |g(t)|.
5) Обратимость оператора А, его спектр и резольвента.
Возьмем произвольное число <shape id="_x0000_i1297" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image211.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb126986.zip» v:shapes="_x0000_i1297"> и составим оператор <shape id="_x0000_i1298" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image212.wmz» o:><img width=«53» height=«20» src=«dopb126984.zip» v:shapes="_x0000_i1298">:
(А-lI) x(t) = (g(t) –l ) х(t).
Чтобы найти обратный оператор, нужно решить уравнение  <shape id="_x0000_i1299" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image213.wmz» o:><img width=«144» height=«24» src=«dopb127026.zip» v:shapes="_x0000_i1299"> относительно функции <shape id="_x0000_i1300" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image215.wmz» o:><img width=«33» height=«24» src=«dopb127027.zip» v:shapes="_x0000_i1300">. Это возможно, если <shape id="_x0000_i1301" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image217.wmz» o:><img width=«59» height=«21» src=«dopb127028.zip» v:shapes="_x0000_i1301"> для любого <shape id="_x0000_i1302" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image219.wmz» o:><img width=«68» height=«24» src=«dopb127029.zip» v:shapes="_x0000_i1302">:
<shape id="_x0000_i1303" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image221.wmz» o:><img width=«235» height=«44» src=«dopb127030.zip» v:shapes="_x0000_i1303">.
Если число <shape id="_x0000_i1304" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image223.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb126986.zip» v:shapes="_x0000_i1304"> не является значение функции g(t), то знаменатель не обращается в 0, и функция <shape id="_x0000_i1305" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image224.wmz» o:><img width=«59» height=«44» src=«dopb127031.zip» v:shapes="_x0000_i1305"> непрерывна на данном отрезке, а, значит, ограничена: существует такое число С, что на всем отрезке <shape id="_x0000_i1306" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image226.wmz» o:><img width=«91» height=«47» src=«dopb127032.zip» v:shapes="_x0000_i1306">. Отсюда следует, что оператор <shape id="_x0000_i1307" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image228.wmz» o:><img width=«76» height=«27» src=«dopb126985.zip» v:shapes="_x0000_i1307"> является ограниченным.
Если же <shape id="_x0000_i1308" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image229.wmz» o:><img width=«57» height=«21» src=«dopb127033.zip» v:shapes="_x0000_i1308">, то оператор <shape id="_x0000_i1309" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image228.wmz» o:><img width=«76» height=«27» src=«dopb126985.zip» v:shapes="_x0000_i1309"> не существует. Следовательно, спектр оператора состоит из всех l = g(t).
Резольвента оператора имеет вид <shape id="_x0000_i1310" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image231.wmz» o:><img width=«181» height=«44» src=«dopb127034.zip» v:shapes="_x0000_i1310">.
Отметим, что точки спектра <shape id="_x0000_i1311" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image233.wmz» o:><img width=«65» height=«24» src=«dopb127035.zip» v:shapes="_x0000_i1311">, <shape id="_x0000_i1312" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image235.wmz» o:><img width=«75» height=«25» src=«dopb127036.zip» v:shapes="_x0000_i1312">, не являются собственными числами. Не существует такой непрерывной функции <shape id="_x0000_i1313" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image215.wmz» o:><img width=«33» height=«24» src=«dopb127027.zip» v:shapes="_x0000_i1313">, для которой <shape id="_x0000_i1314" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image237.wmz» o:><img width=«136» height=«27» src=«dopb127037.zip» v:shapes="_x0000_i1314">, или <shape id="_x0000_i1315" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image239.wmz» o:><img width=«133» height=«45» src=«dopb127038.zip» v:shapes="_x0000_i1315">. Поэтому весь спектр данного оператора является непрерывным.
Вывод:
Оператор A, заданный формулой: Ах(t) = g(t)x(t), где g(t) — функция, непрерывная на [a, b], a,b<shape id="_x0000_i1316" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image190.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb126940.zip» v:shapes="_x0000_i1316">R:
1.             линейный;
2.            непрерывный;
3.            ограниченный, с нормой ||A|| = |g(t)|;
4.            обратим при <shape id="_x0000_i1317" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image217.wmz» o:><img width=«59» height=«21» src=«dopb127028.zip» v:shapes="_x0000_i1317">, для любого <shape id="_x0000_i1318" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image219.wmz» o:><img width=«68» height=«24» src=«dopb127029.zip» v:shapes="_x0000_i1318">;
5.            спектр оператора состоит из всех l = g(t); спектр данного оператора является непрерывным;
6.            резольвента имеет вид <shape id="_x0000_i1319" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image231.wmz» o:><img width=«181» height=«44» src=«dopb127034.zip» v:shapes="_x0000_i1319">.

§5. Оператор интегрирования
Рассмотрим оператор интегрирования, действующий в пространстве непрерывных функций — C[a,b], определенных на отрезке [a,b], заданный следующим образом:
Аf(t) = <shape id="_x0000_i1320" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image001.wmz» o:><img width=«64» height=«60» src=«dopb126938.zip» v:shapes="_x0000_i1320">.
f(t) – функция, непрерывная на [a, b],t <shape id="_x0000_i1321" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image190.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb126940.zip» v:shapes="_x0000_i1321"> [a,x]; x <shape id="_x0000_i1322" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image190.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb126940.zip» v:shapes="_x0000_i1322"> [a,b]; a,b<shape id="_x0000_i1323" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image190.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb126940.zip» v:shapes="_x0000_i1323">R;
Поскольку <shape id="_x0000_i1324" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image241.wmz» o:><img width=«64» height=«60» src=«dopb126938.zip» v:shapes="_x0000_i1324"> - интеграл с переменным верхним пределом, есть функция от верхнего предела – F(x), a <shape id="_x0000_i1325" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image242.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb126960.zip» v:shapes="_x0000_i1325"> x <shape id="_x0000_i1326" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image243.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb126960.zip» v:shapes="_x0000_i1326"> b; Следовательно можно утверждать, что А – оператор.
Проверим оператор A на линейность. По определению 1:
1) Аксиома аддитивности: A(f+g) = A(f) + A(g).
A(f+g) = <shape id="_x0000_i1327" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image244.wmz» o:><img width=«125» height=«60» src=«dopb127039.zip» v:shapes="_x0000_i1327"> = <shape id="_x0000_i1328" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image001.wmz» o:><img width=«64» height=«60» src=«dopb126938.zip» v:shapes="_x0000_i1328"> + <shape id="_x0000_i1329" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image246.wmz» o:><img width=«62» height=«60» src=«dopb127040.zip» v:shapes="_x0000_i1329"> = A(f) + A(g).
2) Аксиома однородности: A(kf) = kA(f).
A(kf) = <shape id="_x0000_i1330" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image248.wmz» o:><img width=«69» height=«60» src=«dopb127041.zip» v:shapes="_x0000_i1330"> = k*<shape id="_x0000_i1331" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image001.wmz» o:><img width=«64» height=«60» src=«dopb126938.zip» v:shapes="_x0000_i1331"> = kA(f).
Исходя из свойств интеграла:
1.            интеграл от суммы, есть сумма интегралов;
2.            вынесение const за знак интеграла.
Можно сделать вывод: оператор А является линейным.
3) Проверим, является ли А непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:
p (fn(t), f0(t)) <shape id="_x0000_i1332" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image191.wmz» o:><img width=«36» height=«38» src=«dopb127020.zip» v:shapes="_x0000_i1332"> 0    <shape id="_x0000_i1333" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image193.wmz» o:><img width=«20» height=«16» src=«dopb126965.zip» v:shapes="_x0000_i1333">    p (A fn(t), Af0(t)) <shape id="_x0000_i1334" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image194.wmz» o:><img width=«36» height=«38» src=«dopb127020.zip» v:shapes="_x0000_i1334">0.
Оператор А, действует в пространстве C[a,b], в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:
p (fn(t), f0(t)) = <shape id="_x0000_i1335" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image250.wmz» o:><img width=«38» height=«35» src=«dopb127042.zip» v:shapes="_x0000_i1335">| fn(t) — f0(t)|.
Решение:
p (A fn(t), Af0(t)) = <shape id="_x0000_i1336" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image252.wmz» o:><img width=«38» height=«35» src=«dopb127042.zip» v:shapes="_x0000_i1336">|<shape id="_x0000_i1337" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image253.wmz» o:><img width=«70» height=«60» src=«dopb127043.zip» v:shapes="_x0000_i1337"> - <shape id="_x0000_i1338" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image255.wmz» o:><img width=«69» height=«60» src=«dopb127044.zip» v:shapes="_x0000_i1338">|.
|<shape id="_x0000_i1339" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image253.wmz» o:><img width=«70» height=«60» src=«dopb127043.zip» v:shapes="_x0000_i1339"> - <shape id="_x0000_i1340" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image255.wmz» o:><img width=«69» height=«60» src=«dopb127044.zip» v:shapes="_x0000_i1340">| = |<shape id="_x0000_i1341" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image257.wmz» o:><img width=«136» height=«60» src=«dopb127045.zip» v:shapes="_x0000_i1341">| <shape id="_x0000_i1342" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image259.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb126960.zip» v:shapes="_x0000_i1342"> <shape id="_x0000_i1343" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image260.wmz» o:><img width=«151» height=«60» src=«dopb127046.zip» v:shapes="_x0000_i1343"> <shape id="_x0000_i1344" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image259.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb126960.zip» v:shapes="_x0000_i1344"> <shape id="_x0000_i1345" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image262.wmz» o:><img width=«187» height=«60» src=«dopb127047.zip» v:shapes="_x0000_i1345"> = p (fn(t), f0(t)) <shape id="_x0000_i1346" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image264.wmz» o:><img width=«33» height=«60» src=«dopb127048.zip» v:shapes="_x0000_i1346"> = p (fn(t), f0(t)) (x-a) <shape id="_x0000_i1347" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image194.wmz» o:><img width=«36» height=«38» src=«dopb127020.zip» v:shapes="_x0000_i1347"> 0
a<shape id="_x0000_i1348" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image259.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb126960.zip» v:shapes="_x0000_i1348">x<shape id="_x0000_i1349" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image259.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb126960.zip» v:shapes="_x0000_i1349">b.
Таким образом p (A fn(t), Af0(t)) <shape id="_x0000_i1350" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image194.wmz» o:><img width=«36» height=«38» src=«dopb127020.zip» v:shapes="_x0000_i1350"> 0. следовательно по определению 2 оператор А непрерывен.
4) Непрерывный оператор является ограниченным (теорема 3):
|<shape id="_x0000_i1351" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image266.wmz» o:><img width=«64» height=«60» src=«dopb127049.zip» v:shapes="_x0000_i1351">| <shape id="_x0000_i1352" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image259.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb126960.zip» v:shapes="_x0000_i1352"> |<shape id="_x0000_i1353" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image001.wmz» o:><img width=«64» height=«60» src=«dopb126938.zip» v:shapes="_x0000_i1353">| <shape id="_x0000_i1354" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image259.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb126960.zip» v:shapes="_x0000_i1354"> |<shape id="_x0000_i1355" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image268.wmz» o:><img width=«64» height=«60» src=«dopb127050.zip» v:shapes="_x0000_i1355">|
|<shape id="_x0000_i1356" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image270.wmz» o:><img width=«64» height=«60» src=«dopb127049.zip» v:shapes="_x0000_i1356">| = 0; |<shape id="_x0000_i1357" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image271.wmz» o:><img width=«64» height=«60» src=«dopb127050.zip» v:shapes="_x0000_i1357">| = |b-a|.
0 <shape id="_x0000_i1358" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image259.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb126960.zip» v:shapes="_x0000_i1358"> |<shape id="_x0000_i1359" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image001.wmz» o:><img width=«64» height=«60» src=«dopb126938.zip» v:shapes="_x0000_i1359">| <shape id="_x0000_i1360" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image259.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb126960.zip» v:shapes="_x0000_i1360"> |b-a|.
5) Оператор А ограниченный, следовательно у него можно найти норму. Найдем норму оператора А (используя определение ||A||=<shape id="_x0000_i1361" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image204.wmz» o:><img width=«29» height=«35» src=«dopb127024.zip» v:shapes="_x0000_i1361">|A(f)|):
||A|| = <shape id="_x0000_i1362" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image204.wmz» o:><img width=«29» height=«35» src=«dopb127024.zip» v:shapes="_x0000_i1362">|A(f)| = <shape id="_x0000_i1363" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image204.wmz» o:><img width=«29» height=«35» src=«dopb127024.zip» v:shapes="_x0000_i1363"> |<shape id="_x0000_i1364" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image001.wmz» o:><img width=«64» height=«60» src=«dopb126938.zip» v:shapes="_x0000_i1364">| <shape id="_x0000_i1365" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image259.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb126960.zip» v:shapes="_x0000_i1365"> <shape id="_x0000_i1366" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image204.wmz» o:><img width=«29» height=«35» src=«dopb127024.zip» v:shapes="_x0000_i1366"><shape id="_x0000_i1367" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image272.wmz» o:><img width=«87» height=«60» src=«dopb127051.zip» v:shapes="_x0000_i1367"> <shape id="_x0000_i1368" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image259.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb126960.zip» v:shapes="_x0000_i1368"> <shape id="_x0000_i1369" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image204.wmz» o:><img width=«29» height=«35» src=«dopb127024.zip» v:shapes="_x0000_i1369"><shape id="_x0000_i1370" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image274.wmz» o:><img width=«51» height=«60» src=«dopb127052.zip» v:shapes="_x0000_i1370"> = (x-a);
a <shape id="_x0000_i1371" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image242.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb126960.zip» v:shapes="_x0000_i1371"> x <shape id="_x0000_i1372" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image243.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb126960.zip» v:shapes="_x0000_i1372"> b;
Норма оператора А: ||A|| = (b-a);
6) Обратимость интегрального оператора и его спектр.
Возьмем пространство S = {f <shape id="_x0000_i1373" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image190.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb126940.zip» v:shapes="_x0000_i1373"> C[0,b] / f(0) = 0} с нормой ||f|| = <shape id="_x0000_i1374" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image276.wmz» o:><img width=«35» height=«35» src=«dopb127053.zip» v:shapes="_x0000_i1374">|f(x)|.
В пространстве S рассмотрим оператор А:
Аf = <shape id="_x0000_i1375" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image278.wmz» o:><img width=«64» height=«60» src=«dopb127054.zip» v:shapes="_x0000_i1375">
x <shape id="_x0000_i1376" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image190.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb126940.zip» v:shapes="_x0000_i1376"> [0,b], t <shape id="_x0000_i1377" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image190.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb126940.zip» v:shapes="_x0000_i1377"> [0,x];
Найдем оператор обратный к (A — <shape id="_x0000_i1378" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image280.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb127004.zip» v:shapes="_x0000_i1378">*I), <shape id="_x0000_i1379" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image281.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb127004.zip» v:shapes="_x0000_i1379"> <shape id="_x0000_i1380" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image190.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb126940.zip» v:shapes="_x0000_i1380"> R;
(A — <shape id="_x0000_i1381" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image282.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb127004.zip» v:shapes="_x0000_i1381">*I)*f = g
<shape id="_x0000_i1382" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image278.wmz» o:><img width=«64» height=«60» src=«dopb127054.zip» v:shapes="_x0000_i1382"> - <shape id="_x0000_i1383" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image281.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb127004.zip» v:shapes="_x0000_i1383">*f(x) = g(x)          (1)
Пусть функции f и g дифференцируемы;
Продифференцируем уравнение (1), получим:
f — <shape id="_x0000_i1384" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image281.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb127004.zip» v:shapes="_x0000_i1384">*f/ = g/           (2)
Это уравнение (2) – дифференциальное неоднородное линейное уравнение. Решим это уравнение, используя метод Бернулли.
<shape id="_x0000_i1385" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image283.wmz» o:><img width=«19» height=«41» src=«dopb127055.zip» v:shapes="_x0000_i1385"> - f/ = <shape id="_x0000_i1386" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image285.wmz» o:><img width=«23» height=«44» src=«dopb127056.zip» v:shapes="_x0000_i1386">
<shape id="_x0000_i1387" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image287.wmz» o:><img width=«23» height=«44» src=«dopb127056.zip» v:shapes="_x0000_i1387"> - <shape id="_x0000_i1388" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image283.wmz» o:><img width=«19» height=«41» src=«dopb127055.zip» v:shapes="_x0000_i1388"> + f/ = 0           (3)
Представим решение уравнения в виде: f(x) = U(x)*V(x), тогда уравнение (3) примет вид:
<shape id="_x0000_i1389" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image288.wmz» o:><img width=«43» height=«44» src=«dopb127057.zip» v:shapes="_x0000_i1389"> - <shape id="_x0000_i1390" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image290.wmz» o:><img width=«17» height=«41» src=«dopb127058.zip» v:shapes="_x0000_i1390">*U*V + U/ *V + U*V/  = 0
U/ *V + U*V/ — <shape id="_x0000_i1391" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image290.wmz» o:><img width=«17» height=«41» src=«dopb127058.zip» v:shapes="_x0000_i1391">*U*V = — <shape id="_x0000_i1392" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image288.wmz» o:><img width=«43» height=«44» src=«dopb127057.zip» v:shapes="_x0000_i1392">
U/ *V + U*(V/ — <shape id="_x0000_i1393" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image290.wmz» o:><img width=«17» height=«41» src=«dopb127058.zip» v:shapes="_x0000_i1393">*V) = — <shape id="_x0000_i1394" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image288.wmz» o:><img width=«43» height=«44» src=«dopb127057.zip» v:shapes="_x0000_i1394">         (4)
Решаем однородное линейное уравнение:
V/ — <shape id="_x0000_i1395" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image290.wmz» o:><img width=«17» height=«41» src=«dopb127058.zip» v:shapes="_x0000_i1395">*V = 0
V/ = <shape id="_x0000_i1396" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image290.wmz» o:><img width=«17» height=«41» src=«dopb127058.zip» v:shapes="_x0000_i1396">*V
<shape id="_x0000_i1397" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image292.wmz» o:><img width=«28» height=«41» src=«dopb127059.zip» v:shapes="_x0000_i1397"> = <shape id="_x0000_i1398" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image290.wmz» o:><img width=«17» height=«41» src=«dopb127058.zip» v:shapes="_x0000_i1398">*V
<shape id="_x0000_i1399" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image294.wmz» o:><img width=«44» height=«61» src=«dopb127060.zip» v:shapes="_x0000_i1399"> = <shape id="_x0000_i1400" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image296.wmz» o:><img width=«37» height=«61» src=«dopb127061.zip» v:shapes="_x0000_i1400">
LnV = <shape id="_x0000_i1401" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image298.wmz» o:><img width=«17» height=«41» src=«dopb127062.zip» v:shapes="_x0000_i1401"> + c
V = <shape id="_x0000_i1402" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image300.wmz» o:><img width=«20» height=«33» src=«dopb127063.zip» v:shapes="_x0000_i1402">*<shape id="_x0000_i1403" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image302.wmz» o:><img width=«17» height=«21» src=«dopb127064.zip» v:shapes="_x0000_i1403">, пусть <shape id="_x0000_i1404" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image302.wmz» o:><img width=«17» height=«21» src=«dopb127064.zip» v:shapes="_x0000_i1404"> = с1
V = с1*<shape id="_x0000_i1405" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image300.wmz» o:><img width=«20» height=«33» src=«dopb127063.zip» v:shapes="_x0000_i1405">
Подставим частное решение однородного уравнения в уравнение (4) при условии, что V/ — <shape id="_x0000_i1406" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image290.wmz» o:><img width=«17» height=«41» src=«dopb127058.zip» v:shapes="_x0000_i1406">*V = 0.
Получим уравнение:
U/ * с1*<shape id="_x0000_i1407" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image300.wmz» o:><img width=«20» height=«33» src=«dopb127063.zip» v:shapes="_x0000_i1407"> = — <shape id="_x0000_i1408" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image288.wmz» o:><img width=«43» height=«44» src=«dopb127057.zip» v:shapes="_x0000_i1408">
<shape id="_x0000_i1409" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image304.wmz» o:><img width=«29» height=«41» src=«dopb127065.zip» v:shapes="_x0000_i1409"> = -<shape id="_x0000_i1410" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image306.wmz» o:><img width=«72» height=«60» src=«dopb127066.zip» v:shapes="_x0000_i1410">
<shape id="_x0000_i1411" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image308.wmz» o:><img width=«42» height=«61» src=«dopb127067.zip» v:shapes="_x0000_i1411"> = — <shape id="_x0000_i1412" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image310.wmz» o:><img width=«43» height=«45» src=«dopb127068.zip» v:shapes="_x0000_i1412">*<shape id="_x0000_i1413" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image312.wmz» o:><img width=«114» height=«61» src=«dopb127069.zip» v:shapes="_x0000_i1413">
U = -<shape id="_x0000_i1414" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image310.wmz» o:><img width=«43» height=«45» src=«dopb127068.zip» v:shapes="_x0000_i1414">*<shape id="_x0000_i1415" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image314.wmz» o:><img width=«114» height=«61» src=«dopb127069.zip» v:shapes="_x0000_i1415">
Подставим U и V в f(x) = U(x)*V(x) и получим:
f(x) = с1*<shape id="_x0000_i1416" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image300.wmz» o:><img width=«20» height=«33» src=«dopb127063.zip» v:shapes="_x0000_i1416">*(-<shape id="_x0000_i1417" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image310.wmz» o:><img width=«43» height=«45» src=«dopb127068.zip» v:shapes="_x0000_i1417">)*<shape id="_x0000_i1418" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image315.wmz» o:><img width=«106» height=«60» src=«dopb127070.zip» v:shapes="_x0000_i1418">
найдем интеграл Y = <shape id="_x0000_i1419" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image314.wmz» o:><img width=«114» height=«61» src=«dopb127069.zip» v:shapes="_x0000_i1419">, интегрируем по частям:
dz = g/(x)dx;
z = <shape id="_x0000_i1420" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image317.wmz» o:><img width=«76» height=«61» src=«dopb127071.zip» v:shapes="_x0000_i1420"> = g(x);
j = <shape id="_x0000_i1421" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image319.wmz» o:><img width=«25» height=«33» src=«dopb127072.zip» v:shapes="_x0000_i1421">;
dj = — <shape id="_x0000_i1422" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image321.wmz» o:><img width=«17» height=«41» src=«dopb127058.zip» v:shapes="_x0000_i1422">*<shape id="_x0000_i1423" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image322.wmz» o:><img width=«25» height=«33» src=«dopb127072.zip» v:shapes="_x0000_i1423">dx;
Y = g(x)* <shape id="_x0000_i1424" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image322.wmz» o:><img width=«25» height=«33» src=«dopb127072.zip» v:shapes="_x0000_i1424"> + <shape id="_x0000_i1425" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image321.wmz» o:><img width=«17» height=«41» src=«dopb127058.zip» v:shapes="_x0000_i1425">*<shape id="_x0000_i1426" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image323.wmz» o:><img width=«108» height=«61» src=«dopb127073.zip» v:shapes="_x0000_i1426">
Подставим полученное значение в выражение f(x), которое примет вид:
f(x) = -<shape id="_x0000_i1427" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image325.wmz» o:><img width=«37» height=«41» src=«dopb127074.zip» v:shapes="_x0000_i1427"> - <shape id="_x0000_i1428" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image327.wmz» o:><img width=«24» height=«41» src=«dopb127075.zip» v:shapes="_x0000_i1428">*<shape id="_x0000_i1429" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image300.wmz» o:><img width=«20» height=«33» src=«dopb127063.zip» v:shapes="_x0000_i1429">*<shape id="_x0000_i1430" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image329.wmz» o:><img width=«98» height=«60» src=«dopb127076.zip» v:shapes="_x0000_i1430">;
Получим оператор В:
Bg = -<shape id="_x0000_i1431" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image325.wmz» o:><img width=«37» height=«41» src=«dopb127074.zip» v:shapes="_x0000_i1431"> - <shape id="_x0000_i1432" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image327.wmz» o:><img width=«24» height=«41» src=«dopb127075.zip» v:shapes="_x0000_i1432">*<shape id="_x0000_i1433" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image300.wmz» o:><img width=«20» height=«33» src=«dopb127063.zip» v:shapes="_x0000_i1433">*<shape id="_x0000_i1434" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image329.wmz» o:><img width=«98» height=«60» src=«dopb127076.zip» v:shapes="_x0000_i1434">;
x <shape id="_x0000_i1435" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image190.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb126940.zip» v:shapes="_x0000_i1435"> [0,b], t <shape id="_x0000_i1436" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image190.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb126940.zip» v:shapes="_x0000_i1436"> [0,x], g(x) <shape id="_x0000_i1437" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image190.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb126940.zip» v:shapes="_x0000_i1437"> S, <shape id="_x0000_i1438" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image331.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb127004.zip» v:shapes="_x0000_i1438"> - произвольное число.
Оператор В не существует, если <shape id="_x0000_i1439" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image331.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb127004.zip» v:shapes="_x0000_i1439"> = 0;
Рассмотрим ограниченность оператора В для всех <shape id="_x0000_i1440" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image331.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb127004.zip» v:shapes="_x0000_i1440"> <shape id="_x0000_i1441" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image190.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb126940.zip» v:shapes="_x0000_i1441"> R, <shape id="_x0000_i1442" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image331.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb127004.zip» v:shapes="_x0000_i1442"> <shape id="_x0000_i1443" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image332.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb127007.zip» v:shapes="_x0000_i1443"> 0;
||Bg|| = ||f(x)|| = <shape id="_x0000_i1444" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image333.wmz» o:><img width=«35» height=«35» src=«dopb127077.zip» v:shapes="_x0000_i1444">|f(x)| = <shape id="_x0000_i1445" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image335.wmz» o:><img width=«35» height=«35» src=«dopb127077.zip» v:shapes="_x0000_i1445">|-<shape id="_x0000_i1446" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image325.wmz» o:><img width=«37» height=«41» src=«dopb127074.zip» v:shapes="_x0000_i1446"> - <shape id="_x0000_i1447" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image327.wmz» o:><img width=«24» height=«41» src=«dopb127075.zip» v:shapes="_x0000_i1447">*<shape id="_x0000_i1448" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image300.wmz» o:><img width=«20» height=«33» src=«dopb127063.zip» v:shapes="_x0000_i1448">*<shape id="_x0000_i1449" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image329.wmz» o:><img width=«98» height=«60» src=«dopb127076.zip» v:shapes="_x0000_i1449">| <shape id="_x0000_i1450" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image336.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb126960.zip» v:shapes="_x0000_i1450"> <shape id="_x0000_i1451" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image335.wmz» o:><img width=«35» height=«35» src=«dopb127077.zip» v:shapes="_x0000_i1451">(|<shape id="_x0000_i1452" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image325.wmz» o:><img width=«37» height=«41» src=«dopb127074.zip» v:shapes="_x0000_i1452">| + |<shape id="_x0000_i1453" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image327.wmz» o:><img width=«24» height=«41» src=«dopb127075.zip» v:shapes="_x0000_i1453">*<shape id="_x0000_i1454" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image300.wmz» o:><img width=«20» height=«33» src=«dopb127063.zip» v:shapes="_x0000_i1454">*<shape id="_x0000_i1455" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image329.wmz» o:><img width=«98» height=«60» src=«dopb127076.zip» v:shapes="_x0000_i1455">|) <shape id="_x0000_i1456" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image336.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb126960.zip» v:shapes="_x0000_i1456"> <shape id="_x0000_i1457" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image335.wmz» o:><img width=«35» height=«35» src=«dopb127077.zip» v:shapes="_x0000_i1457">|<shape id="_x0000_i1458" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image325.wmz» o:><img width=«37» height=«41» src=«dopb127074.zip» v:shapes="_x0000_i1458">| + <shape id="_x0000_i1459" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image335.wmz» o:><img width=«35» height=«35» src=«dopb127077.zip» v:shapes="_x0000_i1459">|<shape id="_x0000_i1460" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image327.wmz» o:><img width=«24» height=«41» src=«dopb127075.zip» v:shapes="_x0000_i1460">*<shape id="_x0000_i1461" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image300.wmz» o:><img width=«20» height=«33» src=«dopb127063.zip» v:shapes="_x0000_i1461">*<shape id="_x0000_i1462" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image329.wmz» o:><img width=«98» height=«60» src=«dopb127076.zip» v:shapes="_x0000_i1462">| <shape id="_x0000_i1463" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image336.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb126960.zip» v:shapes="_x0000_i1463"> <shape id="_x0000_i1464" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image335.wmz» o:><img width=«35» height=«35» src=«dopb127077.zip» v:shapes="_x0000_i1464">|<shape id="_x0000_i1465" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image325.wmz» o:><img width=«37» height=«41» src=«dopb127074.zip» v:shapes="_x0000_i1465">| + <shape id="_x0000_i1466" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image335.wmz» o:><img width=«35» height=«35» src=«dopb127077.zip» v:shapes="_x0000_i1466">|<shape id="_x0000_i1467" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image327.wmz» o:><img width=«24» height=«41» src=«dopb127075.zip» v:shapes="_x0000_i1467">*<shape id="_x0000_i1468" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image300.wmz» o:><img width=«20» height=«33» src=«dopb127063.zip» v:shapes="_x0000_i1468">|*<shape id="_x0000_i1469" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image335.wmz» o:><img width=«35» height=«35» src=«dopb127077.zip» v:shapes="_x0000_i1469">|g(x)* <shape id="_x0000_i1470" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image337.wmz» o:><img width=«25» height=«33» src=«dopb127072.zip» v:shapes="_x0000_i1470">|*|x| <shape id="_x0000_i1471" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image336.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb126960.zip» v:shapes="_x0000_i1471"> <shape id="_x0000_i1472" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image338.wmz» o:><img width=«29» height=«44» src=«dopb127078.zip» v:shapes="_x0000_i1472">*<shape id="_x0000_i1473" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image335.wmz» o:><img width=«35» height=«35» src=«dopb127077.zip» v:shapes="_x0000_i1473">|g(x)| + <shape id="_x0000_i1474" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image340.wmz» o:><img width=«24» height=«41» src=«dopb127075.zip» v:shapes="_x0000_i1474"><shape id="_x0000_i1475" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image335.wmz» o:><img width=«35» height=«35» src=«dopb127077.zip» v:shapes="_x0000_i1475"><shape id="_x0000_i1476" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image300.wmz» o:><img width=«20» height=«33» src=«dopb127063.zip» v:shapes="_x0000_i1476">*<shape id="_x0000_i1477" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image335.wmz» o:><img width=«35» height=«35» src=«dopb127077.zip» v:shapes="_x0000_i1477">|g(x)|* <shape id="_x0000_i1478" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image335.wmz» o:><img width=«35» height=«35» src=«dopb127077.zip» v:shapes="_x0000_i1478">(|<shape id="_x0000_i1479" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image337.wmz» o:><img width=«25» height=«33» src=«dopb127072.zip» v:shapes="_x0000_i1479">|*|x|) <shape id="_x0000_i1480" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image341.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb126960.zip» v:shapes="_x0000_i1480"> <shape id="_x0000_i1481" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image335.wmz» o:><img width=«35» height=«35» src=«dopb127077.zip» v:shapes="_x0000_i1481">|g(x)|*( <shape id="_x0000_i1482" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image338.wmz» o:><img width=«29» height=«44» src=«dopb127078.zip» v:shapes="_x0000_i1482"> + <shape id="_x0000_i1483" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image340.wmz» o:><img width=«24» height=«41» src=«dopb127075.zip» v:shapes="_x0000_i1483">*<shape id="_x0000_i1484" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image335.wmz» o:><img width=«35» height=«35» src=«dopb127077.zip» v:shapes="_x0000_i1484"><shape id="_x0000_i1485" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image300.wmz» o:><img width=«20» height=«33» src=«dopb127063.zip» v:shapes="_x0000_i1485">*<shape id="_x0000_i1486" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image335.wmz» o:><img width=«35» height=«35» src=«dopb127077.zip» v:shapes="_x0000_i1486"><shape id="_x0000_i1487" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image337.wmz» o:><img width=«25» height=«33» src=«dopb127072.zip» v:shapes="_x0000_i1487">*b);
При <shape id="_x0000_i1488" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image331.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb127004.zip» v:shapes="_x0000_i1488"> > 0
<shape id="_x0000_i1489" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image335.wmz» o:><img width=«35» height=«35» src=«dopb127077.zip» v:shapes="_x0000_i1489"><shape id="_x0000_i1490" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image300.wmz» o:><img width=«20» height=«33» src=«dopb127063.zip» v:shapes="_x0000_i1490"> = <shape id="_x0000_i1491" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image342.wmz» o:><img width=«20» height=«33» src=«dopb127079.zip» v:shapes="_x0000_i1491">;
<shape id="_x0000_i1492" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image335.wmz» o:><img width=«35» height=«35» src=«dopb127077.zip» v:shapes="_x0000_i1492"><shape id="_x0000_i1493" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image337.wmz» o:><img width=«25» height=«33» src=«dopb127072.zip» v:shapes="_x0000_i1493"> = 1;
При <shape id="_x0000_i1494" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image331.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb127004.zip» v:shapes="_x0000_i1494"> < 0
<shape id="_x0000_i1495" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image335.wmz» o:><img width=«35» height=«35» src=«dopb127077.zip» v:shapes="_x0000_i1495"><shape id="_x0000_i1496" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image300.wmz» o:><img width=«20» height=«33» src=«dopb127063.zip» v:shapes="_x0000_i1496"> =1;
<shape id="_x0000_i1497" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image335.wmz» o:><img width=«35» height=«35» src=«dopb127077.zip» v:shapes="_x0000_i1497"><shape id="_x0000_i1498" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image337.wmz» o:><img width=«25» height=«33» src=«dopb127072.zip» v:shapes="_x0000_i1498"> = <shape id="_x0000_i1499" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image344.wmz» o:><img width=«25» height=«33» src=«dopb127080.zip» v:shapes="_x0000_i1499">;
Эти оба случая можно записать в общем виде: <shape id="_x0000_i1500" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image346.wmz» o:><img width=«35» height=«31» src=«dopb127081.zip» v:shapes="_x0000_i1500">{1, <shape id="_x0000_i1501" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image348.wmz» o:><img width=«24» height=«35» src=«dopb127082.zip» v:shapes="_x0000_i1501">}, тогда
<shape id="_x0000_i1502" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image335.wmz» o:><img width=«35» height=«35» src=«dopb127077.zip» v:shapes="_x0000_i1502">|g(x)|*( <shape id="_x0000_i1503" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image338.wmz» o:><img width=«29» height=«44» src=«dopb127078.zip» v:shapes="_x0000_i1503"> + <shape id="_x0000_i1504" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image340.wmz» o:><img width=«24» height=«41» src=«dopb127075.zip» v:shapes="_x0000_i1504">*<shape id="_x0000_i1505" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image335.wmz» o:><img width=«35» height=«35» src=«dopb127077.zip» v:shapes="_x0000_i1505"><shape id="_x0000_i1506" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image300.wmz» o:><img width=«20» height=«33» src=«dopb127063.zip» v:shapes="_x0000_i1506">*<shape id="_x0000_i1507" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image335.wmz» o:><img width=«35» height=«35» src=«dopb127077.zip» v:shapes="_x0000_i1507"><shape id="_x0000_i1508" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image337.wmz» o:><img width=«25» height=«33» src=«dopb127072.zip» v:shapes="_x0000_i1508">*b) <shape id="_x0000_i1509" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image341.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb126960.zip» v:shapes="_x0000_i1509"> <shape id="_x0000_i1510" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image335.wmz» o:><img width=«35» height=«35» src=«dopb127077.zip» v:shapes="_x0000_i1510">|g(x)|*( <shape id="_x0000_i1511" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image338.wmz» o:><img width=«29» height=«44» src=«dopb127078.zip» v:shapes="_x0000_i1511"> + <shape id="_x0000_i1512" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image340.wmz» o:><img width=«24» height=«41» src=«dopb127075.zip» v:shapes="_x0000_i1512">*<shape id="_x0000_i1513" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image346.wmz» o:><img width=«35» height=«31» src=«dopb127081.zip» v:shapes="_x0000_i1513">{1, <shape id="_x0000_i1514" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image348.wmz» o:><img width=«24» height=«35» src=«dopb127082.zip» v:shapes="_x0000_i1514">}*b) = ||g(x)||*( <shape id="_x0000_i1515" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image338.wmz» o:><img width=«29» height=«44» src=«dopb127078.zip» v:shapes="_x0000_i1515"> + <shape id="_x0000_i1516" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image340.wmz» o:><img width=«24» height=«41» src=«dopb127075.zip» v:shapes="_x0000_i1516">*<shape id="_x0000_i1517" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image346.wmz» o:><img width=«35» height=«31» src=«dopb127081.zip» v:shapes="_x0000_i1517">{1, <shape id="_x0000_i1518" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image348.wmz» o:><img width=«24» height=«35» src=«dopb127082.zip» v:shapes="_x0000_i1518">}*b);
Итак:
||Bg|| <shape id="_x0000_i1519" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image341.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb126960.zip» v:shapes="_x0000_i1519"> ||g(x)||*( <shape id="_x0000_i1520" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image338.wmz» o:><img width=«29» height=«44» src=«dopb127078.zip» v:shapes="_x0000_i1520"> + <shape id="_x0000_i1521" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image340.wmz» o:><img width=«24» height=«41» src=«dopb127075.zip» v:shapes="_x0000_i1521">*<shape id="_x0000_i1522" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image346.wmz» o:><img width=«35» height=«31» src=«dopb127081.zip» v:shapes="_x0000_i1522">{1, <shape id="_x0000_i1523" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image348.wmz» o:><img width=«24» height=«35» src=«dopb127082.zip» v:shapes="_x0000_i1523">}*b);
То есть В – ограничен.
Осталось проверить, что В – оператор, обратный к (A — <shape id="_x0000_i1524" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image350.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb127004.zip» v:shapes="_x0000_i1524">*I).
Если это так, то произведение этих операторов равно единичному оператору или же (A — <shape id="_x0000_i1525" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image350.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb127004.zip» v:shapes="_x0000_i1525">*I)*(Bg) = g(x).
Итак, нужно доказать, что
<shape id="_x0000_i1526" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image351.wmz» o:><img width=«248» height=«71» src=«dopb127083.zip» v:shapes="_x0000_i1526"> + g(x) + <shape id="_x0000_i1527" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image353.wmz» o:><img width=«25» height=«55» src=«dopb127084.zip» v:shapes="_x0000_i1527">*<shape id="_x0000_i1528" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image355.wmz» o:><img width=«98» height=«60» src=«dopb127076.zip» v:shapes="_x0000_i1528"> = g(x)
или
-<shape id="_x0000_i1529" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image356.wmz» o:><img width=«17» height=«41» src=«dopb127058.zip» v:shapes="_x0000_i1529">*<shape id="_x0000_i1530" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image357.wmz» o:><img width=«62» height=«60» src=«dopb127085.zip» v:shapes="_x0000_i1530"> - <shape id="_x0000_i1531" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image359.wmz» o:><img width=«24» height=«41» src=«dopb127075.zip» v:shapes="_x0000_i1531"><shape id="_x0000_i1532" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image360.wmz» o:><img width=«162» height=«60» src=«dopb127086.zip» v:shapes="_x0000_i1532"> + <shape id="_x0000_i1533" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image356.wmz» o:><img width=«17» height=«41» src=«dopb127058.zip» v:shapes="_x0000_i1533">*<shape id="_x0000_i1534" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image300.wmz» o:><img width=«20» height=«33» src=«dopb127063.zip» v:shapes="_x0000_i1534">*<shape id="_x0000_i1535" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image362.wmz» o:><img width=«98» height=«60» src=«dopb127076.zip» v:shapes="_x0000_i1535"> = 0;    (*)
Возьмем производную от левой части (*) и получим:
-<shape id="_x0000_i1536" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image356.wmz» o:><img width=«17» height=«41» src=«dopb127058.zip» v:shapes="_x0000_i1536">*g(x) — <shape id="_x0000_i1537" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image359.wmz» o:><img width=«24» height=«41» src=«dopb127075.zip» v:shapes="_x0000_i1537">*<shape id="_x0000_i1538" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image300.wmz» o:><img width=«20» height=«33» src=«dopb127063.zip» v:shapes="_x0000_i1538">*<shape id="_x0000_i1539" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image362.wmz» o:><img width=«98» height=«60» src=«dopb127076.zip» v:shapes="_x0000_i1539"> + <shape id="_x0000_i1540" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image327.wmz» o:><img width=«24» height=«41» src=«dopb127075.zip» v:shapes="_x0000_i1540">*<shape id="_x0000_i1541" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image300.wmz» o:><img width=«20» height=«33» src=«dopb127063.zip» v:shapes="_x0000_i1541">*<shape id="_x0000_i1542" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image362.wmz» o:><img width=«98» height=«60» src=«dopb127076.zip» v:shapes="_x0000_i1542"> + <shape id="_x0000_i1543" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image356.wmz» o:><img width=«17» height=«41» src=«dopb127058.zip» v:shapes="_x0000_i1543">*<shape id="_x0000_i1544" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image300.wmz» o:><img width=«20» height=«33» src=«dopb127063.zip» v:shapes="_x0000_i1544">*<shape id="_x0000_i1545" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image337.wmz» o:><img width=«25» height=«33» src=«dopb127072.zip» v:shapes="_x0000_i1545">* g(x) = -<shape id="_x0000_i1546" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image356.wmz» o:><img width=«17» height=«41» src=«dopb127058.zip» v:shapes="_x0000_i1546">*g(x) + <shape id="_x0000_i1547" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image356.wmz» o:><img width=«17» height=«41» src=«dopb127058.zip» v:shapes="_x0000_i1547">*g(x) — <shape id="_x0000_i1548" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image359.wmz» o:><img width=«24» height=«41» src=«dopb127075.zip» v:shapes="_x0000_i1548">*<shape id="_x0000_i1549" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image300.wmz» o:><img width=«20» height=«33» src=«dopb127063.zip» v:shapes="_x0000_i1549">*<shape id="_x0000_i1550" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image362.wmz» o:><img width=«98» height=«60» src=«dopb127076.zip» v:shapes="_x0000_i1550"> + <shape id="_x0000_i1551" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image359.wmz» o:><img width=«24» height=«41» src=«dopb127075.zip» v:shapes="_x0000_i1551">*<shape id="_x0000_i1552" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image300.wmz» o:><img width=«20» height=«33» src=«dopb127063.zip» v:shapes="_x0000_i1552">*<shape id="_x0000_i1553" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image362.wmz» o:><img width=«98» height=«60» src=«dopb127076.zip» v:shapes="_x0000_i1553"> = 0;
Следовательно, выражение (*) = const. Но, так как при x=0 выражение (*) (точнее его левая часть) равно 0, то и const=0. Значит В – обратный оператор к (A — <shape id="_x0000_i1554" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image363.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb127004.zip» v:shapes="_x0000_i1554">*I) в S.
Итак, мы получили ограниченный оператор В, обратный к (A — <shape id="_x0000_i1555" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image363.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb127004.zip» v:shapes="_x0000_i1555">*I), который существует при <shape id="_x0000_i1556" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image364.wmz» o:><img width=«16» height=«17» src=«dopb126962.zip» v:shapes="_x0000_i1556"> <shape id="_x0000_i1557" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image363.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb127004.zip» v:shapes="_x0000_i1557"> <shape id="_x0000_i1558" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image365.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb126940.zip» v:shapes="_x0000_i1558"> R, за исключением <shape id="_x0000_i1559" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image363.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb127004.zip» v:shapes="_x0000_i1559">=0, то есть все возможные <shape id="_x0000_i1560" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image363.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb127004.zip» v:shapes="_x0000_i1560"><shape id="_x0000_i1561" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image366.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb127007.zip» v:shapes="_x0000_i1561">0 – это регулярные точки оператора А; Сам же оператор В – резольвента оператора А. Спектр оператора А – значение <shape id="_x0000_i1562" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image363.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb127004.zip» v:shapes="_x0000_i1562"> при которых В не существует, то есть <shape id="_x0000_i1563" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image363.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb127004.zip» v:shapes="_x0000_i1563">=0.
Вывод:
Оператор интегрирования, действующий в пространстве непрерывных функций – C[a,b], определенных на отрезке [a,b], заданный следующим образом: Аf(t) = <shape id="_x0000_i1564" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image001.wmz» o:><img width=«64» height=«60» src=«dopb126938.zip» v:shapes="_x0000_i1564">, где f(t) – функция, непрерывная на [a, b], t <shape id="_x0000_i1565" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image190.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb126940.zip» v:shapes="_x0000_i1565"> [a,x]; x <shape id="_x0000_i1566" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image190.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb126940.zip» v:shapes="_x0000_i1566"> [a,b]; a,b<shape id="_x0000_i1567" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image190.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb126940.zip» v:shapes="_x0000_i1567">R:
1.            линейный;
2.            непрерывный;
3.            ограниченный: 0 <shape id="_x0000_i1568" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image259.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb126960.zip» v:shapes="_x0000_i1568"> |<shape id="_x0000_i1569" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image001.wmz» o:><img width=«64» height=«60» src=«dopb126938.zip» v:shapes="_x0000_i1569">| <shape id="_x0000_i1570" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image259.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb126960.zip» v:shapes="_x0000_i1570"> |b-a|;
4.            норма A: ||A|| = (b-a);
5.             резольвента оператора А: R<shape id="_x0000_i1571" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image363.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb127004.zip» v:shapes="_x0000_i1571">(A) = -<shape id="_x0000_i1572" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image325.wmz» o:><img width=«37» height=«41» src=«dopb127074.zip» v:shapes="_x0000_i1572"> - <shape id="_x0000_i1573" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image327.wmz» o:><img width=«24» height=«41» src=«dopb127075.zip» v:shapes="_x0000_i1573">*<shape id="_x0000_i1574" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image300.wmz» o:><img width=«20» height=«33» src=«dopb127063.zip» v:shapes="_x0000_i1574">*<shape id="_x0000_i1575" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image329.wmz» o:><img width=«98» height=«60» src=«dopb127076.zip» v:shapes="_x0000_i1575">, где
x <shape id="_x0000_i1576" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image190.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb126940.zip» v:shapes="_x0000_i1576"> [0,b], t <shape id="_x0000_i1577" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image190.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb126940.zip» v:shapes="_x0000_i1577"> [0,x], g(x) <shape id="_x0000_i1578" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image190.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb126940.zip» v:shapes="_x0000_i1578"> S, S = {f <shape id="_x0000_i1579" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image190.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb126940.zip» v:shapes="_x0000_i1579"> C[0,b] / f(0) = 0} с нормой ||f||=<shape id="_x0000_i1580" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image276.wmz» o:><img width=«35» height=«35» src=«dopb127053.zip» v:shapes="_x0000_i1580">|f(x)|, g(x) = <shape id="_x0000_i1581" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image278.wmz» o:><img width=«64» height=«60» src=«dopb127054.zip» v:shapes="_x0000_i1581"> - <shape id="_x0000_i1582" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image281.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb127004.zip» v:shapes="_x0000_i1582">*f(x), <shape id="_x0000_i1583" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image331.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb127004.zip» v:shapes="_x0000_i1583"> — произвольное число.
6.            Спектр оператора А: <shape id="_x0000_i1584" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image363.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb127004.zip» v:shapes="_x0000_i1584">=0.

§6. Оператор дифференцирования.
Рассмотрим оператор дифференцирования Д действующий в пространстве дифференцируемых функций – D[a,b], заданный следующим образом:
Дf(x) = f/(x);
Функция f(x) <shape id="_x0000_i1585" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image007.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb126940.zip» v:shapes="_x0000_i1585"> D[a, b], f/(x) <shape id="_x0000_i1586" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image008.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb126940.zip» v:shapes="_x0000_i1586"> C[a, b];
Проверим оператор Д на линейность, по определению 1:
1) Аксиома аддитивности: Д(f+g) = Д(f) + Д(g).
Д(f+g) = (f+g)/ = f/ + g/ = Д(f) + Д(g).
2) Аксиома однородности: Д(kf) = kД(f).
Д(kf) = (kf)/ = k(f)/ = kД(f).
Исходя из свойств производной:
1.            производная от алгебраической суммы нескольких функций равна алгебраической сумме их производных;
2.            постоянный множитель можно вынести за знак производной.
Можно утверждать, что Д – линейный оператор.
3) Для линейных операторов ограниченность и непрерывность оператора эквивалентны, это следует из теоремы 3.
3.1) Для начала покажем, что Д не является непрерывным оператором.
Задан оператор Дf(x) = f/(x) подпространства E <shape id="_x0000_i1587" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image367.wmz» o:><img width=«16» height=«13» src=«dopb126952.zip» v:shapes="_x0000_i1587"> C[0, 2<shape id="_x0000_i1588" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image368.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb127087.zip» v:shapes="_x0000_i1588">], состоящего из непрерывно дифференцируемых функций, в пространство C[0, 2<shape id="_x0000_i1589" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image368.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb127087.zip» v:shapes="_x0000_i1589">].
Рассмотрим f0(x) = 0 <shape id="_x0000_i1590" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image007.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb126940.zip» v:shapes="_x0000_i1590"> C[0, 2<shape id="_x0000_i1591" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image368.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb127087.zip» v:shapes="_x0000_i1591">] и последовательность функций fn(x)=<shape id="_x0000_i1592" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image370.wmz» o:><img width=«56» height=«41» src=«dopb127088.zip» v:shapes="_x0000_i1592">.
В пространстве E <shape id="_x0000_i1593" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image367.wmz» o:><img width=«16» height=«13» src=«dopb126952.zip» v:shapes="_x0000_i1593"> C[0, 2<shape id="_x0000_i1594" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image368.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb127087.zip» v:shapes="_x0000_i1594">]: p (f0, fn) = <shape id="_x0000_i1595" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image372.wmz» o:><img width=«46» height=«35» src=«dopb127089.zip» v:shapes="_x0000_i1595">|<shape id="_x0000_i1596" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image370.wmz» o:><img width=«56» height=«41» src=«dopb127088.zip» v:shapes="_x0000_i1596">| = <shape id="_x0000_i1597" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image374.wmz» o:><img width=«16» height=«41» src=«dopb126968.zip» v:shapes="_x0000_i1597"> <shape id="_x0000_i1598" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image375.wmz» o:><img width=«20» height=«15» src=«dopb126950.zip» v:shapes="_x0000_i1598"> 0, следовательно fn <shape id="_x0000_i1599" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image376.wmz» o:><img width=«20» height=«15» src=«dopb126950.zip» v:shapes="_x0000_i1599"> f0.
Рассмотрим последовательность образов: Д(fn) = cos(nx).
Имеем:
p (Дfn, Дf0) = <shape id="_x0000_i1600" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image372.wmz» o:><img width=«46» height=«35» src=«dopb127089.zip» v:shapes="_x0000_i1600">|cos(nx)| <shape id="_x0000_i1601" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image377.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb126981.zip» v:shapes="_x0000_i1601"> <shape id="_x0000_i1602" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image378.wmz» o:><img width=«69» height=«41» src=«dopb127090.zip» v:shapes="_x0000_i1602"> = 1.
Это означает, что Дfn не может сходиться к Дf0, то есть отображение Д терпит разрыв в f0.
Поскольку оператор не является непрерывным, то, следовательно, он и не является ограниченным.
3.2) Теперь покажем, как из неограниченности оператора следует его разрывность.
Пусть оператор Д действует из C[0, 1] в C[0, 1], оператор Дf(x) = f/(x);
Этот оператор определен не на всем пространстве непрерывных функций, а лишь на подпространстве непрерывных функций, имеющих непрерывную производную.
В пространстве C[0, 1] норма ||f|| = <shape id="_x0000_i1603" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image380.wmz» o:><img width=«37» height=«35» src=«dopb127091.zip» v:shapes="_x0000_i1603">|f(t)|.
Возьмем из C[0, 1] последовательность fn(t) = tn. Она ограничена в C[0, 1]: ||fn(t)|| = <shape id="_x0000_i1604" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image380.wmz» o:><img width=«37» height=«35» src=«dopb127091.zip» v:shapes="_x0000_i1604">|tn| = 1.
Рассмотрим Д fn(t): Д fn(t) = f/n(t) = n tn-1;
||f/n(t)|| = <shape id="_x0000_i1605" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image380.wmz» o:><img width=«37» height=«35» src=«dopb127091.zip» v:shapes="_x0000_i1605">|n tn-1| = n.
В результате получили, что оператор Д переводит ограниченное множество в неограниченное, значит, по определению этот оператор не является ограниченным, а по теореме 3 не является непрерывным.
Вывод:
Оператор дифференцирования Д действующий в пространстве дифференцируемых функций – D[a,b], заданный следующим образом: Дf(x)=f/(x), где функция f(x) <shape id="_x0000_i1606" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image007.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb126940.zip» v:shapes="_x0000_i1606"> D[a, b], f/(x) <shape id="_x0000_i1607" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image008.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb126940.zip» v:shapes="_x0000_i1607"> C[a, b]:
1.            линейный;
2.            не ограниченный;
3.            не непрерывный.

§7. Оператор сдвига
Рассмотрим оператор А, действующий в пространстве непрерывных и ограниченных функций – C[<shape id="_x0000_i1608" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image195.wmz» o:><img width=«53» height=«19» src=«dopb127021.zip» v:shapes="_x0000_i1608">], заданный следующим образом:
Af(x) = f(x+a).
Функции f(x), f(x+a) <shape id="_x0000_i1609" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image382.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb126940.zip» v:shapes="_x0000_i1609"> C[<shape id="_x0000_i1610" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image195.wmz» o:><img width=«53» height=«19» src=«dopb127021.zip» v:shapes="_x0000_i1610">], a <shape id="_x0000_i1611" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image383.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb126940.zip» v:shapes="_x0000_i1611"> R, f(x+a) – непрерывная и ограниченная функция.
Покажем линейность оператора А, по определению 1 должны выполняться следующие аксиомы:
1) Аксиома аддитивности: А(f+g) = А(f) + А(g).
А(f+g) = (f+g)(x+a) = f(x+a) + g(x+a) = А(f) + А(g).
По определению суммы функции, аксиома верна.
2) Аксиома однородности: А(kf) = kА(f).
A(k*f(x)) = k*f(x+a) = k*A(f(x)).
Аксиомы 1 и 2 верны, следовательно можно сделать вывод, что А – линейный оператор.
3) Проверим является ли оператор A непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:
p (fn(x), f0(x)) <shape id="_x0000_i1612" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image191.wmz» o:><img width=«36» height=«38» src=«dopb127020.zip» v:shapes="_x0000_i1612"> 0    <shape id="_x0000_i1613" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image193.wmz» o:><img width=«20» height=«16» src=«dopb126965.zip» v:shapes="_x0000_i1613">    p (A fn(x), Af0(x)) <shape id="_x0000_i1614" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image194.wmz» o:><img width=«36» height=«38» src=«dopb127020.zip» v:shapes="_x0000_i1614">0.
Оператор А действует в пространстве C[<shape id="_x0000_i1615" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image195.wmz» o:><img width=«53» height=«19» src=«dopb127021.zip» v:shapes="_x0000_i1615">], в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:
p (fn(x), f0(x)) = <shape id="_x0000_i1616" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image197.wmz» o:><img width=«38» height=«34» src=«dopb127022.zip» v:shapes="_x0000_i1616">| fn(x) — f0(x)|.
Решение:
p (A fn(x), Af0(x)) = <shape id="_x0000_i1617" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image384.wmz» o:><img width=«38» height=«34» src=«dopb127022.zip» v:shapes="_x0000_i1617">|Afn(x) — Af0(x)| = <shape id="_x0000_i1618" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image384.wmz» o:><img width=«38» height=«34» src=«dopb127022.zip» v:shapes="_x0000_i1618">|fn(x+a) — f0(x+a)| = <shape id="_x0000_i1619" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image385.wmz» o:><img width=«68» height=«75» src=«dopb127092.zip» v:shapes="_x0000_i1619"> = <shape id="_x0000_i1620" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image203.wmz» o:><img width=«38» height=«34» src=«dopb127023.zip» v:shapes="_x0000_i1620">|fn(t) — f0(t)| = p (fn(t), f0(t)) <shape id="_x0000_i1621" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image191.wmz» o:><img width=«36» height=«38» src=«dopb127020.zip» v:shapes="_x0000_i1621"> 0.
Таким образом p (A fn(x), Af0(x)) <shape id="_x0000_i1622" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image191.wmz» o:><img width=«36» height=«38» src=«dopb127020.zip» v:shapes="_x0000_i1622"> 0. Следовательно оператор А непрерывен.
4) Непрерывный оператор является ограниченным, а у ограниченного оператора есть норма, найдем норму оператора А (по определению 5):
||A|| = <shape id="_x0000_i1623" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image387.wmz» o:><img width=«29» height=«35» src=«dopb127024.zip» v:shapes="_x0000_i1623">|Af| = <shape id="_x0000_i1624" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image388.wmz» o:><img width=«29» height=«35» src=«dopb127024.zip» v:shapes="_x0000_i1624">|f(x+a)| <shape id="_x0000_i1625" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image389.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb126960.zip» v:shapes="_x0000_i1625"> 1.
Поскольку ||f|| = <shape id="_x0000_i1626" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image390.wmz» o:><img width=«38» height=«34» src=«dopb127022.zip» v:shapes="_x0000_i1626">|f(x)| <shape id="_x0000_i1627" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image391.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb126960.zip» v:shapes="_x0000_i1627"> 1.
Норма А: ||A|| = 1.
5) Обратимость оператора А: Af(x) = f(x+a)
Такой оператор A сдвигает функцию на const a; обратный к A оператор будет сдвигать функцию на const (-a):
A-1f(x) = f(x-a).
6) Спектр оператора А.
Рассмотрим пространство непрерывных функций – С[0, +<shape id="_x0000_i1628" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image392.wmz» o:><img width=«16» height=«13» src=«dopb126941.zip» v:shapes="_x0000_i1628">), имеющих конечный предел на <shape id="_x0000_i1629" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image392.wmz» o:><img width=«16» height=«13» src=«dopb126941.zip» v:shapes="_x0000_i1629">:
Af(x) = f(x+a), a<shape id="_x0000_i1630" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image393.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb126981.zip» v:shapes="_x0000_i1630">0.
Вопрос о спектре оператора А касается разрешимости в пространствах С[0,b) и С[а,+<shape id="_x0000_i1631" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image392.wmz» o:><img width=«16» height=«13» src=«dopb126941.zip» v:shapes="_x0000_i1631">).
Введем функцию V(x) = <shape id="_x0000_i1632" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image394.wmz» o:><img width=«20» height=«33» src=«dopb127093.zip» v:shapes="_x0000_i1632"> при |<shape id="_x0000_i1633" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image396.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb127004.zip» v:shapes="_x0000_i1633">|<1, <shape id="_x0000_i1634" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image397.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb127004.zip» v:shapes="_x0000_i1634"><shape id="_x0000_i1635" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29062.files/image398.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb127007.zip» v:shapes="_x0000_i1635">0, найдем ее предел:
    продолжение
--PAGE_BREAK--