Реферат: Передаточные функции одноконтурной системы

Практическая работа № 1

1. По заданным дифференциальным уравнениям определить операторные уравнения при нулевых начальных условиях, передаточные функции, структурные схемы звеньев, характеристические уравнения и их корни. Показать распределение корней на комплексной плоскости.

Оценить устойчивость каждого из звеньев.

а) />; б)/>.

2. По заданной передаточной функции записать дифференциальное уравнение:

/>.

а). Дифференциальное уравнение можно записать в виде:

/>.

Обозначим Y(s) и F(s) как изображения сигналов соответственноy и f, тогда операторное уравнение (при нулевых начальных условиях) примет вид:

1,25s3Y(s) – 4s2Y(s) + 5sY(s) = 3F(s) – sF(s).

Данное уравнение можно преобразовать, вынеся Y(s) и F(s) за скобки:

Y(s). (1,25s3 – 4s2 + 5s) = F(s). (3 – s).

Отсюдаполучено:

/>.

Очевидно, что входной сигнал xотсутствует, и выходной сигнал уопределяется только внешним воздействием f(система, действующая по возмущению): />, то получается уравнение Y(s) = WF(s).F(s). Структурная схема объекта приведена на рис. 1.

/>

Рис.1

/>

Рис. 2

Передаточная функция имеет знаменатель, называемый характеристическим выражением:

A(s) =/>.

Если приравнять данное выражение к нулю, то образуется характеристическое уравнение />, корни которого:

/>, />и />.

Распределение корней на комплексной плоскости показано на рис. 2. По рисунку видно, что корни лежат в правой полуплоскости, следовательно, объект неустойчив.

б) Дифференциальное уравнение можно записать в виде:

/>.

Обозначим Y(s), X(s) и F(s) как изображения сигналов соответственноy, xи f, тогда операторное уравнение (при нулевых начальных условиях) примет вид:

2s2Y(s) + 4sY(s) + 10Y(s) = 3X(s) + 4sF(s).

Данное уравнение можно преобразовать, вынеся Y(s) и X(s) за скобки:

Y(s). (5s2 + 4s + 10) = 3X(s) + 4sF(s).

Отсюдаполучено:

/>.

Если обозначить передаточные функции объекта как

/>и />,

то получается уравнение Y(s) = Wx(s).X(s) + WF(s).F(s). Структурная схема объекта приведена на рис. 3.

/>

Рис. 3

Характеристическая функция имеет вид:

/>,

а характеристическое уравнение:

/>.

Корни этого уравнения равны:

/>и />.

Распределение корней на комплексной плоскости показано на рис. 4:

/>

Рис. 4.

Все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости, очевидно, что объект устойчив.

--PAGE_BREAK--

Дана передаточная функция вида:

/>

Зная, что по определению, />, получим:

/>, тогда:

/>.

Раскрывая скобки:

/>

Применяя к полученному выражению обратное преобразование Лапласа, находим искомое дифференциальное уравнение:

/>.

Практическая работа № 2

/>

Дана одноконтурная АСР, для которой определена передаточная функция регулятора (Р) с настройками и дифференциальное уравнение объекта управления (ОУ). Требуется определить:

— передаточную функцию разомкнутой системы W∞(s),

— характеристическое выражение замкнутой системы (ХВЗС),

— передаточные функции замкнутой системы Фз(s) – по заданию, Фв(s) – по возмущению, ФЕ(s) – по ошибке,

— коэффициенты усиления АСР,

— устойчивость системы.

Р — ПИ-регулятор с ПФ вида />;

дифференциальное уравнение объекта управления:

/>.

Определим передаточную функцию объекта:

Wоб(s)/>.

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

/>

Характеристическое выражение замкнутой системы:

/>;

Передаточные функции замкнутой системы:

/>— по заданию;

/>— по ошибке;

/>— по возмущению.

По передаточным функциям определим коэффициенты усиления путем подстановки в них s= 0:

К3 = Ф3(0) = 1 – по заданию;

КЕ = ФЕ(0) = 0 – по ошибке;

Кв = Фв(0) = 0 – по возмущению.

Определим устойчивость АСР по критерию Гурвица.

Так как коэффициенты ХВЗС а3 = 4, а2 = 6, а1 = 18, а0 = 4 (степень полинома n= 3), то матрица Гурвица имеет вид:

/>

Диагональные миноры матрицы равны соответственно:

/>

Поскольку все определители положительны, то АСР является устойчивой.

Практическая работа № 3

По табличным данным построить переходную кривую объекта, определить параметры передаточной функции объекта, рассчитать настройки ПИД-регулятора, обеспечивающие 20%-е перерегулирование.

DXвх = 5,5 кПа; DY = 0,149 %; tзап = 40 сек

t, мин

20

50

80

110

140

170

200

230

260

DY

0,009

0,032

0,060

0,089

0,116

0,130

0,141

0,149

0,149

Полученная переходная характеристика изображена на рисунке 5:

/>

Рис. 5. Переходная характеристика.

Установившееся значение выходной величины составляет:

/>;

Коэффициент усиления равен:

/>;

Постоянная времени равна:

/>.

Для процесса с 20 % перерегулированием ПИД-регулятора, его настройки:

/>;

/>;

/>.

    продолжение
--PAGE_BREAK--

Практическая работа № 4

Дана одноконтурная АСР. Требуется определить:

передаточные функции регулятора и объекта управления,

передаточную функцию разомкнутой системы W∞(s),

характеристическое выражение замкнутой системы (ХВЗС),

передаточные функции замкнутой системы Фз(s) – по заданию,

Фв(s) – по возмущению, ФЕ(s) – по ошибке,

коэффициенты усиления АСР,

примерный вид переходных процессов по заданию, ошибке и возмущению,

устойчивость системы.

Структурная схема АСР:

/>

W1(s): />; W2(s): />;

K1 = 1,2; K0 = 1,0; K= 1,0

Передаточная функция регулятора:

/>.

Передаточная функция объекта управления:

/>.

Определим операторные уравнения звеньев объекта управления: для этого обозначим Y(s) и U(s) как изображения сигналов соответственноyи u, тогда операторные уравнения примут вид:

W1(s): sY(s) = 2U(s);

W2(s): 2s2Y(s)+sY(s)+4Y(s)=7U(s).

Данные уравнения можно преобразовать, вынеся Y(s) и U(s) за скобки:

W1(s): sY(s) = 2U(s);

W2(s): Y(s)·(2s2+s+4)=7U(s).

Отсюда получено:

W1(s): Y(s)= />

W2(s): Y(s)=/>.

Тогда:

/>

/>.

Передаточная функция объекта управления:

/>

Передаточная функция разомкнутой системы:

/>

/>

Характеристическое выражение замкнутой системы:

/>

передаточные функции замкнутой системы

Ф3(s) – по заданию:

/>

ФЕ(s) – по ошибке:

/>

ФВ(s) – по возмущению:

При определении передаточной функции по возмущению принимается Wу.в. = Wоу. Тогда:

/>

/>.

По передаточным функциям определим коэффициенты усиления путем подстановки в них s = 0:

К3 = Ф3(0) = 1 – по заданию;

    продолжение
--PAGE_BREAK--

КЕ = ФЕ(0) = 0 – по ошибке;

Кв = Фв(0) = 0 – по возмущению.

Определим устойчивость АСР по критерию Гурвица.

Так как коэффициенты ХВЗС />(степень полинома n= 4), то матрица Гурвица имеет вид:

/>

Диагональные миноры матрицы равны соответственно:

/>

Поскольку все определители положительны, то АСР является устойчивой.

Определим вид переходных процессов по заданию, ошибке и возмущению:

По заданию:

/>

Корни знаменателя:

/>

Изображение разбивается на сумму дробей:

/>.

Тогда оригинал y(t), согласно таблицам, имеет вид:

y(t) = y+ y1,2(t) + y3,4(t) =

/>+/>;

где a1,2, α3,4и w1,2, w3,4 — действительная и мнимая части пары комплексных корней s1,2 и s3,4 соответственно.

C1,2, С3,4 и D1,2, D3,4 – действительная и мнимая части пары коэффициентов М1 и М3 соответственно.

Для корня s0 = 0:

/>;

Для корней />:

/>=/>;

Для корней />:

/>/>;

Тогда:

/>

Получим оригинал:

/>

/>

б) По ошибке:

/>

Корни знаменателя:

/>

Изображение разбивается на сумму дробей:

/>.

Тогда оригинал y(t), согласно таблицам, имеет вид:

y(t) = y1,2(t) + y3,4(t) =

/>+/>;

где a1,2, α3,4 и w1,2, w3,4 — действительная и мнимая части пары комплексных корней s1,2 и s3,4 соответственно.

    продолжение
--PAGE_BREAK--

C1,2, С3,4 и D1,2, D3,4 – действительная и мнимая части пары коэффициентов М1 и М3 соответственно.

Для корней />:

/>/>

Для корней />:

/>/>;

Тогда:

/>

Получим оригинал:

/>

/>

в) По возмущению:

/>

Корни знаменателя:

/>

Изображение разбивается на сумму дробей:

/>.

Тогда оригинал y(t), согласно таблицам, имеет вид:

y(t) = y1,2(t) + y3,4(t) =

/>+/>;

где a1,2, α3,4 и w1,2, w3,4 — действительная и мнимая части пары комплексных корней s1,2 и s3,4 соответственно.

C1,2, С3,4 и D1,2, D3,4 – действительная и мнимая части пары коэффициентов М1 и М3 соответственно.

Для корней />:

/>/>

Для корней />:

/>/>;

Тогда:

/>

Получим оригинал:

/>

/>