Реферат: Власні числа і власні вектори квадратної матриці характеристичне рівняння















Пошукова робота на тему:

Власні числа і власні вектори квадратної матриці, характеристичне рівняння.

План

Власні числа і власні вектори лінійного перетворення.

Характеристичне рівняння.

Властивості власних векторів і власних значень.

4.3.4. Власні вектори і власні значення лінійного перетворення

            Означення.Ненульовий вектор /> який задовольняє умові

                                      />,                                    (4.17)

називається власним вектором лінійного перетворення />а число />власним значенням. Говорять, що власний вектор /> відповідає власному значенню />

            Задача знаходження всіх власних векторів лінійного перетворення />має важливе значення як для кінцево вимірних просторів, так і у випадку нескінченновимірних просторів. Ми розглянемо її для лінійного простору  кінцевого виміру />

            Якщо в просторі /> вибраний базис, то рівність (4.17) можна записати в координатах як />що зв’зує матрицю />перетворення /> і координатний стовпчик /> вектора />або

                                    />                               (4.18)

де />одинична матриця /> В розгорнутому вигляді (4.18) можна записати так:

   />          (4.18/)

Із рівності (4.18/) знаходимо координати />власного вектора /> Це система /> лінійних алгебраїчних рівнянь з /> невідомими. Оскільки власний вектор />ненульовий вектор, то не всі його координати повинні бути рівними нулю. Однорідна система (4.18/) має нетривіальні розв’язки тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю, тобто

       />            (4.19)

Рівняння (4.19) називається характеристичним рівнянням. Із характеристичного рівняння знаходяться всі власні значення лінійного перетворення />Ясно, що в дійсному просторі комплексні корені не можуть бути власними значеннями.

            Знайшовши із рівняння (4.19) всі власні значення />, ми кожне із них підставляємо в систему (4.18/) і знаходимо власні вектори />, що відповідають цим власним значенням.

            Приклад. Знайти власні значення та власні вектори лінійного перетворення />що задається в деякому базисі матрицею

/>

             Р о з в ‘ я з о к. Запишемо характеристичне рівняння (4.19) />

/>

/>, тоді /> і власні значення матриці /> /> Нехай /> власний вектор, що відповідає власному значенню /> Для визначення його координат запишемо систему рівнянь (4.18/)

/>загальний розв’язок якої буде  />

Оскільки ми шукаємо ненульові розв’язки однорідної системи, то, покладаючи /> і /> одержимо два власних вектори, що відповідають власному значенню /> 

/>  і /> причому />

Приведемо без доведення деякі властивості власних векторів і власних значень.

            1.  Власні вектори />, що відповідають попарно різним власним значенням />, лінійно незалежні.

            2. Якщо /> і />матриці лінійного перетворення /> в різних базисах, то характеристичні многочлени цих матриць співпадають, тобто

/>

            3. Якщо деяке власне значення /> перетворення /> є коренем характеристичного рівняння кратності />то йому відповідає не більше />лінійно незалежних власних векторів.

            4. Власні значення симетричної матриці дійсні, а власні вектори, що відповідають різним власним значенням ортогональні.

            5. Матриця лінійного перетворення /> в базисі />має діагональний вигляд тоді і тільки тоді, коли всі вектори базису – власні вектори перетворення, причому на головній діагоналі знаходяться його власні значення.

6. Якщо всі корені характеристичного многочлена матриці />

різні, то існує така матриця /> із визначником, що не дорівнює нулю, що матриця /> діагональна.

           

еще рефераты
Еще работы по математике