Реферат: Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов

--PAGE_BREAK--1. Общие определения и обозначения

Бинарной алгебраической операциейна множестве <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290027803-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129"> называют отображение декартова квадрата <img border=«0» width=«45» height=«17» src=«ref-1_1290028425-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130"> во множество <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290027803-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">. Если <img border=«0» width=«100» height=«21» src=«ref-1_1290028650-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">  — бинарная операция на <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290027803-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">, то каждой упорядоченной паре <img border=«0» width=«37» height=«21» src=«ref-1_1290028946-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134"> элементов из <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290027803-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135"> соответствует однозначно определенный элемент <img border=«0» width=«72» height=«21» src=«ref-1_1290029175-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136">. Бинарную операцию на <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290027803-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137"> обозначают одним из символов: <img border=«0» width=«75» height=«21» src=«ref-1_1290029449-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138"> и т.д. Если, например, вместо <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1290029629-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139"> условимся писать <img border=«0» width=«11» height=«11» src=«ref-1_1290029723-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140">, то вместо <img border=«0» width=«72» height=«21» src=«ref-1_1290029802-173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141"> пишем <img border=«0» width=«56» height=«19» src=«ref-1_1290029975-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">.

Говорят, что на множестве X определена бинарная операция (умножение), если <img border=«0» width=«51» height=«19» src=«ref-1_1290030111-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143"> для всех <img border=«0» width=«56» height=«21» src=«ref-1_1290030249-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">.

Если <img border=«0» width=«88» height=«21» src=«ref-1_1290030398-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145"> для всех <img border=«0» width=«67» height=«21» src=«ref-1_1290030602-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146">, то операция называется ассоциативной.

Если <img border=«0» width=«53» height=«19» src=«ref-1_1290030761-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147"> для всех <img border=«0» width=«56» height=«21» src=«ref-1_1290030249-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148">, то операция называется коммутативной.

Элемент <img border=«0» width=«41» height=«19» src=«ref-1_1290031052-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149"> называется единичным, если <img border=«0» width=«75» height=«15» src=«ref-1_1290031173-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150"> для всех <img border=«0» width=«41» height=«19» src=«ref-1_1290031315-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151">.

Обратнымк элементу <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1290031440-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152"> называется такой элемент <img border=«0» width=«24» height=«21» src=«ref-1_1290031523-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">, что <img border=«0» width=«97» height=«21» src=«ref-1_1290031629-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">.

Полугруппойназывается непустое множество <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1290031812-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155"> с бинарной алгебраической операцией (умножение), удовлетворяющей следующим требованиям:

(1) операция определена на <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1290031812-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">, т.е. <img border=«0» width=«45» height=«19» src=«ref-1_1290031988-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157"> для всех <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1290025549-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158"> и <img border=«0» width=«37» height=«19» src=«ref-1_1290032208-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">;

(2) операция ассоциативна, т.е. <img border=«0» width=«87» height=«21» src=«ref-1_1290032329-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160"> для любых <img border=«0» width=«63» height=«21» src=«ref-1_1290032533-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">.

Группойназывается непустое множество <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162"> с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:

(1) операция определена на <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">, т.е. <img border=«0» width=«48» height=«19» src=«ref-1_1290032877-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164"> для всех <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1290025549-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165"> и <img border=«0» width=«40» height=«19» src=«ref-1_1290033099-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">;

(2) операция ассоциативна, т.е. <img border=«0» width=«87» height=«21» src=«ref-1_1290032329-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167"> для любых <img border=«0» width=«65» height=«21» src=«ref-1_1290033429-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">;

(3) в <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169"> существует единичный элемент, т.е. такой элемент <img border=«0» width=«39» height=«19» src=«ref-1_1290033683-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">, что <img border=«0» width=«75» height=«15» src=«ref-1_1290031173-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171"> для всех <img border=«0» width=«40» height=«19» src=«ref-1_1290033943-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">;

(4) каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого <img border=«0» width=«40» height=«19» src=«ref-1_1290033943-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173"> существует такой элемент <img border=«0» width=«52» height=«21» src=«ref-1_1290034195-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">, что <img border=«0» width=«97» height=«21» src=«ref-1_1290031629-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">.

Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой.

Если <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">  — конечное множество, являющееся группой, то G называют конечной группой, а число <img border=«0» width=«27» height=«21» src=«ref-1_1290019990-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177"> элементов в <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">  — порядком группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">.

Также группой называется непустое множество <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180"> с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:

(1) операция определена на <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">;

(2) операция ассоциативна;

(3) уравнения <img border=«0» width=«45» height=«19» src=«ref-1_1290035112-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">, <img border=«0» width=«45» height=«21» src=«ref-1_1290035238-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183"> имеют решения для любых элементов <img border=«0» width=«53» height=«21» src=«ref-1_1290035371-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">.

Подмножество <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290020910-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185"> группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186"> называется подгруппой, если <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290020910-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">  — группа относительно той же операции, которая определена на группе <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">. Для подгруппы используется следующее обозначение: <img border=«0» width=«47» height=«19» src=«ref-1_1290020777-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189">. Запись <img border=«0» width=«47» height=«19» src=«ref-1_1290020777-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190"> читается так: <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290020910-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">  — подгруппа группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">.

Также можно дать следующее определение подгруппы конечной группы. Непустое подмножество <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290020910-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193"> конечной группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194"> называется подгруппой, если <img border=«0» width=«60» height=«23» src=«ref-1_1290036542-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195"> для всех <img border=«0» width=«16» height=«23» src=«ref-1_1290036706-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196"> и <img border=«0» width=«51» height=«23» src=«ref-1_1290036806-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">

Собственнойназывается подгруппа, отличная от группы.

Пусть <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">  — группа, <img border=«0» width=«47» height=«19» src=«ref-1_1290020777-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199"> и <img border=«0» width=«41» height=«21» src=«ref-1_1290024520-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">. Правым смежным классом группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201"> по подгруппе <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290020910-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202"> называется множество <img border=«0» width=«117» height=«21» src=«ref-1_1290037502-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203">всех элементов группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204"> вида <img border=«0» width=«23» height=«21» src=«ref-1_1290037843-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205">, где <img border=«0» width=«13» height=«19» src=«ref-1_1290037951-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206"> пробегает все элементы подгруппы <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290020910-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207">.

Аналогично определяется левый смежный класс <img border=«0» width=«123» height=«21» src=«ref-1_1290038133-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">

Если <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">  — конечная группа, то число различных правых смежных классов по подгруппе <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290020910-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210"> также будет конечно, оно называется индексом подгруппы <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290020910-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211"> в группе <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212"> и обозначается через <img border=«0» width=«51» height=«21» src=«ref-1_1290023031-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213">.

Подгруппа <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290020910-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214"> называется нормальной подгруппой группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">, если <img border=«0» width=«63» height=«19» src=«ref-1_1290039099-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216"> для всех <img border=«0» width=«40» height=«19» src=«ref-1_1290039248-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">. Запись <img border=«0» width=«47» height=«19» src=«ref-1_1290021742-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218"> читается так: <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290020910-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">  — нормальная подгруппа группы <img border=«0» width=«19» height=«19» src=«ref-1_1290039596-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220"> Равенство <img border=«0» width=«63» height=«19» src=«ref-1_1290039099-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221"> означает, что для любого элемента <img border=«0» width=«47» height=«23» src=«ref-1_1290039841-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222"> существует элемент <img border=«0» width=«48» height=«23» src=«ref-1_1290039985-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223"> такой, что <img border=«0» width=«63» height=«23» src=«ref-1_1290040127-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224">.

Пусть <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290020910-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">  — нормальная подгруппа группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">. Обозначим через <img border=«0» width=«17» height=«23» src=«ref-1_1290040479-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227"> совокупность всех левых смежных классов группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228"> по подгруппе <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290020910-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">, т.е. <img border=«0» width=«111» height=«25» src=«ref-1_1290040766-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230">. Группа <img border=«0» width=«17» height=«23» src=«ref-1_1290040479-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231"> называется факторгруппой группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232"> по подгруппе <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290020910-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233"> и обозначается через <img border=«0» width=«35» height=«19» src=«ref-1_1290022723-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">.

Условимся через S<img border=«0» width=«48» height=«21» src=«ref-1_1290041411-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235"> обозначать совокупность всех подгрупп группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236">, содержащих подгруппу <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290020910-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237">. В частности, S<img border=«0» width=«45» height=«21» src=«ref-1_1290041744-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238">=S<img border=«0» width=«28» height=«21» src=«ref-1_1290041884-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239"> — совокупность всех подгрупп группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240">, а S<img border=«0» width=«85» height=«21» src=«ref-1_1290042093-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241">.

Каждая нормальная подгруппа <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290020910-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242"> группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243"> определяет цепочку <img border=«0» width=«57» height=«19» src=«ref-1_1290042480-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244">. Обобщая эту ситуацию, цепочку <img border=«0» width=«152» height=«24» src=«ref-1_1290042638-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245">

вложенных друг в друга нормальных подгрупп группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246"> называют нормальным рядом в <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247">.

Ряд называется субнормальным, если выполняется более слабое условие: каждый предыдущий его член есть нормальная подгруппа следующего члена, т.е. <img border=«0» width=«49» height=«24» src=«ref-1_1290043115-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248"> для <img border=«0» width=«100» height=«21» src=«ref-1_1290043272-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249">

Члены субнормальных рядов называются субнормальными подгруппами (если подгруппа <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290020910-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250"> субнормальна в <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251">, то пишут (<img border=«0» width=«57» height=«19» src=«ref-1_1290022063-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252">).

Ясно, что каждый нормальный ряд является субнормальным.

Собственная подгруппа <img border=«0» width=«21» height=«17» src=«ref-1_1290043794-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253"> неединичной группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254"> называется максимальной подгруппой, если <img border=«0» width=«21» height=«17» src=«ref-1_1290043794-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255"> не содержится ни в какой другой подгруппе, отличной от всей группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256">, т.е. если из условия <img border=«0» width=«79» height=«19» src=«ref-1_1290044186-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257"> следует, что <img border=«0» width=«52» height=«17» src=«ref-1_1290044363-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258"> или <img border=«0» width=«48» height=«19» src=«ref-1_1290044503-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259">. Для максимальной подгруппы <img border=«0» width=«21» height=«17» src=«ref-1_1290043794-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260"> неединичной группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261"> используется запись <img border=«0» width=«52» height=«19» src=«ref-1_1290044829-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262">

В абелевой группе любые два элемента перестановочны. Если группа неабелева, то в ней существуют неперестановочные элементы, т.е. такие элементы <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1290025549-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263"> и <img border=«0» width=«13» height=«19» src=«ref-1_1290025633-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264">, что <img border=«0» width=«53» height=«19» src=«ref-1_1290045142-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265">. Поэтому естественно рассмотреть элемент <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1290020308-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266">, для которого <img border=«0» width=«61» height=«19» src=«ref-1_1290045371-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267">. Отсюда <img border=«0» width=«83» height=«21» src=«ref-1_1290045524-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268">.

Коммутаторомэлементов <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1290025549-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269"> и <img border=«0» width=«13» height=«19» src=«ref-1_1290025633-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270"> называют элемент <img border=«0» width=«59» height=«21» src=«ref-1_1290045879-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271">, который обозначают через <img border=«0» width=«36» height=«21» src=«ref-1_1290046036-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272">. Ясно, что <img border=«0» width=«85» height=«21» src=«ref-1_1290046167-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273">.

Подгруппа, порождённая коммутаторами всех элементов группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274">, называется коммутантом группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275"> и обозначается через <img border=«0» width=«20» height=«19» src=«ref-1_1290020487-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276">. Таким образом, <img border=«0» width=«148» height=«21» src=«ref-1_1290046660-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277">.

Для любой неединичной подгруппы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278"> можно построить цепочку коммутантов <img border=«0» width=«235» height=«21» src=«ref-1_1290047033-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279">

Если существует номер <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1290047393-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280"> такой, что <img border=«0» width=«59» height=«21» src=«ref-1_1290047477-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281">, то группа <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282"> называется разрешимой.

Если <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1290047725-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283">  — непустое подмножество группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284"> и <img border=«0» width=«41» height=«21» src=«ref-1_1290024520-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285">, то <img border=«0» width=«225» height=«21» src=«ref-1_1290048043-378.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286">

Элемент <img border=«0» width=«41» height=«21» src=«ref-1_1290024520-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287"> называется перестановочным с подмножеством <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1290047725-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288">, если <img border=«0» width=«59» height=«21» src=«ref-1_1290048644-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289">. Равенство <img border=«0» width=«59» height=«21» src=«ref-1_1290048644-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290"> означает, что для любого элемента <img border=«0» width=«40» height=«23» src=«ref-1_1290048952-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291"> существует такой элемент <img border=«0» width=«41» height=«23» src=«ref-1_1290049080-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292">, что <img border=«0» width=«60» height=«23» src=«ref-1_1290049210-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293">. Если элемент <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1290049365-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294"> перестановочен с подмножеством <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1290047725-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295">, то <img border=«0» width=«177» height=«24» src=«ref-1_1290049543-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296">

Совокупность всех элементов группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297">, перестановочных с подмножеством <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1290047725-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298"> называется нормализатором подмножества <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1290047725-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299"> в группе <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300"> и обозначается через <img border=«0» width=«48» height=«24» src=«ref-1_1290050217-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301">. Итак, <img border=«0» width=«297» height=«25» src=«ref-1_1290050367-473.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302">

Пусть <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303"> и <img border=«0» width=«15» height=«16» src=«ref-1_1290050935-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304">  — мультипликативные группы. Отображение <img border=«0» width=«68» height=«21» src=«ref-1_1290051026-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305"> называется гомоморфизмом группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306"> в группу <img border=«0» width=«15» height=«16» src=«ref-1_1290050935-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307">, если <img border=«0» width=«117» height=«21» src=«ref-1_1290051374-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308"> для любых <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1290020308-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309"> и <img border=«0» width=«41» height=«21» src=«ref-1_1290051713-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310">.

Если <img border=«0» width=«21» height=«17» src=«ref-1_1290043794-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311">  — подмножество группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312">, то <img border=«0» width=«155» height=«21» src=«ref-1_1290052038-316.coolpic» v:shapes="_x0000_i1313"> образ <img border=«0» width=«21» height=«17» src=«ref-1_1290043794-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1314"> при гомоморфизме <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1290029629-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1315">, а <img border=«0» width=«37» height=«21» src=«ref-1_1290052549-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1316">  — образ гомоморфизма <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1290029629-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1317">. Образ гомоморфизма <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1290029629-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1318"> также обозначают через <img border=«0» width=«33» height=«21» src=«ref-1_1290052872-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1319">.

Ядромгомоморфизма <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1290029629-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1320"> называется множество <img border=«0» width=«172» height=«21» src=«ref-1_1290053094-316.coolpic» v:shapes="_x0000_i1321">где <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1290053410-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1322">  — единичный элемент группы <img border=«0» width=«15» height=«16» src=«ref-1_1290050935-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1323">. Другими словами, в ядре собраны все элементы группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1324">, переходящие при отображении <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1290029629-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1325"> в единичный элемент группы <img border=«0» width=«15» height=«16» src=«ref-1_1290050935-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1326">.

Гомоморфизм <img border=«0» width=«68» height=«21» src=«ref-1_1290051026-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1327"> называется мономорфизмом, если <img border=«0» width=«77» height=«21» src=«ref-1_1290054028-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1328">. Из леммы 1 следует, что гомоморфизм <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1290029629-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1329"> является мономорфизмом тогда и только тогда, когда отображение <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1290029629-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1330">  — инъекция.

Если <img border=«0» width=«60» height=«21» src=«ref-1_1290054404-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1331">, то гомоморфизм <img border=«0» width=«68» height=«21» src=«ref-1_1290051026-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1332"> называется эпиморфизмом. Ясно, что в этом случае <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1290029629-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1333">  — сюръекция.

Гомоморфизм, который одновременно является мономорфизмом и эпиморфизмом, будет изоморфизмом.


    продолжение
--PAGE_BREAK--2. Используемые результаты
Теорема 1.1(Теорема о соответствии) Пусть <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290020910-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1334">  — нормальная подгруппа группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1335">. Тогда:

(1) если <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290055008-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1336">  — подгруппа группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1337"> и <img border=«0» width=«47» height=«19» src=«ref-1_1290055196-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1338">, то <img border=«0» width=«61» height=«23» src=«ref-1_1290055326-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1339">  — подгруппа факторгруппы <img border=«0» width=«63» height=«23» src=«ref-1_1290055485-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1340">;

(2) каждая подгруппа факторгруппы <img border=«0» width=«63» height=«23» src=«ref-1_1290055485-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1341"> имеет вид <img border=«0» width=«59» height=«23» src=«ref-1_1290055807-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1342">, где <img border=«0» width=«16» height=«19» src=«ref-1_1290055963-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1343">  — подгруппа группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1344"> и <img border=«0» width=«45» height=«19» src=«ref-1_1290056151-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1345">;

(3) отображение <img border=«0» width=«72» height=«25» src=«ref-1_1290056282-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1346"> является биекцией множества S<img border=«0» width=«48» height=«21» src=«ref-1_1290041411-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1347"> на множество S<img border=«0» width=«28» height=«25» src=«ref-1_1290056605-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1348">;

(4) если <img border=«0» width=«29» height=«19» src=«ref-1_1290056726-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1349"> S<img border=«0» width=«48» height=«21» src=«ref-1_1290041411-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1350">, то <img border=«0» width=«19» height=«19» src=«ref-1_1290016937-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1351">  — нормальная подгруппа группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1352"> тогда и только тогда, когда <img border=«0» width=«35» height=«19» src=«ref-1_1290057173-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1353">  — нормальная подгруппа факторгруппы <img border=«0» width=«35» height=«19» src=«ref-1_1290022723-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1354">.

Лемма 1.2Пусть <img border=«0» width=«68» height=«21» src=«ref-1_1290051026-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1355">  — гомоморфизм группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1356"> в группу <img border=«0» width=«15» height=«16» src=«ref-1_1290050935-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1357">. Тогда:

(1) единичный элемент <img border=«0» width=«12» height=«15» src=«ref-1_1290057762-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1358"> группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1359"> переходит в единичный элемент <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1290053410-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1360"> группы <img border=«0» width=«15» height=«16» src=«ref-1_1290050935-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1361">, т.е. <img border=«0» width=«57» height=«21» src=«ref-1_1290058115-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1362">;

(2) обратный элемент переходит в обратный, т.е. <img border=«0» width=«101» height=«24» src=«ref-1_1290058273-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1363"> для всех <img border=«0» width=«40» height=«19» src=«ref-1_1290033943-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1364">;

(3) образ гомоморфизма является подгруппой группы <img border=«0» width=«15» height=«16» src=«ref-1_1290050935-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1365">, т.е. <img border=«0» width=«59» height=«21» src=«ref-1_1290058721-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1366">;

(4) ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1367">, т.е. <img border=«0» width=«68» height=«21» src=«ref-1_1290058980-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1368">;

(5) тогда и только тогда <img border=«0» width=«85» height=«21» src=«ref-1_1290059159-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1369"> где <img border=«0» width=«60» height=«21» src=«ref-1_1290059365-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1370"> когда <img border=«0» width=«84» height=«24» src=«ref-1_1290059522-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1371">.

Лемма 1.3Пусть <img border=«0» width=«68» height=«21» src=«ref-1_1290051026-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1372">  — гомоморфизм группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1373"> в группу <img border=«0» width=«15» height=«16» src=«ref-1_1290050935-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1374">. Тогда:

(1) если <img border=«0» width=«47» height=«19» src=«ref-1_1290020777-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1375">, то <img border=«0» width=«65» height=«21» src=«ref-1_1290060212-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1376">;

(2) если <img border=«0» width=«47» height=«19» src=«ref-1_1290021742-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1377">, то <img border=«0» width=«85» height=«21» src=«ref-1_1290060519-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1378">;

(3) если подмножества <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1290047725-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1379"> и <img border=«0» width=«15» height=«19» src=«ref-1_1290060821-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1380"> сопряжены в <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1381">, то <img border=«0» width=«36» height=«21» src=«ref-1_1290061007-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1382"> и <img border=«0» width=«36» height=«21» src=«ref-1_1290061138-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1383"> сопряжены в <img border=«0» width=«33» height=«21» src=«ref-1_1290052872-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1384">.

Теорема 1.4(Основная теорема о гомоморфизме) При гомоморфизме групп факторгруппа по ядру изоморфна образу, т.е. если <img border=«0» width=«68» height=«21» src=«ref-1_1290051026-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1385">  — гомоморфизм, то <img border=«0» width=«88» height=«21» src=«ref-1_1290061562-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1386">.

Теорема 1.5(первая о изоморфизме) Пусть <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290020910-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1387">  — нормальная подгруппа группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1388">. Тогда для любой подгруппы <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1290023713-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1389"> пересечение <img border=«0» width=«47» height=«17» src=«ref-1_1290062063-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1390"> является нормальной подгруппой в подгруппе <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1290023713-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1391">, а отображение <img border=«0» width=«131» height=«21» src=«ref-1_1290062286-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1392">

является изоморфизмом групп <img border=«0» width=«45» height=«19» src=«ref-1_1290062540-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1393"> и <img border=«0» width=«61» height=«19» src=«ref-1_1290062674-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i1394">.

Теорема 1.6(вторая о изоморфизме) Если <img border=«0» width=«19» height=«19» src=«ref-1_1290016937-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1395"> и <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290020910-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1396">  — нормальные подгруппы группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1397">, причем <img border=«0» width=«48» height=«19» src=«ref-1_1290063112-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1398">, то <img border=«0» width=«33» height=«19» src=«ref-1_1290017034-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1399"> изоморфна <img border=«0» width=«65» height=«19» src=«ref-1_1290063370-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1400">.

Лемма 3.1 Пусть <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1290063534-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1401">  — формация, <img border=«0» width=«35» height=«21» src=«ref-1_1290063625-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1402">. Тогда

<img border=«0» width=«121» height=«24» src=«ref-1_1290063758-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1403">

Лемма 20.6. Пусть <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1290017505-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1404">  — подгрупповой функтор и <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1405">  — группа. Если <img border=«0» width=«65» height=«21» src=«ref-1_1290064200-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1406"> и <img border=«0» width=«57» height=«21» src=«ref-1_1290064366-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1407">, тогда <img border=«0» width=«61» height=«21» src=«ref-1_1290064535-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1408">.

Лемма 20.7. Пусть <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1290023713-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1409">, <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1290023805-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1410">  — элементарно абелевы <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1290025224-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1411">-группы с <img border=«0» width=«57» height=«21» src=«ref-1_1290064970-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1412">. Тогда <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1290023713-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1413"> имеет подгруппу <img border=«0» width=«19» height=«19» src=«ref-1_1290016937-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1414"> такую, что <img border=«0» width=«48» height=«20» src=«ref-1_1290065328-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1415">.

Теорема. Пусть <img border=«0» width=«67» height=«24» src=«ref-1_1290065475-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1416">  — такой набор конгруэнций <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1290065649-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1417">-алгебры A, что <img border=«0» width=«83» height=«24» src=«ref-1_1290065743-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1418">. Пусть <img border=«0» width=«96» height=«36» src=«ref-1_1290065926-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1419"> прямое произведение факторалгебр <img border=«0» width=«35» height=«24» src=«ref-1_1290066225-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1420"> и <img border=«0» width=«187» height=«24» src=«ref-1_1290066355-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i1421">

Тогда <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1290029629-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1422">  — мономорфизм алгебры <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1290023713-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1423"> в алгебру <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1290066852-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1424"> и <img border=«0» width=«67» height=«24» src=«ref-1_1290066945-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1425"> входит подпрямо в <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1290066852-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1426">.

Теорема 20.8. Пусть <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290027803-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1427">  — конечное многообразие локально конечных групп, причем каждая группа из <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290027803-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1428"> либо счетна, либо конечна. Тогда в том и только в том случае решетка <img border=«0» width=«41» height=«21» src=«ref-1_1290027667-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1429"> является цепью, когда существует такое простое число <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1290025224-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1430">, что каждая группа в <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290027803-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1431"> является элементарно абелевой <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1290025224-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1432">-группой.

Теорема 20.9. Пусть <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1433">  — конечная группа и <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1290063534-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1434">  — конечное многообразие, порожденное <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1435">. Тогда в том и только в том случае <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1436"> является элементарной абелевой <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1290025224-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1437">-группой, когда решетка <img border=«0» width=«40» height=«21» src=«ref-1_1290068279-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1438"> является цепью.

Лемма 24.9 Пусть <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290027803-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1439">  — наследственный гомоморф конечных групп. Пусть <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1290017505-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1440">  — замкнутый подгрупповой функтор на <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290027803-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1441"> Пусть <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1290023713-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1442">  — нильпотентная группа в <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290027803-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1443"> и <img border=«0» width=«101» height=«21» src=«ref-1_1290068881-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1444"> Предположим, что <img border=«0» width=«67» height=«21» src=«ref-1_1290069098-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1445">, где <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1290025224-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1446">  — простое число. Пусть <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1290023805-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1447">  — нильпотентная группа в <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290027803-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1448"> такая, что <img border=«0» width=«60» height=«21» src=«ref-1_1290018518-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1449"> и <img border=«0» width=«80» height=«24» src=«ref-1_1290069713-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1450"> Тогда <img border=«0» width=«63» height=«21» src=«ref-1_1290069896-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1451">

Лемма 24.10 Пусть <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290027803-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1452">  — наследственный гомоморф конечных нильпотентных групп и <img border=«0» width=«153» height=«24» src=«ref-1_1290070156-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1453"> Пусть <img border=«0» width=«179» height=«24» src=«ref-1_1290070432-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1454"> Если <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1290017505-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1455">  — идемпотент в <img border=«0» width=«41» height=«21» src=«ref-1_1290027667-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1456">, удовлетворяющий условию <img border=«0» width=«128» height=«24» src=«ref-1_1290070949-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1457"> и <img border=«0» width=«116» height=«24» src=«ref-1_1290071174-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1458">, где <img border=«0» width=«79» height=«21» src=«ref-1_1290071391-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1459"> тогда <img border=«0» width=«133» height=«24» src=«ref-1_1290071556-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1460">

Теорема 24.11 Пусть <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290027803-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1461">  — конечное многообразие групп. И пусть каждая группа в <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290027803-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1462"> конечная. Тогда ширина <img border=«0» width=«17» height=«15» src=«ref-1_1290071965-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1463"> решетки <img border=«0» width=«45» height=«24» src=«ref-1_1290072053-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1464"> всех идемпотентов в <img border=«0» width=«41» height=«21» src=«ref-1_1290027667-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1465"> конечна и <img border=«0» width=«75» height=«21» src=«ref-1_1290072335-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1466"> в том и только в том случае, когда <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290027803-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1467"> состоит из нильпотентных групп и <img border=«0» width=«103» height=«21» src=«ref-1_1290072629-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1468">


    продолжение
--PAGE_BREAK--3. Определения и основные примеры подгрупповых функторов


Пусть <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1290017155-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1469"> некоторый класс групп. Составим с каждой группой <img border=«0» width=«43» height=«19» src=«ref-1_1290017246-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1470"> некоторую систему ее подгрупп <img border=«0» width=«36» height=«21» src=«ref-1_1290017376-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1471">. Будем говорить, что <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1290017505-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1472">  — подгрупповой <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1290017155-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1473">-функтор или подгрупповой функтор на <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1290017155-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1474">, если выполняются следующие условия: 1) <img border=«0» width=«63» height=«21» src=«ref-1_1290017772-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1475"> для всех <img border=«0» width=«43» height=«19» src=«ref-1_1290017246-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1476">;

2) для любого эпиморфизма <img border=«0» width=«69» height=«21» src=«ref-1_1290018065-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1477">, где А,<img border=«0» width=«41» height=«17» src=«ref-1_1290018226-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1478"> и для любых групп <img border=«0» width=«61» height=«21» src=«ref-1_1290018354-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1479"> и <img border=«0» width=«60» height=«21» src=«ref-1_1290018518-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1480"> имеет место <img border=«0» width=«72» height=«24» src=«ref-1_1290018678-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1481"> и <img border=«0» width=«81» height=«28» src=«ref-1_1290018852-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1482">

Подгрупповой <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1290017155-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1483">-функтор <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1290017505-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1484"> называется:

1) замкнутым, если для любых двух групп <img border=«0» width=«43» height=«19» src=«ref-1_1290017246-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1485"> и <img border=«0» width=«93» height=«21» src=«ref-1_1290075058-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1486"> имеет место <img border=«0» width=«88» height=«21» src=«ref-1_1290075266-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1487">;

2) тривиальным, если для любой группы <img border=«0» width=«43» height=«19» src=«ref-1_1290017246-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1488"> имеет место

<img border=«0» width=«76» height=«21» src=«ref-1_1290075600-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1489">;

3) единичным, если для любой группы <img border=«0» width=«43» height=«19» src=«ref-1_1290017246-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1490"> система <img border=«0» width=«36» height=«21» src=«ref-1_1290017376-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1491"> состоит из всех подгрупп группы G.

Тривиальный подгрупповой <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1290017155-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1492">-функтор обозначается символом <img border=«0» width=«20» height=«23» src=«ref-1_1290026388-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1493">, а единичный — символом <img border=«0» width=«17» height=«23» src=«ref-1_1290026580-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1494">.

Если <img border=«0» width=«53» height=«20» src=«ref-1_1290076330-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1495"> и <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1290017505-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1496">  — подгрупповой <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290027803-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1497">-функтор, то <img border=«0» width=«24» height=«25» src=«ref-1_1290076660-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i1498">  — такой подгрупповой <img border=«0» width=«21» height=«17» src=«ref-1_1290043794-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1499">-функтор, что <img border=«0» width=«87» height=«25» src=«ref-1_1290076869-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1500"> для всех <img border=«0» width=«48» height=«19» src=«ref-1_1290077078-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1501">. Такой функтор называется ограничением функтора <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1290017505-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1502"> на классе <img border=«0» width=«21» height=«17» src=«ref-1_1290043794-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1503">.

Рассмотрим несколько примеров подгрупповых функторов. В случае, когда <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1290017155-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1504">  — класс всех групп, подгрупповые <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1290017155-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1505">-функторы мы будем называть просто подгрупповыми функторами.

Пример 1. Пусть для любой группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1506">, <img border=«0» width=«127» height=«23» src=«ref-1_1290077680-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1507"> <img border=«0» width=«15» height=«23» src=«ref-1_1290077945-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1508"> <img border=«0» width=«23» height=«21» src=«ref-1_1290078036-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1509">

Понятно, что <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1290017505-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1510">  — замкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого подгруппового функтора мы применяем запись <img border=«0» width=«79» height=«21» src=«ref-1_1290078226-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1511">.

Пример 2. Пусть <img border=«0» width=«91» height=«24» src=«ref-1_1290078412-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1512">  — совокупность всех нормальных подгрупп группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1513"> для каждой группы <img border=«0» width=«45» height=«19» src=«ref-1_1290078719-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1514">. Такой функтор в общем случае замкнутым не является.

Пример 3. Пусть <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1290047393-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1515">  — произвольное натуральное число. Для каждой группы <img border=«0» width=«45» height=«19» src=«ref-1_1290078719-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1516"> через <img border=«0» width=«36» height=«21» src=«ref-1_1290017376-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1517"> обозначим совокупность всех таких подгрупп <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290020910-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1518">, для которых <img border=«0» width=«72» height=«21» src=«ref-1_1290079286-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1519">. Понятно, что <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1290017505-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1520">  — подгрупповой <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290027803-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1521">-функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись <img border=«0» width=«56» height=«21» src=«ref-1_1290079648-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1522">.

Пример 4. Пусть <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1290047393-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1523">  — произвольное кардинальное число. И пусть для любой группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1524"> <img border=«0» width=«81» height=«23» src=«ref-1_1290079977-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1525"> <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1526"> <img border=«0» width=«7» height=«21» src=«ref-1_1290080265-74.coolpic» v:shapes="_x0000_i1527"> <img border=«0» width=«44» height=«21» src=«ref-1_1290080339-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1528"> <img border=«0» width=«13» height=«16» src=«ref-1_1290080485-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1529"> <img border=«0» width=«19» height=«21» src=«ref-1_1290080577-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1530">.

Понятно, что такой подгрупповой функтор в общем случае не является замкнутым. Для обозначения такого функтора мы применяем запись <img border=«0» width=«56» height=«21» src=«ref-1_1290079648-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1531">.

Если <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1290080828-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1532">  — подгруппа группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1533">, то символом <img border=«0» width=«51» height=«21» src=«ref-1_1290023031-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1534"> обозначается мощность множества <img border=«0» width=«85» height=«21» src=«ref-1_1290081163-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1535">.

Пример 5. Пусть <img border=«0» width=«13» height=«17» src=«ref-1_1290081367-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1536">  — простое число и пусть для любой группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1537"> система <img border=«0» width=«100» height=«21» src=«ref-1_1290081549-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1538"> в <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1539"> нет такой подгруппы <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1290081874-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1540">, что <img border=«0» width=«67» height=«17» src=«ref-1_1290081964-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1541">, <img border=«0» width=«51» height=«21» src=«ref-1_1290082139-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1542">  — натуральное число, взаимнопростое с <img border=«0» width=«21» height=«21» src=«ref-1_1290082292-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1543">.

Покажем, что <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1290017505-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1544">  — подгрупповой функтор.

Действительно, пусть <img border=«0» width=«28» height=«23» src=«ref-1_1290082481-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1545"> <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1290082599-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1546"> и <img border=«0» width=«64» height=«21» src=«ref-1_1290082691-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1547">. Предположим, что <img border=«0» width=«164» height=«21» src=«ref-1_1290082858-343.coolpic» v:shapes="_x0000_i1548">

где <img border=«0» width=«80» height=«21» src=«ref-1_1290083201-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1549">  — натуральное число. Тогда <img border=«0» width=«136» height=«21» src=«ref-1_1290083412-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1550">  — натуральное число и <img border=«0» width=«104» height=«19» src=«ref-1_1290083704-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1551">

Следовательно, <img border=«0» width=«75» height=«21» src=«ref-1_1290083932-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1552">, и поэтому <img border=«0» width=«104» height=«21» src=«ref-1_1290084126-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1553">. Это означает, что <img border=«0» width=«107» height=«21» src=«ref-1_1290084373-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1554">. Аналогично, мы видим, что если <img border=«0» width=«123» height=«25» src=«ref-1_1290084614-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1555">

то <img border=«0» width=«60» height=«21» src=«ref-1_1290084874-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1556">. Таким образом, <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1290017505-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1557">  — подгрупповой функтор. Для обозначения такого подгруппового функтора мы используем запись <img border=«0» width=«72» height=«21» src=«ref-1_1290085118-173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1558">. Заметим, что если <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290027803-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1559">  — некоторый класс конечных групп и <img border=«0» width=«51» height=«25» src=«ref-1_1290085388-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1560">, то <img border=«0» width=«16» height=«23» src=«ref-1_1290085525-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1561">  — замкнутый подгрупповой функтор.

Пример 6. Пусть <img border=«0» width=«44» height=«20» src=«ref-1_1290085619-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1562">. И пусть для каждой группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1563"> множество <img border=«0» width=«36» height=«21» src=«ref-1_1290017376-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1564"> совпадает с совокупностью всех тех подгрупп из <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1565">, индексы которых не делятся на числа из <img border=«0» width=«15» height=«15» src=«ref-1_1290019674-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1566">. Понятно, что <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1290017505-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1567">  — замкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись <img border=«0» width=«59» height=«21» src=«ref-1_1290086245-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1568">.

Напомним, что подгруппа <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290020910-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1569"> группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1570"> называется абнормальной в <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1571">, если всегда из <img border=«0» width=«84» height=«20» src=«ref-1_1290086682-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1572"> следует, что <img border=«0» width=«85» height=«24» src=«ref-1_1290086869-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1573">.

Пример 7. Пусть для любой группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1574"> множество <img border=«0» width=«36» height=«21» src=«ref-1_1290017376-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1575"> совпадает с совокупностью всех абнормальных подгрупп группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1576">. Легко видеть, что <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1290017505-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1577">  — незамкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись <img border=«0» width=«47» height=«24» src=«ref-1_1290087483-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1578">.

Пример 8. Пусть <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1290063534-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1579">  — произвольный класс групп. Подгруппа <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290020910-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1580"> группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1581"> называется <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1290063534-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1582">  — абнормальной в <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1583">, если выполняется одно из следующих двух условий:

1) <img border=«0» width=«48» height=«19» src=«ref-1_1290044503-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1584">;

2) <img border=«0» width=«47» height=«19» src=«ref-1_1290088206-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1585"> и для любых двух подгрупп <img border=«0» width=«20» height=«17» src=«ref-1_1290088336-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1586"> и <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1290081874-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1587"> из <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1588">, где <img border=«0» width=«52» height=«20» src=«ref-1_1290088622-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1589"> и <img border=«0» width=«20» height=«17» src=«ref-1_1290088336-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1590">  — максимальная подгруппа в <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1290081874-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1591"> имеет место <img border=«0» width=«69» height=«23» src=«ref-1_1290088960-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1592">.

Легко видеть, если группа <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1593"> разрешима, то ее подгруппа <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290020910-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1594"> абнормальна в <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1595"> тогда и только тогда, когда она <img border=«0» width=«19» height=«19» src=«ref-1_1290016937-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1596">-абнормальна в <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1597">.

Сопоставляя каждой группе <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1598"> множество всех ее <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1290063534-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1599">-абнормальных подгрупп <img border=«0» width=«36» height=«21» src=«ref-1_1290017376-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1600">, получаем подгрупповой функтор, для которого мы будем применять запись <img border=«0» width=«71» height=«24» src=«ref-1_1290089932-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1601">.

Пример 9. Подгруппа <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290020910-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1602"> группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1603"> называется <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1290063534-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1604">-субнормальной в <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1605">, если выполняется одно из следующих двух условий:

1) <img border=«0» width=«48» height=«19» src=«ref-1_1290044503-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1606">;

2) <img border=«0» width=«47» height=«19» src=«ref-1_1290088206-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1607"> и в <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1608"> имеется такая цепь подгрупп <img border=«0» width=«213» height=«24» src=«ref-1_1290090832-325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1609"> где <img border=«0» width=«31» height=«24» src=«ref-1_1290091157-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1610">  — максимальная в <img border=«0» width=«21» height=«24» src=«ref-1_1290091274-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1611"> подгруппа, содержащая <img border=«0» width=«27» height=«25» src=«ref-1_1290091377-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1612">, <img border=«0» width=«64» height=«21» src=«ref-1_1290091498-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1613">.

Пусть <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1290063534-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1614">  — некоторая непустая формация и для каждой группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1615"> система <img border=«0» width=«36» height=«21» src=«ref-1_1290017376-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1616"> состоит из всех <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1290063534-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1617">-субнормальных в <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1618"> подгрупп.

Покажем, что <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1290017505-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1619">  — подгрупповой функтор. Пусть <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290020910-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1620"> <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1290063534-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1621">-субнормальна в <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1622">. И пусть <img border=«0» width=«31» height=«24» src=«ref-1_1290091157-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1623"> и <img border=«0» width=«21» height=«24» src=«ref-1_1290091274-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1624">  — такие члены цепи (1), что <img border=«0» width=«87» height=«24» src=«ref-1_1290092724-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1625">, где <img border=«0» width=«19» height=«19» src=«ref-1_1290016937-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1626">  — нормальная в <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1627"> подгруппа.

Покажем, что <img border=«0» width=«41» height=«24» src=«ref-1_1290093123-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1628">  — максимальная подгруппа в <img border=«0» width=«32» height=«24» src=«ref-1_1290093265-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1629">. Допустим, что <img border=«0» width=«117» height=«24» src=«ref-1_1290093394-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1630"> для некоторой подгруппы <img border=«0» width=«15» height=«17» src=«ref-1_1290093635-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1631">. Тогда поскольку <img border=«0» width=«31» height=«24» src=«ref-1_1290091157-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1632"> максимальна в <img border=«0» width=«21» height=«24» src=«ref-1_1290091274-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1633">, то либо <img border=«0» width=«92» height=«24» src=«ref-1_1290093943-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1634">, либо <img border=«0» width=«83» height=«24» src=«ref-1_1290094134-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1635">.

Пусть имеет место первое. Тогда поскольку <img border=«0» width=«172» height=«24» src=«ref-1_1290094313-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1636">, то <img border=«0» width=«68» height=«24» src=«ref-1_1290094610-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1637">. Противоречие. Значит, <img border=«0» width=«83» height=«24» src=«ref-1_1290094134-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1638">, т.е. <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1290094958-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1639">. Поэтому <img border=«0» width=«63» height=«24» src=«ref-1_1290095100-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1640">. Противоречие. Итак, ряд <img border=«0» width=«332» height=«24» src=«ref-1_1290095264-546.coolpic» v:shapes="_x0000_i1641"> таков, что в нём для любого <img border=«0» width=«77» height=«21» src=«ref-1_1290095810-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1642"> имеет место одно из двух условий:

1) <img border=«0» width=«121» height=«24» src=«ref-1_1290095976-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1643">;

2) <img border=«0» width=«60» height=«24» src=«ref-1_1290096238-173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1644">  — максимальная подгруппа в <img border=«0» width=«51» height=«24» src=«ref-1_1290096411-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1645">. He теряя общности, мы можем считать, что все члены ряда (2) различны. Заметим, что поскольку <img border=«0» width=«400» height=«25» src=«ref-1_1290096574-701.coolpic» v:shapes="_x0000_i1646"> то <img border=«0» width=«171» height=«25» src=«ref-1_1290097275-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1647">

Итак, <img border=«0» width=«45» height=«19» src=«ref-1_1290097614-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1648">  — <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1290063534-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1649">-субнормальная подгруппа в <img border=«0» width=«33» height=«19» src=«ref-1_1290017034-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1650">. Понятно также, что если <img border=«0» width=«33» height=«19» src=«ref-1_1290097965-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1651">  — <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1290063534-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1652">-субнормальная подгруппа в <img border=«0» width=«33» height=«19» src=«ref-1_1290017034-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1653">, то <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290020910-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1654">  — <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1290063534-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1655">-субнормальная подгруппа в <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1656">. Таким образом, <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1290017505-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1657">  — подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись <img border=«0» width=«75» height=«24» src=«ref-1_1290098663-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1658">.

Класс групп называется гомоморфом, если он содержит все гомоморфные образы всех своих групп. Гомоморф конечных групп <img border=«0» width=«13» height=«17» src=«ref-1_1290098837-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1659"> называется формацией, если каждая конечная группа <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1660"> обладает наименьшей по включению нормальной подгруппой (обозначаемой символом <img border=«0» width=«23» height=«21» src=«ref-1_1290099020-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1661">) со свойством <img border=«0» width=«64» height=«21» src=«ref-1_1290099124-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1662">.

Лемма 3.1 Пусть <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1290063534-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1663">  — формация, <img border=«0» width=«35» height=«21» src=«ref-1_1290063625-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1664">. Тогда <img border=«0» width=«121» height=«24» src=«ref-1_1290063758-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1665">

Доказательство. Пусть <img border=«0» width=«99» height=«24» src=«ref-1_1290099772-229.coolpic» v:shapes="_x0000_i1666">. Тогда <img border=«0» width=«151» height=«21» src=«ref-1_1290100001-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1667">

Отсюда следует, что <img border=«0» width=«57» height=«23» src=«ref-1_1290100303-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1668">. С другой стороны, поскольку <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1290063534-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1669">  — гомоморф, то <img border=«0» width=«308» height=«24» src=«ref-1_1290100553-555.coolpic» v:shapes="_x0000_i1670">

Откуда получаем <img border=«0» width=«100» height=«23» src=«ref-1_1290101108-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1671">. Из <img border=«0» width=«69» height=«23» src=«ref-1_1290101340-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1672"> и <img border=«0» width=«69» height=«23» src=«ref-1_1290101521-184.coolpic» v:shapes="_x0000_i1673"> следует равенство <img border=«0» width=«68» height=«21» src=«ref-1_1290101705-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1674">.

Лемма доказана.

Пример 10. Пусть <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290027803-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1675">  — некоторый класс конечных групп и <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1290063534-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1676">  — формация. Пусть для любой группы <img border=«0» width=«45» height=«19» src=«ref-1_1290078719-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1677"> <img border=«0» width=«157» height=«24» src=«ref-1_1290102189-325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1678">

Покажем, что <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1290017505-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1679">  — подгрупповой <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290027803-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1680">  — функтор.

Действительно, пусть <img border=«0» width=«64» height=«21» src=«ref-1_1290102696-173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1681"> и <img border=«0» width=«65» height=«21» src=«ref-1_1290064200-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1682">. Тогда <img border=«0» width=«59» height=«23» src=«ref-1_1290103035-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1683">, и поэтому, согласно лемме 3.1, мы имеем <img border=«0» width=«179» height=«24» src=«ref-1_1290103193-359.coolpic» v:shapes="_x0000_i1684">

Следовательно, <img border=«0» width=«107» height=«21» src=«ref-1_1290103552-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1685">. Аналогично, если <img border=«0» width=«92» height=«21» src=«ref-1_1290103793-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1686">, то <img border=«0» width=«61» height=«21» src=«ref-1_1290064535-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1687">. Следовательно, <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1290017505-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1688">  — подгрупповой <img border=«0» width=«19» height=«17» src=«ref-1_1290027803-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1689">-функтор. Для обозначения такого функтора мы применяем запись <img border=«0» width=«60» height=«21» src=«ref-1_1290104354-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i1690">.

Пример 11. Для каждой группы <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1691"> через <img border=«0» width=«36» height=«21» src=«ref-1_1290017376-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1692"> обозначим совокупность всех абнормальных максимальных подгрупп из <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1693">. Понятно, что <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1290017505-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1694">  — подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись <img border=«0» width=«53» height=«24» src=«ref-1_1290104910-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1695">.


    продолжение
--PAGE_BREAK--4. Решетки подгрупповых функторов


Аспект применения подгупповых функторов состоит в сопоставлении группе некоторой решетки подгупповых функторов свойства которой тесно связаны со свойствами самой группы. Это позволяет использовать строение группы в зависимости от условий налогаемых на соответствующую решетку подгупповых функторов.

Следует отметить также, что используя понятие подгуппового функтора можно строить новые типы решеток, что указывает на полезность этого понятия и для теории решеток.

Пусть <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1290017155-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1696">  — некоторый класс групп. Будем говорить, что <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1290017155-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1697">  — ограниченный класс, если найдется такое кардинальное число <img border=«0» width=«13» height=«17» src=«ref-1_1290105229-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1698">, что для всех <img border=«0» width=«43» height=«19» src=«ref-1_1290017246-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1699"> имеет место <img border=«0» width=«51» height=«21» src=«ref-1_1290105445-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1700">. Везде в дальнейшем мы предполагаем, что <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1290017155-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1701">  — некоторый ограниченный класс групп.

Обозначим через, <img border=«0» width=«40» height=«21» src=«ref-1_1290105699-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1702"> множество всех подгрупповых <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1290017155-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1703">-функторов, а через <img border=«0» width=«40» height=«25» src=«ref-1_1290105925-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1704">  — множество всех замкнутых подгрупповых <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1290017155-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1705">-функторов. На множестве <img border=«0» width=«40» height=«21» src=«ref-1_1290105699-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1706"> введем частичный порядок <img border=«0» width=«13» height=«16» src=«ref-1_1290080485-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1707">, полагая, что <img border=«0» width=«40» height=«23» src=«ref-1_1290106384-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1708"> имеет место тогда и только тогда, когда для любой группы <img border=«0» width=«43» height=«19» src=«ref-1_1290017246-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1709"> справедливо <img border=«0» width=«95» height=«23» src=«ref-1_1290106653-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1710">.

Для произвольной совокупности подгрупповых <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1290017155-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1711">-функторов <img border=«0» width=«64» height=«24» src=«ref-1_1290027503-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1712"> определим их пересечение <img border=«0» width=«73» height=«28» src=«ref-1_1290107129-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1713"> <img border=«0» width=«101» height=«36» src=«ref-1_1290107404-382.coolpic» v:shapes="_x0000_i1714"> для любой группы <img border=«0» width=«43» height=«19» src=«ref-1_1290017246-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1715">. Понятно, что <img border=«0» width=«43» height=«28» src=«ref-1_1290107916-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1716">  — нижняя грань для <img border=«0» width=«64» height=«24» src=«ref-1_1290027503-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1717"> в <img border=«0» width=«65» height=«21» src=«ref-1_1290108315-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1718">. Мы видим, что <img border=«0» width=«40» height=«21» src=«ref-1_1290105699-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1719">  — полная решетка с нулем <img border=«0» width=«20» height=«23» src=«ref-1_1290026388-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1720"> и единицей <img border=«0» width=«17» height=«23» src=«ref-1_1290026580-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1721">. Понятно, что функтор <img border=«0» width=«67» height=«28» src=«ref-1_1290108826-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1722">, где <img border=«0» width=«101» height=«36» src=«ref-1_1290109094-381.coolpic» v:shapes="_x0000_i1723"> для всех <img border=«0» width=«43» height=«19» src=«ref-1_1290017246-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1724">, является верхней гранью для <img border=«0» width=«64» height=«24» src=«ref-1_1290027503-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1725"> в <img border=«0» width=«40» height=«21» src=«ref-1_1290105699-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1726">.

Заметим, что если <img border=«0» width=«64» height=«24» src=«ref-1_1290027503-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1727">  — произвольный набор замкнутых подгрупповых <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1290017155-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1728">-функторов, то, очевидно, <img border=«0» width=«43» height=«28» src=«ref-1_1290107916-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1729">  — замкнутый подгрупповой <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1290017155-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1730">-функтор. А поскольку замкнутым является и функтор <img border=«0» width=«17» height=«23» src=«ref-1_1290026580-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1731">, мы видим, что <img border=«0» width=«65» height=«25» src=«ref-1_1290110581-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1732"> также является полной решеткой.

Оказывается, что свойства таких решеток тесно связаны со свойствами групп, входящих в <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1290017155-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1733">. Отметим, например, что если <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1290017155-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1734"> содержится в классе конечных групп, то решетка <img border=«0» width=«40» height=«21» src=«ref-1_1290105699-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1735"> является цепью тогда и только тогда, когда для некоторого простого числа <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1290025224-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1736"> класс <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1290017155-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1737"> состоит из элементарно-абелевых <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1290025224-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1738">-групп. С другой стороны, решетка <img border=«0» width=«40» height=«25» src=«ref-1_1290105925-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1739"> является цепью тогда и только тогда, когда все группы из <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1290017155-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1740"> являются <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1290025224-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1741">-группами. Покажем, что в общем случае <img border=«0» width=«65» height=«25» src=«ref-1_1290110581-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1742"> не является подрешеткой в <img border=«0» width=«40» height=«21» src=«ref-1_1290105699-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1743">. Для этого достаточно установить, что если <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1290017155-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1744">  — класс всех конечных групп и <img border=«0» width=«76» height=«23» src=«ref-1_1290112089-184.coolpic» v:shapes="_x0000_i1745">,<img border=«0» width=«76» height=«23» src=«ref-1_1290112273-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1746">, где <img border=«0» width=«16» height=«17» src=«ref-1_1290025224-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1747"> и <img border=«0» width=«13» height=«17» src=«ref-1_1290112545-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1748">  — различные простые числа, то функтор <img border=«0» width=«45» height=«23» src=«ref-1_1290112632-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1749"> не является замкнутым. Пусть <img border=«0» width=«80» height=«25» src=«ref-1_1290112763-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1750">, где <img border=«0» width=«21» height=«25» src=«ref-1_1290025118-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1751">  — группа порядка <img border=«0» width=«13» height=«17» src=«ref-1_1290081367-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1752">, a <img border=«0» width=«20» height=«25» src=«ref-1_1290113142-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1753">  — группа порядка <img border=«0» width=«13» height=«17» src=«ref-1_1290112545-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1754">. Понятно, что <img border=«0» width=«73» height=«25» src=«ref-1_1290113335-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1755"> и <img border=«0» width=«69» height=«25» src=«ref-1_1290113524-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1756">. Таким образом, если бы функтор <img border=«0» width=«45» height=«23» src=«ref-1_1290112632-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1757"> был бы замкнутым, то мы бы имели <img border=«0» width=«104» height=«23» src=«ref-1_1290113835-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1758"> Но, как нетрудно заметить, во множество <img border=«0» width=«81» height=«23» src=«ref-1_1290114062-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1759"> входят лишь такие подгруппы <img border=«0» width=«17» height=«17» src=«ref-1_1290080828-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1760"> из <img border=«0» width=«17» height=«19» src=«ref-1_1290019895-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1761"> для которых имеет место одно из двух: <img border=«0» width=«25» height=«20» src=«ref-1_1290114448-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1762"> <img border=«0» width=«49» height=«21» src=«ref-1_1290114560-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1763"> или <img border=«0» width=«24» height=«20» src=«ref-1_1290114709-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1764"> <img border=«0» width=«49» height=«21» src=«ref-1_1290114560-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1765">. Это означает, что <img border=«0» width=«101» height=«23» src=«ref-1_1290114967-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1766">. Следовательно, функтор <img border=«0» width=«45» height=«23» src=«ref-1_1290112632-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1767"> не является замкнутым.

    продолжение
--PAGE_BREAK--