Реферат: Приложения производной

--PAGE_BREAK--1. Понятие производной
  При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом

<img width=«161» height=«48» src=«ref-1_296767644-423.coolpic» v:shapes="_x0000_i1031">

  Тот процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую функцию f ' (x), называют дифференцированием и состоит он из следующих трех шагов:
  1) даем аргументу x приращение D
xи определяем соответствующее приращение функции D
y = f(x+
D
x) -f(x);
  2) составляем отношение<img width=«166» height=«45» src=«ref-1_296768067-425.coolpic» v:shapes="_x0000_i1032">

  3) считая x постоянным, а D
x¦, находим<img width=«158» height=«45» src=«ref-1_296768492-422.coolpic» v:shapes="_x0000_i1033">, который обозначаем через f ' (x), как бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь от того значения x, при котором мы переходим к пределу.
  Определение: Производной y ' =f ' (x) данной функции y=f(x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен.
  Таким образом,<img width=«212» height=«45» src=«ref-1_296768914-509.coolpic» v:shapes="_x0000_i1034">,  или  <img width=«85» height=«45» src=«ref-1_296769423-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1035">

  Заметим, что если при некотором значении x, например при x=a, отношение<img width=«127» height=«45» src=«ref-1_296769706-343.coolpic» v:shapes="_x0000_i1036">при D
x¦не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят, что функция f(x) при x=a (или в точке x=a) не имеет производной или не дифференцируема в точке x=a.
2. Геометрический смысл производной.
Рассмотрим график функции у = f(х), дифференцируемой в окрест­ностях точки x

  <img width=«199» height=«5» src=«ref-1_296770049-161.coolpic» v:shapes="_x0000_s1244"><img width=«384» height=«193» src=«ref-1_296770210-11487.coolpic» v:shapes="_x0000_i1037">

Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку гра­фика функции — точку А(x0, f(х0)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ∆АВС: АС = ∆x;          ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.

Так как АС || Ox, то ÐALO= ÐBAC= β(как соответственные при параллельных). Но ÐALO — это угол наклона секущей АВ к положи­тельному направлению оси Ох. Значит, tgβ= k— угловой коэффициент прямой АВ.

Теперь будем уменьшать ∆х, т.е. ∆х→ 0. При этом точка В будет прибли­жаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Пре­дельным положением секущей АВ при ∆х→ 0 будет прямая (a), называемая касательной к графику функции у = f(х) в точке А.

Если перейти к пределу при ∆х → 0 в равенстве tgβ=∆y/∆x, то получим<img width=«130» height=«46» src=«ref-1_296781697-410.coolpic» v:shapes="_x0000_i1038"> или tga=f '(x), так как <img width=«108» height=«33» src=«ref-1_296782107-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1039"> a-угол накло­на касательной к положительному направлению оси Ох <img width=«123» height=«46» src=«ref-1_296782400-365.coolpic» v:shapes="_x0000_i1040">, по  определению производной. Но tga= k — угловой коэффициент каса­тельной, значит,  k = tga= f'(x).

Итак, геометрический смысл производной заключается в следую­щем:

Производная функции в точке x0равна угловому коэффициенту ка­сательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x0.


    продолжение
--PAGE_BREAK--3. Физический смысл производной.


  Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость за промежуток времени [t; t+ ∆t] равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е.

Vср = ∆x/∆t. Перейдем к пределу в последнем равенстве   при ∆t→ 0.

limVср (t) = n(t) — мгновенная скорость в момент времени t,  ∆t→ 0.

а lim  = ∆x/∆t= x'(t)(по определению производной).

Итак, n(t) =x'(t).

Физический смысл производной заключается в следующем: произ­водная функции
y
=
f
(
x
) в точке
x

— это скорость изменения функции
f
(х) в точке
x



Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени.

u(t) = x'(t) — скорость,

a(f) = n'(t) — ускорение, или

a(t) = x"(t).

Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращатель­ном движении:

φ= φ(t) — изменение угла от времени,

ω= φ'(t) — угловая скорость,

ε  = φ'(t) — угловое ускорение, или ε= φ"(t).

Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня:

m= m(х) — масса,

xÎ[0; l], l— длина стержня,

р = m'(х) — линейная плотность.

С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических колебаний. Так, по закону Гука

F= -kx, x– переменная координата, k— коэффициент упругости пружины. Положив ω2=k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника х"(t) + ω2x(t) = 0,

где ω= √k/√mчастота колебаний (l/c), k — жесткость пружины (H/m).

Уравнение вида у" + ω2y= 0 называется уравнением гармонических колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решени­ем таких уравнений является функция

у = Asin(ωt+ φ) или у = Acos(ωt+ φ), где

А — амплитуда колебаний, ω— циклическая частота,

φ0 — начальная фаза.


4. Правила дифференцирования
(C)’= 0     С=const

<img width=«133» height=«47» src=«ref-1_296782765-326.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041">

<img width=«265» height=«24» src=«ref-1_296783091-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1042">

<img width=«144» height=«47» src=«ref-1_296783541-343.coolpic» v:shapes="_x0000_i1043">


(cosx)'=-sinx

<img width=«112» height=«41» src=«ref-1_296783884-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1044">

(sinx)'=cosx

<img width=«129» height=«41» src=«ref-1_296784183-304.coolpic» v:shapes="_x0000_i1045">

(tgx)'=<img width=«47» height=«41» src=«ref-1_296784487-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046">


(ах)'=аxlna

(ctgx)'=-<img width=«45» height=«41» src=«ref-1_296784659-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047">


(ех)'=ex

<img width=«297» height=«41» src=«ref-1_296784826-567.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048">






<img width=«108» height=«29» src=«ref-1_296785393-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049">                                    <img width=«109» height=«52» src=«ref-1_296785629-341.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050">      

<img width=«107» height=«29» src=«ref-1_296785970-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051">                                     <img width=«169» height=«21» src=«ref-1_296786218-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052">

Производная степенно-показательной функции


<img width=«87» height=«25» src=«ref-1_296786539-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053">, где <img width=«59» height=«23» src=«ref-1_296786774-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054">.

<img width=«293» height=«48» src=«ref-1_296786946-796.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055">.

Логарифмическое дифференцирование.Пусть дана функция <img width=«57» height=«19» src=«ref-1_296787742-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056">. При этом предполагается, что функция <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_296787891-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057"> не обращается в нуль в точке <img width=«43» height=«24» src=«ref-1_296788017-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058">. Покажем один из способов нахождения производной функции <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_296788137-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059">, если <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_296787891-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060"> очень сложная функция и по обычным правилам диф­фе­рен­цирования найти производную затруднительно.

Так как по первоначальному предположению <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_296787891-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061"> не равна нулю в точке, где ищется ее производная, то найдем новую функцию <img width=«70» height=«19» src=«ref-1_296788522-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062"> и  вычислим ее производную

<img width=«223» height=«42» src=«ref-1_296788694-560.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063">     (1)

Отношение <img width=«37» height=«39» src=«ref-1_296789254-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064"> называется логарифмической производной функции <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_296787891-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065">. Из формулы (1) получаем

<img width=«107» height=«21» src=«ref-1_296789568-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066">.   Или   <img width=«151» height=«29» src=«ref-1_296789793-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067">      

Формула (2) дает простой способ нахождения производной функции <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_296788137-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068">.


    продолжение
--PAGE_BREAK--5. Производные высших порядков
  Ясно, что производная<img width=«187» height=«45» src=«ref-1_296790266-460.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069">функции y =f (x) есть также функция от x:<img width=«71» height=«21» src=«ref-1_296790726-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">


 


  Если функция f ' (x) дифференцируема, то её производная обозначается символом y'' =f '' (x) и называется второй производной функции f(x) или производной функции f(x) второго порядка. Пользуясь обозначением<img width=«53» height=«41» src=«ref-1_296790888-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071">можем написать <img width=«125» height=«65» src=«ref-1_296791081-464.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072">

  Очень удобно пользоваться также обозначением<img width=«33» height=«44» src=«ref-1_296791545-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073">, указывающим, что функция y=f(x) была продифференцирована по x два раза.
  Производная второй производной, т.е. функции y''=f '' (x) , называется третьей производной функции y=f(x) или производной функции f(x) третьего порядка и обозначается символами<img width=«116» height=«44» src=«ref-1_296791720-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074">.

  Вообще n-я производная или производная n-го порядка функции y=f(x) обозначается символами<img width=«221» height=«44» src=«ref-1_296792040-514.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">

Дифференцируя производную первого порядка, можно получить производную второго порядка, а, дифференцируя полученную функцию, получаем производную третьего порядка и т.д. Тогда возникает вопрос: сколько производных высших порядков можно получить в случае произвольной функции.

Например:

1)   <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_296792554-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076">;  <img width=«76» height=«24» src=«ref-1_296792686-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">;  <img width=«125» height=«24» src=«ref-1_296792855-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">; ...; 

<img width=«191» height=«24» src=«ref-1_296793098-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079">;   <img width=«63» height=«24» src=«ref-1_296793418-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080">.

Разные функции ведут себя по-разному при многократном дифференцировании. Одни имеют конечное количество производных высших порядков, другие – переходят сами в себя, а третьи, хотя и дифференцируемы бесконечное количество раз, но порождают новые функции, отличные от исходной.

Однако все сформулированные теоремы о производных первых порядков выполняются для производных высших порядков.
6. Изучение функции с помощью производной 6.1.Возрастание и убывание функции. Экстремум функции.
  Определение 1. Функция f(x) называется возрастающей в интервале (a,b), если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f(x) также возрастают, т.е. если f(x2) > f(x1) при x2 > x1.

<img width=«231» height=«181» src=«ref-1_296793584-2412.coolpic» alt=«возрастающая функция» v:shapes="_x0000_i1081">

Рис.1 (а)

<img width=«248» height=«181» src=«ref-1_296795996-2396.coolpic» alt=«убывающая функция» v:shapes="_x0000_i1082">

Рис.1 (б)

  Из этого определения следует, что у возрастающей в интервале (a,b) функции f(x) в любой точке этого интервала приращения Dxи Dyимеют одинаковые знаки.
  График возрастающей функции показан на рисунке1(а).
  Если из неравенства x2 > x1 вытекает нестрогое неравенство f (x2) ³f (x1), то функция f (x) называется неубывающей в интервале (a, b ). Пример такой функции показан на рисунке 2(а). На интервале [x0, x1] она сохраняет постоянное значение C
  Определение 2. Функция f (x) называется убывающей в интервале ( a, b ) если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f (x) убывают, т.е. если f(x2) < f(x1) при x2 > x1.

  Из этого определения следует, что у убывающей в интервале ( a, b ) функции f (x) в любой точке этого интервала приращения Dxи Dyимеют разные знаки.  График убывающей функции показан на рисунке 1(б).
  

<img width=«208» height=«191» src=«ref-1_296798392-4448.coolpic» v:shapes="_x0000_s1359 _x0000_s1360 _x0000_s1361">Если из неравенства x2 > x1 вытекает нестрогое неравенство f(x2) £
  f(x1), то функция f (x) называется невозрастающей в интервале ( a, b ). Пример такой функции показан на рисунке 2(б). На интервале [x0, x1] она сохраняет постоянное значение C.

<img width=«208» height=«194» src=«ref-1_296802840-1525.coolpic» v:shapes="_x0000_s1356 _x0000_s1357 _x0000_s1358">  Теорема 1. Дифференцируемая и возрастающая в интервале ( a, b ) функция f (x) имеет во всех точках этого интервала неотрицательную производную.
    Теорема 2. Дифференцируемая и убывающая в интервале ( a, b ) функция f (x) имеет во всех точках этого интервала неположительную производную.

<img width=«208» height=«171» src=«ref-1_296804365-3348.coolpic» v:shapes="_x0000_s1353 _x0000_s1354 _x0000_s1355"><img width=«208» height=«145» src=«ref-1_296807713-3946.coolpic» v:shapes="_x0000_s1362 _x0000_s1363 _x0000_s1364">  Пусть данная непрерывная функция убывает при возрастании x от x0до x1, затем при возрастании x от x1 до x2 — возрастает, при дальнейшем возрастании x от x2 до x3 она вновь убывает и так далее. Назовем такую функцию колеблющейся.
  График колеблющейся функции показан на рисунке 3. Точки A, C, в которых функция переходит от возрастания к убыванию, так же, как и точки B, D, в которых функция переходит от убывания к возрастанию, называются точками поворота или критическими точками кривой y = f (x), а их абциссы — критическими значениями аргумента x
  В той точке, где функция переходит от возрастания к убыванию, ордината больше соседних с ней по ту и другую сторону ординат. Так, ордината точки A больше ординат, соседних с ней справа и слева и достаточно к ней близких, т.е. значение функции в точке A, абсцисса которой равна x0, больше значений функции в точках, абсциссы которых достаточно близки к x0: f (x0) > f (x0+∆x).

<img width=«208» height=«167» src=«ref-1_296811659-4162.coolpic» v:shapes="_x0000_s1365 _x0000_s1366 _x0000_s1367">  На рисунке 4(a) изображена функция f (x), непрерывная в интервале ( a, b ). В интервале ( a, x0 ] она возрастает, на интервале [ x0 , x1 ] — сохраняет постоянное значение: f (x0) = f (x1) = C, в интервале [ x1 , b ) — убывает. Во всех точках, достаточно близких к x0 (или x1 ), значения функции f (x) удовлетворяют нестрогому неравенству f (x0)³f (x).

Значение f (x0) функции f (x), при котором выполняется вышеуказанное неравенство, называется максимальным значением функции f (x) или просто максимумом.
  Определение 3. Максимумом функции f (x) называется такое значение f (x0) этой функции, которое не меньше всех значений функции f (x) в точках x, достаточно близких к точке x0, т.е. в точках x,

принадлежащих некоторой достаточно малой окрестности точки x0 .
  Так, на рисунке 3 показаны два максимума: f (x0) и f (x2) .
  В той точке, где функция переходит от убывания к возрастанию, ордината меньше ординат в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от нее. Так ордината точки B меньше ординат в точках соседних и достаточно близких к точке x1 справа и слева. Значение функции в точке, абсцисса которой равна x1, меньше значений функции в точках, абсциссы которых достаточно мало отличаются от x1: f (x1) < f (x1+Dx).

  На рисунке 4(б) изображена функция f (x), непрерывная в интервале ( a, b ). В интервале ( a, x0 ] она убывает, на интервале [ x0 , x1 ] — сохраняет постоянное значение: f (x0) = f (x1) = C, в интервале [ x1 , b ) — возрастает. Во всех точках, достаточно близких к x0 (или x1 ), значения функции f (x) удовлетворяют нестрогому неравенству f (x0)£f (x).

  Значение f (x0) функции f (x), при котором выполняется вышеуказанное неравенство, называется минимальным значением функции f (x) или просто минимумом.
  Определение 4. Минимумом функции f (x) называется такое значение f (x0) этой функции, которое не больше всех значений функции f (x) в точках x, достаточно близких к точке x0, т.е. в точках x, принадлежащих некоторой

--PAGE_BREAK--6.2.Достаточные условия убывания и возрастания функции. Достаточные условия экстремума функции.
   Теорема 4.Если функция f(x) имеет в каждой точке интервала (a, b) неотрицательную производную, то она является неубывающей функцией в этом интервале.
   Теорема 5. Если функция f(x) в каждой точке интервала (a, b) имеет неположительную производную, то она является невозрастающей функцией в этом интервале.

   Теорема 6.(первый достаточный признак экстремума). Если производная f '(x) функции f(x) обращается в нуль в точке x0или не существует и при переходе через x0меняет свой знак, то функция f(x) имеет в этой точке экстремум (максимум, если знак меняется с "+" на "-", и минимум, если знак меняется с "-" на "+").
    Теорема 7. (второй достаточный признак существования экстремума функции). Если в точке x0первая производная f '(x) функции f(x) обращается в нуль, а её вторая производная f ''(x) отлична от нуля, то в точке x0функция f(x) достигает экстремума (минимума, если f ''(x) > 0, и максимума, если f ''(x) < 0). Предполагается, что f ''(x) непрерывна в точке x0и ее окрестности.

6.3.Правило нахождения экстремума

1°. Чтобы найти экстремум функции, надо:


1) найти производную данной функции;


2) приравнять производную нулю и решить полученное уравнение; из полученных корней отобрать действительные и расположить их (для удобства) по их величине от меньшего к большему; в том случае, когда все корни оказываются мнимыми, данная функция не имеет экстремума;


3) определить знак производной в каждом из промежутков, отграниченных стационарными точками ( стационарными точками называют точки в которых производная равна 0);


4) если производная положительна в промежутке, лежащем слева от данной стационарной точки, и отрицательна в промежутке, лежащем справа от нес, то данная точка есть точка максимума функции, если же производная отрицательна слева и положительна справа от данной стационарной точки, то данная точка есть точка минимума функции; если производная имеет один и тот же знак как слева, так и справа от стационарной тонки, то в этой точке нет ни максимума, ни минимума, функции;


5) заменить в данном выражении функции аргумент значением, которое дает максимум или минимум функции; получим значение соответственно максимума или минимума функции.


Если функция имеет точки разрыва, то эти точки должны быть включены в число стационарных точек, разбивающих Ох на промежутки, в которых определяется знак производной.

  6.4.Точка перегиба графика функции.
   Будем говорить, что кривая y = f(x) в точке x0 обращена выпуклостью вверх, если существует такая окрестность точки x0, что часть кривой, соответствующая этой окрестности, лежит под касательной к этой кривой, проведенной в точке A с абсциссой x0. (см. Рисунок 1а).

    <img width=«394» height=«211» src=«ref-1_296818793-3266.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: » v:shapes="_x0000_s1264">Рисунок 1

   Будем говорить, что кривая y = f(x) в точке x0 обращена выпуклостью вниз, если существует такая окрестность точки x0, что часть кривой, соответствующая этой окрестности, лежит над касательной к этой кривой, проведенной в точке A с абсциссой x0. (см. Рисунок 1б).
   Из определения выпуклости вверх (вниз) кривой y = f(x) в точке x0 следует, что для любой точки x из интервала (x0 - h, x0 + h), не совпадающей с точкой x0, имеет место неравенство f(x) - y < 0   ( f(x) - y > 0) где f(x) — ордината точки M кривой y = f(x), y — ордината точки N касательной                                  y - y0 = f '(x0 )(x - x0 ) к данной кривой в точке A. (смотри рисунок 1, а, б).
   Ясно, что и наоборот, если для любой точки x интервала (x0 - h, x0 + h), не совпадающей с x0, выполняется неравенство  f(x) - y < 0    (f(x) - y > 0),

то кривая y = f(x) в точке x0 обращена выпуклостью вверх (вниз).
   Будем называть кривую y = f(x) выпуклой вверх (вниз) в интервале (a, b), если она выпукла вверх (вниз) в каждой точке этого интервала.
   Если кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх в интервале (a, b), то с увеличением аргумента x угловой коэффициент касательной к этой кривой в точке с абсциссой x будет уменьшаться.

<img width=«333» height=«183» src=«ref-1_296822059-2072.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084">

Рисунок 2.

   В самом деле, пусть абсцисса x1 точки A меньше абсциссы x2 точки B (рис. 2). Проведем касательные t1 и t2 соответствено в точках A и B к кривой y = f(x). Пусть a и j — углы наклона касательных t1 и t2. Тогда из рис. 2 видим, что j — внешний угол треугольника ECD, а поэтому он больше угла a. Следовательно tgj > tgaили f '(x1 ) > f '(x2 ).
   Таким образом мы показали, что если в интервале (a, b) кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх, то с увеличением аргумента x функция y = f '(x) убывает. Поэтому вторая производная f ''(x) функции f(x), как производная убывающей фунции f '(x), будет отрицательна или равна нулю в интервале (a, b):  f ''(x)£.

<img width=«298» height=«221» src=«ref-1_296824131-1895.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085">

Рисунок 3.

   Если кривая y = f(x) обращена выпуклостью вниз, то из рис.2 непосредственно видно, что tga > tgjт.е. f '(x2 ) > f '(x1 ), а поэтому в интервале (a, b) производная f '(x) возрастает. Тогда вторая производная f ''(x) функции f (x), как производная возрастающей в интервале (a, b) функции f '(x), будет положительна или равна нулю: f ''(x)³.
   Докажем, что и наоборот, если f ''(x)£в некотором интервале (a, b), то в этом интервале кривая y = f (x) обращена выпуклостью вверх; если f ''(x)³в интервале (a, b), то в этом интервале кривая обращена выпуклостью вниз.
   Запишем уравнение касательной y - y0 = f '(x0 )(x - x0 ) к кривой y = f (x) в точке x0, где a < x0 b, в виде y = y0 + f '(x0 )(x - x0 ). Очевидно, y0 = f(x0 ), а потому последнее уравнение можно записать в виде                  y = f(x0 ) + f '(x0 )(x - x0 ).      (1)

   Но, согласно формуле Тейлора, при n = 2 имеем:

<img width=«412» height=«38» src=«ref-1_296826026-928.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">     (2)

Фиксируя x в интервале (a, b) и вычитая почленно из уравнения (2) уравнение (1), получим:<img width=«255» height=«43» src=«ref-1_296826954-546.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087">   (3)

   Если f ''[x0 + Q(x - x0 )]£, где 0 < Q < 1, то имеем  f(x) - y £ 0

откуда следует, что кривая y = f(x) в точке x обращена выпуклостью вверх.
   Если f ''[x0 + Q(x - x0 )]³, то имеем  f(x) - y ³ 0откуда следует, что кривая y = f(x) в точке x обращена выпуклостью вниз.
   Так как была зафиксирована произвольная точка x интервала (a, b), то высказанное выше утверждение доказано.

<img width=«241» height=«233» src=«ref-1_296827500-8465.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088">

Рисунок 4.

   Точка кривой, в которой кривая меняет направление изгиба, т.е. переходит от выпуклости вверх к выпуклости вниз или наоборот, называется точкой перегиба кривой (рис.4).  (В этом определении предполагается, что в точке перехода кривой от выпуклости вверх к выпуклости вниз (или наоборот) имеется единственная касательная).
   Теорема 8. Пусть функция f(x) имеет непрерывную вторую производную f ''(x) и пусть A[x0 ; f(x0 )] — точка перегиба кривой y = f(x). Тогда f ''(x0 ) = 0 или не существует.
   Доказательство. Рассмотрим для определенности случай, когда кривая y = f(x) в точке перегиба A[x0 ; f(x0 )] переходит от выпуклости вверх в выпуклости вниз (рис.4). Тогда при достаточно малом h в интервале (x0 - h, x0 ) вторая производная f ''(x) будет меньше нуля, а в инетрвале (x0, x0 +h) — больше нуля.
   Но f ''(x) — функция непрерывная, а потому, переходя от отрицательных значений к положительным, она при x = x0 обращается в нуль: f ''(x0 ) = 0.

<img width=«261» height=«123» src=«ref-1_296835965-786.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">

Рисунок 5.

   На рис.5 изображен график функции <img width=«72» height=«22» src=«ref-1_296836751-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">. Хотя при x0 = 0 имеется касательная и точка перегиба, все же вторая производная f ''(x) не равна нулю, она даже не существует в этой точке. В самом деле, имеем <img width=«305» height=«47» src=«ref-1_296836970-619.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">

Итак, f ''(0) не существует. Но тем не менее точка O(0; 0) является точкой перегиба, так как при x < 0   f ''(x) > 0 и кривая выпукла вниз, а при x > 0   f ''(x) < 0 и кривая выпукла вверх.
   Таким образом в случае непрерывности второй производной f ''(x) обращение в нуль или несуществование ее в какой-нибудь точки кривой y = f(x) является необходимым условием существования точки перегиба. Однако это условие не является достаточным.

   Теорема 9. Если вторая производная f ''(x) непрерывна и меняет знак при x = x0, то точка A[x0 ; f(x0 )] является точкой перегиба кривой y = f(x) при условии, конечно, что в точке A существует касательная.
   Доказательство. Пусть например f ''(x) < 0 при x0 - h < x < x0 и f ''(x) > 0 при x0 < x < x0 + h. Тогда в интервале (x0 - h; x0 ) кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх, а в интервале (x0 ; x0 + h) — выпклостью вниз (смотри рис.4), т.е. точка A[x0 ; f(x0 )] есть точка перегиба кривой, что и требовалось доказать.
    продолжение
--PAGE_BREAK--6.5.Общая схема исследования функции и построение ее графика.
   1. Находим область определения функции f(x)
   2. Находим точки пересечения кривой y = f(x) с осями координат и наносим их на чертеж.
   3. Определяем, симметрична ли кривая y = f(x) относительно осей координат и начала координат.
   4. Исследуем функцию y = f(x) на непрерывность. Если функция имеет в точке x0 разрыв, то отмечаем ее на чертеже.
   5. Находим асимптоты кривой, если они имеются.
   6. Находим максимум и минимум функции и отмечаем на чертеже точки кривой с максимальной и минимальной ординатами.
   7. Исследуем кривую y = f(x) на выпуклость вверх или вниз, находим точки перегиба кривой и отмечаем их на чертеже.
   8. Вычерчиваем кривую y = f(x).
6.6. Касательная и нормаль к плоской кривой.
<img width=«255» height=«230» src=«ref-1_296837589-2190.coolpic» alt=«касательная и нормаль» v:shapes="_x0000_s1027">   Пусть даны кривая y = f(x) и точка M (x1 ; y1) на ней. Требуется составить уравнения касательной и нормали (смотри рисунок).
   Как известно, угловой коэффициент k касательной к кривой y = f(x) в точке M (x1 ; y1) равен значению f '(x1) производной y' = f '(x) при x = x1/ Следовательно, уравнение касательной можно записать в виде уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, т.е. в виде       y - y1 = f '(x1)(x - x1)

   Нормалью называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной. поэтому ее угловой коэффициент равен <img width=«89» height=«44» src=«ref-1_296839779-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">, а уравнение записывается в виде <img width=«164» height=«45» src=«ref-1_296840060-348.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093">
7.Экономическое приложение производной. 7.1.Экономическая интерпретация производной
В экономической теории активно используется понятие «маржинальный», что означает «предельный». Введение этого понятия в научный оборот в XIXвеке позволило создать совершенно новый инструмент исследования и описания экономических явлений — инструмент, посредством которого стало возможно ставить и решать новый класс научных проблем.

Классическая экономическая теория Смита, Рикардо, Милля обычно имела дело со средними величинами: средняя цена, средняя производительность труда и т.д. Но постепенно сложился иной подход. Существенные закономерности оказалось можно обнаружить в области предельных величин.

Предельные или пограничные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины.), а процесс, изменение экономического объекта. Следовательно, производная выступает как интенсивность изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.

Надо заметить, что экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу прерывности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.). В то же время во многих случаях можно отвлечься от дискретности и эффективно использовать предельные величины.

Рассмотрим ситуацию: пусть y — издержки производства, а  х — количество продукции, тогда D
x— прирост продукции, а D
y — приращение издержек производства.

В этом  случае производная <img width=«63» height=«41» src=«ref-1_296840408-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094"> выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции <img width=«87» height=«43» src=«ref-1_296840645-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">, где MC – предельные издержки (marginal costs); TC – общие издержки (total costs); Q — количество.

<img width=«64» height=«40» src=«ref-1_296840890-121.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: C(t)» v:shapes="_x0000_s1278"><img width=«40» height=«40» src=«ref-1_296841011-91.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: С» v:shapes="_x0000_s1276"><img width=«40» height=«40» src=«ref-1_296841011-91.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: С» v:shapes="_x0000_s1274"><img width=«324» height=«216» src=«ref-1_296841193-5190.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1267"><img width=«28» height=«52» src=«ref-1_296846383-73.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1273">Геометрическая интерпретация предельных издержек — это тангенс угла наклона касательной к кривой в данной точке (см. рис.).

<img width=«40» height=«40» src=«ref-1_296846456-92.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: A» v:shapes="_x0000_s1280"><img width=«64» height=«40» src=«ref-1_296846548-90.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: E» v:shapes="_x0000_s1279">Аналогичным образом могут быть определены и многие другие экономические величины, имеющие предельный характер.

<img width=«40» height=«40» src=«ref-1_296846638-91.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: B» v:shapes="_x0000_s1281"><img width=«40» height=«40» src=«ref-1_296846729-96.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: Q» v:shapes="_x0000_s1277"><img width=«39» height=«35» src=«ref-1_296846825-96.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: » v:shapes="_x0000_s1271"><img width=«38» height=«33» src=«ref-1_296846921-88.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: » v:shapes="_x0000_s1268">Другой пример — категория предельной выручки (MR— marginal revenue) — это дополнительный доход, полученный при переходе от производства n-ной к  (n+1)-ой единице продукта.
Она представляет собой первую производную от выручки: <img width=«89» height=«42» src=«ref-1_296847009-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096">.

При этом R= PQ,         где R–выручка (revenue); P–цена (price).

Таким образом  <img width=«81» height=«43» src=«ref-1_296847248-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097">, ÞMR= P.

Это равенство верно относительно условий совершенной конкуренции, когда экономические агенты каждый по отдельности не могут оказать влияния на цену.

Обратимся к теориям потребления: кардиналистской и ординалистской.

Кардиналистский (количественный) подход к теории цен предполагает равное влияние величин полезности товара и затрат на его производства на формирование цены. В основе рассматриваемого подхода — исследования А. Маршалла.

Ординалистский (Порядковый) подход к теории цен разрабатывался И. Фишером, В. Парето. Суть данного подхода состоит в том, что потребители, имеющие определенный уровень доходов, сравнивают между собой цены и полезность различных наборов экономических благ и отдают предпочтение тем наборам, которые при сравнительно низких ценах имеют максимальную полезность для конкретного потребителя.

 В соответствии с первой, суммарную полезность U для любого субъекта, если в экономике существует n потребительских благ в объемах  х1,  x2,… хn, можно выразить в виде кардиналистской функции полезности:

U= U(х1, x2,… xn).

Предельные полезности MU товаров выступают в качестве ее частных производных: <img width=«116» height=«43» src=«ref-1_296847491-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">. Они показывают, на сколько изменяется полезность всей массы благ, достающихся субъекту, при бесконечно малом приращении количества блага  i (i=1,2…n)

В ординалистской теории полагается, что потребитель оценивает полезность не отдельных благ, а потребительских наборов; что он способен сопоставить полезности наборов товаров.

Ординалистская функция полезности исследована подробно, значительный вклад в ее изучение внес Дж. Хикс. После его трудов началось прогрессирующее вытеснение понятия «предельная полезность» категорией предельной нормы замещения (MRS – marginal rate of substitution).

Предположим, что происходит замещение товара y товаром х при движении сверху вниз вдоль кривой безразличия. Предельная норма замещения товара y товаром x показывает, какое количество товара x необходимо для того, чтобы компенсировать потребительскую утрату единицы товара  y.

Они определяются так:                  <img width=«124» height=«41» src=«ref-1_296847744-306.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">.

Т.к. dy отрицательно, знак  "-" вводится, чтобы MRS была больше нуля.

Итак, предельная норма замещения геометрически есть касательная к кривой безразличия в данной точке. Значение предельной нормы замещения по абсолютной величине равно тангенсу угла наклона касательной к кривой безразличия.

Приведем еще один пример элементарного анализа на микроуровне, который имеет аналог и на макроуровне.

Любой индивид свой доход Y после уплаты налогов использует на потребление  C  и сбережение S. Ясно, что лица с низким доходом, как правило, целиком используют его на потребление, так что размер сбережения равен нулю. С ростом дохода субъект не только больше потребляет, но и больше сберегает. Как установлено теорией и подтверждено эмпирическими исследования, потребление и сбережение зависят от размера дохода:

Y= C(Y) + S(Y).

Зависимость потребления индивида от дохода называется функцией склонности к потреблению или функцией потребления.

Использование производной позволяет определить такую категорию, как предельную склонность к потреблению MPC (marginal property to consume), показывающую долю прироста личного потребления в приросте дохода: <img width=«79» height=«41» src=«ref-1_296848050-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">.

По мере увеличения доходов MPC уменьшается. Последовательно определяя сбережения при каждом значении дохода, можно построить функцию склонности к сбережению или функцию сбережения.      Долю прироста сбережений в приросте дохода показывает предельная склонность к сбережению MPS(marginal propensity to save):     <img width=«88» height=«41» src=«ref-1_296848301-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">.

С увеличением доходов MPS увеличивается.

Еще одним примером использования производной в экономике является анализ производственной функции. Поскольку ограниченность ресурсов принципиально не устранима, то решающее значение приобретает отдача от факторов производства. Здесь также применима производная, как инструмент исследования. Пусть применяемый капитал постоянен, а затраты труда увеличиваются. Можно ввести в экономический анализ следующую категорию — предельный продукт труда MPL(marginal product of labor) – это дополнительный продукт, полученный в результате дополнительных вложений труда (L – labor) при неизменной величине капитала:<img width=«87» height=«41» src=«ref-1_296848536-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">.

Если вложения осуществляются достаточно малыми порциями, то <img width=«85» height=«41» src=«ref-1_296848768-229.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103">, т.к. dY — результат, dL — затраты, то MPL – предельная производительность труда.

Аналогично, MPk — предельный продукт капитала — дополнительный продукт, полученный в результате дополнительных вложений капитала K при неизменной величине труда:<img width=«77» height=«36» src=«ref-1_296848997-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">.

Если вложения осуществляются малыми порциями, то <img width=«85» height=«41» src=«ref-1_296849228-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">.

MPk — характеризует предельную производительность капитала.

Для исследования экономических процессов и решения других прикладных задач часто используется понятие эластичности функции.

Определение:  Эластичностью функции Еx(y) называется предел отношения относительного приращения функции yк относительному приращению переменной xпри Dx®0:

<img width=«428» height=«47» src=«ref-1_296849464-856.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">.

Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция y= f(x), при изменении независимой переменной x на 1%.

Приведем несколько конкретных иллюстраций такой зависимости. Прямой коэффициент эластичности спроса по цене устанавливает, на сколько процентов увеличивается (уменьшается) спрос Q на товар i при уменьшении (увеличении) его цены P на 1%:         <img width=«124» height=«38» src=«ref-1_296850320-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">.

Перекрестный коэффициент эластичности спроса по цене <img width=«31» height=«29» src=«ref-1_296850608-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108"> показывает, на сколько процентов изменится спрос на товар i при однопроцентных колебаниях цены  товара j (j = 1,2,…n):        <img width=«124» height=«41» src=«ref-1_296850740-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">.

Количественную сторону взаимодействия дохода и спроса отражает коэффициент эластичности спроса по доходу, который указывает, на сколько процентов изменится спрос на i-тый товар Qi если доход, предназначенный на текущее потребление, изменится на 1%:        <img width=«119» height=«38» src=«ref-1_296851043-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">.

Можно привести и другие примеры использования производной при фокусировке различных категорий и закономерностей. Дальнейшее раскрытие экономического смысла хотелось бы осуществить через рассмотрение экономической интерпретации математических теорем.
    продолжение
--PAGE_BREAK--
7.2. Применение производной в экономической теории.

Проанализировав экономический смысл производной, нетрудно заметить, что многие, в том числе базовых законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем.

Вначале рассмотрим экономическую интерпретацию теоремы: если дифференцируемая на промежутке X функция y= f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке x0 этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, то есть f’(x0) = 0.

Один из базовых законов теории производства звучит так: «Оптимальный для производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода».

То есть уровень выпуска Qoявляется оптимальным для производителя, если MC(Qo)=MR(Qo),  где MC — предельные издержки, а MR — предельный доход.

Обозначим функцию прибыли за П(Q). Тогда П(Q) = R(Q) — C(Q), где R – прибыль, а C – общие издержки производства.

Очевидно, что оптимальным уровнем производства является тот, при котором прибыль максимальна, то есть такое значение выпуска Qo, при котором функция П(Q) имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке П’(Q) = 0. Но П’(Q)=R’(Q) — C’(Q), поэтому R’(Qo) = C’(Qo), откуда следует, что MR(Qo) = MC(Qo).

Другое важное понятие теории производства — это уровень наиболее экономичного производства, при котором средние издержки по производству товара минимальны. Соответствующий экономический закон гласит: “оптимальный объем производства определяется равенством средних и предельных издержек”.

Получим это условие как следствие сформулированной выше теоремы.  Средние издержки AC(Q) определяются как <img width=«45» height=«45» src=«ref-1_296851318-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">, т.е. издержки по производству всего товара, деленные на произведенное его количество. Минимум этой величины достигается в критической точке функции y=AC(Q), т.е. при условии <img width=«216» height=«43» src=«ref-1_296851515-448.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">, откуда TC’(Q)Q—TC(Q) = 0 или <img width=«178» height=«59» src=«ref-1_296851963-421.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">, т.е. MC(Q)=AC(Q).

Понятие выпуклости функции также находит свою интерпретацию в экономической теории.

Один из наиболее знаменитых экономических законов — закон убывающей доходности — звучит следующим образом: «с увеличением производства дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса (трудового, технологического и т.д.), с некоторого момента убывает».

Иными словами, величина <img width=«29» height=«41» src=«ref-1_296852384-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114">, где Dy — приращение выпуска продукции, а Dx — приращение ресурса, уменьшается при увеличении x. Таким образом, закон убывающей доходности формулируется так: функция y= f(x), выражающая зависимость выпуска продукции от вложенного ресурса, является функцией, выпуклой вверх.

Другим базисным понятием экономической теории является функция полезности U= U(x), где  х  — товар, а U – полезность (utility). Эта величина очень субъективная для каждого отдельного потребителя, но достаточно объективная для общества в целом. Закон убывающей полезности звучит следующим образом: с ростом количества товара, дополнительная полезность от каждой новой его единицы с некоторого момента убывает. Очевидно, этот закон можно переформулировать так: функция полезности является функцией, выпуклой вверх. В такой постановке закон убывающей полезности служит отправной точкой для математического исследования теории спроса и предложения.
7.3. Использование производной для решения задач по экономической теории.
Задача 1.

 Цементный завод производит Х т. цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т. цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может превышать 90 т. в день.

Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:

К=-х3+98х2+200х. Удельные затраты составят К/х=-х2+98х+200

Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции У= -х2+98х+200. На промежутке [20;90].

Вывод: x=49, критическая точка функции. Вычисляем значение функции на концах промежутках и в критической точке.

f(20)=1760   f(49)=2601      f(90)=320.

Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день минимально, следовательно можно посоветовать работать заводу на предельной мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без реконструкции нельзя будет увеличить выпуск продукции.
Задача 2.
Задача: Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накопления предприятия от объема выпуска выражается формулой f(x)=-0,02x^3+600x -1000. Исследовать потенциал предприятия.

Функция исследуется с помощью производной. Получаем, что при Х=100 функция достигает максимума.

Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема производства до 100 единиц, при х =100 они достигают максимума и объем накопления равен 39000 денежных единиц. Дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.

Задача 3.

Спрос-это зависимость между ценой единицы товара и количеством товара, которое потребители готовы купить при каждой возможной цене, за определенный период времени и при прочих равных условиях.

Зависимость спроса от цены описывается функцией <img width=«168» height=«33» src=«ref-1_296852536-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">,

Данная функция исследуется с помощью производной: <img width=«135» height=«32» src=«ref-1_296852899-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">

Производная меньше нуля, если   P>=0.
    продолжение
--PAGE_BREAK--Определим точку перегиба функции. Такой точкой является точка (0,5;0,6), т.е. при P<1/2 спрос убывает медленнее, а при P>1/2 спрос убывает все быстрее. <img width=«425» height=«316» src=«ref-1_296853192-11555.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">
Задача 4.

Выручка от реализации товара по цене p составляет: <img width=«188» height=«31» src=«ref-1_296864747-387.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">

 (Денежных единиц), где<img width=«162» height=«31» src=«ref-1_296865134-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119">. Исследуем эту функцию с помощью производной.

Производная этой функции: <img width=«169» height=«31» src=«ref-1_296865492-356.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120"> положительна, если p<1/2 и отрицательна для p>1/2, это означает, что с ростом цены выручка в начале увеличивается ( несмотря на падение спроса) и  p=1/2 достигает максимального значения   <img width=«175» height=«45» src=«ref-1_296865848-405.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121">, дальнейшее увеличение цены не имеет смысла, т.как оно ведет к сокращению выручки. Темп изменения выручки выражается второй производной.

<img width=«196» height=«31» src=«ref-1_296866253-410.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122">

<img width=«51» height=«44» src=«ref-1_296866663-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123"> темп положительный              <img width=«55» height=«44» src=«ref-1_296866840-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">темп отрицательный

На промежутке (0,1/2) функция возрастает все медленнее, то есть дальнейшее повышение цены не выгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным темпом для <img width=«91» height=«45» src=«ref-1_296867021-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125">, а затем темп убывания становится положительным и для P>0,9 выручка убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном увеличении цены.

Для наглядной демонстрации выше сказанного составим таблицу и построим график.

Вывод:

На промежутке (0, 1/2) функция возрастает все медленнее.

Соответствующая часть графика выпукла. Как уже отмечалось, дальнейшее повышение цены не выгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным темпом<img width=«128» height=«45» src=«ref-1_296867784-329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">, а затем темп убывания V(p) становится положительным. Для р > 0,9 выручка убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном увеличении цены. На промежутке <img width=«62» height=«44» src=«ref-1_296867576-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">функция U(p) вогнута. В точке <img width=«62» height=«44» src=«ref-1_296868321-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131"> график перегибается (см. на рисунке):

<img width=«53» height=«15» src=«ref-1_296868537-118.coolpic» v:shapes="_x0000_s1320"><img width=«21» height=«19» src=«ref-1_296868655-99.coolpic» v:shapes="_x0000_s1319"><img width=«122» height=«30» src=«ref-1_296868754-274.coolpic» v:shapes="_x0000_s1318"><img width=«416» height=«144» src=«ref-1_296869028-8659.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">
8. Применение производной в физике
В физике производная применяется  в основном для вычисления наибольших или наименьших значений для каких-либо величин.

Задача

1.

Лестница длиной 5м приставлена к стене таким образом, что верхний ее конец находится на высоте 4м. В некоторый момент времени лестница начинает падать, при этом верхний конец приближается к поверхности земли с постоянным ускорением      2 м/с2. С какой скоростью удаляется от стены нижний конец лестницы в тот момент, когда верхний конец находится на высоте 2м?

<img width=«552» height=«221» src=«ref-1_296877687-10278.coolpic» v:shapes="_x0000_s1282">
    продолжение
--PAGE_BREAK--Пусть верхний конец лестницы в момент времени tнаходится на высоте y(0)= 4м, а нижний на расстоянии x(t) от стенки. Высота y(t)описывается формулой:  <img width=«151» height=«48» src=«ref-1_296887965-359.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">, так как движение равноускоренное. В момент t:y(t) = 2, т.е. 2 = 4 — t2, из которого <img width=«47» height=«23» src=«ref-1_296888324-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135">; В этот момент    <img width=«125» height=«37» src=«ref-1_296888468-353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136">    по т. Пифагора, т.е. <img width=«263» height=«40» src=«ref-1_296888821-629.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137"> Скорость его изменения <img width=«415» height=«59» src=«ref-1_296889450-1161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138"> Ответ:<img width=«92» height=«21» src=«ref-1_296890611-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139"> Задача2 Дождевая капля падает под действием силы тяжести;равномерно испаряясь так, что ее масса mизменяется по закону   m(t) = 1 — 2/3t. (m изменяется в граммах, t — в секундах). Через сколько времени после начала падения кинематическая энергия капли будет наибольшей? Скорость капли   <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_296890817-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140">  , её кинетическая энергияв момент tравна <img width=«211» height=«44» src=«ref-1_296890976-493.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141"> Исследуем функцию  <img width=«39» height=«24» src=«ref-1_296891469-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142"> на наибольшее с помощью поизводной:<img width=«110» height=«24» src=«ref-1_296891605-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143"> <img width=«24» height=«21» src=«ref-1_296891831-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">=0 t1=0  t2=1 (t>0) <img width=«328» height=«126» src=«ref-1_296891941-954.coolpic» v:shapes="_x0000_s1312 _x0000_s1309 _x0000_s1303 _x0000_s1304 _x0000_s1305 _x0000_s1306 _x0000_s1307 _x0000_s1308 _x0000_s1310 _x0000_s1311">                              При t =1 функция Ek(t) принимает наибольшее значение, следовательно кинетическая энергия падающей капли будет наибольшей через 1сек. Задача 3 Источник тока с электродвижущей силой Е=220 В и внутренним сопротивлением r =50 Ом подключен к прибору с сопротивлением R.Чему должно быть равно сопротивление Rпотребителя, чтобы потребляемая им мощность была наибольшей? По закону Ома сила тока в цепи есть  <img width=«65» height=«41» src=«ref-1_296892895-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145">  <img width=«9» height=«9» src=«ref-1_296893090-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146"> выделяемая в потребителе мощность P=I2R, то есть <img width=«99» height=«48» src=«ref-1_296893163-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147"> <img width=«232» height=«90» src=«ref-1_296893474-831.coolpic» v:shapes="_x0000_s1335 _x0000_s1330 _x0000_s1333 _x0000_s1325 _x0000_s1326 _x0000_s1327 _x0000_s1328 _x0000_s1329 _x0000_s1332">Исследуем функцию P(R) на наибольшее с помощью производной:<img width=«103» height=«48» src=«ref-1_296894305-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148">   P’(R) =0:  r — R = 0, R = r = 50;При R= 50 функция P(R)принимает наибольшее значение. Следовательно, потребляемая мощность будет наибольшей при сопротивлении R =50 Ом. <img width=«43» height=«38» src=«ref-1_296894624-73.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: – » v:shapes="_x0000_s1331">Ответ: 50 Ом 9. Применение производной в алгебре 9.1. Применение производной к доказательству неравенств.
Одно из простейших применений производной к доказательству неравенств основано на связи между возрастанием и убыванием функции на промежутке и знаком ее производной. С помощью теоремы Лагранжа доказана теорема:

Теорема 1.  Если функция <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_296787891-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">на некотором интервале <img width=«39» height=«21» src=«ref-1_296894823-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150">имеет производную <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_296894953-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151">всюду на <img width=«39» height=«21» src=«ref-1_296894823-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">, то <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_296787891-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">на <img width=«39» height=«21» src=«ref-1_296894823-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">монотонно возрастает; если же  <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_296895502-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155"> всюду на <img width=«39» height=«21» src=«ref-1_296894823-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">, то <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_296787891-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">на <img width=«39» height=«21» src=«ref-1_296894823-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158">монотонно убывает.

Очевидным следствием (и обобщением) этой теоремы является следующая:

 Теорема 2.  Если на промежутке <img width=«39» height=«21» src=«ref-1_296894823-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159"> выполняется неравенство <img width=«87» height=«21» src=«ref-1_296896181-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">, функция <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_296896377-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">и <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_296896470-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">непрерывны в точке <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_296896557-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163"> и <img width=«83» height=«21» src=«ref-1_296896641-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">, то на <img width=«39» height=«21» src=«ref-1_296894823-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165"> выполняется неравенство <img width=«81» height=«21» src=«ref-1_296896970-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">.

Предлагаю несколько задач на доказательство неравенств с использованием этих теорем.

 Задача 1. Пусть <img width=«64» height=«41» src=«ref-1_296897161-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">.Докажите истинность неравенства <img width=«77» height=«41» src=«ref-1_296897355-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">. (1)<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_296897564-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">

Решение:Рассмотрим на <img width=«45» height=«45» src=«ref-1_296897637-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170"> функцию <img width=«103» height=«41» src=«ref-1_296897847-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">. Найдем ее производную: <img width=«181» height=«41» src=«ref-1_296898110-376.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">. Видим, что <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_296895502-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">при <img width=«65» height=«41» src=«ref-1_296898649-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">. Следовательно, <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_296787891-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175"> на <img width=«44» height=«45» src=«ref-1_296898968-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176"> убывает так, что при <img width=«64» height=«41» src=«ref-1_296897161-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">  <img width=«89» height=«45» src=«ref-1_296899366-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">. Но <img width=«105» height=«41» src=«ref-1_296899660-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">  <img width=«69» height=«45» src=«ref-1_296899918-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180"> Следовательно неравенство (1)   <img width=«77» height=«41» src=«ref-1_296897355-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181"> верно.

Задача 2. Пусть <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_296900374-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182"> и <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_296900464-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">положительные числа, <img width=«43» height=«17» src=«ref-1_296900551-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184"> Тогда очевидно, что <img width=«53» height=«24» src=«ref-1_296900675-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">, <img width=«60» height=«44» src=«ref-1_296900824-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">. Можно ли гарантировать, что неравенство <img width=«117» height=«44» src=«ref-1_296901028-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187"> (2)

верно а) при  <img width=«51» height=«21» src=«ref-1_296901322-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">; б)  при <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_296901460-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189">?

Решение:а) Рассмотрим функцию <img width=«101» height=«41» src=«ref-1_296901581-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">. Имеем: <img width=«205» height=«41» src=«ref-1_296901834-410.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">

Отсюда видно, что при <img width=«59» height=«27» src=«ref-1_296902244-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">функция <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_296787891-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">возрастает. В частности, она возрастает на интервале <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_296902544-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">  Поэтому при <img width=«75» height=«21» src=«ref-1_296902709-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195"> неравенство (2) справедливо.

б) на интервале <img width=«56» height=«27» src=«ref-1_296902873-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196"> <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_296895502-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">, т.е. <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_296787891-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198"> убывает. Поэтому при любых <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_296900374-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199"> и <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_296900464-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">, для которых <img width=«108» height=«27» src=«ref-1_296903541-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">, неравенство (2) неверно, а верно неравенство противоположного смысла:  <img width=«129» height=«44» src=«ref-1_296903782-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">

Задача 3. Доказать неравенство: <img width=«96» height=«44» src=«ref-1_296904090-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203"> при <img width=«67» height=«41» src=«ref-1_296904346-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">    (3).

Воспользуемся теоремой 2. <img width=«95» height=«44» src=«ref-1_296904539-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205"> и <img width=«84» height=«21» src=«ref-1_296904784-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206">, верно неравенство <img width=«91» height=«21» src=«ref-1_296904981-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207">:  <img width=«108» height=«44» src=«ref-1_296905181-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208"> на промежутке <img width=«47» height=«45» src=«ref-1_296905463-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">и выполнимо условие <img width=«85» height=«21» src=«ref-1_296905675-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210"> где <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_296896557-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">, в данном случае равно 0. Следовательно неравенство (3) верно. 

Задача4. Доказать неравенство: <img width=«101» height=«44» src=«ref-1_296905961-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">  <img width=«51» height=«21» src=«ref-1_296906221-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213">  (4).

Решение: <img width=«221» height=«44» src=«ref-1_296906367-446.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">,   <img width=«91» height=«44» src=«ref-1_296906813-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">;  <img width=«92» height=«21» src=«ref-1_296907057-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">

Неравенство <img width=«200» height=«21» src=«ref-1_296907260-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217"> при любых <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_296907582-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218"> верно. Значит неравенство (4) верно.

Задача5. Доказать, что если <img width=«67» height=«41» src=«ref-1_296904346-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">, то <img width=«101» height=«44» src=«ref-1_296907859-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220">   (5).

Решение:Пусть <img width=«152» height=«44» src=«ref-1_296908116-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221"> Тогда

<img width=«209» height=«44» src=«ref-1_296908455-434.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222"> 

Чтобы найти, при каких значениях <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_296907582-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223"> функция <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_296896470-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224">положительная, исследуем ее производную <img width=«139» height=«41» src=«ref-1_296909060-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">. Так как при <img width=«71» height=«45» src=«ref-1_296909377-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226"> <img width=«108» height=«41» src=«ref-1_296909630-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227"> то <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_296909898-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228">

Следовательно, функция <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_296896470-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">возрастает при <img width=«71» height=«45» src=«ref-1_296909377-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230">. Учитывая, что <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_296910400-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231"> и <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_296896470-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232"> непрерывна, получаем  <img width=«112» height=«21» src=«ref-1_296910644-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233">, при <img width=«71» height=«45» src=«ref-1_296909377-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">.

Поэтому  <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_296896377-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235"> возрастает на рассматриваемом интервале. Поскольку <img width=«21» height=«19» src=«ref-1_296911216-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236"> непрерывна и <img width=«64» height=«21» src=«ref-1_296911307-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237"> то <img width=«60» height=«21» src=«ref-1_296911469-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238"> при <img width=«71» height=«45» src=«ref-1_296909377-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239">. Неравенство (5) верно.

Задача6. Выясним, что больше при <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_296911879-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240">:   <img width=«56» height=«24» src=«ref-1_296912035-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241">   или  <img width=«80» height=«24» src=«ref-1_296912198-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242">.

Решение:Предстоит сравнить с числом 1 дробь <img width=«83» height=«47» src=«ref-1_296912399-313.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243">.

Рассмотрим на <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_296912712-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244"> вспомогательную функцию <img width=«139» height=«47» src=«ref-1_296912854-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245">.

Выясним, будет ли она монотонна на отрезке <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_296912712-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246">. Для этого найдем ее производную (по правилу дифференцирования дроби):

<img width=«303» height=«47» src=«ref-1_296913403-694.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247">

 <img width=«361» height=«47» src=«ref-1_296914097-852.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248"> при <img width=«63» height=«21» src=«ref-1_296914949-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249">.

В силу теоремы 1 функция <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_296787891-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250"> вырастает на отрезке <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_296912712-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251">. Поэтому,  при  <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_296911879-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252">  <img width=«91» height=«21» src=«ref-1_296915524-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253">  т.е. <img width=«109» height=«47» src=«ref-1_296915727-353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254">

<img width=«149» height=«24» src=«ref-1_296916080-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255">  при  <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_296911879-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256">.

При решении задачи (6)встретился полезный методический прием, если нежно доказать  неравенство,  в котором участвует несколько букв, то часто целесообразно одну из букв (в данном примере это была буква <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_296900374-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257">) считать применимой (чтобы подчеркнуть это обстоятельство, мы ее заменяли буквой <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_296907582-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258">, а значение остальных букв (в данном случае значение буквы <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_296900464-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259">) считать фиксированными. Иногда приходится при решении одной задачи применить  указанный прием несколько раз.

Задача 7.Проверить, справедливо ли при любых положительных <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_296916790-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260"> неравенство: <img width=«151» height=«21» src=«ref-1_296916919-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261">    (6).

Решение: Пусть <img width=«89» height=«19» src=«ref-1_296917181-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262"> Рассмотрим функцию 

<img width=«173» height=«24» src=«ref-1_296917353-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263">.

При <img width=«63» height=«19» src=«ref-1_296917649-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264"> имеем <img width=«143» height=«24» src=«ref-1_296917791-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265">.

Отсюда видно (теорема 1), что <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_296787891-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266"> убывает на <img width=«37» height=«23» src=«ref-1_296918181-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267"> Поэтому при <img width=«63» height=«19» src=«ref-1_296918327-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268">имеем <img width=«87» height=«21» src=«ref-1_296918475-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269"> т.е. мы получили неравенство:

<img width=«240» height=«21» src=«ref-1_296918677-362.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270">  (7).

Теперь рассмотрим другую вспомогательную функцию   <img width=«149» height=«24» src=«ref-1_296919039-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271">. При <img width=«61» height=«19» src=«ref-1_296919314-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272">  имеем: <img width=«143» height=«24» src=«ref-1_296919451-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273">

Следовательно, <img width=«35» height=«21» src=«ref-1_296919722-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274">убывает на <img width=«33» height=«23» src=«ref-1_296919850-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275">, т.е. <img width=«79» height=«21» src=«ref-1_296919986-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276"> при <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_296920183-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277"> значит,  <img width=«125» height=«21» src=«ref-1_296920337-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278">   (8),

Из неравенств (7) и (8) следует неравенство (6). Для  выяснения истинности неравенств иногда удобно воспользоваться следующим утверждением, которое непосредственно вытекает из теоремы 1:

Теорема 3: Пусть функция <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_296787891-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279"> непрерывна на <img width=«39» height=«21» src=«ref-1_296894823-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280">и пусть имеется такая точка с из <img width=«39» height=«21» src=«ref-1_296894823-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281">, что <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_296895502-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282">на <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_296921123-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283"> и <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_296894953-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284">на <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_296921414-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285">. Тогда при любом х  из <img width=«39» height=«21» src=«ref-1_296894823-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286"> справедливо неравенство <img width=«85» height=«21» src=«ref-1_296921672-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287"> причем  равенство имеет место лишь при <img width=«37» height=«15» src=«ref-1_296921868-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288">.

Задача8. Проверьте, справедливо ли для всех действительных х  следующее неравенство: <img width=«93» height=«45» src=«ref-1_296921971-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289"><img width=«128» height=«24» src=«ref-1_296922274-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290">

Решение:Выясним, где функция  возрастает, а где убывает. Для этого найдем производную:

<img width=«312» height=«24» src=«ref-1_296922519-475.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291">.

Видно, что <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_296895502-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292"> на <img width=«60» height=«45» src=«ref-1_296923157-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293"> и <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_296894953-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294"> на <img width=«57» height=«45» src=«ref-1_296923545-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295">. Следовательно, в силу теоремы 3  т.е. неравенство (9) справедливо, причем равенство имеет место лишь при <img width=«41» height=«41» src=«ref-1_296923773-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296">.
    продолжение
--PAGE_BREAK--